đồ án nghiên cứu quy hoạch ngẫu nhiên mờ với tập mờ bức tranh và ứng dụng

Bên cạnh đó, xin gửi lời cảm ơn tới một người bạnđặc biệt, người luôn bên cạnh em về mặt tinh thần và cùng với thầy Thăng động viênem hoàn thành tốt đồ án.Cuối cùng, em cũng xin gửi lời

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

HÀ NỘI, 3/2023

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN1 Mục tiêu và nội dung của đồ án

(a) Mục tiêu: Nghiên cứu phương pháp hướng giảm bằng lan truyền ngược để giải bàitoán quy hoạch tựa lồi có quy tắc và áp dụng giải bài toán tối ưu ngẫu nhiên mờbức tranh, và ứng dụng vào bài toán thực tế là tối ưu danh mục đầu tư Đưa ra vàtính toán ví dụ minh họa.

(b) Nội dung: Phương pháp hướng giảm bằng lan truyền ngược giải bài toán quyhoạch tựa lồi có quy tắc: thuật toán, sự hội tụ, ví dụ minh hoạ; Áp dụng giải bàitoán tối ưu ngẫu nhiên mờ bức tranh: biến đổi bài toán, ví dụ minh hoạ Ứng dụngtrong bài toán tối ưu danh mục đầu tư: phát biểu bài toán, ví dụ minh hoạ.

3 Ý thức làm việc của sinh viên:

(a) (b) (c)

Hà Nội, tháng 3 năm 2023

Giảng viên hướng dẫn

TS Trần Ngọc Thăng

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo – Viện Toán Ứng dụng và Tin học– Đại học Bách khoa Hà Nội, những người đã tận tình truyền đạt các kiến thức cho emtrong suốt thời gian em học tập và nghiên cứu tại trường Em xin cảm ơn các bạn họccùng lớp CTTN – Toán Tin K63 và những người bạn từ Liên chi Đoàn - Liên chi Hộiviện Toán Ứng dụng và Tin học đã giúp đỡ và động viên em trong suốt quá tình họctập và thực hiện đồ án nghiên cứu Bên cạnh đó, xin gửi lời cảm ơn tới một người bạnđặc biệt, người luôn bên cạnh em về mặt tinh thần và cùng với thầy Thăng động viênem hoàn thành tốt đồ án.

Cuối cùng, em cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình đã ủng hộ, động viên em trongsuốt quá trình học tập vừa qua.

Do trong quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và thực nghiệm đồ án chắc chắn không thểtránh khỏi những sai sót nhất định, em rất mong nhận được sự góp ý của thầy, cô giáovà các bạn để đồ án được hoàn chỉnh hơn.

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 3 năm 2023

Tác giả đồ án

Trương Tuấn Khang

Tóm tắt nội dung Đồ án

1 Trình bày các kiến thức cơ bản về các dạng hàm và bài toán liên quan.

2 Giới thiệu bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên mờ bức tranh và bài toántương đương.

3 Giới thiệu về quy hoạch tựa lồi có quy tắc và bài toán quy hoạch đa mục tiêu tựalồi có quy tắc, cũng như đề xuất thuật toán hướng giảm sử dụng lan truyền ngượcđể tìm một nghiệm hữu hiệu của bài toán đơn mục tiêu.

4 Ứng dụng vào bài toán tối ưu danh mục đầu tư và các ví dụ tính toán minh hoạ.

Hà Nội, tháng 3 năm 2023

Tác giả đồ án

Trương Tuấn Khang

Mục lục

1.1 Ma trận xác định dương, ma trận nửa xác định dương 3

1.2 Hàm lồi và quy hoạch lồi 3

1.2.1 Tập affine 3

1.2.2 Tập lồi 4

1.2.3 Hàm lồi 5

1.2.4 Một số kết quả trong tối ưu 6

1.3 Hàm tựa lồi và quy hoạch tựa lồi 9

1.4 Lý thuyết mờ và quy hoạch mờ 11

1.4.1 Cơ bản về lý thuyết tập mờ 11

1.4.2 Bài toán tối ưu mờ 16

Chương 2 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên mờ bức tranh212.1 Phát biểu bài toán 21

2.1.1 Tập mờ bức tranh 21

2.1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 22

2.2 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên mờ bức tranh 26

2.3 Bài toán tương đương 27

2.4 Ví dụ tính toán 28

Chương 3 Quy hoạch đa mục tiêu tựa lồi có quy tắc303.1 Bài toán quy hoạch tựa lồi có quy tắc 30

3.2 Phương pháp giải 33

3.2.1 Phương pháp hướng giảm subgradient 34

3.2.2 Phương pháp lan truyền ngược tính véc tơ gradient của hàm hợp 353.3 DQCP đa mục tiêu 35

3.4 Ví dụ tính toán 37

Chương 4 Ứng dụng vào bài toán tối ưu danh mục đầu tư384.1 Phát biểu bài toán và mô tả dữ liệu 38

4.1.1 Giới thiệu về bài toán lựa chọn danh lục đầu tư 38

4.1.2 Mô hình của Markowitz 38

4.1.3 Hệ số Sharpe (Sharpe Ratio) 40

4.2 Mô hình bài toán tối ưu danh mục đầu tư có sử dụng hệ số Sharpe 41

4.3 Bài toán tối ưu mờ danh mục đầu tư với hệ số Sharpe với tập mờ bức tranh 424.4 Tính toán thử nghiệm 42

Bảng ký hiệu và chữ viết tắt

DQCP quy hoạch tựa lồi có quy tắc

i

Danh sách bảng

1.1 Các yêu cầu sản phẩm và lợi nhuận 181.2 Hệ số mờ hóa 191.3 Nghiệm và giá trị hàm ràng buộc của bài toán mờ và không mờ 193.1 Bộ quy tắc DQCP 324.1 Số liệu 5 mã cổ phiếu 434.2 Kết quả tính toán thử nghiệm bài toán tối ưu doanh mục đầu tư 44

ii

Danh sách hình vẽ

1.1 Minh họa các phép toán với tập mờ 133.1 Kết quả tính toán ví dụ (3.1) và ví dụ (3.2 374.1 Đồ thị hàm thuộc, hàm trung lập và hàm không thuộc 43

iii

Mở đầu

Trong lớp các bài toán quy hoạch phi tuyến, lớp bài toán quy hoạch lồi cónhiều tính chất đẹp và đã được nghiên cứu khá kĩ cả về lý thuyết và các ứngdụng thực tế Tuy nhiên, khi mô hình hóa các vấn đề thực tế, các hàm mụctiêu và các ràng buộc không phải lúc nào cũng là hàm lồi Điều này đòi hỏi tacần mở rộng lớp hàm đang xét Cụ thể, báo cáo đồ án xem xét các lớp hàm mởrộng của hàm lồi: hàm tựa lồi, từ đó xét bài toán quy hoạch tựa lồi và đề xuấtcách tiếp cận để giải lớp bài toán này Và trong báo cáo đồ án này sẽ đề xuấtphương pháp hướng giảm sử dụng lan truyền ngược để giải lớp bài toán trên.Mặt khác, trong thực tế khi mô hình hóa các bài toán, luôn tồn tại sai sốtrong việc đo đạc cũng như ước lượng các tham số Thêm vào đó, trong mộtsố bài toán, dữ liệu đầu vào còn có thể có xu hướng bất ổn, không chính xáchoặc không chắc chắn Một giải pháp cho vấn đề này là áp dụng lý thuyết mờ.Kể từ khi ra đời vào năm 1965, lý thuyết mờ do giáo sư Lotfi A Zadeh, Đạihọc California - Beckeley, khởi xướng ngày càng trở nên hoàn thiện qua nhiềucông trình nghiên cứu của chính tác giả và nhiều nhà nghiên cứu khác trênthế giới Đến nay, lý thuyết mờ đã được ứng dụng rộng rãi trong hầu hết cácchuyên ngành kỹ thuật.

Trong báo cáo đồ án này, bài toán mờ hóa của một bài toán quy hoạch tựalồi cũng được xem xét với mục tiêu mờ với tập mờ bức tranh được giáo sư BùiCông Cường công bố vào năm 2014 Khác với những nghiên cứu trước đóthường sử dụng một số dạng hàm thuộc nhất định, em trình bày bài toán mờhóa có thể sử dụng các hàm thuộc giảm ngặt bất kì và chỉ ra bài toán mờ hóatương ứng với bài toán quy hoạch tựa lồi cũng là một bài toán quy hoạch tựalồi.

Cuối cùng, một ứng dụng cho bài toán tối ưu danh mục đầu tư mờ đượctrình bày dựa theo một biến thể của mô hình tối ưu danh mục đầu tư cổ điểncủa Markowitz Các kết quả chạy với dữ liệu thực tế được sử dụng để minh

họa cho các ý nghĩa chính của tối ưu mờ.

Nội dung của báo cáo bao gồm các phần sau: Chương 1 trình bày một sốkhái niệm và kết quả cơ bản có được Chương 2 trình bày bài toán quy hoạchtuyến tính ngẫu nhiên mờ với tập mờ bức tranh Lý thuyết cơ bản bài toán quyhoạch tựa lồi có quy tắc cũng như thuật toán hướng giảm sử dụng lan truyềnngược trình bày trong Chương 3 Cuối cùng, chương 4 giới thiệu về bài toántối ưu danh mục đầu tư mờ và các ví dụ, kết quả tính toán bài toán tối ưu danhmục đầu tư mờ với bộ dữ liệu thực tế.

Chương 1

Cơ sở lý thuyết

Chương này trình bày ba phần lý thuyết cơ bản của đồ án bao gồm: hàm lồivà quy hoạch lồi, hàm tựa lồi và quy hoạch tựa lồi, lý thuyết mờ và quy hoạchmờ.

1.1 Ma trận xác định dương, ma trận nửa xác định dươngĐịnh nghĩa 1.1 (Ma trận xác định dương) Ma trận D ∈ Rn n× được gọi là xácđịnh dương nếu xTDx > 0 ∀x ∈ Rn\{ }0 Nếu xTDx ≥ 0, ∀x ∈ Rnthì D đượcgọi là ma trận nửa xác định dương.

