bài giảng phân tích giới hạn kết cấu công trình

Các định lý về phá hủy dẻo tải trọng giới hạnTham số tải trọng ứng với một cơ cấu phá hủy giả thiết bất kỳĐịnh lý duy nhất định lý về tải trọng giới hạn:Với một kết cấu đã cho chịu một h

KHOA C¤NG TR×NH

Bé M¤N KÕT CÊU C¤NG TR×NH

PH¢N TÝCH GIíI H¹N KÕT CÊU C¤NG TR×NH

Vò hoµng h¦ng

1 T¶i träng giíi h¹n cña kÕt cÊu

T¶i träng giíi h¹n = T¶i träng lín nhÊt kÕt

cÊu cã thÓ chÞu ®ưîc

5

CT3

- Phương pháp quy hoạch tuyến tính.

- Phương pháp gia tải từng bước

2 Định lý về cận trên và dưới tải trọng giới hạn

- Thi viết, đề thi cho trước 7/10 câu hỏi, 3/10 câu

hỏi cho biết nội dung, đợc sử dụng các loại tài liệu,

máy tính xách tay (6 điểm).

- Bài tập lớn (4 điểm).

7 Tµi liÖu häc tËp

- Bài giảng Ph©n tÝch giíi h¹n kÕt cÊu c«ng tr×nh.

- Hưíng dÉn bµi tËp lín m«n häc.

- Tham kh¶o thªm cuèn SAP2000 - Ph©n tÝch kÕt

cÊu c«ng tr×nh thñy lîi thñy ®iÖn (NXBXD - 2012)

PHẦN 1

CƠ SỞ PHÂN TÍCH GIỚI HẠN

KẾT CẤU CÔNG TRÌNH

1

=1+2

CHƯƠNG 1

CÁC GIẢ THIẾT CƠ BẢN

• Vật liệu đàn – dẻo lý tưởng

• Khớp dẻo chỉ được hình thành

khi M = Mp

• Bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc

và lực cắt tới Mp

• Góc xoay tương đối  ở khớp

dẻo tăng nhưng M = Mp  c

 

c



 0

M=Mp

Mô men đàn hồi Me

y

J

; y

J min M

Sơ đồ ứng suất của tiết diện dầm

Trục trung hòa đi qua trọng tâm tiết diện O

Mô men dẻo Mp

 = mô men dẻo/mô men đàn hồi = Mp/Me

Trục “trung hòa” xác định theo công thức sau:

Ví dụ 1

Xác định Mp của dầm tiết diện chữ nhật chịu uốn trong

mặt phẳng song song với cạnh h

h b h b A A

2400 268

2 S

2

S S

y A y

A

M

c x

c x c

x c

c p

Nguyên lý lực khả dĩ:

2 Các định lý về phá hủy dẻo (tải trọng giới hạn)

Giả thiết:

Tham số tải trọng : P1, P2, P3 Pn

Tham số tải trọng giới hạn n: tham số tải trọng gây

nên phá hủy dẻo của kết cấu

Định lý về cận dưới của tải trọng giới hạn (định lý tĩnh):

(-) pTham số tải trọng gây nên trường nội lực (mô men uốn) thỏa

mãn điều kiện cân bằng tĩnh và điều kiện cường độ của bài toán

Định lý về cận trên của tải trọng giới hạn (định lý động):

p  (+)

Tham số tải trọng ứng với một cơ cấu phá hủy giả thiết bất kỳ

Định lý duy nhất (định lý về tải trọng giới hạn):

Với một kết cấu đã cho chịu một hệ tải trọng , nếu tồn tại

một trường nội lực (mômen uốn) thỏa mãn điều kiện cân bằng

tĩnh và điều kiện cường độ của kết cấu đã cho, trong đó số tiết

diện có mômen bằng mômen dẻo, đủ để kết cấu trở thành cơ

cấu thì giá trị của tham số tải trọng đó có giá trị bằng tham

số tải trọng giới hạnp:

 = p

3 Phương pháp tĩnh xác định cận dưới của tải

trọng giới hạn

Nội dung của phương pháp:

Chọn một trường mômen uốn bất kỳ thỏa mãn điều kiện cân

bằng (phương trình cân bằng được xác định nhờ nguyên lý

chuyển vị khả dĩ) và điều kiện cường độ (Mi≤ Mpi), theo định lý

tĩnh thì tải trọng tương ứng với trường nội lực này là cận dưới

của tải trọng giới hạn.

Ví dụ

Xác định tải trọng giới hạn của dầm một đầu ngàm một

đầu khớp chịu một hệ tải trọng cho ở hình vẽ, mômen

dẻo của tất cả các tiết diện đều bằng Mp=80kNm

- Quy ước dấu: Dấu của

nếu làm căng thớ dầm vềphía đường đứt nét chọntrước

- Tại các mặt cắt 1, 2, 3

có thể hình thành khớp dẻo,được gọi là các tiết diện đặctrưng hay điển hình

Giả thiết hai trường chuyển vị khả dĩ (I) và (II) để lập hai phương

trình cân bằng nhờ nguyên lý chuyển vị khả dĩ :

Giả thiết trường nội lực: M1=Mp= 80kNm; M3= -Mp= -80kNm

Thay vào (I) và (II)  M2= 100kNm; W = 50kN

 Thỏa mãn điều kiện cân bằng nhưng không thỏa mãn điều

kiện về cường độ M2= 100kNm > Mp= 80kNm , W = 50kN

không phải là cận dưới của tải trọng giới hạn

Để xác định cận dưới giảm tải trọng W: 80

Giả thiết trường nội lực: M2=Mp= 80kNm; M3= -Mp= -80kNm

Thay vào (I) và (II)  M1= 66,086kNm; W = 43,478kN

4 Phương pháp động xác định cận trên của tải

trọng giới hạn

Nội dung của phương pháp:

- Trên cơ sở các cơ cấu phá hủy có thể, xác định tải trọng phá

hủy ứng với mỗi cơ cấu phá hủy giả thiết

- Theo định lý động giá trị nhỏ nhất của các giá trị này là tải

trọng giới hạn

- Nhưng nếu chưa biết toàn bộ các cơ cấu phá hủy giả thiết có

thể, thì các giá trị đó chỉ là cận trên của tải trọng giới hạn

Ví dụ

Xác định tải trọng giới hạn của khung một tầng một

nhịp có kích thước và chịu tải trọng như ở hình vẽ

Mômen dẻo của các mặt cắt đều bằng Mp=25kNm.

- Khung có 3 bậc siêutĩnh (r = 3)

- Quy ước dấu: Dấu

dương (+) nếu làmcăng thớ dầm và cột ởphía đường đứt nét

- Mô men M1, M2, M3,

trưng cho trường nội

Chọn 3 cơ cấu phá hủy (I), (II) và (III) để thiết lập 3 phương

trình cân bằng:

- M1+ M2- M4+ M5= 15×4 = 60 (II)

- M1+ 2M3- 2M4+ M5= 10×4 + 15×4= 100 (III)

Phương pháp động xác định cận trên của tải trọng giới hạn

Giả thiết cơ cấu (I) là cơ cấu phá hủy thì trường nội lực: M2

Thay vào (I)  1(+)=2,5

Giả thiết cơ cấu (II) là cơ cấu phá hủy thì trường nội lực: M1

= 25kNm

Thay vào (II)  2(+)=1,667

Giả thiết cơ cấu (III) là cơ cấu phá hủy thì trường nội lực: M1

= 25kNm

Thay vào (III)  3(+)=1,5

Phương pháp tĩnh xác định cận dưới của tải trọng giới hạn

Trên cơ sở cơ cấu (III) chọn trường nội lực: M1=-Mp= -25kNm;

1,5 thỏa mãn phương trình cân bằng (III)

Thay vào (I)  M2= 15kNm < Mp= 25kNm

Theo định lý tĩnh (-)= 1,5

 (+)= (-)= p= 1,5

- Nhận xét: Phương trình (III) = (I) + (II), vậy phương trình

(III) không phải là phương trình độc lập, mà là tổ hợp tuyến tính

của phương trình (I) và (II)

5 Phương pháp tổ hợp các cơ cấu độc lập

Cơ cấu độc lập:

- Theo nguyên lý chuyển vị khả dỉ với mỗi cơ cấu phá hủy giả

thiết, ta thiết lập được một phương trình cân bằng tương ứng

- Trong số các phương trình này chỉ có một số phương trình độc

lập, các phương trình khác là tổ hợp tuyến tính các phương

trình độc lập

- Các cơ cấu ứng với phương trình độc lập được gọi là cơ cấu

độc lập, các cơ cấu độc lập thường được chọn là các cơ cấu

đơn giản nhất như cơ cấu thanh, cơ cấu nút, cơ cấu hình bình

Nội dung của phương pháp:

- Chọn cơ cấu phá hủy giả thiết là tổ hợp tuyến tình các cơ cấu

độc lập

- Từ phương trình cân bằng của cơ cấu phá hủy giả thiết này,

xác định tham số taỉ trọng tương ứng nhờ phương pháp động

cho cận trên (+) và phương pháp tĩnh tìm cận dưới (-) của tải

trọng giới hạn

- Nếu cận trên và cận dưới trùng nhau ta có tham số tải trọng

giới hạn của bài toán Nếu cận trên không trùng với cận dưới ta

chọn cơ cấu phá hủy khác và tiến hàng tương tự

Chú thích:Để có tải trọng phá hủy của cơ cấu giả thiết gần với

tham số tải trọng giới hạn, trong phương trình cân bằng ứng với

cơ cấu giả thiết cần chọn tổ hợp cơ cấu độc lập làm tăng công

của ngoại lực và giảm công nội lực tại các khớp dẻo

Ví dụ 1

Xác định tải trọng giới hạn của khung một tầng hai nhịp

có kích thước và các số liệu tính toán cho ở hình vẽ

- Khung có r = 6 bậc siêutĩnh, có n = 10 mặt cắtđiển hình, vậy có n - r = 4phương trình cân bằngđộc lập

- Chọn 4 cơ cấu độc lậpgồm 2 cơ cấu thanh, 1 cơcấu hình bình hành và 1

cơ cấu nút

Xác định cận trên của tải trọng giới hạn ứng với cơ cấu phá hủy

giả thiết (V) theo phương pháp động:

Trường nôi lực ở trên thỏa mãn điều kiện cân bằng và điều kiện

cường độ, theo định lý tĩnh = 1,65 là cận dưới của tải trọng giới

hạn Vậy tải trọng giới hạn của khung bằng:

 (+)= (-)= p= 1,65

Biểu đồ mô men uốn ứng với tải trọng giới hạn

Xác định cận dưới của tải trọng giới hạn theo phương pháp tĩnh:

Giả thiết trường nội lực trên với = 1,65 và thay vào (I) ~ (IV) được

M1= 15 < 30

M4= - 30 > - 60

M6= 52,5 < 60

Ví dụ 2

Xác định tải trọng giới hạn của khung hai nhịp lệch tầng

có kích thước và các số liệu tính toán cho ở hình vẽ

Mômen dẻo Mp= 48kNm

- Khung có r = 6, n = 11,

n - r = 5

- Chọn 5 cơ cấu độc lậpgồm 2 cơ cấu thanh, 2 cơcấu hình bình hành và 1

cơ cấu nút như ở trangbên

Lựa chọn các cơ cấu phá hủy

Phương trình cân bằng độc lập và tham số tải trọng phá hủy

Xác định cận trên của tải trọng giới hạn ứng với cơ cấu phá hủy

giả thiết (VI) theo phương pháp động:

M1= + 48 M3= - 48 M7= + 48 M8= - 48

M9= - 48 M10= +48 M11= 48

Thay vào (VI)   (+)=1,5

Xác định cận dưới của tải trọng giới hạn theo phương pháp tĩnh:

Giả thiết trường nội lực trên với = 1,5 và thay vào (I) ~ (V) được

M2= 27 < 48

M4= 12 < 48

M5= 30 < 48

M6= -18 > -48

Trường nôi lực ở trên thỏa mãn điều kiện cân bằng và điều kiện

cường độ, theo định lý tĩnh = 1,5 là cận dưới của tải trọng giới

hạn Vậy tải trọng giới hạn của khung bằng:

 (+)= (-)= p= 1,5

Biểu đồ mô men uốn ứng với tải trọng giới hạn

Ôn tập

CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI

1 Chuyển động quay quanh một điểm cố định

2 Chuyển động tịnh tiến

3 Chuyển động song phẳng

4 Phân tích chuyển động và viết pt cân bằng

Khớp dẻo hình thành tại các mặt cắt 2, 3, 4 và 5

(I) - M2+ 3M3– 4,25M4+ 2,25M5= 12W×6 + 7W×9 =135W

Khớp dẻo hình thành tại các mặt cắt 1, 3, 4 và 5

(II) - M1+ 3M3– 5,25M4+ 3,25M5= 4W×4+12W×6+7W×13 =179W

Khớp dẻo hình thành tại các mặt cắt 1, 2, 4 và 5

(III) - M1+ M2- M4+ M5= 4W×4+7W×4 = 44W

CHƯƠNG 3

PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG DẦN

1 Nội dung của phương pháp

- Với kết cấu chịu tải trọng tập trung, các mặt cắt tại vị trí đặt

lực và tại các nút là các mặt cắt điển hình (mặt cắt có thể hình

thành khớp dẻo)

-Với kết cấu chịu tải trọng phân bố, nếu chỉ có hai mặt cắt hai

đầu thanh chịu tải trong phân bố thì không thể đăc trưng cho

thanh đó, vì có thể có mômen uốn lớn hơn ở trong nhịp

-Nội dung của phương pháp gần đúng dần dựa trên cơ sở

phương pháp tĩnh và động, đồng thời lấy trường phân bố

mômen nội lực trong giai đoạn trước làm cơ sở để chọn cơ cấu

phá hủy giả thiết trong bước sau Việc lặp này được thức hiện

cho đến khi lời giải hội tụ

2 Trình tự tính toán

- Xác định các mặt cắt điển hình, đối với các thanh chịu tải trọng

phân bố, ngoài hai mặt cắt ở hai đầu thanh, cần chọn thêm một

mặt cắt nữa ở giữa thanh, hoặc một vị trí nào đó trong nhịp

- Xác định cơ cấu phá hủy và tham số tải trọng giới hạn, vẽ biểu

đồ mômen uốn ứng với cơ cấu phá hủy này

- Từ biểu đồ mômen uốn xem xét nếu mômen uốn trong nhịp của

thanh chịu tải trọng phân bố cũng thỏa mãn điều kiện cường độ,

thì ta có tải trọng giới hạn của bài toán Nếu không ta chỉ nhận

được cận trên và cận dưới của tải trọng giới hạn của bài toán

- Tiếp đến ta coi vị trí có mômen không thỏa mãn điều kiện

cường độ là mặt cắt điển hình mới thay cho mặt cắt cũ Việc tính

lặp này được thực hiện cho tới khi đạt được lời giải chính xác

(cận trên của tham số tải trong giới hạn trùng với cận dưới)

hoặc có thể dừng khi lời giải gần đúng đạt được độ chính xác

mong muốn

- Với dầm đơn có nhịp L, chịu tải trọng phân bố đều q và hai

mômen tập trung ở đầu trái MLvà đầu phải MRnhư hình vẽ Vị trí

xo, yo, zo và giá trị mômen Mmax ở trong nhịp dầm được xác định

theo công thức dưới Khi giá trị xo, yo, zo nằm ở ngoài nhịp dầm,

thì trong dầm không xuất hiện mômen cực đại Mmax

L 2 / Wz M

M

W / M M 3 M 4 z

L 2 / Wy M

M

W / M M y

L 2 / Wx M

M

W / M M 3 M 4 x

2 o R

max

L R C

o

2 o C

max

L R o

2 o L

max

R L C

Ví dụ 1

Xác định tham số tải trọng giới hạn của khung có kích

thước và chịu tải trong cho ở hình vẽ bằng phương pháp

gần đúng dần

- Khung có r = 6, n = 10

và n - r = 4

- Chọn 4 cơ cấu độc lậpnhư ở trang bên

Phương trình cân bằng độc lập và tham số tải trọng phá hủy tương ứng:

(I) - M1+ 2M2- M3= 16×2,5×2,5 = 100  1(+)= 2,1

(II) - M4+ 2M6- M7= 16×2,5×2,5 = 100  2(+)= 2,1

(III) M1+ M5- M7- M8- M9+ M10= 25×4 = 100  3(+)= 1,8

(IV) - M + M - M = 0

Chọn cơ cấu phá hủy giả thiết là cơ cấu tổ hợp các cơ cấu độc lập:

(V) = (I) + (III)2M2- M3+ M5- M7– M8- M9+ M10= 200

Xác định cận trên của tải trọng giới hạn ứng với cơ cấu phá hủy

giả thiết (V) theo phương pháp động:

Thay vào (V)  5(+)=1,65

M2= + 60 M3= - 60 M5= + 30 M7= - 30

M8= -30 M9= - 30 M10= +30

Xác định cận dưới của tải trọng giới hạn theo phương pháp tĩnh:

Giả thiết trường nội lực trên với = 1,65 và thay vào (I) ~ (IV) được

L2/Wy

M

M

m568,0565,116/15-60-W/M

M

y

2 2

o C

Từ biểu đồ mômen cho thấy ở trong nhịp dầm 1-3 có

Mmax=64,26kNm > Mp, nên trường nội lực (*) chưa thỏa mãn điều

kiện cường độ

  1,54   1,65

26,64

6065,

Cận dưới của tham số tải trọng giới hạn:

Bước tiếp theo chọn mặt cắt điển hình mới 2* trong nhịp dầm 1-3,

cơ cấu dầm trong trường hợp này cho ở hình vẽ dưới đây:

Phương trình cân bằng ứng với cơ cấu (I*):

Cận dưới của tải trọng giới hạn : Giả thiết trường nội lực trên với

= 1,61 và thay vào (I) ~ (IV) được

M1= 11,08 < 30 M2= 56,08 < 60

M4= - 30 > - 60 M6= 50,53 < 60

Biểu đồ mômen uốn của dầm ngang ứng với= 1,61:

2 o C

M

M

m55,0561,116/08,11-60-W/M

Trường nội lực ở trên thỏa mãn điều kiện cân bằng và điều

kiện cường độ, theo định lý tĩnh ta có (-) =1,61

 (+)= (-)= p= 1,61

Ví dụ 2

Xác định tham số tải trọng giới hạn của khung có kích

thước và chịu tải trong cho ở hình vẽ bằng phương pháp

gần đúng dần

- Khung có n = 3, r = 1 và n - r = 2

- Chọn 2 cơ cấu độc lập như ở trang bên

Phương trình cân bằng độc lập :

(I) M1- M3= 0

(II) 2M2- 2,8M3= 4×14×7/2 = 196

Cơ cấu phá hủy giả thiết là cơ cấu (II):

Cận trên của tải trọng giới hạn

M2*= + 60 M3= - 60

Thay vào (II)  (+)=1,469

Cận dưới của tải trọng giới hạn: giả thiết trường nội lực

     

4 1,469 7 0,584 /2 7 61kNm60

L2/WzM

M

m584,0916

M

y

2 2

o R

max

o

L R

Từ biểu đồ mô men cho thấy ở trong nhịp dầm 1-2 có

Mmax=61kNm > Mp, nên trường nội lực trên chưa thỏa mãn

điều kiện bền

61

60469,

Cận dưới của tham số tải trọng giới hạn:

Bước tiếp theo chọn mặt cắt điển hình trong nhịp dầm 1-2 tại mặt

cắt 4, cơ cấu giả thiết mới (II*) trong trường hợp này cho ở hình

vẽ dưới

m833,6y416

Cận dưới của tải trọng giới hạn: giả thiết trường nội lực ở trên

L2/WxM

M

m003,0205,3416

M

y

2 2

o R

max

o

L R

,58L2/WzM

M

m588,0912,2

M

y

2 2

o L

max

o

L R

Vậy cận dưới của tải trọng giới hạn là (-)= 1,459

Sau một lần lặp ta có tải trọng giới hạn bằng: (+)= (-)= p= 1,459

CHƯƠNG 4

CHUYỂN VỊ Ở THỜI ĐIỂM PHÁ HỦY DẺO

1 Các giả thiết

• Khớp dẻo chỉ hình thành khi mômen

uốn tại mặt cắt đạt mômen dẻo

• Góc xoay tương đối tại khớp dẻo

tăng, mặc dù mômen uốn không đổi

• Tại tiết diện bất kỳ:

- Mp< M < Mp  = 0

M = Mp  > 0

M = - Mp  < 0

      

trong đó: M, - trường mômen uốn và góc xoay thực

- trường mômen khả dĩ chọn bất kỳ thỏa mãn điều kiện cân bằng

trong trường hợp tất cả các ngoại lực cho bằng không, trừ một lực

ứng với chuyển vị  lấy bằng đơn vị

Nếu các phân tố của kết cấu là các thanh thẳng, các mômen và

M hoặc m* và M biến đổi tuyến tính và EJ=const như ở hình dưới

đây thì tích phân phương trình cân bằng và phương trình liên tục

có thể xác định theo công thức sau:

Ví dụ 1

Xác định chuyển vị thẳng đứng tại mặt cắt 2 ở thời điểm

phá hủy dẻo, cho biết dầm có ẸJ=const và Mp=const như

ở hình vẽ dưới đây

Dầm có n = 4 phương trình, r = 2 phương trình liên tục và n - r = 2

phương trình liên cân bằng

M6

p với M1= - Mp; M2= Mp; M4= - Mp và M3=3Mp/5

- Phương trình liên tục: Phương trình liên tục được xác định từ

phương trình cân bằng với trường mômen dư khả dĩ m* khi cho các

ngoại lực bằng không (P=0):

- 2m1+ 3m2- m4= 0

- m1+ 3m3- 2m4= 0

Trường mômen khả dĩ phải thỏa mãn phương trình cân bằng

(I) và (II) khi cho lực P1= 1 và P2= 0:

*

M

L2MM3M

2 1 2  4 



LM2M3

EJk = M



3 0

- L

M1=-Mp

1

2 1 0

M2=Mp

2

1 2 0

M3=3Mp/5

3

0 3 0

Thực hiện phép tính tích phân phương trình liên tục với trường lực

dư khả dĩ và trường chuyển vị thực chọn như ở bảng trên, ta có:

30 EJ     

Dấu của  phải cùng dấu với M, nên dấu của 1và 4phải mang dấu

âm (-), còn 2phải mang dấu dương (+), vậy từ biểu thức trên cho

thấy khớp dẻo hình thành cuối cùng là khớp 2

Trước khi hình thành khớp dẻo cuối cùng 2= 0, thay 2= 0 vào

biểu thức trên ta được:

Ví dụ 2

Xác định chuyển vị ngang ở mặt cắt 4 của khung tại thời

điểm phá hủy dẻo, cho biết khung có EJ=const và

Mp=const như ở hình dưới đây.

Dầm có n = 5 phương trình, r = 3 phương trình liên tục và n-r = 2

phương trình cân bằng

CHƯƠNG 5

PHƯƠNG PHÁP GIA TẢI TỪNG BƯỚC

1 Nội dung của phương pháp

• Phương pháp gia tải từng bước dựa trên cơ sở định

lý tĩnh

• Tăng dần tải trọng từ 0 các khớp dẻo lần lượt hình

thành cho đến khi kêt cấu trở thành cơ cấu, tải trọng

tương ứng là tải trọng giới hạn của kết cấu

• Gia số tải trọng ứng với sự hình thành của hai khớp dẻo liên tiếp

nhau được gọi là một bước gia tải

• Sau khi xuất hiện khớp dẻo thứ i, mà kết cấu vẫn còn là hệ bất biến

hình học, nghĩa là trường nội lực mômen vẫn còn thỏa mãn điều

kiện về cường độ, thì theo định lý tĩnh tải trọng tương ứng này là

cận dưới của tải trọng giới hạn

• Tiếp tục tăng tải trọng cho đến khi số lượng khớp dẻo hình thành

vừa đủ để kết cấu trở thành cơ cấu thì theo định lý duy nhất tham số

tải trọng tương ứng này là tham số tải trọng giới hạn

• Tải trọng giới hạn bằng tổng các gia số tải trọng ứng với mỗi bước

gia tải:

• Trạng thái kết cấu trong khoảng hai khớp dẻo xuất hiện kế tiếp nhau

là đàn hồi tuyến tính và trường nội lực trong mỗi bước gia tải này có

thể xác định theo phương pháp lực hay phương pháp chuyển vị

m

(i) p

i 1



M - vectơ mômen uốn

 - vectơ góc xoay tương đối

A, B, C - ma trân và vectơ các hệ số

Ví dụ 1

Xác định tải trọng giới hạn của dầm hai đầu ngàm cho ở

hình vẽ bằng phương pháp gia tải từng bước, cho biết

Các phương trình trên được viết dưới dạng ma trận với các ẩn biểu

diễn dưới dạng gia số

1 2 3 4

Ở bước này toàn dầm còn nằm trong giai đoạn đàn hồi (chưa xuất

hiện khớp dẻo), nên góc xoay tương đối tại các mặt cắt có:

M 1,111 W L

(1) (1) 2

M 0,630 W L

(1) (1) 3

M 0,370 W L

  (1) (1) 4

Mômen uốn lớn nhất bằng -1,111W(1) tại mặt cắt 1 (khớp dẻo

xuất hiện đầu tiên tại mặt cắt 1) và giá trị này đạt mômen dẻo khi:

Thay W(1)vào (*)ta có gia số mômen uốn tại các mặt cắt khác:

Trường nội lực này thỏa mãn điều kiện cân bằng, nhưng số

khớp dẻo chưa đủ để kết cấu trở thành cơ cấu, nên W(1)là cận

dưới của tải trọng giới hạn

Bước thứ hai:

Khi tải trọng bằng và lớn hơn W(1)khớp dẻo hình thành tại mặt cắt

1 và mômen tại mặt cắt này giữ giá trị - Mpdù tải trọng có tăng, vậy

ta có điều kiện biên:

(2) 1

Trong bước này số bậc siêu tĩnh giảm một bậc, nhưng số ẩn vẫn là 4

Thay điều kiện biên trên vào phương trình (*) và giải ra ta có

Từ kết quả tính toán qua hai bước nhận thấy mômen uốn lớn nhất

xuất hiện tại mặt cắt 4:

L(12 M 6 M M )18EJ

Từ kết quả tính toán qua ba bước nhận thấy mômen uốn lớn nhất

xuất hiện tại mặt cắt 2: