rèn luyện kỹ năng chứng minh trong dạy học chủ đề tứ giác cho học sinh lớp 8 luận văn sư phạm toán học

Phần lớn học sinh khônghiểu rõ được lời giải chứng minh do thầy cô và sách vở trình bày, các em không nắm được các phương pháp cũng như các quy tắc suy luận logic chứng minh hình học, kh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

KIỀU DIỀM HƯƠNG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH TRONG DẠY HỌC

CHỦ ĐỀ TƯ GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 8

LUẬN • • • VĂN THẠC sĩ sư PHẠM TOÁN HỌC • CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHUƠNG PHÁP DẠY HỌC Bộ MÔN TOÁN HỌC e • • • •

Mã số: 8140209.01

Người hưóng dẫn khoa học: TS. Bùi Thị Hạnh Lâm

HÀ NỘI - 2024

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của

TS.Bùi Thị Hạnh Lâm. Tôi xin bày tò lòng biết ơn chân thành nhất tới cô Cô đã rất tận tinh hướng dẫn và hết lòng giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cửu và hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo sau đại học trường Đại học GiáoDục và các Thầy, Cô giáo đã giảng dạy lóp cao học lý luận và phương pháp dạyhọc bộ môn Toán đà tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình họctập, thực hiện và hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp giúp đỡ, động viên tác giả trong quá trình học tập Dù đã rất cố gắng xong luận văn cũng không tránh khỏithiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô và bạn đọc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Khách thể và đối tưọng nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Giả thiết khoa học 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 4

8 Bố cục luận văn 4

CHƯƠNG 1 Cơ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỤC TIỄN 5

1.1 Khái niệm chứng minh toán học 5

1.1.1 Chứng minh 5

1.1.2 Khái niệm chứng minh toán học 6

1.2 Cấu trúc của một phép chứng minh 8

1.3 Phương pháp chứng minh toán học 11

1.3.1 Các phương pháp chứng minh toán học 11

1.3.2 Quy trình giải một bài toán chứng minh hình học 24

1.4 Các kỹ năng thành tố của kỹ năng chứng minh hình học 31

1.5 Sự cần thiết rèn luyện kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh lớp 8 THCS trong chủ đề tứ giác 35

9 • •

ill

1.6 Cơ hội rèn luyện kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh lớp 8

THCS trong chủ đề Tứ giác 39

1.6.1 Mục tiêu dạy học của chủ đề Tứ giác 40

1.6.2 Cơ hội từ góc độ đối tượng là học sình lớp 8 42

1.6.3 Cơ hội rèn luyện kỹ năng chứng minh từ góc độ đối tượng là học sinh lớp 8 42

1.7 Thực trạng rèn luyện kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh lớp 8 THCS trong chủ đề tứ giác 43

1.7.1 cấu trủc nội dung dạy học chủ đề Tứ giác 44

1.7.2 Mục đích và phương pháp khảo sát 45

1.7.3 Nội dung và kết quả khảo sát 45

Kết luận Chương 1 52

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐÈ TỨ GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 8 54

2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình, viết giả thiết-kết luận 54

2.1.1 Mục đích biện pháp 55

2.1.2 Cách thực hiện biện pháp 55

2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm tòi hướng chứng minh 61 2.2.1 Mục đích biện pháp 61

2.2.2 Cách thực hiện biện pháp 62

iv

2.3 Bỉện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng trình bày chứng minh

66

2.3.1 Mục đích biện phảp 66

2.3.2 Cách thực hiện hiện pháp 66

2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng nghiên cứu sâu chứng minh 75

2.4.1 Mục đích biện pháp 75

2.4.2 Cách thức thực hiện biện pháp 75

Kết luận Chương 2 82

CHƯƠNG 3 THỤC NGHIỆM SƯ PHẠM 83

3.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 83

3.2 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 83

3.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm 84

3.4 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 85

3.4.1 Thời gian thực nghiêm sư phạm 85

3.4.2 Cách tiến hành thực nghiêm 85

3.5 Phân tích kết quả thực nghiệm 85

3.5.1 Phản tích định tính 85

3.5.2 Phân tích định lượng 86

3.6 Kết luận thực nghiệm 91

Kết luận Chương 3 93

KẾT LUẬN CHUNG 95

V

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 95

l Kết luận 95

2 Kiến nghị 96

TÀI LIỆU THAM KHẢO 97

VI

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là ngành khoa học cơ bản, là nền tảng và có tác dụng to lớn đối vớitất cả các ngành khoa học khác Đây là một môn khoa học suy diễn, mẫu mực về

sự chính xác cao và suy luận chặt chẽ, nó chứa tất cả những gi thách thức đối với

bộ não của chúng ta Toán học có mặt ở mọi thứ xung quanh chúng ta, trong mọiviệc chúng ta làm hằng ngày Việc tìm kiếm, chứng minh một định lí, tìm một lờigiải hay cho bài toán đều có tác dụng rèn luyện cho học sinh các phuơng pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận qua đó có tác dụng lớn đối với việc rènluyện trí thông minh, sáng tạo của học sinh Chính vì lẽ đó, môn Toán luôn có một vị trí quan trọng trong truờng phố thông và thục hiện những nhiệm vụ to lớncủa nhà truờng, đồng thời giúp cho học sinh phát triển toàn diện các năng lực vàphẩm chất trí tuệ

Trong Toán học có nhiều phân môn, mỗi phân môn đều mang nét đặc trưng riêng Đối với cấp trung học cơ sở hiện nay, học sinh được học các phân môn số học, đại số và hình học Riêng hình học là một phân môn rất khó với lứa tuổi học sinh THCS, vì tính trừu tượng của nó khá cao, nó nghiên cứu và chứng minh hìnhdạng, kích thước và vị trí của các hình trong mặt phẳng Có thể nói rằng, hiện naycòn có rất nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc học tập hình học, từ việc nắm bắt lí thuyết, các định nghĩa, định lý, hệ quà, đến việc chứng minh các dạng toán Hầu hết học sinh chưa cảm nhận được cái hay, cái đẹp ở hình học, thường rất ngại khi học hình học và vì nhiều nguyên nhân khác nhau dẫn tới kết quả học tập chưa cao, đặc biệt là việc tư duy chứng minh hình học đối với các em còn gặp nhiều khó khăn

Chứng minh trong hinh học cỏ tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy logic cho học sinh, việc rèn luyện kĩ năng chứng minh vừa giúp học sinh nắm

1

vững kiên thức, vừa giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, Chính vì vậy, việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng chửng minh hình học là một yêu cầu quan trọng đối với việc giảng dạy phân môn hìnhhọc ở bậc trung học cơ sở Đặc biệt, khi năm học tới học sinh sẽ học chương trinhsách khoa mới lớp 8 chắc hẳn sẽ bờ ngỡ và gặp nhiều những thay đổi, các em phải tìm tòi, tưởng tượng, tìm lời giải trên cơ sở hình vẽ, kiếm nghiệm tính đúng đắn bàng tính chất, định lý.

Thực tiễn dạy học hình học ở trường phổ thông cho thấy kỹ năng chứng minhcác bài tập hình học của học sinh còn nhiều hạn chế Phần lớn học sinh khônghiểu rõ được lời giải chứng minh do thầy cô và sách vở trình bày, các em không nắm được các phương pháp cũng như các quy tắc suy luận logic chứng minh hình học, khó khăn trong việc tự đề xuất cách chứng minh và trình bày chứng minh hợp logic Bằng kinh nghiệm của bản thân, trải qua quá trình học tập ở trườngphổ thông và được đào tạo ở trường Đại học Sư phạm để trở thành một giáo viênToán như hiện tại, tôi lại càng nhận thức rõ hơn tầm quan trọng trong việc rènluyện kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh Chính bởi lẽ đó, tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện kỹ năng chứng minh trong dạy học chủ đề Tứ giác cho học sinh 1Ó ’ P 8 ”

Quá trình dạy học môn Toán ở trường THCS

3.2 Đối tượng nghiên cứu

2

Biện pháp sư phạm rèn luyện kỳ năng chứng minh hình học cho học sinh lớp

8 THCS qua chủ đề Tứ giác

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu một số vấn đề lí luận về chứng minh toán học và rèn luyện kỹnăng chứng minh toán học cho học sinh lớp 8 ở trường THCS

- Nghiên cứu về thực trạng của việc dạy học chứng minh hình học cho học sinh lớp 8 THCS thông qua chủ đề tứ giác

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển kỹ năng chứng minh chohọc sinh lớp 8 THCS thông qua chủ đề tứ giác

- Tổ chức dạy thực nghiệm sư phạm đề minh chứng cho tính hiệu quả và tính khả thi của các biện pháp sư phạm đã đề xuất

5 Giả thiết khoa học

Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng chứng minh trong dạy học chủ đề tứ giác cho học sinh lớp 8 sẽ góp phần nâng cao kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh

6 Phuong pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu khác nhau như các tạp chí, sách, báo cáo luận văn, luận án, các bài viết có liên quan tới rèn luyện kỹ nãng chứng minh trong dạy học chủ đề tứ giác cho học sinh lớp 8

6.2 Phương pháp điều tra, quan sát

Qua dự giờ, quan sát thực tiền việc rèn luyện kỹ năng chứng minh cho họcsinh thông qua dạy học chủ đề tứ giác ở lớp 8 trường THCS Lại Thượng- ThạchThất- Hà Nội

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

3

Sử dụng phương pháp thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệuquả của phương pháp đề ra.

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

7.7 Ỷ nghĩa khoa học của đề tài

Làm sáng tỏ hệ thống cơ sở lý luận về nội dung, rèn luyện kỹ năng chứng minh trong dạy học chú đề tứ giác cho học sinh lóp 8

7.2. Ỷ nghĩa thực tiễn của đề tài

Một sô biện pháp sư phạm rèn luyện kỳ năng chứng minh trong dạy học chủ

đề tứ giác cho học sinh lớp 8

8 Bô cục luận • • văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung

đề tài gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng chứng minh trong dạy học chù đề Tứ giác cho học sinh lớp 8

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

4

“Nhận thức suy cho cùng là sự kết họp giữa nhận thức trực quan cảm tính và nhận thức bằng tư duy lý tính Nhận thức phải đi từ cái biết ít đến cái biết nhiều” [7, tr.268] Đe nâng cao nhận thức của mình, con người cần sử dụng những tri thức đã biết trước đó, đem kết họp lại với nhau đế tạo ra những giá trị tri thứcmới Tuy nhiên, đôi khi những điều kết họp đó không phải lúc nào cùng mang lạikết quả đúng như ta mong đợi Chẳng hạn có những luận điểm, tư tưởng khi conngười đem nó để áp dụng vào thực tiễn lại dần đến thiếu co sở vững chắc và xarời với nội dung hiện thực, và do đó, không những không đem lại hiệu quả cho hoạt động thực tiễn mà trái lại nhiều khi còn có tác dụng ngược trở lại.

Vì vậy, vấn đề cần đặt ra là: con người trước khi tin tưởng và sử dụng một kết luận, một phán đoán hay một học lý nào đó thì bản thân chúng đòi hỏi phải được chứng minh Đó là điều kiện để bảo đảm cho nhận thức của con người tránh được sai lầm khi tin tưởng và sừ dụng những nhận định không có căn cứ, cơ sởcủa chính bản thân mình Nói một cách khác đi thì chứng minh là nhu cầu tất yếucủa mọi hoạt động tư tưởng, nó thế hiện đúng cho nội dung qui luật “lý do đầy đủ” mà tư duy hình thức muốn phản ánh đúng thế giới thì cần phải tuân thủ Dângian Việt Nam từ thời xưa đã truyền tai nhau câu: “ Nói có sách, mách có chứng”, yêu cầu về chứng minh được thể hiện rõ ở câu nói này, nghĩa là khi muốn khẳngđịnh hay phủ định điều gì đều cần phái có căn cứ, mà căn cứ này phái đáng tin cậy và được mọi người thừa nhận chung

5

Theo [7, tr 268]: “Chứng minh là thao tác logic dùng đê lập luận tính chânthực của một luận điểm hay lý thuyết nào đó nhờ đã biết tính chân thực của những luận điểm hay lý thuyết khác mà nó có mối liên hệ hữu cơ với luận điểmhay lý thuyết ấy”.

Ví dụ: Sắt có khả năng dẫn điện Để chứng minh, nghĩa là lập luận nhằmkhắng định rằng sắt có khả năng dẫn điện là hoàn toàn đúng đắn, ta dựa vào cácphán đoán mà tính chân thực đã được xác nhận sau đây làm tiền đề: sắt là mộtnguyên tố kim loại Mọi nguyên tố kim loại đều có khả năng dẫn điện Từ cáctiền đề trên, chúng ta sắp xếp chúng theo một trật tự nhất định để rút ra luận điểm cần chứng minh: Mọi nguyên tố kim loại đều có khả năng dẫn điện, sắt lànguyên tố kim loại Chứng tỏ sắt có khá năng dẫn điện

1.1.2 Khái niệm chứng minh toán học

Đặc điểm độc đáo khiến toán học khác biệt với các ngành khoa học khác,với triết học, và thực tế là với tất cả các hình thức diễn ngôn trí tuệ khác, là việc

sử dụng bằng chứng chặt chẽ Chính khái niệm chứng minh đã làm cho chủ đề trởnên mạch lạc, mang lại cho nó tính trường tồn theo thời gian và giúp nó có thể truyền tải tốt hơn Không có ngành khoa học hay phân tích nào có thể sử dụng bàng chứng dễ dàng và thường xuyên như toán học, đây là công cụ làm cho toán học lý thuyết trở nên đặc biệt, chuỗi lý luận được đan kết chặt chẽ, tuân theo cácquy tắc logic, dẫn đến một kết luận cụ thể một cách chắc chắn

Vậy chứng minh là gì? Theo Steven G Krantz: “về mặt suy nghiệm, chứng minh là một công cụ tu từ để thuyết phục người khác rằng một phát biểu toán học

là đúng hoặc họp lệ” [34, tr.3]

Đối với Ball và Bass, “kiến thức không họp lý là không họp lý và do đó dềtrở nên không hợp lý” Chứng minh là một phương pháp toán học quan trọng chophép các nhà toán học, giáo viên và người học toán tạo ra mối liên hệ giữa các ý tưởng và các phần khác nhau của một lập luận, để đưa ra sự đảm bảo cho các

6

khẳng định và phong đoán, giải quyết tranh chấp và phát triển các ý tưởng toánhọc mới [31, tr.9].

Là một ví dụ về quan điểm thứ ba về chứng minh, Hanna & Jahnke (1993)

đã định nghĩa chứng minh là một “Chuỗi hữu hạn các công thức trong một hệthống nhất định, mỗi công thức là một tiên đề hoặc có thể rút ra từ công thức trước đó bằng một quy tắc trong hệ thống” [42, tr.32]

Khi nói về chứng minh toán học, theo quan điềm của Nguyễn Bá Kim, ông cho rằng việc chứng minh toán học xuất phát từ các mệnh đề đã được khẳng định

là đúng, bằng các suy luận toán học ta dẫn đến một mệnh đề mới, và ta khẳngđịnh được mệnh đề mới này là đúng

Vậy trong toán học, chứng minh là một cách trinh bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải

là tranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm Có nghĩa là, một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đủng với mọi trường họp, không cóngoại lệ Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng đượcgọi là một phỏng đoán Phát biểu đã được chứng minh thường được gọi là định

lý Một khi định lý đã được chứng minh, nó có thể được dùng làm nền tảng để chứng minh các phát biểu khác Một định lý cũng có thể được gọi là bổ đề, đặcbiệt nếu nó được dự định dùng làm bước đệm đế chứng minh một định lý khác

Có thế nói rằng, chứng minh toán học là quá trình logic và lập luận để chứng minh rằng một định lý hoặc một tuyên bố toán học nào đó là đúng Quá trình này yêu cầu sự chặt chẽ, logic và có thế được thực hiện thông qua một loạtcác bước từ các tiền đề và qưy tắc đã được chấp nhận

Trong phạm vi toán học nói chung, có thể hiểu, chứng minh là phép suyluận để thiết lập sự đúng hay sai của một khẳng định Trong phạm vi toán học

THCS nói riêng, chứng minh định lí là dùng các lập luận để suy luận tù’

7

giá thiết ra kết luận Tức là, nêu ra những khẳng định và vạch rõ vì sao,

căn cứ vào đâu mà có những khẳng định đó

Từ những điều trên, ta có thể rút ra điểm chung trong các quan niệm của hầu hết các tác giả về “chứng minh toán học”, đó là, đều có điểm xuất phát từ những mệnh đề đúng trước đó, bằng các suy luận toán học cùng với các mệnh đề này ta dẫn đến một mệnh đề mới

Theo ý kiến cá nhân tác giả, khái niệm chứng minh toán học tiếp cận theoquan niệm của tác giả Nguyễn Bá Kim là họp lí, bởi ở đó học sinh dễ dàng tim tòiđược hướng chứng minh từ những kiến thức các em đã được học, từ đó hìnhthành khả năng tư duy logic và khả năng lập luận, học sinh học được cách trinhbày họp lí, dễ hiểu, khoa học nhất

1.2 Cấu trúc của một phép chứng minh

Chứng minh có rất nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào mục đích, cơ sở vàđiều kiện cụ thể Song mọi phép chứng minh đều cỏ cấu trúc chung, chúng bao gồm ba thành phần: luận đề, luận cứ và lập luận [14, tr.270]

Theo Nguyên Bá Kim, ông cho rằng một phép chứng minh toán học có cấu trúc gồm ba bộ phận:

• Luận đề là mệnh đề cần chứng minh;

• Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa, định lí đã biết;

[19, tr.372]

Luận đề là phán đoán mà tính chân thực của nó cần phải chửng minh Luận

đề là thành phần chủ yếu của chứng minh và trả lời cho câu hỏi: Chứng minh cái gì? Luận đề có thể là một luận điểm khoa học, có thể là một phán đoán về thuộctính, về quan hệ, về nguyên nhân của sự vật, hiện tượng của thế giới khách quan

8

Trong phép chứng minh ở ví dụ trên, luận đê (cái cân phải chứng minh) là săt có khả năng dẫn điện.

b Luận cứ

Luận cứ là những phán đoán được dùng làm căn cứ đế chứng minh cho luận đề Luận cứ chính là những tiền đề logic cùa chứng minh và trả lời cho câuhỏi: Dùng cái gì đế chứng minh? Luận cứ có thể là những luận điểm, những tư liệu đã được thực tiễn xác nhận, có thề là những tiền đề, định lý, những luận điểm khoa học đã được chứng minh Trong phép chứng minh ở ví dụ trên, luận cứ (cáidùng để chứng minh) là hai phán đoán mà tính đúng đắn, chân thực đã được xácđịnh: Sắt là một nguyên tố kim loại Mọi nguyên tố kim loại đều có khả năng dầnđiện

Luận chứng là cách thức tồ chức sắp xếp các luận cứ theo những quy tắc và quy luật logic nhằm xác lập mối liên hệ tất yếu giữa luận cứ và luận đề Luận chứng là cách thức chứng minh, nhằm vạch ra tính đúng đắn của luận đề dựa vào những luận cứ đúng đắn, chân thực Luận chứng trả lời cho câu hỏi: Chứng minh như thế nào? Trong phép chứng minh ở ví dụ trên, luận chứng (cách thức chứng minh) là dựa vào các quy tắc tam đoạn luận để sắp xếp các luận cứ, sao cho từ hailuận cứ nói trên ta suy ra được tính tất yếu đúng đắn của luận đề

Đối với phép chứng minh toán học, một phép chứng minh logic cũng gồm

ba bộ phận:

- Luận đề: Mệnh đề phải chứng minh nghĩa là “Chứng minh cái gì?”

- Luận cứ: Những mệnh đề đã được thừa nhận (định nghĩa, tiên đề, định lí) được đưa ra làm tiên đề trong mỗi suy luận nghĩa là “Chứng minh dựa vào cái

gì?”

Ngoài ra luận cứ còn là các dữ kiện, các quan hệ đà cho trong bài toán

- Luận chứng: Là những quy tắc suy luận hợp logic tức là “Chứng minh như thế nào?”, “Theo những quy tắc suy luận nào?”

9

Ta cùng xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1.1 Chứng minh mệnh đề: “Mọi hình vuông đều là hình thoi”

• Luận cứ: Hỉnh vuông là tứ giác có 4 góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau

Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi

Ví dụ 1.2 Chứng minh định lí:

“ Trong một hình chữ nhật, hai cạnh đối song song và bằng nhau”

+ Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.+ Định lí: Trong một hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau

+ Nhận xét: Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành vàhình thang cân

quy tắc tam đoạn luận

Ví dụ 1.3 Chứng minh bài toán: “Cho hình thang cân ABCD có AB // CD ,

Theo định nghĩa của một phép chứng minh đã nêu, đà là chứng minh thìphải đúng, không có chứng minh sai Tuy nhiên, trong dạy học, nguời ta cũng hay gọi những lập luận của học sinh đề đảm bảo tính đúng đắn cùa một mệnh đềnào đó là “chứng minh”, mặc dù chưa kiểm tra xem luập luận này có theo đúng

10

được định nghĩa chứng minh ở trên hay không Theo cách nói như vậy thì có chứng minh đúng, có chứng minh sai.

Liên hệ với ba bộ phận cấu thành của một phép chứng minh người ta nhấn mạnh ba yêu cầu sau đây đế đảm bảo chứng minh là đúng:

(i) Luận đề không được đánh tráo;

(ii) Luận cứ phải đúng;

(iii) Luận chứng phải hợp logic

1.3 Phương pháp chứng minh toán học

13.1 Các phương pháp chúng minh toán học

Theo Trần Nam Dũng, Trường Đại học KHTN Thành phố Hồ Chí Minh,trong toán học cũng như trong cuộc sống, cần biết linh hoạt xử lý tinh huống, lựachọn phương án tối ưu Các định lý toán học phát biếu về các tính chất của cácđối tượng toán học và mối quan hệ giữa chúng Những khắng định này cần được chứng minh xuất phát từ các tiên đề, các định lý và tính chất đã được chứng minhtrước đó Và để thực hiện bước chứng minh, ta cần có những quy tắc suy diễn để chứng minh là chặt chẽ về mặt toán học Theo ông, chứng minh toán học có hai phương pháp cơ bản là phép chứng minh phản chứng và phép chứng minh quy nạp Chứng minh phản chứng có thể nói là một trong những vũ khí quan trọngcủa toán học Nó cho phép chúng ta chứng minh sự có thể và không có thể củamột tính chất nào đó, nó cho phép chúng ta biến thuận thành đảo, biến đảo thànhthuận, cho phép chúng ta lý luận trên những đối tượng mà không rõ là có tồn tại hay không Quy nạp toán học là một trong những nét đặc trưng của suy luậntrong toán học, tư duy quy nạp rất cần thiết trong số học, đại số, tổ họp, hình học

và giải tích, nói chung là trong tất cả các lĩnh vực của toán học [34, tr.3]

Trong luận văn này, tác giả sẽ phân chia các phương pháp chứng minh toán học theo tư tưởng của Nguyễn Bá Kim, ông cho rằng có các phương pháp chứng minh toán học chính đó là: Phương pháp chứng minh trực tiếp, phương pháp

11

chứng minh gián tiếp (chứng minh phản chứng, chứng minh quy nạp), phương

pháp suy ngược lùi

Chứng minh trực tiếp là đưa ra các luận cứ, dùng quy tắc suy diễn để suy ra mệnh đề cần chứng minh

Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề A=>B là đúng (A là giả thiết, B là kết luận), ta lập các mệnh đề mới A], A2, , An gọi là các mệnh đề trung gian và

chứng minh các mệnh đề sau là đúng: A=> A1, A1=>A2, , An^>B Tức là ta đà

vận dụng liên tiếp các quy tắc suy diễn sau:

Theo tính chất bắc cầu, ta có:

Ví dụ 1.4 Cho hình chữ nhật ABCD Trên

đường chéo BD lấy một điểm M Trên tia AM

lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN Gọi

E và F lần lượt là hình chiếu của N trên đường

qua trung diêm M của AN ta cân chứng minh EF // AC

* Trình bày lời giải

Tứ giác ENFC có ba góc vuông nên là hình chừ nhật

Gọi o là giao điểm của AC và BD và K là giao điếm của EF và CN

Theo tính chất hình chữ nhật ta có:

OA = OB = oc = OD; K.C = K.N = K.E = FF

12

Xét ACAN có OM là đường trung bình nên OM // CN, đo đó BD // CN.

AOCD, AKCF cân, suy ra Dỵ = Cp C2 = F2

Mặt khác, Dỵ = C 2 (cặp góc đông vị) nên Cị = E

2-Suy ra AC // EF

Xét ACAN có đường thẳng EF đi qua trung điểm K của CN và EF // ACnên EF đi qua trung điểm của AN, tức là đi qua M Vậy ba điểm M, E, F thẳnghàng

Ví dụ 1.5. Cho tam giác ABC cân tại A Từ một điểm trên đáy BC, vẽ đường thẳngvuông góc với BC cắt các đường thẳng AC, AB lần lượt tại M và N Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BC và MN Chứng minh rằng tứ giác AKDH là hỉnh chữnhật

Giải

Dễ thấy tứ giác AKDH có hai góc vuông là

H - D = 90° nên chỉ cân chứng minh tứ giác này

Hình Í.5

có một góc vuông nữa là thành hình chữ nhật

AABC cân tại A, AH là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, đường phân giác

Vậy AAMN cân tại A mà AK là đường trung tuyên nên AK cũng là đường cao, K = 90°.

Tứ giác AKDH cỏ K = H = D = 90" nên nó là hình chữ nhật

Ưu điểm nồi bật của phép chứng minh trực tiếp là trình bày có tính chặt chẽ, gọn gàng và có hệ thống Vi thế để trình bày chứng minh một định lí trong sáchgiáo khoa hoặc trình bày giải một bài toán nói chung và lời giải một bài toán chứng minh hình học nói riêng ta thường sử dụng phép chứng minh này Nhưng

về tính sư phạm của phép chứng minh này sẽ làm cho học sinh không hiếu lí do

vì sao (tìm đâu ra, làm sao phải tìm) để làm gì? Nó có mối liên hệ gì đến điều phải chứng minh

Phương pháp 2 Phương pháp chứng minh gián tiếp

Chứng minh gián tiếp một mệnh đề là chứng minh phản chứng, chứng minhquy nạp, chứng minh loại dần

Trong khi dạy học chứng minh, người giáo viên Cần hướng dẫn cho họcsinh cách tiến hành chứng minh phản chứng Chẳng hạn muốn chứng minh phản

chứng một mệnh đề nào đó ta cần xét đầy đủ tất cả các trường hợp có thể xảy ra

Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề A^> B là đúng, A là già thiết, là mệnh

đề đã cho là đúng, ta phải chứng minh B đúng

Giả thiết phản chứng là 5 , ta suy ra A , điều này mâu thuẫn với giả thiết A hoặc mâu thuẫn với một mệnh đề đúng đã biết Vậy B đúng (theo luật mâuthuẫn)

Các bước suy luận phản chứng:

chứng minh)

Bước 2 ’Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những tính chất này mâu thuẫn với giả thiết đã cho hoặc trái với tính chất ta đã biết

14

Bước 3: Ta kêt luận điêu giả thiêt ban đâu là sai Vậy bài toán được chứng minh.

Ví dụ 1.6 Chứng minh rằng trong một tam giác có ít nhất một góc lớn hơn hoặc

bàng 60°

Đe chứng minh bài toán này ta xét hai trường họp sau đây:

Trường họp 1 : Giả sử ba góc của tam giác bằng 60°, khi đó tam giác đã cho là

tam giác đều, như vậy trái giả thiết

Trường họp 2 : Giả sử ba góc đều lớn hơn 60° Khi đó tống ba góc của chúng lớn

hơn 180° (Trái với định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°)

Vậy một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏhơn 60° (đpcm)

Trong ví dụ này, bàng cách chứng minh trực tiếp có thể ta thấy rất khó khăn, do đó chứng minh bằng phương pháp phản chứng rất hữu ích trong trường

hợp này, qua đó còn rèn luyện cho HS cách tư duy bao quát và sâu sắc hơn đối

với bài toán

Ví dụ 1.7. Cho hình vuông ABCD M là

điểm trong hình vuông sao cho

ADM = BCM = 75°; DM = MC

Do đó A ADM = A BCM ( c.g.c) => AM = BM => A ABM cân tại M

Như vậy đê chứng minh A ABM đêu, chỉ cân chứng minh thêm AM =

AB hoặc BM = AB hoặc một trong các góc cúa A ABM bằng 60°

Đặt AB = BC = CD = DA = a

Ta có cách giải sau:

Giả sử A ABM không đều suy ra AMB > 60° hoặc AMB < 60°

Tacó: AMB + BMC + CMD + DMA = 360°

=> AMD = BMC = |(360° - CM D - AMB) => AMD = BMC < 75°

A ABM CÓ ABM < AMB AM < AB = a(l)

A ADM CÓ ADM > AMD => AM > AD = a(2)

Từ (1) và (2) suy ra điêu vô lí

- Trường họp 2'. AMB < 60°

Ta có: AMD = BMC = |(360° -CMD - AMB) > |(360° -150° - 60°) = 75°

Á* Á*

A ABM có ABM > AMB AM > AB = a(3)

A ADM có ADM < AMD => AM < AD = a(4)

Từ (3) và (4) suy ra điều vô lí Vậy AMB = 60l)

Do đó A ABM là tam giác đêu

Qua ví dụ trên ta thây cách này không chứng minh trực tiêp mà ta chứng minh gián tiếp thông qua mệnh đề đảo Cách chứng minh như vậy gọi là chứng minh phản chứng

Phương pháp 3 Chứng minh toán học băng cách sử dụng cảc phương pháp suy luận

Chứng minh là một hoạt động phức tạp, cân sự lập luận chặt chẽ và hợp lí.Ngoài kiến thức vững chắc còn cần kết hợp linh hoạt giừa những phương pháp,

16

kỹ năng cơ bản, phương pháp suy luận của người học để giải quyết yêu cầu củachứng minh đó Trong khi chứng minh, cái khó của HS thường là không biết bắt đầu từ đâu, không biết nên dùng những gì trong bài toán để chứng minh, bởi vậyviệc đi tìm mệnh đề xuất phát cho chứng minh giữ vai trò rất quan trọng trongquá trình dạy học toán.

Có hai phương pháp cơ bản, đặc thù của hoạt động tìm hướng chứng minh:

điều cần tìm, cần chứng minh để suy luận đến điều đã cho hoặc đà biết trước đó

Sơ đồ: A <= A„ <= n <= A?2 A ITrong đó: A là điều cần chứng minh, A„ là tiền đề lôgic của A, A, làtiền đề logic của A,, A, là mệnh đề đã cho trước hoặc đã biết Neu A sai thì Asai Nếu Aj đúng thì A có thể đúng, có thể sai Lúc này chúng ta phải dùngphương pháp tổng hợp đi từ Aj tới A

biết đến điều cần tìm

Sơ đồ: A,12 => Aọ A, 5 => n =4> A„ => A Trong đó: Aj là hệ quả logic của A2 và A1 là mệnh đề đã biết nào đó, ,

A là mệnh đề cần tim, mệnh đề cần chứng minh, A n là hệ quả lôgic của A Nếu

Aj sai thì A sai Nếu Aj đúng thì A có thể đúng, có thế sai Lúc này chúng ta phải dùng phương pháp tổng hợp đi từ Aị tới A

Ngoài ra, còn phương pháp phân tích tông họp là phương pháp đi từ điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, điều cần chứng minh

Sơ đồ: A => 1 Aọ =^> A, => => fl A„ => ATrong đó Aị là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước, A2 là hệ quả logic của A,,A là hệ quả logic của A/7

Bên cạnh đó, còn có một số kỹ thuật khác cho phép tìm hướng bắt đầu cho hoạt động chứng minh:

17

Nhận biêt: Tập nhìn một đôi tượng dưới nhiêu dáng vẻ khác nhau Băt đâu băng việc huy động các kiến thức (nhận biết các yếu tố quen thuộc, mối liên hệ giữacác yếu tố có trong đề toán), sau đó tồ chức kiến thức lại (sắp xếp các kiến thứclại theo hướng có lợi cho chứng minh)

Quy lạ về quen: Quy yêu cầu chứng minh về các yêu cầu tương tự

Thực hiện các phép thử, dự đoán, tìm lời giải trên một vài trường hợp cụ thế

Ví dụ 1.8 Cho tam giác ABC Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng

r _ - , 7 , - r

song song với BC cat AB tại F và đường thăng song song với AB căt BC tại

D Giả sử AE = BF Chứng minh:

a) Tam giác AED cân;

b) AD là phân giác của góc A

a)? Muốn chứng minh tam giác AED cân ta phải

chứng minh điều gì? AE=ED

b)? Tương tự muốn minh AD là phân giác của góc

b) Vì tam giác EAD cân tại E nên EAD = EDA

Vì ED AB => EDA = DAB (so le trong)

AD là tia phân giác của góc A

Ví dụ 1.9 Cho hình bình hành ABCD, đường chéo

K Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành

Phản tích đầu bài:

Muốn chứng minh tứ giác AHCK là hình bình

hành ta phải chứng minh điều gì?

Sau khi hướng dẫn học sinh vẽ hình, viết GT-KL của bài toán, giáo viênhướng dẫn học sinh tìm hướng chứng minh bài toán bằng cách phân tích theo sơ

đồ đi xuống như sau:

Sơ đồ (suy xuôi)

19

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AHCK là hình bình hành.

Khi tiến hành các phép chứng minh trong sách giáo khoa ở trường phốthông, thông thường ta sử dụng kết hợp câ phương pháp suy ngược lùi( đi từ mệnh đề cần chứng minh đến những điều đã biết) và phương pháp suy xuôi (đi từ những điều đã biết đến mệnh đề cần chứng minh) để hướng dẫn học sinh cáchsuy nghĩ cũng như cách trình bày Nghĩa là, ta sử dụng phương pháp suy ngượclùi (kết hợp suy ngược tiến) đề đi tìm phương pháp chứng minh, sau đó dùngphương pháp suy xuôi để trình bày cách chứng minh

Trong một số trường hợp, khi dạy học chứng minh ta cần kết hợp cả haiphương pháp suy xuôi và suy ngược lùi đế tìm phương pháp chứng minh

20

Ví dụ 1.10. Cho hình bình hành ABCD có 2 đường cao AH = AK Chứng minh ABCD là hình thoi.

tam giác này có B = D (do ABCD là hình bình hành), K = H = 90° (theo giả thiết) Từ đó suy ra Ỉ\AHB = kAKD (g.g), do đó AB=AD, suy ra điều cần phải chứng minh ABCD là hình thoi

Tất nhiên, khi trình bày lời giải chứng minh, ta sử dụng phương pháp suyxuôi như sau:

Xét hai tam giác vuông AHB và AKD ta có: AK = AH (giả thiết)

D = Ổ ( ABCD là hình bình hành)

Suy ra: &AHB =±AKD (cạnh góc vuông- góc nhọn)

=> AD = AB => ABCD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hỉnh thoi)

21

Ví dụ 1.11. Cho N4BC nhọn, các đường cao BK và CH căt nhau tại M Trên

BC lấy điểm D sao cho DB = DC Trên tia MD lấy điểm N sao cho DM = DN

a) Chứng minh tứ giác BMCN là hình bình hành

b) Chứng minh rằng tứ giác BKCN là hình thang vuông

c) Để tứ giác BMCN là hinh thoi thi AẨBC là tam giác gi? Vì sao?

Hình 1.11

c Ta thấy M là giao điểm của hai đường cao BK.CH của ỈSÀBC và BMCN là

hình bình hành nên:

Hình bình hành BMCN là hình thoi khi và chỉ khi

22

MNIBC^ADI BC (do M là trực tâm A45C)

Vậy điều kiện để tứ giác BMCN là hình thoi thì AABC là tam giác cân tại A

Phương pháp 4 Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

Hình thức đơn giản và phổ biến nhất của phương pháp quy nạp toán học suy luận rằng một mệnh đề liên quan đến một số tự nhiên n cũng đúng với tất cảcác giá trị của n Cách chứng minh bao gồm hai bước sau:

Bước cơ sở: chứng minh rằng mệnh đề đúng với số tự nhiên đầu tiên n.Thông thường, n = 0 hoặc n = 1, hiếm khi có n = -1 (mặc dù không phái là một số

tự nhiên, phần mở rộng của các số tự nhiên đến -1 vẫn áp dụng được)

Bước quy nạp: chứng minh rằng, nếu mệnh đề được dùng cho một số số tự nhiên n, sau đó cũng đúng với n + 1 Giả thiết ở bước quy nạp ràng mệnh đề đúng với các số n được gọi là giả thiết quy nạp Đe thực hiện bước quy nạp, phải giả sử giả thiết quy nạp là đúng và sau đó sử dụng giả thiết này đề chứng minh mệnh đề với n + 1

Việc n = 0 hay n = 1 phụ thuộc vào định nghĩa của số tự nhiên Nếu 0 được coi là một• số tự• nhiên, 7 bước cơ sở• được đưa ra bởi n =7 0 • Neu, mặt7 khác, 1 • đượcxem như là số tự nhiên đầu tiên, bước hợp cơ sở được đưa ra với n = 1

Chẳng hạn, trong hình học, khi đi chứng minh mà đề bài chỉ cho tam giácABC, ta phải chia thành các trường hợp: Tam giác vuông, tam giác nhọn, tamgiác tù để xét, việc ta đi xét tất cả các trường họp có thể xảy ra của tam giác bảnchất đó là quy nạp toán học, nghĩa là ta đang sử dụng quy nạp toán học để chứng minh

Trong khuôn khố luận văn này, tác giả sẽ tiếp cận phân loại chứng minh theo phương pháp suy ngược lùi (phân tích ngược) và phương pháp suy xuôi (phân tích xuôi)

23

1.3.2 Quy trình giải một bài toán chứng minh hình học

1.3.2.1 Quy trình giải toán của G.Polya

Dạy học giải toán là một trong những tình huống dạy học điển hình có vaitrò quan trọng trong môn Toán G.Polya cho rằng: “Bài tập đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phuơng tiện thích họp để đạt tới mục đích rõràng, nhưng không thể đạt được ngay” Ông chỉ rõ các thành phần cấu tạo của bài toán: “Trong bất cứ bài toán nào cũng có ẩn, nếu tất cả đều đă biết rồi thì không còn phải tim gì nữa Trong mỗi bài toán lại còn phải có một điều gì đó đã biết, hoặc đã cho (dữ kiện), nếu không cho trước cái gì cả thì không có một khả năng nào đế nhận ra cái cần tìm, cho dù nó ở ngay trước mắt ta thì ta cũng không thể nhận ra được Sau cùng, trong bất kì bài toán nào cũng phải có điều kiện cụ thể

1 r • 1 /\ • M /y ỵ Ạ 1 1 • /\ 1 * í 1 1 9 9 1 y *

hóa môi quan hệ giữa ân và các dữ kiện Điêu kiện là yêu tô căn bàn của bài toán” G.Polya đặc biệt nhấn mạnh đến ý nghĩa quan trọng của việc dạy cho học sinh biết tự phát hiện, tìm tòi cách giải quyết bài toán

Theo tư tưởng sư phạm của G.Polya, ông đã đưa ra phương pháp chung để giải bài toán theo quy trinh bốn bước: Tìm hiếu nội dung đề bài- Tìm cách giải-

Trình bày lời giải- Nghiên cứu sâu lờỉ giải.

Phân tích chi tiết và cụ thể hành động trong từng bước, G.Polya viết nhưsau:

Bước 1 Tìm hiểu nội dung đề bài

- Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Đâu là điều kiện? Cái phải tim có thể thóamãn các điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâuthuẫn?

- Hãy vẽ hình Hãy sử dụng các kí hiệu thích họp

- Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điều kiện đóthành công thức hay không? [19, tr.395]

24

- Bạn đã gặp bài toán này lân nào chưa? Hay đã gặp bài toàn này ở một dạng hoi khác?

- Hãy xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng cáichưa biết hay có cái chưa biết tương tự?

- Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp dụng một định

lí nào đó không?

- Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể sửdụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phương pháp giải bài toán đó Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụngđược bài toán đó hay không?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một cách khác nừa? Quay về những định nghĩa

- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán có liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tống quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thế giải một phần bài toán hay không? Hãygiữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó cái cần tìm được xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay không? Có thể thay đổicái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?

- Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiện haychưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

- Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗi bướcđều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán hay không?

- Có thể tỉm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngaykết quả không?

25

- Neu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ra lời giải ngắn gọn và hợp lí nhất [19, tr.395].

- Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ nêu ở bước 2

- Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện,

những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điểu chỉnh những chỗ cần thiết

- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán tương

tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác hay không?

- Đây là bài toán mà bạn đã có lần giài nó rồi, bạn có thể áp dụng được gì ở

nó? Phương pháp? Kết quả? Hay phải đưa thêm yếu tố phụ vào mới áp dụng được? [19, tr.395]

Trong quá trình giải toán, con người luôn có mong muốn có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán, điều đó là không thể Ngay cả đối với những lớp

bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp không có thuật giải Tuy

nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện

cách giải bài toán lại là có thế và cần thiết

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết cùa

G.Polya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học,

Nguyễn Bá Kim đã nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước r. Tìm hiểu nội dung đề bài

• Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung

bài toán;

• Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;

26

• Có thề dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề

bài

Bước 2: Tìm cách giải

• Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến

đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đãcho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nap toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích v.v,

• Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hoá

kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,

• Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí

nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trinh gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cún sâu lời giải

• Đánh giá toàn bộ lời giải đã thực hiện

• Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

• Nhận diện được các dạng bài tập điển hình

• Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

[19, tr.389]

1.3.2.3 Các bước giải một bài toán chứng minh hình học

Như vậy, ở các tác giả trên đều có những điểm chung trong các quy trình giải toán, trong luận văn này tôi sẽ tiếp cận theo quy trình giải toán của G.Polya

Do đó, theo tôi quy trình giải bài toán chứng minh gồm bốn bước sau:

27

Bước ỉ Vẽ hình và xác định giả thiết- kết luận

Trong bước này, ta xét hai dạng chủ yếu thường gặp sau:

Dạng 1 Đề bài đã cho tường minh về dữ kiện, HS dễ dàng vẽ hình và xác địnhđược luôn giả thiết- kết luận của bài toán

b) Tam giác AEF đều

Ví dụ 1.13. Cho góc xOy và tia phân giác Ot Từ điểm M thuộc Oz kẻ MA // Oy

28

Dạng 2. Đề bài cho bài toán tổng quát, HSphải xét một hình cụ thể, đặc biệt hóa

đê vẽ hình và viết giả thiết- kết luận

Ví dụ 1.14 Chứng minh hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.Trong bài toán này, học sinh cần đặc biệt hóa bài toán đã cho thành một hình cụthể như sau:

Cho hình thang ABCD (AB\\CD\ có AC=BD. Chứng minh ABCD là hìnhthang cân

Hình 1.14

Hình thang ABCD ( AB\\CD), cỏ AC = BD.