Định nghĩa 1.2 (Ma trận xác định âm) Ma trận D ∈ Rn n× được gọi là xácđịnh âm nếu xTDx < 0 ∀x ∈ Rn\{0} Nếu xTDx ≤ 0, ∀x ∈ Rnthì D được gọilà ma trận nửa xác định âm.

1.2 Hàm lồi và quy hoạch lồi1.2.1 Tập affine

Cho x1, x2thuộc Rn Tập tất cả các điểm có dạngx = λx1+(1 − )xλ 2= x2+ (xλ 1− x2) với λ ∈ R,được gọi là đường thẳng đi qua x1vàx2.

Định nghĩa 1.3 (Tập affine) Tập M ⊆ Rnđược gọi là tập affine nếu M chứatrọn cả đường thẳng đi qua hai điểm bất kì thuộcM, tức với mọi x x1, 2∈ M vàλ ∈ R ta có λx1+(1 − )xλ 2∈ M.

Định nghĩa 1.4 (Tổ hợp affine) Ta gọi một điểm x ∈ Rn có dạng x =∑i=1k với λ λ1, 2, ,λk∈ R và ∑ki=1λi= 1 là tổ hợp affine của các điểmx x1, 2, ,xk∈ Rn.

Định nghĩa 1.5 (Bao affine) Bao affine của một tập E ⊆ Rnlà giao của tất cảcác tập affine chứa E Đó là tập affine nhỏ nhất chứa E, ký hiệu là aff E Sốchiều của một tập M là số chiều của bao affine của nó, ký hiệu làdim M.

Định nghĩa 1.6 (Điểm trong tương đối) Cho tập M ⊆ Rncó dim M < n Mộtđiểm a ∈ M được gọi là điểm trong tương đối của M nếu tồn tại hình cầu mở

hiệu là riM là tập chứa tất cả các điểm trong tương đối củaM.

1.2.2 Tập lồi

Cho x1, x2thuộc Rn Tập tất cả các điểm có dạngx = λx1+(1 − )xλ 2= x2+ (xλ 1− x2) với 0 ≤ λ ≤ 1,được gọi là đoạn thẳng nối hai điểm x1và x2, kí hiệu là[x1, x2].

Định nghĩa 1.7 (Tập lồi) Tập M ⊆ Rnđược gọi là tập nếu M chứatrọn cả đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc M, tức với mọi x1, x2∈ M và0 ≤ ≤λ 1 ta có λ x1+(1 − λ )x2∈ M.

Định nghĩa 1.8 (Tổ hợp lồi) Ta gọi một điểm x ∈ Rncó dạng x = ∑ki=1λixi

với λ1, ,λk≥ 0 và ∑ki=1λi= 1 là tổ hợp lồi của các điểm x1, x2, , xk∈ Rn.Nếu λi> 0 với mọi i = 1, 2, , k thì ta nói x là tổ hợp lồi chặt của các điểmx x1, 2, ,xk∈ Rn.

Mệnh đề 1.1 Một tập M ⊂ Rnlà tập lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các tổhợp lồi của những phần tử thuộc nó.

Định nghĩa 1.9 (Bao lồi) Bao lồi của tập E ⊂ Rnlà giao của tất cả các tập lồichứa E và được ký hiệu là conv( )E Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E

Định nghĩa 1.10 (Điểm cực biên) Cho tập lồi M ⊂ Rn Một điểm đượcgọi là điểm cực biên của M nếu x không thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợplồi chặt của hai điểm phân biệt bất kỳ nào củaM.

Số điểm cực biên của tập lồi có thể hữu hạn hoặc vô hạn Khi tập lồi cóhữu hạn điểm cực biên thì chúng thường được gọi là các đỉnh.

Mệnh đề 1.2 Một tập lồi đóng khác rỗng M ⊂ Rncó điểm cực biên khi và chỉkhi nó không chứa trọn một đường thẳng nào.

Định lý 1.1 (Định lý Krein-Milman) Một tập lồi đóng, bị chặn trong Rnlàbao lồi của các điểm cực biên của nó.

1.2.3 Hàm lồi

Định nghĩa 1.11 (Hàm lồi) Hàm f được gọi là hàm lồi xác định trên tập lồi

X ⊆ Rnnếu

f (λ x1+(1 − λ )x2) ≤ λ f (x1)+(1 − λ ) f (x2) (1.1)với bất kì x1, x2∈ X và số thực λ ∈ [0, 1].

Định nghĩa 1.12 (Hàm lồi chặt) Hàm f được gọi là hàm lồi xác định trên tập

lồiX ⊆ Rnnếu

f (λ x1+(1 − λ )x2) < λ f (x1)+(1 − λ ) f (x2) (1.2)với bất kì x1, x2∈ X,x1 = x2và số thực λ ∈ (0, 1).

Hàm f được gọi là hàm lõm nếu −f là hàm lồi, tương tự, f được gọi làhàm lõm chặt nếu − f là hàm lồi chặt.

Miền xác định hữu hiệu của hàm flà:

dom f := {x ∈ X| f (x) < +∞}.Epigraph của hàm f là tập:

epi( f )={(x, ξ ) ∈ X × R|ξ ≥ f (x }⊂R) n+1.Hypograph của hàm f là tập:

ii) Nếu hàm số g xác định trên tập lồi X ⊆ Rnlà hàm lõm thì tập mức trên

Uα( f ) := {x ∈ X| f (x) ≥ α} là tập lồi với mọi α ∈ R.

Cho hàm lồi f1xác định trên tập lồi X1⊂ Rn, hàm lồi f2xác định trên tậplồi X2⊂ Rnvà số thực λ > 0 Ta định nghĩa các phép toán sau:

(λf1(x)):= fλ 1(x), x ∈ X1,

( f1+ f2)(x) := f1(x)+ f2( )x , x ∈ X1∩ X2,

max { f1, f2} (x) : max= { f1( )x , f2( )x } , x ∈ X1∩ X2.Khi đó, ta có các kết quả sau:

Mệnh đề 1.5 Cho f1là hàm lồi trên tập X1, f2là hàm lồi trên tập X2và cácsố thựcα, β > 0 Khi đó, các hàm α f1+ β f2 và max{ f1, f2} là hàm lồi trên

Hàmf là hàm lồi chặt trên X nếu ∇2f (x) xác định dương trên X

Hệ quả 1.1 Xét hàm f = xTQx + cTx + α trong đó Q là ma trận đối xứng cấpn Khi đó ta có:

• Nếu Q là ma trận nửa xác định dương thì f là hàm lồi trênRn.

• Nếu Q là ma trận xác định dương thì f là hàm lồi chặt trênRn.

Mệnh đề 1.7 Xét hàm

f =pxTQx với x ∈ Rn, Q ∈ Rn×n Nếu Q là ma trậnnửa xác định dương thìf là hàm lồi trênRn.

1.2.4 Một số kết quả trong tối ưu

Mỗi điểm x ∈ X được gọi là một nghiệm chấp nhận được hay một phươngán chấp nhận được Điểm x∗∈ X mà f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ X được gọi là nghiệmtối ưu, hoặc nghiệm toàn cục tối ưu, hoặc nghiệm cực tiểu toàn cục, hoặc đơngiản là nghiệm của Bài toán (P1) Người ta còn gọi một nghiệm tối ưu là mộtphương án tối ưu.

Điểm x∗∈ X được gọi là nghiệm cực tiểu toàn cục chặt của Bài toán (P1)nếu:

f (x∗) < f ( ), ∀xx ∈ X,x =x∗.

Điểm x∗∈ X được gọi là nghiệm tối ưu địa phương hoặc nghiệm cực tiểuđịa phương của Bài toán (P1) nếu tồn tại một ε - lân cận B(x∗, ε) của điểmx∗∈ X sao cho

f (x∗) ≤ f ( ), ∀x ∈ B(x x∗, ε) ∩ X.

Điểm x∗∈ X được gọi là nghiệm tối ưu địa phương chặt hoặc nghiệm cựctiểu địa phương chặt của Bài toán (P1) nếu:

f(x∗) < (xf ), ∀x∈ B(x∗, ε) ∩ X,x =x∗.Các khái niệm tương tự cũng được định nghĩa cho Bài toán (P2).

Chú ý1.1 Nghiệm tối ưu toàn cục cũng là nghiệm tối ưu địa phương nhưngđiều ngược lại chưa chắc đúng Tuy nhiên, nếu tập X là tập lồi và f (x) là hàmlồi thì nghiệm tối ưu địa phương của Bài toán (P1) cũng là nghiệm tối ưu toàncục.

Định lý 1.4 Nếu tập X là tập compact và hàm f là hàm liên tục trên X thì cả

hai Bài toán (P1) và (P2) đều có nghiệm tối ưu.

Định nghĩa 1.13 Bài toán (P1) được gọi là một quy hoạch lồi nếu thỏa mãncả 2 điều kiện:

i) f (x) là hàm lồi.

ii) Tập chấp nhận được X là tập lồi.

Mệnh đề 1.9 Xét bài toán (P1) là quy hoạch lồi và/0 = X ⊂ Rn Khi đó:i) Nếux∗là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán này thìx∗cũng lànghiệm tối ưu toàn cục.

ii) Nếu x∗là một nghiệm tối ưu địa phương chặt hoặc f là hàm lồi chặt thìx là nghiệm tối ưu toàn cục chặt duy nhất của bài toán.

Bài toán quy hoạch toàn phương lồi

Định nghĩa 1.14 (Hàm toàn phương) Hàm f : Rn→ R được gọi là hàm toànphương nếu tồn tại ma trận Q ∈ Rn×n, véc tơ c ∈ Rnvà số thực α sao cho

f (x)=12

TQx + cTx + α với∀x ∈ Rn (1.3)Ta có xTQx =1

T(Q + QT)

x với ∀x ∈ Rn Do đó, không mất tính tổngquát, ta có thể giả sử ma trậnQtrong công thức (1.3) là ma trận đối xứng.

Định nghĩa 1.15 (Bài toán quy hoạch toàn phương) Bài toán quy hoạch toàn

phương là bài toán cực tiểu một hàm toàn phương thỏa mãn các ràng buộcđẳng thức và bất đẳng thức tuyến tính Hay nói cách khác, bài toán quy hoạchtoàn phương có dạng

min f (x)=xTQx + cTx + α

với f : Rn→ R là hàm toàn phương và M ⊆ Rnlà tập lồi đa diện.

Nếu f là hàm lồi, Bài toán (1.4) được gọi là bài toán quy hoạch toàn phươnglồi Ngược lại, nếu f không là hàm lồi, Bài toán (1.4) được gọi là bài toán quyhoạch toàn phương không lồi.

Nếu ma trận Q là ma trận nửa xác định dương thì f là hàm lồi Khi đó, Bàitoán (1.4) là bài toán quy hoạch toàn phương lồi.

1.3 Hàm tựa lồi và quy hoạch tựa lồi

Hàm tựa lồi

Định nghĩa 1.16 (Hàm tựa lồi, Finetti 1949) Hàm số f xác định trên tập lồi

X ⊆ Rnđược gọi là hàm tựa lồi nếu tập mức dướiLα( f ) := {x ∈ X| f (x) ≤ α}là tập lồi với mọiα ∈ R.

Hàm số f là hàm tựa lồi xác định trên tập lồi X ⊆ Rnkhi và chỉ khi −f làhàm tựa lõm trên X Tương tự hàm tựa lồi, ta có định nghĩa hàm tựa lõm.

Định nghĩa 1.17 (Hàm tựa lõm, Finetti 1949) Hàm số f xác định trên tập lồi

X ⊆ Rnđược gọi là hàm tựa lõm nếu tập mức trênUα( f ) := {x ∈ X| f (x) ≥ α}là tập lồi với mọi α ∈ R.

Định lý 1.5 (Fenchel, 1951) Cho f là hàm số xác định trên tập lồi X ⊆ Rn.Khi đóf là hàm tựa lồi khi và chỉ khi

f (φ (λ x1+(1 − λ )x2))≤ f (max φ (x[ 1), φ (x2)])=max[ f (φ (x1)), f (φ (x2))].

Mệnh đề 1.11 Cho f là hàm tựa lồi trên X ⊆ Rn Nếu x∗∈ X là một nghiệm

cực tiểu chặt của f thì x∗cũng là một nghiệm cực tiểu toàn cục của f trên X.Tập hợp các điểm màf đạt cực tiểu toàn cục trên X là một tập lồi.

Mệnh đề 1.12 (Các hàm trên trục số thực) Với hàm f : C ⊆ R → R, tính tựa

lồi có thể trình bày đơn giản như sau: f tựa lồi nếu nó không giảm, khôngtăng, hoặc không tăng trên C ∩(∞,t] và không giảm trên [t,∞)∩C, với mộtsốtinC.

Mệnh đề 1.13 (Biểu diễn bởi một họ các hàm lồi) Các tập mức dưới của

một hàm tựa lồi có thể biểu diễn thành các bất đẳng thức của hàm lồi Trongtrường hợp này, mỗi hàm tựa lồi có thể biểu diễn bởi một họ các hàm lồi Nếu

f : C → R là hàm tựa lồi, thì sẽ tồn tại một họ các hàm lồi φt: C → R, được

đánh số bởit ∈ R, sao cho

Mệnh đề 1.14 (Cực tiểu từng phần) Khi cực tiểu hoá một hàm tựa lồi trên tập

lồi đối với một số biến của nó sẽ tạo ra một hàm tựa lồi khác.

Mệnh đề 1.15 (Cận trên đúng của các hàm tựa lồi) Cận trên đúng của một họ

các hàm tựa lồi là hàm tựa lồi; tương tự, cận dưới đúng của một họ các hàmtựa lõm là hàm tựa lõm.

Mệnh đề 1.16 (Hợp với các hàm đơn điệu) Nếu g :C → R là hàm tựa lồi vàh

là một hàm giá trị thực không giảm trên tập số thực, thì hàm f = h◦g là hàmtựa lồi Điều này có thể thấy được bằng quan sát với mỗi α ∈ R , một điểmx(thuộc miền giá trị của f) sẽ thuộc vào tập mức dưới α của f nếu và chỉ nếu:

g(x) ≤ sup{y | h(y) ≤ α}

Bởi vì hàm g tựa lồi, nên điều này cho thấy rằng tập mức dưới của f là tậplồi Tương tự, một hàm không tăng của hàm tựa lồi sẽ là hàm tựa lõm, mộthàm không tăng của một hàm tựa lõm là một hàm tựa lồi.

Một số định lý về hàm hợp

Một kết quả cơ bản của lý thuyết hàm lồi là một hàm lồi không giảm củahàm lồi là một hàm lồi Từ đó mở rộng ra cho lý thuyết hàm hợp cho hàm tựalồi chúng ta có được định lý sau Và cũng tương tự với hàm tựa lõm.

Trong phát biểu của định lý, khi xét hàm f ánh xạ một tập C trong RnđếnRk, chúng ta sử dụng f1, f2, ,fkđể kí hiệu cho các thành phần của f, và tacó hàm

f (x) = (f1(x), f2( ), , fx k( )) (x ∈ C).x

Định lý 1.6 Cho h là một phép ánh xạ tựa lồi đi từ tập con C của Rkvào

R ∩ ∞, và {I1 2, I , I3} là một phân hoạch của {1 2, , , k sao cho h không}

giảm với các chỉ số thuộc I1và không tăng với các chỉ số thuộc I2, và g ánhxạ một tập con của Rnvào Rksao cho các thành phần của nó thoã mãn gilồivớii ∈ I1, lõm vớii ∈ I2và affin vớii ∈ I3 Từ đó hàm hợp

f = h ◦ g

là hàm tựa lồi Nếu như hàmh lồi thì hàm f cũng lồi.

Chứng minh Ta sẽ chứng minh định lý thông qua cách biểu diễn hàm tựa

lồi thông qua họ các hàm lồi như sau: Xét φt: C → R là một trong họ các hàmlồi với biến chỉ số t sao cho φt(x) ≤ 0 ⇔ h x) ≤ t Không mất tính tổng quát,(ta giả sử rằng φtsẽ tuân theo tính đơn điệu với các chỉ số tuân theo phân hoạchcủa h (điều này là hoàn toàn có thể và hợp lý, bởi luôn luôn tồn tại φtbiểu diễncho tập mức dưới của h) Khi đó f(x)=h(g( ))≤ t ⇔ φx t(g(x))≤ 0 Theođịnh lý thành phần cho hàm lồi, φt(g(x))là hàm lồi.

⇒ Tập mức dưới của f là tập lồi, nghĩa là f là hàm tựa lồi □

1.4 Lý thuyết mờ và quy hoạch mờ1.4.1 Cơ bản về lý thuyết tập mờ

Tập mờ

Định nghĩa 1.18 (Tập mờ) Xét tập vũ trụ X Tập mờ ˜A của X được xác định

bởi hàm thuộc của nó Hàm thuộcµ˜

A: X → [0, 1]

là hàm tương ứng với mỗi x ∈ X một giá trị thực µ˜

A∈ [0 1, để biểu diễn cho]mức thành viên của x trong ˜A.

Một tập mờ ˜A có thể được biểu diễn như là một tập hợp các cặp phần tử cóthứ tự x và mức µA˜( )x

A = {(x, µ˜A)|x ∈ X }

Khi hàm thuộc µ˜Achỉ có hai giá trị 0 và 1 thì µA˜giống với hàm đặc trưngcA: x →{0, 1} và khi đó,A không còn là một tập mờ nữa mà là một tập bình˜thường.

Để đơn giản về mặt ký hiệu, ta sử dụng ký hiệu A để biểu diễn tập mờ ˜A.

Định nghĩa 1.19 Các khái niệm cơ bản sau đây được định nghĩa cho các tập

• Rỗng: Tập lồi A trên X được gọi là rỗng nếu và chỉ nếu µA(x)=0 vớimọix ∈ X.

Định nghĩa 1.20 (Zadeh, 1965) Một số phép toán lý thuyết tập hợp liên quan

đến các tập mờ:

• Đồng nhất: Hai tập lồi A và B trên X được coi là bằng nhau (hay đồngnhất) khi và chỉ khi hàm thuộc của chúng bằng nhau trên mọi điểm thuộcX.

A = B ←→µA(x)= µB(x) với mọi x ∈ X.

• Bao gồm: Tập mờ A gọi là được chứa trong B ( hay một tập con của B)nếu và chỉ nếu giá trị hàm thuộc của A nhỏ hơn hoặc bằng giá trị hàmthuộc của B tại mọi điểm thuộc X

A ⊆ B ←→µA(x) ≤ µB(x) với mọi x ∈ X.

• Phần bù: Phần bù của tập mờ A trên X kí hiệu là A, được định nghĩa bởiµA(x)=1 −µA(x) với mọi x ∈ X.

• Giao: Giao của hai tập mờ A và B trên X, kí hiệu là A ∪ B, được địnhnghĩa bởi

µA∪B(x)=min{µA( )x , µB( )x } với mọi x ∈ X.

• Hợp: Hợp của hai tập mờ A và B trên X, kí hiệu là A∩B, được định nghĩabởi

µA∩B(x)=max{µA(x),µB(x)} với mọi x ∈ X.

Định nghĩa 1.21 (Tập mức α ) Tập mứcα của một tập lồi A được định nghĩa

là một tập hợp thông thường Aαsao cho các phần tử của nó đều thuộc A với ítnhất mức α, cụ thể

Aα= {x|µA(x) ≥ α}, α ∈ [0 1, ]

Mệnh đề 1.17 Cho Avà B là hai tập mờ trên X và α,β ∈ [0 1, ] Ta có các

tính chất sau:

• α ≥ β ←→Aα⊆ Aβ.

• (A ∪ B)α= Aα∪ Bα.• (A ∩ B)α= Aα∩ Bα.

Định nghĩa 1.22 (Tập mờ lồi) Một tập mờ A của X = Rnđược gọi là tập mờlồi nếu và chỉ nếu tất cả các tập mức α của nó đều là tập lồi Hoặc cách khác,một tập mờ A của X là tập mờ lồi khi và chỉ khi

µA(λ x1+(1 − λ )x2≥ min{µA( )x1,µA( )x2}với mọi x x1, 2∈ X và λ ∈ [0, 1 ]

Định lý 1.7 (Định lý phân rã tập mờ) Một tập mờ A có thể được biểu diễn bởi

A = α∈[[0,1]αAα,

trong đó αAα là tích đại số của số thực α với tập mức α của A và được xácđịnh bởi hàm thuộc

Ngược lại, với một tập con B của Y, tập nghịch ảnh của Bqua f, kí hiệu làf−1(B)={x| (x)=y, y ∈ B}f

cũng là một tập con của X

Nếu A, B là các tập mờ, ta có nguyên lý mở rộng sau.

Định nghĩa 1.23 (Nguyên lý mở rộng) Cho f : X → Ylà một ánh xạ đi từ X

vào Y Nguyên tắc mở rộng cho phép ta định nghĩa tập mờ B trong Y được tạora bởi tập mờ A trong X thông qua ánh xạ f như sau:

B = {(y, µB(y))|y = f x , x ∈ X},( )với

µB(y) := µf (A)(y)=

supy= f (x)µA(x) f−1(y) = ∅

trong đó f−1(y) là nghịch ảnh của y

Quyết định mờ

Trong nhiều trường hợp thực tế, phần lớn việc ra quyết định diễn ra trongmôi trường mà các mục tiêu, ràng buộc cũng như kết quả đều không rõ rànghoặc không biết được chính xác Với quan sát này, Bellman và Zadeh (1970)đã giới thiệu các khái niệm: mục tiêu mờ, ràng buộc mờ, quyết định mờ và ápdụng các khái niệm này trong việc ra quyết định trong môi trường mờ.

Gọi X là một tập hợp các phương án có thể có trong đó có lời giải của mộtvấn đề ra quyết định đang được xem xét.

Định nghĩa 1.24 (Mục tiêu mờ) Một mục tiêu mờ Gilà một tập mờ trong Xđược đặc trưng bởi hàm thuộc

µGi(x) : x → [0, 1]vớii = 1, , l.

Định nghĩa 1.25 (Ràng buộc mờ) Một ràng buộc mờ Cjlà một tập mờ trongX được đặc trưng bởi hàm thuộc

µCj(x) : x → 0, 1[ ]vớij = 1, , k.

Vì các mục tiêu và các ràng buộc đều cần được thỏa mãn, Bellman vàZadeh định nghĩa quyết định mờ như sau.

Định nghĩa 1.26 (Quyết định mờ) Quyết định mờ D được đưa ra theo các

mục tiêu mờ Gi, i = 1, , l và các ràng buộc Cj, j = 1, ,k là giao của cáctập mờ Givà Cj

D = G1∩ ∩ Gl∩C1∩ ∩Ck.Hay nói các khác, D là một tập mờ với hàm thuộc

µD(x)=min{µG1(x), ,µGl( )x , µC1(x), µCk(x)}với mọix ∈ X.

Quyết định tối đa hóa sau đó được đinh nghĩa làmax

x∈Xmin{µG1(x), , µGl( )x , µC1( )x , µCk( )x }.

1.4.2 Bài toán tối ưu mờ

Trong báo cáo này, bài toán tối ưu mờ được trình bày theo một trong haihướng chính của tối ưu mờ, hướng tối ưu hóa tối ưu các phần tử trong một tậpmờ Tập mời tối ưu hóa là kết quả của việc biến hàm mục tiêu mờ thành mộtràng buộc mờ và thêm nó vào các mối quan hệ mờ trong tập hợp ràng buộc.Các ràng buộc mờ sau đó được biến đổi thành các ràng buộc có giá trị thựcbởi một toán tử tập hợp mờ.

Ý nghĩa của việc mờ hóa

Trong hầu hết các vấn đề thực tế, việc ra quyết định thường được tiến hànhkhi mục tiêu, ràng buộc, cũng như kết quả đều không được rõ ràng và tuyệtđối Thêm nữa, quá trình đo đạc và ước lượng trong thực tế luôn đi kèm vớisai số Do vậy, việc xem xét các vấn đề đó trong môi trường mờ là một điềuhợp lý và tự nhiên Ở đây, khi xét một bài toán trong môi trường mờ, ta chú ýtới cả mục tiêu mờ và ràng buộc mờ vì các lý do sau:

• Các ràng buộc mờ khiến cho các ràng buộc ban đầu trở nên lỏng hơn, vàvì thể sẽ mở rộng tập chấp nhận được, mở rộng không gian tìm kiếm Dođó, việc mờ hóa các ràng buộc có thể dẫn tới một nghiệm làm cho giá trịhàm mục tiêu tốt hơn giá trị cực đại của hàm mục tiêu khi xét bài toán tấtđịnh.

• Do có thể tồn tại sai số trong các tham số của hàm mục tiêu, cũng nhưviệc xác định tập chấp nhận được, nếu ta vẫn xét hàm mục tiêu ban đầu,có thể dẫn tới việc nghiệm tối ưu tìm được không thật sự tốt trong thực tế.

Bài toán tối ưu mờ

Để bắt đầu, ta cần xét một bài toán tối ưu mờ đơn mục tiêu tổng quát.

Định nghĩa 1.27 Bài toán tối ưu mờ đơn mục tiêu có dạng tổng quát như sau:

gmin f (x)

s.t zi(x) ⪯ bi, i = 1, , k (Pf)trong đó các kí hiệu "

min" và "⪯" lần lượt biểu diễn cho phiên bản mờ của"min" và "≤ ", thể hiện rằng "hàm mục tiêu cần được giảm càng nhiều càngtốt" và "ràng buộc càng được thỏa mãn càng tốt".

Bài toán (Pf) là bài toán mờ của Bài toán tất định (Ptd) sau khi làm mờ mụctiêu "min f (x)" và làm mờ các ràng buộc "zi(x) ≤ bi" vớii = 1, , k.

min f (x)

zi(x) ≤ bi, i = 1, , k (P td)Để giải một bài toán tối ưu mờ, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Chuyển mục tiêu mờ thành ràng buộc mờ

Ở bước này, ta chọn một ngưỡng chặn trên mong muốn b0cho hàmmục tiêu f (x) và chuyển mục tiêu mờ "

min f (x)" thành ràng buộc mờf (x) ⪯ b0 Để thống nhất về kí kiệu với các ràng buộc, ta đặt z0(x)= f (x).• Bước 2: Xử lý các ràng buộc mờ

Các ràng buộc mờ được xử lý bằng cách áp dụng các hàm thuộc Giá trịcủa hàm thuộc biểu diễn cho mức độ thỏa mãn của ràng buộc đó.Một hàm thuộc, trong trường hợp tổng quát, thường có dạng như sau:

0 if zi(x) ≥ z0i,di(x) if z0

i≥ zi(x) ≥ z1i,1 if zi(x) ≤ z1i,

trong đó di(x) là hàm đơn điệu không tăng với zi z0ivà z1

i biểu diễn cácgiá trị mà từ đó µi(zi( ))x có giá trị bằng 0 hoặc 1 Các mốc z0

i và z1i

thường được chọn phù hợp với giá trị bi(z1i≤ bi≤ z0

i) và trường hợp cụthể khi nới lỏng các ràng buộc.

Theo cách định nghĩa như trên, hàm thuộc là hàm đơn điệu không tăng.• Bước 3: Chuyển về bài toán tối ưu thông thường.

Để chuyển bài toán tối ưu mờ về bài toán tối ưu thông thường, cần chọnmột toán tử ra quyết định thích hợp nhằm đánh giá tổng quát việc một giátrị x0thỏa mãn các ràng buộc ở mức độ nào.

Mỗi ràng buộc zi(x) ⪯ bivà hàm thuộc µitương ứng xác định một tậpmờ Ai Rõ ràng, tập chấp nhận được của bài toán tối ưu mờ lúc này làgiao của các tập mờ Ai, hay chính là:

i {µi(zi( ))x } (1.8)

Ví dụ 1.1 (Bài toán lên kế hoạch sản xuất) Công ty C muốn tối đa hóa tổng

lợi nhuận của việc sản xuất hai sản phẩm P1và P2sử dụng ba loại nguyên liệukhác nhau M1, M2và M3 Công ty biết rằng để sản xuất 1 tấn sản phẩm P1cần2 tấn nguyên liệu M1, 8 tấn nguyên liệu M2, và 3 tấn nguyên liệu M3 Trongkhi để sản xuất 1 tấn sản phẩm P2cần 6 tấn nguyên liệu M1, 6 tấn nguyên liệuM2và 1 tấn nguyên liệu M3 Tổng lượng nguyên liệu sẵn có bị giới hạn là 54tấn, 90 tấn và 30 tấn lần lượt đối với M1, M2và M3 Họ cũng biết rằng sảnphẩm P1cho mức lợi nhuận 1 triệu VNĐ mỗi tấn, trong khi P2có lợi nhuận2 triệu VNĐ mỗi tấn (xem Bảng 1.1) Cho trước các giới hạn này về nguyênliệu, công ty cố gắng xác định lượng sản phẩm P1và P2được sản xuất để làmtối đa hóa tổng lợi nhuận.

P1P2Lượng sẵn cóM1(tấn)2654M2(tấn)8690M3(tấn)3130Lợi nhuận (triệu VNĐ)12

Bảng 1.1: Các yêu cầu sản phẩm và lợi nhuận

Gọi x1và x2lần lượt là số lượng (tấn) sản phẩm P1và P2được sản xuất.Khi đó bài toán lên kế hoạch sản xuất này có thể biểu diễn dưới dạng bài toánquy hoạch tuyến tính sau:

min z = −x1− 2x2

v.d.k 2x1+ x6 2≤548x1+ x6 2≤903x1+ x2≤30x1≥ 0,x2≥ 0

Không mờMờµ= 0µ= 1Hàm mục tiêu−20−19−21Ràng buộc thứ nhất546054Ràng buộc thứ hai9010090Ràng buộc thứ ba303630

Bảng 1.2: Hệ số mờ hóa

Giả định các hàm thuộc tuyến tính từ µ = 0 đến µ = 1 cho các bất đẳngthức mờ này, biểu diễn của bài toán ban đầu ở dạng quy hoạch tuyến tính mờcó thể được đưa về dạng sau đây:

v.d.k 2

3x1+ 2x2+ λ ≤ 20,1.6x1+ x12 2+ λ ≤ 20,1.5x1+ x05 2+ λ ≤ 17,x1+ 2x2− λ ≥ 19,x1≥ 0, x2≥ 0.

Không mờMờx1=6x1=6.1578x2=7x2=7.1842z=-20z=-20.5262Ràng buộcRàng buộc

Bảng 1.3: Nghiệm và giá trị hàm ràng buộc của bài toán mờ và không mờ