Bài giảng xstk nnp (p1 3)

Xac suat thong ke Bài giảng xstk nnp (p1 3) Bài giảng xstk nnp (p1 3) Bài giảng xstk nnp (p1 3)

Xác suất & Thống kêBài giảng môn học

Trường Đại học Ngân hàng TPHCM – Bộ môn Toán kinh tế

GV: Nguyễn Ngọc Phụng

Phần 1: Tính xác suất của một biến cố

A1 Các khái niệm

- Phép thử là việc thực hiện một nhóm điều kiện xác định để quan sát một số đặc tính của một số đối tượng

Lưu ý: Một phép thử lớn có thể gồm nhiều phép thử nhỏ hơn

Ví dụ 1.1

- Tung 1 con xúc xắc cân đối, và xem số chấm của mặt trên cùng là bao nhiêu?

- Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết cục có thể xảy ra của phép thử, được ký hiệu là 

Ví dụ 1.2

-Tung 1 con xúc xắc cân đối, và

xem số chấm của mặt trên cùng là bao nhiêu?

- Tung 2 con xúc xắc cân đối, và xem số chấm của mặt trên cùng của chúng lần lượt là bao nhiêu?

- Nhắc lại về Chỉnh hợp và Tổ hợp

- Giống nhau: Lấy k phần tử phân biệt từ n phần tử phân

- Khác nhau: Chỉnh hợp quan tâm đến thứ tự phần tử lấy

ra, trong khi tổ hợp thì không; tổ hợp quan tâm đến những phần tử cuối cùng lấy được là gì Ký hiệu lần lượt là

- Xác suất của biến cố A trong một phép thử là khả năng xảy ra của biến cố A khi thực hiện phép thử đó Công thức

a) 3 bi đỏ.

b) 3 bi cùng màu.

- Lưu ý: Khi thay đổi phép thử thì nhìn chung xác suất của biến cố đó là sẽ thay đổi.

Ví dụ 1.4

a) Tính xác suất lấy được 3 bi đỏ, biết rằng chọn ngẫu nhiên 3 bi từ hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh.b) Tính xác suất lấy được 3 bi đỏ,

biết rằng chọn ngẫu nhiên 4 bi từ hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh.

B1.2 Công thức cộng cho 3 biến cố tổng quát

Ví dụ 1.5

a) Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 12 bạn giỏi Toán, 8 bạn giỏi Tin và 4 bạn giỏi cả Toán và Tin Lớp trưởng chọn ngẫu nhiên 2 bạn trong lớp, tính xác suất cả 2 bạn được chọn đều giỏi ít nhất một trong hai

môn trên.

b) Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 12 bạn giỏi Toán, 8 bạn giỏi Tin, 6 bạn giỏi

Anh; 4 bạn giỏi Toán và Tin, 3 bạn giỏi Tin và Anh 2 bạn giỏi Toán và Anh; và 1 bạn giỏi cả 3 môn trên Lớp trưởng chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong lớp, tính xác suất cả 3 bạn được chọn đều giỏi ít nhất một trong ba môn trên.

B1.3 Công thức cộng cho n biến cố xung khắc từng đôi

 

- Công thức tính xác suất của biến cố bù

Ví dụ 1.7

Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh Tính xác suất lấy được ít nhất 1 bi đỏ.

AA

B1.5 Công thức xác suất có điều kiện

- Biến cố A biết được rằng đã xảy ra, khi đó xác suất biến cố B xảy ra, được ký hiệu là

- Công thức tính

P(B / A)

ABA

B1.6 Công thức nhân 2 biến cố tổng quát

- Tương tự

P(AB)P(A).P(B / A)P(B).P(A / B)

P(AB)P(A / B)

- Từ đó ta có

B1.7 Công thức nhân 3 biến cố tổng quát

Có 3!=6 cách triển khai công thức Dưới đây là 2 cách trong số chúng

P(A A A )P(A ).P(A / A ).P(A / A A )P(A ).P(A / A ).P(A / A A )

Ví dụ 1.10

Một sinh viên A muốn tốt nghiệp phải trải qua 3 kỳ thi lần lượt, đậu kỳ thi trước mới được thi kỳ thi sau Xác suất đậu kỳ thi 1 là 0,9, nếu đậu rồi thì xác suất đậu kỳ thi 2 là

B1.8 Công thức nhân cho n biến cố độc lập với nhau

phẩm, các sản phẩm còn lại trong các hộp là chính phẩm Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm, tính xác

suất lấy được tổng cộng 2 chính phẩm.

B1.9 Công thức bù có điều kiện

Kế thừa công thức bù và công thức xác suất có điều kiện, ta được

Ví dụ 1.13

Trong một trò chơi, xác suất thắng của người chơi luôn là 35/72 Biết rằng kết quả mỗi lần chơi là độc lập nhau, tính xác suất người này tham gia trò chơi 5 lần và thắng được 1 lần.

B1.11 Công thức Bernoulli 3 kết cục

DC p C  q (1 p q)   P

Nếu ta có một phép thử lớn gồm n phép thử độc lập Ở mỗi phép thử chỉ có 1 trong 3 biến cố sau xảy ra với xác suất đều là hằng số, P(A)=p, P(B)=q, P(C)=1-p-q.

Khi đó, xác suất của biến cố D trong n phép thử có k phép thử A xảy ra, l phép thử B xảy ra và (n-k-l) phép thử C xảy ra là

B1.12 Công thức xác suất đầy đủ

    

A1, ,An là một phép phân hoạch hay một bộ n biến cố xung khắc từng đôi và đầy đủ

b) Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ một hộp có 8 bi đỏ và 2 bi xanh.

c) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ một kho Biết rằng trong kho chỉ có phế phẩm và chính phẩm, đồng thời mỗi sản phẩm chỉ được sản xuất từ 1 trong 3 dây chuyền A,B,C độc lập

21

Khi đó, xác suất của một biến cố B bất kỳ sẽ được tính thông qua công thức xác suất đầy đủ sau đây

    B  11    22   nn 

P P A P B/A P A P B/A + +P A P B/A

Ví dụ 1.16

Có 2 hộp sản phẩm, hộp một có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm, hộp hai có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm.

a) Chọn ngẫu nhiên một hộp Hãy xác định phép phân hoạch cho phép thử này.

Từ hộp được chọn, lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm Tính xác suất lấy ra được 1 chính phẩm.

b) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp một bỏ vào hộp hai Hãy xác định phép phân hoạch cho phép thử

Sau đó, lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp hai Tính xác suất lấy được 2 chính phẩm.

Ví dụ 1.17

Một thùng sản phẩm có 6 hộp loại I và 4 hộp loại II, hộp loại I có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm, hộp loại II có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm.

a) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp sản phẩm từ thùng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm Tính xác suất lấy ra

Nếu biết được biến cố B đã xảy ra, thì xác suất biến cố Aixảy ra được tính như sau

 i i

B/ B

P A

Ví dụ 1.18

Một kho chứa sản phẩm gồm 2 loại là chính phẩm và phế phẩm Biết rằng mỗi sản phẩm chỉ được sản xuất từ 1 trong 3 dây chuyền A,B,C độc lập nhau.

Tỉ lệ sản phẩm trong kho được sản xuất từ 3 dây chuyền trên lần lượt là 45%, 35%, 20% Tỉ lệ phế phẩm được sản xuất bởi dây chuyền A là 2%, dây chuyền B là 3% và dây chuyền C là 5%.

a) Tính tỉ lệ phế phẩm của kho hàng.

b) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho hàng thì nhận được phế phẩm Hỏi khả năng phế

Phần 2: Biến ngẫu nhiênA2 Các khái niệm

- Biến ngẫu nhiên là một phép tương ứng mỗi phần tử của Không gian mẫu của một phép thử ngẫu nhiên, với một giá trị thực Ví dụ:

Tập giá trị của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu là

X  

- Biến ngẫu nhiên chia làm 2 loại là bnn rời rạc và bnn liên tục dựa vào tập giá trị của chúng.

- Nếu là tập đếm được (hữu hạn hay vô hạn), thì X được gọi là bnn rời rạc.

- Nếu là tập không đếm được (vô hạn), thì X được gọi là bnn liên tục

Ví dụ 2.2

Hãy cho biết các bnn sau là rời rạc hay liên tục? Xác định tập giá trị của nó.

a) Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh Chọn ngẫu nhiên 2 bi từ hộp, gọi X là số bi đỏ lấy được.

b) Chiều cao Y (m) của một loại cây trồng trưởng thành dao động từ 1,2m đến 2m.

Nguyễn Ngọc Phụng

( )

X ( )

X 

- Hàm phân phối xác suất của X được ký hiệu và định nghĩa như sau

B2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Hàm phân phối xác suất tại x của biến ngẫu nhiên X cho ta biết xác suất (tỉ lệ) đại lượng X nhận giá trị tối đa là x

Từ đó, ta được công thức tính xác suất thông qua hàm ppxs như sau

- Cho bnn rời rạc X có bảng ppxs như sau

- Hàm phân phối xác suất của X là

- Cho bnn liên tục X có hàm mđxs f(x)- Tính chất của hàm mđxs

B2.3 Hàm mật độ xác suất của bnn liên tục

- Cho bnn liên tục X có hàm mđxs f(x)- Khi đó hàm ppxs của X là

Ví dụ 2.5

Cho bnn liên tục X có hàm mđxs như sau

- Kỳ vọng của bnn X được ký hiệu là E(X), là đại lượng đặc trưng cho giá trị trung bình của X theo xác suất.

- Ta có 2 công thức tính lần lượt cho bnn rời rạc và liên tục như sau

C2 Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên

- Nếu X là bnn liên tục:

 

b) Cho bnn liên tục X có hàm mđxs như sau

Gợi ý: Sử dụng công thức tích phân từng phần

- Phương sai của bnn X được ký hiệu là Var(X), là đại lượng đặc trưng cho sự dao động giá trị của biến X xung quanh giá trị trung bình của nó.

- Phương sai càng lớn thì khoảng dao động càng rộng và ngược lại.

- Đối với hai loại bnn rời rạc & liên tục, ta lần lượt có các công thức triển khai như sau

- Mode(X) là đại lượng đặc trưng cho giá trị mà X có khả năng nhận được cao nhất trong một phép thử đối với bnn rời rạc, và tương ứng là giá trị cực đại của hàm mđxs đối với bnn liên tục.

Lưu ý: Bnn có thể không có Mode hoặc có nhiều Mode.- Median(X) là đại lượng đặc trưng cho giá trị chia đôi phân bố xác suất của bnn Đối với bnn rời rạc nó không có nhiều ý nghĩa, đối với bnn liên tục thì

C2.3 Yếu vị (Mode) & Trung vị (Median)

b) Cho bnn liên tục X có hàm mđxs như sau

Hãy xác định giá trị mà có 50% khả năng X sẽ cao hơn giá trị này, cho biết nó là giá trị đặc trưng gì của X?

- Độ lệch chuẩn của bnn X được ký hiệu và tính như sau

- Độ lệch chuẩn cũng dùng để đánh giá sự dao

động của bnn xung quanh giá trị trung bình E(X) Nhưng nó thường được sử dụng trong các công thức tính toán hơn so với Var(X), do nó cùng đơn vị với X và E(X).

- Hiệp phương sai của 2 bnn X, Y được ký hiệu và định nghĩa như sau

D2.1 Hiệp phương sai (Co-Variance)

- Hiệp phương sai cho chúng ta biết

D2 Các đại lượng đặc trưng hai biến

- Hệ số tương quan được xây dựng để đo lường mức độ tương quan mạnh yếu giữa 2 biến ngẫu nhiên, với giá trị trong miền [-1;1].

- Trong số đó nổi bật nhất là hệ số tương quan Pearson được ký hiệu và định nghĩa như sau

BÀI TẬP PHẦN 2

Làm theo file bài tập tổng hợp, thầy gửi cho lớp

Phần 3: Một số phân phối xác suấtthông dụng

A1 Phép thử Bernoulli

Phép thử Bernoulli là phép thử ngẫu nhiên mà kết quả quan tâm đến việc một biến cố A xảy ra (thành công) hay không xảy ra (thất bại), trong đó là một hằng số.

Một chuỗi các phép thử Bernoulli độc lập nhau thường được xét đến trong thực tế và tùy vào trạng thái nghiên cứu mà biến ngẫu nhiên tương ứng sẽ tuân theo quy luật phân phối nào.

Nguyễn Ngọc Phụng

( )

P A  p

B1 Phân phối Nhị thức (Binomial)

Xét n phép thử Bernoulli độc lập nhau Gọi X là số phép thử mà biến cố A xảy ra có trong n phép thử đó.

Khi đó ta nói X tuân theo luật phân phối Nhị thức, ký hiệu vớiX ~ B n p( ; ) X ( ) 0 n

Các công thức quan trọng của phân phối

( ) nkk (1 )n k

P XkC pp 

xuất một cách độc lập nhau trong khoảng thời gian xem xét Chọn ngẫu nhiên 20

sản phẩm do người này sản xuất để kiểm tra.

Phân bố xác suất của một số phân phối

nhị thức

a) Xác định số phế phẩm nhiều khả năng nhất có trong 20 sản phẩm.

b) Nếu thực hiện việc kiểm tra này nhiều lần (mỗi lần kiểm tra 20 sản phẩm) thì số phế phẩm trung bình có được ở mỗi lần kiểm tra là bao nhiêu?

c) Tính xác suất có ít nhất 1 phế phẩm có trong 20 sản phẩm được kiểm tra.

d) Tính xác suất có từ 5 đến 15 phế

B2 Phân phối Nhị thức âm (Negative Binomial)

Thực hiện các phép thử Bernoulli độc lập Gọi X là số phép thử Bernoulli đã thực hiện cho đến khi biến cố A xảy ra được r lần.

Khi đó ta nói X tuân theo luật phân phối Nhị thức âm, ký hiệu với

c) Nếu người đó thực hiện việc nêu trên nhiều lần, hỏi số lần tung trung bình cho đến khi dừng lại là bao nhiêu?

B3 Phân phối Poisson

Phân phối Poisson thường dùng cho các biến mô tả số lần xảy ra của một biến cố nào đó trong một khoảng thời gian hoặc không gian.

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số được ký hiệu là và có tập giá trị là

 

( )

X  

Ví dụ 3.3

Số lần xảy ra tai nạn giao thông hàng năm trên một cung đường là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với giá trị trung bình là 10.

a) Tính xác suất trên cung đường đó có 15 vụ tai nạn giao thông xảy ra trong năm tiếp theo.

b) Tính xác suất trên cung đường đó có ít nhất 15 vụ tai nạn giao thông xảy ra trong năm tiếp theo.

c) Bằng một số biện pháp nhằm ngăn

ngừa tai nạn giao thông xảy ra trên cung đường này Số vụ tai nạn giao thông trung

Để hiểu rõ hơn, ta hãy xem một số phân bố xác suất của một vài phân phối Poisson theo hình bên dưới

Nguyễn Ngọc Phụng

55

B4 Phân phối đều (Uniform)

Phân phối đều có 2 loại: rời rạc hoặc liên tục, được định nghĩa lần lượt như sau

X được gọi là có phân phối đều rời rạc trên tập trị tự nhiên [a;b] khi mỗi giá trị mà X nhận trên tập này đều có xác suất bằng nhau, được ký hiệu là

X được gọi là có phân phối liên tục trên tập trị thực [a;b] khi hàm mật độ xác suất của X trên miền này là hằng số, được ký hiệu là và có hàm mật độ xác suất như sau

b aVar X

xa bf xb a

C1 Phân phối chuẩn (Normal)

X có phân phối chuẩn, ký hiệu là là một phân phối quan trọng thường được sử dụng trong

khoa học tự nhiên lẫn khoa học xã hội.

Ngoài ra nó còn quan trọng là bởi vì với một số điều kiện nhất định, giá trị trung bình của các quan sát của một biến ngẫu nhiên, có kỳ vọng và phương sai xác định, sẽ hội tụ về phân phối chuẩn khi số quan sát tăng dần.

Trường hợp đặc biệt của phân phối chuẩn khi ta được phân phối chuẩn chuẩn tắc

Hàm mđxs của phân phối này như sau

Để tiện sử dụng một số người không sử dụng hàm ppxs

C1.1 Phân phối chuẩn chuẩn tắc (Standard Normal)

Mà sử dụng hàm Laplace được định nghĩa như sau

~ (0;1)

XN

Một số lưu ý đối với hàm Laplace này như sau

( ) ( ) 0, 5( ) ( )

Từ công thức tính xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc, người ta xây dựng được công thức tính xác suất của phân phối chuẩn tổng quát như sau

aP aX



Nguyễn Ngọc Phụng

d) Chọn ngẫu nhiên 200 trái cây chín loại này Xác định số trái cây chín có trọng lượng trên 200gram nhiều khả năng nhất có được trong số chúng.

e) Xác định mức trọng lượng mà có 30% số trái cây chín loại này có trọng lượng từ mức đó trở lên.

f) Xác định mức trọng lượng mà có 20% số trái cây chín loại này có trọng lượng từ mức đó trở xuống.

g) Trọng lượng của một loại trái cây chín giống mới là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tỉ lệ quả có trọng lượng trên 240 gram là 3% và tỉ lệ quả có trọng lượng dưới 180gram là 4%.

Hãy xác định trọng lượng trung bình của một trái cây chín loại này và độ lệch chuẩn tương ứng.

Từ đó tính tỉ lệ trái cây chín giống mới này cho trọng lượng trên 220

Ta đã biết rằng ở phần trước là

Ngoài ra, nếu X, Y độc lập thì ta còn có

Nguyễn Ngọc Phụng

C1.2 Mở rộng phân phối chuẩn

Vậy trong trường hợp nếu ta có

Cho biết thêm rằng nếu là n biến độc lập và đều tuân theo phân phối chuẩn thì bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của chúng

đều tuân theo luật phân phối chuẩn.

bình của một quả là 200gram và độ lệch chuẩn tương

ứng là 20gram Chọn ngẫu nhiên 10 quả bỏ vào một rổ để bày bán, cho biết trọng lượng của các quả này độc lập

BÀI TẬP PHẦN 3

Làm theo file bài tập tổng hợp, thầy gửi cho lớp