Luận văn, báo cáo, luận án, đồ án, tiểu luận, đề tài khoa học, đề tài nghiên cứu, đề tài báo cáo - Công Nghệ Thông Tin, it, phầm mềm, website, web, mobile app, trí tuệ nhân tạo, blockchain, AI, machine learning - Kế toán UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN - TIN ---------- KHAMMY DOUANGLANGKHAM ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2022 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN - TIN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Sinh viên thực hiện KHAMMY DOUANGLANGKHAM MSSV: 2118010101 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA 2018 – 2022 Cán bộ hướng dẫn Th.S. VÕ VĂN MINH MSCB: T34-15.110-14100 Quảng Nam, tháng 5 năm 2022 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Quảng Nam, ban lãnh đạo khoa Toán – Tin nói chung và các thầy cô trong khoa nói riêng đã quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Em xin chân thành cảm ơn thầy Võ Văn Minh đã hướng dẫn và tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận của minh. Song do hạn chế về mặt kiến thức của bản thân nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót rất mong sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để khóa luận hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn. Quảng Nam, tháng 5 năm 2022 Sinh viên thực hiện Khammy Douanglangkham MỤC LỤC Phần 1. MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................................... 1 4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 2 5. Đóng góp của đề tài .................................................................................... 2 6. Cấu trúc của đề tài ...................................................................................... 2 Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .............................................................. 3 Chương I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ............ 3 1.1. Đa thức đối xứng hai biến: ...................................................................... 3 1.1.1. Các khái niệm cơ bản: .......................................................................... 3 1.1.2. Tổng lũy thừa: ...................................................................................... 4 1.1.3. Các định lý về đa thức đối xứng hai biến: ............................................. 5 1.2. Đa thức đối xứng ba biến:........................................................................ 7 1.2.1. Các khái niệm cơ bản: .......................................................................... 7 1.2.2. Tổng lũy thừa và tổng nghịch đảo: ....................................................... 8 1.2.3. Các định lý của đa thức đối xứng ba biến: .......................................... 10 1.3. Đa thức đối xứng n biến: ....................................................................... 14 1.3.1. Các khái niệm cơ bản: ........................................................................ 14 1.3.2. Biểu diễn các tổng lũy thừa qua các đa thức đối xứng cơ bản: ............ 15 1.3.3. Các định lý của đa thức đối xứng n biến: ............................................ 15 1.4 Phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy (còn gọi là phương trình thuận nghịch): ...................................................................................... 16 Chương II. ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ............................................... 18 2.1. Phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy (còn gọi là phương trình thuận nghịch): ...................................................................................... 18 2.2. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình, hệ phương trình đối xứng .. 22 2.3. Giải phương trình và hệ phương trình đối xứng .................................... 26 2.3.1. Phương trình và hệ phương trình đối xứng hai ẩn ............................... 26 2.3.2. Hệ phương trình đối xứng ba ẩn ......................................................... 32 Phần 3. KẾT LUẬN ..................................................................................... 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 39 1 Phần 1. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đa thức có vị trí rất quan trọng, là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số, hơn nữa cũng là lĩnh vực nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học khác. Trong các kì thi học sinh giỏi toán quốc gia và Olympic toán, các bài toán về đa thức được đề cập đến thường là những bài toán khó như giải phương trình và hệ phương trình bậc cao, phân tích đa thức thành nhân tử, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, các bài toán trong các lĩnh vực này liên quan đến đa thức đối xứng. Nhằm giúp bản thân hiểu rõ hơn về đa thức đối xứng và ứng dụng của nó trong việc giải toán, đây cũng là lí do em chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng đa thức đối xứng để giải phương trình và hệ phương trình” làm khóa luận của mình. 2. Mục đích nghiên cứu - Làm rõ lại một số kết quả cơ bản liên quan đến đa thức đối xứng. Vận dụng các kết quả đạt được để giải quyết một số bài toán đã đặt ra. - Biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản, ứng dụng của đa thức đối xứng vào giải các bài toán sơ cấp liên quan đến phương trình và hệ phương trình. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu: Trình bày một số khái niệm của ứng dụng đa thức đối xứng để giải phương trình và hệ phương trình, rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân. 3.2. Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận tốt nghiệp tập trung nghiên cứu lí thuyết về đa thức đối xứng, các ứng dụng đa thức đối xứng để giải phương trình và hệ phương trình. 2 4. Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức, thảo luận với bạn bè và trao đổi với thầy hướng dẫn. - Tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận. 5. Đóng góp của đề tài Khóa luận đã tổng hợp kiến thức và làm rõ nội dung về ứng dụng đa thức đối xứng đề giải phương trình và hệ phương trình. 6. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được trình bày theo 2 chương: Chương 1: Các khái niệm cơ bản về đa thức đối xứng Chương 2: Ứng dụng của đa thức đối xứng để giải phương trình, hệ phương trình đối xứng. 3 Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC ĐỐI XỨNG 1.1. Đa thức đối xứng hai biến: 1.1.1. Các khái niệm cơ bản: Định nghĩa 1: Một đơn thức (x, y) của các biến độc lập x, y được hiểu là hàm số có dạng: (, ) = Trong đó: là hằng số; k, l là những số nguyên không âm. Số được gọi là hệ số k + l được gọi là bậc của đơn thức ( x, y ), được kí hiệu là deg (, ) = deg = + Các số k, l tương ứng được gọi là bậc của đơn thức đối với các biến x, y . Bậc của đơn thức hai biến bằng tổng các bậc của các đơn thức theo từng biến. Ví dụ: deg(10 ) = 6 Định nghĩa 2: Hai đơn thức của các biến x, y được gọi là đồng dạng nếu bậc của x và y tương ứng ở hai đơn thức là bằng nhau và hệ số của hai đơn thức là khác nhau. - Hai đơn thức được gọi là đồng dạng nếu chúng có dạng: , ( ≠ ). Ví dụ: 5 , 9 là hai đơn thức đồng dạng. Định nghĩa 3: Giả sử , là hai đơn thức của các biến x, y. Ta nói rằng đơn thức trội hơn đơn thức theo thứ tự của các biến x y nếu k > m, hoặc k = m và l > n. 4 Định nghĩa 4: Một hàm số P(x, y) được gọi là một đa thức theo các biến số x, y nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hữu hạn các đơn thức. Như vậy đa thức P(x, y) theo các biến số x, y là hàm số có dạng (, ) = ∑ - Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức. Ví dụ: Đa thức (, ) = − 2 + 6 có bậc 12. Định nghĩa 5: Đa thức P(x,y) được gọi là đa thức đối xứng của hai biến x, y nếu nó không thay đổi khi đổi chỗ của x và y bất kỳ, nghĩa là: P(x, y) = P(y, x) Ví dụ: (, ) = + + ; (, ) = + Định nghĩa 6: Các đa thức = + ; = được gọi là các đa thức đối xứng cơ bản của các biến x, y. Định nghĩa 7: Đa thức đối xứng P(x, y) được gọi là thuần nhất bậc m, nếu: (, ) = (, ), ∀ ≠ 0 Ví dụ: Đa thức (, ) = + là đa thức thuần nhất bậc 2, bởi vì (, ) = () + () = ( + ) = (, ) 1.1.2. Tổng lũy thừa: Định nghĩa 8: Các đa thức = + ( ∈ ℤ) được gọi là tổng lũy thừa của các biến x, y. Định lý 1: Một tổng lũy thừa = + ( ∈ ℤ) có thể biểu diễn được dưới dạng một đa thức bậc k của , . Chứng minh: Ta có = ( + )( + ) = + + ( + ) + . Như vậy ta có = − . (1) Công thức (1) được gọi là công thức Newton, nó cho phép tính theo và . 5 Với m = 1, m = 2 định lý 1 đúng vì: = + = = + = ( + ) − 2 = −2 Giả sử định lý đã đúng với m < k. Khi đó và lần lượt là các đa thức bậc k - 1, k - 2 của , . Theo công thức (1) ta suy ra là đa thức bậc k của , Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh. Sử dụng công thức (1) và các biểu thức của , , ở chứng minh trên ta nhận được các biểu thức sau: = = − 2 = − 3 = − 4 + 2 = − 5 + 5 Ta thấy rằng trong khai triển của nếu sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của , thì: Số mũ của giảm dần đều hai đơn vị từ k xuống 0 hoặc 1 tùy theo k chẵn hay k lẻ Số mũ của tăng dần đều một đơn vị, từ 0 đến Các hệ số trong biểu diễn của đan dấu. Hệ số thứ 1, 3, 5, ... là dương, còn các hệ số thứ 2, 2, 6,... là âm. 1.1.3. Các định lý về đa thức đối xứng hai biến: Định lý 2: (Định lý cơ bản) Mọi đa thức đối xứng P(x, y) của các biến x, y đều có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức ( , ) theo các biến = + và = , nghĩa là: (, ) = ( , ) 6 Chứng minh: Xét trường hợp đơn thức có dạng khi đó ta có = () = Xét trường hợp đơn thức dạng ( ≠ ): Vì (, ) là đa thức đối xứng nên có số hạng dạng . Không mất tính tổng quát, giả sử m < n ta xét tổng hai đơn thức trên ta có: ( + ) = ( + ) = . Theo công thức Newton, ta có là một đa thức của các biến , nên biểu thức trên là một đa thức của , . Một đa thức đối xứng là tổng của các số hạng dạng và ( ≠ ) nên mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được ở dạng đa thức theo các biến , . Ví dụ: Biểu diễn đa thức sau theo các đa thức đối xứng cơ bản: () = + + + + Ta có: () = + + + + = ( + ) + ( + ) + () = + . + = − 5 + 5 + ( − 3 ) + = − 5 + 5 + − 3 + = − 4 + 2 + = − 4 Định lý 3: (Tính duy nhất) Nếu các đa thức ( , ) và ( , ) khi thay = + và = cho ta cùng một đa thức đối xứng (, ) , thì chúng phải trùng nhau, nghĩa là ( , ) ≡ ( , ). 7 1.2. Đa thức đối xứng ba biến: 1.2.1. Các khái niệm cơ bản: Định nghĩa 9: Một đơn thức (, , ) của các biến , , được hiểu là hàm số có dạng: (, , ) = Với , , ∈ ℕ ∗ , + + ≠ 0 được gọi là bậc của các biến , , . Số ∈ ℝ ∗ được gọi là hệ số của đơn thức, còn số + + được gọi là bậc của đơn thức (, , ). Định nghĩa 10: Một hàm số (, , ) của các biến , , được gọi là một đa thức nếu nó có thể biểu diễn ở dạng tổng hữu hạn các đơn thức: (, , ) = Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức. Định nghĩa 11: Đa thức (, , ) được gọi là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổi với mọi hoán vị của , , nghĩa là: (, , ) = (, , ) = (, , ) = (, , ) = (, , ) = (, , ) . Ví dụ: Các đa thức dưới đây là các đa thức đối xứng theo các biến , , (, , ) = + + − 2 − 2 − 2 (, , ) = ( + )( + )( + ) ℎ(, , ) = ( − ) ( − ) ( − ) Định nghĩa 12: Đa thức đối xứng (, , ) được gọi là thuần nhất bậc m, nếu: (, , ) = (, , ), ∀ ≠ 0 Ví dụ: (, , ) = + + là đa thức thuần nhất bậc 2 vì (, , ) = ( + + ) = (, , ), ∀ ≠ 0 8 Định nghĩa 13: Các đa thức = + + , = + + , = được gọi là các đa thức đối xứng cơ bản của các biến , , . 1.2.2. Tổng lũy thừa và tổng nghịch đảo: Định nghĩa 14: Các đa thức = + + ( ∈ ℤ) được gọi là tổng lũy thừa bậc k của các biến , , . Định lý 4: (Công thức Newton) Với mọi ∈ ℤ , ta có hệ thức = . − . + . . Chứng minh: Ta có . − + . = ( + + )( + + ) −( + + )( + + ) + ( + + ) = + + = . Định lý 5: Mỗi tổng lũy thừa = + + ( ∈ ℤ) đều có thể biểu diễn được dưới dạng một đa thức bậc theo các biến , , . Chứng minh: (Bằng phương pháp quy nạp). Dựa vào công thức Newtơn ta tính được: = 3; = ; = − 2 ; = − 3 + 3 = − 4 + 2 + 4 ; = − 5 + 5 + 5 − 5 ; Định nghĩa 15: (Quỹ đạo của đơn thức) Đa thức đối xứng với các số hạng tối thiểu, một trong các số hạng của nó là đơn thức , được gọi là quỹ đạo của đơn thức và kí hiệu là ( ). 9 Như vậy, để tìm quỹ đạo của đơn thức ta bổ sung vào đơn thức đó tất cả các hoán vị của , , .Với ≠ ≠ , ta có: ( ) = + + + + + . Ví dụ: Quỹ đạo của đơn thức ( ) ( ) = + + + + + Nếu trong đơn thức có hai số mũ nào đó bằng nhau, chẳng hạn: = ≠ , thì: ( ) = + + . Chẳng hạn: () = + + ( ) = + + Các trường hợp riêng của quỹ đạo: () = + + = ; () = + + = ; () = = ; ( ) = ( ) = ( ) = + + . Định lý 6: Quỹ đạo của mọi đơn thức biểu diễn được dưới dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản. Chứng minh: Trường hợp 1: Quỹ đạo có dạng ( ) = (hoặc ( ) ; ( ) ) thì theo định lý 5 thì ( ) được diễn theo các đa thức đối xứng cơ bản. Trường hợp 2: Quỹ đạo có dạng ( ).Ta có công thức: ( ) = ( ) ( ) − ( ) ( ≠ ) Nếu = 1 thì ta có ( ) = ( ) − ( ). 10 Vậy quỹ đạo của đơn thức dạng ( ) và biểu diễn được dưới dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản. Tương tự cho ( ) và ( ). Trường hợp 3: Quỹ đạo có dạng ( ); ≠ ≠ ≠ 0.Khi đó ta có ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) Theo trường hợp 2 thì ta có ( ); ( ); ( ) có thể biểu diễn được theo các đa thức đối xứng cơ bản nên ( ) biểu diễn được theo các đa thức đối xứng cơ bản. Vậy quỹ đạo của mọi đơn thức có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản. 1.2.3. Các định lý của đa thức đối xứng ba biến: Định lý 7: Mọi đa thức đối xứng ba biến , , đều có thể biểu diễn dưới dạng đa thức theo các biến = + + ; = + + ; = . Chứng minh: Giả sử (, , ) là đa thức đối xứng và là một trong các số hạng của (, , ) do tính đối xứng nên (, , ) chứa quỹ đạo ( ) với thừa số chung là . Ta có: (, , ) = . ( ) + (, , ). Trong đó, (, , ) là đa thức đối xứng nào đó với ít số hạng hơn (, , ). Tương tự, đối với (, , ) ta cũng có công thức như trên. Qua hữu hạn bước như trên ta có thể phân tích đa thức (, , ) thành tổng các quỹ đạo. Theo định lý 6, mỗi quỹ đạo lại là một đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản, do đó mọi đa thức đối xứng đều có thể biểu diễn ở dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản. 11 Ví dụ: (, , ) = + + = ( + + ) − 2 ( + + ) = − 2 . Định lý 8: (Tính duy nhất) Nếu hai đa thức ( , , ) và ( , , ) khi thay = + + ; = + + ; = cho ta cùng một đa thức đối xứng (, , ) thì chúng phải trùng nhau, nghĩa là ( , , ) = ( , , ) . Để biểu diễn một đa thức đối xứng qua các đối xứng cơ bản, một cách tổng quát ta tiến hành theo các bước trong chứng minh định lý 7. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp đa thức là thuần nhất, ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định. Cơ sở của phương pháp này là mệnh đề sau. Mệnh đề 1: Cho (, , ) là một đa thức đối xứng thuần nhất bậc . Khi đó. (, , ) được biểu diễn qua các đa thức đối xứng cơ sở theo công thức: (, , ) , , , ∈ ℕ Dưới đây là một số trường hợp riêng của mệnh đề: (, , ) = ; (, , ) = + ; (, , ) = + + ; (, , ) = + + + ; Trong đó, ( = 1,2, . . . ) là các hằng số được xác định duy nhất và để tìm các hệ số này ta cho , , nhận các giá trị cụ thể nào đó, thiết lập hệ phương trình với ẩn là ( = 1,2, . . . )giải hệ phương trình ta tìm được . Ví dụ: Biểu diễn đa thức sau đây theo các đa thức đối xứng cơ bản (, , ) = ( − ) ( − ) ( − ) Do (, , ) là đa thức thuần nhất bậc 6 nên theo mệnh đề trên ta có: (, , ) = + + + + + + . 12 Nhận thấy rằng (, , ) có bậc cao nhất đối với từng biến là 4 nên ta có = = 0.Để tìm các hệ số còn lại, ta cho (, , ) lần lượt nhận các giá trị (0,1, −1), (0,1,1), (1,1, −2), (−1,1,1), (1,1,1) ta tìm được: = 1, = −4, = −4, = −27, = 18. Vậy ta có kết quả (, , ) = − 4 − 4 − 27 + 18 . Giả sử (, , ), (, , ), (, , ) là các đa thức đối xứng 3 ẩn. Xét hệ phương trình (, , ) = 0 (, , ) = 0 (, , ) = 0 () Bằng cách đặt + + = , + + = , = Khi đó ta đưa về dạng ( , , ) = 0 ( , , ) = 0 ( , , ) = 0 () Hệ phương trình () thường đơn giản hơn hệ () và có thể dễ dàng tìm được nghiệm , , . Sau khi tìm được các giá trị của , , , cần phải tìm các giá trị của các ẩn số , , . Điều này dễ dàng thực hiện được nhờ định lý sau đây. Định lý 9: Giả sử , , là các số thực nào đó. Khi đó phương trình bậc ba − + − = 0 () và hệ phương trình + + = + + = = () Nếu , , là các nghiệm của phương trình () thì hệ () có các nghiệm 13 = = = ; = = = ; = = = ; = = = ; = = = ; = = = . và ngoài ra không còn các nghiệm nào khác. Ngược lại, nếu = , = , = là nghiệm của hệ () thì các số , , là nghiệm của phương trình (). Chứng minh. Giả sử , , là các nghiệm của phương trình () . Khi đó ta có đồng nhất thức − + − = ( − )( − )( − ). Từ đó ta có các hệ thức Viete: + + = + + = = Suy ra , , là nghiệm của hệ (). Ngoài ra còn năm nghiệm nữa nhận được bằng cách hoán vị các giá trị của các ẩn số. Hệ () không còn nghiệm nào khác được chứng tỏ như sau: Giả sử = , = , = là nghiệm của hệ (), nghĩa là + + = + + = = Khi đó ta có − + − = − ( + + ) + ( + + ) − = ( − )( − )( − ) Điều đó chứng tỏ rằng các số , , là nghiệm của phương trình bậc ba ().Định lý được chứng minh. 14 Định lý 10: Giả sử (a, 0, 0) là bộ số thực đã cho. Để các số x, y, z xác định bởi hệ phương trình (iv) là các số thực, điều kiện cần và đủ là: ∆= −4 + + 18 − 4 − 27 ≥ 0. () Ngoài ra, để các số x, y, z là không âm thì ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 Chứng minh. Giả sử , , là nghiệm của hệ (). Khi đó theo định lý trên thì , , là các nghiệm của phương trình (). Phương trình () có nghiệm thực khi và chỉ khi biệt thức của nó không âm, nghĩa là () được thỏa mãn. Ngoài ra, nếu các số , , không âm, thì hiển nhiên σ > 0 ( = 1, 2, 3) . Ngược lại, nếu σ ≥ 0 ( = 1, 2, 3)và () được thỏa mãn, thì phương trình () không thể có nghiệm âm. Thật vậy, trong () thay = − ta có phương trình + + + = 0 () Vì σ ≥ 0 ( = 1, 2, 3)nên phương trình () không thể có nghiệm dương. Từ đó suy ra , , là các số không âm. Định lý được chứng minh. 1.3. Đa thức đối xứng biến: 1.3.1. Các khái niệm cơ bản: Định nghĩa 16: Giả sử = ( , , . . . , ) ∈ ℝ , đa thức () = ( , , . . . , ) được hiểu là hàm số có dạng () = ∑ () . Trong đó, () = ( , , … , ) = ∑ …. … ⋯ ∈ ℕ, = 1,2, … , Định nghĩa 17: Đa thức () = ( , , . . . , ) theo các biến , … , được gọi là đối xứng nếu nó không thay đổi khi đổi chỗ giữa hai biến bất kỳ. Định nghĩa 18: Đa thức () = ( , , … , ) theo các biến , … , được gọi là thuần nhất bậc nếu () = ( , … , , ) = ( , , . . . , , ) = (). 15 Kí hiệu = + +. . . + ; ∈ ℤđược gọi là tổng lũy thừa và = , ,…, ⋯ … là các đa thức đối xứng cơ bản của các biến , … , . Chẳng hạn, với = 4ta có: = + + + = + + + + + = + + + = . Định nghĩa 19: Đa thức với số hạng tối thiểu, mỗi số hạng là một đơn thức có dạng … được gọi là quỹ đạo của đơn thức và được kí hiệu là … . Ví dụ: với = 4ta có: ( ) = + + + + + + + + + + + 1.3.2. Biểu diễn các tổng lũy thừa qua các đa thức đối xứng cơ bản: Định lý 11: (C...
Trang 1
UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM
KHOA: TOÁN - TIN - -
KHAMMY DOUANGLANGKHAM
ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỐI XỨNG
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Trang 2UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM
KHOA: TOÁN - TIN - -
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA 2018 – 2022
Cán bộ hướng dẫn Th.S VÕ VĂN MINH MSCB: T34-15.110-14100
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Quảng Nam, ban lãnh đạo khoa Toán – Tin nói chung và các thầy cô trong khoa nói riêng đã quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Song do hạn chế về mặt kiến thức của bản thân nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót rất mong sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để khóa luận hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn.
Quảng Nam, tháng 5 năm 2022
Khammy Douanglangkham
Trang 42.1. Phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy (còn gọi là phương trình thuận nghịch): 18
Trang 6Phần 1 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài
Đa thức có vị trí rất quan trọng, là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số, hơn nữa cũng là lĩnh vực nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học khác. Trong các kì thi học sinh giỏi toán quốc gia và Olympic toán, các bài toán về đa thức được đề cập đến thường là những bài toán khó như giải phương trình và hệ phương trình bậc cao, phân tích đa thức thành nhân tử, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, các bài toán trong các lĩnh vực này liên quan đến đa thức đối xứng.
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu:
Trình bày một số khái niệm của ứng dụng đa thức đối xứng để giải phương trình và hệ phương trình, rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
3.2 Phạm vi nghiên cứu:
Khóa luận tốt nghiệp tập trung nghiên cứu lí thuyết về đa thức đối xứng, các ứng dụng đa thức đối xứng để giải phương trình và hệ phương trình.
Trang 74 Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức, thảo luận với bạn bè và trao đổi với thầy hướng dẫn.
- Tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận.
5 Đóng góp của đề tài
Khóa luận đã tổng hợp kiến thức và làm rõ nội dung về ứng dụng đa thức đối xứng đề giải phương trình và hệ phương trình.
6 Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được trình bày theo 2 chương:
Trang 8
Phần 2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC ĐỐI XỨNG
1.1 Đa thức đối xứng hai biến:
1.1.1 Các khái niệm cơ bản:
Định nghĩa 1: Một đơn thức (x, y) của các biến độc lập x, y được hiểu là hàm
Định nghĩa 2: Hai đơn thức của các biến x, y được gọi là đồng dạng nếu bậc của x và y tương ứng ở hai đơn thức là bằng nhau và hệ số của hai đơn thức là khác
nhau. - Hai đơn thức được gọi là đồng dạng nếu chúng có
Ví dụ: 5 , 9 là hai đơn thức đồng dạng.
Định nghĩa 3: Giả sử , là hai đơn thức của các biến x, y Ta nói
rằng đơn thức trội hơn đơn thức theo thứ tự của các biến x y nếu k > m, hoặc k = m và l > n
Trang 9Định nghĩa 4: Một hàm số P(x, y) được gọi là một đa thức theo các biến số x, y nếu
nó có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hữu hạn các đơn thức. Như vậy đa
thức P(x, y) theo các biến số x, y là hàm số có dạng ( , ) = ∑ - Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức. Ví dụ: Đa thức ( , ) = − 2 + 6 có bậc 12.
Định nghĩa 5: Đa thức P(x,y) được gọi là đa thức đối xứng của hai biến x, y nếu
nó không thay đổi khi đổi chỗ của x và y bất kỳ, nghĩa là: P(x, y) = P(y, x)
Trang 10Giả sử định lý đã đúng với m < k. Khi đó và lần lượt là các đa thức
bậc k - 1, k - 2 của , Theo công thức (1) ta suy ra là đa thức bậc k của
Số mũ của giảm dần đều hai đơn vị từ k xuống 0 hoặc 1 tùy theo k chẵn hay k
Số mũ của tăng dần đều một đơn vị, từ 0 đến [ ]
Các hệ số trong biểu diễn của đan dấu. Hệ số thứ 1, 3, 5, là dương, còn các hệ số thứ 2, 2, 6, là âm.
1.1.3 Các định lý về đa thức đối xứng hai biến:
Định lý 2: (Định lý cơ bản) Mọi đa thức đối xứng P(x, y) của các biến x, y đều
có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức ( , ) theo các biến = + và = , nghĩa là: ( , ) = ( , )
Trang 11Chứng minh:
Xét trường hợp đơn thức có dạng khi đó ta có = ( ) = Xét trường hợp đơn thức dạng ( ≠ ):
Vì ( , ) là đa thức đối xứng nên có số hạng dạng Không mất tính
Trang 121.2 Đa thức đối xứng ba biến:
1.2.1 Các khái niệm cơ bản:
Định nghĩa 9: Một đơn thức ( , , ) của các biến , , được hiểu là hàm số có dạng:
Định nghĩa 12: Đa thức đối xứng ( , , ) được gọi là thuần nhất bậc m, nếu:
( , , ) = ( , , ), ∀ ≠ 0
Ví dụ: ( , , ) = + + là đa thức thuần nhất bậc 2 vì
Trang 13Định nghĩa 13: Các đa thức = + + , = + + , = được gọi là các đa thức đối xứng cơ bản của các biến , ,
1.2.2 Tổng lũy thừa và tổng nghịch đảo:
Định nghĩa 14: Các đa thức = + + ( ∈ ℤ) được gọi là tổng lũy thừa bậc k của các biến , ,
Trang 14Như vậy, để tìm quỹ đạo của đơn thức ta bổ sung vào đơn thức đó tất cả các hoán vị của , , Với ≠ ≠ , ta có:
Trang 15Vậy quỹ đạo của đơn thức dạng ( ) và biểu diễn được dưới dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản. Tương tự cho ( ) và ( ).
Vậy quỹ đạo của mọi đơn thức có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản.
1.2.3 Các định lý của đa thức đối xứng ba biến:
Định lý 7: Mọi đa thức đối xứng ba biến , , đều có thể biểu diễn dưới dạng đa thức theo các biến = + + ; = + + ; = .
Chứng minh:
Giả sử ( , , ) là đa thức đối xứng và là một trong các số hạng của ( , , ) do tính đối xứng nên ( , , ) chứa quỹ đạo ( ) với thừa số chung là
Ta có: ( , , ) = ( ) + ( , , ).
Trong đó, ( , , ) là đa thức đối xứng nào đó với ít số hạng hơn ( , , ).
Tương tự, đối với ( , , ) ta cũng có công thức như trên. Qua hữu hạn bước như trên ta có thể phân tích đa thức ( , , ) thành tổng các quỹ đạo. Theo định lý 6, mỗi quỹ đạo lại là một đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản, do đó mọi đa thức đối xứng đều có thể biểu diễn ở dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản.
Trang 16Ví dụ: ( , , ) = + + = ( + + ) − 2( + + ) = − 2
Định lý 8: (Tính duy nhất) Nếu hai đa thức ( , , ) và ( , , ) khi thay = + + ; = + + ; = cho ta cùng một đa thức đối xứng ( , , ) thì chúng phải trùng nhau, nghĩa là ( , , ) =
( , , ) .
Để biểu diễn một đa thức đối xứng qua các đối xứng cơ bản, một cách tổng quát ta tiến hành theo các bước trong chứng minh định lý 7. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp đa thức là thuần nhất, ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định. Cơ sở của phương pháp này là mệnh đề sau.
Mệnh đề 1: Cho ( , , ) là một đa thức đối xứng thuần nhất bậc Khi đó. ( , , ) được biểu diễn qua các đa thức đối xứng cơ sở theo công thức:
Dưới đây là một số trường hợp riêng của mệnh đề: ( , , ) = ;
Trong đó, ( = 1,2, ) là các hằng số được xác định duy nhất và để tìm các hệ số này ta cho , , nhận các giá trị cụ thể nào đó, thiết lập hệ phương trình với ẩn là ( = 1,2, ) giải hệ phương trình ta tìm được
Ví dụ: Biểu diễn đa thức sau đây theo các đa thức đối xứng cơ bản ( , , ) = ( − ) ( − ) ( − )
Do ( , , ) là đa thức thuần nhất bậc 6 nên theo mệnh đề trên ta có:
Trang 17Nhận thấy rằng ( , , ) có bậc cao nhất đối với từng biến là 4 nên ta có = = 0. Để tìm các hệ số còn lại, ta cho ( , , ) lần lượt nhận các giá trị (0,1, −1), (0,1,1), (1,1, −2), (−1,1,1), (1,1,1) ta tìm được:
= 1, = −4, = −4, = −27, = 18.
Vậy ta có kết quả ( , , ) = − 4 − 4 − 27 + 18 Giả sử ( , , ), ( , , ), ( , , ) là các đa thức đối xứng 3 ẩn. Xét hệ phương trình
( , , ) = 0( , , ) = 0( , , ) = 0
( )
Hệ phương trình ( ) thường đơn giản hơn hệ ( ) và có thể dễ dàng tìm được nghiệm , , Sau khi tìm được các giá trị của , , , cần phải tìm các giá trị của các ẩn số , , Điều này dễ dàng thực hiện được nhờ định lý sau đây.
Trang 18=== ; =
và ngoài ra không còn các nghiệm nào khác. Ngược lại, nếu = , = , = là nghiệm của hệ ( ) thì các số , , là nghiệm của phương trình ( ).
Chứng minh Giả sử , , là các nghiệm của phương trình ( ). Khi đó ta có
Trang 19+ + + = 0 ( )
Vì σ ≥ 0 ( = 1, 2, 3) nên phương trình ( ) không thể có nghiệm dương. Từ đó suy ra , , là các số không âm. Định lý được chứng minh.
1.3 Đa thức đối xứng biến:
1.3.1 Các khái niệm cơ bản:
Định nghĩa 16: Giả sử = ( , , , ) ∈ ℝ , đa thức
Trang 20Kí hiệu = + + + ; ∈ ℤ được gọi là tổng lũy thừa và
=
, ,…,⋯
là các đa thức đối xứng cơ bản của các biến , … , Chẳng hạn, với = 4 ta có:
=
Định nghĩa 19: Đa thức với số hạng tối thiểu, mỗi số hạng là một đơn thức có
dạng … được gọi là quỹ đạo của đơn thức và được kí hiệu
1.3.3 Các định lý của đa thức đối xứng n biến:
Định lý 12: (Định lý tồn tại) Giả sử ( , , , ) là đa thức đối xứng của
biến. Khi đó, tồn tại đa thức ( ) sao cho nếu thay
thì ta nhận được đa thức ( , , , ).
Trang 21Định lý 13: (Tính duy nhất) Nếu hai đa thức ( , , … , ) và ( , , … , ) sau khi thay = + + ⋯ + , … , = … cho ta cùng một đa thức đối xứng ( , , , ) thì , ,… , ≡ ( , , … , )
Cách chứng minh ba định lý trên hoàn toàn tương tự đối với trường hợp hai biến và ba biến.
1.4 Phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy (còn gọi là phương trình thuận nghịch):
Trang 22 Ngược lại: Giả sử ( ) có dạng ( ) = + + ⋯ + ; ( ≠ 0) Với ≠ 0, thay x trong phương trình trên bằng , ta được
Trang 23Chương II ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
2.1 Phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy (còn gọi là phương trình thuận nghịch):
Cách giải phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy:
Ta thấy đây là phương trình đối xứng theo các biến , khi đó ta có
Bằng cách sử dụng định lý 1 (công thức Newtơn) biểu diễn đa thức đã cho theo các đa thức đối xứng cơ bản , sau đó giải tìm nghiệm của phương trình đã cho.
Như vậy, bằng cách trên ta đưa phương trình hệ số đối xứng (phương trình hồi quy) về dạng phương trình đối xứng để giải.
Trang 24Bài 1 Giải phương trình
2 – 9 + 20 – 33 + 46 − 66 + 80 − 72 + 32 = 0. Giải: Đây là phương trình hồi quy với = 2, ta biểu diễn phương trình dưới dạng
2 – 9 + 20 – 33 + 46 − 33.2 + 20.2 − 9.2 + 2.2 = 0. Ta có = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho ta được
+ = +2 = 3 ⇔ [ = 1= 2
Trang 25Từ các phương trình trên ta tìm được các giá trị của là = 1; = 2. Bài 2 Giải phương trình:
9 18 100 200 0 Nghiệm của phương trình này là
.
Trang 26Giải: Đây là phương trình hệ số đối xứng bậc lẻ nên có thể đưa phương trình về dạng
Trang 27= 02 + 5 = 0
− 8 = 0⇔
=−52= 2
Vì + = = + ⇒ | | ≥ 2 nên ta chỉ nhận hai giá trị: = ; = 2. Vậy, tìm nghiệm của phương trình đã cho ta giải các phương trình + = ; + = 2.
Từ các phương trình trên ta tìm được các giá trị là nghiệm của phương trình đã cho là:
= −2; = −1
2 ; = 1
2.2 Tìm nghiệm nguyên của các phương trình, hệ phương trình đối xứng Để giải các bài toán tìm nghiệm nguyên của các phương trình, hệ phương trình đối xứng ta biểu diễn phương trình, hệ phương trình đã cho theo các đa thức đối xứng cơ bản , , , …. kết hợp với một số điều kiện của , , , … ta tìm được các giá trị cụ thể của , , , … Khi đó x, y, z,… là nghiệm nguyên
Trang 28Từ việc đặt = + , = , thì điều kiện tồn tại hai số , là ≥ 4 Khi đó, ta có
∈ ℤ= −1 −
Trang 29= 1= 0;
= 0= 1
= 4, = 4, phương trình có các nghiệm nguyên là: = 2
= 2 Vậy phương trình đã cho các nghiệm nguyên là:
= 0= 0;
= 0= 1;
= 1= 0;
= 1= 2;
= 2= 1;
= 2= 2
Bài 6 Tìm các nghiệm nguyên dương của hệ phương trình
Giải: Đặt = + , = , hệ phương trình trở thành =
= 2= 1= 3
= 1= 2= 3
= 2= 2= 2
Trang 30+ + = = − 3 + 3 Hệ phương trình đã cho trở thành
= 6
Từ đó, ta có x, y, z là nghiệm nguyên của phương trình
= 1= 2= 3
Bài 8 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x2 y2 xy 8
Giải: Phương trình ban đầu được viết lại: x y2 2xyx y8
. Khi đó phương trình trở thành
12 221 8 12 1 8 22 (1) Để phương trình có nghiệm 12 42 (2)
Hệ này có hai nghiệm ( , ) ( 1, 2);( 2, 1)x y
Trang 311
khi đó 04
khi đó 23
khi đó 56
Hệ này có hai nghiệm ( , ) (2,3);(3, 2)x y Vậy phương trình có 8 nghiệm là:
2.3 Giải phương trình và hệ phương trình đối xứng
2.3.1 Phương trình và hệ phương trình đối xứng hai ẩn
Trang 32= −1 ;
= −1= 2 ;
= −2= 1 ;
= 1= −2 ;
= 0 hoặc
== 2
Trang 33
Giải: Hệ phương trình đã cho không phải là hệ đối xứng, tuy nhiên bằng cách đặt:
= , = ta có hệ đối xứng
+1 = 4 Đặt + = , = , ta có hệ phương trình
= 1= 4 ⇒
= 1= 14
=14
=2=
Trang 34= 5= −2;
= −2= 5 Từ đó ta có nghiệm của hệ phương trình đã cho là
= 5= 2 ;
= −2= −5
= 3= 0;
= 0= 3 Từ đó ta có nghiệm của hệ phương trình đã cho là
= 9= 1;
= 0= √83
= 4 = 1
Từ kết quả trên ta tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là = 1, = 4.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là = 1, = 4
Trang 35b) + = 84.
Đặt = thì 19 − = + Khi đó ta có hệ
( + ) = 84 Giải hệ phương trình trên, tìm được
= 3= 4;
= 4= 3;
= 6 + √29= 6 − √29;
= 6 − √29= 6 + √29 Từ kết quả trên ta tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là
= 3, = 4, = 6 + √29, = 6 − √29. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
= 3, = 4, = 6 + √29, = 6 − √29.
) +
Giải: Với điều kiện | | > 1, đặt = ,√ = Khi đó ta có hệ
+1 = 3512
5= 35
=35= 45
5, =45
Trang 36Vậy nghiệm của phương trình đã cho là = , = Bài 11. Giải hệ phương trình đối xứng sau:
+ 6 − 8 = 0 Hay
+ 12 − 16 = 0. Phương trình này có nghiệm là 2. Vậy vế trái có dạng
( − 2)( + 2 − 8). Phương trình + 2 − 8 = 0 có hai nghiệm 2 và – 4. + Với = 2 ta có = 0
Các hệ phương trình này có nghiệm là
Trang 37= 2= 0
= 0= 2
= −2 + √2= −2 − √2
= −2 − √2= −2 + √2
= 6− 2 = 14
= 6
Giải hệ (*) ta được = 6, = 11, = 6 Ta có , , là nghiệm của phương trình:
− 6 + 11 − 6 = 0 (**) Nghiệm của phương trình (**) là : X = 1, X= 2, X = 3
Trang 38( − 1)( − 15 + 6) = 0 Đa thức − 15 + 6 có hai nghiệm là 2 và 3. Vậy các số nguyên cần tìm là 1; 2; 3.
Hệ phương trình đã cho trở thành = 6− 2 = 14
= 6
Giải hệ (*) ta được = 6, = 11, = 6 Ta có , , Là nghiệm của phương trình:
− 6 + 11 − 6 = 0 (**) Nghiệm của phương trình (**) là : X = 1, X= 2, X = 3
Vậy hệ phương trình có 6 nghiệm, mỗi bộ nghiệm là hoán vị của ba sô 1, 2, 3.
Trang 39= 1
Giải hệ phương trình này có nghiệm = 1, = , = 1 Từ đó, ta có , , là nghiệm của phương trình
− 7
2 − 1 = 0 ⇔ ( − 1) −5
2 , 2,1
2, 1 , 1,122 ,
2, 1,2 ,1
2, 2,1 .
b)
+ + == 1
⎧ = 133= 13
3= 1
Giải hệ phương trình này ta tìm được = = , = 1. Từ đó, ta có , , là nghiệm của phương trình
Trang 403 , 3,1,1
3 , 3,1
3, 1 , 1,13, 3 ,
3, 1,3 ,1
- Nếu |a| > |b| thì phương trình trên chỉ có một nghiệm thực u = a, do đó hệ đã
cho không có nghiệm thực. Trong phạm vi số phức, thì phương trình có các nghiệm