KHẢO SÁT ĐỘNG LỰC HỌC TAY MÁY TƯƠNG TÁC MA SÁT COULOMB

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Y khoa - Dược - Sư phạm Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-2072019, tr. 338-343, DOI 10.15625vap.2019000299 Khảo sát động lực học tay máy tương tác ma sát Coulomb Đỗ Đăng Khoa1) , Ngô Hồng Đăng 2) , Phan Đăng Phong2) , Đỗ Sanh 1) 1) Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, 2) Viên Nghiên cứu Cơ khí Email: dangnhnarime.gov.vn Tóm tắt: Trong cuộc cách mạng công nghệ 4.0 tay máy đóng vai trò quan trọng không những trong những công việc thực hiện các công việc phức tạp, nặng nhọc, nguy hiểm mà còn cả trong các lĩnh vực trí tuệ nhân tạo như trong việc thay thế con người trong việc phục vụ, trong việc giao tiếp, … Tay máy ngày nay không những đóng vai trò quan trọng các trong lĩnh vực công nghiệp, y tế, mà cả trong lĩnh nghệ thuật như điêu khắc, bài toán này được giải quyết theo phương pháp điều khiển chương trình. Như vậy, cơ sở để khảo sát động lực học tay máy không chỉ liên quan đến các kiến thức về động lực học chịu liên kết vật chất mà còn mở rộng sang lĩnh vực cơ hệ chuyển động với liên kết chương trình, gắn kết rất chặt chẽ với bài toán điều khiển. Trong bài báo đề xuất phương pháp xử lý bài toán động lực học tương tác môi trường với giả thiết lực tương tác từ môi trường lên tay máy theo quy luật của ma sát Coulomb. Khó khăn gặp phải là lực ma sát phụ thuộc vào các thông số vật lý của môi trường tiếp xúc, là những lực chưa được xác định mà định luật ma sát Coulomb lại cho biết qui luật thay đổi lực này theo lực chưa biết khác là phản lực pháp tuyến. Trong bài báo sử dụng Nguyên lý Phù hợp để đưa cả phản lực pháp tuyến và lực ma sát vào phương trình mô tả chuyển động cơ hệ, trong khi hiện giờ chỉ chú ý đến phương trình loại trừ các phản lực pháp tuyến. Từ khóa: Nguyên lý Phù hợp, Định luật ma sát Coulomb, Phương trình chuyển động dạng ma trận, Tích phân đầu và phương trình chuyển động. 1. Cơ sở lý thuyết 1.1. Phương trình chuyển động cơ hệ với liên kết vật chất Khảo sát cơ hệ vị trí được xác định qua m tọa độ suy rộng chuyển động của nó bị ràng buộc bởi r liên kết dạng 1 2( , , ,.. ) 0; 1,mf t q q q r    (1) Xét trường hợp liên kết (1) có tương tác với môi trường qua phản lực liên kết. Liên kết này được gọi là liên kết vật chất, phân biệt với liên kết chương trình 1,2,3,6,10,11,12. Từ đây sử dụng các ký hiệu: ma trận được viết bởi nét đậm, véctơ được đồng nhất với ma trận cột (tức ma trận cỡ (mx1)), ký hiệu T ở góc cao nhất bên phải ký tự ký hiệu phép tính chuyển vị ma trận. Như đã biết trong trường hợp liên kết (1) là lý tưởng, phương trình chuyển động có thể được viết trong dạng ma trận 10,11,12. qt DAq D(Q + Q ) (2) Trong đó: A -ma trận quán tính cỡ (mxm); q - ma trận của các gia tốc suy rộng, cỡ (mx1); Q -ma trận cỡ (mx1) của các lực suy rộng của các lực gồm các lực phát động, lực có thế, lực cản nhớt; qt Q -ma trận cỡ (mx1) được tính từ ma trận A; D - ma trận các hệ số trong biểu thức biểu diễn các gia tốc theo các gia tốc độc lập nhờ hệ các phương trình liên kết (1), tức ma trận D cỡ ( k m ) với k m r  , số gia tốc độc lập, tức ma trận D có dạng: ; 1, ; 1, ;jd k j m k m r        D (3) Nói cách khác ta có: 1 ; 1, k m r j j jq d q d j m           (4) Trong đó ( 1, )jq j m  các gia tốc của cơ hệ, ( 1, )q k m r       các gia tốc suy rộng độc lập. Các hệ số jd  là hàm của thời gian và tọa độ suy rộng, không phụ thuộc vào gia tốc suy rộng, được tìm từ việc giải phương trình nhận được từ đạo hàm hai lần theo thời gian hai vế phương trình (1). Trong trường hợp tổng quát, liên kết (1) thuộc loại không lý tưởng. Dựa vào Nguyên lý Phù hợp phương trình chuyển động của cơ hệ sẽ có dạng qt ms DAq D(Q + Q + Q ) (5) Trong đó ms Q là lực suy rộng của các thành phần tiếp tuyến của lực tương tác từ môi trường tác động lên cơ hệ, được gọi là các lực ma sát, chúng được tính theo công thức: ; 1,kms ms k i i m q       r Q F (6) Phương trình chuyển đông của cơ hệ với ma sát bây giờ sẽ là )kqt ms k i = 1,m qi      r DAq = D(Q + Q + F ; (7) Các lực ms k  F tiêu hao năng lượng khi cơ hệ chuyển động (tiêu hao công), nó phụ thuộc vào tính chất vật lý của môi trường tiếp xúc. Theo Nguyên lý Phù hợp chuyển động của phương trình (7) cùng với phương trình (1) sẽ mô tả chuyển động cơ hệ có tương tác (liên kết vật chất) với mô trường. Như vậy chuyển động với liên kết không lý tưởng phụ thuộc vào thành phần tiếp tuyến của lực tác động môi trường lên cơ hệ. Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh Bài toán sẽ được xác định với lực ma sát được xác định. Nói khác đi cần xác định lực ma sát  ms kF và thay vào phương trình (7). Hay tổng quát cần xác định được lực suy rộng của các lực ma sát. Chỉ khi đó chuyển động cơ hệ được khảo sát mới được xác định với điều kiện đầu cho trước. 1.2. Xây dựng lộ trình giải bài toán 1.2.1. Chọn các tọa độ suy rộng đối với cơ hệ không chịu liên kết, tức cơ hệ được giải phóng khỏi các liên kết (1) và xây dựng các ma trận truyền để tính các đại lượng vận tốc và gia tốc, ma trận quán tính, các lực suy rộng kể cả các lực suy rộng của các lực ma sát. Ma trận D là ma trận của các hệ số trong biểu thức gia tốc suy rộng khi biểu diển chúng qua các gia tốc độc lập nhờ phương trình liên kết (1) được viết trong biểu thức các gia tốc, tức phương trình liên kết được viết trong dạng:2,3,4,7,9 2 1 , 1 2 2 2 1 2 0 ; 1, i j i m m i i i ji i j m i i f f f q q q q q q f f q r t q t                                  (8) Đưa vào định luật ma sát Coulomb tại các điểm tiếp xúc cơ hệ với môi trường: ms k k kF f N (9) 1.2.2. Tách cơ hệ, chọn vật có chứa các lực ma sát và viết phương trình cân bằng vật được tách để cùng với phương trình (9) khử các lực pháp tuyến kN và từ đó tính được các lực ma sát : ( , , , )ms ms k k i i iF F t q q q   (10) 1.2.3. Hệ phương trình (7), (8), (9) sẽ cho lời giải bài toán đặt ra, mô tả chuyển động của cơ hệ chịu tương tác ma sát Coulomb từ môi trường 2. Thí dụ Khảo sát động lực của tay máy chịu tương tác với môi trường. Tay máy gồm 3 khâu, trong đó 2 khâu quay và 1 khâu tịnh tiến. Khâu OA quay quanh trục qua O có chiều dài 1l , khối lượng 1m , trọng tâm tại O, có mômen quán tính đối với O bằng 1J , chịu tác dụng ngẫu lực có mô men 1M . Xy lanh có khối lượng 2m , có thể quay quanh trục qua A, có trọng tâm tại C2 ( 2 2C A c ), mômen quán tính đối với trục qua khối tâm bằng 2J , chịu tác dụng ngẫu lực có mômen 1M . Pittông BC có chiều dài 3l , có khối lượng 3m , có trọng tâm tại C3 ( 3 3C B c ), mômen quán tính đối với trục qua khối tâm bằng 3J chuyển động dưới tác dụng của lực đẩy F . Hệ số cản nhớt tại các khớp quay là 1 2,b b và lực cản nhớt đối với pit tông bằng 3b . Yêu cầu đối với tay máy là điểm cuối D của pit tông (khâu thao tác) di chuyển theo đường nghiêng KL có phương trình: 1 3( )y ax a l l   (11) Trong đó a- hằng số định trước và chịu lực tương tác môi trường theo quy luật ma sát Coulomb: msF fN (12) f const - hệ số ma sát Coulomb. Vị trí cơ hệ được giải phóng được xác định nhờ các tọa độ suy rộng 1 2, ,u   trong đó 1 2,   là các góc định vị của khâu OA đối với hệ quy chiếu cố định và của AB đối với khâu OA, còn u - xác định vị trí của pit tông CD đối với xy lanh AB (xem Hình 1). Bài toán đặt ra là xác định chuyển động tay máy 1 2{ (t), (t),u(t)}   với điều kiện đầu đã cho. Các ma trận truyền có dạng sau 10,11,12: 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 3 11 1 1 2 2 21 2 2 31 cos sin 0 cos sin sin cos 0 ; sin cos 0 ; 0 0 1 0 0 1 1 0 sin cos 0 0 1 0 ; cos sin 0 ; 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 1 cos sin 0 ; 0 0 0 0 0 0                                                                     l t t u t t t t ; 0 0 0          1 1 2 2 12 1 1 12 2 2 cos sin 0 cos sin 0 sin cos 0 ; sin cos 0 ; 0 0 0 0 0 0                                 t t 1 1 32 12 1 1 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 ; sin cos 0 ; 0 0 0 0 0 0                          t T Hình 1. Mô hình khảo sát Khảo sát động lực học tay máy tương tác ma sát Coulomb 2 2 12 2 2 32 cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 ; 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0                          T T (13) Các ma trận chuyển vị có dạng sau: 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 3 cos sin 0 cos sin 0 sin cos 0 ; sin cos 0 ; 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 ; 0 1                                       T T l T u             2 3 3 2 2 3 3 3 2 0 1 ; 3 0 1 ; 0 1 ; 0 1 ; 0 1 ; 0 1       T T T r c r c r l R c R c R l Vận tốc điểm tiếp xúc D giữa tay máy và môi trường có biểu thức: Ma trận quán tính A cỡ (3x3) có dạng sau: 11 12 13 12 22 23 13 23 33 a a a a a a a a a          A (14) Các yếu tố của ma trận quán tính được tính dựa vào các ma trận truyền 1,11,12: 11 2 2 2 11 11 2 2 3 3 3 2 11 11 2 3 3 1 2 3 2 2 2 1 2 3 3 1 3 2 1 2 3 12 2 2 21 1 11 2 2 3 3 3 21 1 11 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 3 1 3 2 2 3 13 3 (1 cos ) (( ) ( ) cos ) ; (1 cos ) (( ) ( ) cos ) ; a m R T T t t r m R T T T t t t r J J J m l m c u l c u J J J a m R T T t t r m R T T T t t t J J m l m c u l c u J J a m                                3 31 2 1 11 2 3 3 3 1 2 22 2 2 21 1 1 21 2 3 3 3 21 1 1 21 3 3 2 2 2 3 2 1 3 3 2 3 23 3 3 31 2 1 1 21 3 3 33 3 3 3 2 1 1 2 3 3 3 sin ( ) 0 R T T T t t t r m l a m R T T t t r m R T T T t t t r J J m ...

Khảo sát động lực học tay máy tương tác ma sát Coulomb

Đỗ Đăng Khoa1), Ngô Hồng Đăng2), Phan Đăng Phong2), Đỗ Sanh1)

1)Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, 2) Viên Nghiên cứu Cơ khí Email: dangnh@narime.gov.vn

Tóm tắt:

Trong cuộc cách mạng công nghệ 4.0 tay máy đóng vai trò quan trọng không những trong những công việc thực hiện các công việc phức tạp, nặng nhọc, nguy hiểm mà còn cả trong các lĩnh vực trí tuệ nhân tạo như trong việc thay thế con người trong việc phục vụ, trong việc giao tiếp, …

Tay máy ngày nay không những đóng vai trò quan trọng các trong lĩnh vực công nghiệp, y tế, mà cả trong lĩnh nghệ thuật như điêu khắc, bài toán này được giải quyết theo phương pháp điều khiển chương trình Như vậy, cơ sở để khảo sát động lực học tay máy không chỉ liên quan đến các kiến thức về động lực học chịu liên kết vật chất mà còn mở rộng sang lĩnh vực cơ hệ chuyển động với liên kết chương trình, gắn kết rất chặt chẽ với bài toán điều khiển

Trong bài báo đề xuất phương pháp xử lý bài toán động lực học tương tác môi trường với giả thiết lực tương tác từ môi trường lên tay máy theo quy luật của ma sát Coulomb Khó khăn gặp phải là lực ma sát phụ thuộc vào các thông số vật lý của môi trường tiếp xúc, là những lực chưa được xác định mà định luật ma sát Coulomb lại cho biết qui luật thay đổi lực này theo lực chưa biết khác là phản lực pháp tuyến Trong bài báo sử dụng Nguyên lý Phù hợp để đưa cả phản lực pháp tuyến và lực ma sát vào phương trình mô tả chuyển động cơ hệ, trong khi hiện giờ chỉ chú ý đến phương trình loại trừ các phản lực pháp tuyến

Từ khóa: Nguyên lý Phù hợp, Định luật ma sát Coulomb,

Phương trình chuyển động dạng ma trận, Tích phân đầu và phương trình chuyển động

Như đã biết trong trường hợp liên kết (1) là lý tưởng, phương trình chuyển động có thể được viết trong dạng ma trận [10,11,12]

Trong trường hợp tổng quát, liên kết (1) thuộc loại không lý tưởng Dựa vào Nguyên lý Phù hợp phương trình chuyển động của cơ hệ sẽ có dạng

Trong đóQ là lực suy rộng của các thành phần tiếp ms

tuyến của lực tương tác từ môi trường tác động lên cơ hệ, được gọi là các lực ma sát, chúng được tính theo công thức:

DAq = D(Q + Q +F; (7)

Các lực msk

F tiêu hao năng lượng khi cơ hệ chuyển động (tiêu hao công), nó phụ thuộc vào tính chất vật lý của môi trường tiếp xúc

Theo Nguyên lý Phù hợp chuyển động của phương trình (7) cùng với phương trình (1) sẽ mô tả chuyển động cơ hệ có tương tác (liên kết vật chất) với mô trường Như vậy chuyển động với liên kết không lý tưởng phụ thuộc vào thành phần tiếp tuyến của lực tác động môi trường lên cơ hệ

Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh

Bài toán sẽ được xác định với lực ma sát được xác định Nói khác đi cần xác định lực ma sát 

F và thay vào phương trình (7) Hay tổng quát cần xác định được lực suy rộng của các lực ma sát Chỉ khi đó chuyển động cơ hệ được khảo sát mới được xác định với điều kiện đầu cho trước

1.2 Xây dựng lộ trình giải bài toán

1.2.1 Chọn các tọa độ suy rộng đối với cơ hệ không chịu liên kết, tức cơ hệ được giải phóng khỏi các liên kết (1) và xây dựng các ma trận truyền để tính các đại lượng vận tốc và gia tốc, ma trận quán tính, các lực suy rộng kể cả các lực suy rộng của các lực ma sát Ma trận D là ma trận của các hệ số trong biểu thức gia tốc suy rộng khi biểu diển chúng qua các gia tốc độc lập nhờ phương trình liên kết (1) được viết trong biểu thức các gia tốc, tức phương trình liên kết được viết trong dạng:[2,3,4,7,9]

( , , , )

F Ft q q q  (10) 1.2.3 Hệ phương trình (7), (8), (9) sẽ cho lời giải bài toán đặt ra, mô tả chuyển động của cơ hệ chịu tương tác ma sát Coulomb từ môi trường

2 Thí dụ

Khảo sát động lực của tay máy chịu tương tác với môi trường Tay máy gồm 3 khâu, trong đó 2 khâu quay và 1 khâu tịnh tiến Khâu OA quay quanh trục qua O có chiều dàil1, khối lượngm1, trọng tâm tại O, có mômen quán tính đối với O bằng J1, chịu tác dụng ngẫu lực có mô men M1 Xy lanh có khối lượng m2, có thể quay quanh trục qua A, có trọng tâm tại C2 (

C Ac ), mômen quán tính đối với trục qua khối tâm bằngJ2, chịu tác dụng ngẫu lực có mômenM1 Pittông BC có chiều dài l3, có khối lượngm3, có trọng tâm tại C3 (C B3c3), mômen quán tính đối với trục qua khối tâm bằng J3chuyển động dưới tác dụng của lực đẩyF

Hệ số cản nhớt tại các khớp quay làb b1,2và lực cản nhớt đối với pit tông bằng b3 Yêu cầu đối với tay máy

là điểm cuối D của pit tông (khâu thao tác) di chuyển theo đường nghiêng KL có phương trình:

Trong đó a-hằng số định trước và chịu lực tương

tác môi trường theo quy luật ma sát Coulomb:  

đối với khâu OA, còn u- xác định vị trí của pit tông CD

đối với xy lanh AB (xem Hình 1)

Bài toán đặt ra là xác định chuyển động tay máy

1 0 00 1 0 ;

233 3 31 2 1 1 21 3 3333 3 3 2 1 1 2 3 33

(18)

Còn thành phần Q là ma trận cỡ (3x1) được tính qt2theo biểu thức [10-12]:

 

um cu

 

 

(21)

Lực Q là ma trận (3x1) gồm các lực tác dụng (các ngẫu lực M M và lực F) và các lực có thế được tính 1, 2

theo hàm thế năng:

Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh

F b uu

Trong hệ phương trình (30) chứa lực ma sát được xác định theo biểu thức (12) Do đó cần xác định lực Fms.Cho muc đích này ta tách khâu thao tác CD và sử dụng phương pháp Tĩnh hình học động lực cho hệ lực tác dụng lên khâu này:

P trọng lượng khâu BC (P3=m3g),RC  phản lực tại C,F3qt,Mqt  lực và ngẫu lực thu gọn hệ

lực quán tính khâu CB; , ms

N F phản lực môi

trường tác dụng lên khâu thao tác tại D (phản lực

pháp tuyến và lực ma sát theo định luật ma sát Coulomb (12))

M và 3

F - mô men và lực thu gọn của các lực

quán tính của khâu CD thu gọn về khối tâm của khâu CD :

t t t rt t t rt t t r ut t t rt t t rt t t r

3 1131213

F lm F

Từ đây tính được lực ma sát Fmsvà thay thế nó vào phương trình (31), khi giải nó với điều kiện đầu cho sẽ xác định được chuyển động của tay máy

Các điều kiện đầu được chọn như sau:

(0) 0; (0) 0; (0) 0;,(0) 0; (0) 0; (0) 0.

 Hình 2 Quỹ đạo chuyển động q1(t)

 Hình 3 Quỹ đạo chuyển động q2(t)

Hình 4 Quỹ đạo chuyển động q3(t)

Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh

Đã sử dụng phương pháp ma trận truyền và phương trình chuyển động dạng ma trận để xử lý phương trình chuyển động

Đã minh họa các kết quả nhận được qua một thí dụ tay máy ba bậc tự do và qua đồ thị minh họa kết quả đáng chú ý: sai số quỹ đạo đạt được sai lệch chỉ khoảng 10-6

Tài liệu tham khảo

[1] Galiulin F.R., Constructing Systems of Controlled

Motion Controlled motion, Publish "Nauka" (in

Rusian), 1971

[2] DoSanh, On the principle of Compatibility and the

Equations of Motion of a Constrained Mechanical System, ZAMM, pp 210-212, 1980

[3] DoSanh, On the Problem of First Integrals of Mechanical Systems, Problems of Nonlinear Vibration, Nr 20, pp 55-70, Varsaw

[4] Erughin N.P., Construting a Set of Differential Equations Having Given Trajectory, Applied Matematics and Mechanics (PMM), No 6, 1952

[5] Rumantsep V.V., Về chuyển động các hệ với liên kết

không lý tưởng, Vestnist MGU N04 1961

[6] Rumantsep V.V., Cơ hệ với ma sát, PMM, N06, 1961 [7] Đỗ Sanh, Luận án Tiến sĩ khoa học, Đại học Bách

Khoa Hà Nội, 1984

[8] Gutowski R., Analytical Mechanics, PWN, 1995

[9] Do Sanh, Dinh Van Phong, Do Dang Khoa, Tran Duc,

A Method for Solving the Motion of Constrained Systems, Proceedings of the 16th Asian Pacific

Vibration Conference APVC 2015, Hanoi, Vietnam [10] Đỗ Sanh, Cơ học kỹ thuật, NXB Giáo dục, 2008

[11] Đỗ Sanh, Đỗ Đăng Khoa, Quy luật nhân quả - cơ sở

của Cơ học Newton và Nguyên lý Phù hợp, Kỷ yếu Hội

nghị Toàn quốc về Cơ kỹ thuật, Đà Nẵng, 2015 [12] Do Sanh, Analytical Mechanics, Publs Bach khoa,

Hanoi 2008 (in Vietnamese)

[13] Đỗ Sanh, Đỗ Đăng Khoa, Điều khiển tối ưu các hệ

động lực - Điều khiển chương trình và Điều khiển tối ưu

[14] Do Sanh, Do Dang Khoa, Analytical Dynamics, Publ

Bachkhoa, pp 52-61, 2007

[15] Le Xuan Anh, Dynamics of Mechanical Systems with

Coulomb Friction, Springer-Verlag Berlin Heidelberrg

2003

[16] Vu Duc Binh, Do Dang Khoa, Phan Dang Phong, Do

Sanh, Analysics of Manipulator Dynamics in

Interaction with Environment, Vietnam Journal of

Science and Technology, 2019