Luận văn thạc sĩ khoa học: Đặc trưng họ phân phối Gamma

DẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phạm Quốc Toàn

ĐẶC TRƯNG HỌ PHÂN PHỐI GAMMA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

DẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phạm Quốc Toàn

ĐẶC TRƯNG HỌ PHÂN PHỐI GAMMA

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS Đào Hữu Hồ

Hà Nội - 2012

Mục lục

Lời nói đầu 3

1.2.2 Tính giải tích của hàm đặc trưng NDD DD or Hn

1.3 Một số bo đề cần sử dung

1.4 Một số kết quả liên quan đến lý thuyết ước lượng

1.4.1 Mot số khái niệm cơ bản của lý thuyết ước lượng

21 Các bố đề cơ sỞ| c Q Q Q Q Q Q2 16

3.3 Sự độc lập của trung bình mẫu và hệ số biến thiên mau Tài liệu tham khảo

` 2 ^

LOI NÓI DAU

Đặc trưng của các phân phối xác suất là một hướng nghiên cứu mạnh trong

lý thuyết thống kê trong nhiều thập kỷ Mặc dù đã có rất nhiều kết quả nổi tiếng

đã được biết đến, nhưng một vài kết quả mới về đặc trưng của các phân phối

hay sử dụng cũng có ích trong nhiều ứng dụng Trong luận văn: “Đặc trưng họphân phối Gamma”, chúng tôi chỉ trình bày về đặc trưng của phân phối gamma.Những kết quả cơ bản của đặc trưng phân phối gamma được trình bày trongcuốn Characterization Problems in Mathemmatical Statistics của Kagan A M.,

Linnik YU V va Rao C R Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày thêm một vai

kết quả gần đây về đặc trưng họ phân phối gamma Đó là hai bài báo:

e Mutual characterizations of the gamma and the generalized inverse

Gaus-sian laws by constancy of regression của Vanamamalai Seshadri va JacekWesolowski, năm 2001.

e On a characterization of the gamma distribution: The independence ofthe sample mean and the sample coefficient of variation của Tea - YuanHwang va Chin - Yuan Hu, năm 1999.

Luận văn của chúng tôi được chia ra lam ba chương.

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các kết quả cơ bản nhất của phânphối gamma, một số kiến thức về hàm giải tích, tính giải tích của các hàm đặc

trưng, một số định lý và bổ đề quan trọng được dùng để chứng minh các định

lý ở các chương sau.

Chương 2 Đặc trưng họ phân phối Gamma thông qua tính hồi

quy hằng số

Trong chương này, chúng tôi trình bày các nội dung sau đây:

e Dặc trưng của phân phối gamma thông qua tính hồi quy hằng số.

e Dặc trưng giữa phân phối Gauss ngược tổng quát (GIG) và phân phốigamma thông qua tính hồi quy hằng số.

Chương 3 Đặc trưng ho phân phối Gamma bởi tính tối ưu của

ước lượng

Trong chương nay, chúng tôi trình bày các nội dung sau đây:

e Dặc trưng họ phân phối Gamma thông qua tính chấp nhận được của các

ước lượng tuyến tính tối ưu của tham số tỷ lệ.

e Dac trưng của phân phối gamma thông qua tính tối ưu của các hàmtrung bình mẫu.

e Dặc trung của phân phối gamma thông qua tính độc lập của trung bình

mẫu và hệ số biến thiên mẫu.

Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng

dẫn luận văn của mình, PGS.TS Đào Hữu Hồ, người đã đưa ra đề tài và tận

tình hướng dẫn trong suốt quá trình làm luận văn của tác giả Tôi cũng xin camơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, đặc biệt là các thầy cô trong bộ

môn Xác suất - Thống kê đã truyền đạt cho tôi nhiều kiến thức quý báu Cuốicùng tôi xin cảm ơn các thành viên trong lớp cao học chuyên ngành Lý thuyếtXác suất và Thống kê toán học khóa 2009-2011 đã luôn động viên, giúp đỡ tôi

trong quá trình hoàn thành luận văn.

Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể

tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình củacác thầy cô và các bạn, tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng năm 2012Học viên

Phạm Quốc Toàn

Chương 1

Một số kết quả cần dùng

1.1 Phân phối gamma

Phân phối gamma là một họ phân phối xác suất liên tục hai tham số, trongđó một tham số tỉ lệ Ø và một tham số hình thức k Một biến ngẫu nhiên Xcó phân phối gamma với tham số tỷ lệ Ø và tham số hình thức k được ký hiệulà X ~ T(*,Ø) hoặc X ~ Gamma(k,Ø) Sau đây là một số tính chất của phânphối gamma:

7 Rõ ràng ƒ(z, 1,0) là mật độ mũ Thật vậy do ['(1) = 1 nên ta có

ƒ(z,1,0) = 5 -exp(—a/6).

Day là ham mật độ của phân phối mũ.

8 Giả sử X\, , X„ độc lập, cùng phân phối mũ với mật độ ƒ(z, 1,6) thì

>> X; sẽ có mật độ ƒ(z,n, 8).

1.2 Ham giai tich

1.2.1 Dinh nghĩa ham giải tích phức

Cho f(z) là một hàm nhận giá trị phức của biến phức z Hàm f được gọi là

hội tu tới f(z) với moi z trong lân cận của 29.

Ham f(z) được gọi là giải tích trong tap mở D của mặt phẳng phức nếu ƒgiải tích tại mọi điểm z của tập D.

1.2.2 Tính giải tích của hàm đặc trưng

Trong mục này, ta ký hiệu ¢ và y là các biến số thực và z = t+ iy là biến số

phức Ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.2.1 Mot hàm đặc trưng f(t) được gọi là một hàm đặc trưng

giải tích nếu với ổ > 0 tồn tại một ham A(z) của biến phức z, giải tích trongđường tròn |z| < 6 (ở đây |z| là modun của số phức z) sao cho

với |t| <6.

Nói một cách khác, một ham đặc trưng là giải tích nếu nó đồng nhất với

một hàm biến phức giải tích trong một lân cận nào đó của gốc tọa độ trong

mặt phẳng phức.

Một số tính chất đặc biệt của hàm giải tích (xem [19]):

6

19 Ham đặc trưng giải tích f thì f(z) sẽ là hàm giải tích trong dai:

—œ < Im z < Ø, trong đó

a = sup {r : Jerar) < oo} :

8 =sup i" ; [erare) < ~]

và F(z) là hàm phân phối tương ứng với hàm đặc trưng f(t).

2° Tinh giải tích của hàm đặc trưng ƒ tương đương với tính dương của các

số a, fp.

3° Tính giải tích của hàm đặc trưng ƒ tương đương với tồn tại R > 0 sao

cho: 1 — Ƒ(z) + F(—z) = O(e—”*) khi z — oo, với mọi r: Ũ < r < R.

4°, Hai hàm đặc trưng giải tích trùng nhau trong lân cận của gốc tọa độ thìtrùng nhau trong toàn miền xác định.

5° Giả sử ƒ là hàm đặc trưng giải tích trong dai nào đó Khi đó nếu một

thành phần của nó cũng giải tích trong dai này và mọi biểu diễn ƒ = f; + fo

đều đúng trong toàn bộ dải.

1.3 Một số bổ đề cần sử dung

Bổ đề 1.3.1 [ Xem [6], Chương 1, Bổ đề 1.1.1] Giả sử X va Y là hai biến

ngẫu nhiên va EY ton tại, Y có hồi quy hằng số đối uới X nếu va chỉ nếu hệ

E(Ye"*) = EY Ec"* (1.1)

nghiệm đúng uới moit C R.

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử Y có hồi quy hằng số đối với X, nghĩa là

E(Y|X) = EY (1.2)

Nhân hai về của biểu thức trên với e’*, ta có E(Y|X)-e"* = EY e1!*,

Lay kỳ vọng hai về biểu thức này ta được

E|E(|X) -e*] = E|EY -e"X| ©_ E(V-c"X|X) = EY -Ee"F, (L3)

Điều kiện đủ: Giả sử ta có (1.1), ta chứng minh Y có hồi quy hằng số đối

với X Gọi P là hàm phân phối biên duyên của X.

Giả sử EY khác 0, khi đó điều kiện (1.1) được viết lại như sau

Do định lý duy nhất của phép biến đổi Fourier-Stieltjes đối với các hàm có

biến phân bị chặn nên từ điều kiện (1.5) ta cd

Bổ đề 1.3.2 [ Xem [6], Chương 1, Bổ dé 1.4.3] Giả sử trong phương trình vi

ở day qg > 0 va 8 > 0 là các hằng số Khi đó ton tại một nghiệm riéng của

(1.8) trong A, thỏa man các bat đẳng thúc:

|z|#†2 ,

ly (z)| < AAo j=1,2 n, (1.10)

ở đâu sọ không phụ thuộc vao f Nếu 8 > Bo > 0, với Bo đủ lớn thi A cũng

không phụ thuộc ƒ.

Bổ đề 1.3.3 [ Xem [6], Chương 1, Bổ đề 1.5.1] Xét phương trình

1 (0 + biv) + 92(u + bev) + - + r(u + bu) = A(u) + B(v) + Pr(u,v) — (1.11)

uới |u| < do, |v| < 60, con Py, là da thúc bậc k; wi, A va B là các hàm nhận giá

trị phúc của hai biến thực u va 0 Giả sử rằng

i) các số b; là phân biệt (không mắt tính tổng quát),

ti) các hàm A, B va yy là liên tục.

Khi đó, trong một lan cận nào đó của gốc tọa độ, các ham A, B va YW; là

các da thúc uới bậc < max(r,k).

Từ Bồ đè|1.3.3| ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả 1.3.4 [| Xem [6], Chương 1, Hệ quả 1.5.2] Nếu phương trình (1.11

của Bổ đè|1.3.3 có dạng

À0i(u + bị) = du + €U +d, (1.12)

¡=1

uới r < 3, thà dưới các điều kiện của Bo đề 1.3.3) tat cả các ham yj, i=1, ,7

đều là các ham tuyến tính.

Bây giờ, chúng ta sẽ tổng quát hóa Bổ đè|1.3.3|cho trường hợp có nhiều hơn

hai đối số Giả sử f, œ, a2, ,a, là các vectơ cột p - chiều Ký hiệu các thành

phần của f là t, ,tp và tích vô hướng của £ với a; bởi aft Ta xét phương

dri(azt) + + bart) = E(t) +: + (ty) (1.13)

nghiệm đúng với |t;| < 6,7 =1,p Ký hiệu A là ma trận cỡ p x r với các cột là

œ1, ,œ„ Dé phát biểu Bổ đè|1.3.5| dưới đây, chúng ta định nghĩa một tích ma

trận mới như sau: Cho C là ma trận cấp p x r và D là ma trận cấp q x r, khi

đó tích C © D là ma trận cấp pq x r với các cột là các tích Kronecker +; © 6;,

hay là

COD= ("1 @ði| |%„ © Or), (1.14)

ở đây ¥1,. ,Yr là các cột của ma trận Œ va 61, ,6, là các cột của ma trận D.

Ký hiệu C” là ma trận cấp p(p — 1) x r, nhận được bằng cách bỏ đi p hang

chứa các số hạng bình phương, đó là hàng đầu, hàng thứ p + 1, và hàng thứ

p(p — 1) + 1 của ma trận COC.

Để minh họa cho tích ma trận mới này và ma trận C#, ta xét ví dụ sau:

Giả sử Œ là ma tran cấp 2 x 3 được cho bởi

Khi đó, ma trận Œ © C' được xác định như sau

Bồ đề 1.3.5 [ Xem [6], Chương 1, Bồ đề 1.5.4] Giả sử đúng uới |t¿| < ồ,

1,p, ở đâu A là ma trận sao cho rank A*# =r Khi đó, các hàm ¡, i= 1,r

va E1, , & là các ham tuyến tính.

Bổ dé 1.3.6 [ Xem [6], Chương 1, Bo dé 1.5.10] Giả sử rằng w(t) thỏa man

phương trành

a10(bit) + -+ a„(bat) =0, (1.15)

ở day >> a,b; = 0, |bị| > max{|ba|, , |bn|} vd các œ;b¿ vdi i = 2, ,n là cùng

dấu, trong khi đó a,b, có dấu ngược lại Thêm nữa w(t) = c+ to(t), ở day o(t)là hàm liên tục tại 0 Khi đó, t là hàm tuyến tinh.

1.4 Một số kết quả liên quan đến lý thuyết ước

1.41 Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết ước lượng

Chúng ta xét một mô hình thống kê (4, 4, Po), ở đây X là không gian cácgiá trị quan sát x, A là ơ-đại số các biến cố, và {Po} là một họ các phân phốixác suất, phụ thuộc Ø € © Giả sử thống kê T(x) được dùng như một ước lượng

cho một hàm của tham số ¿(6), và r(T,t) là một hàm tổn thất không âm Kyvọng toán học của hàm tổn thất được cho bởi

R(T,0) = E¿r(T, t)

được gọi là hiểm của ước lượng T khi mà giá trị chân thực của tham số là 6.

Sau đây là một số hàm tổn thất mà chúng ta sử dụng:a) dạng toàn phương hay Gaussian: r(T,t) = (T — £)3,

Định nghĩa 1.4.1 Một ước lượng 7”(z), thuộc lớp các ước lượng của hàm

tham số t(@), được gọi là chấp nhận được trong lớp này, dưới hàm ton that

r(T,t), nêu không tồn tại phan tử T thuộc K sao cho

R(T,0) < R(T”,0) với mọi 0, (1.16)

và hơn nữa bất dang thức chặt đúng với ít nhất một 0.

Nếu một ước lượng 7” là chấp nhận được trong lớp tất cả các ước lượng, thì khi

đó chúng ta sẽ gọi nó là chấp nhận được tuyệt đối.

Định nghĩa 1.4.2 Một ước lượng T° € được gọi là fố¿ uu trong lớp K củacác ước lượng của hàm tham số f(Ø), dưới hàm ton thất r(T,t), nếu với moi

R(T°,0) < R(T,0), 0c©.

Định lý 1.4.3 Giả sử rằng T là một ước lượng cho t(0) va ham tổn that r(T, t)

là lồi theo T Nếu họ {Po} chúa một thống kê đủ S, thà tồn tại một ước lượng

To, chỉ phụ thuộc vao S, sao cho

Eor(To, t(@)) < Esr(T, t(6)) uới 9 c O.

Định nghĩa 1.4.4 Một ước lượng Tp € K được gọi là tối ưu tại điểm 09 (hay

tối ưu địa phương) trong lớp K dưới hàm tổn thất r(7,#), nếu với mọi T € K,

R(To, 9) < R(T, 6).

Định lý 1.4.5 [ Xem |6], Chương 7, Dinh lý 7.1.1] (Bất đẳng thức Cramer

- Rao)

Giá sử rằng không gian tham © là một khoảng nào đó của đường thang thực,

tat cả các phân phối Po là liên tục tuyét đối đối uới độ do , vdi p(, 9) = dPạ/dụu

là hàm mat độ Nếu T là một thống kê thỏa man F¿T' = t(6) + b(), thà khi đó,dưới các điều kiện “chính quy”,

Ea[T — t(0)|? > [b(6)]? 4 (1.17)

ở đâu I(0) = Eg(Olog p/00)? là lượng thông tin Fisher.

12

Định lý 1.4.6 [| Xem [6], Chương 7, Định lý 7.1.3] Nếu phân phối của thốngkê vecto đủ S = (S\, , S„) được cho trong RTM bởi ham mật độ (đối vdi độ do

Trong mục này, khái niệm về tính tối ưu của ước lượng liên quan đến hàm

ton thất dạng toàn phương.

Chúng ta ký hiệu L7 là không gian Hilbert của các hàm đo được trên (H, A),các hàm này bình phương khả tích đối với Py với tích vô hướng thông thường.Đặt 12 = () LZ.

Định nghĩa 1.4.7 Một thống kê h = h(x) được gọi là ước lượng không chệch

của 0 (u.e.z) nếu Egh = 0 với mọi Ø € ©.

Chúng ta ký hiệu Hạ là tập tất cả các u.e.z trong LZ, và H = () Hạ.

Bổ đề 1.4.8 [ Xem [6], Chương 7, Bồ đề 7.2.1] Một ước lượng T € L2 (hoặc,

T € L) là tối ưu (hoặc, tối ưu dia phương tại 9) trong LẺ cũng như là một ước

lượng không chéch của t(0) = EgT nếu va chỉ nếu

Eo(Th) =0 tới tat a@heH, 0c<© (1.18)(hoặc, nếu va chỉ nếu uới 9 cho trước, E;(Th) = 0 tới tat cả h € Hạ).

1.4.2 Tham số tỷ lệ

Nếu ham phân bố P, của vectơ các quan sát (X¡, , Xn) € R” phụ thuộc

vào tham số ơ € IR‡ (tức là o > 0) theo nghĩa sau day:

xã cam %1/Ø, #„/Ø) (1.19)

13

thì chúng ta nói rằng o là một tham số ty lệ Để ước lượng cho tham số tỷ lệ,

một cách tự nhiên là chọn một lớp các ước lượng ø = øØ(X, , X„) thỏa mãn

điều kiện sau với mọi À > 0:

Z(AX:, AX»„) = AF(X1, ony Xp).

Những điều nay đã được đưa ra bởi Pitman [18] Ta gọi các ước lượng thỏamãn điều kiện trên là chính quy, và ký hiệu lớp các ước lượng chính quy bởi F.

Chúng ta giả sử rằng hàm tổn thất thỏa mãn điều kiện

r(o,0) = r(Ø— ơ), r(Au) = A" r(u), (1.20)

với moi À > 0, với m nào đó Khi đó, hiểm của ước lượng ¢ € Ø cho tham số ø

R(ð,ø) = E,(ð — ơ) =o" Eyr(o — 1) =o" R(G, 1).

Vì vậy, với hàm tổn thất (1.20), một phan tử của lớp F hoặc là tối ưu, hoặc

là không chấp nhận được trong lớp này.

Định nghĩa 1.4.9 Một ước lượng ¢ = G(Xj, , Xn) tối ưu trong lớp F, tức

là thỏa mãn

R(G,o) = min R(g,o)

sẽ được gọi là ước lượng Pitman cho tham số tỷ lệ o tương ứng với ham ton

là ước lượng Pitman cho ơ, tương ứng uới hàm tốn thất dạng toàn phương;

hơn nữa, uới ð € F bat ky,

E,(¢—0)? > E„(ô - ø)Ÿ,

UỚI a € Ri, trừ khi ô = 6 vdi Py - xác suất một (va vi vay uới P„ - xác

suất một uới moi ơ € R} );

(2) nếu F, ham phân phối đồng thời của các Xj, là liên tục tuyệt đối, uới ham

Chúng ta ký hiệu Fy là lớp các ước lượng không chệch chính quy của o.

Bo dé 1.4.11 [ Xem |6], Chương 7, Bổ đề 7.11.2] Dưới các điều kiện của Bồ

dé|1.4.10, ước lượng tối uu của ơ trong Fu là

ou = cụ8, (1.24)

ở đâu hằng số cụ được xác định bởi điều kiện cụ - E,8 = 1 Khi đó, uới ðu € đụ,

E„(ðu — 0)? > E„(Su —0)?, 0 € R} trừ khi oy = Gu tới Py - rác suất một.

15

Chương 2

Đặc trưng họ phân phối

Gamma thông qua tính hồiquy hằng số

X, nhưng lai cần thêm giả thiết về sự tồn tại phương sai của X; Tương tự, nếuX và Y là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập thì sự độc lập của X +Y đốiVỚi < chỉ ra đặc trưng phân phối gamma (hoặc phân phối thoái hóa) Trongchương này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng với các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phânphối X và Y thì tính hồi quy hằng số của X + Y đối với < sẽ chỉ ra đặc trưngcủa phân phối gamma (hoặc phân phối thoái hóa) Các kết quả này thuộc về

Khatri và Rao (xem [8], [9]).

16

Bồ đề 2.1.1 Cho F là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Y, va g là ham

liên tục trên R', sao cho

[oar =U (hữu han) (2.1)

Nếu tới số thực p khác 0 nao đó, va tới moit ER,

/ eV g(y)dF(y) = (u + ipt) / ed F(y), (2.2)

thà F liên tục tuyệt đối va có ham mật độ là f liên tục thỏa man phương trành

ut phân sau day

ef'(y) = [tu — gy Fly) (2.3)

Phương trinh trên có nghiệm là

1 U

Fly) = ex [T7 J0) = nan: (2.4)

Chứng minh Dat k(y) = 90) —H Khi đó, phương trình b2 có dạng saup

/ cllYe(y)dF(y) = it / cid F(y) (2.5)

- 11— ew tht ew iat _ e~?8t ` |Nhân hai về của phương trình ba) VỚI opp roi layT ? ?

tích phân trên (—T,T) theo biến t, rồi sau đó cho T — +œ, ta thấy về phải có

1 c—?at _ p-i(ath)t 1 e~?Öt _ e-t(B+h)t

= ili t)dt li t)dt.T—+oo It / it P(t)dt— lim on | it Jữ)_—T —T

17

Nếu œ+h,øœ, 8+h và Ø là các điểm liên tục của hàm F thì theo định lýngược, biểu thức bên trên bằng với:

[fe tdu = [F(a + h) = F(a)|— [F(8 + h)—= FB) (39)

Cho h —› —oo, do F(—oo) = 0 nên từ (2.9) chúng ta có

Phương trình (2.10) chi ra rằng F liên tục tuyệt đối và có hàm mật độ là ƒ.

Hơn nữa, ta có

f(u) = - / k(y)dF(y) = - / k(y) Fy)dy (2.12)

Do g liên tục nên k liên tục, và do vay ham ƒ cũng liên tục va kha vi Lay

vi phân hai về của (2.12), chúng ta thu được

f'(u) = —k(w)ƒ(u) = — -f(u),

hay là

f(u) = exp = Jkblár (2.13)

Vay bổ dé được chứng minh L]

Hệ quả 2.1.2 Nếu trong Bo đê|2.1.1| g(y) = €9, khi đó p va u phải dương, va

Fy) = ex |—2(e! = wy 0] (2.14)

ở đâu c là hằng số Nếu Y là một biến ngẫu nhiên vdi ham mat độ f thi ham

mat độ của X =e” bằng tới

EOP gt (2.15)

ở day + va a phụ thuộc vao p va u, do vay X có phân phối gamma G(a,7).

Bổ đề 2.1.3 Cho F là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn EeY <

œ Giả sử rằng

Jeenaru) =(c+ it) [ early), (2.16)

uới |t| < e Khi đó (2.16) đúng uới moi số thực t va các hàm số ở cả hai vé của

hệ thúc trên giải tích trong mién —1 < Imt <0.

19

Chứng minh Do (2.16) đúng với £ thỏa mãn |t| < e nên thay £ bởi —t, ta có

/ cve~”'JƑP(w) = (e— 71) / Mi: (2.17)

Cong hai về của (2.16) và (2.17), chú ý rằng e”# = costy + isinty, ta thu

được hệ thức sau

le —c)costydF(y) = int [ sin tydF (y), (2.18)

ở đây + = ip, với p là số thực Do vậy (2.16) có thể viết dưới dang sau day

[eenaFu) = (c+ ipt) [evar (2.19)

với |f| < e Theo giả thiết, He’ tồn tại nên Ee*Ÿ cũng tồn tại với 0 < u < 1.

[ete arco) = (w+ ipt) [ e'aF(o) (2.21)

đúng tới p #0, 1 #0 nào đó, va |t| < 6, thi khi đó p <0 va X có phân phối

với #(t) là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X Từ (2.21), trong lân cận nào

tại, dẫn tới ø < 0 và vì vậy y > 1 Vậy bổ đề được chứng minh oO

2.2 Đặc trưng của phân phối Gamma

Trong mục này, chúng ta xem xét một số đặc trưng của phân phối gammathông qua tính hồi quy hằng số của một thống kê đối với một thống kê khác.

Để tránh rắc rối khi phát biểu các định lý, chúng ta giả sử rằng các biến ngẫu

nhiên được đề cập tới đều không thoái hóa.

Định lý 2.2.1 Cho X:, , Xn, n > 3, là các biến ngẫu nhiên độc lập, không âmva mới chung không cùng phân phối uới kỳ vong EX; hữu hạn uới mọi j = 1,1m.

Nếu sự hồi quy của È) X; đối uới vecto (X2/X1, ,Xn/X1) là hằng số, thi X;

có phân phối gamma, cu thể hơn, X; ~ G(a,7;) tới j =1, ,n, ở đâu tham số

a là giống nhau đối uới mọi X;.

21

Chứng minh Ta đặt Y; = log X;, và viết lại điều kiện hồi quy hằng số dưới

dạng sau đây:

E(eTM! +++» + cŸ"|Y¿ — Yh, , Y„ — Yi) = m = const (2.28)

Theo Bổ đề|1.3.1| điều kiện cần và đủ để (2.28) được thỏa mãn là

Tương tự như vậy, ta cũng có

D0 sản) — r(et ty—+—tn—1) Yi titi Yet ray)

— B(en=e=t=nMi) (e2) " -E(etn=t),

Đặt B(eV Ct) = w(t), Be’ = ó¡(t) và &;(t) = ¬ a Khi đó chia cả hai

= B (es : củ) = (cj + yt) - B(e'TM) (2.33)

Nếu F; là ham phân phối của biến ngẫu nhiên Y; thi hệ thức (2.33) có thể

được viết dưới dạng sau đây

[eteaFi) = (6ý +aÐ [etary (2.34)

với |t| < e Theo cách đặt ban đầu, ta có Y; = log X; hay là X; = eỲ2 Sử dung

Bổ đề 2.1.3 chúng ta có (2.34) đúng với moi số thực t Sau đó áp dụng Hệ quả

2.1.2| ta suy ra điều phải chứng minh L]

23

Dinh lý 2.2.2 Cho Xq, ,Xn, n > 3 là các biến ngẫu nhiên độc lập va khôngnhất thiết có cùng phan phối Nếu F(1/X;) ton tại uới mọi j, va khác 0, va hơn

E(Xir}1+: + X71|Xe- X, , Xn — X1) = const = m, (2.35)

thi hoặc là X; ~ GÍ(a;,+) uới moi j, hoặc —X; ~ G(œ;,+) vdi moi j, ở đâu

Lap luận tương tự như trong chứng minh Dinh ly 2.2.1| chúng ta thu được

/ allt dF (x) = (w + ipt) / eit” dF (a), (2.38)

với |t| < e Ap dung Bổ dé 2.1.4| chúng ta có điều phải chứng minh Oo

Dinh lý 2.2.3 Cho XỊ, , X„ là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lap va cócùng phân phối thỏa mãn E(X1 log X1) hữu hạn va

E(ayX1 +++: + dyXp|XP! ++» XP") =m, (2.39)

ở đâu È)a;b; = 0, |b„| > max{|b|, , |b„—1|} va <0 tới j = 1,2, ,m— 1.

Khi đó, X; có phân phối gamma.

Chứng minh Dat Y = log X, khi đó điều kiện (2.39) dẫn đến

E|(ame" tore ane”) etinYittba¥n)] =m: Bet Yebortha¥e) (2.40)

24

Ta biến đổi về trái của (2.40) như sau

một liên tục tại gốc tọa độ Vì vậy, €;(t) — €;(0) = £u;(£), với u là một hàm liên

tục tại gốc toa độ Hay là €;(t) = €;(0) + tu;(t) Khi đó, áp dụng Bổ đè |1.3.6|

€; là hàm tuyến tính của t, tức là €;(t) = c; + +;t Cuối cùng lập luận tương tự

như trong chứng minh Dinh ly |2.2.1] chúng ta có điều phải chứng minh LÌ

Hệ quả 2.2.4 Cho X, , X„ là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập va cócùng phân phối thỏa mãn E(X1 log X1) hữu hạn va

E(XIi+ -+ X„|XJPT”!Xỹ1! - X71) =m (2.42)

Khi đó, X; có phân phối gamma.

Chứng minh Dat

X, =ỲnX, =Yi

X; =Y; voi j =2,3, ,.n—1.

25

Khi đó, điều kiện (2.42) được viết lại là

EØI +: + YN|Yp Y2 ịccY”) —=11 2.43)

Do các biến ngẫu nhiên X\, Xa, , X„ độc lập và có cùng phân phối nên cácbiến ngẫu nhiên Yj, Y2, , Y„ cũng độc lập và có cùng phân phối Hơn nữa, ta

cũng có E(Y; log Y1) hữu han.

Vay áp dung Dinh lý cho các biến ngẫu nhiên Y; thỏa mãn điều kiện

(2.43), ta có Y; có phân phối gamma Theo cách đặt ban dau, ta suy ra các X;

cũng có phân phối gamma Vậy ta có điều phải chứng minh oO

Dinh lý 2.2.5 Cho X1, ,Xn là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lap va cócùng phân phối Nếu E(1/X)) ton tại va khác 0, va

Khi đó hoặc là X; ~ G(a, 7), hoặc là —X; ~ G(œ,+) uới y > 1.

Định lý này được chứng minh tương tự Định lý

Hệ quả 2.2.6 Cho Xj, , Xn là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập va cócùng phan phối Nếu E(1/X)) ton tại va khác 0, va

E(Ề ` X;'|Xi — X) =m # 0 (2.45)

Khi đó, hoặc là X; ~ G(a,y), hoặc là —X; ~ G(a,y) uới y > 1 nào đó.

26

Ap dung Dinh ly cho các biến ngẫu nhiên Y; va kết hợp với cách đặt

ban đầu, ta suy ra điều phải chứng minh L]Từ đây trở về sau, chúng ta sẽ sử dung các kí hiệu sau đây: X\, , X„ làcác biến ngẫu nhiên độc lập Chúng ta xem xét hai trường hợp sau:

(a) Nếu X; là các biến ngẫu nhiên không âm, chúng ta đặt

Chúng ta xét p hàm độc lập tuyến tính AM:, , Mẹ, hoặc MỊ, , Mj Trong

mỗi trường hợp, M; hoặc M; có thé được biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc như

Mi( hoặc M;) =Y,+ @11Y p41 + -+ G1n_pŸn;

M,( hoặc My) = Yp + api V1 + +++ + Opn—pYn,

Dinh lý 2.2.7 Chol <p<n-—1, vd hang của ma trận A là r = n — Ð.

(a) Nếu X; là dương, uới kỳ vong hữu hạn, va điều kiện

E(e"' +-+-+eTMTM|My, ,Mp) =m (2.51)

được théa man thà X; có phan phối gamma.

(b) Nếu E(1/X;) ton tại va khác không uới moi j, va điều kiện

E(Yi + Ys + - + Y2|[MỊ, Mỹ) =m (2.52)được thỏa man thà hoặc là X; có phân phối gamma, hoặc là —X; có phân phối

ở đây F; là ham phân phối của biến ngẫu nhiên X;.

(b) Trong trường hợp này, chúng ta đặt

/ ye" dF;(y)

&) = “=

Khi đó, lần lượt, điều kiện (2.51) hoặc điều kiện (2.52) tương đương với

Ex(t1) +++ + &(tp) + S4i(att) + + + „(an gÉ) = const, (2.55)28

với |t;| < 6, j = 1, ,p, 6 day a, là vectơ cột thứ j trong ma trận A va

t? = (t1, ,tp) Ap dụng Bổ đề 1.3.5] chúng ta có các hàm €; là tuyến tính.

Cuối cùng áp dụng các lập luận trong các chứng minh của các định lý 2.2.5|chúng ta có điều phải chứng minh L]

Chú ý rằng, trong các hệ thức và (2.52), chúng ta có thể thay e%! +

» +e bởi ayeTM! + +» +} ane” trong trường hợp (a), và Y + -:- + Yạ bởi

a,Y,+ :+anY,, trong trường hợp (b), ở đây các a; là khác 0, để thu được các

kết luận tương tự.

Xét ma trận cỡ g x n ((d;;)) và một vectơ n-chiéu (bị, , b„) Chúng ta nói

rằng chúng thỏa mãn điều kiện (C) nếu tồn tại các hằng số aị, ,d¿„ sao cho

(ii) nếu aj, ,@5 (s <n) là các số khác không, khi đó, giữa các số ily oe

|b;| có đúng một giá trị lớn nhất, hon nữa, không mat tinh tổng quát, ta

giả sử số lớn nhất đó là bị|, khi đó agbo, , a„b„ là cùng dấu, trong khia,b, có dau ngược lại.

Dinh lý 2.2.8 Cho X\, ,X„ là các biến ngẫu nhiên dương, độc lập va có

cùng phân phối va Y; = log X; Xét

Chứng minh Chúng ta xác định hàm £(£) như trong định lý 2.2.1| khi đó (2.57)

Do E(X; log X;) hữu han nên sử dung các lập luận trong chứng minh Dinh

ly |2.2.3| chúng ta suy ra điều phải chứng minh L]

Chứng minh Định lý này được chứng minh tương tự Định lý Oo

Dinh lý sau đây thuộc về Laha và Lukacs [15].

Dinh lý 2.2.9 Cho X\, , X„ là các biến ngẫu nhiên độc lập va có cùng phân

phối voi EX >| hữu han va khác 0 Hơn nữa, cho

suy ra hoặc là X; có phân phối gamma, hoặc là —X; có phân phối gamma.

Dinh lý 2.2.10 Cho XỊ, , X„ là các biến ngẫu nhiên độc lập va có cùng phan

phối uới EX, = lu > 0 va Var Xị = ơ2 Hơn nữa, cho

Q= 4;.X;X¿ + À `b/Xj (2.62)

Đặt Bị = Yoaj;, Bo = }S)djy, Bs = S)b; va giả sử rằng By, By khác 0,

Ba =0, vd Byo? + Bop? =0 Khi đó X; có phân phối gamma nếu va chỉ nếu

hồi quy của Q đối voi L = Xì + - + X„ là hằng số.

30

Chứng minh Điều kiện cần được suy ra trực tiếp Để chứng minh điều kiện đủ,

chúng ta sử dụng công thức (1.1),

B(Qe**) = B(Q) - Ble") (2.63)

Ký hiệu hàm đặc trưng của X; là ƒ, va chú ý rằng

ƒ0()=E(X?e"X), 7=1,2 (2.64)

Ta thấy rằng điều kiện dẫn đến

Bif" pf" + (Ba- Biff? +iBsf' pf" = TC", (2.65)

ở đây

C = EQ = Bio? + Bop? + Ba.

Dưới những điều kiện của By, By và B3, ta thấy điều kiện dẫn đến

B.ƒTƑ"”'+(B¿— Bì)(ƒ)2ƒ"2 =0 (2.66)

Do ƒ(0) = 1, và ƒ là hàm liên tục nên tồn tại một lân cận của điểm gốc mà

ở đó ¢ = log ƒ được xác định, và theo (2.66), nó thỏa mãn hệ thức sau

Theo lý thuyết về tính giải tích của hàm đặc trưng, (2.68) đúng với mọi

t € R, và do vậy X; có phân phối gamma oO

Dinh ly 2.2.11 Cho X1, Xa, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập va có cùngphân phối uới EX, = >0, Var Xị = 07 Đặt

L=Xit +Xn, Q= 6x ểốẻn `Ẻ.

va giả sử rằng By # nBì Khi đó X; có phân phối gamma nếu va chỉ nếu hồi

quy của Q/L? đối uới L là hằng số.

31

Chứng minh được thực hiện tương tự như Dinh lý |2.2.10} Nhưng Dinh lý

dưới đây lại được chứng minh bởi Linnik, Rukhin và Strelits [14].

(1) Trong moi khoảng dạng (0,¢),

b(a) = Aog#?~! + Aya? + - + (A, + o(1))a? te},

vdi p nào đó va một số tự nhiên du lớn s (điều kiện chính xác của s được chỉ

ra trong quá trinh chứng minh định ly).

(2) Phương trinh (2.71) dưới day thỏa man

* k

w= So 4,, [] Pe +i) 40, (2.70)

r~ a

trong đó là cấp đạo hàm cao nhất trong ke.;]), va tổng > lay trên (i1, , šy)

sao cho Soi; =k vai; =v với ít nhất một j.

(3) Ham số y(z) = z~? + z-?*! không phải là một nghiệm của (2.71), va

Nhân cả hai về của hệ thức trên với e~*”, với Re z > 0, sau đó lay kỳ vọng

cả hai về, chúng ta thu được

là một nghiệm của (2.71), thì biểu diễn sau day đứng trong miền

A={z:Rez>0, |argz| < 7/2 — do} uới dp > 0,

33

ở đây w(u) = o(1) khi u — 0 Vì vậy, bất đẳng thức cần đạt được dễ dàng nhận

được với z € 4 nếu chúng ta chú ý rằng

với |Imz| < ax trong A và vì vậy

|z| = (z7 + yy? =a(1+ 2/z?)1⁄2 <z(1+ a2)1/2, a = const.

Bo dé được chứng minh xong.

Bay giờ, ta trở lại chứng minh định lý Khong mất tính tong quát, chúng ta

có thể cho Bo = 1 trong (2.72) Thay thé y(z) trong (2.72), chúng ta có

Thay y(z) = w(z) + z~? vào (2.71) va tách riêng những số hạng tuyến tính

ở đây R* chứa tất cả những số hạng phi tuyến của w và các đạo hàm của nó.

Chúng ta sẽ đánh giá R*, cái mà là tổng của các số hạng có dang

lơ|< *|z| (et h+2) B* = const.

Lay tổng các bat dang thức tương ứng của tất cả các số hang tham gia vào

Do được thỏa mãn nên chúng ta có