KL ABCD là hình thang cân

Học sinh thường sử dụng các cách sau:

căn cứ suy luận thì sử dụng cách chứng minh trực tiếp

Cách 2: HS không nhìn thấy được ngay thì sẽ sử dụng phương pháp suy ngượclùi để tìm hướng chứng minh phân tích

Cách 3: Nếu chứng minh trực tiếp khó khăn ta sẽ dùng phương pháp chứng minhphản chứng

cách chứng minh trực tiếp (lời giải được trình bày ở bước 3 dưới đây).

29

Sau khi đọc và phân tích đê bài, viêt GT-KL, tìm hướng chứng minh, HS sẽđến bước trình bày lời giải chứng minh Trong quá trình này, HS cần lưu ý cácvấn đề sau:

- Phải trình bày lời giải một cách gọn gàng, chính xác, mạch lạc và sángsủa khi đã biết được cách giải bài toán

- Trình tự tim tòi lời giải có thể rất khác với trình tự trình bày trong lời giải,

do đó phải sắp xếp, chọn lọc và trình bày kiến thức một cách hợp lí, khoa học

Đối với vỉ dụ 1.12 ở trên ta có thê trình bày chứng minh như sau:

a) Vì AC là phân giác của BCD (do ABCD là hình thoi)

nên A cách đều hai cạnh BC và CD.

b) Hình thoi ABCD có AB = BC và ABC = 60 nên

±ABC đều

Do đó đường cao AF cũng là đường phân giác, suy ra

Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được CAE - 30 °

Suy ra EAF = 60°, vậy &AEF đều

Tiếp theo, với ví dụ 1.13 ta trình bày lời giải như sau:

Ta có MA // Oy suy ra MA // OB (1)

MB//Ox suy ra MB//OA (2)

Từ (1) và (2) suy ra OAMB là hinh bình hành (*)

Mà OM là phân giác của góc AOB (**)

Từ (*) và (**) suy ra OAMB là hình thoi

(theo dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Bước 4 Nghiên cứu sâu về cách chứng minh.

30

Khi hướng dẫn học sinh phân tích mỗi bài toán, giáo viên tùy vào tình hình học sinh và tính chất bài tập mà thêm vào các bước mở rộng hon, như có cáchgiải nào khác không? Có thể phát triển thay đổi đề toán thành một đề khác tương

tự hay không? Nghĩa là, trong bước nghiên cứu sâu này, HS cần nhìn lại lời giảicủa bài toán và lưu ý các vấn đề sau:

- Rà soát lại kết quả và trình tự quá trinh giải toán

- Nghiên cứu xem bài toán có những lời giải khác hay không? Lời giải đàđược lựa chọn có phải là duy nhất không?

- Phân tích tổng quát xem phương pháp và kết quả này có thể sử dụng chomột bài toán khác hay không?

- Tim cách đề xuất những bài toán khác nhờ tương tự, tổng quát hóa từ những kết quả đã thu được

Đổi với vỉ dụ ỉ 13 ở trên ta có thê đề xuất hài toán tương tự như sau:

Ví dụ 1.15. Cho hình bình hành ABCD có 2 đường cao AH = AK Chứng minh ABCD là hình thoi

Hình bình hành ABC: AH=AKABCD là hình thoi

Hình 1.15

Nhận xét: Trong ví dụ này, sau khi phân tích đề hài, viết GT-KT, HS cỏ thể dễ dàng nhận ra cách chứng minh trực tiếp hằng cách sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi.

Xét hai tam giác vuông AHB và AKD ta có:

31

AK = AH (gt).

Ũ = s (do ABCD là hình bình hành)

=> AD = AB => ABCD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi )

1.4 Các kỹ năng thành tố của kỹ năng chứng minh hình học

Trong luận văn này chúng tôi cho rằng, để rèn luyện cho HS các kỹ năngchứng minh thì cần rèn luyện cho HS các kỹ năng tương ứng với các bước ở trong quy trình giải bài toán chứng minh Do đó, dựa trên các bước trong quy trình giải bài toán chứng minh và đặc thù của chứng minh hình học, ta có thể xácđịnh các kỹ năng chứng minh hình học của học sinh bao gồm:

Trong phần này, GV cần dạy cho HS kỹ năng vẽ hình như thế nào? Tức là

GV cần giải thích cho HS kỹ năng vẽ hình bao gồm những gì? HS cần biểu thịđược các thông tin từ giả thiết trên hình vẽ, đồng thời chọn được góc độ vẽ hình cho họp lí đế sao cho hình vẽ được trực quan nhất, đảm bảo các quy định, nguyêntắc về vẽ hình phẳng

Kỹ năng 2 Xác định giả thiết- kết luận

Trong kỹ năng này, HS cần xác định rõ điều đã cho, điều phái tìm, và đôikhi phải biết biểu đạt được điều phải tìm để xác định rõ mục đích chứng minh(nghĩa là phái cụ thề hóa được yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm nếu đề bài cho dưới dạng tổng quát)

Trong phần này, HS phải biết sử dụng các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, tương tự, quy nạp, khái quát hóa, đặc biệt hóa, biết lập sơ đồ tư duy phân tích ngược từ dưới lên Đe từ đó phát hiện ra hướng chứng minh, kết nốigiữa giả thiết với mục đích cần chứng minh

32

Trong phân này HS phải có kỹ năng săp xêp các bước chứng minh một cáchlogic, khoa học, biết trình bày phần nào trước, phần nào sau, tránh trình bày luẩn quẩn Trình bày chứng minh phải phải rõ ràng, khoa học, lập luận phải chặt chẽ.

Kỹ năng 5 Nghiên cứu sáu về cách chứng minh

Trong phần này HS cần tư duy xem xét xem, ngoài cách chứng minh này còncách chứng minh nào khác hay không? So sánh giữa các cách chứng minh để tìm được cách chứng minh tối ưu Ngoài ra, HS phải biết ứng dụng của phương pháp chứng minh này với các dạng bài tập chứng minh khác Qua đó, HS có thề đưa ra

được các bài toán tương tự, mở rộng, hoặc đặc biệt hóa từ các bài toán chứng minh trên

Ví dụ 1.16 Cho hình bình hành ABCD Gọi E là trung diêm của AD, F là trung điểm của BC Chứng minh:

xác định rõ điều đà cho, điều phải tìm,

Sơ đồ phân tích ngược trên giúp cho

HS có kỹ năng hình thành cách chứng minh và trình bày lời giải một cách khoa học, logic Để trình bày lời giải ta chỉ việc trình bày ngược lại từ dưới đi lên