Phương Pháp Nhân Tử Lagrange Tăng Cường Cho Bài Toán Tối Ưu Có Điều Kiện Cho Bởi Phương Trình.pdf

Phương Pháp Nhân Tử Lagrange Tăng Cường Cho Bài Toán Tối Ưu Có Điều Kiện Cho Bởi Phương Trình Phương Pháp Nhân Tử Lagrange Tăng Cường Cho Bài Toán Tối Ưu Có Điều Kiện Cho Bởi Phương Trình

Trang 1

LUẬN VĂN THẠC SĨKHÓA: K40

ĐÀ NẴNG, 2022

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 2

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

HỌC VIÊN: PHAN ĐỨC TUẤNMÃ SỐ: 8460102

KHÓA: K40

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :TS PHẠM QUÝ MƯỜI

ĐÀ NẴNG, 2022

Trang 3

Trang 4

Trang 5

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 6

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 7

Mục lục

1.1Một số kí hiệu và kiến thức cơ bản 4

1.1.8Đánh giá các khái niệm hội tụ 10

1.2Bài toán tối ưu tự do 12

1.3Phương pháp Newton cho bài toán tối ưu tự do 13

1.4Bài toán tối ưu có điều kiện .15

2PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE TĂNGCƯỜNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ ĐIỀUKIỆN CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH172.1Tổng quan về bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phươngtrình và một số hướng tiếp cận giải bài toán 17

2.2Điều kiện cần và đủ cho bài toán tối ưu có điều kiện cho bởiphương trình 21

Trang 8

2.3Phương pháp nhân tử Lagrange tăng cường cho bài toán cực

trị có điều kiện 222.4Phương pháp nhân tử Lagrange tăng cường cho bài toán cực

trị có điều kiện cho bởi phương trình 272.5Sự tồn tại cực tiểu địa phương của phương pháp nhân tử

Lagrange tăng cường .282.6Sự hội tụ của phương pháp nhân tử Lagrange tăng cường .342.7Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange tăng cường để giải

một số bài toán 372.8Mối liên hệ với bài toán tìm GTLN, GTNN ở chương trình

phổ thông 44

Trang 9

MỞ ĐẦU

1.Tính cấp thiết của đề tài

Trong toán học, bài toán tối ưu trong không gian Rn là bài toán có dạng:"ChoA ⊂Rn, A ̸= ∅và hàmf : A →R Tìm một phần tửx0 ∈ Asao cho

f (x0) ≤ f (x), ∀x ∈ A(bài toán cực tiểu) hoặc sao chof (x0) ≥ f (x), ∀x ∈ A

(bài toán cực đại) NếuA =Rn, ta có bài toán tối ưu tự do Ngược lại, tacó bài toán tối ưu có điều kiện."

Trong bài toán tối ưu có điều kiện, phương pháp nhân tử Lagrange làmột phương pháp để tìm cực tiểu hoặc cực đại địa phương của một hàm sốvới các điều kiện ràng buộc Phương pháp này được thảo luận lần đầu tiênbởi Hestenes và Powell vào năm 1968 Ý tưởng cơ bản của phương pháp làgiải bài toán tối ưu có điều kiện thông qua việc giải các bài toán tối ưu tựdo Tuy nhiên, phương pháp nhân tử Lagrange có một hạn chế là tính khôngổn định khi nhân tử Lagrange có giá trị lớn Trên cơ sở phân tích hạn chếcủa phương pháp nhân tử Lagrange, các nhà khoa học sau đó đã đề xuất,cải tiến và đưa ra phương pháp nhân tử Lagrange tăng cường Tương tự nhưphương pháp nhân tử Lagrange, phương pháp nhân tử Lagrange tăng cườngđưa ra một thuật toán để giải các bài toán tối ưu có ràng buộc bằng cáchthay thế bài toán đó bởi một loạt các bài toán không ràng buộc Cụ thể làđưa một hàm phạt vào hàm mục tiêu Phương pháp này là một công trìnhtập thể của nhiều nhà nghiên cứu toán học Trong đó có thể kể đến một sốnhà toán học như: J D Buys, G DiPilo, L Dixon, R Fletcher, T Glad,L Grippo, M Hestenes, D Luenberger, O Mangasarinan, D Q Mayne, E.Polak, B T Poljak, M.J.D Powell, B Pschenichny, R T Rockafellar, và R.Tapia Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn lĩnh vực toán tối ưu nói chung vàphương pháp nhân tử Lagrange tăng cường nói riêng, đồng thời góp phầnnâng cao năng lực toán học cho bản thân, cùng với sự hướng dẫn khoa học

Trang 10

của TS Phạm Quý Mười, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: Phươngpháp nhân tử Lagrange tăng cường cho bài toán tối ưu có điều kiện cho bởiphương trình Đề tài nhắm vào việc nghiên cứu cơ sở lí thuyết cũng như ứngdụng của phương pháp vào việc giải các bài toán khác nhau trên cơ sở nghiêncứu, tổng hợp các công trình đã có Luận văn sau khi hoàn thành có thể làmtư liệu tham khảo cho các bạn sinh viên và học viên cao học nghiên cứu vềlĩnh vực toán tối ưu Ngoài ra, đề tài cũng sẽ góp phần làm phong phú, sâusắc hơn lĩnh vực toán học phổ thông khi biết triển khai ứng dụng một cáchphù hợp.

2.Đối tượng nghiên cứu

- Bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình;

- Phương pháp nhân tử Lagrange tăng cường cho bài toán tối ưu có điềukiện cho bởi phương trình.

3.Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực nghiên cứu tối ưu hóa Cụthể là ứng dụng phương pháp nhân tử Lagrange tăng cường để giải bài toántối ưu có điều kiện cho bởi phương trình.

4.Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình và vận dụngphương pháp nhân tử Lagrange tăng cường vào giải bài toán.

5.Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, phân tích và tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung nghiêncứu.

- Phân loại và hệ thống hóa lý thuyết.

- Trình bày báo cáo tại seminar của nhóm nghiên cứu.- Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.

6.Cấu trúc luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm các phần chính sau đây:

- Mở đầu: Giới thiệu về tổng quan nghiên cứu và lý do chọn đề tài củaluận văn nghiên cứu.

- Phần nội dung: Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương cụ thểnhư sau:

Trang 11

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ KHÔNG GIAN Rn, HÀM NHIỀUBIẾN VÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU

1.1 Một số kí hiệu và kiến thức cơ bản1.2 Bài toán tối ưu tự do

1.3 Phương pháp Newton cho bài toán tối ưu tự do1.4 Bài toán tối ưu có điều kiện

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE TĂNGCƯỜNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ ĐIỀU KIỆN CHOBỞI PHƯƠNG TRÌNH

2.1 Tổng quan về bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình vàmột số hướng tiếp cận giải bài toán

2.2 Điều kiện cần và đủ cho bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phươngtrình

2.3 Phương pháp nhân tử Lagrange tăng cường cho bài toán cực trị cóđiều kiện

2.4 Phương pháp nhân tử Lagrange tăng cường cho bài toán cực trị cóđiều kiện cho bởi phương trình

2.5 Sự tồn tại cực tiểu địa phương của phương pháp nhân tử Lagrangetăng cường

2.6 Sự hội tụ của phương pháp nhân tử Lagrange tăng cường

2.7 Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange tăng cường để giải một sốbài toán

2.8 Mối liên hệ với bài toán tìm GTLN, GTNN ở chương trình phổ thông

•Kết luận

•Tài liệu tham khảo

Trang 12

Chương 1

BIẾN VÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU

Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại những khái niệm và tính chất cơ bảntrong không gian Rn, một vài khái niệm và tính chất cơ bản của lớp hàmliên tục, khả vi liên tục đến cấpptrong không gian Rn như định lí giá trịtrung bình, công thức khai triển Taylor, định lí hàm ẩn, tập lồi và hàm lồi.Đây là những khái niệm, tính chất được sử dụng trong Chương 2 Nội dungở chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [4], [5].

1.1.1Không gian Rn

Chúng ta kí hiệu R là tập số thực và Rn là không gian gồm tất cả véctơthựcnchiều Khoảng của số thực hoặc số thực mở rộng được kí hiệu nhưthường lệ Ví dụ: choa ∈R hoặca = −∞vàb ∈R hoặcb = +∞ Khi đó,ta viết(a, b ]={x|a < x ≤ b}.

Cho tập con bất kìS ⊂R bị chặn trên (dưới), chúng ta kí hiệusup S

(inf S) là cận trên đúng (cận dưới đúng) của S Nếu S không bị chặn trên(dưới), chúng ta viếtsup S=∞(infS= -∞).

Chúng ta quy ước mọi véctơ được coi là một véctơ cột Chuyển vị củama trậnAcỡm × nđược kí hiệu làA′ Một véctơx ∈Rn sẽ được coilà một ma trận cỡn × 1 Do đó,x′ biểu diễn một ma trận cỡ1 × nhoặc

Trang 13

được gọi là véctơ hàng Nếux1, x2, , xn là tọa độ của véctơx ∈Rn, ta viết

x = (x1, x2, , xn)T Ta cũng có thể viết:

x ≥ 0nếuxi ≥ 0, i = 1, , n,x ≤ 0nếuxi ≤ 0, i = 1, , n.

Một ma trận đối xứngAcỡn × nđược gọi là nửa xác định dương nếu

x′Ax ≥ 0với mọix ∈Rn Trong trường hợp này, chúng ta viết:

đóng khi và chỉ khi mọi dãy hội tụ{xk}gồm các phần tử trongShội tụ vềmột điểm cũng thuộc tậpS Tập conScủa Rn được gọi là compact khi vàchỉ khiSvừa đóng và vừa bị chặn.

Trang 14

1.1.3Hàm liên tục

Một hàmfđi từ tậpS1 ⊂Rn đến tậpS2 ⊂Rm được kí hiệu làf :S1 → S2 Hàmfđược gọi là liên tục tạix ∈ S1 nếuf (xk) → f (x)với mọidãy{xk} ∈ S1 vàxk → x Điều này tương đương vớifliên tục tạixnếuvới mọiε > 0, tồn tạiδ > 0sao cho với mọiy ∈ S1,|y − x| < δ, ta có

|f (y) − f (x)| < ε Hàmfđược gọi là liên tục trênS1 (hoặc đơn giản là liêntục) nếu nó liên tục tại mọi điểmx ∈ S1 NếuS1, S2 vàS3 là các tập hợp và

f1 : S1 → S2 vàf2 : S2 → S3 là các hàm số, thì hàm sốf2 ◦ f1 : S1 → S3

được định nghĩa bởi(f2 ◦ f1)(x) = f2[f1(x)]được gọi là hàm hợp củaf1 và

f2 Nếuf1 :Rn →Rm vàf2 :Rm →Rp là liên tục, thìf2 ◦ f1 cũng liên tục.

Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa đạo hàm riêng)

Trong toán học, đạo hàm riêng của một hàm số đa biến là đạo hàm theomột biến, các biến khác được xem như là hằng số Ký hiệu của đạo hàmriêng là∂.

Ví dụ 1.1.1 Đạo hàm riêng củafđối với biếnxđược ký hiệu khác nhaubởi

fx′, fx, ∂xf,hoặc∂f

Định nghĩa 1.1.2 (Véctơ gradient∇f): Giả sửflà một hàm số từ Rnđến R,nghĩa làf = f (x1, , xn) Khi đó, gradient của hàm sốflà mộtvectơ cột mà thành phần là đạo hàm theo các biến củaf:

∇f =

∂x1, ,∂f∂xn

Định nghĩa 1.1.3 (Ma trận Hessian)

Giả sử hàm sốnbiến sốf (x1, x2, xn)có các đạo hàm riêng cấp 2 Khi đó,ma trận vuông cấpn

Trang 15

H = ∇2f =

1x1 fx′′

1x2 fx′′1xnfx′′2x1 fx′′2x2 fx′′2xn

nx1 fx′′

nx2 fx′′nxn

Nếuf ∈ C1 trênX, véctơ gradient củaftại điểmx ∈ Xđược định nghĩalà một véctơ cột:

∇f (x) =

∂f (x)∂x1

∂f (x)∂xn

Trang 16

tại một vô hướngα,0 < α < 1,sao cho

f (y) = f (x) + ▽f [x + α(y − x)]′(y − x).(1.8)Hơn nữa, nếuf ∈ C2, thì tồn tại một vô hướngα,0 < α < 1,sao cho:

f (y) = f (x) + ▽f (x)′(y − x) + 1/2(y − x)′ ▽2 f [x + α(y − x)](y − x).

(1.9)Chof : X →Rm vàf ∈ C1 trên tập mởX ⊂Rn Giả sử rằngXchứađoạn thẳng nối hai điểmx, y ∈ X Khai triển dãy Taylor bậc nhất củaf

quanhxđược cho bởi

f (y) = f (x) +

Z 10

Z ξ0

Định lí 1 (Định lí hàm ẩn 1) ChoSlà tập con mở của Rm+n vàh :S →Rn là một hàm thuộcCp trênSvớip ≥ 0nào đó Giả sử▽yh(¯x, ¯y)

tồn tại và liên tục trênS Cho(¯x, ¯y) ∈ Slà một véctơ sao choh(¯x, ¯y) = 0luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 17

và ma trận▽yh(¯x, ¯y)là không suy biến Khi đó, tồn tạiε > 0, δ > 0vàmột hàm sốϕ : S(¯x, ε) → S(¯y, δ)sao choϕ ∈ Cp trênS(¯x, ε),y = ϕ(¯¯x),vàh[x, ϕ(x)] = 0với mọix ∈ S(¯x, ε) Hàm sốϕlà duy nhất, tức là nếu

x ∈ S(¯x, ε),y ∈ S(¯y, δ), vàh(x, y) = 0, thìy = ϕ(x) Hơn nữa, nếup ≥ 1,thì với mọix ∈ S(¯x, ε),

▽ϕ(x) = − ▽xh[x, ϕ(x)][▽yh[x, ϕ(x)]]−1.(1.12)Chúng ta cũng sẽ cần thêm định lí hàm ẩn sau đây Đây là một dạngđặc biệt của một định lý tổng quát hơn được tìm thấy bởi Hestenes (1966)[5].

