Điều khiển đồng thuận của các hệ thống Hopping-Rovers: Phân tích hội tụMulti-Hopping rover là một robot di động được phát triển để khám phá các hành tinh trọng lực thấp.Chuyển động dựa t
Giới thiệu
Hopping rover [1] là một robot di động như minh họa trong HÌNH 1, được phát triển để khám phá các hành tinh trọng lực thấp [2], [3] Chuyển động dựa trên chuyển động nhảy, tức là thực hiện các bước nhảy ngắn, như thể hiện trong HÌNH 2, cho phép xe tự hành di chuyển trên mặt đất gồ ghề.
Cấu trúc của hopping rover
Cho đến nay, một số nghiên cứu đã được thực hiện trên các hopping-rovers, chẳng hạn như thiết kế cơ khí [1], mô hình toán học [1], [4], điều khiển [1], [5] và vị trí [6] Mặt khác, sự điều khiển hợp tác của nhiều hopping rover, được gọi là hệ thống multi-hopping-rover, đã được mong đợi trong những năm gần đây [7], [8], [9], bởi vì việc sử dụng nhiều hopping rover giúp tăng cường phạm vi nhiệm vụ và khả năng chịu lỗi Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, các kết quả hiện có được dành cho các trường hợp của một xe tự hành duy nhất hoặc với động lực học được đơn giản hóa nhiều Nói cách khác, không có nghiên cứu nào về các hệ thống multi-hopping-rover xem xét đến sự không chắc chắn đặc trưng của chuyển động nhảy.
Bài báo này nghiên cứu vấn đề điều khiển đồng thuận cho các hệ thống multi-hopping-rovers, tức là vấn đề thiết kế bộ điều khiển phân tán đáp ứng thỏa thuận về vị trí của các tác nhân. Vấn đề này nổi tiếng trong lĩnh vực nghiên cứu các hệ thống đa tác nhân [10], [11], [12] Tuy nhiên, sự chuyển động của hopping-rovers liên quan đến sự không chắc chắn gây ra bởi chuyển động nhảy, trong đó yêu cầu đạt được sự đồng thuận Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một mô hình toán học của một hopping rover, trong đó tính không chắc chắn được mô hình hóa như một biến ngẫu nhiên có phương sai tỷ lệ thuận với bình phương của đầu vào điều khiển của nó Bằng cách tập trung vào tính chất của sự không chắc chắn, chúng ta rút ra một điều kiện khuếch đại được đặc trưng bởi các giá trị riêng nhỏ nhất và tối đa thứ hai của đồ thị Laplacian
Cuối cùng, mối quan hệ với các công trình hiện có về điều khiển đồng thuận ngẫu nhiên được ghi nhận BẢNG 1 tóm tắt kết quả về trường hợp động lực học của mỗi tác nhân liên quan đến độ không chắc chắn ngẫu nhiên cộng thêm Phương sai của độ không chắc chắn được giả định là hằng số trong [13], [14] và [15] và thay đổi tùy thuộc vào trạng thái của các tác nhân trong [16], [17], [18], [19], [20], [21] và [22] Mặt khác, trong trường hợp của chúng tôi, phương sai phụ thuộc vào trạng thái của cả tác nhân và hàng xóm của nó Theo hiểu biết tốt nhất của chúng tôi, trường hợp này chưa bao giờ được nghiên cứu.
BẢNG 1 Các công trình trước đây giải quyết các vấn đề đồng thuận ngẫu nhiên cho trường hợp động lực học của mỗi tác nhân liên quan đến độ không chắc chắn ngẫu nhiên cộng
(i) Bộ: RvàC lần lượt là trường số thực và trường số phức.
(ii) Vector và ma trận: biểu thị 1 vectơ n chiều có tất cả các phần tử là 1 bởi 1 n
Cho I là ma trận đơn vị Ma trận không được biểu diễn bằng 0 Đối với một không gian tuyến tính X, kích thước của nó là dim(X) Đối với ma trận đối xứng A∈Rn×n, sử dụng λi ( A)∈R(i=1,2 , ⋯ ,n ) để biểu diễn cho giá trị riêng thứ i
(iii) Xác suất: Cho một biến ngẫu nhiên X, E [X ] là giá trị kỳ vọng của nó Đối với các biến ngẫu nhiên X và Y, E [X ∨Y ] thể hiện giá trị kỳ vọng có điều kiện của X cho Y
Hơn nữa, chúng tôi sử dụng các tính chất toán học sau đây:
Lemma 1 ([24]): Đối với ma trận đối xứng A∈Rn×n max x≠0 x Ax T x T x =λ n ( A) (1)
Lemma 2 ([12]): Đối với ma trận A Rn×n ∈ λ i(A 2 )=λ i 2 ( A) i∈{1,2 , ,n }
Lemma 3 ([25],[26]): Đối với các biến ngẫu nhiên X và Y
Vấn đề điều khiển đồng thuận
Hopping Rover
Như thể hiện trong HÌNH 1, hopping rover là một robot hình khối Một phần nhô ra hình cầu, gọi là spike, được gắn vào mỗi đỉnh Ba bánh đà được đặt trong xe tự hành và song song với các mặt của nó, có trục trực giao với nhau.
Hopping rover có thể di chuyển đến một vị trí tùy ý trong môi trường hai chiều trọng lực thấp Bằng cách quay các bánh đà, mô-men xoắn phản ứng được tạo ra, dẫn đến chuyển động tịnh tiến gọi là nhảy Tuy nhiên, việc nhảy gây ra độ nảy khó lường sau khi đáp xuống Sự không chắc chắn này tăng lên khi khoảng cách bay lớn hơn.
Mô hình hệ thống Multi-Hopping-Rover và bộ điều khiển đồng thuận
Trong nghiên cứu này, chúng tôi xem xét một hệ thống multi-hopping-rovers bao gồm hopping rovers được đặt trong không gian một chiều Mô hình được đưa ra như saun
(xem PHỤ LỤC A để biết dẫn xuất của mô hình này). Động lực học của hopping rover ⅈ ( ⅈ V, V {1, 2, , n}):∈ ≜ x i [t+1]=x i [t]+u i [t]+ wi[t],x i [0]=x i 0 (2) x i [t ] R là vị trí tại thời điểm t, ∈ x i 0 R là vị trí ban đầu, ∈ u i[t]∈ R là đầu vào điều khiển, w i [t ] R là sự dịch chuyển do chuyển động nhảy khi đáp đất.∈
Giả định rằng w i ¿] (t=0,1 , ) là các biến ngẫu nhiên độc lập và mỗi biến được rút ra từ phân bố đồng đều liên tục trên ¿ với hằng số k ≧ 0
Lưu ý rằng phương sai của w i [t ] tăng khi u i [t ] tăng
HÌNH 3 (Mô hình động lực học của một hopping rover)
Mỗi xe tự hành có một camera để quan sát vị trí tương đối của nó với những xe khác Điều này tạo ra luồng thông tin giữa các rovers Kết quả của luồng thông tin này được biểu thị
5 bằng biểu đồ G=(V ,E ) Chúng tôi sử dụng Ni⊆V∖{i} để đại diện cho những hopping rovers khác, tức là Ni = {j V / (j, i) E}.∈ ∈ Đối với hệ thống multi-hopping-rovers, chúng tôi xem xét vấn đề điều khiển đồng thuận Vì mục đích này, chúng tôi sử dụng bộ điều khiển sau [10], [11], [12]: u i[t]=¿ϵ∑ j∈N i
(x j [t]−x i [t]) (3) với ϵ ¿0 – hệ số điều khiển
Tín hiệu điều khiển u i [t]được tính toán bằng cách lấy tổng của sự khác biệt vị trí giữa rover i và các rover lân cận của nó, nhân với hệ số điều khiển ε Điều này giúp đồng bộ hóa và điều khiển chuyển động của các rover trong hệ thống
Vấn đề kiểm soát đồng thuận
Hãy xem xét hệ thống multi-hopping-rovers được đưa ra bởi ( ) và 2 (3)
Giả sử rằng G vô hướng và liên thông, các vị trí ban đầu x i 0 ¿) được cho trước.
Tìm ε>0 để đạt được sự đồng thuận sao cho: lim t→∞ E [ ( x i[t]−x j[t]) 2 ] =0 (4)
Với mọi (i, j)∈V×V Để đạt được sự đồng thuận, ta cần ε được chọn sao cho khi t → ∞, sự khác biệt vị trí (x i [t]−x j [t]) giữa hai rover i và j hội tụ về 0 với xác suất cao
Nói cách khác, ta cần ε được chọn sao cho lim t→∞ E [(x i [t]−x j [t]) 2 ] =0 Điều này có thể đạt được bằng cách đảm bảo ε đủ nhỏ để nén khoảng cách giữa các vị trí của các rover trong hệ thống Khi ε tiến đến 0, khoảng cách giữa các vị trí sẽ tiến dần về 0, và sự hội tụ của hệ thống được đảm bảo.
Do đó, để đạt được sự đồng thuận như yêu cầu trong công thức (4), ta cần chọn ε sao cho ε > 0 và đủ nhỏ để đảm bảo lim t→∞ E [ ( x i[t]−x j [t]) 2 ] =0 Phụ thuộc vào bài toán cụ thể và điều kiện ban đầu,giá trị ε tối ưu có thể được xác định thông qua phân tích và mô phỏng hệ thống.
Kết quả chính
Điều kiện đạt được
Đối với biểu đồ G, cho L∈Rn×n và Δ∈{0,1 , } là đồ thị Laplacian [10], [11], [12] và bậc tối đa của G tương ứng. Định lý 1:
(4) áp dụng cho mọi (i, j)∈V×V λ i (L) là một số thực bởi vì G vô hướng, do đó L là một ma trận đối xứng λ n (L) khác 0 bởi vì G liên thông
Giả định G vô hướng là hợp lý cho trường hợp mỗi xe tự hành được trang bị một camera để quan sát khoảng cách đến các xe lân cận, bởi vì nếu rover i có thể quan sát khoảng cách đến rover j, thì rover j cũng có thể quan sát khoảng cách đến rover i Điều này đồng nghĩa với việc thông tin về khoảng cách giữa hai rover i và j có thể được trao đổi hai chiều, và do đó giả định về không hướng của đồ thị là hợp lý trong trường hợp này
Mô phỏng
Việc mô phỏng được tiến hành trong các điều kiện sau. n=9 k =5
Trong trường hợp này, λ 2(L) = 0,4131 và λ n(L) = 4,3928 với ε< 2 ×0.4131
HÌNH 4 minh họa thời gian phản hồi của các trạng thái kết quả cho ε=0.0045, thỏa mãn (5) Kết quả này thể hiện sự đồng thuận của hệ thống multi-hopping-rovers.
Hình 4 (Time response of the states of nine agents for ϵ=0.0045)
Tiếp theo, chúng ta hãy xác định hiệu suất với các tham số khác nhau
HÌNH 5 cho thấy thời gian phản hồi của các trường hợp ε=0,1 và ε=0,15 Điều này cho thấy tốc độ hội tụ trở nên nhanh hơn khi ε tăng, nhưng sự ổn định của hệ thống thì lại giảm đi
HÌNH 6 cho thấy thời gian phản hồi với k = 1, 20 Cả hai trường hợp đều sử dụng ε=0.0045 (như trường hợp của HÌNH 4) Điều này cho thấy thời gian phản hồi sẽ nhiễu hơn nếu k tăng, nhưng tốc độ hội tụ không thay đổi quá nhiều.
Cuối cùng, chúng tôi thay đổi E của G HÌNH 7 cho thấy các thời gian phản hồi với những điều kiện sau đây: a.
HÌNH 5 (Kết quả với ε khác nhau) HÌNH 6 (Kết quả với k khác nhau)
HÌNH 7 (Kết quả mô phỏng cho số cạnh khác nhau trong G)
Theo đó, tốc độ hội tụ trở nên nhanh hơn khi số cạnh trong G tăng
Chứng minh định lý 1
Động lực học của vectơ không đồng thuận
Ở đây, chúng tôi đưa ra vectơ không đồng thuận δ[t] thỏa mãn lim t→∞ E [ǁδ[t]ǁ 2 ] =0
(tương đương với phương trình (4)) và sử dụng vecto không đồng thuận để biểu diễn động lực học của mô hình Để đạt được điều này, trước tiên cần tìm ra động lực học tập trung của các hệ thống multi- hopping-rovers.
Cho s i [t]∈ R là một biến ngẫu nhiên độc lập phân phối đều trên [−1,1] và định nghĩa ma trận S[t ] như sau
Sau đó, các biến ngẫu nhiên w i [t ] và ks i [t ]u i [t ] có phân phối xác suất tương đương Lưu ý rằng
Sử dụng S[t ] , hệ thống multi-hopping-rover được đưa ra bởi ( ) và 2 (3) được biểu diễn tương đương là x [t+1]=P s [t] x [t] (8) x [t ] ≜ [ x 1 [t ]x 2 [ ] x t n [t ]] T ∈ Rvà
Xem Tiểu mục A của PHỤ LỤC B để biết chi tiết về dẫn xuất của (8)
Vectơ không đồng thuận được định nghĩa như sau: δ [t] ≜ (I−Q)x [t] (10) trong đó Q ∈R nxn là ma trận chiếu trực giao để ℑ( ) 1 n được đưa ra bởi
Sau đó x [t] được chia thành các phần không đồng thuận và đồng thuận như sau: x [t]=γ [t]+δ[t ] (12) γ[t] ≜ Qx[t]Vectơ γ[t] được gọi là vectơ đồng thuận.
Từ định nghĩa của δ [t] và (8), động lực học của vectơ không đồng thuận δ [t]: δ [t+1]=( I−Q)P s [t] [ δ t ] (13) bằng cách tính toán đơn giản thể hiện tại tiểu mục B của Phụ lục B
Ma trận Q có một số tính chất hữu ích:
Lemma 4: Đối với ma trận Q trong (11) : i Q 2 =Q ii ( I−Q ) 2 =I−Q iii ( I−Q ) Q=0 iv 1 n
T ( I−Q )=0. v I−Q có n−1 giá trị riêng bằng 1 và một giá trị riêng bằng 0 Các giá trị riêng liên quan là các cơ sở của Ker(1 n T) và 1n tương ứng.
Bằng chứng: Xem PHỤ LỤC C
Nếu lim t→∞ E [ ǁ δ (t) ǁ 2 ] =0 thì (4) áp dụng cho mọi (i, j)∈V×V
Bằng chứng: Xem PHỤ LỤC D
Main part of proof
Định lý 1 là hệ quả đơn giản của Lemma 5 và thực tế (5) (a) (b) (c) đối với các⇒ ⇒ ⇒ trường hợp sau:
(b) Tồn tại v ∈[0,1) sao cho E [ǁδ[t+1]ǁ 2 ] ≦ vEǁδ[ t ]ǁ 2 ,
Sử dụng các Lemma sau đây để chứng minh:
Xem xét đồ thị G và đồ thị Laplacian của nó L∈Rn×n Nếu G là vô hướng và liên thông, ta có
Xem xét Problem 1 và (13) , cho δ [0]=δ 0 Lưu ý rằng μ≥0
Bằng chứng: Xem PHỤ LỤC E
Giả sử đồ thị đó G vô hướng và liên thông Đối với đồ thị Laplacian L i Tất cả các giá trị riêng của L tồn tại trên khoảng thời gian [0,2 Δ ii Ma trận L chỉ có một giá trị riêng 0, và vecto đặc trưng của nó là 1 n
13 từ Lemma 1 và Lemma 2, (17), (18) và (19):
E [ǁδ (t +1 )ǁ 2 δ [t ] ] ≤μǁδ (t )ǁ 2 (21) Áp ụng với μ∈¿ Bằng cách lấy giá trị kỳ vọng của cả hai vế của (21), từ Lemma 3 suy ra
E [ǁδ (t )ǁ 2 ] ≤μ T ǁδ ( t)ǁ 2 (23) trong đó, cùng với μ∈¿ , chứng minh được (c).
Kết quả mô phỏng
Code Matlab mô phỏng
% Set the parameters n = 9; % Number of rovers
T = 3000; % Number of time steps k = 1; % Constant k epsilon = 0.0045 % Control gain
% Initialize the initial positions of the rovers xi0 = [0; 3; 5; 8; 9; 11; 16; 18; 20];
% Initialize the array to store the positions of the rovers over time xi = zeros(n, T+1); xi(:, 1) = xi0;
% Simulate the dynamics and consensus control of the rovers for t = 1:T ui = zeros(n, 1); % Control input ui for i = 1:n neighbors = find(A(i, :)); % Neighbors of rover i ui(i) = epsilon * sum(xi(neighbors, t) - xi(i, t));
% Compute the control input ui using equation (3) end wi = zeros(n, 1); % Displacement wi for i = 1:n wi(i) = (2 * k * abs(ui(i))) * (rand() - 0.5);
% Randomly generate wi from a uniform distribution end xi(:, t+1) = xi(:, t) + ui + wi;
% Update the positions of the rovers end
% Plot the positions of the rovers over time figure; hold ;on for i = 1:n plot(0:T, xi(i, :)); end hold off; xlabel('Time'); ylabel('Position'); legend('Rover 1' 'Rover 2' 'Rover 3' 'Rover 4' 'Rover 5' 'Rover 6' 'Rover 7' 'Rover 8' 'Rover 9', , , , , , , , );
Figures
Time response of the states of nine agents for =0.0045ϵ
