Luận văn, báo cáo, luận án, đồ án, tiểu luận, đề tài khoa học, đề tài nghiên cứu, đề tài báo cáo - Công Nghệ Thông Tin, it, phầm mềm, website, web, mobile app, trí tuệ nhân tạo, blockchain, AI, machine learning - Kế toán UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN - TIN ---------- KHAMMY DOUANGLANGKHAM ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2022 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN - TIN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Sinh viên thực hiện KHAMMY DOUANGLANGKHAM MSSV: 2118010101 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA 2018 – 2022 Cán bộ hướng dẫn Th.S. VÕ VĂN MINH MSCB: T34-15.110-14100 Quảng Nam, tháng 5 năm 2022 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Quảng Nam, ban lãnh đạo khoa Toán – Tin nói chung và các thầy cô trong khoa nói riêng đã quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Em xin chân thành cảm ơn thầy Võ Văn Minh đã hướng dẫn và tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận của minh. Song do hạn chế về mặt kiến thức của bản thân nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót rất mong sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để khóa luận hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn. Quảng Nam, tháng 5 năm 2022 Sinh viên thực hiện Khammy Douanglangkham MỤC LỤC Phần 1. MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................................... 1 4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 2 5. Đóng góp của đề tài .................................................................................... 2 6. Cấu trúc của đề tài ...................................................................................... 2 Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .............................................................. 3 Chương I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ............ 3 1.1. Đa thức đối xứng hai biến: ...................................................................... 3 1.1.1. Các khái niệm cơ bản: .......................................................................... 3 1.1.2. Tổng lũy thừa: ...................................................................................... 4 1.1.3. Các định lý về đa thức đối xứng hai biến: ............................................. 5 1.2. Đa thức đối xứng ba biến:........................................................................ 7 1.2.1. Các khái niệm cơ bản: .......................................................................... 7 1.2.2. Tổng lũy thừa và tổng nghịch đảo: ....................................................... 8 1.2.3. Các định lý của đa thức đối xứng ba biến: .......................................... 10 1.3. Đa thức đối xứng n biến: ....................................................................... 14 1.3.1. Các khái niệm cơ bản: ........................................................................ 14 1.3.2. Biểu diễn các tổng lũy thừa qua các đa thức đối xứng cơ bản: ............ 15 1.3.3. Các định lý của đa thức đối xứng n biến: ............................................ 15 1.4 Phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy (còn gọi là phương trình thuận nghịch): ...................................................................................... 16 Chương II. ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ............................................... 18 2.1. Phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy (còn gọi là phương trình thuận nghịch): ...................................................................................... 18 2.2. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình, hệ phương trình đối xứng .. 22 2.3. Giải phương trình và hệ phương trình đối xứng .................................... 26 2.3.1. Phương trình và hệ phương trình đối xứng hai ẩn ............................... 26 2.3.2. Hệ phương trình đối xứng ba ẩn ......................................................... 32 Phần 3. KẾT LUẬN ..................................................................................... 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 39 1 Phần 1. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đa thức có vị trí rất quan trọng, là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số, hơn nữa cũng là lĩnh vực nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học khác. Trong các kì thi học sinh giỏi toán quốc gia và Olympic toán, các bài toán về đa thức được đề cập đến thường là những bài toán khó như giải phương trình và hệ phương trình bậc cao, phân tích đa thức thành nhân tử, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, các bài toán trong các lĩnh vực này liên quan đến đa thức đối xứng. Nhằm giúp bản thân hiểu rõ hơn về đa thức đối xứng và ứng dụng của nó trong việc giải toán, đây cũng là lí do em chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng đa thức đối xứng để giải phương trình và hệ phương trình” làm khóa luận của mình. 2. Mục đích nghiên cứu - Làm rõ lại một số kết quả cơ bản liên quan đến đa thức đối xứng. Vận dụng các kết quả đạt được để giải quyết một số bài toán đã đặt ra. - Biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản, ứng dụng của đa thức đối xứng vào giải các bài toán sơ cấp liên quan đến phương trình và hệ phương trình. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu: Trình bày một số khái niệm của ứng dụng đa thức đối xứng để giải phương trình và hệ phương trình, rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân. 3.2. Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận tốt nghiệp tập trung nghiên cứu lí thuyết về đa thức đối xứng, các ứng dụng đa thức đối xứng để giải phương trình và hệ phương trình. 2 4. Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức, thảo luận với bạn bè và trao đổi với thầy hướng dẫn. - Tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận. 5. Đóng góp của đề tài Khóa luận đã tổng hợp kiến thức và làm rõ nội dung về ứng dụng đa thức đối xứng đề giải phương trình và hệ phương trình. 6. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được trình bày theo 2 chương: Chương 1: Các khái niệm cơ bản về đa thức đối xứng Chương 2: Ứng dụng của đa thức đối xứng để giải phương trình, hệ phương trình đối xứng. 3 Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC ĐỐI XỨNG 1.1. Đa thức đối xứng hai biến: 1.1.1. Các khái niệm cơ bản: Định nghĩa 1: Một đơn thức (x, y) của các biến độc lập x, y được hiểu là hàm số có dạng: (, ) = Trong đó: là hằng số; k, l là những số nguyên không âm. Số được gọi là hệ số k + l được gọi là bậc của đơn thức ( x, y ), được kí hiệu là deg (, ) = deg = + Các số k, l tương ứng được gọi là bậc của đơn thức đối với các biến x, y . Bậc của đơn thức hai biến bằng tổng các bậc của các đơn thức theo từng biến. Ví dụ: deg(10 ) = 6 Định nghĩa 2: Hai đơn thức của các biến x, y được gọi là đồng dạng nếu bậc của x và y tương ứng ở hai đơn thức là bằng nhau và hệ số của hai đơn thức là khác nhau. - Hai đơn thức được gọi là đồng dạng nếu chúng có dạng: , ( ≠ ). Ví dụ: 5 , 9 là hai đơn thức đồng dạng. Định nghĩa 3: Giả sử , là hai đơn thức của các biến x, y. Ta nói rằng đơn thức trội hơn đơn thức theo thứ tự của các biến x y nếu k > m, hoặc k = m và l > n. 4 Định nghĩa 4: Một hàm số P(x, y) được gọi là một đa thức theo các biến số x, y nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hữu hạn các đơn thức. Như vậy đa thức P(x, y) theo các biến số x, y là hàm số có dạng (, ) = ∑ - Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức. Ví dụ: Đa thức (, ) = − 2 + 6 có bậc 12. Định nghĩa 5: Đa thức P(x,y) được gọi là đa thức đối xứng của hai biến x, y nếu nó không thay đổi khi đổi chỗ của x và y bất kỳ, nghĩa là: P(x, y) = P(y, x) Ví dụ: (, ) = + + ; (, ) = + Định nghĩa 6: Các đa thức = + ; = được gọi là các đa thức đối xứng cơ bản của các biến x, y. Định nghĩa 7: Đa thức đối xứng P(x, y) được gọi là thuần nhất bậc m, nếu: (, ) = (, ), ∀ ≠ 0 Ví dụ: Đa thức (, ) = + là đa thức thuần nhất bậc 2, bởi vì (, ) = () + () = ( + ) = (, ) 1.1.2. Tổng lũy thừa: Định nghĩa 8: Các đa thức = + ( ∈ ℤ) được gọi là tổng lũy thừa của các biến x, y. Định lý 1: Một tổng lũy thừa = + ( ∈ ℤ) có thể biểu diễn được dưới dạng một đa thức bậc k của , . Chứng minh: Ta có = ( + )( + ) = + + ( + ) + . Như vậy ta có = − . (1) Công thức (1) được gọi là công thức Newton, nó cho phép tính theo và . 5 Với m = 1, m = 2 định lý 1 đúng vì: = + = = + = ( + ) − 2 = −2 Giả sử định lý đã đúng với m < k. Khi đó và lần lượt là các đa thức bậc k - 1, k - 2 của , . Theo công thức (1) ta suy ra là đa thức bậc k của , Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh. Sử dụng công thức (1) và các biểu thức của , , ở chứng minh trên ta nhận được các biểu thức sau: = = − 2 = − 3 = − 4 + 2 = − 5 + 5 Ta thấy rằng trong khai triển của nếu sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của , thì: Số mũ của giảm dần đều hai đơn vị từ k xuống 0 hoặc 1 tùy theo k chẵn hay k lẻ Số mũ của tăng dần đều một đơn vị, từ 0 đến Các hệ số trong biểu diễn của đan dấu. Hệ số thứ 1, 3, 5, ... là dương, còn các hệ số thứ 2, 2, 6,... là âm. 1.1.3. Các định lý về đa thức đối xứng hai biến: Định lý 2: (Định lý cơ bản) Mọi đa thức đối xứng P(x, y) của các biến x, y đều có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức ( , ) theo các biến = + và = , nghĩa là: (, ) = ( , ) 6 Chứng minh: Xét trường hợp đơn thức có dạng khi đó ta có = () = Xét trường hợp đơn thức dạng ( ≠ ): Vì (, ) là đa thức đối xứng nên có số hạng dạng . Không mất tính tổng quát, giả sử m < n ta xét tổng hai đơn thức trên ta có: ( + ) = ( + ) = . Theo công thức Newton, ta có là một đa thức của các biến , nên biểu thức trên là một đa thức của , . Một đa thức đối xứng là tổng của các số hạng dạng và ( ≠ ) nên mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được ở dạng đa thức theo các biến , . Ví dụ: Biểu diễn đa thức sau theo các đa thức đối xứng cơ bản: () = + + + + Ta có: () = + + + + = ( + ) + ( + ) + () = + . + = − 5 + 5 + ( − 3 ) + = − 5 + 5 + − 3 + = − 4 + 2 + = − 4 Định lý 3: (Tính duy nhất) Nếu các đa thức ( , ) và ( , ) khi thay = + và = cho ta cùng một đa thức đối xứng (, ) , thì chúng phải trùng nhau, nghĩa là ( , ) ≡ ( , ). 7 1.2. Đa thức đối xứng ba biến: 1.2.1. Các khái niệm cơ bản: Định nghĩa 9: Một đơn thức (, , ) của các biến , , được hiểu là hàm số có dạng: (, , ) = Với , , ∈ ℕ ∗ , + + ≠ 0 được gọi là bậc của các biến , , . Số ∈ ℝ ∗ được gọi là hệ số của đơn thức, còn số + + được gọi là bậc của đơn thức (, , ). Định nghĩa 10: Một hàm số (, , ) của các biến , , được gọi là một đa thức nếu nó có thể biểu diễn ở dạng tổng hữu hạn các đơn thức: (, , ) = Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức. Định nghĩa 11: Đa thức (, , ) được gọi là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổi với mọi hoán vị của , , nghĩa là: (, , ) = (, , ) = (, , ) = (, , ) = (, , ) = (, , ) . Ví dụ: Các đa thức dưới đây là các đa thức đối xứng theo các biến , , (, , ) = + + − 2 − 2 − 2 (, , ) = ( + )( + )( + ) ℎ(, , ) = ( − ) ( − ) ( − ) Định nghĩa 12: Đa thức đối xứng (, , ) được gọi là thuần nhất bậc m, nếu: (, , ) = (, , ), ∀ ≠ 0 Ví dụ: (, , ) = + + là đa thức thuần nhất bậc 2 vì (, , ) = ( + + ) = (, , ), ∀ ≠ 0 8 Định nghĩa 13: Các đa thức = + + , = + + , = được gọi là các đa thức đối xứng cơ bản của các biến , , . 1.2.2. Tổng lũy thừa và tổng nghịch đảo: Định nghĩa 14: Các đa thức = + + ( ∈ ℤ) được gọi là tổng lũy thừa bậc k của các biến , , . Định lý 4: (Công thức Newton) Với mọi ∈ ℤ , ta có hệ thức = . − . + . . Chứng minh: Ta có . − + . = ( + + )( + + ) −( + + )( + + ) + ( + + ) = + + = . Định lý 5: Mỗi tổng lũy thừa = + + ( ∈ ℤ) đều có thể biểu diễn được dưới dạng một đa thức bậc theo các biến , , . Chứng minh: (Bằng phương pháp quy nạp). Dựa vào công thức Newtơn ta tính được: = 3; = ; = − 2 ; = − 3 + 3 = − 4 + 2 + 4 ; = − 5 + 5 + 5 − 5 ; Định nghĩa 15: (Quỹ đạo của đơn thức) Đa thức đối xứng với các số hạng tối thiểu, một trong các số hạng của nó là đơn thức , được gọi là quỹ đạo của đơn thức và kí hiệu là ( ). 9 Như vậy, để tìm quỹ đạo của đơn thức ta bổ sung vào đơn thức đó tất cả các hoán vị của , , .Với ≠ ≠ , ta có: ( ) = + + + + + . Ví dụ: Quỹ đạo của đơn thức ( ) ( ) = + + + + + Nếu trong đơn thức có hai số mũ nào đó bằng nhau, chẳng hạn: = ≠ , thì: ( ) = + + . Chẳng hạn: () = + + ( ) = + + Các trường hợp riêng của quỹ đạo: () = + + = ; () = + + = ; () = = ; ( ) = ( ) = ( ) = + + . Định lý 6: Quỹ đạo của mọi đơn thức biểu diễn được dưới dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản. Chứng minh: Trường hợp 1: Quỹ đạo có dạng ( ) = (hoặc ( ) ; ( ) ) thì theo định lý 5 thì ( ) được diễn theo các đa thức đối xứng cơ bản. Trường hợp 2: Quỹ đạo có dạng ( ).Ta có công thức: ( ) = ( ) ( ) − ( ) ( ≠ ) Nếu = 1 thì ta có ( ) = ( ) − ( ). 10 Vậy quỹ đạo của đơn thức dạng ( ) và biểu diễn được dưới dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản. Tương tự cho ( ) và ( ). Trường hợp 3: Quỹ đạo có dạng ( ); ≠ ≠ ≠ 0.Khi đó ta có ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) Theo trường hợp 2 thì ta có ( ); ( ); ( ) có thể biểu diễn được theo các đa thức đối xứng cơ bản nên ( ) biểu diễn được theo các đa thức đối xứng cơ bản. Vậy quỹ đạo của mọi đơn thức có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản. 1.2.3. Các định lý của đa thức đối xứng ba biến: Định lý 7: Mọi đa thức đối xứng ba biến , , đều có thể biểu diễn dưới dạng đa thức theo các biến = + + ; = + + ; = . Chứng minh: Giả sử (, , ) là đa thức đối xứng và là một trong các số hạng của (, , ) do tính đối xứng nên (, , ) chứa quỹ đạo ( ) với thừa số chung là . Ta có: (, , ) = . ( ) + (, , ). Trong đó, (, , ) là đa thức đối xứng nào đó với ít số hạng hơn (, , ). Tương tự, đối với (, , ) ta cũng có công thức như trên. Qua hữu hạn bước như trên ta có thể phân tích đa thức (, , ) thành tổng các quỹ đạo. Theo định lý 6, mỗi quỹ đạo lại là một đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản, do đó mọi đa thức đối xứng đều có thể biểu diễn ở dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản. 11 Ví dụ: (, , ) = + + = ( + + ) − 2 ( + + ) = − 2 . Định lý 8: (Tính duy nhất) Nếu hai đa thức ( , , ) và ( , , ) khi thay = + + ; = + + ; = cho ta cùng một đa thức đối xứng (, , ) thì chúng phải trùng nhau, nghĩa là ( , , ) = ( , , ) . Để biểu diễn một đa thức đối xứng qua các đối xứng cơ bản, một cách tổng quát ta tiến hành theo các bước trong chứng minh định lý 7. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp đa thức là thuần nhất, ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định. Cơ sở của phương pháp này là mệnh đề sau. Mệnh đề 1: Cho (, , ) là một đa thức đối xứng thuần nhất bậc . Khi đó. (, , ) được biểu diễn qua các đa thức đối xứng cơ sở theo công thức: (, , ) , , , ∈ ℕ Dưới đây là một số trường hợp riêng của mệnh đề: (, , ) = ; (, , ) = + ; (, , ) = + + ; (, , ) = + + + ; Trong đó, ( = 1,2, . . . ) là các hằng số được xác định duy nhất và để tìm các hệ số này ta cho , , nhận các giá trị cụ thể nào đó, thiết lập hệ phương trình với ẩn là ( = 1,2, . . . )giải hệ phương trình ta tìm được . Ví dụ: Biểu diễn đa thức sau đây theo các đa thức đối xứng cơ bản (, , ) = ( − ) ( − ) ( − ) Do (, , ) là đa thức thuần nhất bậc 6 nên theo mệnh đề trên ta có: (, , ) = + + + + + + . 12 Nhận thấy rằng (, , ) có bậc cao nhất đối với từng biến là 4 nên ta có = = 0.Để tìm các hệ số còn lại, ta cho (, , ) lần lượt nhận các giá trị (0,1, −1), (0,1,1), (1,1, −2), (−1,1,1), (1,1,1) ta tìm được: = 1, = −4, = −4, = −27, = 18. Vậy ta có kết quả (, , ) = − 4 − 4 − 27 + 18 . Giả sử (, , ), (, , ), (, , ) là các đa thức đối xứng 3 ẩn. Xét hệ phương trình (, , ) = 0 (, , ) = 0 (, , ) = 0 () Bằng cách đặt + + = , + + = , = Khi đó ta đưa về dạng ( , , ) = 0 ( , , ) = 0 ( , , ) = 0 () Hệ phương trình () thường đơn giản hơn hệ () và có thể dễ dàng tìm được nghiệm , , . Sau khi tìm được các giá trị của , , , cần phải tìm các giá trị của các ẩn số , , . Điều này dễ dàng thực hiện được nhờ định lý sau đây. Định lý 9: Giả sử , , là các số thực nào đó. Khi đó phương trình bậc ba − + − = 0 () và hệ phương trình + + = + + = = () Nếu , , là các nghiệm của phương trình () thì hệ () có các nghiệm 13 = = = ; = = = ; = = = ; = = = ; = = = ; = = = . và ngoài ra không còn các nghiệm nào khác. Ngược lại, nếu = , = , = là nghiệm của hệ () thì các số , , là nghiệm của phương trình (). Chứng minh. Giả sử , , là các nghiệm của phương trình () . Khi đó ta có đồng nhất thức − + − = ( − )( − )( − ). Từ đó ta có các hệ thức Viete: + + = + + = = Suy ra , , là nghiệm của hệ (). Ngoài ra còn năm nghiệm nữa nhận được bằng cách hoán vị các giá trị của các ẩn số. Hệ () không còn nghiệm nào khác được chứng tỏ như sau: Giả sử = , = , = là nghiệm của hệ (), nghĩa là + + = + + = = Khi đó ta có − + − = − ( + + ) + ( + + ) − = ( − )( − )( − ) Điều đó chứng tỏ rằng các số , , là nghiệm của phương trình bậc ba ().Định lý được chứng minh. 14 Định lý 10: Giả sử (a, 0, 0) là bộ số thực đã cho. Để các số x, y, z xác định bởi hệ phương trình (iv) là các số thực, điều kiện cần và đủ là: ∆= −4 + + 18 − 4 − 27 ≥ 0. () Ngoài ra, để các số x, y, z là không âm thì ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 Chứng minh. Giả sử , , là nghiệm của hệ (). Khi đó theo định lý trên thì , , là các nghiệm của phương trình (). Phương trình () có nghiệm thực khi và chỉ khi biệt thức của nó không âm, nghĩa là () được thỏa mãn. Ngoài ra, nếu các số , , không âm, thì hiển nhiên σ > 0 ( = 1, 2, 3) . Ngược lại, nếu σ ≥ 0 ( = 1, 2, 3)và () được thỏa mãn, thì phương trình () không thể có nghiệm âm. Thật vậy, trong () thay = − ta có phương trình + + + = 0 () Vì σ ≥ 0 ( = 1, 2, 3)nên phương trình () không thể có nghiệm dương. Từ đó suy ra , , là các số không âm. Định lý được chứng minh. 1.3. Đa thức đối xứng biến: 1.3.1. Các khái niệm cơ bản: Định nghĩa 16: Giả sử = ( , , . . . , ) ∈ ℝ , đa thức () = ( , , . . . , ) được hiểu là hàm số có dạng () = ∑ () . Trong đó, () = ( , , … , ) = ∑ …. … ⋯ ∈ ℕ, = 1,2, … , Định nghĩa 17: Đa thức () = ( , , . . . , ) theo các biến , … , được gọi là đối xứng nếu nó không thay đổi khi đổi chỗ giữa hai biến bất kỳ. Định nghĩa 18: Đa thức () = ( , , … , ) theo các biến , … , được gọi là thuần nhất bậc nếu () = ( , … , , ) = ( , , . . . , , ) = (). 15 Kí hiệu = + +. . . + ; ∈ ℤđược gọi là tổng lũy thừa và = , ,…, ⋯ … là các đa thức đối xứng cơ bản của các biến , … , . Chẳng hạn, với = 4ta có: = + + + = + + + + + = + + + = . Định nghĩa 19: Đa thức với số hạng tối thiểu, mỗi số hạng là một đơn thức có dạng … được gọi là quỹ đạo của đơn thức và được kí hiệu là … . Ví dụ: với = 4ta có: ( ) = + + + + + + + + + + + 1.3.2. Biểu diễn các tổng lũy thừa qua các đa thức đối xứng cơ bản: Định lý 11: (C...
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC ĐỐI XỨNG
Đa thức đối xứng hai biến
1.1.1 Các khái niệm cơ bản: Định nghĩa 1: Một đơn thức (x, y) của các biến độc lập x, y được hiểu là hàm số có dạng:
Thuật ngữ đơn thức trong toán học là một biểu thức đại số chỉ gồm các hệ số, biến và phép nhân Hệ số là một hằng số, còn biến là những đại lượng thay đổi Mỗi đơn thức có một bậc, là tổng các số mũ của các biến trong đơn thức Ví dụ, trong đơn thức x^2y^3, bậc của đơn thức là 5, trong đó bậc đối với biến x là 2 và bậc đối với biến y là 3.
Bậc của đơn thức hai biến bằng tổng các bậc của các đơn thức theo từng biến
Định nghĩa 1: Bậc của đơn thức là tổng số mũ của các biến xuất hiện trong đơn thức đó Ví dụ: deg(10x^6) = 6 Định nghĩa 2: Hai đơn thức của các biến x, y được gọi là đồng dạng nếu bậc của x và y tương ứng ở hai đơn thức là bằng nhau và hệ số của hai đơn thức là khác nhau Nói cách khác, hai đơn thức được gọi là đồng dạng nếu chúng có dạng ax^m.y^n (a ≠ 0).
Ví dụ: 5 , 9 là hai đơn thức đồng dạng Định nghĩa 3: Giả sử , là hai đơn thức của các biến x, y Ta nói rằng đơn thức trội hơn đơn thức theo thứ tự của các biến x y nếu k > m, hoặc k = m và l > n Định nghĩa 4: Một hàm số P(x, y) được gọi là một đa thức theo các biến số x, y nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hữu hạn các đơn thức Như vậy đa thức P(x, y) theo các biến số x, y là hàm số có dạng ( , ) = ∑
- Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức
Ví dụ: Đa thức ( , ) = − 2 + 6 có bậc 12 Định nghĩa 5: Đa thức P(x,y) được gọi là đa thức đối xứng của hai biến x, y nếu nó không thay đổi khi đổi chỗ của x và y bất kỳ, nghĩa là: P(x, y) = P(y, x)
Ví dụ: ( , ) = + + ; ( , ) = + Định nghĩa 6: Các đa thức = + ; = được gọi là các đa thức đối xứng cơ bản của các biến x, y Định nghĩa 7: Đa thức đối xứng P(x, y) được gọi là thuần nhất bậc m, nếu:
Ví dụ: Đa thức ( , ) = + là đa thức thuần nhất bậc 2, bởi vì
1.1.2 Tổng lũy thừa: Định nghĩa 8: Các đa thức = + ( ∈ ℤ) được gọi là tổng lũy thừa của các biến x, y Định lý 1: Một tổng lũy thừa = + ( ∈ ℤ) có thể biểu diễn được dưới dạng một đa thức bậc k của ,
Công thức (1) được gọi là công thức Newton, nó cho phép tính theo và
Với m = 1, m = 2 định lý 1 đúng vì:
Giả sử định lý đã đúng với m < k Khi đó và lần lượt là các đa thức bậc k - 1, k - 2 của , Theo công thức (1) ta suy ra là đa thức bậc k của , Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh
Sử dụng công thức (1) và các biểu thức của , , ở chứng minh trên ta nhận được các biểu thức sau:
Ta thấy rằng trong khai triển của nếu sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của , thì:
Số mũ của giảm dần đều hai đơn vị từ k xuống 0 hoặc 1 tùy theo k chẵn hay k lẻ
Số mũ của tăng dần đều một đơn vị, từ 0 đến [ ]
Các hệ số trong biểu diễn của đan dấu Hệ số thứ 1, 3, 5, là dương, còn các hệ số thứ 2, 2, 6, là âm
1.1.3 Các định lý về đa thức đối xứng hai biến: Định lý 2: (Định lý cơ bản) Mọi đa thức đối xứng P(x, y) của các biến x, y đều có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức ( , ) theo các biến = + và = , nghĩa là: ( , ) = ( , )
Xét trường hợp đơn thức có dạng khi đó ta có = ( ) =
Xét trường hợp đơn thức dạng ( ≠ ):
Vì ( , ) là đa thức đối xứng nên có số hạng dạng Không mất tính tổng quát, giả sử m < n ta xét tổng hai đơn thức trên ta có:
Theo công thức Newton, ta có là một đa thức của các biến , nên biểu thức trên là một đa thức của ,
Một đa thức đối xứng là tổng của các số hạng dạng và ( ≠ ) nên mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được ở dạng đa thức theo các biến ,
Ví dụ: Biểu diễn đa thức sau theo các đa thức đối xứng cơ bản:
= − 4 Định lý 3: (Tính duy nhất) Nếu các đa thức ( , ) và ( , ) khi thay = + và = cho ta cùng một đa thức đối xứng ( , ), thì chúng phải trùng nhau, nghĩa là ( , ) ≡ ( , ).
Đa thức đối xứng ba biến
1.2.1 Các khái niệm cơ bản: Định nghĩa 9: Một đơn thức ( , , ) của các biến , , được hiểu là hàm số có dạng:
Với , , ∈ ℕ ∗ , + + ≠ 0 được gọi là bậc của các biến , ,
Số ∈ ℝ ∗ được gọi là hệ số của đơn thức, còn số + + được gọi là bậc của đơn thức ( , , ) Một hàm số ( , , ) của các biến , , được gọi là một đa thức nếu nó có thể biểu diễn ở dạng tổng hữu hạn các đơn thức:
Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức Định nghĩa 11: Đa thức ( , , ) được gọi là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổi với mọi hoán vị của , , nghĩa là:
Ví dụ: Các đa thức dưới đây là các đa thức đối xứng theo các biến , ,
( , , ) = ( + )( + )( + ) ℎ( , , ) = ( − ) ( − ) ( − ) Định nghĩa 12: Đa thức đối xứng ( , , ) được gọi là thuần nhất bậc m, nếu:
Ví dụ: ( , , ) = + + là đa thức thuần nhất bậc 2 vì
( , , ) = ( + + ) = ( , , ), ∀ ≠ 0 Định nghĩa 13: Các đa thức = + + , = + + , = được gọi là các đa thức đối xứng cơ bản của các biến , ,
1.2.2 Tổng lũy thừa và tổng nghịch đảo: Định nghĩa 14: Các đa thức = + + ( ∈ ℤ) được gọi là tổng lũy thừa bậc k của các biến , , Định lý 4: (Công thức Newton)
Với mọi ∈ ℤ , ta có hệ thức = − +
= + + = Định lý 5: Mỗi tổng lũy thừa = + + ( ∈ ℤ) đều có thể biểu diễn được dưới dạng một đa thức bậc theo các biến , ,
Chứng minh: (Bằng phương pháp quy nạp) Dựa vào công thức Newtơn ta tính được: = 3;
Đa thức đối xứng với các số hạng tối thiểu, một trong các số hạng của nó là đơn thức, được gọi là quỹ đạo của đơn thức và kí hiệu là
Như vậy, để tìm quỹ đạo của đơn thức ta bổ sung vào đơn thức đó tất cả các hoán vị của , , Với ≠ ≠ , ta có:
Ví dụ: Quỹ đạo của đơn thức ( )
Nếu trong đơn thức có hai số mũ nào đó bằng nhau, chẳng hạn:
Các trường hợp riêng của quỹ đạo:
( ) = ( ) = ( ) = + + Định lý 6: Quỹ đạo của mọi đơn thức biểu diễn được dưới dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản
Trường hợp 1: Quỹ đạo có dạng ( ) = (hoặc ( ) ; ( )) thì theo định lý 5 thì ( ) được diễn theo các đa thức đối xứng cơ bản
Trường hợp 2: Quỹ đạo có dạng ( ) Ta có công thức:
Vậy quỹ đạo của đơn thức dạng ( ) và biểu diễn được dưới dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản Tương tự cho ( ) và ( )
Trường hợp 3: Quỹ đạo có dạng ( ); ≠ ≠ ≠ 0 Khi đó ta có
Theo trường hợp 2 thì ta có ( ); ( ); ( ) có thể biểu diễn được theo các đa thức đối xứng cơ bản nên ( ) biểu diễn được theo các đa thức đối xứng cơ bản
Vậy quỹ đạo của mọi đơn thức có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản
1.2.3 Các định lý của đa thức đối xứng ba biến: Định lý 7: Mọi đa thức đối xứng ba biến , , đều có thể biểu diễn dưới dạng đa thức theo các biến = + + ; = + + ; =
Giả sử ( , , ) là đa thức đối xứng và là một trong các số hạng của ( , , ) do tính đối xứng nên ( , , ) chứa quỹ đạo ( ) với thừa số chung là
Trong đó, ( , , ) là đa thức đối xứng nào đó với ít số hạng hơn ( , , )
Tương tự với các tập hợp khác, đa thức bất biến cũng có thể phân tích thành tổng các quỹ đạo bằng cách áp dụng công thức bất biến trong hữu hạn bước Theo Định lý 6, mỗi quỹ đạo là đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản Do đó, mọi đa thức đối xứng đều có thể biểu diễn thành dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản.
Ví dụ: ( , , ) = + + = ( + + ) − 2( + + ) = − 2 Định lý 8: (Tính duy nhất) Nếu hai đa thức ( , , ) và ( , , ) khi thay = + + ; = + + ; = cho ta cùng một đa thức đối xứng ( , , ) thì chúng phải trùng nhau, nghĩa là ( , , ) ( , , ) Để biểu diễn một đa thức đối xứng qua các đối xứng cơ bản, một cách tổng quát ta tiến hành theo các bước trong chứng minh định lý 7 Tuy nhiên trong nhiều trường hợp đa thức là thuần nhất, ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định Cơ sở của phương pháp này là mệnh đề sau
Mệnh đề 1: Cho ( , , ) là một đa thức đối xứng thuần nhất bậc Khi đó ( , , ) được biểu diễn qua các đa thức đối xứng cơ sở theo công thức:
Dưới đây là một số trường hợp riêng của mệnh đề:
Trong đó, ( = 1,2, ) là các hằng số được xác định duy nhất và để tìm các hệ số này ta cho , , nhận các giá trị cụ thể nào đó, thiết lập hệ phương trình với ẩn là ( = 1,2, ) giải hệ phương trình ta tìm được
Ví dụ: Biểu diễn đa thức sau đây theo các đa thức đối xứng cơ bản
Do ( , , ) là đa thức thuần nhất bậc 6 nên theo mệnh đề trên ta có:
Nhận thấy rằng ( , , ) có bậc cao nhất đối với từng biến là 4 nên ta có
= = 0 Để tìm các hệ số còn lại, ta cho ( , , ) lần lượt nhận các giá trị (0,1, −1), (0,1,1), (1,1, −2), (−1,1,1), (1,1,1) ta tìm được:
Vậy ta có kết quả ( , , ) = − 4 − 4 − 27 + 18
Giả sử ( , , ), ( , , ), ( , , ) là các đa thức đối xứng 3 ẩn Xét hệ phương trình
Khi đó ta đưa về dạng
Hệ phương trình ( ) thường đơn giản hơn hệ ( ) và có thể dễ dàng tìm được nghiệm x, y, z Sau khi tìm được các giá trị của x, y, z, cần tiếp tục tìm các giá trị của các ẩn số u, v, w Điều này dễ dàng thực hiện được nhờ định lý sau: Định lý 9: Giả sử a, b, c là các số thực nào đó Khi đó phương trình bậc ba ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 có nghiệm nếu a, b, c, d thỏa mãn điều kiện d = - (a + b + c) (d là hằng số).
( ) , , là các nghiệm của phương trình ( ) thì hệ ( ) có các nghiệm
= và ngoài ra không còn các nghiệm nào khác Ngược lại, nếu = , = , = là nghiệm của hệ ( ) thì các số , , là nghiệm của phương trình ( )
Chứng minh Giả sử , , là các nghiệm của phương trình ( ) Khi đó ta có đồng nhất thức
Từ đó ta có các hệ thức Viete:
Suy ra , , là nghiệm của hệ ( ) Ngoài ra còn năm nghiệm nữa nhận được bằng cách hoán vị các giá trị của các ẩn số
Hệ ( ) không còn nghiệm nào khác được chứng tỏ như sau:
Giả sử = , = , = là nghiệm của hệ ( ), nghĩa là
= ( − )( − )( − ) Điều đó chứng tỏ rằng các số , , là nghiệm của phương trình bậc ba ( ) Định lý được chứng minh Định lý 10: Giả sử (a, 0, 0) là bộ số thực đã cho Để các số x, y, z xác định bởi hệ phương trình (iv) là các số thực, điều kiện cần và đủ là:
Ngoài ra, để các số x, y, z là không âm thì
Chứng minh Giả sử , , là nghiệm của hệ ( ) Khi đó theo định lý trên thì , , là các nghiệm của phương trình ( ) Phương trình ( ) có nghiệm thực khi và chỉ khi biệt thức của nó không âm, nghĩa là ( ) được thỏa mãn Ngoài ra, nếu các số , , không âm, thì hiển nhiên σ > 0 ( = 1, 2, 3) Ngược lại, nếu σ ≥ 0 ( = 1, 2, 3) và ( ) được thỏa mãn, thì phương trình ( ) không thể có nghiệm âm Thật vậy, trong ( ) thay = − ta có phương trình
Vì σ ≥ 0 ( = 1, 2, 3) nên phương trình ( ) không thể có nghiệm dương Từ đó suy ra , , là các số không âm Định lý được chứng minh.
Đa thức đối xứng n biến
1.3.1 Các khái niệm cơ bản: Định nghĩa 16: Giả sử = ( , , , ) ∈ ℝ , đa thức
( ) = ( , , , ) được hiểu là hàm số có dạng ( ) = ∑ ( )
∈ ℕ, = 1,2, … , Định nghĩa 17: Đa thức ( ) = ( , , , ) theo các biến , … , được gọi là đối xứng nếu nó không thay đổi khi đổi chỗ giữa hai biến bất kỳ Định nghĩa 18: Đa thức ( ) = ( , , … , ) theo các biến , … , được gọi là thuần nhất bậc nếu
Kí hiệu = + + + ; ∈ ℤ được gọi là tổng lũy thừa và
… là các đa thức đối xứng cơ bản của các biến , … ,
Chẳng hạn, với = 4 ta có:
Đa thức có số hạng tối thiểu, mỗi số hạng là đơn thức có dạng là quỹ đạo của đơn thức Kí hiệu là quỹ đạo của đơn thức.
Ví dụ: với = 4 ta có: ( ) = + + + +
1.3.2 Biểu diễn các tổng lũy thừa qua các đa thức đối xứng cơ bản: Định lý 11: (Công thức truy hồi Newtơn)
Các tổng lũy thừa và các đa thức đối xứng cơ bản liên hệ với nhau theo công thức
1.3.3 Các định lý của đa thức đối xứng n biến: Định lý 12: (Định lý tồn tại) Giả sử ( , , , ) là đa thức đối xứng của biến Khi đó, tồn tại đa thức ( ) sao cho nếu thay
= + + ⋯ + , … , = … thì ta nhận được đa thức ( , , , ) Định lý 13: (Tính duy nhất) Nếu hai đa thức ( , , … , ) và ( , , … , ) sau khi thay = + + ⋯ + , … , = … cho ta cùng một đa thức đối xứng ( , , , ) thì , , … , ≡ ( , , … , )
Cách chứng minh ba định lý trên hoàn toàn tương tự đối với trường hợp hai biến và ba biến.
Phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy (còn gọi là phương trình thuận nghịch)
( ) = + + ⋯ + ; ( ≠ 0) được gọi là đa thức hệ số đối xứng nếu các hệ số cách đều hai đầu bằng nhau, nghĩa là: = , = , = , …
Phương trình của đa thức hệ số đối xứng được gọi là phương trình hệ số đối xứng
Ví dụ: Các đa thức sau đây là đa thức hệ số đối xứng:
( ) = + 3 + 4 + 3 + 1 ( ) = − 2 − 5 + 12 − 5 − 2 + 1 Định lý 14: Đa thức f(z) bậc n là đa thức có hệ số đối xứng khi và chỉ khi
Phần thuận: Nếu ( ) là đa thức đối xứng bậc thì ta dễ dàng suy ra
Ngược lại: Giả sử ( ) có dạng ( ) = + + ⋯ + ; ( ≠ 0) Với ≠ 0, thay x trong phương trình trên bằng , ta được
Lại có = ( ), ≠ 0 suy ra = , = , = hay ( ) là đa thức có hệ số đối xứng Định nghĩa 21: Các đa thức
Trong đó, ≠ 0 và ≠ 0 được gọi là các đa thức hồi quy (phương trình thuận nghịch) Phương trình của đa thức hồi quy được gọi là phương trình hồi quy
Khi = 1 thì đa thức hồi quy trở thành đa thức hệ số đối xứng
Ví dụ: Phương trình 4 + 5 – 3 + 10 – 9 + 45 + 108 = 0 là phương trình hồi quy với = 3, vì phương trình đã cho có thể viết dưới dạng:
Mọi đa thức hồi quy bậc chẵn 2 :
+ đều có thể biểu diễn ở dạng ( ) = ℎ( ), trong đó = + và h( ) là một đa thức vào đó theo biến và có bậc
- Mọi đa thức hồi quy bậc lẻ đều có dạng ( ) = ( + ) ( ), trong đó ( ) là đa thức hồi quy bậc chẵn.
ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy (còn gọi là phương trình thuận nghịch)
Đa thức đối xứng là công cụ hữu hiệu để giải các phương trình đại số bậc cao, đặc biệt là phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy
Cách giải phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy:
- Nếu ( ) là đa thức hệ số đối xứng (đa thức hồi quy) bậc chẵn thì ta xét:
+ Nếu = 0 không là nghiệm thì ta chia hai vế của phương trình cho Sau khi chia hai vế của phương trình cho ta được phương trình dạng
( ) = + + + + ⋯ + + + ; ( ≠0) là phương trình hệ số đối xứng
0) là phương trình hồi quy Đây là phương trình đối xứng với và ( ) Bằng cách đặt = ( = ), ta đưa phương trình về dạng
Ta thấy đây là phương trình đối xứng theo các biến , khi đó ta có
Bằng cách sử dụng định lý 1 (công thức Newtơn) biểu diễn đa thức đã cho theo các đa thức đối xứng cơ bản , sau đó giải tìm nghiệm của phương trình đã cho
Như vậy, bằng cách trên ta đưa phương trình hệ số đối xứng (phương
Giải: Đây là phương trình hồi quy với = 2, ta biểu diễn phương trình dưới dạng
Ta có = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho ta được
+ 46 = 0 Đặt = phương trình trở thành
Ta thấy rằng (*) là phương trình đối xứng theo các biến x, y
Sử dụng các công thức
Ta đưa phương trình trên về dạng:
Nghiệm của phương trình này là = 1; = 2; = 3; = vì
+ = = + ⇒ | | ≥ 2√2 nên ta chỉ nhận giá trị = 3
Do đó, để tìm nghiệm của phương trình đã cho ta giải phương trình sau:
Từ các phương trình trên ta tìm được các giá trị của là = 1; = 2
Giải: Phương trình đã cho là phương trình hệ số đối xứng bậc 6 Vì z = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho z 3 và biến đổi phương trình này về dạng 9( 3 1 3 ) 18( 2 1 2 ) 73( 1 ) 164 0 z z z z z z
Sử dụng các công thức
Ta đưa được phương trình trên về dạng
9 18 100 200 0 Nghiệm của phương trình này là
Do đó, để tìm nghiệm của phương trình đã cho, ta có các phương trình
Từ các phương trình trên ta tìm được các giá trị của x là nghiệm của phương trình là: 1
Giải: Đây là phương trình hệ số đối xứng bậc lẻ nên có thể đưa phương trình về dạng
2 + 5 + 10 + 4 − 20 − 2 − 20 + 4 + 10 + 5 + 2 = 0 (∗) Phương trình (*) là phương trình hệ số đối xứng bậc 10 Ta có = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho x và biến đổi phương trình về dạng:
= 0 Đặt = , khi đó phương trình trở thành
Ta được phương trình đối xứng có bậc là 5 với các biến x, y Sử dụng các công thức
+ = = − 5 + 5 = − 5 + 5 ta đưa phương trình trên về dạng
Vì + = = + ⇒ | | ≥ 2 nên ta chỉ nhận hai giá trị: = ; = 2 Vậy, tìm nghiệm của phương trình đã cho ta giải các phương trình + = ; + = 2
Từ các phương trình trên ta tìm được các giá trị là nghiệm của phương trình đã cho là:
Tìm nghiệm nguyên của các phương trình, hệ phương trình đối xứng
Để giải các bài toán tìm nghiệm nguyên của các phương trình, hệ phương trình đối xứng ta biểu diễn phương trình, hệ phương trình đã cho theo các đa thức đối xứng cơ bản , , , … kết hợp với một số điều kiện của , , , … ta tìm được các giá trị cụ thể của , , , … Khi đó x, y, z,… là nghiệm nguyên của phương trình (nếu có):
− + ⋯ + (−1) = 0, ≥ 2 Bài 4 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
+ + 1 = 3 Giải: Đặt = + , = Phương trình trở thành
Trường hợp 1: + 1 = 0, ta có + + 1 = 0, phương trình có vô số nghiệm nguyên ( ∈ ℤ, = −1 − )
Trường hợp 2: − + 1 − 3 = 0 Ta viết phương trình này dưới dạng
Từ việc đặt = + , = , thì điều kiện tồn tại hai số , là ≥ 4 Khi đó, ta có
⇔ ( − 2) ≤ 0 ⟺ = 2 ⇒ = 1 Khi đó ta có hệ phương trình:
Hệ này luôn có nghiệm nguyên duy nhất là = = 1 Như vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
= −1 − Bài 5 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
Giải: Đặt = + , = Phương trình trở thành
Từ việc đặt = + , = thì điều kiện tồn tại hai số , là ≥ 4 Khi đó, ta có:
4 ⟺ − 4 ≤ 0 ⟺ 0 ≤ ≤ 4 Mặt khác, từ phương trình
⟺ (2 − 1) = 12 + 1 Nhận thấy 12 + 1 là số chính phương, nên từ đó chọn được
= = 0 phương trình có nghiệm nguyên: = = 0
= 1, = 0 phương trình có các nghiệm nguyên là
= 4, = 4, phương trình có các nghiệm nguyên là:
= 2 Vậy phương trình đã cho các nghiệm nguyên là:
= 2 Bài 6 Tìm các nghiệm nguyên dương của hệ phương trình
Giải: Đặt = + , = , hệ phương trình trở thành
Thay phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai, ta được
Trường hợp 1: = 0 ⇒ = 0 ⇒ = − rõ ràng không thỏa mãn vì nghiệm cần tìm nguyên dương
Trường hợp 2: − − 3 = 0 Dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên dương là
Bài 7 Tìm các số nguyên x, y, z sao cho
Hệ phương trình đã cho trở thành
Từ đó, ta có x, y, z là nghiệm nguyên của phương trình
Vậy các số nguyên cần tìm là 1,2,3
Bài 8 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x 2 y 2 x y 8
Giải: Phương trình ban đầu được viết lại: x y 2 2 xy x y 8 Đặt 1
Khi đó phương trình trở thành
1 2 2 2 1 8 1 2 1 8 2 2 (1) Để phương trình có nghiệm 1 2 4 2 (2)
Ta có 1 nhận các giá trị nguyên -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
Thay lần lượt các giá trị của 1 vào (1) ta được các cập sau thỏa mãn:
Hệ này có hai nghiệm ( , ) ( 1, 2);( 2, 1)x y
Hệ này có hai nghiệm ( , ) (2, 2);( 2, 2)x y
Hệ này có hai nghiệm ( , ) ( 1,3);(3 1)x y
Hệ này có hai nghiệm ( , ) (2,3);(3, 2)x y
Vậy phương trình có 8 nghiệm là:
Giải phương trình và hệ phương trình đối xứng
2.3.1 Phương trình và hệ phương trình đối xứng hai ẩn
Bài 9 Giải các hệ phương trình sau a) + + = 3
Giải: Với điều kiện , ≠ 0 Đặt + = , = Ta có
Do đó ta có hệ
Từ hệ phương trình này, thực hiện phép thế và giải phương trình ta tìm được
Khi đó x, y là các nghiệm của các hệ phương trình
Giải các hệ phương trình này ta có các nghiệm của hệ đã cho là
Do đó ta có hệ
Từ hệ phương trình này, thực hiện phép thế và giải phương trình ta tìm được
= 0 hoặc = 2 Khi đó x, y là các nghiệm của các hệ phương trình
Giải các hệ phương trình này ta có các nghiệm của hệ đã cho là: = 0 ;
Giải: Hệ phương trình đã cho không phải là hệ đối xứng, tuy nhiên bằng cách đặt:
= , = ta có hệ đối xứng
= 4 Đặt + = , = , ta có hệ phương trình
Từ đó ta có hệ phương trình
Giải: Hệ phương trình đã cho không phải là hệ đối xứng, tuy nhiên bằng cách đặt
= − ta có hệ đối xứng
+ = 3093 + = 3 Đặt + = , = , ta có hệ phương trình
Từ đó ta có x, y là nghiệm của các hệ phương trình
Từ đó ta có nghiệm của hệ phương trình đã cho là
Giải: Đặt √ = , − 1 = ta có hệ phương trình
+ = 3 + ( + 1) = 82 Giải hệ phương trình trên, ta có
Từ đó ta có nghiệm của hệ phương trình đã cho là
= √83 Bài 10 Giải các phương trình sau: a) + √17 − + √17 − = 9
Giải: Đặt √17 − x = y Khi đó ta có hệ
Giải hệ phương trình trên, tìm được = 1
Từ kết quả trên ta tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là = 1, = 4
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là = 1, = 4 b) + = 84 Đặt = thì 19 − = + Khi đó ta có hệ
+ + = 19 ( + ) = 84 Giải hệ phương trình trên, tìm được
Từ kết quả trên ta tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
Giải: Với điều kiện | | > 1, đặt = , √ = Khi đó ta có hệ
Giải hệ phương trình trên, tìm được
Từ kết quả trên ta tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là = , = Bài 11 Giải hệ phương trình đối xứng sau:
+ = 4 + = 8 Giải: Đặt = x + y, = xy, khi đó hệ đã cho trở thành
Từ hệ phương trình này suy ra
+ 12 − 16 = 0 Phương trình này có nghiệm là 2 Vậy vế trái có dạng
( − 2)( + 2 − 8) Phương trình + 2 − 8 = 0 có hai nghiệm 2 và – 4 + Với = 2 ta có = 0
Suy ra x và y là nghiệm của cá hệ phương trình sau:
Các hệ phương trình này có nghiệm là
2.3.2 Hệ phương trình đối xứng ba ẩn
Bài 12 Giải hệ phương trình đối xứng sau:
Hệ phương trình đã cho trở thành:
Ta có , , là nghiệm của phương trình:
− 6 + 11 − 6 = 0 (**) Nghiệm của phương trình (**) là : X = 1, X= 2, X = 3
Vậy hệ phương trình có 6 nghiệm, mỗi bộ nghiệm là hoán vị của ba số 1, 2, 3 Bài 13 Tìm các số nguyên x, y, z sao cho
Ta có hệ phương trình
Từ hệ này tìm được = 11
Vậy x, y, z là ba nghiệm của phương trình bậc ba: − 6 + 11 − 6 = 0 Phương trình cần tìm có một nghiệm bằng 1 (vì tổng các hệ số bằng 0)
Khi đó phương trình có dạng
( − 1)( − 15 + 6) = 0 Đa thức − 15 + 6 có hai nghiệm là 2 và 3
Vậy các số nguyên cần tìm là 1; 2; 3
Bài 14 Giải hệ phương trình
Hệ phương trình đã cho trở thành
Ta có , , Là nghiệm của phương trình:
− 6 + 11 − 6 = 0 (**) Nghiệm của phương trình (**) là : X = 1, X= 2, X = 3
Vậy hệ phương trình có 6 nghiệm, mỗi bộ nghiệm là hoán vị của ba sô 1, 2, 3
Bài 15 Giải các hệ phương trình đối xứng sau a)
Hệ phương trình đã cho trở thành
Giải hệ phương trình này có nghiệm = 1, = , = 1 Từ đó, ta có , , là nghiệm của phương trình
2 + 1 = 0 Nghiệm của phương trình này là = 1, = 2, = Từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho là các bộ ( , , ):
Hệ phương trình đã cho trở thành
Giải hệ phương trình này ta tìm được = = , = 1 Từ đó, ta có , , là nghiệm của phương trình
Từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho là các bộ ( , , ):
+ + + + + + trong đó a, b là các số thực cho trước Đặt + + = , + + = , =
Hệ phương trình đã cho trở thành
Giải hệ phương trình này ta tìm được
Khi đó , , là nghiệm của phương trình
Từ phương trình trên, ta có
- Nếu |a| > |b| thì phương trình trên chỉ có một nghiệm thực u = a, do đó hệ đã cho không có nghiệm thực Trong phạm vi số phức, thì phương trình có các nghiệm
= , = , = − , trong đó là đơn vị ảo Khi đó hệ đã cho có nghiệm ( , , ) là bộ số ( , , − ) và tất cả các hoán vị của nó
-Nếu |a| ≤ |b| thì phương trình trên có ba nghiệm thực = ,
= , = Khi đó hệ phương trình đã cho có nghiệm ( , , ) là bộ số ( , , ) và tất cả các hoán vị của nó d)
Ta có , , là nghiệm của phương trình: − 6 + 11 = 0
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( , , ) = (1; 2; 3) và các hoán vị của chúng e)
Giải: Đặ = ; = 2 ; = −3 , hệ phương trình đã cho trở thành:
Ta có , , là nghiệm của phương trình − 9 + 27 − 27 = 0
Suy ra = = = 3 Từ đó ta có = 2 = −3 = 3 ⟹ = 3; = ; = −1 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( ; ; ) = (3; ; −1)
KẾT LUẬN
Khóa luận trình bày được một số kết quả sau:
- Trình bày lại lý thuyết cơ bản của các đa thức đối xứng, biễu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản
- Trình bày một cách có hệ thống bài tập về ứng dụng của đa thức đối xứng
- Làm rõ các bài tập như: giải phương trình, hệ phương trình đối xứng.