Đang tải... (xem toàn văn)
Định lý Green Định hướng đường cong phẳng đơn kín Ứng dụng của định lý Green 2 Tích phân đường không phụ thuộc đường đi Định lý cơ bản của tích phân đường Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường đi
Trang 11 Định lý Green
Định hướng đường cong phẳng đơn kínỨng dụng của định lý Green
Định lý cơ bản của tích phân đường
Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường đi
Trang 2Định nghĩa
không tự cắt nhau ở giữa hai đầu mút, tức là
a < t1< t2 < b =⇒−→r (t1) 6=−→r (t2).
Trang 3Định nghĩa
điểm đầu và điểm cuối của nó trùng nhau, tức là
→r (a) =−→r (b).
Trang 4Cho đường cong phẳng đơn kín C và gọi D là miền phẳngđược giới hạn bởi C
Ta quy ước chiều dương của đường cong phẳng đơn kín C làchiều mà nếu ta đi theo chiều đó thì ta sẽ thấy miền D luônnằm bên tay trái Chiều ngược lại được gọi là chiều âm.
Trang 5Định lý (Green’s theorem)
Cho C là đường cong phẳng đơn kín trơn từng khúc và D làmiền phẳng giới hạn bởi C Nếu P và Q có các đạo hàm riêngliên tục trên một miền mở chứa D, thì
Pdx + Qdy = ±Z Z
∂Q∂x −
dxdy ,
trong đó, lấy dấu (+) nếu chiều của C là chiều dương, lấy dấu(−) nếu chiều của C là chiều âm.
Trang 6Ứng dụng tính diện tích hình phẳng
Hệ quả
Cho C là đường cong phẳng đơn kín trơn từng khúc, theo chiềudương, và D là miền phẳng giới hạn bởi C Khi đó, diện tíchcủa miền phẳng D là
S (D) =I
xdy = −I
ydx = 12
xdy − ydx
Trang 7So sánh với định lý cơ bản của Giải tích hàm một biến
dxdy =I
biên D
Pdx + Qdy
Trang 10Ví dụ
Hãy tính tích phân đườngI
(3y − esin x)dx + (7x +py4+ 1)dy ,
Trang 11Ví dụ
Hãy tính diện tích của miền được giới hạn bởi đường elipx2
a2 + y2b2 = 1.
Trang 12Định lý
Trang 15Giả sử C1 và C2 là hai đường đi có cùng điểm đầu và điểmcuối.
Nói chung, ta cóZ
F · d−→r 6=Z
F · d−→r =Z
F · d−→
Trang 16Định nghĩa
phân đườngZ
(independent of path) nếu ta luôn có
F · d−→r =Z
F · d−→r ,
Trang 18Định nghĩa
Một miền phẳng D được gọi là miền đơn liên
(simply-connected region) nếu D liên thông và mọi đườngcong đơn kín trong D đều chỉ bao bọc các điểm thuộc D.
Trang 19Định lý
Giả sử−→F (x , y ) = P(x , y )−→
i + Q(x , y )−→
j là một trường vectơ khảvi liên tục trên miền mở đơn liên D Khi đó, 3 mệnh đề sau đâytương đương:
C−→
Trang 20Ví dụ
Tính tích phân đường I =Z