Bài giảng xstk nnp (p1 3)

Xac suat thong ke Bài giảng xstk nnp (p1 3) Bài giảng xstk nnp (p1 3) Bài giảng xstk nnp (p1 3)

Xác suất & Thống kê

Bài giảng môn học

Trường Đại học Ngân hàng TPHCM – Bộ môn Toán kinh tế

GV: Nguyễn Ngọc Phụng

Phần 1: Tính xác suất của một biến cố

A1 Các khái niệm

- Phép thử là việc thực hiện một nhóm điều kiện xác định

để quan sát một số đặc tính của một số đối tượng

Lưu ý: Một phép thử lớn có thể gồm nhiều phép thử nhỏ hơn

Ví dụ 1.1

- Tung 1 con xúc xắc cân đối, và xem số chấm của mặt trên cùng là bao nhiêu?

- Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết cục có thể xảy ra của phép thử, được ký hiệu là 

Ví dụ 1.2

-Tung 1 con xúc xắc cân đối, và xem số chấm của mặt trên cùng là bao nhiêu?

- Tung 2 con xúc xắc cân đối, và xem số chấm của mặt trên cùng của chúng lần lượt là bao nhiêu?

- Nhắc lại về Chỉnh hợp và Tổ hợp

- Giống nhau: Lấy k phần tử phân biệt từ n phần tử phân

biệt

- Khác nhau: Chỉnh hợp quan tâm đến thứ tự phần tử lấy

ra, trong khi tổ hợp thì không; tổ hợp quan tâm đến những phần tử cuối cùng lấy được là gì Ký hiệu lần lượt là

- Xác suất của biến cố A trong một phép thử là khả năng

xảy ra của biến cố A khi thực hiện phép thử đó Công thức

- Lưu ý: Khi thay đổi phép thử thì nhìn chung xác suất của biến cố đó là sẽ thay đổi.

Ví dụ 1.4

a) Tính xác suất lấy được 3 bi đỏ,

biết rằng chọn ngẫu nhiên 3 bi

từ hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh

b) Tính xác suất lấy được 3 bi đỏ,

biết rằng chọn ngẫu nhiên 4 bi

từ hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh

B1.2 Công thức cộng cho 3 biến cố tổng quát

Ví dụ 1.5

a) Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 12 bạn giỏi

Toán, 8 bạn giỏi Tin và 4 bạn giỏi cả Toán và Tin Lớp

trưởng chọn ngẫu nhiên 2 bạn trong lớp, tính xác suất

cả 2 bạn được chọn đều giỏi ít nhất một trong hai

ba môn trên

B1.3 Công thức cộng cho n biến cố xung khắc từng đôi

B1.5 Công thức xác suất có điều kiện

- Biến cố A biết được rằng đã xảy ra, khi đó xác suất biến cố

B xảy ra, được ký hiệu là

- Công thức tính

P(B / A)

AB A

bi đỏ và để ngoài hộp Sau đó người thứ

B1.6 Công thức nhân 2 biến cố tổng quát

A thắng đội B là 0,55 Đội A được đánh giá yếu hơn đội C, nhưng nếu thắng được đội

B thì sẽ lên tinh thần và khả năng thắng đội C là 0,4 Tính khả năng đội A đoạt cup

P(AB) P(A / B)

P(B)



- Từ đó ta có

B1.7 Công thức nhân 3 biến cố tổng quát

Có 3!=6 cách triển khai công thức Dưới đây là 2 cách trong

số chúng

1 2 3 1 2 1 3 1 2

3 2 3 1 2 3

P(A A A ) P(A ).P(A / A ).P(A / A A )

P(A ).P(A / A ).P(A / A A )

B1.8 Công thức nhân cho n biến cố độc lập với nhau

có 3 phế phẩm và hộp 3 có 4 phế phẩm, các sản phẩm còn lại trong các hộp là chính phẩm Chọn ngẫu nhiên

từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm, tính xác suất lấy được tổng cộng 2 chính phẩm

B1.9 Công thức bù có điều kiện

Kế thừa công thức bù và công thức xác suất có điều kiện, ta được

P(A / B) P(A / B) 1  

Biết rằng khả năng A thắng B là 0,8, nếu B thắng C thì khả năng A thua C là 0,6 Biết

Ví dụ 1.12

Có 3 đội bóng thi đấu vòng tròn với nhau, hai đội chỉ

gặp nhau 1 lần và kết quả mỗi trận đấu chỉ có thắng

hoặc thua Theo thứ tự đội A gặp đội B trước, sau đó

B gặp C và cuối cùng là A gặp C

B1.11 Công thức Bernoulli 3 kết cục

D  C p C  q (1 p q)    P

Nếu ta có một phép thử lớn gồm n phép thử độc lập Ở

mỗi phép thử chỉ có 1 trong 3 biến cố sau xảy ra với xác

suất đều là hằng số, P(A)=p, P(B)=q, P(C)=1-p-q

Khi đó, xác suất của biến cố D trong n phép thử có k phép thử A xảy ra, l phép thử B xảy ra và (n-k-l) phép thử C xảy ra là

Ví dụ 1.14

Trong một trò chơi, xác suất thắng nhân 2 số tiền của

người chơi là 18/37, xác suất thua toàn bộ số tiền đặt

cược cũng là 18/37 và xác suất mất 50% số tiền đặc cược

là 1/37

Giả sử người chơi này đặt cược với số tiền không đổi ở mỗi lần chơi Tính xác suất người này chơi 5 lần và tổng cộng mất 50% số tiền đặt cược ở một lần chơi

B1.12 Công thức xác suất đầy đủ

A1, ,An là một phép phân hoạch

hay một bộ n biến cố xung khắc

từng đôi và đầy đủ

Nguyễn Ngọc Phụng

Ví dụ 1.15

Hãy xác định ít nhất một phép phân hoạch lần lượt

cho các phép thử sau đây

nhau

21

Khi đó, xác suất của một biến cố B bất kỳ sẽ được tính

thông qua công thức xác suất đầy đủ sau đây

    B  1 1    2 2    n n 

P P A P B/A P A P B/A + +P A P B/A

Ví dụ 1.16

Có 2 hộp sản phẩm, hộp một có 8 chính phẩm và 2 phế

phẩm, hộp hai có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm

a) Chọn ngẫu nhiên một hộp Hãy xác định phép phân

hoạch cho phép thử này

Từ hộp được chọn, lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm

Tính xác suất lấy ra được 1 chính phẩm

b) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp một bỏ vào hộp

hai Hãy xác định phép phân hoạch cho phép thử

này

Sau đó, lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm

từ hộp hai Tính xác suất lấy được 2 chính phẩm

Ví dụ 1.17

Một thùng sản phẩm có 6 hộp loại I và 4 hộp loại II, hộp loại I có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm, hộp loại II có 7

chính phẩm và 3 phế phẩm

a) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp sản phẩm từ thùng, rồi từ đó

lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm Tính xác suất lấy ra

được 1 chính phẩm

b) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp sản phẩm từ thùng, rồi từ đó

lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm Tính xác suất lấy ra

được 2 chính phẩm

c) Chọn ngẫu nhiên 2 hộp sản phẩm từ

Công thức Bayes được phát triển lên từ công thức xác

suất có điều kiện, công thức nhân 2 biến cố tổng quát và

công thức xác suất đầy đủ như sau

Nếu biết được biến cố B đã xảy ra, thì xác suất biến cố Ai

xảy ra được tính như sau

   i i

B/ B

P(B)

P A

Ví dụ 1.18

Một kho chứa sản phẩm gồm 2 loại là chính phẩm và phế phẩm Biết rằng mỗi sản phẩm chỉ được sản xuất từ 1 trong

3 dây chuyền A,B,C độc lập nhau

Tỉ lệ sản phẩm trong kho được sản xuất từ 3 dây chuyền

trên lần lượt là 45%, 35%, 20% Tỉ lệ phế phẩm được sản xuất bởi dây chuyền A là 2%, dây chuyền B là 3% và dây

chuyền C là 5%

a) Tính tỉ lệ phế phẩm của kho hàng

b) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho hàng thì nhận

được phế phẩm Hỏi khả năng phế

Phần 2: Biến ngẫu nhiênA2 Các khái niệm

- Biến ngẫu nhiên là một phép tương ứng mỗi phần tử của Không gian mẫu của một phép thử ngẫu nhiên, với một giá trị thực Ví dụ:

Tập giá trị của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu là

Ví dụ 2.1

- Tung 2 con xúc xắc cân đối, gọi X

là tổng số chấm của hai mặt trên

( )

X :

X  

- Biến ngẫu nhiên chia làm 2 loại là bnn rời rạc và bnn liên tục dựa vào tập giá trị của chúng.

- Nếu là tập đếm được (hữu hạn hay vô hạn), thì X được gọi là bnn rời rạc

- Nếu là tập không đếm được (vô hạn), thì X được

X 

Nguyễn Ngọc Phụng

31

Ví dụ 2.3

Một hộp có 8 bi đỏ và 2 bi xanh Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ hộp, gọi X là số bi xanh lấy được

a) Tìm bảng phân phối xác suất của X

b) Tính xác suất lấy được ít nhất 2 bi đỏ

- Hàm phân phối xác suất của X được ký hiệu và định

nghĩa như sau

B2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Hàm phân phối xác suất tại x của biến ngẫu nhiên X

cho ta biết xác suất (tỉ lệ) đại lượng X nhận giá trị tối

đa là x

Từ đó, ta được công thức tính xác suất thông qua hàm ppxs như sau

- Cho bnn rời rạc X có bảng ppxs như sau

- Hàm phân phối xác suất của X là

- Kỳ vọng của bnn X được ký hiệu là E(X), là đại lượng

đặc trưng cho giá trị trung bình của X theo xác suất

- Ta có 2 công thức tính lần lượt cho bnn rời rạc và liên

udv  uv  vdu

Ví dụ 2.6

Xác định kỳ vọng của bnn X trong các trường hợp sau

và cho biết ý nghĩa của chúng

a) Một hộp có 8 bi đỏ và 2 bi xanh Chọn ngẫu nhiên

3 bi từ hộp, gọi X là số bi xanh lấy được

b) Cho bnn liên tục X có hàm mđxs như sau

Gợi ý: Sử dụng công thức tích phân từng phần

- Phương sai của bnn X được ký hiệu là Var(X), là đại

lượng đặc trưng cho sự dao động giá trị của biến X

xung quanh giá trị trung bình của nó

- Phương sai càng lớn thì khoảng dao động càng rộng

- Đối với hai loại bnn rời rạc & liên tục, ta lần lượt có

các công thức triển khai như sau

- Mode(X) là đại lượng đặc trưng cho giá trị mà X có khả năng nhận được cao nhất trong một phép thử đối với

bnn rời rạc, và tương ứng là giá trị cực đại của hàm

mđxs đối với bnn liên tục

Lưu ý: Bnn có thể không có Mode hoặc có nhiều Mode

- Median(X) là đại lượng đặc trưng cho giá trị chia đôi

phân bố xác suất của bnn Đối với bnn rời rạc nó không

có nhiều ý nghĩa, đối với bnn liên tục thì

C2.3 Yếu vị (Mode) & Trung vị (Median)

Nguyễn Ngọc Phụng

41

Ví dụ 2.8

a) Một hộp có 8 bi đỏ và 2 bi xanh Chọn ngẫu nhiên

3 bi từ hộp, gọi X là số bi xanh lấy được Xác định

số bi xanh có khả năng lấy được cao nhất, cho biết

nó là giá trị đặc trưng gì của X?

b) Cho bnn liên tục X có hàm mđxs như sau

Hãy xác định giá trị mà có 50% khả năng X

sẽ cao hơn giá trị này, cho biết nó là giá trị đặc trưng gì của X?

- Độ lệch chuẩn của bnn X được ký hiệu và tính như sau

- Độ lệch chuẩn cũng dùng để đánh giá sự dao

động của bnn xung quanh giá trị trung bình E(X) Nhưng

nó thường được sử dụng trong các công thức tính toán hơn so với Var(X), do nó cùng đơn vị với X và E(X)

- Hiệp phương sai của 2 bnn X, Y được ký hiệu và định

nghĩa như sau

D2.1 Hiệp phương sai (Co-Variance)

- Hiệp phương sai cho chúng ta biết

D2 Các đại lượng đặc trưng hai biến

- Hệ số tương quan được xây dựng để đo lường mức độ tương quan mạnh yếu giữa 2 biến ngẫu nhiên, với giá trị trong miền [-1;1].

- Trong số đó nổi bật nhất là hệ số tương quan Pearson

được ký hiệu và định nghĩa như sau

BÀI TẬP PHẦN 2

Làm theo file bài tập tổng hợp, thầy gửi cho lớp

Phần 3: Một số phân phối xác suất

thông dụngA1 Phép thử Bernoulli

Phép thử Bernoulli là phép thử ngẫu nhiên mà kết quả

quan tâm đến việc một biến cố A xảy ra (thành công)

hay không xảy ra (thất bại), trong đó là một

hằng số

Một chuỗi các phép thử Bernoulli độc lập nhau thường được xét đến trong thực tế

và tùy vào trạng thái nghiên cứu mà biến ngẫu nhiên tương ứng sẽ tuân theo quy luật phân phối nào

Nguyễn Ngọc Phụng

47

( )

P A  p

B1 Phân phối Nhị thức (Binomial)

Xét n phép thử Bernoulli độc lập nhau Gọi X là số phép thử mà biến cố A xảy ra có trong n phép thử đó

Khi đó ta nói X tuân theo luật phân phối Nhị thức, ký

sản phẩm do người này sản xuất để kiểm tra.

Phân bố xác suất của

một số phân phối

nhị thức

a) Xác định số phế phẩm nhiều khả năng nhất có trong

20 sản phẩm

b) Nếu thực hiện việc kiểm tra này nhiều lần (mỗi lần

kiểm tra 20 sản phẩm) thì số phế phẩm trung bình

có được ở mỗi lần kiểm tra là bao nhiêu?

c) Tính xác suất có ít nhất 1 phế phẩm có

trong 20 sản phẩm được kiểm tra

d) Tính xác suất có từ 5 đến 15 phế

B2 Phân phối Nhị thức âm (Negative Binomial)

Thực hiện các phép thử Bernoulli độc lập Gọi X là số

phép thử Bernoulli đã thực hiện cho đến khi biến cố A

Ví dụ 3.2

Một người tung một con xúc xắc cân đối cho đến khi xuất hiện mặt 6 chấm đúng 3 lần thì dừng lại

a) Tính xác suất người đó phải tung tổng cộng 8 lần

b) Tính xác suất người đó tung tổng cộng từ 10 đến

20 lần trước khi dừng lại

c) Nếu người đó thực hiện việc nêu trên nhiều lần, hỏi số lần tung trung bình cho đến khi dừng lại là bao nhiêu?

B3 Phân phối Poisson

Phân phối Poisson thường dùng cho các biến mô tả số

lần xảy ra của một biến cố nào đó trong một khoảng

thời gian hoặc không gian

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson

với tham số được ký hiệu là và có tập giá

X  

Ví dụ 3.3

Số lần xảy ra tai nạn giao thông hàng năm trên một

cung đường là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson

với giá trị trung bình là 10

a) Tính xác suất trên cung đường đó có 15 vụ tai nạn giao thông xảy ra trong năm tiếp theo

b) Tính xác suất trên cung đường đó có ít nhất 15 vụ tai

nạn giao thông xảy ra trong năm tiếp theo

c) Bằng một số biện pháp nhằm ngăn ngừa tai nạn giao thông xảy ra trên cung đường này Số vụ tai nạn giao thông trung

Để hiểu rõ hơn, ta hãy xem một số phân bố xác suất của một vài phân phối Poisson theo hình bên dưới

Nguyễn Ngọc Phụng

55

B4 Phân phối đều (Uniform)

Phân phối đều có 2 loại: rời rạc hoặc liên tục, được định nghĩa lần lượt như sau

X được gọi là có phân phối đều rời rạc trên tập trị tự

nhiên [a;b] khi mỗi giá trị mà X nhận trên tập này đều

có xác suất bằng nhau, được ký hiệu là

X được gọi là có phân phối liên tục trên tập trị thực [a;b] khi hàm mật độ xác suất của X trên miền này là hằng số, được ký hiệu là và có hàm mật độ xác suất như sau

C1 Phân phối chuẩn (Normal)

X có phân phối chuẩn, ký hiệu là là một

phân phối quan trọng thường được sử dụng trong

khoa học tự nhiên lẫn khoa học xã hội

Ngoài ra nó còn quan trọng là bởi vì với một số điều

kiện nhất định, giá trị trung bình của các quan sát của

một biến ngẫu nhiên, có kỳ vọng và phương sai xác

định, sẽ hội tụ về phân phối chuẩn khi số quan sát

Trường hợp đặc biệt của phân phối chuẩn khi

ta được phân phối chuẩn chuẩn tắc

Hàm mđxs của phân phối này như sau

C1.1 Phân phối chuẩn chuẩn tắc (Standard Normal)

Mà sử dụng hàm Laplace được định nghĩa như sau

~ (0;1)

X N

Một số lưu ý đối với hàm Laplace này như sau

Sử dụng hàm để thay thế hàm ppxs trong việc tính xác

suất cho phân phối chuẩn chuẩn tắc như sau

P a  X  b  F b  F a   b  a

Hai trường hợp đặc biệt

Từ công thức tính xác suất của phân phối chuẩn chuẩn

tắc, người ta xây dựng được công thức tính xác suất

của phân phối chuẩn tổng quát như sau

Nguyễn Ngọc Phụng

63

d) Chọn ngẫu nhiên 200 trái cây chín loại này Xác định

số trái cây chín có trọng lượng trên 200gram nhiều khả năng nhất có được trong số chúng

e) Xác định mức trọng lượng mà có 30% số trái cây

chín loại này có trọng lượng từ mức đó trở lên

f) Xác định mức trọng lượng mà có 20%

số trái cây chín loại này có trọng lượng

từ mức đó trở xuống

g) Trọng lượng của một loại trái cây chín giống mới là

biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tỉ lệ quả có

trọng lượng trên 240 gram là 3% và tỉ lệ quả có trọng

lượng dưới 180gram là 4%

Hãy xác định trọng lượng trung bình của một trái cây

chín loại này và độ lệch chuẩn tương ứng

Từ đó tính tỉ lệ trái cây chín giống mới này cho trọng lượng trên 220

Ta đã biết rằng ở phần trước là

Ngoài ra, nếu X, Y độc lập thì ta còn có

Nguyễn Ngọc Phụng

65

C1.2 Mở rộng phân phối chuẩn

Vậy trong trường hợp nếu ta có

Cho biết thêm rằng nếu là n biến độc lập

và đều tuân theo phân phối chuẩn thì bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của chúng

đều tuân theo luật phân phối chuẩn

bình của một quả là 200gram và độ lệch chuẩn tương

ứng là 20gram Chọn ngẫu nhiên 10 quả bỏ vào một rổ để bày bán, cho biết trọng lượng của các quả này độc lập

nhau

a) Tính xác suất trọng lượng của rổ trái cây này (chỉ tính

phần trọng lượng trái cây) là trên 2,2kg

b) Tính xác suất trọng lượng trung bình của một trái trong rổ là trên 220gram

c) Chọn ngẫu nhiên 20 rổ trái cây chín loại này Tính xác suất có ít nhất 1 rổ trái cây

có trọng lượng trên 2,2kg

BÀI TẬP PHẦN 3

Làm theo file bài tập tổng hợp, thầy gửi cho lớp