Định lí 2 (Định lí hàm ẩn 2) ChoSlà tập con mở của Rm+n,X¯là

một tập con compact của Rm, vàh : S →Rn là một hàm sao choh ∈ Cp

trênSvới một sốp ≥ 0 Giả sử rằng▽yh(x, y)tồn tại và liên tục trênS.Giả sử rằngy ∈¯Rn là một véctơ sao cho(¯x, ¯y) ∈ S, h(¯x, ¯y) = 0, và ma trận

▽yh(x, y)là không suy biến với mọix ∈ ¯¯X Khi đó, tồn tại mộtε > 0, δ > 0,và một hàm sốϕ : S( ¯X, ε) → S(¯y, δ)sao choϕ ∈ Cp trênS( ¯X, ε),y = ϕ(¯¯x)

vớix ∈ ¯¯X, vàh(x, y) = 0, khi đóy = ϕ(x) Hơn nữa, nếup ≥ 1, khi đó vớimọix ∈ S( ¯X, ε)

▽ϕ(x) = − ▽xh[x, ϕ(x)][▽yh[x, ϕ(x)]]−1.(1.13)KhiX¯gồm một véctơx¯duy nhất, thì hai định lí hàm ẩn trên trùng

1.1.7Tập lồi

TậpS ⊂Rn được gọi là tập lồi nếu với mọix, y ∈ Svàα ∈ [0, 1], chúngta có:αx + (1 − α)y ∈ S Hàmf : S →R được gọi là hàm lồi trên tập lồiSnếu với mọix, y ∈ Svàα ∈ [0, 1], chúng ta có:

f [αx + (1 − α)y] ≤ αf (x) + (1 − α)f (y).(1.14)Nếuf ∈ C1 trên tập lồiS, thìflà hàm lồi khi và chỉ khi

f (y) ≥ f (x) + ▽f (x)′(y − x), ∀x, y ∈ S(1.15)

Trang 18

Trong trường hợpf ∈ C2 trênS,flồi khi và chỉ khi▽2f (x) ≥ 0với mọi

x ∈ S.

1.1.8Đánh giá các khái niệm hội tụ

Trong thuật toán cực tiểu hóa, chúng ta thường quan tâm đến tốc độ hộitụ của các thuật toán khác nhau Cho một dãy{xk} ⊂Rn vớixk → x∗, cáchtiếp cận điển hình là đo tốc độ của của một hàm sai sốe :Rn →R thỏa

mãne(x) ≥ 0với mọix ∈Rn vàe(x∗) = 0 Các lựa chọn điển hình là:

e(x) = |x − x∗|, e(x) = |f (x) − f (x∗)|,(1.16)trong đó,flà hàm mục tiêu của bài toán Dãy{e(xk)}sau đó được so sánhvới các dãy tiêu chuẩn Trong trường hợp của chúng ta, cần so sánh{e(xk)}

với các dãy cấp số nhân có dạng

rk = qβk,(1.17)trong đóq > 0vàβ ∈ (0, 1)là một vô hướng, hoặc với dãy có dạng:

rk = qβpk,(1.18)trong đóq > 0, β ∈ (0, 1), vàp > 1là một vô hướng.

Chúng ta cần giới thiệu một số thuật ngữ:

Định nghĩa 1.1.5 Cho hai dãy vô hướng{ek}và{rk}với

0 ≤ ek,0 ≤ rk,ek → 0,rk → 0.(1.19)Chúng ta nói rằng{ek}hội tụ nhanh hơn{rk}nếu tồn tại một chỉ sốk ≥ 0¯

Trang 19

Mệnh đề 1.1.1 Cho{ek}là một dãy vô hướng vớiek ≥ 0, ek → 0 Khi đó,các khẳng định sau đây đúng:

(a) Dãy{ek}hội tụ tuyến tính bé nhất với tỉ số hội tụβ ∈ (0, 1)nếu vàchỉ nếu:

lim supk→∞

e1/kk ≤ β.(1.22)

Nó hội tụ tuyến tính lớn nhất với tỉ số hội tụβ ∈ (0, 1)nếu và chỉ nếu:

lim inf

k→∞e1/kk ≥ β.(1.23)Nó hội tụ tuyến tính với tỉ lệ hội tụβ ∈ (0, 1)nếu và chỉ nếu:

k→∞ e1/kk = β.(1.24)(b) Nếu{ek}hội tụ nhanh hơn (chậm hơn) một dãy cấp số nhân có dạng

qβk,q > 0, β ∈ (0, 1), thì nó hội tụ tuyến tính bé nhất (lớn nhất) với tỉ sốhội tụβ

(c) Giả sử rằngek ̸= 0với mọik, và kí hiệu:

β1 = lim infk→∞

ek ,β2 = lim supk→∞ek+1

ek .(1.25)

Nếu0 < β1 < β2 < 1, thì{ek}hội tụ tuyến tính bé nhất với tỉ số hội tụβ1

và hội tụ tuyến tính lớn nhất với tỉ số hội tụβ2.(d) Giả sử rằngek ̸= 0với mọikvà

Nếu0 < β ≤ 1, thì{ek}hội tụ tuyến tính với tỉ lệ hội tụβ Nếuβ = 0, thì

{ek}hội tụ siêu tuyến tính.

Khi{ek}thỏa mãnlim supk→∞ek+1/ek = β < 1như Mệnh đề 1.1.1(d),chúng ta cũng nói rằng{ek}hội tụ tuyến tính với tỉ số bé nhất (hoặc Q -tuyến tính) với tỉ số hội tụβ Nếuβ = 0, thì ta nói rằng{ek}hội tụ Q- siêutuyến tính.

Hầu hết các thuật toán tối ưu hóa được quan tâm trong thực tế tạo racác dãy hội tụ tuyến tính hoặc siêu tuyến tính Hội tụ tuyến tính là khá thỏa

Trang 20

đáng cho các thuật toán tối ưu hóa với điều kiện tỉ lệ hội tụβkhông gầnbằng một Các thuật toán tạo ra các dãy có tốc độ hội tụ tuyến tính bé nhấtthường không được sử dụng trong hầu hết các bài toán tối ưu hóa vì tínhtoán không hiệu quả Một số thuật toán tối ưu hóa có sự hội tụ siêu tuyếntính cho các lớp bài toán cụ thể.

Định nghĩa 1.2.1 Bài toán tối ưu tự do là bài toán tìm cực tiểu sau

Opt(P ) = min

trong đóf :Rn →R gọi là hàm mục tiêu.

Nhận xét 1.2.1.1 Tập nghiệm tối ưuX∗ là tập

X∗ = {x ∈Rn : f (x) = Opt(P )}.(1.28)2 Bất cứ hàmϵ(x) ≥ 0nào chỉ nhận giá trị0trênX∗ có thể coi làhàm đánh giá sai số của nghiệmxso với nghiệm tối ưu.

3 Nếu một thuật toán tối ưu trong quá trình tìm kiếm nghiệm tối ưusinh ra nghiệmxk tại bước lặpkthì đánh giá sai số của nghiệmxk là

Ta còn dãy{xk} ∞

k=1 là quỹ đạo của thuật toán.

4 Một thuật toán tối ưu phải bảo đảm sai số tiến tới0khi số bước lặpngày càng lớn

Phân loại các thuật toán tối ưu:

1 Các phương pháp bậc 0: các phương pháp chỉ sử dụng giá trị củahàmf (x).

2 Các phương pháp bậc 1: các phương pháp sử dụng giá trị của hàm

f (x)và đạo hàm (Gradient)f′(x) = ▽f (x),

3 Các phương pháp bậc 2: các phương pháp sử dụng giá trị của hàm

f (x), đạo hàmf′(x)và ma trận Hessianf′′(x) = ▽2f (x).

Trang 21

Định nghĩa 1.2.2 (hướng giảm): Hướngdlà hướng làm giảm hàm mụctiêuf (x)tạixnếu tồn tạit > 0sao cho

dk = −[▽2f (xk)]−1 ▽ f (xk)(1.33)là một hướng giảm (tức làd′k ▽ f (xk) < 0) Hướng này là nghiệm của hệphương trình tuyến tính:

▽2f (xk)dk = − ▽ f (xk).(1.34)Khi điểmx0 gần với điểm cực tiểu của hàm số, chúng ta có thể choαk = 1

với mọik Khi đó, phương pháp Newton có dạng

xk+1 = xk − [▽2f (xk)]−1 ▽ f (xk),(1.35)Đây là dạng được coi là dạng cổ điển của phương pháp Newton Giải thíchcho phương pháp này như sau:xk+1 như đã cho ở trên là cực tiểu của đathức Taylor bậc hai xung quanhxk được cho bởi

Trang 22

Mệnh đề 1.3.1 Xét ánh xạg :Rn →Rn, và choε > 0vàx∗ sao cho

g ∈ C1 trênS(x∗, ε),g(x∗) = 0, và▽g(x∗)khả nghịch Khi đó, tồn tại

δ > 0sao cho nếux0 ∈ S(x∗, δ), dãyxk được tạo ra bởi phép lặp

xk+1 = xk − [▽g(xk)′]−1g(xk)(1.38)hội tụ tớix∗và thỏa mãnxk ∈ S(x∗, δ)với mọik Hơn nữa, nếuxk ̸= x∗

với mọik, khi đó:

|xk+1 − x∗| ≤1

2LM |xk− x∗|2 ∀k = 0, 1, ,(1.44)và{|xk − x∗|}hội tụ Q - siêu tuyến tính với bậc tối thiểu là 2.

Trang 23

* Ứng dụng phương pháp Newton trong phần mềm Matlab

Hình 1.1: Phương pháp Newton được lập trình trong phần mềm Matlab

f (x∗) ≤ f (x),∀x ∈ S(x∗, ε),x ∈ X,x ̸= x∗.luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 24

x∗ là cực tiểu toàn cục nếu

f (x∗) ≤ f (x)∀x ∈ X.

Giải bài toán (CP) tức là đi tìm cực tiểu toàn cục.

Mệnh đề 1.4.1 Giả sử rằngXlà một tập lồi và vớiε > 0vàx∗ ∈ X, f ∈ C1

trênS(x∗; ε).

(a)Nếux∗ là cực tiểu cục bộ đối với (CP), thì

▽f (x∗)′(x − x∗) ≥ 0,∀x ∈ X.(1.45)(b)Nếuflà hàm lồi trênXvà (1.45) đúng trênX, thìx∗ là một cựctiểu toàn cục của (CP).

Trang 25

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE TĂNGCƯỜNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ ĐIỀU KIỆNCHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu về các bài toán tối ưu có điềukiện cho bởi phương trình và một số hướng tiếp cận giải bài toán đó, đặcbiệt là phương pháp nhân Lagrange tăng cường Trước hết, chúng ta sẽ tìmhiểu một cách tổng quan về các bài toán này cũng như đề cập đến điều kiệncần và đủ của nó Sau đó, chúng ta sẽ tìm hiểu một số hướng tiếp cận giảibài toán này Chúng ta tập trung nghiên cứu phương pháp nhân tử Lagrangetăng cường để tìm nghiệm số cho bài toán Ở đây chúng tôi chỉ dừng lại ởviệc trình bày phương pháp, các kết quả chính và áp dụng để giải một số vídụ cụ thể Chứng minh các kết quả trong chương này, chúng tôi chỉ đến cáctài liệu tham khảo tương ứng Nội dung ở chương này được tham khảo từcác tài liệu [2], [4], [6].

kiện cho bởi phương trình và một sốhướng tiếp cận giải bài toán

Chúng ta xét bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình sau:(ECP)Tìm cực tiểu hàmf (x)

Trang 26

vớih(x) = 0,

trong đóf :Rn →R, h :Rn →Rm là các hàm đã cho.

Các phương pháp tính toán để giải bài toán này đã trở thành chủ đềnghiên cứu chuyên sâu vào cuối những năm 50 và đầu những năm 60 Chúngta trình bày về ba trong số các cách tiếp cận đã được theo đuổi.

Cách tiếp cận đầu tiên dựa trên ý tưởng về việc tạo ra các dãy giảm củahàm mục tiêu trong giới hạn của tập hợp ràng buộc Cho một điểm khả thi

xk,một hướngdk được chọn thỏa mãn điều kiện▽f (xk)′dk < 0và điều kiện

xk + αdk thuộc tập chấp nhận được cho tất cả các giá trị dương và đủ nhỏcủaαk.Một tìm kiếm dọc theo đường{xk + αdk|α > 0}tạo ra một điểmchấp nhận được mớixk+1 = xk+ αkdk thỏa mãnf (xk+1) < f (xk) Điều nàydẫn đến nhiều loại phương pháp giảm chấp nhận được khác nhau do các nhànghiên cứu Frank-Wolfe, Zoutendijk, Rosen, Goldstein và Levitin-Poljak đềxuất Các phương pháp này, cùng với các phiên bản điều chỉnh của chúng,đã đạt được thành công đáng kể và vẫn tiếp tục rất phổ biến cho các bàitoán có ràng buộc tuyến tính.

Cách tiếp cận thứ hai dựa trên khả năng giải hệ phương trình Đối vớibài toán (ECP), điều kiện cần cho nghiệm của bài toán là

▽xL(x, λ) = ▽f (x) + ▽h(x)λ = 0,(2.1)

trong đó L là hàm Lagrange

Một đặc điểm khác biệt của phương pháp này là hệ số nhân tử Lagrangeλ

được xử lý trên cơ sở bình đẳng với vectơx Các phép lặp được thực hiệnđồng thời trênxvàλ, ngược lại với phương pháp giảm dần trong đó chỉ có

xđược lặp lại và hệ số nhân tử Lagrange không đóng vai trò trực tiếp Vìlý do này, các thuật toán thuộc loại này đôi khi được gọi là phương phápLagrange Một số phương pháp thuộc loại này đã được xem xét trong Arrowet al (Năm 1958) Ngoài phương pháp để giải hệ gồm 2 phương trình (2.1)và (2.2), một phương pháp gradient cũng được đề xuất với điều kiện giả thiết

Trang 27

ở một nghiệm(x∗, λ∗) Tuy nhiên, Arrow và Solow (1958) đã lưu ý rằng nếugiả thiết lồi cục bộ không đúng, thì (ECP) có thể được thay thế bằng bàitoán tương đương

(A)Tìm cực tiểu hàmf (x) +1

trong đóclà một vô hướng Nếucđược lấy đủ lớn, thì điều kiện lồi cục bộcó thể được thỏa mãn với bài toán (A) Tuy nhiên, rõ ràng là cách tiếp cậnnày có một số hạn chế cơ bản, chủ yếu là thiếu một phương pháp có tốc độhội tụ nhanh khi điểm khởi đầu cách xa nghiệm và khó khăn trong phân biệtgiữa cực tiểu cục bộ và cực đại cục bộ.

Cách tiếp cận thứ ba là sử dụng phương pháp hàm phạt, tức là xem xétdãy các bài toán tối ưu tự do:

x∈Rn{f (x) +1

Mặt khác, giá trị tối ưu của (ECP) có thể được viết là

infx∈Rn lim

{ckh(xk)}, trong đóxk là nghiệm của bài toán (B), hội tụ đến hệ số nhântử Lagrange của bài toán Bất chấp những nhược điểm đáng kể của phươngpháp [chủ yếu là sự hội tụ chậm và bài toán (B) trở nên đặt không chỉnh khicác giá trị củack lớn], các phương pháp hàm phạt đã được chấp nhận rộngrãi trong thực tế Lí do là năm ở sự đơn giản của cách tiếp cận, khả năng xử

Trang 28

lý các ràng buộc phi tuyến, cũng như sự sẵn có của các phương pháp hữuhiệu cho bài toán tối ưu tự do cho bài toán (B).

Bắt đầu từ khoảng năm 1968, một số nhà nghiên cứu đã đề xuất mộtphương pháp mới, được gọi là phương pháp nhân Lagrange tăng cường, trongđó ý tưởng hàm phạt được kết hợp với phương pháp nhân tử Lagrange Trongphương pháp nhân tử Lagrange tăng cường, do Hestenes (1969) và Powell(1969) đề xuất hàm Lagrange tăng cường

Lc(x, λ) = f (x) + λ′h(x) +1

.(2.7)Một dãy các bài toán

Người ta có thể xem phương pháp vừa được mô tả trong ngữ cảnh củacác phương pháp hàm phạt Nếuck → ∞và dãy được tạo{λk}hội tụ, thìphương pháp hội tụ đến nghiệm tối ưu của bài toán (ECP) nếu thỏa mãnđiều kiện đảm bảo tính hợp lệ của hoán đổi giữa” lim ”và” inf ”trong biểuthức

x {f (x) + λ′kh(x) +1

tương tự như đối với phương pháp hàm phạt.

Người ta chỉ ra rằng, bằng cách kết hợp các tính năng của hàm phạt vàcách tiếp cận cơ bản, phương pháp Lagrange tăng cường thực sự khắc phụcđược những nhược điểm của phương pháp hàm phạt và phương pháp nhântử Lagrange Trong chương này, luận văn trình bày chi tiết các điều kiện đểđảm bảo sự hội tụ của phương pháp nhân tử Lagrange tăng cường.

Trang 29

2.2Điều kiện cần và đủ cho bài toán tối ưucó điều kiện cho bởi phương trình

Đầu tiên, chúng ta xét bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình nhưsau:

(ECP)Tìm cực tiểu hàmf (x)

vớih(x) = 0

trong đóf :Rn →R vàh :Rn →Rm là các hàm số đã cho vàm ≤ n.

các thành phần củahđược kí hiệu làh1, , hm.

Định nghĩa 2.2.1 Chox∗ là một véctơ sao choh(x∗) = 0vàh ∈ C1 trên

S(x∗, ε), vớiε > 0nào đó Chúng ta nói rằngx∗ là một điểm chính quy nếucác gradient▽h1(x∗), , ▽hm(x∗)là độc lập tuyến tính.

Hãy xét hàm LagrangeL :Rn+m →R được xác định bởiL(x, λ) = f (x) + λ′h(x).

Chúng ta có các kết quả cổ điển sau:

Mệnh đề 2.2.1 Gọix∗ là điểm cực tiểu cục bộ cho (ECP) và giả sử rằng

f ∈ C1,h ∈ C1 trênS(x∗,ε)với một sốε > 0, vàx∗ là một điểm chính quy.Khi đó, tồn tại một vectơ duy nhấtλ∗ ∈Rm sao cho

Trong trường hợpf ∈ C2 vàh ∈ C2 trênS(x∗, ε)thì

z′ ▽2xxL(x∗, λ∗)z ≥ 0,∀z ∈Rn : ▽h(x∗)′z = 0.(2.11)Mệnh đề 2.2.2 Chox∗ sao choh(x∗) = 0vàf ∈ C2 vàh ∈ C2 trên

S(x∗, ε), với một sốε > 0 Giả sử rằng tồn tại một véctơλ∗ ∈Rm sao cho

z′ ▽2xx L(x∗, λ∗)z > 0,∀z ̸= 0 : ▽h(x∗)′z = 0.(2.13)Khi đó,x∗ là cực tiểu cục bộ nghiêm ngặt cho (ECP).

* Trích dẫn chứng minh: [5, Proposition 1.26].

Trang 30

2.3Phương pháp nhân tử Lagrange tăngcường cho bài toán cực trị có điều kiện

Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp Lagrange tăng cườngcho bài toán tổng quát hơn sau đây:

(D)Tìm cực tiểu hàmf (x)

vớix ∈ X, h(x) = 0,

Trong đó,f :Rn →R, h :Rn →Rm là các hàm đã cho vàXlà một tập conđã cho của Rn Chúng ta giả sử rằng bài toán (D) có ít nhất một lời giải khảthi.

Đối với mỗi giá trị vô hướngc, chúng ta hãy xác định hàm Lagrange tăngcườngLc :Rn ×Rm →R bằng

Tuy nhiên, trong phần này, chúng tôi tập trung vào ảnh hưởng của tham

Trang 31

số phạt và không đưa ra giả định nào về{λk}ngoài yêu cầu về tính bị chặndãy này.

Cơ sở lý luận của phương pháp hàm phạt dựa trên thực tế là khi{λk}bịchặn vàck → ∞thì số hạng

λ′kh(x) +1

được thêm vào hàm mục tiêu, tiến ra vô cùng nếuh(x) ̸= 0và bằng0nếu

h(x) = 0 Do đó, nếu chúng ta định nghĩa hàmf :¯Rn → (−∞, +∞]bởi

¯f (x) =

f (x),h(x) = 0,

Khi đó, giá trị tối ưu của bài toán ban đầu có thể được viết là

f∗ =infh(x)=0,x∈X

f (x) = infx∈X

f (x) = infx∈X lim

k→∞Lck(x, λk)(2.15)Mặt khác, phương pháp hàm phạt xác định

f = limk→∞ inf

Vì vậy, để phương pháp hàm phạt thành công, bài toán ban đầu phảiđảm bảo phép hoán đổi giữa "lim" và "inf" trong (2.15) và (2.16) là hợp lệ.Mệnh đề sau đây đảm bảo tính hợp lệ của sự hoán đổi và tạo thành kết quảhội tụ cơ bản cho phương pháp hàm phạt.

Mệnh đề 2.3.1 Giả sử rằngfvàhlà các hàm liên tục vàXlà một tậpđóng Vớik = 0, 1, ,đặtxk là cực tiểu toàn cục của bài toán

Tìm cực tiểu hàmLck(x, λk)

trong đó{λk}bị chặn và0 < ck < ck+1 với mọik, ck → ∞ Khi đó, mọiđiểm giới hạn của dãy{xk}là điểm cực tiểu toàn cục củafvới điều kiệnràng buộcx ∈ X, h(x) = 0.

Các giả thiết trên có một số điểm yếu Đầu tiên, nó giả định rằng bàitoán:

Trang 32

.(2.17)Rõ ràng,infxLck(x, λk) = −∞vàLck(x, λk)không có giá trị nhỏ nhấtcho mọick vàλk.Ví dụ 2.3.1 này cho thấy điểm yếu của phương pháp hàmphạt.

Điểm yếu thứ hai của Mệnh đề 2.3.1 là nó chỉ liên quan đến cực tiểu toàncục (trái ngược với cục bộ) của cả bài toán ban đầu và bài toán Lagrangetăng cường Đề xuất sau đây sẽ khắc phục được phần nào tình hình Đầutiên chúng tôi giới thiệu một định nghĩa:

Định nghĩa 2.3.1 Một tập khác rỗngX∗ ⊂Rn được cho là một tập hợpcô lập của cực tiểu cục bộ của bài toán (C) nếu mỗi điểm trongX∗ là điểmcực tiểu cục bộ của bài toán (C) và, đối với một sốε > 0, tập

Xε∗ = {x||x − x∗| ≤ ε,x∗ ∈ X∗}(2.18)không chứa cực tiểu cục bộ của bài toán (C) ngoài các điểm củaX∗.

Lưu ý rằng cực tiểu cục bộ nghiêm ngặt có thể được xem như mộttập hợp cực tiểu cục bộ cô lập bao gồm một điểm duy nhất.

Mệnh đề 2.3.2 Chofvàhlà các hàm liên tục,Xlà một tập đóng,{λk}

bị chặn và0 < ck < ck+1 với mọik, ck → ∞ Giả sử rằngX∗ là một tập hợpcực tiểu cục bộ cô lập của bài toán (C) Khi đó, tồn tại một dãy con{xk}kluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop