Bài tập 13 trang 291
Phát biểu điều kiện của điểm cực tiểu địa phương của bài toán min{f(x), x∈R n } và bài toán min{f(x), x∈D⊂R n }
Khif là hàm lồi vàDlà tập lồi thì có kết luận gì Lấy ví dụ để cùng hàm mục tiêuf nhưng hai bài toán này có nghiệm tối ưu khác nhau.
Lời giải i)Bài toánmin{f(x), x∈R n } (1) Điều kiện cần:
-Điều kiện bậc nhất: Cho hàmfxác định khả vi trênR n Điều kiện để x ∗ ∈R n là nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán (1) là∇f(x ∗ ) = 0.
-Điều kiện bậc hai: Cho hàmfkhả vi liên tục hai lần trênR n Điều kiện cần đểx ∗ ∈R n là nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán (1) là:
∇ 2 f(x ∗ )>0 thìx ∗ là nghiệm cực tiểu địa phương chặt. ii)Bài toánmin{f(x), x∈D⊂R n } (2)
Bài tập 15 trang 291
Điều kiện cần: Giả sửfkhả vi trên một tập mở chứaD Nếux ∗ ∈Dlà nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán (2) thì h∇f(x ∗ ), vi ≥0 ∀v∈T(D, x ∗ ) trong đóT(D, x ∗ )là nón tiếp xúc vớiDtạix ∗ ∈D.
Nếux ∗ ∈Dthỏa mãnh∇f(x ∗ ), vi>0∀v∈T(D, x ∗ )thìx ∗ là nghiệm cực tiểu địa phương chặt của bài toán (2).
Nếuflồi, khả vi trên một tập mở chứa tập lồiD⊂R n Ta có điều kiện cần và đủ đểx ∗ ∈Dlà điểm cực tiểu toàn cục của bài toán (2) là: h∇f(x ∗ ), vi ≥0 ∀v∈T(D, x ∗ )
Ví dụ: min f(x) = (x+ 2) 2 |x∈R đạt tối ưu tạix=−2. min f(x) = (x+ 2) 2 |x∈[−1; 1]⊂R đạt tối ưu tạix=−1.
, trong đóQlà ma trận đối xứng xác định dương, không suy biến cấp(n×n), ma trậnAcấp(m×n), véc tơc, x∈R n vàb∈R m Viết điều kiện Kuhn-Tucker cho bài toán này.
Ta có:f(x)lồi⇔Qđối xứng xác định dương.
Ax−blà hàm afin⇒Điều kiện chính quy cho bài toán được thỏa mãn.
⇒Áp dụng điều kiện Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán quy hoạch lồi.
Bài tập 16 trang 291
Sử dụng Định lý Karush-Kuhn-Tucker tìm nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu của bài toán của các bài toán sau Giải thích chi tiết từng điều kiện áp dụng và cách lấy nghiệm. i)min{f(x) =x1|(x1−1) 2 +x 2 2≤1, x1 2 +x 2 2≤2} ii)min{f(x) =x 2 1+x 2 2−8x1−4x2|x1+x2≤2, x1≥0, x2≥0}
Lời giải i)min{f(x) =x1|(x1−1) 2 +x 2 2≤1, x1 2 +x 2 2≤2} f(x) =x1là hàm lồi.
Vàg1(x) = (x1−1) 2 +x 2 2−1,g2(x) =x 2 1+x 2 2−2cũng là các hàm lồi.
Ta cóg1(0,5; 0,5)