skkn cấp tỉnh một số sai sót của học sinh mắc phải khi tính tích phânsách giáo khoa giải tích 12 chương trình cơ bản

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI SÓT CỦA HỌC SINH MẮC PHẢI KHI TÍNH TÍCH PHÂN Sách giáo khoa Giải tích 12, Chương trình cơ bản Người thực hiện: Vũ Đức Tuấn Chức

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ SAI SÓT CỦA HỌC SINH MẮC PHẢI KHI

TÍNH TÍCH PHÂN ( Sách giáo khoa Giải tích 12, Chương trình cơ bản )

Người thực hiện: Vũ Đức Tuấn Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2024

MỤC LỤC

Trang

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3 2.1.1 Định nghĩa và tính chất của Nguyên hàm 3 2.1.2 Định nghĩa và tính chất của Tích phân 4 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để

giải quyết vấn đề

5

2.3.1 Sai do khó khăn trong việc đi tìm nguyên hàm 5

2.3.2 Sai do “ mơ hồ ” dẫn đến nhầm lẫn giữa các công thức với

2.3.3 Sai trong việc thực hiện đổi biến số tích phân 8

2.3.4 Sai trong việc thực hiện các phép biến đổi hàm số dưới dấu

2.3.5 Một số nghịch lý trong bài toán Nguyên hàm -Tích phân 12 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 14

DANH MỤC SKKN ĐƯỢC XẾP LOẠI CẤP NGHÀNH 17

1 MỞ ĐẦU:

1.1 Lý do chọn đề tài

G.Polya đã từng nói: “ Con người phải biết học từ những sai lầm và

những thiếu sót của mình” [1], [7] Từ những sai sót của mình, con người ta nếu

biết nhìn nhận và sửa chữa thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học và

sẽ tránh được những sai lầm tương tự

Trong thực tế giảng dạy ở trường phổ thông, tôi nhận thấy Tích phân chiếm một vị trí rất quan trọng, nó là nội dung không thể thiếu trong đề thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào các trường Đại học&Cao đẳng Thêm nữa còn thấy nó còn là một công cụ hữu hiệu để giải quyết bài toán thực tế phổ biến đó là : Bài toán tính diện tích và thể tích

Khi giảng dạy phần kiến thức này, tôi thấy khá nhiều học sinh mắc phải một số lỗi khi giải các bài toán tích phân Những sai sót mà học sinh mắc phải như: Nguyên hàm tìm được không phải là nguyên hàm của hàm số trên đoạn lấy tích phân; Nhầm lẫn giữa công thức lấy Nguyên hàm và công thức lấy Đạo hàm; Thực hiện đổi biến số tích phân bị sai ( đổi biến số không đổi cận, đổi biến số không tính vi phân ); Thực hiện các phép biến đổi hàm số dưới dấu tích phân bị sai ( tính toán sai, biến đổi không đồng nhất, không tương đương )…

Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn với mong muốn giúp các em học sinh hiểu được kiến thức cơ bản, hạn chế được những sai sót và phát triển năng lực giải toán cho học sinh bằng việc chỉ ra và phân tích một số sai sót của học sinh khi

tính Tích phân Vì vậy tôi chọn đề tài: “Một số sai sót của học sinh mắc phải

khi tính Tích phân”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thông qua việc chỉ ra và phân tích một số sai sót của học sinh trong giải toán Tích phân để hình thành và phát triển tư duy, khả năng suy đoán nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh Đồng thời giúp học sinh cảm thấy yêu thích môn Toán hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu, đưa ra một số dạng toán mà học sinh thường mắc sai sót trong giải toán Tích phân ( gồm dạng mẫu và một hệ thống bài tập đề nghị ) cho học sinh phân tích lỗi sai và cách khắc phục sai sót đó

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp khảo sát điều tra

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Kết hợp giữa kinh nghiệm và yêu cầu thực tế trong việc dạy học ôn tập cho học sinh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

2.1.1 Định nghĩa và tính chất của Nguyên hàm:

a) Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng hoặc đoạn hoặc

nửa khoảng) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K [4]

b) Định lí:

+) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số

C, hàm số G(x) = F(x) +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K [4]

+) Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C , với C là một hằng số

Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là: f x dx F x( )  ( )C ( C là hằng số) [4]

c) Tính chất nguyên hàm:

+) f x dx'( ) f x( )C

+) kf x dx k f x dx( )   ( ) (k là hằng số khác 0)

+) ( ( )f x g x dx( )) f x dx( ) g x dx( ) [4]

d) Sự tồn tại nguyên hàm:

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K [4] e) Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp:

3 y = x 







C 1

x dx x

1





 (   1 )

y

x

x

dx

(x  0 )







6 y = ax

C a ln

a dx

a x x





 , (0  a  1)

7 y = cosx cos xdx  s inx  C

8 y = sin x sin xdx   cos x  C

9

2

1 cos

y

x

cos

dx

x C



10

2

1 sin

y

x

sin

dx

x C

x  



[4]

g) Phương pháp tính nguyên hàm:

+) Phương pháp đổi biến số :

Định lí 1: Nếu f u du F u( )  ( )c và u u x ( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì f u x u x dx F u x[ ( )] '( )  [ ( )] C [4]

+) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:

Định lí 2: Nếu hai hàm số u u x ( )vàv v x ( )có đạo hàm liên tục trên K

thì u x v x dx u x v x( ) '( )  ( ) ( ) v x u x dx( ) '( ) hay  udv u v  .   vdu [4]

2.1.2 Định nghĩa và tính chất của Tích phân:

a) Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] Giả sử F(x) là một

nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b] Hiệu số F(b)  F(a) được gọi là tích phân

từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b] ) của hàm số f(x), kí hiệu là:

( )

b

a

f x dx



Khi đó: ( ) ( )    

b b

f x dx F x F b  F a

 (công thức Newtơn- Leibnitz) [4]

b) Tính chất của tích phân:

+ ) Tính chất 1 :

+ ) Tính chất 2 :

f x g x x f x x g x x [4]

+ ) Tính chất 3 :

f x x  f x x  f x x

   (a < c < b) [4]

c) Phương pháp tính tích phân :

+) Phương pháp đổi biến số:

Đ ị n h l í : Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] Giả sử hàm số

( )

x  t có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ;  ] sao cho  ( ) a, ( )  b và ( )

a  t b với mọi t [ ; ]. 

Khi đó ( )d ( ( )) '( )d

b

a







+) Phương pháp tính tích phân từng phần:

Đ ị n h l í : Nếu u u x ( )vàv v x ( )là hai hàm số có đạo hàm liên tục

trên đoạn [a ; b] thì ( ) '( ) ( ) ( ) | '( ) ( )

b a

b a

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Chương trình Toán lớp 11 học sinh đã học Đạo hàm và Vi phân Đến lớp

12 học sinh được học Nguyên hàm - Tích phân Trong đó Nguyên hàm là phép tính ngược của Đạo hàm, và Tích phân là phép tính ngược của Vi phân, nên việc tính Nguyên hàm – Tích phân sẽ khó khăn hơn so với việc tính đạo hàm Nhiều học sinh cảm thấy “ mơ hồ ” khi giải các bài toán Tích phân, dẫn đến các em mắc những sai sót khi giải toán Trong thực tế việc phân tích những sai sót của học sinh giúp các em hiểu được bản chất của vấn đề, để các em nhớ lâu hơn và đồng thời qua đó có thể phát triển năng lực tư duy, năng lực giải toán cho các em

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Đưa ra một số ví dụ cụ thể về các dạng toán Tích phân mà học sinh thường mắc sai sót khi giải toán và kèm theo đó là một hệ thống bài tập đề nghị

để học sinh tham khảo Những ví dụ đưa ra có kèm theo phân tích nguyên nhân dẫn đến sai sót, để qua đó học sinh có thể rút ra kinh nghiệm, khắc sâu thêm

kiến thức, hạn chế được các sai lầm tương tự [7]

2.3.1 Sai do khó khăn trong việc đi tìm nguyên hàm:

Ví dụ 1: Tính  

2

1

2 1 ln

I  x x dx [9]

* Sai sót mắc phải:

dv x dx v



* Nguyên nhân: Do cách đặt u và dv của học sinh không hợp lý Về lý thuyết

hàm số y  ln x liên tục trên khoảng 0; thì nó sẽ có Nguyên hàm trên

khoảng đó Nhưng ta không thể tìm được Nguyên hàm của hàm số này

* Lời giải đúng:

Đặt:

1 ln

x

dv x dx

v x x





2

2

2

x

* Lưu ý học sinh: Khi thực hiện tính tích phân theo phương pháp từng phần.

Cần chọn u sao cho tính du dễ ( tính đạo hàm u’ dễ ), chọn dv sao cho tính v dễ ( tính nguyên hàm v   dv dễ ) Cần ghi nhớ thứ tự ưu tiên khi chọn u như sau: 1_Hàm logarit, 2_Hàm đa thức, 3_Hàm lượng giác, 4_Hàm mũ Thế mới có câu

“ Nhất Lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ ”

* Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

1/ 2

1

ln

e

x x dx

1

0

ln(2x1)dx

3/

2

2

1

ln x

dx

x

1

ln

e

x xdx

5/  

1

5 0

1

x  x dx

0

sin ln(1 cos )x x dx





7/ 4

3

0

1

cos x dx



0

2 3 sin



9/

3

2

4

sin

x

dx

x





0

cos 2

x x dx



11/

ln 2

2

0

x

xe dx

1

0

1 x

x  e dx

13/ 2 2

0

cos

x



0

sin 4

x



2.3.2 Sai do “ mơ hồ ” dẫn đến nhầm lẫn giữa các công thức với nhau:

Ví dụ 2:

1 2

2 3

1 2

(1 )

I x dx



   [4]

*Sai sót mắc phải:

2

3

3

x



                 

* Nguyên nhân: Học sinh nhầm lẫn giữa công thức lấy nguyên hàm và công

thức lấy đạo hàm:  







C 1

x dx x

1





 và   x ' x 1



* Lời giải đúng:

 

2

2

3

3

1

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

1 5

2 1

1

2

3 1 1 3 9 3

3 9 1

5 2 4 2 4 10 4

I x dx x d x x

x x

      



       

                

         

    

* Lưu ý học sinh: Học sinh cần có bước kiểm tra, sau khi lấy nguyên hàm xong

thì cần lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem nó có phải là hàm số đã cho không? Hay dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả tìm được

* Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

1/

1

2

0

1

x  dx

1

0

2x1dx

3/

1

3

(2x 1) dx

0



1 dx x 1



 [11]

5/

1

dx

3

(1 x)

x 2 4

10 sin x dx 2

7/ 2 3

0

cos x.dx



0



9/ 3cot x.dx5

4



e

ln x.dx

1 [11]

11/

0

x 1

3 dx

1





ln 2 x

e 1dx 0



2.3.3 Sai trong việc thực hiện đổi biến số tích phân:

Ví dụ 3: Tính tích phân :

1

2 3 4 1



  [5]

*Sai sót mắc phải:

1

1



* Nguyên nhân: Do học sinh tính vi phân bị sai

* Lời giải đúng:

1

1



* Lưu ý học sinh: Học sinh cần lập ra bảng nguyên hàm của hàm hợp và học

thuộc nó Học sinh cần có bước kiểm tra, sau khi lấy nguyên hàm xong thì cần lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem nó có phải là hàm số đã cho không? Hay dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả tìm được

Ví dụ 4: Tính tích phân : I =

1

2 0

1 x dx

 [4]

*Sai sót mắc phải:

1

I   t t dt  t dt  dt    

* Nguyên nhân: Do học sinh khi thực hiện đổi biến số nhưng không đổi cận.

* Lời giải đúng:

Đặt x = sint suy ra dx=costdt

Đổi cận:

0 0 1

2

x t

x t 

  







  





* Lưu ý học sinh: Học sinh cần dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả tìm

được

* Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

1/

2 0

(1 3x) dx

1

0

x (x  1) dx

3/

 

1

3 2

0

x

dx

x 1

1

2 0

x dx

4 x

 [9]

5/

1

2

0

x x 1 dx

2

4 0

cos x

dx

1 sin x





7/

e

1

1 ln x

dx x



2

e

e

1

dx 2x 2 ln x

9/

x

0

e

dx

1 e







2

0

x 4 x dx

11/ 2

1

1

( 0)

a

dx a

3

1

1

13/

1

2

2 0

1

1 x dx

2

2 1

1

1dx

x x 

 [11]

15/

2

4 x

dx x



1 2 0

1

1dx

x  x

 [11]

2.3.4 Sai trong việc thực hiện các phép biến đổi hàm số dưới dấu tích phân:

Ví dụ 5: Tính

2

0

1 sin



   [3]

*Sai sót mắc phải:

2

2

0

2

0

d



* Nguyên nhân: Do học sai lầm khi biến đổi biểu thức

2

* Lời giải đúng:

2

3

2 2

3 0

2 3

2 2

3 0

2

2 2 c















2



* Lưu ý học sinh: Cần để ý rằng: a2 a Ta cần phải xét dấu của biểu thức chứa trong dấu giá trị tuyệt đối trên đoạn lấy tích phân, để rồi khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối

* Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

1/

0

1 cos 2x dx





2

0

1 cos 2x dx





3/

2

2

1 sin 2x dx

















0

1 sin x dx





1

2 0

x m  dx

7/

4

2

0

x  x dx

2 2 0

4x  4x 1 dx

Ví dụ 6: Tính

4 1

1 1

x

x









 [6]

*Sai sót mắc phải:

2 2

2

1

1

2

x x



1

     

  Đổi cận: x 1 t 2; x 1 t 2;

 

 

2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



 

* Nguyên nhân:

Phép biến đổi:

2 2

2 4

2

1

1 1 1

1

x x

x x

x











là không tương đương vì 0   1;1 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x  [6]0

* Lời giải đúng:

1 2 1 2

1

ln

dx









* Lưu ý học sinh: Khi tính tích phân mà cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho

x thì cần để ý xem trong đoạn lấy tích phân có chứa điểm x  hay không?0

* Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

1/

6 2

2

2

4

1

1 1

x

dx x









4 2 3

1 1

x

dx

x x





3/

0

2

x

dx



2 2 4 2

x dx x







5/

1 2

4

1

1

1

x dx

x







1

1





7/

1

4

2

2

x

dx

x 

1 2 4 0

1 1

x dx x





2.3.5 Một số nghịch lý trong bài toán Nguyên hàm - Tích phân Đề nghị thầy cô và các em học sinh tìm hiểu xem sai ở chỗ nào? Nguyên nhân và cách khắc phục Hi vọng thầy cô và các em sẽ rút ra được những kết luận

bổ ích.

Bài toán 1: “ 0 = 1”

Khi tính tích phân: cot xdx

Có bạn một bạn học sinh làm như sau:

cos

sin

x

x



'

x



Hay I  1 I Suy ra : 0 1 [8]

Bài toán 2: “ Diện tích hình phẳng bằng 0 ”

Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  2 2cos 2 x , trục

Ox và hai đường thẳng ;

x  x Một bạn học sinh làm như sau:

2

1 cos 2

2 2cos 2 4 2 sin 2cos 0

2

x





Vậy hình phẳng đã cho có diện tích bằng 0 [8]

Bài toán 3: “ Voi cũng bằng kiến ”

Xét hypebol xác định bởi phương trình y2  x2 1 0 Nếu cắt hypebol bởi đường thẳng x 2và gọi các giao điểm của chúng là M N, ( Hình 18 )

Thể tích V1của khối tròn xoay do tam giác cong MAN quay xung quanh trục

Oxtạo thành là:

2

1

x

V  y dx  x  dx   x         

Bây giờ, cắt hypebol bởi hai đường thẳng x2;x2thì thể tích V2của khối

tròn xoay do hai tam giác cong MAN và M AN' 'quay quanh trục Oxtạo thành là:

2

x

Vậy, voi cũng bằng kiến ư? [8]

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy, bước đầu đã thu được một số kết quả khả quan Học sinh có sự tiến bộ hơn trong tư duy, thể hiện qua chất lượng của các kì thi khảo sát Đa số học sinh các em đã bắt đầu nhìn nhận được bản chất của vấn đề tránh được sai sót khi tích phân nói riêng và hạn chế được các sai sót khi giải toán nói chung Thông qua đó, chất lượng giảng dạy bộ môn nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung của Nhà trường dần được nâng lên

Đề tài đã được thảo luận, đánh giá ở tổ chuyên môn cho thấy được việc giải quyết nội dung còn hạn chế của đề tài, là nguồn cảm hứng cho đồng nghiệp trong việc nghiên cứu khoa học Có tác động không nhỏ tới phong trào nghiên cứu khoa học của nhà trường

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Qua đề tài này, tôi muốn giúp các em học sinh trau dồi, củng cố và khắc sâu thêm kiến thức về tích phân Việc chỉ ra và phân tích nguyên nhân các sai sót trong giải toán còn có thể phát triển được tư duy, rèn luyện được tính cẩn thận, chính xác, rèn luyện kỹ năng, nâng cao năng lực giải toán nói chung và kỹ năng giải toán tích phân nói riêng

3.2 Kiến nghị

Đề tài cần được phát triển, bổ sung thêm những sai sót của học sinh và bổ sung thêm bài tập để củng cố thêm kiến thức và rèn luyện thêm kỹ năng giải toán cho học sinh

Nhà trường nên trang bị thêm các sách viết về các sai lầm của học sinh khi giải toán để học sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi thực hành giải bài tập

Tuy đã có sự cố gắng trong thực hiện đề tài, song do thời gian có hạn và do kinh nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong sự đóng góp ý kiến của Quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để sáng kiến này có ích trong việc truyền thụ tri thức cho học sinh

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 30 tháng 5 năm 2024.

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người

khác

Giáo viên thực hiện đề tài

Vũ Đức Tuấn

TÀI LIỆU THAM KHẢO