rèn luyện kĩ năng đặc biệt hoá và khái quát hoá cho học sinh trong dạy học đại số lớp 9 luận văn thạc sĩ sư phạm toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành khi tác giả học tập tại Trường Đại học Giáo dục.Trong quá trình làm luận văn tốt nghiệp tác giả đã nhận được rất nhiều sựgiúp đỡ để hoàn tất luận văn.

Trước hết, tôi xin gứi lời cảm ơn đặc biệt đến thầy Hoàng Công Kiên người đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Sự tận tụy và sự chỉ dẫn của thầy đãcho tôi những định hướng cần thiết để hoàn thành luận văn một cách thành công.

-Xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán, Trường Đại học Giáo dục, vì những kiến thức quý báu mà quý thầy cô đã truyền đạt cho tôi trong quá trình học tập tại trường Các thầy cô đã giúp tôi có được nền tảng vững chắc và cungcấp những kiến thức chuyên sâu đề thực hiện luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô và các bạn học sinh trường Trung học Vinschool The Harmony đã nhiệt tình tham gia trả lời câu hởikhảo sát, đóng góp thông tin quan trọng giúp tôi hoàn thành phần thực nghiệm của luận văn Sự hợp tác và sự đóng góp của các thầy cô và các bạnhọc sinh đã làm cho luận văn trở nên phong phú và đáng tin cậy hơn.

Cuối cùng, tôi xin bày tở lòng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, có thể sẽ có những saisót và nhầm lẫn Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý chân thành cùaquý thầy cô giáo và các đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện và có tínhkhả thi cao hon.

1

Xin chânthành cảm ơn!

Tácgiả luậnvăn

Phạm Thị Hà Ngân

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Giả thuyết khoa học 3

5 Câu hỏi nghiên cứu 3

6 Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu 3

6.1 Đối tượng nghiên cứu 3

6.2 Khách thể nghiên cứu 3

7 Phuong pháp nghiên cứu 3

8 Cấu trúc của luận văn 4

1.2 Tư duy toán học 8

1.2.1 Khái niệm tư duy 8

1.2.2 Tư duy toán học 11

1.3 Kĩ năng 12

1.3.1 Khái niệm kĩ năng 12

1.3.2 Đặc điểm của kĩ năng 13

1.3.3 Kĩ năng khái quát hoá 14

1.3.4 Kĩ năng đặc biệt hoá 22

1.3.5 Mối quan hệ giữa đặc biệt hoá và khái quát hoá 25

• • •

ill

e e o _ _

1.3.6 Biêu hiện của người học có tư duy đặc biệt hoá và khái quát hoá 26

1.4 Vai trò của đặc biệt hoá và khái quát hoá trong dạy học môn toán 27

1.4.1 Vai trò của đặc biệt hoá và khái quát hoá trong việc hình thànhkhái niệm và các tri thức lí thuyết 28

1.4.2 Vai trò của đặc biệt hoá và khái quát hoá trong việc tìm lời giảicho bài toán 30

1.4.3 Vai trò của đặc biệt hoá và khái quát hoá trong việc mở rộng, đào sâu và hệ thống hoá kiến thức 33

1.5 Các chủ đề của Đại số 9 có cơ hội rèn luyện kĩ năng đặc biệt hoá và khái quát hoá 34

1.6 Thực trạng về việc rèn luyện kĩ năng đặc biệt hoá và khái quát hoá trongdạy học cho học sinh lóp 9 hiện nay 35

1.6.1 Đối với giáo viên 35

1.6.2 Đối với học sinh 37

sinh kĩ năng lựa chọn nhóm đối tượng để khái quát hoá thành khái niệm 42

iv

2.1.3 Biện pháp 3: Xây dựng hệ thông các ví dụ đê rèn luyện cho học

sinh kĩ năng lựa chọn nhóm đối tượng để khái quát hoá thành định lí 47

2.1.4 Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh kĩ năng diễn đạt một lớp các bài toán tương tự nhau thành bài toán tồng quát được khái quát hoá từ đặc điểm toán học của các bài toán đó và hình thành bài toán mới từ bàitoán tổng quát 50

2.1.5 Biện pháp 5: Rèn luyện kĩ năng suy luận từ nhóm đối tượng đãđược đặc biệt hoá đế tìm lời giải cho bài toán mới và đưa ra lời giải cho bài toán ban đầu 60

2.2 Điều kiện khả thi của biện pháp pháp rèn luyện kĩ năng đặc biệt hoá vàkhái quát hoá cho học sinh trong dạy học Đại sổ lớp 9 62

2.2.1 Điều kiện đối với nhà trường và xã hội 63

2.2.2 Điều kiện đối với gia đình 63

2.2.3 Điều kiện đối với học sinh 64

KẾT LUẬN CHUNG 77TÀI LIỆU THAM KHẢO 78PHỤ LỤC 1

vi

MỞ ĐẦU1 Lý do chọn đề tài

Thế kỉ XXI đặt ra nhiều yêu cầu và thách thức mới đối với giáo dục Các yêu cầu và thách thức này bao gồm sự phát triền nhanh chóng của công nghệthông tin và truyền thông, sự toàn cầu hóa, biến đổi khí hậu, cải cách kinh tếvà sự phát triển bền vừng Đổi mới giáo dục chính là xu thế chung của các quốc gia trên thể giới.

Điều 28 của Luật Giáo dục 2005 của Việt Nam thể hiện ý thức về việc phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo cho học sinh trong quá trìnhgiáo dục phổ thông Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng cùa việc khuyếnkhích học sinh tham gia tích cực vào quá trình học tập và khám phá bản thân, thúc đẩy sự tự tin và sự phát triển cá nhân.

Nghị quyết 88/2014/QH13 của Quốc hội Việt Nam, ban hành ngày 28/11/2014, tập trung vào đối mới chương trình, sách giáo khoa phổ thôngnhằm nâng cao chất lượng và hiệu quà giáo dục Nghị quyết này đặt ra mục tiêu chính là đảm bảo chương trình giáo dục phổ thông không chỉ đào tạo kiến thức mà còn định hướng nghề nghiệp cho học sinh.

Mục tiêu cúa đổi mới chương trình và sách giáo khoa là phát triển toàn diện cho học sinh, bao gồm cả phẩm chất và năng lực Điều này đồng nghĩa vớiviệc giáo dục không chỉ tập trung vào khía cạnh học thuật mà còn quan tâm đến sự phát triển đạo đức, tư duy logic, sức khỏe và sự tinh tế trong văn hóavà nghệ thuật Mục tiêu cuối cùng là tạo điều kiện tốt nhất để học sinh có thể phát huy tiềm năng của mình.

Trong hoạt động dạy và học từ trước đến nay, người giáo viên luôn đóng vaitrò chủ đạo Ngoài kiến thức chuyên môn tốt, yêu nghề, yêu trẻ, luôn giữ đạo đức nghề nghiệp thì phương pháp dạy học của giáo viên có tính quyết định trong việc tạo môi trường học tập, kích thích sự húng thú, say mê học tập củahọc sinh Và dù phương pháp dạy học mà người giáo viên sử dụng là gì thì

1

mục tiêu hướng đến đều là phát triển tư duy cho học sinh.

Trong dạy học môn Toán, rèn luyện năng lực khái quát hóa, đặc biệt hoá cho học sinh không những giúp học sinh tiếp thu kiến thức tốt hon, rèn luyện kĩ năng toán học mà còn thúc đẩy sự phát triển cùa một số hoạt động trí tuệ khácnhư phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hóa, hệ thống hóavà các phấm chất trí tuệ như tính tự giác, chủ động, độc lập, linh hoạt, sáng tạo, tư duy biện chúng Ngoài ra, kĩ năng đặc biệt hoá và khái quát hoá còn góp phần hình thành ở học sinh năng lực giải quyết vấn đề trong học tập cũng như ngoài cuộc sống.

Trong thực tiễn dạy và học môn Toán ở trường phổ thông, việc rèn luyện nănglực khái quát hóa cho học sinh chưa được chú trọng đúng mực, đặc biệt là trong phân môn Đại số Với học sinh cuối cấp như học sinh lớp 9, việc rèn luyện kĩ năng khái quát hoá cho các em lại càng cần thiết và cần được quan tâm hơn.

Vì những lí do trên, đề tài mà tác giả lựa chọn là:

“Rèn luyện kĩ năng đặc biệt hoá và khái quát hoá cho học sinh trong dạy học Đại số lớp 9 ”

- Thực nghiệm sư phạm đề đánh giá tính khả thi của các biện pháp đã đề xuất trong luận văn.

4 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở chương trình, sách giáo khoa hiện hành, nếu trong dạy học Đại số lớp 9 giáo viên chú ý rèn luyện kĩ năng thực hiện kĩ năng tư duy đặc biệt hoá và khái quát hoá thì sẽ phát triến được năng lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở nhà trường.

5 Câu hói nghiên cứu

Rèn luyện kĩ năng đặc biệt hoá và khái quát hoá cho học sinh có ý nghĩa nhưthế nào trong dạy học Đại số lớp 9?

Làm thế nào để nâng cao kĩ năng đặc biệt hoá và khái quát hoá của học sinhkhi dạy học Đại số lớp 9?

6 Đối tượng nghiên cứu và khách thế nghiên cứu

6.1 Đối tượng nghiên cứu

Việc dạy học rèn luyện các kĩ năng đặc biệt hoá và các kĩ năng khái quát hoá cho học sinh.

6.2 Khách thể nghiên cứu

Học sinh lớp 9, trường Trung học Vinschool The Harmony.

7 Phuong pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, lý luận dạy học môn toán, các sách, tạp chí khoa học toán các công trình nghiêncứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.

- Điều tra quan sát: Phỏng vấn các giáo viên trực tiếp trong quá trình giảngdạy môn Toán lớp 9, cho học sinh làm bài kiềm tra Đồng thời, phát phiếu hỏi giáo viên và học sinh để tìm hiểu thực trạng vấn đề dạy học rèn luyện kĩ năng đặc biệt hoá và khái quát hoá Tổng kết và đưa ra những kết luận khoa học cần thiết cho luận văn.

3

- Thực nghiệm sư phạm: Thể hiện các biện pháp sư phạm đã đề ra qua mộtsố giờ dạy thực nghiệm trên cùng một lớp đối tượng ở một số lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng.

8 Cấu trúc của luận vãn

Ngoài các phần: “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung luận văn gồm ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2 Biện pháp rèn luyện kĩ năng đặc biệt hoá và khái quát hoá cho học sinh trong dạy học Đại số lớp 9.

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.

4

CHƯƠNG 1

Cơ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN1.1 Năng lực toán học

1.1.1 Khái niệm năng lực

Tuỳ vào từng tình huống, lĩnh vực khác nhau mà năng lực có nhiều cách hiếu khác nhau.

Trong Chương trình Giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam, năng lực được định nghĩa là một thuộc tính cá nhân được hình thành và phát triền thông qua tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện Năng lực cho phép con người sử dụng tổng hợp các kiến thức, kỳ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, để thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định và đạt được kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể [1],

Thông qua từ điển Hán Việt của tác giả Nguyễn Lân, năng lực được định nghĩa là "khả năng đảm nhiệm công việc là thực hiện tốt công việc đó nhờ cóphẩm chất đạo đức và trình độ chuyên môn" [18].

Mặc dù có diễn đạt khác nhau nhưng các định nghĩa đều xem nãng lực là một phẩm chất tâm lí, một hệ thống tổ hợp các kiến thức, kĩ năng, thái độ, động cơ của cá nhân, được thể hiện ra bên ngoài khi cá nhân vận dụng linh hoạt để giải quyết các vấn đề cụ thể một cách có hiệu quả.

Dạy học theo hướng phát triển năng lực tập trung vào việc phát triển tối đakhả năng của từng học sinh thông qua việc thiết kế hoạt động dạy và học đa dạng, liên quan và thực tế.

Đặc điểm nổi bật của dạy học theo định hướng phát triển năng lực được thể hiện ớ nhiều yếu tố:

- Mục tiêu dạy học: Đặt trọng tâm vào việc giúp học sinh giải quyết vấn đề thực tế từ các tình huống, giúp học sinh phát huy phẩm chất cá nhân.

5

- Nội dung dạy học: Nội dung phụ thuộc vào mục tiêu đâu ra vê năng lực Chú trọng các yêu cầu để học sinh có thể linh hoạt vận dụng vào mọi tình huống.

- Phương pháp dạy học: Học sinh được đặt trong vai trò làm chủ buổi học.Thầy cô chỉ thể hiện vai trò cố vấn, hỗ trợ khi học sinh gặp khó khăn.

- Giáo án: Được thiết kế riêng và phụ thuộc vào khả năng của các nhóm học sinh thay cho việc một giáo án dùng chung như trước đây.

- Hình thức tổ chức dạy học: Đẩy mạnh hình thức hoạt động, đưa vào các tìnhhuống cần giải quyết để giúp người học có cơ hội tìm tòi, khám phá.

- Môi trường học tập: Không gian linh hoạt, cời mở Lớp học có thể diễn ra ngoài trời như công viên, hoặc các phòng chức năng như phòng lab, phòng thí nghiệm, hội trường lớn,

- Đánh giá kết quả: Người học được tự đánh giá và đưa ra ý kiến dựa trên các tiêu chí rõ ràng cũng như đánh giá từ phía giáo viên.

- Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các phương pháp xa lạ với các quy tắc thông thường đế giải phương trình.

-Trí tưởng tượng hình học.

- Suy luận lôgic được tuần tự được phân nhỏ một cách hợp lí [14],

Theo V.A Krutecxki (Vladimir Alexandrovich Krutetskii), năng lực toán học có thể được hiểu theo hai ý nghĩa:

- Theo nghĩa năng lực học tập: Năng lực đối với việc học toán, đối với việc

6

nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông.

- Theo ý nghĩa năng lực sáng tạo: Năng lực hoạt động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới có giá trị lớn đối với xã hội một cách khách quan.

Dưới đây là sơ đồ minh hoạ cấu trúc năng lực toán học [14],

Hình1.1Sơ đồ minh hoạ cẩu trúc nănglực toán học

Tính săn sàng băt tay vào hoạt động

Những điều kiện tâm lí chung, cần thiết

đề đảm bảo thực hiện thành công hoạt động

(Nguôn: PhạmVăn Hoàn,Nguyên Gia Côc,Trân Trúc Trình, 1981)

Trên cơ sở nghiên cứu lí luận và thực tiễn, sau đây là một số nhận định về năng lực toán học:

- Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp cho việc nam giáo trình toán một cách sáng tạo.

- Năng lực toán được hiểu là nhũng đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết lànhững hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học, trong những điều kiện vừng chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành côngtrong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học,đặc biệt nắm vũng tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học [14],

Tuy nhiên, năng lực học tập toán học của mỗi học sinh cũng khác nhau Vì thế, việc lựa chọn nội dung và phương pháp dạy học phù hợp cho tùng đối tượng học sinh để các em đều được nâng cao dần về mặt năng lực là vấn đề

7

quan trọng trong dạy học toán.

1.2 Tư duy toán học

1.2.1 Khái niệm tư duy

Theo các góc độ tiếp cận khác nhau, khái niệm tư duy cũng có nhiều địnhnghĩa khác nhau.

Theo cách hiếu của X.L.Rubinstêin: “Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hon, toàn diện hon so vớicác tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể”.

“Tư duy là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngừ - quá trìnhtìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ảnh một cách tùng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích hoặc tồng hợp nó” [7].

Tư duy là một quá trình tâm lí, có nảy sinh, diễn biến và kết thúc.

về mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy, có hai cách giảithích như sau:

Nhiều nhà tâm lí học, trong đó có J Piaget cho rằng:

- Hành động (Action) là các ứng xử của cá nhân đối với sự tác động các yếu tố môi trường bên ngoài;

- Thao tác (Operations) là các hành động đã được chuyển vào bên trong (hànhđộng bên ngoài được nội hiện) và đã được rút gọn.

Đối tượng của thao tác tư duy không phải là sự vật có thực như hành động, mà là những hình ảnh, biểu tượng, kí hiệu Như vậy, thao tác tư duy là hành

động tinh thần, chứ không phải là hành động thực, vật chất ở bên ngoài [11],

Một số nhà tâm lí học khác lại giải thích hành động và thao tác trong cấu trúc chung của hoạt động Sự giống nhau và khác nhau giữa chúng được thế hiện như sau:

- Hành động tư duy được hiếu là hành động tâm lí trọn vẹn, chịu sự chi phối bởi một mục đích được ý thức (hành động tâm lí có thể hiểu là làm một việc nào đó có mục đích).

8

- Thao tác là phương tiện, là cơ cấu kĩ thuật, là phương thức hành động để triển khai đến mục đích đó Thao tác không có mục đích tâm lí riêng, nó chỉ làphương tiện để thực hiện mục đích cùa một hành động nào đó.

- Thao tác và hành động có chung logic;

- Cấu trúc của thao tác được định hình trong các phương tiện (công cụ) kĩthuật Vì vậy, quá trình hình thành thao tác thực chất là quá trình học cách sửdụng các công cụ đó Thời kì đầu, quá trình học này chính là hành động tâm

lí Sau đó, hành động được luyện tập và kĩ thuật hoá để trở thành thao tác.

- Cùng một mục đích nhưng trong những điều kiện khác nhau, chủ thể hànhđộng có các thao tác khác nhau.

Như vậy, mặc dù thao tác khác hành động nhưng nó được sinh ra từ hànhđộng, kĩ thuật hoá nó, tước bỏ mục đích và chuyến nó vào trong một hànhđộng khác Hành động được rút gọn và thuần thục khi chuyển thành thao tác Vì vậy, thao tác gắn bó với kĩ năng một cách chặt chẽ.

Quá trình tư duy nảy sinh khi con người có nhu cầu giải quyết một nhiệm vụ nhận thức nào đó, không thế tách tư duy ra khỏi tâm lí nói chung trong việc giải quyết một nhiệm vụ nhận thức nào đó Bởi vì, tâm lí về bản chất là hoạt động, cho nên tham gia vào tâm lí với tư cách yếu tố cấu thành nó, không chỉcó các đối tượng tinh thần (các biều tượng, các khái niệm), mà còn có các hành động tinh thần (hành động tri giác, hành động tưởng tượng, hành động xúc cảm, ) Với ý nghĩa đó, có thề xem xét tư duy với tư cách là một hoạt động của con người, một hoạt động trí tuệ với các hành động và thao tác đặc trưng Hành động trí tuệ là hành động tinh thần có liên quan đến quá trình tư duy, là hành động tinh thần hướng tới mục đích nhận thức Mỗi hành động trítuệ bao hàm trong nó một loạt các thao tác được thực hiện trong một trật tự xác định và phù họp với nhừng quy tắc nhất định Từ đó, một tập họp các hành động trí tuệ bao hàm trong nó một loạt các thao tác đuợc thực hiện trong một trật tự xác định và phù hợp với những quy tắc nhất định Từ đó, một tập

9

hợp các hành động trí tuệ như là một chỉnh thể đề giải quyết một nhiệm vụ nhận thức nào đó gọi là hoạt động trí tuệ trong việc giải quyết nhiệm vụ nhậnthức ấy [13],

Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn, tuy nhiên tính giai đoạn của quá trình tư duy chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy,còn nội dung bên trong mồi giai đoạn của quá trình tư duy lại là một quá trìnhphức tạp, diễn ra trên cơ sở của nhũng thao tác tư duy Và như quan điểm đã nêu trên, còn gọi là thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc.

Xét về bản chất, tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác tư duyđể giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra Cá nhân có tư duy hay không chính

là ở chồ họ tiến hành các thao tác tư duy trong đầu mình hay không Do vậy,thao tác tư duy còn gọi là quy luật bên trong của tư duy.

Thao tác tư duy không đồng nhất với tư duy Quá trình tư duy là quá trình thực• hiện• các thao tác tư duy để đạt được •• mục• đích Việc • rèn Jluyện ♦ các thao tác tư duy cuối cùng cũng nằm vào mục đích chung là phát triển tư duy cho học sinh, đây cũng là một trong các mục tiêu chính cùa việc dạy học.

Có thề liệt kê, mô tả một số thao tác tư duy cụ thể dưới đây của các nhà khoa học:

Nguyễn Bá Kim không gọi là thao tác tư duy mà gọi là các hoạt động trí tuệ cơ bản, bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, trừ tượng hoá,khái quát hoá, đặc biệt hoá [15].

Theo tác giả Hoàng Chúng, thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá và cụ thế hoá [5],

Từ những ý kiến nêu trên, có thể hiểu rằng thao tác tư duy là một hành độngtư duy được kĩ thuật hoá và rút gọn Có thể rèn luyện thao tác tư duy để đạt các mức độ nhất định Việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh chính

là việc luyện tập các hành động tư duy Trong luận văn này, tác giả tập trung nghiên cứu hai thao tác đó là: Khái quát hoá và đặc biệt hoá.

10

1.2.2 Tư duy toán học

Toán học là một khoa học có nguồn gốc từ thực tiễn và là một trong các lĩnh vực có ứng dụng vô cùng đa dạng, phong phú trong thực tiễn với những đặcđiểm về đối tượng và phương pháp nghiên cứu cũng là một đối tượng của tư duy Vì vậy, như là một tất yếu, xuất hiện tư duy toán học.

Trong dạy học, cụm từ “tư duy toán học” ngày càng trở nên phố biến Tuy nhiên, cho đến thời điếm hiện tại thì khái niệm của tư duy toán học chưa cómột khái niệm nào chung nhất được đưa ra.

Tư duy toán học là một mục tiêu quan trọng trong hoạt động toán học của học sinh, nhưng nếu thiếu sự phát triển một cách có phương hướng thì không thể đạt được mức độ mong muốn về kiến thức và kĩ năng trong quá trình dạy học toán.

Sau đây là một số ý kiến về tư duy toán học:

Viện sĩ B V Gơnhedencô đưa ra quan điểm của mình qua một số yêu cầu đốivới tư duy toán học, đó là:

- Năng lực nhìn thấy quá trình suy luận là một quá trình không rõ ràng;- Thấy được sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;

- Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận, sự cô đọng, sự chính xác của các kíhiệu;

- Có thói quen lí giải lôgic một cách đầy đù [11].

Nhà toán học A la Khinsin cho rằng phong cách tư duy toán học có nhữngnét độc đáo là:

1.3 Kĩ năng

1.3.1 Khái niệm kĩ năng

Có rất công trình nghiên cứu, đề cập đến khái niệm kĩ năng:

Theo A.G.Côvaliov, kì năng là phương thức thực hiện hành động thích họpvới mục tiêu và điều kiện hành động Do đó, người có kĩ năng là người thực hiện các hành động phù hợp với mục đích và điều kiện hành động, không đề cập đển kết quả mà coi kết quả hành động phụ thuộc vào nhiều yếu tố Trong đó, quan trọng hơn cà là năng lực của người học.

Theo Trần Trọng Thủy, mặt kĩ thuật cúa hành động chính là kĩ năng Khicon người nắm được hành động thì có nghĩa là người đó có kĩ thuật hànhđộng, có kĩ năng [20].

Theo V.A.Cruchetxki: Kĩ năng là các phương thức thực hiện một loại hoạtđộng - những yếu tố mà con người đã lĩnh hội được từ trước.

Như vậy, có nhiều quan điểm khác nhau về khái niệm “kĩ năng”, nhưng nhìn chung, khi xem xét kĩ năng, cần chú ý đến các đặc điểm sau:

- Kĩ năng được biểu hiện trong hành động và hoạt động của cá nhân thôngqua hệ thống các thao tác cụ thể;

- Để có được kĩ năng, con người cần vận dụng tri thức, kinh nghiệm vào cáchoạt động sao cho phù hợp với điều kiện của hoạt động ấy;

- Neu cá nhân vận dụng những yếu tố trên một cách tùy tiện thì hành động/hoạt động hoặc không đạt kết quả, hoặc kết quả chỉ mang tính ngẫunhiên.

Do đó, việc vận dụng tri thức, kinh nghiệm cúa cá nhân cần đâm bảo đúng (với yêu cầu của hành động/hoạt động), thuần thục, linh hoạt và mang lại

12

nhũng hiệu quả nhât định cho hành động/hoạt động ây;

1.3.2 Đặc điểm của kĩ năng

Kĩ năng gồm có một số các đặc điểm sau:

- Cấu trúc của kĩ năng: Kĩ năng không chỉ là việc thực hiện một tác vụ cụ thể mà còn bao gồm việc hiểu mục tiêu và mục đích của nó Điều này đòi hởicó một kế hoạch hoặc cách thức đề đạt được kết quả mong muốn Ngoài ra,kĩ năng cũng liên quan đến việc hiếu và áp dụng các điều kiện, quy tắc,quyền lực hoặc khả năng khác để triển khai cách thức đó.

- Kĩ năng và kiến thức: Kĩ năng được xây dựng trên cơ sở kiến thức Kiếnthức cung cấp cho người học những khái niệm, thông tin và nguyên tắc cần thiết để thực hiện một kĩ năng Khi kiến thức được hiểu rõ và được áp dụngtrong bối cảnh thực tế, nó trở thành cơ sở cho việc phát triến và thực hànhkĩ năng.

- Tương tác giữa kì năng và người học: Kĩ năng của con người không tồn tại độc lập mà phụ thuộc vào người học và hoạt động của họ Người học phảitham gia vào việc học và thực hành kĩ năng thông qua mối quan hệ và tương tác với cộng đồng xung quanh Việc chia sê kinh nghiệm, nhận phán hồi và học hỏi từ người khác trong cộng đồng đóng vai trò quan trọng trong quá trình phát triển và cải thiện kĩ năng.

Tóm lại, kĩ năng không chỉ dựa trên kiến thức mà còn liên quan đến cáchthức hiểu mục đích và thực hiện, sự xác thực và áp dụng kiến thức, cũngnhư tương tác giữa người học và cộng đồng.

Tuy nhiên qua thực tiễn dạy học cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăntrong việc vận dụng khái niệm, kiến thức đã lĩnh hội được để giải quyết

13

nhũng nhiệm vụ cụ thế Việc phát hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng và từ đó xây dựng mối liên hệ giữa tri thức đã có với đối tượng là mộtkỹ năng quan trọng trong quá trình học tập Dưới đây là một số khó khăn mà học sinh có thể gặp phải và một số gợi ý để giúp họ vượt qua những khókhăn đó:

- Thiếu khả năng quan sát: Một số học sinh có thể không chú ý đến các dấu hiệu nhò hoặc quan trọng của đối tượng.

- Thiếu kiến thức cơ bản: Đôi khi, học sinh không có đú kiến thức cơ bản để nhận biết các dấu hiệu và xây dựng mối liên hệ.

- Thiếu sự tò mò và khả năng liên hệ: Học sinh cần phải có lòng tò mò vàkhả năng liên hệ để nhận ra sự tương quan giữa tri thức đã có và đối tượng.- Thiếu thời gian và sự kiên nhẫn: Xây dựng mối liên hệ bản chất đòi hởithời gian và kiên nhẫn.

Đe tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì cần biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp lí bởi vì tri thức về bất kì một sự vật, hiện tượng nào cũng rất phong phú, đa dạng, nó phản ánh các thuộc tích khác nhau và các thuộc tính bản chất của các sự vật.

1.3.3 Kĩ năng khái quát hoá

1.3.3.1.Khải niệm khái quát hoá

Tác giả Đào Văn Trung cho rằng khái quát là tư duy mà từ trong sự vật khác nhau, ta tìm ra tính chất chung của chúng và quy kết lại [21],

Theo tác giả Hoàng Chúng, khái quát hoá là quá trình tìm ra các đặc điểmchung và khái niệm tổng quát từ nhiều đối tượng, sự kiện hoặc hiện tượngkhác nhau Để thực hiện khái quát hoá, chúng ta thường so sánh và phân

14

tích những đối tượng, sự kiện, hiện tưọng để tìm ra những điểm tương đồngvà tạo ra một mô hình hay một khái niệm chung Tuy nhiên, khi khái quát hoá, chúng ta cần lưu ý rằng cũng cần quan tâm đến những đặc điểm riêng biệt của từng đối tượng, sự kiện hoặc hiện tượng Điều này đảm bảo rằngchúng ta không bõ qua những thông tin quan trọng và không mất đi sự đadạng và độ phong phú của thế giới xung quanh [5].

G.Polya cho rằng khái quát hoá có thể được hiểu như việc chuyển từ việc nghiên cửu một tập hợp cụ thể, hạn chế đối tượng sang việc nghiên cứu mộttập hợp lớn hơn chứa các tập hợp ban đầu Thay vì chỉ tập trung vào các đối tượng riêng lẻ, quá trình khái quát hoá liên kết và tổng hợp thông tin để tạo ra những khái niệm, quy tắc hay mô hình áp dụng cho nhiều đối tượngtương tự.

Như vậy, có thể hiểu, khái quát hoá là hoạt động tư duy tìm các dấu hiệuchung đặc trưng cho một nhóm đổi tượng (sự vật, hiện tượng) đế nghiên cứu, nhận thức nhóm đối tượng đó.

Năng lực khái quát hóa M.N.Sacđacov xem xét khái quát hoá dưới góc độ năng lực đặc trưng cho các giai đoạn phát triển lứa tuổi Khái quát hoá pháttriến từ khái quát hoá cảm tính thông qua khái quát hoá hình tượng và khái

niệm dẫn đến khái quát hoá khái niệm trừu tượng.

Nguyễn Thị Mỹ Hằng cho rằng, “Khái quát hoá là quá trình nghiên cửu các sự vật, hiện tượng riêng lẻ ban đầu ta tách các thuộc tính, các mối liên hệchung, bản chất, nghĩa là tách trừu tượng hóa khỏi các dấu hiệu và các mối liên hệ không bản chất Sau đó nhờ khái quát hoá các thuộc tính và các mối liên hệ chúng ta thu được các tri thức khái quát, trừu tượng dưới hình thức

15

nhũng khái niệm, định lí, quy tăc Khái quát hoá chính là quá trình phântích tổng hợp những cái chung nhất của sự vật, hiện tượng” [11],

Mặt khác, khi đề cập một năng lực nhất định, người ta thường đề cập đến tổ hợp Kiến thức + Kĩ năng + Thái độ Vì vậy, khi xem xét khái niệm năng lựckhái quát hoá cũng cần dựa trên các họp phần này Theo đó, kĩ năng của năng lực khái quát hoá chính là các thao tác tư duy như: xác định mục đích,

lựa chọn các lóp/nhóm đối tượng; phân tích các dấu hiệu/đặc điểm tính chất của từng đối tượng trong lớp/nhóm đối tượng; phân loại các dấu hiệu để tìmdấu hiệu chung và bản chất nhất của lớp/nhóm đối tượng đã chọn và diễnđạt nội dung các dấu hiệu đó bằng ngôn ngừ hình thành khái niệm phảnánh bản chất nhóm đối tượng nghiên cứu Các kĩ năng tư duy này được thực hiện trên nền tảng kiến thức về từng đối tượng với nhu cầu nhận thức vàthái độ tích cực nhìn nhận vấn đề ở mức độ khái quát hoá.

Khái quát hoá đóng vai trò quan trọng trong nhiều tình huống khác nhau.

- Khái quát hoá để hình thành khái niệm: Trong quá trình học toán, khái quát hoá được sử dụng đề xác định và hình thành các khái niệm quan trọngnhư số học, đại số, hình học và các khái niệm khác Bằng cách tìm hiếu các đối tượng và quy luật chung, học sinh có thể xây dựng lên các khái niệm toán học cơ bản.

- Khái quát hoá để hình thành định lí: Trong toán học, định lí là những tuyên bố được chứng minh và có tính chất tống quát Quá trình khái quát hoá được sử dụng để tách riêng các điều kiện và thuộc tính chung của các bài toán, từ đó hình thành các định lí có áp dụng rộng.

- Khái quát hoá bài toán: Khi giải quyết bài toán, khái quát hoá giúp chúng

16

ta nhìn nhận các mẫu và quy tắc chung Thay vì tìm hiểu từng bài toán cụ thể, chúng ta có thể xác định cấu trúc, mô hình hay quy tắc chung và áp dụng chúng cho các bài toán tương tự.

- Khái quát hoá để hình thành phương pháp giải các lớp bài toán: Thông qua quá trình khái quát hoá, chúng ta có thể phân tích và tìm ra phương pháp giải cho một lóp các bài toán tương đồng Bằng cách tìm hiểu các đặcđiểm chung và quy tắc, chúng ta có thể phát triển phương pháp giải quyết rõ ràng và hiệu quả cho các lóp bài toán tương tự.

- Khái quát hoá hướng suy nghĩ giải bài tập toán: Khái quát hoá giúp chúng ta tách bở các chi tiết không cần thiết và tập trung vào các thuộc tính và mốiliên hệ quan trọng trong bài tập toán Điều này giúp chúng ta suy nghĩ mộtcách logic và tìm ra cách tiếp cận và giải quyết bài toán một cách hiệu quả.

Có hai dạng khái quát hoá thường gặp trong môn Toán theo quan điềm củaNguyễn Bá Kim [16]:

So' đồ ỉ.l.Các dạngkhái quát hoá thườnggặp trong môn Toán

Tóm lại, có hai phương pháp khái quát hoá khác nhau: Khái quát hoá dựa

17

trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giông vàkhái quát hoá dựa trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ.

Có thể thực hiện khái quát hoá đến cái tổng quát đã biết mang tính quy trình như sau:

- Bước 1: Xác định vấn đề cần giải quyết;

- Bước 2: Lựa chọn, xác định những thuộc tính, quan hệ của đối tượng gắn với bản chất vấn đề cần giải quyết;

- Bước 3: Đưa đối tượng vào một lớp đối tượng theo thuộc tính, quan hệ đã xác định Xác định những quy tắc, quy luật, công thức tổng quát của lớp đối tượng đó có liên quan đến việc cần giải quyết.

Khái quát hoá đến cái tổng quát chưa biết:- Bước 1: Xác định vấn đề cần khái quát;

- Bước 2: Xác định các đặc điểm của các đối tượng riêng lẻ;

- Bước 3: So sánh các đặc điểm đó để tìm ra các đặc điểm giống nhau vàkhác nhau;

- Bước 4: Trong các đặc điểm giống nhau đó giữ lại cái bản chất và trừu xuất chúng ra khởi đối tượng;

- Bước 5: Chuyển từ việc nghiên cứu các đối tượng riêng lẻ sang nghiên cứu một tập hợp lớn hơn chứa các đổi tượng riêng lẻ đó;

- Bước 6: Chứng minh các đặc điểm vừa tách ra ở bước 4 cũng thoả mãn trong tập hợp lớn hơn ở bước 5;

- Bước 7: Phát biểu kết quả tổng quát vừa chứng minh được.

Dạng khái quát hoá này đi đến kiến thức mới, chăng hạn như hình thànhkhái niệm theo con đường quy nạp, mở rộng một khái niệm, mở rộng một

18

định lí, mở rộng một bài toán,

1.3.3.2 Các kĩ năng thành phần của kĩ năngkhái quát hoá

Từ trước đến nay, cả trên thế giới và ở Việt Nam, có nhiều quan điếm khácnhau về cấu trúc năng lực khái quát hoá Tuy nhiên, dù có khác nhau nhưng các quan điểm này đều có điểm chung là dựa trên cấu trúc của quá trình tư duy logic.

Theo quan điếm của B.A.Ozahecrh, tư duy lôgic là loại tư duy trong đó yêu cầu chủ thể phải có kĩ năng sau: Kĩ năng rút ra các hệ quả từ những tiên đềcho trước; kĩ năng phân chia những trường hợp riêng biệt và hợp chúng lại;kĩ năng dự đoán kết quả cụ thể bằng lí thuyết, kĩ năng tổng quát những kết quả đã thu được.

Theo Nguyên Quang Uân, các thao tác tư duy lôgic được xác định bởi các kì

năng: Phân tích; tông hợp; so sánh; trừu tượng hóa - khái quát hóa [22J.

Khi xem xét trên quan điểm năng lực là tập hợp kiến thức, kĩ năng và thái

độ, câu trúc năng lực khái quát hoá có thê được mô hình hóa như sơ đô sau:

Sơ đô1.2.Môhình vê cãu trúc nănglực khái quát hoá

Thao tác tư duy

Thái độ tích cựcKiến thức cơ bân

Theo mô hình trên, kiên thức vê từng đôi tượng là nguyên liệu cơ bản vàđịnh hướng khái quát hoá Tiếp theo, thái độ tích cực là động lực thực hiện việc khái quát hoá kiên thức còn kĩ năng với các thao tác tư duy là tiên trình trí tuệ gia công kiên thức đê khái quát hoá hình thành khái niệm là ngôn

19

ngữ mã hóa bản chât khách quan sự vật, hiện tượng Như vậy, khái quát hoá là một năng lực nhận thức biểu hiện bằng một tiến trình hành động được thúc đẩy bởi động lực tâm lí của chủ thể nhận thức Tiến trình hành động đó được gọi là các kĩ năng.

Dựa trên quan điểm này, khái quát hoá là một quá trình, ứng với mồi bướctrong quá trình đó là một nhóm kĩ năng Khi xem xét các kĩ năng, chúng tôi xác định 05 kĩ năng thành phần của năng lực khái quát hoá theo thứ tự nhưsau:

- Kĩ năng xác định mục đích khái quát hoá: Là xác định được kết quả mong đợi sau khi thực hiện quá trình khái quát hoá Trong dạy học, giáo viên yêu cầu học sinh cần xác định được mục đích, mục tiêu của quá trình khái quát hoá Mục đích là yếu tố quan trọng thúc đấy việc thực hiện mục tiêu, nếu đật mục tiêu không có mục đích thì sẽ không có động lực đề thực hiện được mục tiêu đó Mục tiêu phải rõ ràng, cụ thể, đo lường và ước lượng được.

- Kĩ năng lựa chọn nhóm đối tượng khái quát hoá: là chủ thể nhận biết sơbộ, đưa ra những nhận định hay giả định có giá trị về nhóm đối tượngnghiên cứu Trong dạy học, giáo viên nên yêu cầu học sinh có những suy luận trên cơ sở kiến thức, kĩ năng đã biết để lựa chọn các sự vật, hiện tượng.- Kĩ năng phân tích các dấu hiệu, tính chất của từng đối tượng trong nhóm

đối tượng đã chọn: Là sự phân chia trong tư duy các đối tượng thành những yếu tố hợp thành, các dấu hiệu, các đặc tính riêng biệt của các đối tượng đó.

- Kĩ năng phân loại các dấu hiệu để tìm các dấu hiệu chung và bản chất nhất của nhóm đối tượng đã chọn: Trong dạy học, giáo viên yêu cầu học sinhphân loại các dấu hiệu rồi tìm trong đó dấu hiệu chung và bản chất của các

20

đôi tượng dựa trên một sô tiêu chí nào đó.

- Kĩ năng diễn đạt nội dung được khái quát hoá thành khái niệm/định lí/công thức/bài toán: Là hoạt động tư duy để gạt bỏ những yếu tố, những tính chất, những liên hệ thứ yếu, không bản chất của các đối tượng và chỉgiữ lại những yếu tố bản chất, từ đó sử dụng ngôn ngữ khái quát hoá thành khái niệm/định lí/công thức/bài toán là mô hình sự vật khách quan trong tư duy.

Các kĩ năng thành phần của năng lực khái quát hoá được sắp xếp theo lôgic cấu thành quá trình khái quát hoá Do đó, có thể quan niệm, mồi kĩ năngthành phần là một tiêu chí của năng lực khái quát hoá, trong mồi tiêu chí sẽcó nhiều mức độ biểu hiện khác nhau Các biểu hiện hành vi cùa các kĩnăng khái quát hoá thế hiện trong bảng 1.1 sau:

Bảng 1.1 Các biêu hiện hànhvi của các kĩ năng khái quát hoá

Kĩ năng thành phần của khái quát hoá

Định dạng các đối tượng hoặc gọi tên các đối tượng tiến hành kháiquát hoá.

Xác định vị trí, vai trò của việc

21

nghiên cứu các đối tượng trong

Kĩ năng phân tích các dâu hiệu, đặcđiểm, tính chất của từng đối tượngtrong nhóm đối tượng đã chọn

quá trình khái quát hoá.

Chỉ ra các đặc điểm từng đối tượngnghiên cứu và thiết lập mối quan

hệ giữa các đặc điểm đó.Kĩ năng phân loại các dấu hiệu đế

tìm các dấu hiệu chung và bản chất nhất của nhóm đối tượng đã chọn

Chỉ ra dâu hiệu giông và khác nhau giữa các đối tượng.

Chọn ra dấu hiệu giống nhau chung cho các đối tượng đó.

Kĩ năng diễn đạt nội dung được kháiquát hoá thành khái niệm/địnhlí/công thức/bài toán tổng quát

Loại bỏ những dâu hiệu khác nhau và giống nhau không bản chất, giữ

lại những dấu hiệu bản chất của các đối tượng.

Chọn từ ngữ mã hóa hình thànhkhái niệm phản ánh trong tư duycác đối tượng nghiên cún.

1.3.4 Kĩ năng đặc biệt hoá

1.3.4 ỉ Khải niệm về đặc• • • biệt hoá

Đặc biệt hoá là chuyên từ khái niệm có ngoại diện rộng sang khái niệm cóngoại diện hẹp (còn gọi là giới hạn khái niệm).

Có quan niệm về đặc biệt hoá như sau: Nếu bằng đặc biệt hoá ta tìm đượcmột mệnh đề đúng thì càng thêm tin tưởng vào giả thuyết là đúng, còn nếu qua đặc biệt hoá ta nhận được mệnh đề sai thì có thể hoàn toàn bác bỏ dựđoán ban đầu.

22

9 9

Những dạng đặc biệt hoá thường gặp trong môn toán có thê được biêu diêntheo sơ đô sau [16]:

> _

Sơđôỉ.3 Những dạngđặcbiệt hoáthường gặp trong môn Toán

Đặc biệt hoá là quá trình đi từ cái chung đên cái riêng, là quá trình minh hoạhoặc giải thích nhũng khái niệm, định lí bằng những trường hợp riêng lẻ,cụ thể.

Đặc biệt hoá thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh các định lí, bài tập

1.3.4.2.Các kĩ năngthành phầncủa kĩnăng đặc biệt hoá

Cũng như khái quát hoá, đặc biệt hoá là một năng lực nhận thức biếu hiệnbằng một tiến trình hành động được thúc đấy bởi động lực tâm lí của chủthể nhận thức Tiến trình hành động đó được gọi là các kĩ năng.

Dựa trên quan điểm này, đặc biệt hoá là một quá trình, ứng với mỗi bướctrong quá trình đó là một nhóm kĩ năng Khi xem xét các kĩ năng, chúng tôixác định 03 kĩ năng thành phần của năng lực đặc biệt hoá theo thứ tự như

- Kĩ năng xác định mục đích đặc biệt hoá: là xác định được kết quả mong

23

đợi sau khi thực hiện quá trình đặc biệt hoá Trong dạy học, giáo viên yêu cầu học sinh cần xác định được mục đích, mục tiêu của quá trình đặc biệthoá Mục đích là yếu tố quan trọng thúc đẩy việc thực hiện mục tiêu, nếu đặtmục tiêu không có mục đích thì sẽ không có động lực để thực hiện được mục tiêu đó Mục tiêu phải rõ ràng, cụ thể, đo lường và ước lượng được.

- Kĩ năng lựa chọn lớp/nhóm đối tượng để đặc biệt hoá: là đưa ra nhừng nhận định hay giả định có giá trị về nhóm đối tượng nghiên cứu Trong dạy học, giáo viên nên yêu cầu học sinh có những suy luận trên cơ sở kiến thức,kĩ năng đã biết để lựa chọn các sự vật, hiện tượng.

- Kĩ năng suy luận từ lớp/nhóm đối tượng đã được đặc biệt hoá để đưa ra khái niệm, kiến thức hoặc tìm ra lời giải cho bài toán ban đầu: là từ kết quả sau khi đặc biệt hoá lớp/nhóm đối tượng, liên hệ tới vấn đề ban đầu để đạtđược mục tiêu.

Các kĩ năng thành phần của năng lực đặc biệt hoá được sắp xếp theo lôgic cấu thành quá trình đặc biệt hoá Do đó, có thể quan niệm, mồi kĩ năng thành phần là một tiêu chí của năng lực đậc biệt hoá, trong mỗi tiêu chí sẽcó nhiều mức độ biểu hiện khác nhau Các biếu hiện hành vi của các kĩ năng đặc biệt hoá thể hiện trong bảng 1.2 sau:

Bảng 1.2Các biêu hiện hànhvi của các kĩ năng đặc biệthoá

Kĩ năng thành phần của kĩ năng đặc biệt hoá Biểu hiện

Kĩ năng xác định mục đích đặc biệt hoá Xác định được nội dung, vấn đề nhận thức

Kì năng lựa chọn nhóm đối tượng đặc biệthoá

Lựa chọn được các đốitượng để tạo thành lớp phù

24

hợp mục đích tiến hành đặc biệt.

Định dạng các đối tượnghoặc gọi tên các đối tượngtiến hành đặc biệt hoá.

Xác định vị trí, vai trò của việc nghiên cứu các đốitượng trong quá trình đặcbiệt hoá.

Kĩ năng suy luận từ nhóm đối tượng đã được đặc• biệt hoá để • đưa ra khái niệm, kiến thức «7

hoặc tìm ra lời giải cho bài toán ban đầu

Phát biểu được khái niệmhoặc đưa ra được kiến thứclý thuyết với trường hợpđặc biệt hoặc tìm ra lời giãicho bài toán ban đầu.

1.3.5 Mối quan hệ giữa đặc biệt hoá và khái quát hoá

Khái quát hoá vàđặc biệt hoálà hai mặtđốilập của mộtquá trình tưduy thống

Khái quát là dùngtrinãotáchra cái chung trên cơ sởnhững đốitượng,sự kiện,hiện tượngđã biết của cáctrường hợp riêng Tứclà chuyển từtập họp đối tượng

sang tập họp lớnhơn chứa tập hợp ban đầu bằngcách nêubật một sốđặc điểm

chung cùa một số phần tử cùa tập xuất phát.

Ngược lại với khái quát hoá là đặc biệt hoá Đặc biệt hoá là chuyếntừ việc khảo

sát một tập hợp các đối tượng đã cho sang việc khảo sát mộttập họp đối tượng

nhở hơn chứa trong tập họpbanđầu.

Như vậy, khái quát hoá và đặcbiệt hoácó mối liênhệthống nhất vớinhau theo

25

một cơ chế chung của tư duy và đượcphối hợp với nhau trong quá trình giảiquyết

lưu ý về điều kiện kèm theo.

- Học sinh: Ta có thế đặc biệt hoá bài toán như sau:

Cho n = 4, m = 2, ta có bài toán bất đẳng thức: «4 + b' > 2a2b2 (1)

Hoặc cho n = 5; m = 2, ta có bài toán bất đẳng thức: ứ5 + b5 > a:'b2+ a2b:' (2) Thay vì tìm lời giải cho bài toán ban đầu nhiều biến và khó tìm ra hướnggiải thì học sinh sẽ tìm lời giải cho hai bài toán sau khi đặc biệt hoá.

Sau đó học sinh lại khái quát hoá hai bài toán, tìm các đặc điểm chung để đưa ra lời giải cho bài toán ban đầu.

1.3.6 Biểu hiện của người học có tư duy đặc biệt hoá và khái quát hoá

1.3.6.1.Biếu hiện của người học có tưduy đặc biệt hoá

Khi người học có tư duy đặc biệt hoá, nhìn chung sẽ có một số những biểu hiện sau đây:

- Thường xuyên đặt câu hỏi thắc mắc về trường họp đặc biệt hay cách để đặcbiệt hoá nội dung đang được học.

- Phản ứng nhanh với những câu hỏi mang tính đặc biệt hoá.

26

- Thích tìm tòi, khám phá những nội dung mới mẻ.

- Luôn xem xét các vấn đề theo nhiều góc nhìn khác nhau.

- Có khả năng đơn giản hoá các nội dung phức tạp, đưa những nội dung mới, lạ về kiến thức quen thuộc.

- Có khả năng đặc biệt hoá mọi vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau và trong cuộc sống.

1.3.6.1 Biếu hiện của ngườihọccó tưduy khải quát hoả

- Thường xuyên đặt câu hỏi thắc mắc về trường hợp khái quát hay cách đế khái quát hoá nội dung đang được học.

- Phản ứng nhanh với những câu hỏi mang tính khái quát hoá.

- Thích sâu chuồi các nội dung khác nhau để đưa ra kết luận khái quát, hồ trợ trong việc nhớ kiến thức và khắc sâu kiến thức.

- Luôn xem xét các vấn đề theo nhiều góc nhìn khác nhau.

- Có khà năng khái quát hoá mọi vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau và trong cuộc sống.

- Thích học theo cách đưa ra các bài toán khái quát hoá.

- Thích tìm kiếm thông tin và thích thu thập các thông tin đa chiều.

1.4 Vai trò của đặc biệt hoá và khái quát hoá trong dạy học môn toán

Trong toán học, đặc biệt hoá và khái quát hoá đã trở thành một phươngpháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của nhiều phát minh trong toán học sơ cấp cũng như trong toán học cao cấp Đặc biệt hoá và khái quát hoá có thể vận dụng để dự đoán kết quả bài toán, tìm cách giải cho bài toán, để mởrộng, đào sâu và hệ thống hoá kiến thức.

Khái quát hoá giúp học sinh nhận ra các mẫu, quy tắc và quy luật chung

27

trong toán học từ các bài toán và ví dụ cụ thê Thông qua quá trình khái quát hoá, học sinh có thể nhận ra ràng các khái niệm và phương pháp toán học có thể được áp dụng vào nhiều trường họp khác nhau và mở rộng ra các bàitoán mới Điều này giúp phát triển khả năng tư duy logic, tư duy phân tích và khả năng áp dụng của học sinh trong việc giải quyết các vấn đề phức tạp hơn.

Nhiều khi việc giải bài toán trong trường hợp đặc biệt chưa giúp ta giải được bài toán đã cho Điều đó vần cử tốt, vì như vậy chúng ta đã giải được mộtphần của bài toán Đối với những bài toán đã cho, việc giải được một phầnbài toán cũng rất có giá trị.

Tóm lại, đặc biệt hoá và khái quát hoá trong dạy học môn toán giúp tạo ra môi trường học tập linh hoạt và phù hợp với từng học sinh, đồng thời khuyến khích học sinh áp dụng kiến thức toán học vào các tình huống thực tế khác nhau và phát triển khả năng tư duy sáng tạo.

Ket họp cả đặc biệt hoá và khái quát hoá trong quá trình dạy học toán giúp học sinh xây dựng một cơ sở vừng chắc về kiến thức toán học và phát triền các kỹ năng tư duy toán học Bằng cách thực hiện các bài tập và ví dụ cụthể, học sinh có thể hiểu rõ hơn về các khái niệm toán học Sau đó, thôngqua quá trình khái quát hoá, họ có thế áp dụng kiến thức này vào nhiều tìnhhuống khác nhau và giải quyết các bài toán mới.

ĩ.4 ĩ Vai trò của đặc biệt hoá và khái quát hoá trong việc hình thành khái niệm và các tri thức lí thuyết

Đặc biệt hoá và khái quát hoá đóng vai trò quan trọng trong việc hình thànhkhái niệm và tri thức lý thuyết của học sinh trong quá trình học tập Cả hai

28

khái niệm này đều giúp học sinh hiếu sâu về các khái niệm và quy tắc toánhọc, từ đó xây dựng nền tảng kiến thức vững chắc và khả năng áp dụng linhhoạt.

Đặc biệt hoá: Đặc biệt hoá giúp học sinh hiểu sâu về các khái niệm và quytắc toán học thông qua việc tạo ra các bài tập và hoạt động phù hợp với năng

lực và sự tiến bộ của từng học sinh Giáo viên có thể điều chỉnh cách giảngdạy, cung cấp các tài liệu học tập và bài tập có độ khó khác nhau để phù hợpvới từng học sinh Điều này giúp học sinh xây dựng nền tảng kiến thức toánhọc vững chắc, khám phá và phát triển khả năng toán học của mình theo tốc độ riêng.

Khái quát hóa: Khái quát hoá giúp học sinh nhìn thấy sự liên hệ, mô hình và quy tắc chung trong các khái niệm toán học Thay vì chỉ tập trung vào việc giải quyết các bài toán cụ thể, học sinh được khuyến khích suy nghĩ về

cách áp dụng những quy tắc đã học vào các tình huống mới Điều này giúp hình thành các khái niệm toán học chung, khám phá những quy tắc tổngquát và mô hình toán học, và phát triển khả năng áp dụng chúng vào nhiều bài toán khác nhau.

Tổng quát hóa và đặc biệt hoá là hai khía cạnh quan trọng trong quá trình hình thành khái niệm và tri thức lý thuyết trong môn toán Đặc biệt hoágiúp tạo điều kiện phù hợp cho từng học sinh để họ xây dựng kiến thức và khám phá toán học theo năng lực của mình Khái quát hoá giúp học sinhnhìn thấy các mô hình và quy tắc chung trong toán học, từ đó phát triển khả năng áp dụng và sáng tạo trong việc giải quyết các vấn đề mới.

Ví dụ 1.2: Quy tắc nhân căn bậc hai như sau:

29

vM-v'S = \!AB với mọi A, B không âm

- Giáo viên đưa ra một số ví dụ nhân hai căn bậc hai của hai số và tìm cănbậc hai của một tích để học sinh khái quát hoá thành định lí.

- Học sinh:

• ạ/A? •ặ/^3• • •yl An Va A3 A/? với mọi A1,^2,-'43> —Mn không âm.

1.4.2 Vai trò của đặc biệt hoả và khái quát hoá trong việc tìm lời giải cho bài toán

Đặc biệt hoá và khái quát hoá đóng vai trò quan trọng trong việc tìm lời giải cho bài toán bang cách giúp chúng ta phân tích và hiếu sâu về các yếu tốquan trọng của bài toán.

điểm khác biệt và đặc thù của từng bài toán, chúng ta có thể tách riêng các yếu tố quan trọng và tập trung vào việc giải quyết chúng một cách chi tiết và

cụ thể hơn.

- Tùy chỉnh phương pháp giải: Đặc biệt hoá cho phép chúng ta tùy chỉnh phương pháp giải quyết bài toán dựa trên các yếu tố và điều kiện cụ thề của từng bài toán Thay vì áp dụng một phương pháp tiêu chuẩn, chúng ta có thểđiều chỉnh và tùy biến phương pháp giải quyết đế phù hợp với yêu cầu vàđặc thù của từng bài toán.

Khái quát hoá:

- Nhìn nhận mô hình và quy tắc chung: Khái quát hoá giúp chúng ta nhìn nhận những mô hình và quy tấc chung trong các bài toán Thông qua việc tìm hiểu và nhận biết các đặc điểm chung và quy tắc toán học, chúng ta cóthề áp dụng chúng vào các bài toán tương tự hoặc liên quan Điều này giúp giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả.

- Áp dụng kiến thức từ các bài toán tương tự: Khái quát hoá cho phép chúng ta áp dụng kiến thức và phương pháp giải từ các bài toán tương tự vào bài toán hiện tại Thông qua việc nhận ra sự tương đồng và mô hình chung giữa các bài toán, chúng ta có thể sử dụng những phương pháp đã được kiếm chứng và áp dụng chúng vào bài toán mới.

Qua đó, đặc biệt hoá và khái quát hoá đỏng vai trò quan trọng trong việc tìmlời giải cho bài toán Đặc biệt hoá giúp phân tích và tùy chinh phương phápgiải quyết dựa trên các yếu tố cụ thể của bài toán, trong khi khái quát hoágiúp nhìn nhận mô hình và quy tắc chung đế áp dụng kiến thức từ các bài toán tương tự và giải quyết bài toán hiện tại một cách hiệu quả.

31

=> X = P(2016— x)2-2016?

Đây là một phương trình bậc 4 rât khó giải, hơn nữa có chứa các sô rât côngkềnh Vì vậy, ta xét phương trình (1) dưới dạng xem hằng số 2016 như làmột trường hợp riêng của tham số m nào đó, nghĩa là ta xét bài toán trong trường hợp tổng quát sau:

Ví dụ1.4: Cho a,b > 0 Chứng minh rằng;

a2+ b3 >a2b + b2a (1).Ta có:

a2 +b3 —a2b — b2a = a2(a— b)—b2(a—b)= (a—b)(a2 —b2}

Vậy (1) được chứng minh.

Chúng ta có thể mở rộng bài toán, đề xuất bài toán mới từ bài toán trên nhưthế nào?