báo cáo bài tập lớn điều khiển đồng thuận của các hệ thống multihopping rovers phân tích hội tụ

Điều khiển đồng thuận của các hệ thống Hopping-Rovers: Phân tích hội tụMulti-Hopping rover là một robot di động được phát triển để khám phá các hành tinh trọng lực thấp.Chuyển động dựa t

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘITRƯỜNG CƠ KHÍ

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

Multi-Hopping-Rovers: Phân tích hội tụ

Sinh viên thực hiện: Chu Nhật Minh 20205371Vũ Đức Duy 20205299Giảng viên hướng dẫn: TS Phạm Văn TuynhHọc phần: Điều khiển nối mạng (EE4829)Mã lớp: 145821

Hà Nội, 12/2023

B Mô hình hệ thống Multi-Hopping-Rover và bộ điều khiển đồng thuận 5

C Vấn đề kiểm soát đồng thuận 6

MỤC III Kết quả chính 7

A Điều kiện đạt được 7

B Mô phỏng 7

MỤC IV Chứng minh định lý 1 11

A Động lực học của vectơ không đồng thuận 11

B Main part of proof 13

MỤC A Dẫn xuất của động lực học trong (8) 19

MỤC B Dẫn xuất của động lực học trong (13) 19

Phụ lục C: Proof of Lemma 4 20

Phụ lục D: Proof of Lemma 5 20

Phụ lục E: Proof of Lemma 7 23

MỤC VI Kết quả mô phỏng 25

A Code Matlab mô phỏng 25

B Figures 26

Điều khiển đồng thuận của các hệ thống Hopping-Rovers: Phân tích hội tụ

Multi-Hopping rover là một robot di động được phát triển để khám phá các hành tinh trọng lực thấp.Chuyển động dựa trên chuyển động nhảy để di chuyển trên mặt đất gồ ghề trọng lực thấp Đểthăm dò hiệu quả, mong muốn xây dựng một hệ thống hợp tác với nhiều rovers Một hệ thốngnhư vậy được gọi là hệ thống multi-hopping-rover Bài báo này đề cập đến vấn đề kiểm soátđồng thuận cho các hệ thống multi-hopping-rover, trong đó các hopping-rovers liên quan đếnđộng lực học không chắc chắn gây ra bởi chuyển động nhảy Bằng cách biểu diễn động lựchọc bằng mô hình ngẫu nhiên và tập trung vào động lực học của sự bất đồng, chúng tôi trìnhbày một điều kiện về độ lợi điều khiển để hệ thống hội tụ đến sự đồng thuận theo nghĩa bìnhphương trung bình Kết quả được thể hiện bằng mô phỏng số

Bản tóm tắt này bắt nguồn từ một mô hình động lực học của một chiếc xe tự hành nhảy.Nghiên cứu này đã mô hình hóa một hệ thống multi-hopping-rovers và xem xét vấn đề đồngthuận, và sau đó làm nổi bật kết quả thu được Bổ sung một hình ảnh về vấn đề đồng thuậncho hệ thống multi-hopping-rovers được thêm vào bên phải

1

Hopping rover [1] là một robot di động như minh họa trong HÌNH 1, được phát triển để khámphá các hành tinh trọng lực thấp [2], [3] Chuyển động dựa trên chuyển động nhảy, tức làthực hiện các bước nhảy ngắn, như thể hiện trong HÌNH 2, cho phép xe tự hành di chuyểntrên mặt đất gồ ghề.

2

được mong đợi trong những năm gần đây [7], [8], [9], bởi vì việc sử dụng nhiều hoppingrover giúp tăng cường phạm vi nhiệm vụ và khả năng chịu lỗi Tuy nhiên, theo hiểu biết củachúng tôi, các kết quả hiện có được dành cho các trường hợp của một xe tự hành duy nhấthoặc với động lực học được đơn giản hóa nhiều Nói cách khác, không có nghiên cứu nào vềcác hệ thống multi-hopping-rover xem xét đến sự không chắc chắn đặc trưng của chuyểnđộng nhảy.

Bài báo này nghiên cứu vấn đề điều khiển đồng thuận cho các hệ thống multi-hopping-rovers,tức là vấn đề thiết kế bộ điều khiển phân tán đáp ứng thỏa thuận về vị trí của các tác nhân.Vấn đề này nổi tiếng trong lĩnh vực nghiên cứu các hệ thống đa tác nhân [10], [11], [12] Tuynhiên, sự chuyển động của hopping-rovers liên quan đến sự không chắc chắn gây ra bởichuyển động nhảy, trong đó yêu cầu đạt được sự đồng thuận Trong bài báo này, chúng tôiđưa ra một mô hình toán học của một hopping rover, trong đó tính không chắc chắn được môhình hóa như một biến ngẫu nhiên có phương sai tỷ lệ thuận với bình phương của đầu vàođiều khiển của nó Bằng cách tập trung vào tính chất của sự không chắc chắn, chúng ta rút ramột điều kiện khuếch đại được đặc trưng bởi các giá trị riêng nhỏ nhất và tối đa thứ haicủa đồ thị Laplacian

Cuối cùng, mối quan hệ với các công trình hiện có về điều khiển đồng thuận ngẫu nhiên đượcghi nhận BẢNG 1 tóm tắt kết quả về trường hợp động lực học của mỗi tác nhân liên quanđến độ không chắc chắn ngẫu nhiên cộng thêm Phương sai của độ không chắc chắn được giảđịnh là hằng số trong [13], [14] và [15] và thay đổi tùy thuộc vào trạng thái của các tác nhântrong [16], [17], [18], [19], [20], [21] và [22] Mặt khác, trong trường hợp của chúng tôi,phương sai phụ thuộc vào trạng thái của cả tác nhân và hàng xóm của nó Theo hiểu biết tốtnhất của chúng tôi, trường hợp này chưa bao giờ được nghiên cứu.

BẢNG 1 Các công trình trước đây giải quyết các vấn đề đồng thuận ngẫu nhiên cho trường

hợp động lực học của mỗi tác nhân liên quan đến độ không chắc chắn ngẫu nhiên cộng

Ký hiệu:

(i) Bộ: RvàC lần lượt là trường số thực và trường số phức.

(ii) Vector và ma trận: biểu thị 1 vectơ n chiều có tất cả các phần tử là 1 bởi 1 n

3

Cho I là ma trận đơn vị Ma trận không được biểu diễn bằng 0 Đối với một không gian tuyến tính X, kích thước của nó là dim(X)

Đối với ma trận đối xứng A ∈ Rn×n, sử dụng λi( A)∈ R(i=1,2 , ⋯ ),n để biểu diễn cho giá trị riêng thứ i

(iii) Xác suất: Cho một biến ngẫu nhiên X, E [X ] là giá trị kỳ vọng của nó Đối với các biến ngẫu nhiên X và Y, E [X ∨Y ] thể hiện giá trị kỳ vọng có điều kiện của X cho Y

Hơn nữa, chúng tôi sử dụng các tính chất toán học sau đây:Lemma 1 ([24]):

Đối với ma trận đối xứng A∈Rn×n

A Hopping Rover

Như thể hiện trong HÌNH 1, hopping rover là một robot hình khối Một phần nhô ra hình cầu,gọi là spike, được gắn vào mỗi đỉnh Ba bánh đà được đặt trong xe tự hành và song song vớicác mặt của nó, có trục trực giao với nhau.

Hopping rover có thể di chuyển đến một vị trí tùy ý trong môi trường hai chiều trọng lựcthấp Bằng cách quay các bánh đà, mô-men xoắn phản ứng được tạo ra, dẫn đến chuyển độngtịnh tiến gọi là nhảy Tuy nhiên, việc nhảy gây ra độ nảy khó lường sau khi đáp xuống Sựkhông chắc chắn này tăng lên khi khoảng cách bay lớn hơn.

B Mô hình hệ thống Multi-Hopping-Rover và bộ điều khiển đồng thuận

Trong nghiên cứu này, chúng tôi xem xét một hệ thống multi-hopping-rovers baogồm hopping rovers được đặt trong không gian một chiều Mô hình được đưa ra như saun

(xem PHỤ LỤC A để biết dẫn xuất của mô hình này).Động lực học của hopping rover ⅈ (ⅈ V, V {1, 2, , n}):∈ ≜

xi[t+1]=xi[t]+ui[t]+ wi[t],xi[0]=xi0 (2)

xi[t ] R là vị trí tại thời điểm t, ∈ xi 0 R là vị trí ban đầu, ∈

ui[t]∈ R là đầu vào điều khiển,

wi[t ] R là sự dịch chuyển do chuyển động nhảy khi đáp đất.∈

Giả định rằng wi¿] (t=0,1 , ) là các biến ngẫu nhiên độc lập và mỗi biến được rút ra từ phânbố đồng đều liên tục trên ¿ với hằng số k ≧ 0

Lưu ý rằng phương sai của wi[t ] tăng khi ui[t ] tăng

HÌNH 3 (Mô hình động lực học của một hopping rover)

Mỗi xe tự hành có một camera để quan sát vị trí tương đối của nó với những xe khác Điềunày tạo ra luồng thông tin giữa các rovers Kết quả của luồng thông tin này được biểu thị

5

bằng biểu đồ G=(V ,E ) Chúng tôi sử dụng Ni⊆V∖{i} để đại diện cho những hopping roverskhác, tức là Ni = {j V / (j, i) E}.∈ ∈

Đối với hệ thống multi-hopping-rovers, chúng tôi xem xét vấn đề điều khiển đồng thuận Vìmục đích này, chúng tôi sử dụng bộ điều khiển sau [10], [11], [12]:

ui[t]=¿ϵ∑j ∈ Ni

với ϵ ¿ – hệ số điều khiển

Tín hiệu điều khiển ui[t]được tính toán bằng cách lấy tổng của sự khác biệt vị trí giữa rover i vàcác rover lân cận của nó, nhân với hệ số điều khiển ε Điều này giúp đồng bộ hóa và điều khiểnchuyển động của các rover trong hệ thống

C Vấn đề kiểm soát đồng thuận

Hãy xem xét hệ thống multi-hopping-rovers được đưa ra bởi ( ) và 2 (3)

Giả sử rằng G vô hướng và liên thông, các vị trí ban đầu xi 0¿) được cho trước.Tìm ε>0 để đạt được sự đồng thuận sao cho:

t→∞E[(xi[t]−xj[t])2]=0 (4)Với mọi (i, j)∈V×V

Để đạt được sự đồng thuận, ta cần ε được chọn sao cho khi t → ∞, sự khác biệt vị trí (xi[t]−xj[t])giữa hai rover i và j hội tụ về 0 với xác suất cao

Nói cách khác, ta cần ε được chọn sao cho lim

Điều này có thể đạt được bằng cách đảm bảo ε đủ nhỏ để nén khoảng cách giữa các vị trí của cácrover trong hệ thống Khi ε tiến đến 0, khoảng cách giữa các vị trí sẽ tiến dần về 0, và sự hội tụcủa hệ thống được đảm bảo.

Do đó, để đạt được sự đồng thuận như yêu cầu trong công thức (4), ta cần chọn ε sao cho ε > 0và đủ nhỏ để đảm bảo lim

t→∞E[(xi[t]−xj[t])2]=0 Phụ thuộc vào bài toán cụ thể và điều kiện ban đầu,giá trị ε tối ưu có thể được xác định thông qua phân tích và mô phỏng hệ thống.

6

A Điều kiện đạt được

Đối với biểu đồ G, cho L ∈ Rn×n và Δ∈ {0,1 , } là đồ thị Laplacian [10], [11], [12] và bậc tốiđa của G tương ứng.

(4) áp dụng cho mọi (i, j)∈V×V

λi(L) là một số thực bởi vì G vô hướng, do đó L là một ma trận đối xứng

λn(L) khác 0 bởi vì G liên thông

Giả định G vô hướng là hợp lý cho trường hợp mỗi xe tự hành được trang bị mộtcamera để quan sát khoảng cách đến các xe lân cận, bởi vì nếu rover i có thể quan sátkhoảng cách đến rover j, thì rover j cũng có thể quan sát khoảng cách đến rover i Điềunày đồng nghĩa với việc thông tin về khoảng cách giữa hai rover i và j có thể được trao đổihai chiều, và do đó giả định về không hướng của đồ thị là hợp lý trong trường hợp này

B Mô phỏng

Việc mô phỏng được tiến hành trong các điều kiện sau.

n=9k =5

N 1={2},N 2={1,3,9},N 3={2,4},N 4={3,5},N 5={4,6},N 6={5,7 ,N 7={6,8 },N8={7,9},N 9={}2,8}(Gliênthx 1 [0 ]=0 ,x 2[0 3 , x3[0 5 , x4 [0 8 , x5[0 9 ,x 6 [0 11 , x7 [0 16 , x8 [0 18 , x9[0 20.]=]=]=]=]=]=]=]=

Trong trường hợp này, λ2(L) = 0,4131 và λn(L) = 4,3928 với

ε< 2 ×0.4131

(1+523)× 4.39282

7

HÌNH 4 minh họa thời gian phản hồi của các trạng thái kết quả cho ε=0.0045, thỏamãn (5) Kết quả này thể hiện sự đồng thuận của hệ thống multi-hopping-rovers.

Hình 4 (Time response of the states of nine agents for ϵ=0.0045)

Tiếp theo, chúng ta hãy xác định hiệu suất với các tham số khác nhau

HÌNH 5 cho thấy thời gian phản hồi của các trường hợp ε=0,1 và ε=0,15

Điều này cho thấy tốc độ hội tụ trở nên nhanh hơn khi ε tăng, nhưng sự ổn định của hệthống thì lại giảm đi

HÌNH 6 cho thấy thời gian phản hồi với k = 1, 20 Cả hai trường hợp đều sửdụng ε=0.0045 (như trường hợp của HÌNH 4)

Điều này cho thấy thời gian phản hồi sẽ nhiễu hơn nếu k tăng, nhưng tốc độ hội tụkhông thay đổi quá nhiều.

Cuối cùng, chúng tôi thay đổi E của G HÌNH 7 cho thấy các thời gian phản hồi với nhữngđiều kiện sau đây:

N 1={2,8 }, N2={1,3,9 ,N3={2,4 },N 4={3,5 },N}5={4,6 },N 6={5,7 },N7={6,8 },N 8={1,7,9 },N9={2,88

N 1={2,8,9 },N 2={1,3,9 }, N3={2,4,9 },N4={3,5,9 ,N5={4,6,9 },N 6={5,7,9}},N7={6,8,9 },N 8={1,7,9}

HÌNH 5 (Kết quả với ε khác nhau) HÌNH 6 (Kết quả với k khác nhau)

9

HÌNH 7 (Kết quả mô phỏng cho số cạnh khác nhau trong G)

Theo đó, tốc độ hội tụ trở nên nhanh hơn khi số cạnh trong G tăng

10

A Động lực học của vectơ không đồng thuận

Ở đây, chúng tôi đưa ra vectơ không đồng thuận δ[t] thỏa mãn lim

Xem Tiểu mục A của PHỤ LỤC B để biết chi tiết về dẫn xuất của (8)

Vectơ không đồng thuận được định nghĩa như sau:

trong đó Q ∈ Rnxn là ma trận chiếu trực giao để ℑ( )1n được đưa ra bởi

11

Q ≜1n(1nT1n) 1nT=1nn1n

Sau đó x [t] được chia thành các phần không đồng thuận và đồng thuận như sau:

γ[t] ≜Qx[t]Vectơ γ[t] được gọi là vectơ đồng thuận.

Từ định nghĩa của δ [t] và (8), động lực học của vectơ không đồng thuận δ [t]:

bằng cách tính toán đơn giản thể hiện tại tiểu mục B của Phụ lục B

Ma trận Q có một số tính chất hữu ích:Lemma 4:

Đối với ma trận Q trong (11) :i Q2

ii ( I−Q )2=I−Q

iii ( I−Q ) Q=0

iv 1nT( I−Q )=0.

v I−Qcó n−1 giá trị riêng bằng 1 và một giá trị riêng bằng 0 Các giá trị riêng liên quanlà các cơ sở của Ker(1nT) và 1n tương ứng.

Bằng chứng: Xem PHỤ LỤC CLemma 5:

Xem xét Problem 1 và (13) :Nếu lim

t→∞E[ǁδ (t)ǁ2

]=0 thì (4) áp dụng cho mọi (i, j)∈V×V

Bằng chứng: Xem PHỤ LỤC D

12

B Main part of proof

Định lý 1 là hệ quả đơn giản của Lemma 5 và thực tế (5) (a) (b) (c) đối với các⇒ ⇒ ⇒trường hợp sau:

(a) Tồn tại μ∈[0,1) sao cho E[ǁδ[t+1]ǁ2|δ[t]]≦ μǁδ[t]ǁ2

,(b) Tồn tại v∈[0,1) sao cho E[ǁδ[t+1]ǁ2]≦ vEǁδ[t]ǁ2

Giả sử đồ thị đó G vô hướng và liên thông Đối với đồ thị Laplacian L

i Tất cả các giá trị riêng của L tồn tại trên khoảng thời gian [0,2 Δ

ii Ma trận L chỉ có một giá trị riêng 0, và vecto đặc trưng của nó là 1n

13

từ Lemma 1 và Lemma 2, (17), (18) và (19):

3) Bằng chứng về (a) (b)⇒Fact (a)

E[ǁδ (t )ǁ2]≤μTǁδ ( t)ǁ2

(23)

trong đó, cùng với μ ∈¿ , chứng minh được (c).

15

MỤC V Kết luận

Vấn đề đồng thuận cho hệ thống multi-hopping-rovers đã được nghiên cứu Chúng tôi đã môhình hóa chuyển động không chắc chắn của hopping rover như một biến ngẫu nhiên cóphương sai tỷ lệ thuận với đầu vào điều khiển Dựa trên mô hình, chúng tôi đã thu được điềuchỉnh khuếch đại cho bộ điều khiển đồng thuận điển hình Kết quả đã được chứng minh bằngmô phỏng số.

Trong bài báo này, chúng tôi tập trung vào sự bất định gây ra bởi chuyển động nhảy Mặtkhác, các loại không chắc chắn khác, chẳng hạn như độ trễ thời gian và nhiễu, có liên quanđến multi-hopping-rovers trong thế giới thực Trong tương lai, chúng tôi sẽ phân tích sự suygiảm hiệu suất gây ra bởi các loại bất định khác Hơn nữa, mạng lưới được giả định là vôhướng Do đó, kết quả của chúng tôi phải được mở rộng cho trường hợp có cấu trúc mạngtổng quát hơn, chẳng hạn như mạng định hướng và chuyển mạch Đối với kiểm soát đồngthuận điển hình, trường hợp như vậy đã được nghiên cứu trong [27], [28] và [29], v.v., có thểhữu ích cho việc mở rộng.

16

Phụ lục A Mô hình Hopping Rovers

Mô hình trong (2) như sau Hãy xem xét chuyển động parabol cổ điển của một hopping rovertrong HÌNH 8, trong đó trục ngang x và trục dọc là z Khi rover được phóng ở vị trí ban đầu (

x0,0) với góc chụp ban đầu θ và vận tốc ban đầu 0v0, điểm rơi x1 cho bởi

HÌNH 8 Chuyển động parabol của hopping rover khi nhảy

Mặt khác ν0 và θ0 được xác định bởi chuyển động của bánh đà được lắp đặt trong xe tự hànhnhư một bộ truyền động trong HÌNH 9 (a) Để nhảy, bánh đà quay ngược chiều kim đồng hồvới vận tốc góc ω0 Tại thời điểm nhảy, bánh đà dừng lại, tạo ra lực phản ứng Kết quả là, xetự hành có được vận tốc ban đầu

v0=IflIS

If là moment quán tính của bánh đà sau khi nhảy.Is là moment quán tính của xe tự hành.

l là khoảng cách từ trục quay của bánh đà đến trục quay của xe tự hành.v ₀ là vận tốc ban đầu của xe tự hành sau khi nhảy.

ω₀ là vận tốc góc ban đầu của bánh đà trước khi nhảy.

Với Is>0, If>0 và l >0 là mômen quán tính của xe tự hành xung quanh P0, mômen quán tínhcủa bánh đà và chiều dài giữa tâm khối lượng của xe tự hành và tâm gai P0 tương ứng Bêntrái là động lượng trong quá trình bánh đà quay, trong khi bên phải là động lượng sau khibánh đà dừng Hơn nữa, góc ban đầu cho bởi

bởi vì, trong HÌNH 9 (b), chuyển động quay xung quanh P0 xảy ra sau khi bánh đà dừng lại,khi đó vận tốc của trọng tâm là hướng của π4

HÌNH 9 Thay đổi chuyển động của hopping rover để nhảy

Cuối cùng, chúng tôi chỉ ra cách đầu vào ui(t ) được chuyển thành đầu vào vật lý thực sự củaxe tự hành là vận tốc góc ω 0

18

Phụ lục B Dẫn xuất của Động lực học

Từ định nghĩa của si(t), công thức được định nghĩa bởi ( ) và 2 (3) tương đương với

(9) và Lemma 8 (ii) suy ra

trong đó, cùng với (11) và Lemma 4 (iii) ta có

19

∀ ε0>0 ,∃ εa∈¿, ∃T0∈ {0,1 , }, ∀ t ≧ T0,a[t ]<ε (36)và

∀ ε0>0 ,∃ εb∈¿, ∃T0∈ {0,1 , }, ∀ t≧ T0,b[ ]< εt (37)Do đó, từ (36) và (37), chúng ta có được

(i) và (ii) được chứng minh như sau.i Từ (13) và Lemma 4 (ii),

ii Có được

từ (9) ta có

từ E [S[t ]]=0 và (44).Mặt khác, khi δ [t]≠0,

23

Do đó, từ (45) và (46), chúng ta nhận được

choδ[t ]≠ 0

Mặt khác, khi δ [t]=0 , (47) giữ nguyên vì cả hai cạnh của (47) đều bằng 0

24