Luận văn thạc sĩ khoa học: Nghiên cứu biến động của lượng mưa mùa mưa khu vực Đông Bắc

Từ những chuỗi dữ liệu này người ta phân tích và rút ra những quy luật của một quá trình được mô tả thông qua chuỗi dữ liệu, từ đó có thể đưa ra những dự báo hay những quyết định đúng đắ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

ĐẶNG VĂN THOẠI

MỘT SỐ MÔ HÌNH PHÂN TÍCH

CHUOI THỜI GIAN VÀ UNG DUNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2013

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN -CƠ- TIN HỌC

(

DANG VAN THOAI

MOT SO MO HINH PHAN TICH

CHUOI THỜI GIAN VA UNG DUNG

LUAN VAN THAC SI KHOA HOC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thong kê toán học

Mã số: 60460106

Người hướng dẫn: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2013

LỜI CÁM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của Luận văn em xin được bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH BANG HÙNG THANG - người

đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy

cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên,

Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã tham gia giảng dạy và giúp đỡ em trongsuốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dip này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới

gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong

suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

PHẦN MỞ ĐẦU

Nhân loại đã bước sang thập niên thứ hai của thế kỉ 21 Cùng với

sự phát triển không ngừng của các lĩnh vực kinh tế- xã hội, các mônkhoa học cơ bản cũng đã đạt được rất nhiều thành tựu đáng kể Đặcbiệt là trong lĩnh vực Toán học, rất nhiều kết quả thu được khôngnhững giúp nhân loại giải quyết các bài toán có tính chất lý thuyết màcòn góp phần giải quyết các được bài toán thực tế của cuộc sống đặt

ra Trong đó phải kể đến bộ môn Xác suất- Thống kê Xác suất-Thống

kê hiện nay đang là một trong những ngành Toán học thu hút được

rất nhiều sự quan tâm của không chỉ các nhà khoa học mà còn có cảcác nhà quản lý, nhà đầu tư

Dự báo là lĩnh vực ra đời từ rất sớm, gắn liền với cuộc sống thực

tiễn của con người từ xa xưa Các quan sát trong thực tế thường được

thu thập dưới dạng chuỗi dữ liệu Từ những chuỗi dữ liệu này người

ta phân tích và rút ra những quy luật của một quá trình được mô tả

thông qua chuỗi dữ liệu, từ đó có thể đưa ra những dự báo hay những

quyết định đúng đắn, kịp thời Ví du như dự báo thời tiết, dự báo chỉ

số chứng khoán, mức tăng dân số, dự báo nhu cầu sử dụng điện, dựbáo số lượng sinh viên nhập học của một trường đại học

Các kết quả ứng với từng thời điểm được ghi lại tạo thành một

chuỗi thời gian Chuỗi thời gian đang được sử dụng như một công

cụ hữu hiệu để phân tích trong nhiều lĩnh vực của kinh tế, xã hộicũng như trong nghiên cứu khoa học Chính do tầm quan trọng đó

mà nhiều tác giả đã dé xuất những mô hình khác nhau để phân tíchchuỗi thời gian như là các mô hình hồi qui, phân tích Furie Trong đó

mô hình ARIMA của Box-Jenkins là mô hình được đánh giá rất cao

Mô hình cho kết quả khá tốt trong phân tích dir liệu Tuy nhiên, sự

phức tạp của thuật toán đã gây ra những khó khăn trong quá trình

phân tích, nhất là khi chuỗi số liệu có những thay đổi phản ánh sự phituyến của mô hình như chuỗi thời gian tài chính

Trong khuôn khổ của Luận văn, tác giả đã trình bày về mô hìnhphương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy (ARCH) và một

số mô hình mở rộng của nó (GARCH, GARCH — M, TGARCH) Sau

đó, các mô hình này được áp dụng vào việc định giá quyền chọn của

cổ phiếu IBM Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 6

chương có nội dung tương ứng như sau:

e Chương 1: Những khái niệm ban đầu

e Chương 2: Mô hình ARCH

e Chương 3: Mô hình GARCH

e Chương 4: Mô hình GARCH — M

e Chương 5: Mô hình TGARCH

e Chương 6: Ứng dụng của các kiểu mô hình ARCH trong việc

dự báo Phần mềm R có thể chạy trên nhiều hệ điều hành, sử dụngngôn ngữ lập trình hiện đại và đang được sử dụng rất phổ biến trênthế giới

Mục lục

Lời cám ơn| -<cccc {S2 1

Phan mỡ đâu| -.-. -. ii

Chương 1.Những khát niệm ban đầu 55a o5 2

1.1.|Quá trình dting| 000 cece eee reece ee ences 2

1.1.1.|Quá trình ngẫu nhiên| c co 2

1.1.2.|Hàm trung bình và hàm hiệp phương sai| 2

1.1.3.|Quá trình đừng| ẶẶQẶ se 3 1.1.4.|Hàm tự tương quan và hàm tương quan riêng| 4

1.2.|Mô hình ARMAI Ặ 5 1.2.1.|Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMAIL 5 1.2.2.|Đánh giá về mô hình ARMAI cccccẶcc: 6

1.3.|Lợi suất cổ phiếu| - 6

Chương 2.|Mô hình ARCHỊ 9

2.1.|Cầu trúc của mô hằnhÌ cv) 9

2.7.|Ưu và nhược điểm của mô hình ARCH

1V

¬ oO

Chương 3.|Mô hình GARCHI 30

3.2.|Tính chat

3.2.1.|GARCH được biểu diễn như là ARCH (œ) | 31

3.2.2.|Điều kiện đừng| ence eee e teen nh nhu 32

3.2.3.|Moment không có điều kiện

4.6.|Một vài lưu ý khi áp dụng| 54

Chương 5.|Mô hình TGARCHI 55

5.1.|Cu trúc mô HINA, sees ee 2c 2 122121221212212156 55

5.2 Am tees eietestetettetetttteteeste 56

Ưu và nhược điểm của mô hình TGARCHI 62

5.5.

Danh sách hình ve

1.1 Giá cổ phiếu IBM hàng tuần (3/1/2000 - 21/10/2013)| 4

7

1.2 Biểu đồ phân bồ lợi suất hàng tuần và phân phối chuẩn|

2.1 Đồ thị ACF của lợi suất hàng tuần (IBM)

vii

6 ệ na Z aN ệ 41

3.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cay 413.3 Đồ thì QQ-std của phần dư| 423.4 Phần dư và phan dư chuẩn hóa| 423.5 Các hệ số tương quan của phan dư chuẩn hóa và bình

phương phan dư chuẩn hóa| 433.6 Kết quả dự báo của GARCH trong 10 bước| 443.7 Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mô phỏng] 463.8 Phân bố của chuối mô phỏng| 46

4.1 Sai số chuẩn có điều kiện 51

4.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy 52

4.3 Đồ thị QQ-std của phan dư trung bình| 52

4.4 Phần dư và phan dư chuẩn hóa| 534.5 Các hệ sô tương quan của phan dư chuẩn hóa và bình

phương phần dư chuẩn hóa| 534.6 Kết quả dự báo GARCH-M trong 10 bước| 54

5.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy 605.3 Đồ thịQQ-std của phần dư| 615.4 Phần dư và phan dư chuẩn hóa|l 615.5 Các hệ số tương quan của phan dư chuẩn hóa và bình

phương phan dư chuẩn hóa|l 625.6 Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mô phỏng 635.7 Phân bố của chuỗi mô phỏng| - 63

6.3 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $200 bằng các

kiểu mô hình ARCH| 71

6.4 Dự báo giá quyên chon với giá thực thi $205 bằng các

Chương 1

Những khái niệm ban đầu

1.1 Quá trình dừng

1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên

Cho (O, E, P) là không xác suất; Br là o— trường Borel trên R

Định nghĩa 1.1 Một quá trình ngẫu nhiên { X(t);t € IR} là một ham hai

biến xác định trên IR x Ova là hàm do được đối uới o— trường Br x F

Giả sử X(t),t € T là một quá trình (ngẫu nhiên), trong đó T là

tập chỉ số thời gian Tập chỉ số T có thể là tập thời gian liên tục R =(—œ; +œ); Rt = [0;-+œ) hoặc rời rac Z = {0; +1; +2; }

Định nghĩa 1.2 Quá trình X(t),t € IR được gọi là một quá trình cap 2

nếu E|X (t)|Ÿ < œ;Vt 6 IR

1.1.2 Hàm trung bình và hàm hiệp phương sai

Định nghĩa 1.3 Hàm trung bình của quá trình ngẫu nhiên X (t) kí hiệu là

m(t) va được tính theo công thức m(t) = EX (t).

Hàm hiệp phương sai của quá trình ngẫu nhiên kí hiệu là r(s,†) va được

tính theo công thức

r(s;Ð) = Cov [X (s);X (Đ] = E[(X (s) m(s)) (X (f) = m(0))}

phụ thuộc vao s — t hay r(s; s +h) không phụ thuộc va s uới mỗi h € IR

Nói cách khác quá trình X(t),t € IR là quá trình dừng nếu nó có

cùng hàm trung bình va hàm hiệp phương sai với quá trình Y(t) =

X(t+h),Vh eR

Dinh nghĩa 1.5 Quá trình X(t),t € R duoc gọi là quá trình dừng mạnh

(hay dừng theo nghia hẹp) nếu uới mọi h € R, va vi moi 1 <t¿< < tạthì ham phân phối “ong thời của {X(H +h); X(t› + h); ; X(t„ + h)} va

của {X(H); X(ta); ; X(t„)} là như nhau.

Điều đó có nghĩa là phân phối hữu hạn chiều không thay đổi khi

ta tịnh tiến bộ chỉ số thời gian (f1; fa; ; tn)

Định nghĩa 1.6 Chudi thời gian { X(t),t € T} hay X(t),t € T là tập hop

các giá trị quan sát theo thời gian t,t € T vé cùng một đối tượng Nếu T làtập roi rac thì X (t) được gọi là chuỗi thời gian rời rac Nếu T là liên tục thì

X () được gợi là chuỗi thời gian liên tục.

Định nghĩa 1.7 Chuỗi thời gian X(t) được gợi là dừng nếu X(t) là quá

trình dừng.

Ví dụ về chuỗi thời gian

1.1.4 Hàm tự tương quan và hàm tương quan riêng

Định nghĩa 1.8 Cho { X(£)} là chuỗi thời gian dừng Hàm tự hiệp phương

sai (ACVP) ưới độ trễ h của { X(t)} là

r(h) = Cov(X(t); X(t+h))

Ham tự tương quan (ACF) của {X(t)} v6i độ tréh là

Ham tương quan riêng (PACE) kí hiệu là py, va duoc tinh theo công thức

Pre = Corr(Yt,Y;—k|Y4—1„ Y:—2„ , Yy—+1)

1.2 Mô hình ARMA

1.2.1 Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA

Định nghĩa 1.9 Quá trình ngẫu nhiên {Z‡;t € T} được gọi là day ồn

trắng, kí hiệu {Z¿} ~ WN (0; ơ2?) nếu nó théa mãn các điều kiện sau:

EZ;Z; =0,Vt #5

EZ; = 0;EZ? =07?; Wt eT

Dinh nghĩa 1.10 Quá trình ngẫu nhiên {X1;t € T} được gọi là quá trình

tự hôi quy cap p, kí hiệu X; ~ AR (p) nếu {Xị;t € Z} thôn mãn

Xt = Ag + a, X¢_-4 +ñ2X¡— 2+ + Ap Xt—p + Zt; Ap #0Trong đó {Z¿} ~ WN (0;07)

Điều kiện dé quá trình AR(p) dừng là các nghiệm của phương

P \

trình đặc trưng 1— }; aj;L' = 0 nam ngoài vòng tròn đơn vị.

i=1

Dinh nghĩa 1.11 Quá trình ngẫu nhiên {Xị,t € T} được gọi là quá trình

trung bình trượt cấp q, kí hiệu X} ~ MA (q) nếu thỏa man

Xt = Z¡+ by Z4-4 + b2Z¡—2 T+ + byZt—q

Trong đó {Z;} ~ WN (0;07) ,b; € R,b, # 0

Điều kiện để quá trình MA(q) khả nghịch là các nghiệm của phương

trình đặc trưng 1 + xy b;L' = 0 nằm ngoai vong tron don vi.

i=

Dinh nghĩa 1.12 {X;} là mmột quá trình trung bình trượt tự hdi quy cấp

(p,q), kí hiệu X: ~ ARMA(p;q) nếu {Xt} thỏa man

Xi— điX¡ 1— ¡T2 — — pXt—p = Pot Ze +0424-1+692,—2 + + OgZt—q

Trong đó {Z¡} ~ WN (0;07)

Quá trình ARMA ( p,q) dừng khi và chỉ khi các nghiệm của phương

trình đặc trưng 1— }_ iL! = 0nằm ngoai vong tron don vi

i=1

1.2.2 Đánh giá về mô hình ARMA

Mô hình ARMA thu được thành công lớn khi áp dụng cho các

chuỗi thời gian xuất phat từ các lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ

thuật nhưng thất bại khi áp dụng cho các chuỗi thời gian kinh tế vàtài chính Nguyên nhân chính là giả thiết về mặt toán học phươngsai của các chuỗi thời gian tài chính không thay đổi theo thời gian là

không phù hợp Vì vậy mô hình ARMA có thể dự báo được kỳ vọng

nhưng thất bại khi dự báo phương sai của chuỗi thời gian tài chínhnhư day lợi nhuận của một tài sản (cổ phiéu) Đã có nhiều ví dụ thểhiện rõ sự không phù hợp của mô hình ARMA đối với chuỗi thời gian

tài chính.

Mặc dù mô hình ARMA tỏ ra không phù hợp với chuỗi thời gian

tài chính nhưng những kỹ thuật mà nó cung cấp là một cơ sở rất quan

trọng và mang lại nhiều gợi ý cho các công trình nghiên cứu về chuỗi

thời gian sau Box-Jenkins Chính Box-Jenkins là những người đầu tiên

đưa ra các kỹ thuật lấy sai phân để khử khuynh hướng tất định nhằm

tăng khả năng dừng của một chuỗi thời gian Với những vận dụng

sáng tạo khái niệm khuynh hướng này, những người nghiên cứu đi

sau Box - Jenkins đã cho ra đời hai lớp mô hình rất quan trọng đối

với chuỗi thời gian tài chính Đó là mô hình cộng tích, Cointegration

(Granger,1981) và mô hình phương sai có điều kiện thay đổi tự hồi quyARCH Mô hình ARCH là cống hiến mang tính khai phá của Engle,

nó có thể giải thích sự bất thường của phương sai mà chỉ sử dụng

những thông tin quá khứ của bản thân nhiễu Mô hình ARCH và một

số mở rộng của nó sẽ được tác giả lần lượt trình bày trong các chươngtiếp theo của luận văn

1.3 Lợi suất cổ phiếu

Trong thực tế, có rất nhiều dữ liệu tài chính như chuỗi lợi suất cổ

phiếu được coi như một là chuỗi thời gian Tuy vậy, việc nắm bắt được

các đặc trưng của chuỗi thời gian tài chính là điều rất khó khăn Trong

mục này tác gia sẽ trình bày một số tinh chất đặc trưng của lợi suất và

cố gang minh họa điều đó bằng những vi dụ

e Chuỗi lợi suất có phần đuôi nặng hơn chuỗi có phân phối chuẩn

So sánh đồ thị mật độ của chuỗi lợi suất với mật độ phân phốichuẩn có cùng trung bình và phương sai, ta có thể thấy rằng

chuỗi lợi suất có phân bố cao hơn và gầy hơn nhưng có phần

đề rộng hon so với mật độ phân bố chuẩn

Biểu đồ phân bó lợi suất hàng tuần của IBM density.default(x = x)

Hình 1.2: Biểu đồ phân bố lợi suất hàng tuần và phân phối chuẩn

Loi suiắt hàng tuần cua IBM (3/1/2000 dén 21/10/2013)

e Mặc dù những biến động của tập các giá trị lợi suất ta không

quan sát được nhưng chúng có những tính chất đặc trưng là xuhướng bầy đàn Tức là lợi suất có thể biến động cao trong nhữngthời kì này và thấp trong các thời kì khác

Nhìn vào biểu đồ 1.3 ta thay, lợi suất hàng tuần của cổ phiếu IBM

cao vào giai đoạn (2000-2003) và (2007-2009)- khi cuộc khủnghoảng kinh tế bắt đầu Trong suốt từng thời kì những sự thay

đổi lớn thường được xuất hiện theo sau những sự thay đổi lớn.Lợi suất IBM tương đối ổn định (ít có sự thay đổi lớn) trong giai

đoạn (2003-2007)

e Những biến động của lợi suất có tính chất đòn bẩy Điều đó có

nghĩa là độ biến động của lợi suất thường xuất hiện để tác động

trở lại sự tăng hay giảm của giá cả.

e Lợi suất biến động theo thời gian theo cơ chế liên tục, tức là ít có

các bước nhảy của độ biến động lợi suất

e Lợi suất không phân kì đến vô vùng, nghĩa là lợi suất biến thiên

trong một miền xác định nào đó Về mặt toán học thi lợi suất tài sản thường là một chuỗi dừng.

Chương 2

Mô hình ARCH

Các mô hình kinh tế truyền thống thường giả định rằng phương

sai ở các thời kì dự báo là bất biến Tuy nhiên, trong thực tế điều này

không thật sự đúng đắn Vì thế Robert Engle đã dé xuất một mô hình

mới để phù hợp với các quá trình có gia số độc lập mà ở đó phương sai

có thể thay đổi theo thời gian nhưng vẫn thỏa mãn phương sai không

có điều kiện là hằng số Mô hình này được ông giới thiệu lần đầu tiên

vào năm 1982 [15] và được gọi là mô hình phương sai có điều kiện củasai số thay đổi tự hồi quy (ARCH)

2.1 Câu trúc của mô hình

Cho {X;} là chuỗi thời gian

Định nghĩa 2.1 Mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi

quy bậc p, kí hiéu ARCH(p) là mô hình có dạng

Xt = S(F;_—1;b) + at, at = €.0y

o? = Var (a;|Fy-1) = h(ap—1; -.; at—p;&)

Trong đó ¢(F;_1;b) là hàm của F;_¡ và vectơ tham số b; F;_ là tậphợp các thông tin có được cho tới thời điểm t — 1; p được gọi là bậc

của mô hình ARCH

Mô hình ARCH(p) tuyến tinh được sử dung rộng rãi trong việc

mô hình hóa chuỗi tài chính vì có khả năng nắm bắt các tính chất của

biến động và thể hiện nó một cách đơn giản

2.2 Tính chất

2.2.1 Sự biểu diễn tự hồi quy và hiệp phương sai dừng

Giả sử a; |F,_¡ ~ N (0;ơ?) tức là phân bố của a; với điều kiện Fy}

là phân bố chuẩn có trung bình 0 và phương sai 07 Đặt 1; = a? — 0?

Ta có Ey; = 0 và 7; là không tương quan (Tsay, 2005, trang 107) Khi

đó phương trình (2.1.1) có dạng

P

ar =aAg+ » ajar; + 4 (2.2.1)

i=1

Nhu vay a? là một quá trình tự hồi quy bậc p (AR(p)) Tính chat nay

rat hữu ích trong việc xác định bậc p phù hợp với mô hình ARCH cũng

Khi đó E (We |Fy_1) =b+ Awi-1

Thực hiện một cách liên tiếp ta có:

E(wilh-k) =b+ AE(wt-t|h—k)

=b+A(b+ AE(wt-z|,—k))

= b+ Ab+ A?((b+ AE (we |E, ¿))

= (1 tA+A?+ 4 Ak) b+ AFW¡_¿

Biểu thức nay độc lập với t nên với mọi giá tri của t ta đều có cùng mộtphương sai Giới hạn của biểu thức E (wt |F¡_¿) khi k tiến ra vô cùng

tôn tại khi và chỉ khi các giá trị riêng của A nằm phía trong đường trònđơn vị hay các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm ngoài vòng

tròn đơn vị (Anderson (1994) trang 177 [7])

2.2.2 Moment không có điều kiện

Moment của ARCH(p) có thể tìm được bằng cách sử dụng luật kì

vọng có điều kiện Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên, khi đó

E(X)=E((XIY))

Với giả thiết a; |F_¡ ~ N (0;07) ta có

E (at) = E(E (ar |Fi1)) = 0

Theo chứng minh ở mục 2.2.1 , với mỗi quá trình dừng ARCH(p) ta

có Var (a+) = E (a?) = a

1— ) 4;

i=1

thể không tổn tai, va nếu có tổn tai thi công thức của chúng là tương

Những moment bậc cao của a có

đối phức tạp ngay cả với những quá trình có bậc thấp Engle (1982)[15] đã chứng minh rằng với mô hình ARCH(1) moment cấp 2m tổn

Cho mô hình ARCH(1) thỏa mãn (2.2.2), e: ~ N (0;1) Ta có

E (ap |Fr1) = E (tơ |Fr1) = of E (e? |Fi-1) = of E (e?)

= 3(a9 + A2? 1)” = 3 (a5 + 2agaya?_, +87d£ 4)

(e; là độc lập cùng phân phối)

Vì vậy,

E(E (a‡|F,_1)) = 3E (a3 + 2ao&id? + + aia} 1)

+28owE (øƒ 1) + &†E (#ÿ 1)) + 2ao&IE (af) + atE (4/))

ao

3 («8 2a oar 5 " La7E (ot)

304 (1 2MoO) — với điều kiện 0 < 02 < 2 vì E (a!)

(1— ai) (1 — 3a) 3

Im — =)TH ~— I

Từ đó, E (at) =

xac dinh duong.

Bang những biến đổi đại số đơn giản ta tim được độ nhọn (không có

điều kiên) của ARCH(1) là

E|(m—E(8))ÍÌ — 3@(1+m) (1ã? 1 0

TỔ” [va @—a1) (1-308) sẽ - 1g

Do đó, a; nặng đuôi hon phân bồ chuẩn Tinh chất này vẫn đúng cho

mô hình ARCH tổng quát Các công thức cho các mô hình ARCH bậc

càng cao thì càng phức tạp hơn và sẽ không được thảo luận ở đây.

Phương sai có điều kiện 0? được tính đệ quy Hàm hợp lí (có điều

kiện) của mô hình ARCH{(ÿ?) là

Lay logarit cơ số tự nhiên của hàm hợp lí (có điều kiện) của quá trình

ARCH(p) ta thu được

T 2

" 1 1 2 1 (a;

=p+1 t

Giải phương trình đạo hàm bậc 1 cua (2.3.1) cho ta ước lượng hợp lí

cực đại của vectơ tham số a Engle (1982) [15] đã dua ra biểu thứccủa ma trận thông tin Fisher Với điều kiện chuẩn các khối ngoài

` Son An thêng Ho là Ế 1 dopo?) x 4.

đường chéo của ma trận thông tnlà } E | —,~+~+ ] Odaya

t=p+1 20} du ag

là vectơ tham số của phương sai điều kiện, g = g (F¡_ 1,b) là hàm trung

bình Theo định nghĩa của Engle (1982)[15], quá trình ARCH(p) là đối

xứng, tức là mô hình ước lượng phương sai có điều kiện của những

cú sốc dương (tích cực) và âm (tiêu cực) là như nhau Với moi quá

trình ARCH(p) chính quy và đối xứng thi các khối ngoài đường chéo

bằng 0 (Engle,1982) Điều này có nghĩa là những ước lượng và kiểm

định của a và ø(F,_1„b) có thể được tiến hành một cách riêng biệt.Engle đã đề xuất một quy trình ước lượng của mô hình ARCH mà ở

đó tham số b của (F;_1,b) là ước lượng ban đầu theo bình phương bénhất của phần dư a; Khi đó ước lượng hiệu quả ø của ø được tìm ra

bằng phương pháp ước lượng hợp lí cực đại ( MLE) Uớc lượng hiệuquả của b được xây dựng bằng cách sử dụng a Từ đó ta thu được

một tập hợp mới gồm các số dư của ø¡ Các bước này được lặp đi lặplại cho đến khi hội tụ và cho ta các ước lượng hợp lí cực đại của b và a

Sự ước lượng mô hình ARCH(p) được nói ở trên là dựa vào giả

thiết phan du a; có phân phối chuẩn Tuy nhiên giả thuyết này có thể

không đúng và / không còn được biểu diễn như trên Weiss (1986)[25]

đã chỉ ra rằng, thậm chí khi điều kiện phân phối chuẩn bị vi phạm,

miễn là hai moment đầu tiên được chỉ ra chính xác, việc ước lượng

tham số là phù hợp và tiệm cận chuẩn Do đó ước lượng các tham số

có thể vẫn thực hiện được bằng cách cực đại / và được gọi là ước lượng

tựa hợp lí cực đại (QMLE) Đối với phân phối có điều kiện đối xứng,

QMLE là gần chính xác như MLE, nhưng với phân phối không đối

xứng thì sự khác biệt là tương đối lớn

2.4 Kiểm định hiệu ứng ARCH

Bollerslev (1994) [12] nhân mạnh rằng kiểm định hiệu ứng ARCH(p)được xây dựng như một kiểm định đuôi vì các tham số của quá trình

ARCH(p) phải lớn hơn 0 Một cách thường được sử dụng để kiểm định hiệu ứng ARCH(ÿ?) là phương pháp kiểm định nhân tử Lagrange

RẺ là bình phương mối tương quan bội giữa f° và z, T là kích thước

mẫu Theo giả thết, ¢ là tiệm cận theo một phân phối x-bình phương

với p bậc tự do Engle (1982 ) [15] cho rằng đây là một bài kiểm định

tiệm địa phương mạnh nhất, tương tự như kiểm định khả năng hợp

lí và kiểm định Wald Ý tưởng của bài kiểm định rất đơn giản, néu có

hiệu ứng ARCH thì những cú sốc a; sẽ dự đoán được (ví như những

cú sốc lớn được theo sau bởi những cú sốc lớn) ngược lại nó sẽ biếnđổi một cách ngẫu nhiên và không thể dự đoán được Nếu chúng ta

có thể mô hình hóa biến động một cách thích hợp , thì những gì cònlại không giải thích được trong mô hình (như là các số dư) sẽ xuất

hiện như một quá trình ngẫu nhiên Chúng ta có thể sử dụng kiểm

định để kiểm tra hiệu ứng ARCH trước khi cố gắng mô hình hóa biếnđộng , và sau đó thực hiện kiểm định lại mô hình mà ta vừa lắp vào

dữ liệu Ta sé thu được mô hình phù hợp néu mô hình có thể nắm bắt

được kiểu biến thiên của dữ liệu Nếu mô hình chưa phù hợp , ta cóthể lặp lại quá trình trên cho đến khi mô hình vượt qua được các kiểmđịnh Tuy nhiên, như Bollerslev(1994) [12] đã đề cập, kiểm định LM làmột kiểm định cho những biến động có tính bay đàn hơn là phươngsai của sai số có điều kiện

Vì a? có thể được xem như là một quá trình tự hồi quy bậc p

-AR(p) nên ta cũng có thể sử dụng thống kê Q (Ljung-Box, 1978) đối

với chuỗi a?

Ho: p hệ số tương quan đầu tiên ACF của chuỗi a? đều bang không

H, : có ít nhất một trong p hệ số đầu tiên khác không

Q(p) =n(n+2) yo Poekay H—

Trong đó ø là kích thước của mau, ø.„„ (k) là ham tu tương quan mẫu

của {4:2} Với giả thiết Họ (hay không có hiệu ứng ARCH) thì Q (p) ~

x? (p) Trong các kiểm định trên nếu Họ được chấp nhận thì không có

hiệu ứng ARCH, ngược lại néu Hp bị bác bỏ thì có hiệu ứng ARCH

2.5 Dự báo

Dự báo mô hình ARCH được thực hiện theo phương pháp đệ quy

như dự báo đối với mô hình AR Xét mô hình ARCH(p) Giả sử ở

điểm gốc dự báo h, dự báo cho 7, là

Trong ví dụ này và các ví dụ tiếp theo tác giả đều sử dụng dữ liệu

là chuỗi giá lúc đóng cửa của cổ phiếu IBM (3/1/2000 - 21/10/2013)

đã được trình bày trong chương 1 Giả sử P; là giá tại thời điểm t của

cổ phiếu Dat r; = In (7): Khi đó ta thu được chuỗi quan sát {r;}

và gọi là chuỗi lợi suất cổ phiêu IBM Bây giờ ta sẽ sử dụng phần mềm

R để xây dựng một mô hình ARCH có thể miêu tả được chuỗi giá trị

vừa quan sát Các gói lệnh được sử dụng trong R là tseries, Timeseries, fGarch, rugarch va forecast

Dé lắp một mô hình vào chuỗi dữ liệu thì việc đầu tiên là ta phải

chọn được mô hình phù hợp Về cơ bản, ta sẽ cố gắng thử một vàiphỏng đoán Sau đó ta chọn mô hình có hệ số BIC, AIC nhỏ nhất Việcphỏng đoán có thể dựa vào cơ sở là trong mô hình ARCH(jp) thì dayphan dư bình phương có thể được biểu diễn bởi quá trình AR(p) Chú

ý rằng, hàm tự tương quan của chuỗi lợi suất là không tương quan nên

ta không thể lắp bất kì mô hình ARMA cho dữ liệu này Do đó bình

phương của chuỗi lợi suất có thể được xem như bình phương của dãy

phan dư a; Về mặt lý thuyết, quá trình AR(p) có PACF gần như bằng

0 với mọi độ trễ Ï > p Vì vậy nhìn vào dé thị PACF của day {øz?} ta có

thể xác định bậc phù hợp cho mô hình ARCH

Hình 2.1: Đồ thị ACF của lợi suất hàng tuần (IBM)

PACF của bình phương lợi suắt hàng tuần

0.20 |

0.415 0.10 |

0.05 |

0.05 0.00

Hình 2.2: Dé thị PACF của bình phương lợi suất

Ta thay PACF của day bình phương lợi suất có giá trị cao cho tới độ

trễ 13, nó bắt đầu có xu hướng giảm sau độ trễ 8 nên ta bắt đầu thử

với mô hình ARCH(8) để phân tích Trước tiên ta giả sử cú sốc a; có

phân phối chuẩn

garchFit (formula = ~garch(s, 90), data = loisuat, cond.dist = "norm"TM)

Mean and Variance Equation:

mo omega a1pha1 alpha2 alphas alpha4

0.002137793 o.00050811 0.11758359 O.03893324 o.1588s5091 0.03853699

alphes alphas alipha7 alphes

O.23220156 o.o00000001 o.o0000001 O.06882496

Log Likelihood:

1414.713 nmormalized: 1.967612

Description:

Sat Nov O2 17:33:34 2013 by user: IEC

Standardised Residuals Tests:

Statistic p-Value Jarque—-Bera Test R ChHi^2 335.3568 a

Shapiro-Wilk Test R Ww 0.9637154 2.366143e-12

Ljung-Box Test R Q(19) @.893551 0.542235

Ljung-Box Test R Q(15) 12.64189 0o.6299362

Ljung—-Box Test R Q(20) 21.90452 0.3457141

Lijung-Box Test E^2 Q(10) 3.282828 o.9739632

Ljung-Box Test E^2 Q(15) 7.312132 0o.9484025

Ljung—-Box Test “>2 O20) 9.107573 0.9816275

LM Arch Test R TR^2 5.47925 o.9400303

Information Criterion Statistics:

AIC Bic src HQIc

—-3.-S907407 -3-843738 -3.907787 -—-3-.-882826

Hình 2.3: Sai số chuẩn có điều kiện

Series with 2 Conditional SD Superimposed

Hình 2.5: Phan dư va phan dư chuẩn hóa

ACF of Standardized Residuals ACF of Squared Standardized Residuals fo} Qo 4

Hình 2.7: Dé thị QQ-norm của phan du

Ta thấy mô hình có hệ số AIC = -3,907407 và dé thị hàm tự tương

quan của phần dư cũng chỉ ra rằng mô hình giải thích các giá trị dữliệu khá tốt, các giá trị đều nằm trong 2 đường giới hạn với mọi độ trễ.Điều đó chứng tỏ rằng mô hình được xây dựng khá phù hợp với dữ

liệu Tuy nhiên, dé thị gnorm cho thấy có nhiều điểm không nằm trên

đường tiêu chuẩn Điều này cũng phù hợp với nhận xét ban đầu là mô

hình ARCH thường có phần đuôi nặng hơn phân phối chuẩn Vì vậy,

nếu chi giả thiết rằng những cú sốc a; có phân phối chuẩn là khôngthỏa đáng Do đó, ta tiếp tục xây dựng mô hình ARCH(8) nhưng vớigiả thiết ø;|F;_+ là phân phối t-Student Sử dung phần mềm R ta thu

được kết quả như sau:

ơi = 0,0003894 + 0,13147a?_, + 0,0748.a?_, + 0,08594.a?_,

+0,057013.ø2 , + 0,270179.a7_; + 0,024006.a?_, + 0,180276.42 s

> summary (fit)

Title:

GARCH Modelling

Call:

garchFit (formula ~garch (8,

Mean and Variance Equation:

alpha1 1.315e-01 6.395e

alpha2 7.480e-02 5.265e

alphas &.594e-02 7.O534e

alpha4 5 7O1e—-O2 4.992e

alphas 2.702e-01 S.004e

alpha6é 2.401e-02 3.550e

alphaTyT 1.000e-08 4.295e

alphas 1.803e-01 7.677e

shape 4.426e+00 7.-260e

0), data = loisuat, cond.dist

1pha1 alpha2 alpha3

47145 0.07479561 0.08594081 1pha7 alphas shape

12.216G19 o.6625967

20.74461 O.4122591 5.503455 0.8551153 8.013881 0.923225 9.768606 G.9721763 7.436859 O0.8274468

Information Criterion Statistics:

—-4.015061 -B.945024 —-4.015520 —-3.988021

Hình 2.8: Sai số chuẩn có điều kiện

Series with 2 Conditional SD Superimposed

Hình 2.10: Phần dư và phần dư chuẩn hóa

ACF of Squared Standardized Residuals

Hình 2.11: Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phương

phần dư chuẩn hóa

Hình 2.12: Đồ thị QQ-std của phần du tiêu chuẩn

Với giả thiết những cú sốc có phân phối t-student thì hệ số AIC =

-4,015061, thấp hơn so với mô hình có giả thiết phân phối chuẩn Tuynhiên sự khác biệt này không đủ lớn để cho rằng mô hình sau thực

sự tốt hơn Hình vẽ 2.9 cho thấy tat cả các giá trị dir liệu đều nằm bên

trong hai đường giới hạn tiêu chuẩn Điều đó cho thấy mô hình có

khả năng "chụp" được các hành vi của những biến động có điều kiện

Tham số "shape" kí hiệu chính là bậc tự do của phân phối t Từ đó

ta có thể kiểm định được giả thiết Họ : v = 4 và Hạ : # 4 Thống kê

4,426 — 4 à

z= “= = 0,587 Mặt khác, đô thị qstd cũng cho thay việc sử

dụng phân phối t-student giúp chúng ta minh họa phần đuôi của mô

hình ARCH tốt hơn Sau đây là kết quả dự báo trong 10 bước đầu tiên

Hình 2.13: Giá trị du báo cua ARCH trong 10 bước

2.7 Ưu va nhược điểm của mô hình ARCH

Mô hình ARCH đã và đang được sử dụng rộng rãi để phân tích bởi

vì nó có khả năng nắm bắt được một số tính chất của chuỗi tài chính

Rõ ràng từ cấu trúc của một mô hình ARCH tuyến tính ta thấy một

sự thay đổi lớn về giá cả dường như được theo sau bởi những thay

đổi lớn và ngược lại Hiện tượng này gọi là "hiệu ứng phân nhóm" hay

"bầy đàn" và nó là một trong những nét đặc trưng của dãy lợi suấttài sản (Bollerslev, Engle, Nelson, 1994[12]) Mô hình ARCH(p) tuyến

tính có khả năng nắm bắt các đặc điểm quan trọng của chuỗi thời gian

tài chính trong một hình thức tự nhiên và đơn giản Đã có nhiều môhình mở rộng của mô hình ARCH(p) tuyến tính, ví dụ như mô hình

tổng quát ARCH(GARCH) của Bollerslev (1986)[10] hoặc mô hình

TGARCH của Zakoian (1994)[26].

Tuy nhiên, ARCH không phải là một mô hình hoàn hảo, nó cũng

còn có nhiều nhược điểm Thứ nhất, cấu tạo của mô hình chỉ cho thayphương sai có điều kiện chỉ phụ thuộc vào độ lớn của những cú sốc

trong quá khứ, và do đó các mô hình đã thất bại trong việc nắm bắt

được hiệu ứng đòn bẩy Thứ hai, giả định phần dư có phân phối chuẩn

thường là không phù hợp Chúng ta đã chỉ ra rang dãy a; có phanđuôi nặng hơn phân phối chuẩn và do đó không phải là tiếng ồn trắngGauss Trong thực tế, ta thường giả định rằng những cú sốc a; có phân

phối t Ví du, Bollerslev (1988) đã dé xuất sử dung một phân phối

-t -tiêu chuẩn với bậc -tự do lớn hơn 2 Hơn nữa, người -ta có -thể -thử

một phân phối- t lệch nếu phân phối có điều kiện dường như bị lệch

Thứ ba, mô hình ARCH là mô hình có điều kiện ràng buộc Dãy {z?}

của mô hình tuyến tính ARCH(p) cần có điều kiện 5 a, < 1 để là

¡=1

quá trình dừng Hệ số a7 phải nằm trong khoảng 0 3) để moment

cấp 4 của a; là hữu hạn dương Các điều kiện ràng buộc sẽ phức tạphơn trong các mô hình ARCH bậc cao Thứ tư, mô hình giả thiết rằng

các cú "sốc" đương và âm có cùng ảnh hưởng đến độ rủi ro, vì trong

phương trình các ø;_; đều được bình phương Trong thực tế giá củamột tài sản tài chính có phản ứng khác nhau đối với các cú sốc đương

và âm Và cuối cùng mô hình ARCH thường dự báo cao về độ ro vì

mô hình phản ứng chậm với những cú sốc lớn cô lập

Để kết thúc chương này ta sẽ xây dựng một dãy mô phỏng chuỗilợi suất IBM dựa vào các tham số của mô hình ARCH(8) với giả thiếtphân phối chuẩn đã được trình bày trong ví dụ Dãy mô phỏng được

cho bởi ; = 0,00214 + ay, ap = £¡.0i

Từ đồ thị 2.14 chúng ta thấy, trong dãy mô phỏng (màu đỏ), có nhữngthời kì mà ở đó những biến động lớn thường xuất hiện sau nhữngbiến động lớn Đây chính là tính "bay đàn" của biến động Tuy nhiên,những biến động này dường như lớn hơn so với dãy thực tế (màuxanh) Điều đó cho thấy mô hình ARCH thường có dự báo lớn honthực tế

Density

35 30 Ps)

20

29

Time/Horizon

Hình 2.14: Đồ thị mô phỏng chuỗi lợi suất

Phan bo của cChuiõi m6 phỏng

Chương 3

Mô hình GARCH

Thực tế nghiên cứu cho thấy quá trình ARCH bậc cao thường phù

hợp với các dữ liệu Engle(1982)[15] đã sử dụng mô hình ARCH(5)

trong ví dụ của mình để tính phương sai của dãy chỉ số lạm phát

của Vương quốc Anh Bera va Higgins(1993)[9] đã có gắng để tìm ra

một mô hình ARCH cho tỷ lệ lợi nhuận hàng tuần của thị trường tiền

tệ Mỹ / Anh và cuối cùng ông đã sử dụng mô hình ARCH(6) Tuynhiên, việc ước lượng tham số của các mô hình này thường rất khókhăn Để khắc phục những hạn chế của mô hình ARCH, Bollerslev

(1986) [10] đã giới thiệu một mô hình mới linh hoạt hơn, mà ông gọi

là ARCH tổng quát hay mô hình tổng quát của mô hình phương sai

có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy (GARCH)

3.1 Cau trúc mô hình

Cho {X;} là chuỗi thời gian có gia số độc lập

Định nghĩa 3.1 Mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tu hồi

quy tổng quát bậc (p,q), kí hiệu GARCH(p,q) là mô hình có dạng: