Bên cạnh đó, xin gửi lời cảm ơn tới một người bạnđặc biệt, người luôn bên cạnh em về mặt tinh thần và cùng với thầy Thăng động viênem hoàn thành tốt đồ án.Cuối cùng, em cũng xin gửi lời
Ma trận xác định dương, ma trận nửa xác định dương
Định nghĩa 1.1(Ma trận xác định dương) Ma trậnD∈R n n × được gọi là xác định dương nếux T Dx > 0∀x∈R n \{ }0 Nếux T Dx ≥ 0,∀x∈R n thìDđược gọi là ma trận nửa xác định dương. Định nghĩa 1.2(Ma trận xác định âm) Ma trậnD∈R n n × được gọi là xác định âm nếux T Dx < 0∀x∈R n \{0} Nếux T Dx ≤ 0,∀x∈R n thìDđược gọi là ma trận nửa xác định âm.
Hàm lồi và quy hoạch lồi
Tập affine
Chox 1 , x 2 thuộcR n Tập tất cả các điểm có dạng x = λx 1 +(1 − )xλ 2 = x 2 + (xλ 1 − x 2 ) vớiλ∈R, được gọi là đường thẳng đi quax 1 vàx 2 Định nghĩa 1.3(Tập affine) TậpM⊆R n được gọi là tập affine nếuMchứa trọn cả đường thẳng đi qua hai điểm bất kì thuộcM, tức với mọix x 1 , 2 ∈Mvà λ∈Rta cóλx 1 +(1 − )xλ 2 ∈M.
3 Định nghĩa 1.4 (Tổ hợp affine) Ta gọi một điểmx∈R n có dạngx ∑i=1 k vớiλ λ1, 2, ,λk∈R và∑ k i=1λi= 1 là tổ hợp affine của các điểm x x 1 , 2 , ,x k ∈R n Định nghĩa 1.5(Bao affine) Bao affine của một tậpE⊆R n là giao của tất cả các tập affine chứaE Đó là tập affine nhỏ nhất chứaE, ký hiệu làaff E Số chiều của một tậpMlà số chiều của bao affine của nó, ký hiệu làdim M. Định nghĩa 1.6(Điểm trong tương đối) Cho tậpM⊆R n códim M < n Một điểma∈Mđược gọi là điểm trong tương đối củaMnếu tồn tại hình cầu mở sao cho Phần trong tương đối của tậpM, ký hiệu là riM là tập chứa tất cả các điểm trong tương đối củaM.
Tập lồi
Chox 1 , x 2 thuộcR n Tập tất cả các điểm có dạng x = λx 1 +(1 − )xλ 2 = x 2 + (xλ 1 − x 2 ) với0 ≤ λ ≤ 1, được gọi là đoạn thẳng nối hai điểmx 1 vàx 2 , kí hiệu là[x 1 , x 2 ]. Định nghĩa 1.7(Tập lồi) TậpM⊆R n được gọi là tập nếuMchứa trọn cả đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộcM, tức với mọix 1 , x 2 ∈Mvà
0 ≤ ≤λ 1ta cóλ x 1 +(1 − λ )x 2 ∈M. Định nghĩa 1.8(Tổ hợp lồi) Ta gọi một điểmx∈R n có dạngx = ∑ k i=1 λix i vớiλ1, ,λk≥ 0 và∑ k i=1λi= 1 là tổ hợp lồi của các điểmx 1 , x 2 , , x k ∈R n Nếuλi> 0 với mọii = 1, 2, , k thì ta nóixlà tổ hợp lồi chặt của các điểm x x 1 , 2 , ,x k ∈R n
Mệnh đề 1.1 Một tậpM⊂R n là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các tổ hợp lồi của những phần tử thuộc nó. Định nghĩa 1.9(Bao lồi) Bao lồi của tậpE⊂R n là giao của tất cả các tập lồi chứaEvà được ký hiệu làconv( )E Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E Định nghĩa 1.10(Điểm cực biên) Cho tập lồiM⊂R n Một điểm được gọi là điểm cực biên củaMnếuxkhông thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp lồi chặt của hai điểm phân biệt bất kỳ nào củaM.
Số điểm cực biên của tập lồi có thể hữu hạn hoặc vô hạn Khi tập lồi có hữu hạn điểm cực biên thì chúng thường được gọi là các đỉnh.
Mệnh đề 1.2 Một tập lồi đóng khác rỗngM⊂R n có điểm cực biên khi và chỉ khi nó không chứa trọn một đường thẳng nào. Định lý 1.1(Định lý Krein-Milman)Một tập lồi đóng, bị chặn trongR n là bao lồi của các điểm cực biên của nó.
Hàm lồi
Định nghĩa 1.11(Hàm lồi) Hàmfđược gọi là hàm lồi xác định trên tập lồi
X⊆R n nếu f (λ x 1 +(1 − λ )x 2 ) ≤ λ f (x 1 )+(1 − λ ) f (x 2 ) (1.1) với bất kìx 1 , x 2 ∈Xvà số thựcλ∈[0, 1]. Định nghĩa 1.12(Hàm lồi chặt) Hàmfđược gọi là hàm lồi xác định trên tập lồiX⊆R n nếu f (λ x 1 +(1 − λ )x 2 ) < λ f (x 1 )+(1 − λ ) f (x 2 ) (1.2) với bất kìx 1 , x 2 ∈X,x 1 = x 2 và số thựcλ∈(0, 1).
Hàm fđược gọi là hàm lõm nếu− f là hàm lồi, tương tự,fđược gọi là hàm lõm chặt nếu− flà hàm lồi chặt.
Miền xác định hữu hiệu của hàm flà: dom f := {x∈X| f (x) < +∞}.
Epigraph của hàmflà tập: epi( f )={(x, ξ )∈X × R|ξ ≥ f (x }⊂R) n+1
Hypograph của hàm flà tập: hypo( f )={(x, ξ )∈X × R|ξ ≤ f ( )x }⊂R n+1
Mệnh đề 1.3 i) Hàm sốfxác định trên tập lồi khác rỗngX⊆R n là hàm lồi khi và chỉ khiepi( f )là tập lồi. ii) Hàm sốgxác định trên tập lồi khác rỗngX⊆R n là hàm lồi khi và chỉ khihypo(g)là tập lồi.
Mệnh đề 1.4 i) Nếu hàm sốfxác định trên tập lồiX⊆R n là hàm lồi thì tập mức dướiLα( f ) := {x∈X| f (x) ≤ α}là tập lồi với mọiα∈R. ii) Nếu hàm sốgxác định trên tập lồiX⊆R n là hàm lõm thì tập mức trên
Uα( f ) := {x∈X| f (x) ≥ α}là tập lồi với mọiα∈R.
Cho hàm lồif1xác định trên tập lồiX1⊂R n , hàm lồi f2xác định trên tập lồiX2⊂R n và số thựcλ > 0 Ta định nghĩa các phép toán sau:
Khi đó, ta có các kết quả sau:
Mệnh đề 1.5 Chof1 là hàm lồi trên tậpX1, f2 là hàm lồi trên tậpX2 và các số thựcα, β > 0 Khi đó, các hàmα f1+ β f2 vàmax{ f1, f2}là hàm lồi trên
Mệnh đề 1.6 Nếu flà hàm lồi xác định trên tập lồi mởX⊂R n thìf là hàm liên tục trên X Định lý 1.2 Choflà hàm khả vi hai lần trên tập lồi mởX⊂R n Khi đó, flà hàm lồi khi và chỉ khi ma trận Hesse∇ 2 f (x)là nủa xác định dương trênX.
Hàmf là hàm lồi chặt trênXnếu∇ 2 f (x)xác định dương trên X
Hệ quả 1.1 Xét hàmf = x T Qx + c T x + α trong đóQlà ma trận đối xứng cấp n Khi đó ta có:
•NếuQlà ma trận nửa xác định dương thìf là hàm lồi trênR n
•NếuQlà ma trận xác định dương thìflà hàm lồi chặt trênR n
Mệnh đề 1.7 Xét hàm f =p x T Qx vớix∈R n , Q∈R n×n NếuQlà ma trận nửa xác định dương thìflà hàm lồi trênR n
Một số kết quả trong tối ưu
Bài toán tối ưu tổng quát được phát biểu như sau: min f (x) v.d.k x∈X, (P 1 ) hoặc max f (x) v.d.k x∈X, (P 2 ) trong đóX⊂R n được gọi là tập nghiệm chấp nhận được hay tập ràng buộc và hàmf : X → Rlà hàm mục tiêu.
Mỗi điểmx∈Xđược gọi là một nghiệm chấp nhận được hay một phương án chấp nhận được Điểmx ∗ ∈Xmàf (x ∗ ) ≤ f (x),∀x∈X được gọi là nghiệm tối ưu, hoặc nghiệm toàn cục tối ưu, hoặc nghiệm cực tiểu toàn cục, hoặc đơn giản là nghiệm của Bài toán (P1) Người ta còn gọi một nghiệm tối ưu là một phương án tối ưu. Điểmx ∗ ∈Xđược gọi là nghiệm cực tiểu toàn cục chặt của Bài toán (P1) nếu: f (x ∗ ) < f ( ),x ∀x∈X,x =x ∗ Điểmx ∗ ∈Xđược gọi là nghiệm tối ưu địa phương hoặc nghiệm cực tiểu địa phương của Bài toán (P 1 ) nếu tồn tại mộtε- lân cậnB(x ∗ , ε)của điểm x ∗ ∈Xsao cho f (x ∗ ) ≤ f ( ),∀xx ∈B(x ∗ , ε) ∩ X. Điểmx ∗ ∈Xđược gọi là nghiệm tối ưu địa phương chặt hoặc nghiệm cực tiểu địa phương chặt của Bài toán (P1) nếu: f(x ∗ ) < (xf ),∀x∈B(x ∗ , ε) ∩ X,x =x ∗
Các khái niệm tương tự cũng được định nghĩa cho Bài toán (P2).
Chú ý1.1 Nghiệm tối ưu toàn cục cũng là nghiệm tối ưu địa phương nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng Tuy nhiên, nếu tậpXlà tập lồi vàf (x)là hàm lồi thì nghiệm tối ưu địa phương của Bài toán (P1) cũng là nghiệm tối ưu toàn cục.
Mệnh đề 1.8 Cho hàm lồif : R n → Rvà tập lồi khác rỗngX⊂R n Xét bài toánmin{ f (x) | x∈X} Khi đó: i) Nếux ∗ là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán này thìx ∗ cũng là nghiệm tối ưu toàn cục. ii) Nếux ∗ là một nghiệm tối ưu địa phương chặt hoặcflà hàm lồi chặt thì x là nghiệm tối ưu toàn cục chặt duy nhất của bài toán. Định lý 1.3 Điều kiện cần và đủ để Bài toán (P1 ) có nghiệm tối ưu là tập f (X)+= {t∈R | t ≥ f (x), x∈X}đóng và có cận dưới hữu hạn. Định lý 1.4 Nếu tậpXlà tập compact và hàmflà hàm liên tục trênXthì cả hai Bài toán (P1 ) và (P2 ) đều có nghiệm tối ưu.
7 Định nghĩa 1.13Bài toán (P1) được gọi là một quy hoạch lồi nếu thỏa mãn cả 2 điều kiện: i) f (x)là hàm lồi. ii) Tập chấp nhận đượcXlà tập lồi.
Mệnh đề 1.9 Xét bài toán (P 1 ) là quy hoạch lồi và/0 = X⊂R n Khi đó: i) Nếux ∗ là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán này thìx ∗ cũng là nghiệm tối ưu toàn cục. ii) Nếux ∗ là một nghiệm tối ưu địa phương chặt hoặcflà hàm lồi chặt thì x là nghiệm tối ưu toàn cục chặt duy nhất của bài toán.
Bài toán quy hoạch toàn phương lồi Định nghĩa 1.14(Hàm toàn phương) Hàmf : R n → Rđược gọi là hàm toàn phương nếu tồn tại ma trậnQ∈R n×n , véc tơc∈R n và số thựcαsao cho f (x)=1
2x T (Q + Q T )x với∀x∈R n Do đó, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ma trậnQtrong công thức (1.3) là ma trận đối xứng. Định nghĩa 1.15(Bài toán quy hoạch toàn phương) Bài toán quy hoạch toàn phương là bài toán cực tiểu một hàm toàn phương thỏa mãn các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức tuyến tính Hay nói cách khác, bài toán quy hoạch toàn phương có dạng min f (x)=x T Qx + c T x + α v .d k x∈M, (1.4) vớif : R n → Rlà hàm toàn phương vàM⊆R n là tập lồi đa diện.
Nếuflà hàm lồi, Bài toán (1.4) được gọi là bài toán quy hoạch toàn phương lồi Ngược lại, nếufkhông là hàm lồi, Bài toán (1.4) được gọi là bài toán quy hoạch toàn phương không lồi.
Nếu ma trậnQlà ma trận nửa xác định dương thìflà hàm lồi Khi đó, Bài toán (1.4) là bài toán quy hoạch toàn phương lồi.
Hàm tựa lồi và quy hoạch tựa lồi
Hàm tựa lồi Định nghĩa 1.16(Hàm tựa lồi, Finetti 1949) Hàm số fxác định trên tập lồi
X⊆R n được gọi là hàm tựa lồi nếu tập mức dưới
Lα( f ) := {x∈X| f (x) ≤ α} là tập lồi với mọiα∈R.
Hàm số flà hàm tựa lồi xác định trên tập lồiX⊆R n khi và chỉ khi− f là hàm tựa lõm trênX Tương tự hàm tựa lồi, ta có định nghĩa hàm tựa lõm. Định nghĩa 1.17(Hàm tựa lõm, Finetti 1949) Hàm sốfxác định trên tập lồi
X⊆R n được gọi là hàm tựa lõm nếu tập mức trên
Uα( f ) := {x∈X| f (x) ≥ α} là tập lồi với mọiα∈R. Định lý 1.5(Fenchel, 1951)Cho flà hàm số xác định trên tập lồiX⊆R n Khi đóflà hàm tựa lồi khi và chỉ khi f (λ x 1 +(1 − λ )x 2 ) ≤ max[ f (x 1 ), f (x 2 )] (1.5) với mọix 1 ∈X, x 2 ∈Xvà0 ≤ λ ≤ 1.
Mệnh đề 1.10(Fenchel, 1951)Choφlà hàm tựa lồi trênX⊆R n vàflà hàm đơn điệu không tăng trên tậpD⊆Rchứa miền giá trị củaφ Khi đó hàm hợp f ◦ φ (x)cũng là một hàm tựa lồi.
Chứng minh.Ta có:φlà hàm tựa lồi trênX⊆R n
Do đó, với mọix 1 ∈X,x 2 ∈Xvà0 ≤ λ ≤ 1ta có: φ(λx 1 +(1 − )xλ 2 ) ≤ max[ (xφ 1 ), φ ( )]x 2
Mặt khác,f là hàm đơn điệu không tăng, nên f (φ (λ x 1 +(1 − λ )x 2 ))≤ f (max φ (x[ 1 ), φ (x 2 )])=max[ f (φ (x 1 )), f (φ (x 2 ))].
Do đóf ◦ φlà hàm tựa lồi □
Mệnh đề 1.11 Cho flà hàm tựa lồi trênX⊆R n Nếux ∗ ∈Xlà một nghiệm cực tiểu chặt củafthìx ∗ cũng là một nghiệm cực tiểu toàn cục củaf trênX.
Tập hợp các điểm màf đạt cực tiểu toàn cục trênXlà một tập lồi.
Mệnh đề 1.12(Các hàm trên trục số thực)Với hàmf : C⊆R → R, tính tựa lồi có thể trình bày đơn giản như sau:ftựa lồi nếu nó không giảm, không tăng, hoặc không tăng trênC ∩ (∞,t]và không giảm trên[t, ∞) ∩C, với một sốtinC.
Mệnh đề 1.13(Biểu diễn bởi một họ các hàm lồi)Các tập mức dưới của một hàm tựa lồi có thể biểu diễn thành các bất đẳng thức của hàm lồi Trong trường hợp này, mỗi hàm tựa lồi có thể biểu diễn bởi một họ các hàm lồi Nếu f : C → Rlà hàm tựa lồi, thì sẽ tồn tại một họ các hàm lồiφt: C → R, được đánh số bởit∈R, sao cho f (x) ≤ t⇐⇒φt(x) ≤ 0.
Khi đó các hàm bất đẳng thức cho tập con của :f φt(x)
∞ trường hợp khác, tạo thành một họ các hàm Trong mộ trường hợp cụ thể, nếu các tập mức dưới củafđều đóng, thì một họ các hàm thoã mãn làφt(x)=inf z ∈{z| f ( )≤t} z ∥x−z∥
Mệnh đề 1.14(Cực tiểu từng phần)Khi cực tiểu hoá một hàm tựa lồi trên tập lồi đối với một số biến của nó sẽ tạo ra một hàm tựa lồi khác.
Mệnh đề 1.15(Cận trên đúng của các hàm tựa lồi)Cận trên đúng của một họ các hàm tựa lồi là hàm tựa lồi; tương tự, cận dưới đúng của một họ các hàm tựa lõm là hàm tựa lõm.
Mệnh đề 1.16(Hợp với các hàm đơn điệu)Nếug : C → R là hàm tựa lồi vàh là một hàm giá trị thực không giảm trên tập số thực, thì hàmf = h ◦ g là hàm tựa lồi Điều này có thể thấy được bằng quan sát với mỗiα∈R, một điểmx (thuộc miền giá trị củaf) sẽ thuộc vào tập mức dướiαcủafnếu và chỉ nếu: g(x) ≤ sup{y | h(y) ≤ α}
Bởi vì hàmgtựa lồi, nên điều này cho thấy rằng tập mức dưới của flà tập lồi Tương tự, một hàm không tăng của hàm tựa lồi sẽ là hàm tựa lõm, một hàm không tăng của một hàm tựa lõm là một hàm tựa lồi.
Một số định lý về hàm hợp
Một kết quả cơ bản của lý thuyết hàm lồi là một hàm lồi không giảm của hàm lồi là một hàm lồi Từ đó mở rộng ra cho lý thuyết hàm hợp cho hàm tựa lồi chúng ta có được định lý sau Và cũng tương tự với hàm tựa lõm. Trong phát biểu của định lý, khi xét hàm fánh xạ một tậpCtrongR n đến
R k , chúng ta sử dụng f1, f2, ,fkđể kí hiệu cho các thành phần của f, và ta có hàm f (x) = (f1(x), f2( ), , fx k( )) (xx ∈C). Định lý 1.6 Chohlà một phép ánh xạ tựa lồi đi từ tập conCcủaR k vào
R ∩ ∞, và{I1 2, I , I3}là một phân hoạch của{1 2, , , k}sao chohkhông giảm với các chỉ số thuộcI1 và không tăng với các chỉ số thuộcI2 , vàgánh xạ một tập con củaR n vàoR k sao cho các thành phần của nó thoã mãngi lồi vớii∈I1 , lõm vớii∈I2 và affin vớii∈I3 Từ đó hàm hợp f = h ◦ g là hàm tựa lồi Nếu như hàmhlồi thì hàmf cũng lồi.
Chứng minh.Ta sẽ chứng minh định lý thông qua cách biểu diễn hàm tựa lồi thông qua họ các hàm lồi như sau: Xétφt: C → Rlà một trong họ các hàm lồi với biến chỉ sốtsao choφt(x) ≤ 0⇔h x) ≤ t( Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằngφtsẽ tuân theo tính đơn điệu với các chỉ số tuân theo phân hoạch củah(điều này là hoàn toàn có thể và hợp lý, bởi luôn luôn tồn tạiφtbiểu diễn cho tập mức dưới củah) Khi đó f (x)=h(g( ))≤ tx ⇔φt(g(x))≤ 0 Theo định lý thành phần cho hàm lồi,φt(g(x))là hàm lồi.
⇒Tập mức dưới củaflà tập lồi, nghĩa làflà hàm tựa lồi □
Lý thuyết mờ và quy hoạch mờ
Cơ bản về lý thuyết tập mờ
Tập mờ Định nghĩa 1.18(Tập mờ) Xét tập vũ trụX Tập mờ˜AcủaXđược xác định bởi hàm thuộc của nó Hàm thuộc à˜
11 là hàm tương ứng với mỗix∈Xmột giỏ trị thựcà˜
A∈[0 1, ]để biểu diễn cho mức thành viên củaxtrongA.˜
Một tập mờA˜có thể được biểu diễn như là một tập hợp các cặp phần tử có thứ tựxvà mứcàA ˜( )x
A = {(x, à˜ ˜A )|x∈X } Khi hàm thuộcà ˜A chỉ cú hai giỏ trị 0 và 1 thỡàA ˜giống với hàm đặc trưng cA: x →{0, 1} và khi đó,A˜không còn là một tập mờ nữa mà là một tập bình thường. Để đơn giản về mặt ký hiệu, ta sử dụng ký hiệuAđể biểu diễn tập mờA.˜ Định nghĩa 1.19Các khái niệm cơ bản sau đây được định nghĩa cho các tập mờ.
•Giá: Giá của một tập mờAtrênX, kí hiệu làsupp(A), là tập các điểm thuộcXsao choàA(x) > 0, cụ thể là supp(A)={x∈X | àA(x) > 0}
•Đỉnh: Đỉnh của một tập mờAtrênX, kí hiệu làhgt(A), là chặn trên bé nhất củaàA(x), cụ thể hgt(A)=sup x∈X àA( )x
•Chuẩn: Một tập mờAtrênXđược gọi là chuẩn nếu đỉnh của nó bằng 1, tức là tồn tạix∈Xsao choàA(x)=1 Ngược lại, tập mờAđược gọi là dưới chuẩn.
•Rỗng: Tập lồiAtrờnXđược gọi là rỗng nếu và chỉ nếuàA(x)=0 với mọix∈X. Định nghĩa 1.20(Zadeh, 1965) Một số phép toán lý thuyết tập hợp liên quan đến các tập mờ:
•Đồng nhất: Hai tập lồiAvàBtrênXđược coi là bằng nhau (hay đồng nhất) khi và chỉ khi hàm thuộc của chúng bằng nhau trên mọi điểm thuộc X.
•Bao gồm: Tập mờAgọi là được chứa trongB( hay một tập con củaB) nếu và chỉ nếu giá trị hàm thuộc củaAnhỏ hơn hoặc bằng giá trị hàm thuộc củaBtại mọi điểm thuộc X
Hình 1.1: Minh họa các phép toán với tập mờ
•Phần bù: Phần bù của tập mờAtrênX kí hiệu làA, được định nghĩa bởi à A (x)=1 −àA(x) với mọix∈X.
•Giao: Giao của hai tập mờAvàBtrênX, kí hiệu làA∪B, được định nghĩa bởi àA∪B(x)=min{àA( )x , àB( )x } với mọix∈X.
•Hợp: Hợp của hai tập mờAvàBtrênX, kí hiệu làA ∩ B, được định nghĩa bởi àA∩B(x)=max{àA(x),àB(x)} với mọix∈X. Định nghĩa 1.21(Tập mứcα) Tập mứcαcủa một tập lồiAđược định nghĩa là một tập hợp thông thườngAαsao cho các phần tử của nó đều thuộcAvới ít nhất mứcα, cụ thể
Mệnh đề 1.17 ChoAvàBlà hai tập mờ trênXvàα, β∈[0 1, ] Ta có các tính chất sau:
• (A ∩ B)α= Aα∩ Bα. Định nghĩa 1.22(Tập mờ lồi) Một tập mờAcủaX = R n được gọi là tập mờ lồi nếu và chỉ nếu tất cả các tập mứcα của nó đều là tập lồi Hoặc cách khác, một tập mờAcủaXlà tập mờ lồi khi và chỉ khi àA(λ x1+(1 − λ )x2≥ min{àA( )x1,àA( )x2} với mọix x1, 2∈Xvàλ∈[0, 1]. Định lý 1.7(Định lý phân rã tập mờ)Một tập mờAcó thể được biểu diễn bởi
A = α∈[ [ 0,1 ] αAα, trong đóαAα là tích đại số của số thựcαvới tập mứcαcủaAvà được xác định bởi hàm thuộc àαA α (x)=αàA α (x)=αcA α ( )x , ∀x∈X.
Xét ánh xạf : X → YvớiXlà tập xác định vàYlà tập giá trị của f Với tập conAcủaX, tập ảnh củaAqua fđược xác định bởi f (A)={ |y = f (x), xy ∈A} là một tập con của Y
Ngược lại, với một tập conBcủaY, tập nghịch ảnh củaBqua f, kí hiệu là f −1 (B)={x| (x)=y, yf ∈B} cũng là một tập con của X
NếuA,Blà các tập mờ, ta có nguyên lý mở rộng sau. Định nghĩa 1.23(Nguyên lý mở rộng) Cho f : X → Ylà một ánh xạ đi từX vàoY Nguyên tắc mở rộng cho phép ta định nghĩa tập mờBtrongYđược tạo ra bởi tập mờAtrongXthông qua ánh xạfnhư sau:
B = {(y, àB(y))|y = f x , x( ) ∈X}, với àB(y) := àf (A)(y) sup y= f (x) àA(x) f −1 (y) =∅
0 f −1 (y)=∅ trong đóf −1 (y)là nghịch ảnh của y
Trong nhiều trường hợp thực tế, phần lớn việc ra quyết định diễn ra trong môi trường mà các mục tiêu, ràng buộc cũng như kết quả đều không rõ ràng hoặc không biết được chính xác Với quan sát này, Bellman và Zadeh (1970) đã giới thiệu các khái niệm: mục tiêu mờ, ràng buộc mờ, quyết định mờ và áp dụng các khái niệm này trong việc ra quyết định trong môi trường mờ. Gọi X là một tập hợp các phương án có thể có trong đó có lời giải của một vấn đề ra quyết định đang được xem xét. Định nghĩa 1.24(Mục tiêu mờ) Một mục tiêu mờGilà một tập mờ trongX được đặc trưng bởi hàm thuộc àG i(x) : x → [0, 1] vớii = 1, , l. Định nghĩa 1.25(Ràng buộc mờ) Một ràng buộc mờCjlà một tập mờ trong
Xđược đặc trưng bởi hàm thuộc àC j(x) : x → 0, 1[ ] vớij = 1, , k.
Vì các mục tiêu và các ràng buộc đều cần được thỏa mãn, Bellman và Zadeh định nghĩa quyết định mờ như sau. Định nghĩa 1.26(Quyết định mờ) Quyết định mờDđược đưa ra theo các mục tiêu mờGi, i = 1, , l và các ràng buộcCj, j = 1, ,k là giao của các tập mờGivàCj
D = G1∩ ∩ Gl∩C1∩ ∩Ck. Hay nói các khác,Dlà một tập mờ với hàm thuộc àD(x)=min{àG 1 (x), ,àG l ( )x , àC 1 (x), àC k(x)} với mọix∈X.
Quyết định tối đa hóa sau đó được đinh nghĩa là maxx∈XàD(x)=max x∈Xmin{àG 1 (x), , àG l ( )x , àC 1 ( )x , àC k ( )x }.
Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên mờ bức tranh 21
Phát biểu bài toán
2.1.1 Tập mờ bức tranh Định nghĩa 2.1ChoX = /0là tập vũ trụ, tập mờ bức tranh (Picture Fuzzy Set
• 1 − (àA(x)+ηA(x)+νA(x)):độ từ chối đỏnh giỏ củaxvào A Định nghĩa 2.2GọiFPS(X)là tập chứa tất cả các tập mờ bức tranh trong tập vũ trụX VớiA =(àA(x), ηA( )x , νA( ))x ,B =(àB(x), ηB( )x , νB(x)) là cỏc tập mờ bức tranh thuộcFPS(X)thì các phép toán lý thuyết tập hợp được định nghĩa như sau:
• A∪B = {⟨x, max{àA( )x , àB(x)}, min{ηA( )x ,ηB( )x },min{νA( )x ,νB( )x }⟩| x∈X},
• A∩B = {⟨x, min{àA(x),àB( )x }, min{ηA(x), ηB( )x },max{νA( )x ,νB( )x }⟩| x∈X},
• A⊇Bnếu và chỉ nếu∀x∈X : àA(x) ≤ àB( )x vàηA(x) ≤ ηB(x) và νA(x) ≥νB(x),
• A = Bnếu và chỉ nếuA⊆BvàB⊆A. Định nghĩa 2.3Với tậpA,B∈FPS(X), một số toán tử trongFPSnhư sau:
2.1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên
Quay trở lại với bài toán tối ưu tổng quát (P td ) ở trên và xét dạng ngẫu nhiên của nó min z0( )x zi(x) ≤ bi, i = 1, , k (P r) trong đóz0(x)=cx, clà véc tơ hàng ngẫu nhiênn-chiều.
Viết dưới dạng ma trận thể hiện các ràng buộc của bài toán x∈X = {x∈R n | A ≤ b} ,x vớiAlà ma trận hệ số kích thước ngẫu nhiênk × n vàblà véc tơ cột ngẫu nhiênn-chiều dộc lập.
Thay ràng buộc ngẫu nhiên của bài toán (P r ) với một mức xác suất tất định βi, i = 1, , kta có thể viết lại bài toán (Pr) thành min z0( )x s.t P (a1x ≤b1) ≥ β1
(βββ −P rc ) trong đó,ailà vec tơ hàng thứicủa ma trậnAvàbilà phần tử thứicủa b Giả sử rằng các biến ngẫu nhiênbi, i = 1, ,k có hàm phân phối làFi(r)P (bi≤ r), suy ra ràng buộc thứicủa bài toán (βββ − P rc ) là
Vì thế, khi ta xét một ngưỡng xác suất tất địnhβββ =(β1, , βm) T bài toán (βββ −P rc ) sẽ trở thành min z0( )x s.t x∈X (βββ ), trong đó
Nếu ta xét trường hợp tổng quát hơn,ai jcũng là những biến ngẫu nhiên Và giả sửbivàai jlà những biến ngẫu nhiên với phân phối chuẩn Đặtmb ivàσ 2 b i là trung bình và phương sai của biến ngẫu nhiênb mi; a i j là trung bình của biến ngẫu nhiênai jvàVa i j là ma trận hiệp phương sai của vec tơa i =(ai1, , ain)
Và giả sử rằngbivàai jđộc lập từng đôi Khi đó, biến ngẫu nhiên bi− ∑ n j=1ai jxj− mb i − ∑ n j=1 ma i j xj q σ 2 b i + x T Va i j x , i = 1, , k có phân phối chuẩn tắcN (0, 1), do đó
=P bi− ∑ n j=1ai jxj− mb i − ∑ n j=1 ma i j xj q σ 2 b i + x T Va i jx ≥− mb i − ∑ n j=1ma i j xj q σ 2 b i + x T Va i jx
∑ n j=1 ma i j xj− mb i q σ 2 b i + x T Va i jx
≥ βi trong đó,Φlà hàm phân phối chuẩn tắcN (0, 1) Vậy ràng buộc ngẫu nhiên của bài toán (βββ − P rc ) khi thêm mức xác suất tất định có thể được biến đổi
Dễ thấy, tập chấp nhận đượcX (βββ )là tập lồi, nên bài toán vẫn giữ nguyên tính chất như ban đầu.
Bài toán (βββ −P rc ) có các dạng đặc biệt hay xét tới như sau:
Thay hàm mục tiêuz0(x)của bài toán (βββ −P rc ) với kỳ vọng của nó, khi đó bài toán quy hoạch ngẫu nhiên (βββ −P rc ) trở thành min z 0 E (x) v.đ.k x∈X (βββ ), (E − model) trong đóz E 0 (x)=E [z0(x)]=E [c] x , và tập chấp nhận đượcX (βββ ) được xác định bởi (2 2 ).
Với mong muốn tối thiểu phương sai của hàm mục tiêu, bài toán (βββ −P rc ) được viết lại thành min z V 0 (x) v.đ.k E[ ] (c T x) ≤ γγγ x∈X (βββ ),
(V − model) trong đóz V 0 (x)=Var[z0(x)]=x T V x vàVlà ma trận hiệp phương sai cho vec tơ hệ số¯ccủaz0(x)và tập chấp nhận đượcX (βββ ) được xác định bởi (2.2),γγγ ở đây thể hiện mức kỳ vọng.
Xét mô hình bài toán của (βββ −P rc ) sau: max z 0 P ( )x v.đ.k x∈X (βββ ), (P0 − model) trong đóz P 0 (x)=P (¯ cccx ≤ β0) vàβ0là giá trị mục tiêu xác định cho hàm mục tiêu.
Giả sử rằngccc = (¯c¯ 1, , ¯cn) là những biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn có giá trị trung bình tương ứng làE [¯ccc]và ma trận hiệp phương saiV0cỡn × n, suy ra biến ngẫu nhiên cccx−E [¯ccc x¯ ] px T V0x có phân phối chuẩn tắcN(0 1, ) Điều này kéo theo
P (¯cc cx ≤ β0)=P ¯ cccx−E [¯ccc]x px T V0x ≤β0− E [¯ccc] x px T V0x
Vậy (P0 −model) trở thành max z P
(P1 −model) Để ý một chút thìz 0 P (x)thể hiện xác suất hàm mục tiêu của bài toán (βββ −P rc ) không vượt quá một ngưỡngβ0nào đó, nên để nghiệm tối ưu có ý nghĩa ta thêm vào bài toán ràng buộc z P
E [¯cc c] x ≤ β0− Φ −1 (γ)p x T V0x, Khi đó ta có bài toán (P2 − model) max z P
Thay đổi hàm mục tiêu của bài toán (βββ −P rc ) với mục tiêu tối thiểu giá trị mục tiêuβ0dưới các ràng buộc xác suất với mức xác suất đảm bảoθ0∈(0.5 1, ) xác định, ta xem xét (F − model) cho bài toán (βββ − P rc ) min β0 v.đ.k P (¯cccx ≤ β0) ≥ θ0, x∈X (βββ ),
25 vớiccc¯là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, vec tơ trung bìnhE [¯ccc]và ma trận hiệp phương sai xác định dươngV0cỡn × n Biến đổi tương tự bài toán (P0 −model) ta được
Do đó, ràng buộc xác suất
P (¯cccx ≤ β0) ≥ θ0 của (F − model) tương đương với Φ β0− E [¯ ccc]x px T V0x
⇔β0≥ E [¯cc c] x + Φ −1 (θ0)p x T V0x Thế vào điều kiện xác suất trên, (F − model) của bài toán (βββ −P rc ) trở thành min β0 v.đ.k E [¯cc c1] x + Φ −1 (θ0)p x T V0x ≤ β0, x∈X (βββ ),
Từ (F0 − model) giá trị mục tiêuβ0được tối thiểu dựa trên điều kiện
Rõ ràng việc tối thiểuβ0là tương đương với việc tối thiểuE [¯cc c] x+Φ −1 (θ0)p x T V0x Do đó, (F0 − model) có thể viết dưới dạng min E [¯cc c] x + Φ −1 (θ0)p x T V0x v.đ.k x∈X (βββ ), (F1 − model)
Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên mờ bức tranh
Như đã trình bày phần trên, ta đã đưa được bài toán ngẫu nhiên về bài toán tất định (βββ −P rc ) Ở phần này sẽ xét mô hình tổng quát của bài toán (βββ −P rc ) khi ta mờ hóa mục tiêu của bài toán trên tập mờ bức tranh Gọi mô hình tổng quát của bài toán (βββ −P rc ) là min z 0 G (x) s.t x∈X (βββ ),
∑ n j=1ma i jxj− mb i q σ 2 b i + x T Va i j x ≤ Φ −1 (1 − βi), i = 1, , k như đã trình bày ở (2 2 ).
Ta thêm vào bài toán (βββ − GP rc ) mục tiêu mờ "z0(x)tương đối nhỏ hơn một giá trị tất định và càng nhỏ càng tốt" Khi đó, ta cần đi tối đa hóa vấn đề
"càng nhỏ càng tốt"của hàm mục tiêu bằng cách tối đa hàm thuộc max x∈ X (βββ)à0(z0(x))⇔ min x∈ X (βββ )1 − à0(z0(x)), trong đúà0là hàm thuộc để định lượng cho độ thuộc của hàm mục tiờuz0(x). Tiếp tục thêm vào hàm mục tiêu mờ của độ không thuộc, khi đó cần đi tối thiểu độ không thuộc của hàm mục tiêu min x∈X (βββ ) ν0( )x , trong đóν0là hàm không thuộc để định lượng cho mức độ không thuộc của hàm mục tiêuz0(x).
Bên cạnh đó chúng ta cũng cần tối thiểu độ trung lập của hàm mục tiêu, min x∈X (βββ ) η0(x), Sau khi mờ hóa bài toán (βββ −GP rc ) ta được bài toán ba mục tiêu min 1 − à0(z0( ))x min η0(z0(x)) min ν0(z0( ))x x∈X (βββ ),
Bài toán tương đương
Như vậy, bài toán mục tiêu cần giải là bài toán (βββ −MGP rci f ) có dạng ba mục tiêu min 1 − à0(z0(x)) min η0(z0( ))x min ν0(z0(x)) x∈X (βββ ),
Ta sẽ đi phân tích các tính chất của bài toán về các vấn đề: Tập chấp nhận đượcX (βββ)và ba hàm mục tiờu1 − à0( ( ))z0x , η0( ( ))z0x , ν0( (z0x)
•Về tập chấp nhận được: Như đã trình bày ở trên, tậpX (βββ )có dạng x∈R n
∑ n j=1ma i jxj− mb i q σ 2 b i+ x T Va i j x ≤ Φ −1 (1 − βi), i = 1, , k ở đây,fi(x)=∑ n j=1ma i j xj− mb i q σ 2 b i + x T Va i j x
, i = 1, , k là hàm phân thức với tử là hàm tuyến tính, mẫu là một hàm lồi nênfilà hàm tựa lồi Lại có, tập mức dưới của hàm tựa lồi là tập lồi.
⇒Tập chấp nhận được của bài toánX (βββ )vẫn là tập lồi.
•Về hàm1 − à0(z0(x)), dễ thấy1 − à0 là hàm tựa lồi đơn điệu khụng giảm vàz0(x)đang xét là hàm affin.
⇒Hàm1 − à0( (z0x))là hàm tựa lồi.
•Về hàmη0( ( ))z0x , ta thấyη0 là hàm tựa lồi không giảm vàz0(x)đang xét là hàm affin.⇒Hàmη0(z0(x))là hàm tựa lồi.
•Về hàmν0(z0(x)), ta thấyν0là hàm tựa lồi không giảm vàz0(x)đang xét là hàm affin.
⇒Hàmà0(z0(x))là hàm tựa lồi.
Như vậy, bài toán mục tiêu (βββ −MGP rci f ) cần giải của ta là bài toánQuy hoạch đa mục tiêu tựa lồi Nên cần phương pháp để giải lớp bài toán quy hoạch đa mục tiêu tựa lồi này. Ở chương sau em sẽ trình bày phương pháp đề xuất để giải bài toán này bằng phương pháp hướng giảm sâu nhất để giải bài toán trên.
Quy hoạch đa mục tiêu tựa lồi có quy tắc 30
Bài toán quy hoạch tựa lồi có quy tắc
Quy hoạch tựa lồi có quy tắc (Disciplined quasiconvex programming - DQCP) là một thuật ngữ cho việc xây dựng một quy hoạch tựa lồi từ một tập các hàm hoặc các nhân tử, với thuộc tính đã biết (affin, lồi, lõm, tựa lồi, hoặc tựa lõm) và các toán tử đơn điệu Một bài toán quy hoạch sử dụng Và DQCP đảm bảo rằng mọi hàm xuất hiện trong bài toán quy hoạch tựa lồi có quy tắc đều chứa các hàm affin, lồi, lõm, tựa lồi hoặc tựa lõm.
Một quy hoạch tựa lồi có quy tắc là bài toán tối ưu có dạng min f0(x) s t fi(x) ≤ αi, i = 1, , m1 βi≤ gi(x), i = 1, , m2 f˜i(x) ≤ ˜gi(x), i = 1, ,m3 hi(x)= ˜hi(x), i = 1, , p.
• f0(x), ˆfi(x)là hàm tựa lồi.
• gi(x)là hàm tựa lõm.
• efi(x)là hàm lồi vàe gi(x)là hàm lõm.
• hi(x), e hi(x)là hàm affine.
Thông thường, biểu thức toán học có thể qua được bước kiểm tra của quy tắc DQCP (được trình bày chi tiết hơn tại 3.1) nếu nó là:
•Một biểu thức có dạng lồi.
•Một toán tử hoặc biểu thức hạt nhân tựa lồi, được áp dụng cho biến hoặc hằng số.
•Cực đại của các biểu thức tựa lồi.
•Hàm không giảm của biểu thức thức có dạng tựa lồi và không tăng đối với biểu thức có dạng tựa lõm.
•Thành phần của một biểu thức tựa lồi đối với các biểu thức lồi, lõm và affine thỏa mãn định lý 1.6.
Như vậy, từ quy tắc trên và định lý 1.6 có thể xây dựng một tập quy tắc (ta tạm gọi là quy tắc DQCP, [A and S.((2020))]) để xác định lớp bài toán DQCP như sau: Mỗi hàm khi qua quy tắc DQCP sẽ hình thành một cây (Tree) với các lá (LEAF) là những hằng số (constant) và biến (variable), đồng thời ký hiệu S thể hiện sự bắt đầu của cây quy tắc Đi kèm với một số ký hiệu như:
AFF, CVX, CCV, QCVX, QCCV lần lượt là các ký hiệu cho các biểu thức affine, lồi, lõm, tựa lồi, tựa lõm do quy tắc DQCP tạo ra Các chữ viết thường tương ứng của chúng biểu thị cho các toán tử hạt nhân đã được định nghĩa trong bộ quy tắc DQCP Ký hiệu incr, decr lần lượt biểu diễn các hàm không giảm và không tăng.
CVX ←cvx(CVX, , CVX, CCV, , CCV, AFF, , AFF)
CCV ←ccv(CCV, , CCV, CVX, , CVX, AFF, , AFF) QCVX ←CVX
QCVX ←qcvx(CVX, , CVX, CCV, , CCV, AFF, , AFF) QCVX ←incr(QCVX)
QCCV ←qccv(CCV, , CCV, CVX, , CVX, AFF, , AFF) QCCV ←incr(QCCV)
Bảng 3.1: Bộ quy tắc DQCP
Ví dụ 3.1(Example in [ ])) Xét bài toán sau min −
Lập cây quy luật DQCP của bài toán theo (3.1), ở đây theo bộ quy tắc DQCP do [A and S.((2020)) ] xây dựng trong [A and S.((2020))] đã mặc định với những hàm dạngp q(x) p(x) thì biểu thứcp q(x) ≥ 0 vàp(x) > 0 nên ta không xét tới điều kiện dấu của biến ở cây quy luật nữa.
Dễ dàng phân tích được theo quy luật (3.1) ta có bài toán ở ví dụ (3.1) là quy hoạch tựa lồi.
Phương pháp giải
Đối với lớp bài toán (DQCP) nói riêng và bài toán quy hoạch tựa lồi nói chung, gần đây nhận được sự quan tâm từ nhiều nhà nghiên cứu Ví dụ như phương pháp chia đôi trên họ các tập lồi [[A and S.((2020)) ]] còn đã được xây dựng thành thư viện CVXPY trên nền tảng ngôn ngữ C++ và Python. Tuy nhiên như đã biết với các phương pháp chia đôi thì sẽ không tận dụng được các đặc trưng của hàm số như gradient, Ở đây em trình bày phương pháp subgradient để giải lớp bài toán (DQCP) Trong đó việc tính đạo hàm của hàm hợp bằng phương pháp Lan truyền ngược, phương pháp này có ưu điểm hơn so với phương pháp được sử dụng trong [[A and S.((2020))]] trên một số phương diện như:
•Tận dụng được véc tơ gradient để cập nhật nghiệm của bài toán.
•Tận dụng được cây trong phần kiểm tra việc thỏa mãn quy tắc DQCP trong bảng (3.1) để tính toán gradient của hàm số.
3.2.1 Phương pháp hướng giảm subgradient
Phương pháp hướng giảm subgradient[[Kiwiel((2001))]] cho bài toán quy hoạch tựa lồi được được trình bày như sau:
Algorithm 1 Thuật toán subgradient cho lớp bài toán quy hoạch tựa lồi
• g k là một subgradient củaf (ã)tạix k
• ∂ f (x k )là tập dưới vi phõn củaf (ã)tạix k , bao gồm tất cả cỏc subgradient củaf tạix k
• πππX(x k − tkˆg k )là hình chiếu của(x k − tkˆg k )lên tậpX sao cho πππX(x k − tkˆg k )=argmin x∈X ∥(x k − tkgˆ k ) − x∥
• tk> 0là cỡ bước thứ k
Tính hội tụ của giá trị mục tiêu
Trước tiên, xét điều kiện của chuỗi cỡ bướct k
Bổ đề 3.1 (Về tính không giãn của nghiệm sau mỗi bước)[ [Kiwiel((2001))]] a)∥x k+1 − ¯x∥ 2 ≤∥x k − ¯x∥ 2 − 2tk ˆg k , x k − ¯x + t 2 k với mỗi¯x∈X. b) NếuB( ¯x, ¯ε)⊂¯S ◦ f x k cho¯x∈X andε ≥ 0¯ , thì gˆ k , x k − ¯x ≥ ¯ ε. c) Nếu điều kiện cỡ bước3.2 0 thỏa mãn, thì lim k→∞ ˆg k , x k − ¯x ≤ 0 với mỗi¯x∈X Để có được véc tở gradient của hàm số dùng cho việc cập nhật giá trị nghiệm trong thuật toán (1) ta thực hiện tính toán thông qua cây biểu diễn luậtDQCP (3.1) với phương pháp lan truyền ngược như sau:
3.2.2 Phương pháp lan truyền ngược tính véc tơ gradient của hàm hợp
Giả sửF(x)= f0◦f1◦ãã ã◦fk( ), xx ∈R n là hàm hợp cần tớnh vộc tơ gradient, trước tiên ta tính toán các đạo hàm riêng của hàm hợp như sau:
Biểu diễn bằng quy tắc dây chuyền (Chain rule) trên cây tạo bởi quy luậtDQCP (3.1), dễ dàng tính được đạo hàm của hàm hợpF(x) Lấy ví dụ với cây biểu diễn quy luật của ví dụ số (3.1)
DQCP đa mục tiêu
Định nghĩa 3.1Bài toán DQCP đa mục tiêu là bài toán có dạng tổng quát sau: min f (x) = (f0(x), , f k ( ))x v.đ.k ˆfi(x) ≤ αi, i = 1, m1 βi≤ gi(x), i = 1, , m2 efi(x) ≤ e gi(x), i = 1, , m3 hi(x)= e hi(x), i = 1, ,m4.
• ˆfi(x),fi(x)là hàm tựa lồi.
• gi(x)là hàm tựa lõm.
• efi(x)là hàm lồi vàe gi(x)là hàm lõm.
• hi(x), e hi(x)là hàm affine.
Tất cả các hàm trên phải tuân theo quy tắc ở bảng (3.1).
Phương pháp giải bài toán đa mục tiêu trên, ta đưa về quy hoạch đơn mục tiêu Hàm mục tiêu vẫn giữ nguyên tính tựa lồi, tập chấp nhận được vẫn là tập lồi nên bài toán sau đó vẫn là bài toán quy hoạch tựa lồi tuân theo quy tắc ở
35 bảng (3.1) Và xây dựng phương pháp đi tìm một nghiệm tối ưu Pareto của bài toán (MDQCP). Định nghĩa 3.2(Nghiệm tối ưu Pareto) Một điểmx ∗ ∈X ( )x được gọi là một nghiệm tối ưu Pareto của bài toán (MDQCP) khi và chỉ khi không tồn tại một x∈X (x) nào khác thỏa mãnfi(x) ≤ fi(x ∗ ) với mọiivà fj(x) = fj(x ∗ với ít) nhất một j
Phương pháp đưa về dạng đơn mục tiêu được trình bày như sau: Để ngắn gọn, ta gọiX (x) là tập chấp nhận được của bài toán đa mục tiêu (MDQCP) Đặtf 0 = (f 0 1 , , f 0 k ), sao chof i 0 = minx∈X (x)fi(x), tập ảnh của bài toán (MDQCP) là tậpY = {y∈R k |y = f (x), x∈R n } Như vậy nghiệm Pareto được tìm bằng cáchf 0 lấy một w∈Rk++ sao cho∑ k i=1wi= 1 và thêm biến phụλ, đẩy các hàm mục tiêu ban đầu xuống dưới điều kiện ta được bài toán min λ v.đ.k wi( fi− f 0 i ) ≤ λ , i = 1, , k ˆfi(x) ≤ αi, i = 1, m1 βi≤ gi(x), i = 1, , m2 efi(x) ≤ e gi(x), i = 1, , m3 hi(x)= e hi(x), i = 1, , m4.
Lúc này việc cần làm là tìmλnhỏ nhất sao cho tất cảwi( fi− f 0 i ) ≤ λ, việc này đồng nghĩa với việc đi tìm minimax củaλ Như vậy bài toán (λ − MDQCP) được chuyển về bài toán sau min max{wi( fi− f i 0 )} v.đ.k ˆfi(x) ≤ αi, i = 1, m1 βi≤ gi(x), i = 1, , m2 efi(x) ≤ e gi(x), i = 1, , m3 hi(x)= e hi(x), i = 1, , m4.
Theo quy luật DQCP (3.1) thì hàm mục tiêu của bài toán (T MDQCP) vẫn đảm bảo tính tựa lồi nên bài toán đơn mục tiêu (T MDQCP) vẫn là quy hoạch tựa lồi.
Ứng dụng vào bài toán tối ưu danh mục đầu tư 38
Phát biểu bài toán và mô tả dữ liệu
4.1.1 Giới thiệu về bài toán lựa chọn danh lục đầu tư
Trong tài chính, lựa chọn danh mục đầu tư là một quá trình quan trọng, đặc biệt là trong đầu tư kinh doanh Đây là quá trình ấn định một lượng tiền xác định trước cho các tài sản khác nhau để tạo ra một danh mục đầu tư cân bằng tốt Quá trình này giúp xác định một tổ hợp chứng khoán từ một số lượng lớn các khả năng Mục tiêu của nó là giúp các nhà đầu tư tận dụng tối đa số tiền của họ Trong những năm gần đây, lựa chọn danh mục đầu tư là bài toán được nhiều cá nhân và tổ chức quan tâm.
Harry Markowitz được ghi nhận là người đưa ra các khái niệm mới về đo lường rủi ro và ứng dụng của chúng vào việc lựa chọn danh mục đầu tư Ông bắt đầu với ý tưởng về sự không thích rủi ro của các nhà đầu tư và mong muốn của họ là tối đa hóa lợi nhuận kỳ vọng với ít rủi ro nhất Do đó, mô hìnhMarkowitz là một khung lý thuyết để phân tích rủi ro và lợi nhuận và các mối quan hệ giữa chúng Ông đã sử dụng phân tích thống kê để đo lường rủi ro và lập trình toán học để lựa chọn tài sản trong danh mục đầu tư một cách hiệu quả Một danh mục đầu tư hiệu quả được kỳ vọng sẽ mang lại lợi nhuận cao nhất cho một mức rủi ro nhất định hoặc rủi ro thấp nhất cho một mức lợi tức nhất định.
Xét các loại tài sảnS S1, 2, ,Sn(n ≥ 2) vớiL =(li)n là véc tơ lợi nhuận kì vọng củantài sản GọiQ =(σi j)n×n là ma trận hiệp phương sai của lợi nhuận từntài sản, trong đóσiilà độ lệch chuẩn của lợi nhuận của tài sảnSivàσi jlà hiệp phương sai của lợi nhuận tài sảnSivàSj Kí hiệuxilà tỉ trọng đầu tư vào tài sản thứi Khi đó, lợi nhuận kỳ vọng và phương sai của danh mục đầu tư x =(x1, , xn)được xác định bởi công thức
Một danh mục đầu tư khả thixđược gọi là "hiệu quả" nếu nó có lợi nhuận kỳ vọng lớn nhất trong số tất cả các danh mục đầu tư có cùng phương sai hoặc cách khác, nếu nó có phương sai tối thiểu trong số tất cả các danh mục đầu tư có ít nhất một mức lợi nhuận kỳ vọng nhất định Tập hợp các danh mục đầu tư hiệu quả tạo thành biên giới hiệu quả của tập các danh mục đầu tư Biên giới hiệu quả thường được biểu diễn dưới dạng một đường cong trong đồ thị hai chiều trong đó tọa độ của một điểm được vẽ tương ứng với độ lệch chuẩn và lợi nhuận kỳ vọng của một danh mục đầu tư hiệu quả.
Bài toán tối ưu hóa phương sai-trung bình của Markowitz có thể được biểu diễn theo nhiều cách, nhưng tương đương nhau Một trong số những cách đơn giản nhất là min V (x)=x T Qx v.d.k E (x)=L T x ≥ α, x1+ + xn= 1, x ≥ 0.
Vì ma trậnQlà ma trận hiệp phương sai nênQlà ma trận nửa xác định dương và hàm mục tiêuV (x)là hàm toàn phương lồi Hơn nữa, các ràng buộc của Bài toán (MV) đều là các ràng buộc tuyến tính Do đó, Bài toán tối ưu danh mục đầu tư theo mô hình của Markowitz (MV) là bài toán quy hoạch toàn phương lồi và có thể giải bằng các thuật toán giải quy hoạch toàn phương lồi hoặc quy hoạch lồi.
4.1.3 Hệ số Sharpe (Sharpe Ratio)
Bên cạnh trung bình và phương sai, một số chỉ số khác cũng được sử dụng để đánh giá danh mục đầu tư Trong báo cáo này, ta xem xét một mô hình Markowitz biến thể bằng cách thêm một hàm mục tiêu được gọi là Hệ số Sharpe (SR).
Hệ số Sharpe là một thước đo xem lợi nhuận thu được của danh mục đầu tư là bao nhiêu trên một đơn vị rủi ro khi đầu tư vào một tài sản hay đầu tư theo một chiến lược kinh doanh.
Hệ số Sharpe được giới thiệu bởi William F Sharpe năm 1994 và được sử dụng để giúp các nhà đầu tư hiểu được lợi tức của khoản đầu tư so với rủi ro của nó Hệ số này là tỉ số lợi nhuận trung bình kiếm được vượt quá lợi nhuận phi rủi ro trên mỗi đơn vị rủi ro và được xác định bởi công thức:
S (x)=E (x) − rf pV (x), (4.3) trong đóE ( )x là lợi nhuận kì vọng của danh mục đầu tư,rflà lợi nhuận phi rủi ro vàp
V (x) là độ lệch chuẩn của lợi nhuận kỳ vọng của danh mục đầu tư Hệ số Sharpe càng lớn thì danh mục đầu tư được đánh giá là càng hiệu quả.
Hệ số Sharpe có nhiều ứng dụng và ý nghĩa kinh tế, tuy nhiên nó cũng mang lại một số bất lợi nhất định trong tính toán khi hàmS ( )x không phải là hàm lồi.
Trong thực tế, khi xem xét một danh mục các loại tài sản tiềm năng, các nhà đầu tư luôn mong muốn rằng lợi nhuận thu được từ việc đầu tư này lớn hơn lợi nhuận phi rủi ro (ví dụ như lãi suất khi gửi tiền ngân hàng) Do vậy, thông thường, trong tập các danh mục đầu tư được tính đến thường thỏa mãn điều kiệnE (x) − rf ≥ 0 Khi đó, ta có Mệnh đề (4.1) về tính chất chặt của hàm Sharpe.
Mệnh đề 4.1 Xét tập lồiM = {x∈R n |E (x) − rf ≥ 0} HàmS ( )x là hàm tựa lõm bán chặt trênM.
Mô hình bài toán tối ưu danh mục đầu tư có sử dụng hệ số Sharpe
Áp dụng hệ số Sharpe để đánh giá hiệu quả của danh mục đầu tư, trong báo cáo này, em xin đề xuất xét bài toán tối ưu danh mục đầu tư trong đó hệ số Sharpe được sử dụng để xác định hàm mục tiêu, các chỉ số lợi nhuận kỳ vọng và phương sai được sử dụng để xác định các ràng buộc.
Xét bài toán tối ưu sau: max S (x)=E (x) − rf pV ( )x v.d.k E (x)=∑ n j=1Ljxj≥ α,
(MVS1) vớiαvàβ lần lượt là ngưỡng chặn dưới lợi nhuận kỳ vọng và ngưỡng chặn dưới phương sai mà nhà đầu tư mong muốn,rflà lợi nhuận của một loại đầu tư phi rủi ro vàα ≥ rf.
Bài toán (MVS1) có thể được viết lại như sau: min f (x)=−S (x −)= E (x) − rf pV (x) v.d.k E ∗ (x)=− ∑ n j=1 Ljxj≤ α ∗ ,
Ta cóQlà ma trận nửa xác định dương, nênV (x)là hàm lồi trênR n Tập nghiệm của bất phương trìnhV (x) ≤ β là tập mức dướiL β ( )V và do đó nó là tập lồi (Mệnh đề (1.4)) Hơn nữa, các ràng buộc còn lại của Bài toán (MVS2) đều là các ràng buộc tuyến tính Do đó, tập chấp nhận được của Bài toán (MVS2) là tập lồi.
Gọi tập chấp nhận được của bài toán (MVS2) làX (x), dễ thấyX (x) vẫn là tập lồi Như vậy (MVS2) là bài toán quy hoạch lồi và tuân theo quy tắc DQCP Như vậy có thể dùng thuật toán (1) và quy tắc DQCP để giải bài toán.
Bài toán tối ưu mờ danh mục đầu tư với hệ số Sharpe với tập mờ bức tranh 42
Thực hiện mờ hóa hàm mục tiêu của bài toán (MVS2) trên tập mờ bức tranh ta thu được bài toán ba mục tiêu mới min f1(x)=1 − à(−S x))=1 − à( −E (x) − rf pV (x)
(PFMVS) trong đú,à( )ã là hàm thuộc của hàm mục tiờu (MVS2),η( )ã là hàm trung lập của hàm mục tiờu (MVS2) vàν( )ã là hàm khụng thuộc của hàm mục tiờu (MVS2).
Chuyển bài toán (PFMVS) về dạng đơn mục tiêu theo cách đã trình bày ở chương 3 min max{w1( f1(x) − f 0 1 ), w2( f2(x) − f 0 2 ), w3( f3(x) − f 0 3 )} v.đ.k x∈X (x), (TPFMVS) ở đây, các giá trịf 1 0 = min x∈X (x) f1( )x ,f 2 0 = minx ∈X ( ) x f2(x), f 0 3= min x∈X (x) f3( )x và tham sốwww T thỏa mãnw1+w2+w3= 1,w1> 0,w2> 0, w3> 0.
Dễ dàng nhận thấy, bài toán (TPFMVS) là quy hoạch tựa lồi.
Tính toán thử nghiệm
Ví dụ số thử nghiệm mô hình (TPFMVS) được lấy từ ([
Số liệu giá cổ phiếu từ 23/01/2015 đến 6/12/2017 của năm cổ phiếu có ký hiệu là ULTA, MLM, NFLX, AMZN và NVDA Lợi nhuận dự kiến và ma trận hiệp phương sai của năm loại cổ phiếu được đưa ra trong Bảng 4.1.
Bảng 4.1: Số liệu 5 mã cổ phiếu Đưa về mô hình bài toán (TPFMVS) vớiα = 2 5 vàβ = 0.25 Các hàm thuộc và không thuộc được áp dụng cho hàm mục tiêuf (x)có dạng như sau à( ) x ν( ) x a b
Hình 4.1: Đồ thị hàm thuộc, hàm trung lập và hàm không thuộc.
. Kết quả tính toán được cho ở bảng sau
Bảng 4.2: Kết quả tính toán thử nghiệm bài toán tối ưu doanh mục đầu tư.
Kết luận Đồ án đã đạt được mục tiêu đề ra
Kết quả của đồ án
1 Đề xuất thuật toán và chứng minh sự hội tụ mạnh của thuật toán lặp mới, có cỡ bước tự thích nghi, không cần tính toán chuẩn của toán tử chuyển giải bài toán bất đẳng thức biến phân tách.
2 Đưa ra ví dụ số minh họa thuật toán, áp dụng thuật toán vào bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính và so sánh với thuật toán đã được đưa ra trước đó của Censor.
1 Nâng cao khả năng nghiên cứu khoa học, viết báo khoa học và có bài báo được đăng trên Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên.
2 Nâng cao khả năng tìm kiếm, đọc, dịch tài liệu chuyên ngành liên quan đến nội dung Đồ án.
3 Tổng hợp các kiến thức đã học và kiến thức trong tài liệu tham khảo để viết báo cáo Đồ án.
4 Chế bản Đồ án bằng L A TEX, viết chương trình tính toán cho ví dụ minh họa bằng sử dụng ngôn ngữ Python.
5 Biết trình bày báo cáo khoa học chuyên ngành.
Hướng phát triển của đồ án trong tương lai
Trong tương lai, tác giả sẽ nghiên cứu cải tiến bài toán bất đẳng thức biến phân tách đa tập hợp, đồng thời nghiên cứu áp dụng giải bài toán điều khiển tối ưu và ứng dụng trong xử lý ảnh.
[A and S.((2020))] Agrawal A and Boyd S Disciplined quasiconvex programming Optimization Letters, 14, (2020) doi: 10.1007/ s11590-020-01561-8.
[Kiwiel((2001))] Krzysztof C Kiwiel Convergence and efficiency of subgra- dient methods for quasiconvex minimization.Mathematical Programming,
[N et al.((2022))N., J., and S.] Liu N., Wang J., and Qin S A one-layer re- current neural network for nonsmooth pseudoconvex optimiza-tion with quasiconvex inequality and affine equality constraints.Neural Networks,
[Sakawa et al.((2013))Sakawa, Yano, and Nishizaki] Masatoshi Sakawa, Hi- toshi Yano, and Ichiro Nishizaki Linear and Multiobjective Program- ming with Fuzzy Stochastic Extensions, volume 203 (2013) doi:
[Tuoi et al.((2022))Tuoi, Khang, Anh, and Thang] Tran Thi Thanh Tuoi, Truong Tuan Khang, Nguyen Thi Ngoc Anh, and Tran Ngoc Thang.
Fuzzy Portfolio Selection with Flexible Optimization via Quasiconvex Programming, pages 360–368 (2022) ISBN 978-981-19-3393-6 doi:
