Nghiên cứu và chế tạo thiết bị lái tự cân bằng

Luận văn với đề tài "Nghiên cứu và chế tạo thiết bị lái tự cân bằng" trong báo cáo khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý, khóa 61, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội.

KHOA VẬT LÝ

Đặng Tiến Nam

NGHIÊN CỨU VÀ CHẾ TẠO THIẾT BỊ LÁI TỰ CÂN BẰNG

Khóa luận tốt nghiệp đại học hệ chính quy (Chương trình đào tạo Chuẩn)

Hà Nội - 2021

KHOA VẬT LÝ

Đặng Tiến Nam

NGHIÊN CỨU VÀ CHẾ TẠO THIẾT BỊ LÁI TỰ CÂN BẰNG

Khóa luận tốt nghiệp đại học hệ chính quy (Chương trình đào tạo Chuẩn)

Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Cảnh Việt

Hà Nội - 2021

Lời cảm ơn 1

1 Giới thiệu thiết bị lái tự cân bằng 3

1.1 Thiết bị lái tự cân bằng 4

1.2 Mục đích thiết kế thiết bị lái tự cân bằng 4

1.3 Ưu điểm và nhược điểm của xe hai bánh tự cân bằng 7

1.3.1 Ưu điểm của xe hai bánh tự cân bằng 7

1.3.2 Nhược điểm của xe hai bánh tự cân bằng 7

1.4 Khả năng ứng dụng 7

1.5 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước 8

1.5.1 JOE 9

1.5.2 Toyota Partner Robot: Rolling Type 9

1.5.3 Xe mô tô tự cân bằng Honda Riding Assist 10

2.2 Kỹ thuật lý thuyết điều khiển hiện đại 26

2.2.1 Thiết kế cổ điển và hiện đại 26

2.2.2 Định lý về khả năng điều khiển 27

2.2.3 Thiết kế gán cực hồi tiếp biến toàn trạng thái 28

2.2.4 Thiết kế hệ thống ổn định gán cực cho ngõ vào đơn 31

2.3 Lý thuyết về chuyển động trong không gian ba chiều 35

2.4 Các phương pháp xử lý tín hiệu từ cảm biến 37

2.6 Mô hình lý thuyết động cơ DC 53

2.7 Phương pháp điều chế độ rộng xung - PWM 55

3.1.3 Điều chỉnh hệ số điều khiển PID qua chiết áp 66

3.2 Thiết bị lái tự cân bằng 67

3.3.1 Xe hai bánh tự cân bằng không người lái 90

3.3.2 Thiết bị lái tự cân bằng 91

1.1 Trọng tâm của xe/robot ba bánh khi di chuyển trên mặt phẳng

nằm ngang 5

1.2 Trọng tâm của xe/robot ba bánh khi di chuyển trên dốc nghiêng 6 1.3 Trọng tâm của xe/robot hai bánh khi di chuyển trên dốc 6

1.4 Robot JOE 9

1.5 Robot hình người của Toyota 9

1.6 Xe tự cân bằng xây dựng trên board Arduino 10

1.7 Xe tự cân bằng Segway-PT 10

1.8 Một ván trượt cân bằng phổ biến hiện nay 11

2.1 Mô hình con lắc ngược 16

2.2 Sơ đồ khối các biến lối vào và biến lối ra của mô hình con lắc ngược 17

2.3 Sơ đồ các lực tác dụng lên xe và con lắc 18

2.4 Định nghĩa các biến đầu vào và nhiễu của hàm trạng thái 20

2.5 Giản đồ lực của mô hình xe hai bánh tự cân bằng 21

2.6 Sơ đồ nguyên lý của hệ thống vòng kín thông tin hồi tiếp toàn trạng thái chung 30

2.7 Sơ đồ nguyên lý của bộ ổn định hồi tiếp toàn trạng thái (hệ thống điều khiển có véc-tơ trạng thái mong muốn bằng 0) không có nhiễu 30

2.8 Yaw, pitch và roll trong chuyển động ba chiều của máy bay 36

2.9 Yaw, pitch và roll trong chuyển động ba chiều của MPU6050 36 2.10 Một số cảm biến đo góc phổ biến hiện nay 37

2.11 Có thể nhận thấy được chiều của trọng lực thông qua trục X 38 2.12 Giá trị đọc được từ cảm biến quay tuỳ theo chiều quay 38

2.13 Sơ đồ điều khiển PD 40

2.14 Bài toán kết hợp dữ liệu từ các cảm biến 41

2.15 Phương pháp trực tiếp 42

2.16 Phương pháp lọc nhanh 43

2.17 Phương pháp đơn cảm biến 44

2.18 Phương pháp lọc thích nghi 45

2.19 Tín hiệu thu được khi chưa cho xử lý qua bộ lọc Kalman 46

2.20 Tín hiệu thu được khi qua một tầng lọc Kalman 46

2.21 Tín hiệu thu được khi qua bốn tầng lọc Kalman 47

2.22 Phương pháp lọc bổ phụ thông tần - Bộ lọc Complementary 48 2.23 Kết quả thử nghiệm với tỷ lệ mẫu 79 Hz, hằng số thời gian 0.62 giây và hệ số bộ lọc 0.98 50

2.24 Ví dụ về dữ liệu được lọc sau khi sử dụng bộ lọc Savitzky -Golay 53

2.25 Mô hình khung dây động cơ đặt trong từ trường 53

2.26 Mô hình điện cơ 54

2.27 Điều chế xung PWM 56

2.28 Sơ đồ khối của bộ điều khiển PID 58

3.1 Mạch điều khiển động cơ L298N 63

3.2 Sơ đồ mạch điện tử xe hai bánh tự cân bằng không người lái 64 3.3 Bộ điều chỉnh hệ số điều khiển PID bằng chiết áp 66

3.4 Sơ đồ cơ khí thiết bị 67

3.5 Chuyển vị của khung nếu toàn bộ tải trọng đặt lên 69

3.6 Mômen uốn nhìn theo phương ngang 69

3.7 Ứng suất uốn nhìn theo phương ngang 69

3.8 Sơ đồ mạch điện tử thiết bị lái tự cân bằng 70

3.9 Sơ đồ khối của mạch điện tử 71

3.10 Sabertooth Motor Driver Dual 12A 72

3.11 Sơ đồ khối của MPU6050 73

3.12 MPU6050 74

3.13 Arduino UNO R3 75

3.14 Sơ đồ chân của Arduino UNO R3 76

3.15 Lưu đồ thuật toán 78

3.16 Mô hình xe hai bánh tự cân bằng không người lái 90

3.17 Phần tay lái điều khiển 92

3.18 Hệ thống truyền động và cung cấp năng lượng 92

3.19 Mạch điện tử được đặt trong hộp kỹ thuật 93

3.20 Nguyên mẫu thiết bị lái tự cân bằng 93

Trong quá trình thực hiện khóa luận, em đã nhận được sự định hướng, giúp đỡ, các ý kiến đóng góp quý báu và những lời động viên của các thầy cô giáo, gia đình và bạn bè.

Trước hết, em xin bày tỏ lời cảm ơn tới quý thầy, cô đang giảng dạy tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên nói chung và khoa Vật lý nói riêng Thầy, cô không chỉ là những người truyền thụ kiến thức đơn thuần, mà còn là những người tiếp lửa đam mê, truyền cảm hứng mãnh liệt cho chúng em trên con đường học tập và nghiên cứu khoa học Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy Nguyễn Cảnh Việt đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu và thực hiện bài báo cáo này.

Xin gửi lời cảm ơn tới ngài Ihart từ nước Mỹ xa xôi vì những trao đổi và hướng dẫn quý báu, mặc cho khó khăn về bất đồng ngôn ngữ cũng như múi giờ hai bên Ngài là nguồn cảm hứng và trợ giúp lớn lao của tôi.

Em cũng biết ơn sự quan tâm và ủng hộ của gia đình cũng như các anh, các chú tại xưởng cơ khí Phạm Bằng đã giúp đỡ em trong việc đưa ra góp ý và hoàn thiện sản phẩm.

"Học thầy không tày học bạn", bạn bè luôn là những người sát bên và cùng nhau vượt qua những lúc khó khăn nhất Lời cảm ơn chân thành nhất xin gửi tới những người bạn của tôi.

Trong quá trình học tập cũng như thực hiện, khó tránh khỏi những sai sót không đáng có, rất mong quý thầy, cô thông cảm và bỏ qua Ngoài ra khóa luận còn nhiều chỗ thiếu sót, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô để giúp em có thể hoàn thiện và chuẩn bị tốt hơn cho những bài báo cáo tiếp theo.

Em xin chân thành cảm ơn!

Xuất phát từ ý tưởng đã được thương mại hoá bởi Segway - một thương hiệu Mỹ nổi tiếng với các sản phẩm xe hai bánh tự cân bằng: kết hợp cách thức giữ thăng bằng của con người trên đôi chân với độ cơ động trong di chuyển của các loại xe sử dụng bánh, đã mở ra một hướng đi mới cho ngành công nghiệp robot Thông qua nghiên cứu và tìm hiểu, ta có thể phần nào nắm bắt phương thức giữ thăng bằng cho các loại robot dạng người, cách phối hợp và xử lý tín hiệu tốt nhất từ cảm biến Từ những kiến thức quý báu đó, có thể xây dựng nên mô hình thử nghiệm và nguyên mẫu thực tế về một thiết bị lái tự cân bằng với giá thành hợp lý cùng độ tin cậy cao.

Để có thể hoàn thành đề tài nghiên cứu này, đi từ mô hình lý thuyết đến nguyên mẫu thực tế, nội dung chính của khóa luận được trình bày như sau:

• Giới thiệu thiết bị lái tự cân bằng • Mục tiêu và phương pháp.

• Lý thuyết tiếp cận • Thực hiện sản phẩm • Đánh giá và kết luận.

Giới thiệu thiết bị lái tự cânbằng

1.1Thiết bị lái tự cân bằng

Thiết bị lái tự cân bằng là thiết bị có khả năng di chuyển, tự điều chỉnh để giữ thăng bằng tuỳ theo sự điều khiển của người lái Hiện nay thiết bị lái tự cân bằng đã được phát triển và sản xuất với các phiên bản hai bánh và một bánh Trong khoá luận này, chúng ta sẽ tìm hiểu về thiết bị lái tự cân bằng hai bánh hay còn được gọi là xe hai bánh tự cân bằng.

Đối với các xe có ba hoặc bốn bánh, việc có thể giữ được thăng bằng và ổn định của chúng là do trọng tâm nằm trong bề mặt chân đế do các bánh xe tạo ra Đối với các xe hai bánh như xe đạp hoặc xe máy, việc tự giữ thăng bằng khi không di chuyển là điều hoàn toàn không thể, vì việc thăng bằng của chúng dựa trên tính chất con quay hồi chuyển ở hai bánh xe khi đang quay Còn đối với xe hai bánh tự cân bằng, là loại xe chỉ có hai bánh và trục của chúng trùng với nhau, để cho xe có thể giữ được thăng bằng, trọng tâm của xe (bao gồm cả người lái) cần được giữ tại vị trí nằm ngay giữa các bánh xe.

Tuy nhiên trong thực tế, chúng ta không thể nào biết được trọng tâm của xe hai bánh tự cân bằng nằm ở vị trí nào, đồng thời cũng không có cách nào để tính toán được ra nó, và có thể không có khả năng di chuyển bánh xe đủ nhanh để để giữ nó luôn ở dưới toàn bộ trọng tâm.

Về mặt kỹ thuật, góc giữa sàn xe và chiều trọng lực là có thể biết được Do đó, thay vì tìm cách xác định trọng tâm nằm giữa các bánh xe, tay lái cần được giữ thẳng đứng và vuông góc với sàn xe để đảm bảo góc cân bằng bằng 0.

Nếu tay lái được đẩy về phía trước, xe sẽ chạy tiến tới trước và khi nó được kéo về phía sau, xe sẽ chạy lùi về sau Để dừng lại, chỉ cần điều khiển tay lái ngược hướng đang di chuyển thì tốc độ xe sẽ giảm dần Do tốc độ cảm nhận và phản ứng thăng bằng của mỗi người là khác nhau nên xe hai bánh tự cân bằng chỉ được thiết kế cho một người sử dụng.

1.2Mục đích thiết kế thiết bị lái tự cân bằng

Hiện nay, robot di động ngày càng được phát triển mạnh mẽ và được đưa vào sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: thám hiểm, cứu hộ cứu

bước qua các chướng ngại vật dễ dàng nhưng lại phức tạp hơn trong việc thiết kế và kiểm soát do có số lượng bậc tự do lớn thì robot có bánh xe lại tiết kiệm năng lượng hơn, xu hướng cấu trúc cơ khí tối ưu hơn cũng như yêu cầu về động lực học lại đơn giản hơn để có thể đứng vững cũng như di chuyển trên một địa hình bất kỳ.

Những robot di động sử dụng bánh xe hầu hết đều là những robot di chuyển bằng ba bánh xe, với hai bánh lái được lắp đồng trục, và một bánh đuôi nhỏ Ngoài ra còn có nhiều kiểu thiết kế khác nhau, nhưng đây là kiểu thông dụng nhất Còn đối với robot di chuyển bằng bốn bánh xe, thường một đầu xe được gắn với hai bánh truyền động, đầu xe còn lại gắn với hai bánh lái.

Hình 1.1: Trọng tâm của xe/robot ba bánh khi di chuyển trên mặt phẳng nằm ngang

Việc thiết kế ba hay bốn bánh làm cho xe/robot được thăng bằng ổn định nhờ trọng lượng của nó được chia đều cho các bánh hay bất kỳ bộ phận nào khác để có thể đỡ được trọng lượng của xe, nếu trọng lượng được đặt nhiều vào bánh lái thì xe/robot sẽ không ổn định và dễ bị đổ, còn nếu đặt trọng lượng nhiều vào bánh đuôi thì sẽ làm giảm khả năng bám của hai bánh chính Nhiều thiết kế xe/robot có thể di chuyển

tốt trên địa hình bằng phẳng nhưng lại gặp khó khăn khi gặp phải địa hình lồi lõm, dốc đứng,

Hình 1.2: Trọng tâm của xe/robot ba bánh khi di chuyển trên dốc nghiêng Khi di chuyển lên dốc nghiêng,

trọng lượng dồn vào đuôi xe làm bánh lái mất khả năng bám và trượt ngã, đối với bậc thang, thậm chí xe sẽ dừng hoạt động với hai bánh xe quay tròn Khi di chuyển xuống dốc, trọng tâm thay đổi dịch về phía trước của bánh lái rất dễ làm cho xe bị lật úp Hầu hết những xe/robot dạng này, khả năng lên dốc sẽ kém hơn so với xuống dốc, và dễ bị lập úp ngay cả với những dốc có độ nghiêng nhỏ chỉ từ 15◦ đến 20◦ Việc bố trí bốn bánh xe (giống như xe hơi đồ chơi hoặc các loại xe bốn bánh đang được sử dụng trong giao thông hiện nay) không gặp phải những vấn đề kể trên, nhưng sẽ khiến cho xe/robot mất đi sự gọn gàng và khó khăn trong việc thiết kế bộ phận lái.

Ngược lại khả năng thăng bằng của các dạng xe/robot hai bánh lại rất linh động khi di chuyển trên những địa hình phức tạp, mặc dù bản thân thiết kế này là một hệ thống không ổn định Khi leo lên (hoặc xuống) sườn dốc, xe/robot sẽ tự động điều chỉnh tiến về phía trước (hoặc phía sau) để giữ cho trọng tâm luôn rơi vào hai bánh lái.

Hình 1.3: Trọng tâm của xe/robot hai bánh khi di chuyển trên dốc

Đối với những địa hình phức tạp và những ứng dụng thực tế, sự thăng bằng của xe hai bánh có thể sẽ mang lại nhiều ý nghĩa thực tiễn hơn là đối

1.3Ưu điểm và nhược điểm của xe hai bánh tự cân bằng

1.3.1Ưu điểm của xe hai bánh tự cân bằng

• Sử dụng ắc-quy điện thân thiện với môi trường, có thể sạc lại dễ dàng • Không gian sử dụng hiệu quả, đa năng.

• Dễ dàng điều khiển, có thể dừng lại và tiếp tục di chuyển một cách nhanh chóng.

• Tốc độ vừa phải, đảm bảo cho người điều khiển có thể xử lý mọi tình huống.

• Giá thành thấp hơn so với xe máy, xe hơi.

• Chiếm ít diện tích, không yêu cầu nhiều diện tích để đỗ xe, không gây tắc nghẽn giao thông, di chuyển linh hoạt trong các khu vực đông đúc hoặc trên đường.

• Cuốn hút, độc đáo, phong cách.

1.3.2Nhược điểm của xe hai bánh tự cân bằng

• Gây mệt mỏi nếu phải di chuyển trên một quãng đường dài do người điều khiển phải đứng trong suốt hành trình.

• Không thể làm việc khác khi điều khiển, ví dụ như nghe điện thoại hay

Xây dựng được một phương tiện vận chuyển mới trong khu vực chật hẹp, có thể di chuyển ngay trong các toà nhà, chung cư cao tầng, trợ giúp di chuyển người già, trẻ em và người khuyết tật, đồng thời đáp ứng các yêu cầu về việc giữ gìn môi trường, hạn chế sử dụng năng lượng hoá thạch, giải quyết vấn đề về nơi đỗ, trông giữ.

Sử dụng làm phương tiện vận chuyển hàng hoá đến những nơi đã được lập trình sẵn trong các toà nhà, phòng làm việc, những không gian chật hẹp, khó di chuyển.

Kết hợp trên các robot khác để mở rộng thêm khả năng di chuyển, nâng cao hiệu quả sử dụng.

Việc nghiên cứu về các robot/xe tự cân bằng từ lâu đã được các quốc gia phát triển tập trung vào đầu tư thực hiện như một giải pháp mới cho vấn đề tìm kiếm các hình thức phương tiện giao thông đáp ứng được nhu cầu của tương lai cũng như phát triển ngành công nghiệp robot cho mục đích thương mại lẫn phi thương mại Từ các trường đại học, viện công nghệ cho đến cả các doanh nghiệp tư nhân đều vô cùng hứng thú và đặt nhiều niềm tin vào đề tài này.

Đến những năm đầu 2000, tại Việt Nam cũng đã xuất hiện các nhóm sinh viên đại học, kỹ sư tham gia nghiên cứu về nó Tuy rằng thời gian tham gia muộn tuy nhiên chúng ta vẫn đạt được những thành quả không kém so với thế giới.

Trải qua hơn hai thập kỷ, robot/xe tự cân bằng không còn chỉ là những mô hình thử nghiệm bé xíu trong các phòng thí nghiệm nữa, mà nó đã càng ngày càng hoàn thiện và trở nên gần gũi, dễ tiếp cận hơn đối với mọi người Quá trình hình thành và phát triển của robot/xe tự cân bằng có thể được ví như một đứa trẻ từ bước chập chững sơ sinh cho đến những bước chân vững vàng trưởng thành.

Hình 1.4: Robot JOE Felix Grasser, một nhà nghiên cứu tại

Viện Công nghệ Liên bang Thuỵ Sỹ đã tạo ra một cuộc cách mạng khi xây dựng nên JOE, nguyên mẫu của những chiếc xe hai bánh tự cân bằng bây giờ Robot JOE cao 65 cm, nặng 12 kg, tốc độ tối đa đạt được khoảng 1,5 m/s, khả năng leo dốc nghiêng lên tới 30◦ Mục tiêu chính của robot này là cân bằng được khi di chuyển trên hai bánh xe đồng trục, mỗi bánh xe được gắn với một động cơ DC Nó được điều khiển bằng cách áp dụng các momen xoắn riêng biệt cho mỗi bánh xe tương ứng, chính điều này giúp cho nó có thêm khả năng quay đầu xe ngay cả khi đang đứng yên theo hình chữ U Một bộ điều khiển tuyến tính space-state sử dụng các thông tin thu được từ con quay hồi chuyển và bộ encoder quang để tính toán và thực hiện việc giữ ổn định cho cả thiết bị.

1.5.2Toyota Partner Robot: Rolling Type

Hình 1.5: Robot hình người của Toyota

Đây là một trong những robot được hãng Toyota thiết kế nhằm phục vụ các nhu cầu cá nhân của con người Có nhiều phiên bản được đưa ra, trong

đó đáng chú ý là phiên bản robot với hai chân được thay bằng hai bánh xe khá là mới lạ lúc bấy giờ Nó cao 100 cm và nặng 35 kg Mẫu robot này có khả năng di chuyển nhanh mà không chiếm quá nhiều không gian diện tích, đồng thời đôi tay linh hoạt của nó thể thực hiện được nhiều công việc khác nhau, đặc biệt còn có thể chơi được cả kèn trumpet.

1.5.3Xe mô tô tự cân bằng Honda Riding Assist

Hình 1.6: Xe tự cân bằng xây dựng trên board Arduino

Trong triển lãm hàng điện tử tiêu dùng CES 2017 diễn ra thường kỳ, hãng Honda đã vén màn mẫu mô tô tự cân bằng mang tên Riding Assist Mục tiêu chính khi phát triển Riding Assist-e của Honda chính là phô diễn công nghệ kiểm soát tự cân bằng Công nghệ này giúp mô tô của Honda có thể tự đứng thẳng, không bị đổ ngay cả khi người lái không chống chân xuống đất Như đã biết, Honda Riding Assist có thể chuyển từ chế độ tự cân bằng sang thông thường và ngược lại Khi xe chuyển sang chế độ tự cân bằng, phuộc trước sẽ đẩy bánh ra xa khỏi phần thân còn lại Chưa hết, Honda Riding Assist còn được ứng dụng cả công nghệ tự lái như ô tô Người lái có thể dựng xe ở bên lề đường, đi vào quán bar và để mặc chiếc mô tô của mình tự tìm chỗ đỗ Ngoài Honda, những thương hiệu lớn trên thế giới như BMW hay Yamaha đều có những sản phẩm xe tự cân bằng và cũng gây ấn tượng mạnh.

Dean L Kamen, người nắm giữ hơn 150 bằng sáng chế tại Mỹ và một số nước khác, đã phát minh ra SEGWAY-PT như một thiết bị dùng để vận chuyển con người ứng dụng từ mô hình robot xe hai bánh Đây là một phương tiện chuyên chở con người chạy bằng điện với khả năng tự cân bằng, hoạt động với một hệ thống điều khiển vô cùng phức tạp, với hơn 10 bảng mạch vi xử lý

đem lại năng lực tính toán gấp 3 lần những chiếc máy tính điển hình lúc bấy giờ Thiết bị cân bằng trên hai

bánh xe được đặt song song với nhau và được kiểm soát bằng cách di chuyển trọng lượng cơ thể Bằng cách sử dụng công nghệ này, người sử dụng có thể vượt qua các rãnh nhỏ hay lề đường và cho phép điều hướng dễ dàng trên nhiều loại địa hình khác nhau Sự vượt trội nằm ở chỗ có tới 5 con quay hồi chuyển và một vài cảm biến góc nghiêng khác được sử dụng để giữ cho nó luôn đứng thẳng mà không bị đổ Thực tế chỉ cần 3 con quay hồi chuyển cho toàn bộ chức năng cơ bản của hệ thống, còn các cảm biến bổ sung khác đóng vai trò như những biện pháp đảm bảo an toàn Vì giá trị thương mại to lớn mà nó có thể đem đến, tập đoàn Segway đã phát triển và đưa ra thị trường một loạt các phương tiện giao thông cá nhân hai bánh và đạt được rất nhiều thành công lớn kể từ năm 2003.

1.5.5Ván trượt cân bằng

Hình 1.8: Một ván trượt cân bằng phổ biến hiện nay

Ván trượt cân bằng hay xe điện tự cân bằng là tên mà người ta đặt cho những chiếc xe độc lạ mới xuất hiện những gần đây Nguyên lý hoạt động của nó cũng tương tự như với các mô hình xe hai bánh tự cân bằng đã được nghiên cứu từ trước tới nay Với giá thành rẻ và tính giải trí cao mà nó đem lại, những chiếc xe này đang trở nên phổ biến hơn, trở thành một xu hướng mới của giới trẻ tại Việt Nam nói riêng và trên thế giới nói chung Tuy nhiên đa số những chiếc xe có mặt trên thị trường hiện này đều có nguồn gốc không rõ ràng, chưa có sự kiểm định về mặt chất lượng cũng như khả năng đảm bảo an toàn cho người sử dụng cũng như mọi người xung quanh, cho nên nó

vẫn chưa được chính thức công nhận là một loại hình phương tiện giao thông cho phép sử dụng rộng rãi mà chỉ hạn chế hoạt động tại các phố đi bộ, các sân chơi chung,

Hiện nay, trong bối cảnh điều kiện giao thông ngày càng chật hẹp, tình trạng ô nhiễm không khí ngày càng gia tăng, thì việc nghiên cứu và chế tạo một mô hình xe điện với những đặc điểm như gọn nhẹ, dễ xoay xở, không sử dụng nhiên liệu gây hại tới môi trường là một nhu cầu thực sự cấp thiết Bên cạnh đó, việc thiết kế một nền tảng cho các robot di động là một đề tài cần thiết trong lĩnh vực tự động hoá ngày nay, nhằm trợ giúp cho người già, trẻ em, người khuyết tật, cũng như ứng dụng trong các công việc vận chuyển, giám sát,

Về mặt khoa học và công nghệ, mô hình xe hai bánh tự cân bằng là một bước đệm quan trọng để có thể rút ra những kinh nghiệm, bài học quý báu trong việc tính toán, mô hình hoá và chế tạo các robot hai chân - một bước tiến đột phá Ngoài ra mô hình cũng là sự bổ sung cần thiết về các giải pháp công nghệ di chuyển cho các robot di động di chuyển bằng bánh xe hay các robot hai chân, làm phong phú hơn các lựa chọn để giải quyết bài toán chuyển động trong không gian cho robot sau này.

Về yếu tố tâm lý người sử dụng, mô hình xe hai bánh tự cân bằng sẽ đặt ra một câu hỏi lý thú: tại sao chiếc xe có thể di chuyển và giữ thăng bằng được chỉ với hai bánh duy nhất? Chính câu hỏi này sẽ cuốn hút nhu cầu được sở hữu và sử dụng một chiếc xe hai bánh tự cân bằng Và đó cũng chính là lý do cho sự thành công trên toàn thế giới của hãng Segway năm 2003, cũng như trào lưu xe điện tự cân bằng tại Việt Nam năm 2018.

Với những lý do khách quan nêu trên, đề tài có lẽ là một nhu cầu nhất định đối với tình hình hiện nay ở Việt Nam nói riêng và trên toàn thế giới nói chung.

1.7Mục tiêu và phương pháp nghiên cứu

1.7.1Mục tiêu

Mục tiêu của đề tài là xây dựng được phương tiện xe hai bánh tự cân bằng di chuyển được trên các địa hình thông thường, dựa trên nền tảng mô hình lý thuyết con lắc ngược Khả năng di chuyển cân bằng trên hai bánh làm cho phương tiện di chuyển hiệu quả và linh động hơn, dễ dàng xoay xở trong các điều kiện không gian khác nhau Những mục tiêu của đề tài được đặt ra như sau:

• Tìm hiểu về các loại xe hai bánh nói riêng và xe tự cân bằng nói chung, nguyên lý cơ bản về cân bằng.

• Tính toán các tham số động lực học, hàm trạng thái của mô hình • Tìm hiểu về các phương pháp xử lý tín hiệu từ cảm biến.

• Tìm hiểu về mô hình lý thuyết động cơ DC.

• Thiết kế bản vẽ, chế tạo mô hình theo kích thước thật.

• Thiết kế mạch điều khiển trung tâm, làm nhiệm vụ xử lý các tín hiệu đo được và đưa ra quyết định điều khiển.

• Giải thuật cho vi điều khiển kết hợp và bù trừ các tín hiệu từ cảm biến để có được giá trị đo góc chính xác.

• Xây dựng thuật toán điều khiển cho các động cơ, đảm bảo khả năng giữ di chuyển và giữ thăng bằng.

• Lập trình điều khiển.

1.7.2Phương pháp nghiên cứu

Xây dựng mô hình lý thuyết:

• Tiếp cận từ mô hình tương đương - mô hình con lắc ngược.

• Tìm hiểu và so sánh ưu nhược điểm của các phương pháp xử lý tín hiệu số từ cảm biến, các bộ điều khiển và các phương pháp điều khiển công suất phổ biến hiện nay.

Nguyên mẫu thực tế:

• Thiết kế mô hình nhỏ thử nghiệm thuật toán • Thiết kế bộ khung cơ khí của nguyên mẫu.

• Thiết kế hệ thống truyền động, cung cấp năng lượng, điều khiển • Lập trình hệ thống.

Cơ sở lý thuyết

2.1Phương pháp tính động lực học

Có nhiều phương pháp dùng để tính động lực học [1] Ví dụ như: phương pháp Newton, phương pháp Lagrange, phương pháp theo năng lượng, Nhưng trong khuôn khổ bài đề tài này, phương pháp Newton được sử dụng với những ưu điểm có thể kể đến như sau:

• Phương pháp Newton sử dụng các phương pháp tính cơ học thông thường.

• Các công thức và hệ phương trình trong quá trình tính không quá phức tạp.

• Kết quả tính động lực học của mô hình con lắc ngược phổ biến hiện nay trong các tài liệu tham khảo được sử dụng để kiểm tra sai sót trong quá trình tính toán động lực học của mô hình xe hai bánh tự cân bằng.

Bên cạnh ba ưu điểm trên, phương pháp Newton vẫn có nhược điểm là phải tuyến tính hoá tính toán tại vị trí góc θ = 0◦ Tuy nhiên việc này không gây ảnh hưởng quá nhiều tới mô hình xe hai bánh cân bằng được xây dựng trong đề tài này, vì mô hình chỉ hoạt động xung quanh vị trí 0◦ (±10◦).

2.1.1Nền tảng lý thuyết từ con lắc ngược

Hình 2.1: Mô hình con lắc ngược

Ta xem xét mô hình toán học của con lắc ngược thông qua một hệ thống bao gồm một con lắc ngược được gắn vào một xe đẩy có gắn động cơ Con lắc ngược là một hệ thống con lắc mà khối tâm nằm ngay trên trục của nó, cho nên sự thăng bằng có thể đạt được là không hề ổn định, rất khó đạt đến mức cân bằng Hệ thống con lắc ngược là một ví dụ thường thấy trong các giáo trình về hệ thống điều khiển và các tài liệu nghiên cứu khác Sự phổ biến của nó xuất phát một phần từ thực tế là nó không ổn định nếu không có sự kiểm soát, nghĩa là, con lắc đơn giản sẽ rơi xuống nếu như xe đẩy không được di chuyển để cân bằng nó Ngoài ra, các phương trình động lực học của hệ là phi tuyến Mục tiêu của hệ thống điều khiển là cân bằng được con lắc ngược bằng cách tác dụng một lực đẩy lên xe đẩy mà con lắc được gắn vào Hiện nay có nhiều thuật toán điều khiển được sử dụng để có thể giải quyết được vấn đề này, chẳng hạn như: bộ điều khiển PID, mạng neural, điều khiển mờ, thuật toán di truyền,

Mô hình nghiên cứu gồm hai phần:

1 Một con lắc gắn với xe bởi một khớp bản lề 2 Lực F tác động vào xe theo phương nằm ngang.

Mô hình gồm hai biến đầu ra: 1 Độ dịch chuyển của xe (x).

2 Góc lệch của con lắc so với phương thẳng đứng (θ).

Hình 2.2: Sơ đồ khối các biến lối vào và biến lối ra của mô hình con lắc ngược

Để giải quyết bài toán này, trước hết ta có các tham số như sau:

M Khối lượng xe (kg) m Khối lượng con lắc (kg) b Ma sát của xe (N)

L Chiều dài 1/2 con lắc (m)

I Momen quán tính của con lắc (Nm) F Lực tác động vào xe (N)

x Vị trí của xe (m)

θ Góc của con lắc so với phương thẳng đứng (rad)

Phân tích các lực tác dụng lên xe và con lắc, ta có:

Hình 2.3: Sơ đồ các lực tác dụng lên xe và con lắc

Tổng hợp lực tác dụng lên xe theo phương ngang:

Tổng hợp lực tác dụng lên con lắc theo phương vuông góc:

P sin θ + N cos θ + mg sin θ = mL¨θ + m¨x cos θ (2.4)

Tổng momen tại khối tâm con lắc:

Biểu diễn hệ phương trình chuyển động của hệ sau khi đã được tuyến tính hoá dưới dạng hàm trạng thái:

Biến đầu ra:

Mô hình xe tự cân bằng bao gồm một khung gầm mang theo các thành phần điện tử như động cơ DC, bảng mạch, các cảm biến ; một thanh thép dọc gắn với thân xe, trên thanh dọc có lắp một số quả nặng để "mô phỏng" khối lượng của người lái; các bánh xe được gắn trực tiếp với động cơ DC.

Hình 2.4: Định nghĩa các biến đầu vào và nhiễu của hàm trạng thái

Hình 2.4 cho thấy chiếc xe có 3 bậc tự do Nó có thể xoay quanh trục z (pitch), chuyển động này được mô tả bằng góc θP với vận tốc góc tương ứng là ωP Chuyển động tuyến tính của khung gầm được đặc trưng bởi vị trí xRM và vận tốc vRM Ngoài ra, chiếc xe còn có thể xoay quanh trục thẳng đứng y (yaw) với sự kết hợp của góc δ và vận tốc góc ˙δ Sáu biến của hàm trạng thái này mô tả đầy đủ động lực học của một hệ 3 bậc tự do Tuy nhiên chúng ta chỉ xem xét chuyển động xoay quanh trục z của xe nên chỉ cần quan tâm đến đạo hàm bậc nhất và bậc hai của xRM và θP để mô tả động lực học của hệ 2 bậc tự do.

Chiếc xe được điều khiển bằng cách áp dụng momen xoắn CL và CR đến các bánh xe tương ứng.

Để có thể kiểm soát được hệ thống thành công, các biến của hàm không gian phải được xác định, hoặc thông qua đo lường trực tiếp hoặc phải được quan sát cẩn thận Góc và tốc độ góc của chuyển động theo trục z có thể được xác định dễ dàng bằng cảm biến tích hợp gia tốc kế và con quay hồi chuyển.

Hệ thống điều khiển dựa trên bộ điều khiển trạng thái nhằm điểu khiển sự ổn định xung quanh trục z nằm ngang (pitch) Bộ điều khiển sẽ tạo ra một giá trị riêng của momen xoắn cho từng bánh xe, tín hiệu này sẽ được đưa đến động cơ tương ứng.

Hình 2.5: Giản đồ lực của mô hình xe hai bánh tự cân bằng

Dựa vào giản đồ lực hình 2.5, ta có:

• Đối với bánh trái (tương tự với bánh phải):

JP : Momen quán tính của khung gầm xe (Nm2)

JRL, JRR : Momen quán tính của bánh xe trái và bánh xe phải (Nm2) MP : Khối lượng của khung gầm xe (kg)

MRL, MRR : Khối lượng của bánh xe trái và bánh xe phải (kg) JW : Momen trung bình của bánh (Nm2)

MW : Khối lượng trung bình của bánh (kg) R : Bán kính của bánh xe (m)

D : Khoảng cách giữa hai bánh xe (m)

L : Khoảng cách giữa trục z và trọng tâm của khung gầm xe (m)

Thế (2.19) và (2.20) vào (2.18) ta có:

JPθ = ( ¨¨ yPMP+ MPg −CL+ CR L )L sin

2θ − ¨xPMPL cos θ − (CL+ CR) (2.21)

JPθ = M¨ PL(¨yPsin θ − ¨xPcos θ) + MPgL sin θ − (1 + sin2θ)(CL+ CR) (2.22)

Xét với mỗi bánh trái và bánh phải:

¨P sin θ − ¨xPcos θ = −¨θL − ¨xRMcos θ (2.34)

Thay (2.33) vào (2.30) và (2.34) vào (2.22) ta được hệ phương trình:

Momen quán tính của thân xem như là một đoạn thẳng hình trụ có chiều dài 2L, bánh xe xem như là một đĩa tròn xoay:

Xấp xỉ các giá trị lượng giác ta được:

2.2.1Thiết kế cổ điển và hiện đại

Chúng ta cần một hệ thống điều khiển bởi vì chúng ta không thích cách mà máy móc đang vận hành, và bằng cách thiết kế một hệ thống điều khiển chúng ta có thể thử thay đổi cách vận hành của chúng sao cho phù hợp với yêu cầu của mình Thiết kế đề cập đến quá trình thay đổi các tham số của hệ thống điều khiển để đáp ứng các mục tiêu về độ ổn định, hiệu suất và độ bền Các tham số thiết kế có thể là các hằng số chưa biết trong hàm truyền của bộ điều khiển hoặc biểu diễn không gian trạng thái của nó [2].

Có hai bộ phận chính trong thiết kế hệ thống điều khiển, cụ thể là, cổ điển và hiện đại, tác động trực tiếp đến các ứng dụng điều khiển tự động.

Phương pháp thiết kế cổ điển bao gồm cách thay đổi hàm truyền của bộ điểu khiển cho đến khi đạt được hiệu suất vòng kín mong muốn Những dấu hiệu nhận biết cổ điển của hiệu suất vòng kín là khả nẳng đáp ứng tần số , hoặc vị trí của các cực của vòng kín Đối với hệ thống điều khiển bậc cao, bằng cách thay đổi một số lượng giới hạn hằng số trong hàm truyền của bộ điều khiển, có thể làm thay đổi phần lớn các vị trí cực vòng kín, nhưng không phải là tất cả Đây chính là một hạn chế lớn của phương pháp thiết kế cổ điển [13].

Đối với phương pháp thiết kế hiện đại, tham số thiết kế được thay đổi là biểu diễn không gian trạng thái của bộ điều khiển Nguyên tắc kiểm tra hệ thống ổn định bằng hàm trạng thái: tìm nghiệm λ của phương trình |λI − A| = 0, với A là một thành phần của hàm trạng thái Nếu một trong những giá trị riêng của A là λ > 0 thì vòng kín của hệ điều khiển không ổn định.

Khả năng điều khiển của hệ thống có thể được xác lập khi hệ thống có được bất kỳ trạng thái ban đầu nào, x(t0), đến trạng thái cuối bất kỳ nào, x(tf), trong một thời gian xác định, (tf − t0), với mỗi một giá trị của véc-tơ ngõ vào, u(t), t0 < t < tf Điều này cực kỳ quan trọng, vì có thể thay đổi được hệ thống không điều khiển được từ trạng thái ban đầu đến trạng thái cuối cùng, hay lấy một lượng thời gian không xác định làm thay đổi hệ thống không điều khiển được bằng cách dùng véc-tơ ngõ vào u(t) Khả năng điều khiển được của hệ thống có thể dễ dàng kiểm tra nếu tách riêng ra các phương trình trạng thái của hệ thống Mỗi phương trình trạng thái vô hướng tách riêng đều tương đương với một hệ thống phụ.

2.2.2Định lý về khả năng điều khiển

Định lý 1 Một hệ thống tuyến tính, bất biến theo thời gian được mô tả bằng phương trình trạng thái ma trận, x(1)(t) = Ax(t) + Bu(t) điều khiển được nếu và chỉ nếu ma trận kiểm tra khả năng điều khiển P = [B; AB; A2B; A3B; ; An−1B] có hạng là n, bằng với bậc của hệ thống [2].

Hạng của ma trận P, được định nghĩa là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 có trong P Nếu P là ma trận vuông, định thức lớn nhất hình thành P là |P| Nếu P không phải là ma trận vuông, thì định thức lớn nhất hình thành P được tính bằng bằng cách cho tất cả số hàng bằng với số cột hoặc tất cả số cột bằng với số hàng của P, từ đó ta sẽ có được hạng của ma trận P Chú ý đối với hệ thống bậc n với r lối vào thì kích thước của ma trận kiểm tra khả năng điều khiển P là n×nr Định thức con khác 0 lớn nhất của P có thể là thứ nguyên của n Do đó, hạng của P có thể nhỏ hơn hoặc bằng với n.

Một minh chứng rõ ràng của định lý kiểm tra khả năng điều khiển đại số có thể thấy trong định lý Friedland (phần đại số ma trận) Một dạng tương tự khác của định lý có thể áp dụng cho hệ thống thay đổi theo thời gian Từ đó có thể viết lại ma trận kiểm tra khả năng điều khiển thay đổi theo thời gian như sau: P(t) = [B(t); A(t)B(t); A2(t)B(t); A3(t)B(t); ;

An−1(t)B(t)] và kiểm tra hạng của P đối với mọi thời điểm, t > t0, cho hệ thống tuyến tính biến đổi theo thời gian Nếu tại bất kỳ thời điểm t nào đó, hạng của P(t) nhỏ hơn n, hệ thống sẽ không thể điều khiển được Tuy nhiên, việc dùng ma trận kiểm tra khả năng điều khiển biến đổi theo thời gian vừa nêu cần phải chú ý đến hệ số trạng thái biến đổi nhanh theo thời gian, bởi vì việc kiểm tra có thể thực thi tại các bước thời gian rời rạc - tốt hơn so với thực thi trên toàn bộ thời gian liên tục, và trong vài khoảng thời gian (ngắn hơn bước thời gian) hệ thống có lẽ sẽ mất kiểm soát, không điều khiển được.

Việc kiểm tra khả năng điều khiển gồm nhận biết hạng của ma trận P, kiểm tra xem liệu nó có bằng n hay không Điều này yêu cầu phải thực hiện một quá trình tính toán phức tạp và dài dòng nếu như tự tính bằng tay Tuy nhiên, phần mềm MATLAB cung cấp sẵn lệnh rank(P) giúp cho việc nhận biết hạng của ma trận dễ dàng hơn Hơn nữa, công cụ Control System Toolbox cho phép hình thành trực tiếp ma trận kiểm tra khả năng điều khiển P bằng cách dùng lệnh ctrb Ví dụ: P = ctrb(A,B) hoặc P = ctrb(sys), trong đó A và B là ma trận hệ số trạng thái của hệ thống mà hàm truyền của nó là sys.

Nguyên nhân khiến cho hệ thống không điều khiển được có thể là do tính chính xác, chẳng hạn cách dùng các giá trị trạng thái thừa (nghĩa là các giá trị trạng thái nhiều hơn bậc của hệ thống) Giá trị trạng thái thừa không ảnh hưởng trực tiếp bởi ngõ vào hệ thống, sẽ không tạo ra không gian trạng thái để điều khiển, cho dù hệ thống có thể điều khiển được về mặt vật lý Nguyên nhân đôi khi làm mất khả năng điều khiển được là có quá nhiều cực đối xứng trong mô hình toán học của hệ thống.

2.2.3Thiết kế gán cực hồi tiếp biến toàn trạng thái

Hệ thống điều khiển vòng kín được thiết kế bởi bộ điều khiển để đặt các cực tại vị trí mong muốn sẽ làm thay đổi đặc tính của hệ điều khiển [2] Phương pháp thiết kế cổ điển dùng hàm chuyển giao bộ điều khiển với một vài tham số thiết kế không đủ đặt vào tất cả các cực của vòng kín tại vị trí mong muốn Phương pháp hàm trạng thái dùng thông tin hồi tiếp toàn trạng thái cung cấp đủ tham số thiết kế bộ điều khiển để di chuyển các cực vòng kín độc lập với nhau Thông tin hồi tiếp toàn trạng thái được phát ra từ véc-tơ ngõ vào của bộ điều khiển, u(t), tuân theo định luật điều khiển như sau:

u(t) = K[xd(t) − x(t)] − Kdxd(t) − Knxn(t) (2.49)

Trong đó, x(t) là véc-tơ trạng thái của hệ thống, xd(t) là véc-tơ trạng thái mong muốn, xn(t) là véc-tơ trạng thái nhiễu và K, Kd, Kn là ma trận tăng cường của bộ điều khiển Véc-tơ trạng thái mong muốn, xd(t), và véc-tơ trạng thái nhiễu, xn(t), được tạo ra từ tiến trình ngoài và hoạt động như các ngõ vào hệ thống điều khiển Nhiệm vụ của bộ điều khiển là thu được véc-tơ trạng thái mong muốn ở tình trạng ổn định, trong khi đó vẫn phản ứng chống lại các ảnh hưởng do nhiễu gây ra Véc-tơ ngõ vào, u(t), ứng dụng cho hệ thống được mô tả bởi phương trình ngõ ra và trạng thái sau:

x(1)(t) = Ax(t) + Bu(t) + F xn(t) (2.50) y(t) = Cx(t) + Du(t) + Exn(t) (2.51)

Trong đó F và E là ma trận hệ số nhiễu trong phương trình ngõ ra và trạng thái Thiết kế hệ thống điều khiển dùng thông tin hồi tiếp toàn trạng thái đòi hỏi hệ điều khiển được mô tả bằng phương trình (2.50) phải có khả năng điều khiển, mặt khác ngõ vào điều khiển được tạo ra bởi phương trình (2.49) sẽ không gây ra bất cứ ảnh hưởng nào tới tất cả biến trạng thái của thiết bị Hơn nữa phương trình (2.49) yêu cầu toàn bộ các biến trạng thái của hệ thống phải được đo lường, và có khả năng hồi tiếp ngược trở lại bộ điều khiển Do đó bộ điều khiển bao gồm các cảm biến vật lý, thứ sẽ thực hiện nhiệm vụ đo các biến trạng thái, các thiết bị cơ khí và điện tử được gọi là bộ dẫn động, nó cung cấp ngõ vào cho hệ điều khiển dựa trên các ngõ ra mong muốn và định luật điều khiển (2.49) Bộ điều khiển hiện đại luôn luôn sử dụng mạch điện tử kỹ thuật số để thực hiện định luật điều khiển trong phần cứng.

Ma trận tăng cường bộ điều khiển, K, Kd và Kn là các tham số thiết kế của hệ thống điều khiển được mô tả bởi các phương trình (2.49) và (2.51) Cần phải chú ý rằng bậc của hệ thống vòng kín thông tin hồi tiếp toàn trạng thái là tương tự như với thiết bị Biểu đồ của hệ thống điều khiển hồi tiếp toàn trạng thái được trình bày bên dưới:

Hình 2.6: Sơ đồ nguyên lý của hệ thống vòng kín thông tin hồi tiếp toàn trạng thái chung

Ta xem xét hệ thống điều khiển có véc-tơ trạng thái mong muốn xd(t) = 0, hệ thống này còn được gọi là bộ ổn định Ngoài ra, để đơn giản hoá quá trình tính toán, chúng ta giả sử rằng tất cả các phép đo là hoàn hảo và không có bất kỳ lỗi nào xảy ra trong việc mô hình hoá thiết bị bởi hai phương trình (2.50) và (2.51) Như vậy, tất cả các yếu tố ngõ vào không mong muốn dưới dạng nhiễu đều bị loại bỏ, tức là xn(t) = 0 Do đó phương trình của định luật điều khiển giảm xuống còn:

u(t) = −Kx(t) (2.52)

Hình 2.7: Sơ đồ nguyên lý của bộ ổn định hồi tiếp toàn trạng thái (hệ thống điều khiển có véc-tơ trạng thái mong muốn bằng 0) không có nhiễu

Thay phương trình(2.52) vào hai phương trình (2.50) và (2.51) ta có trạng thái vòng kín và phương trình ngõ ra của bộ ổn định như sau:

x(1)(t) = (A − BK)x(t) (2.53) y(t) = (C − DK)x(t) (2.54)

Phương trình (2.53) và (2.54) cho thấy bộ ổn định là hệ thống đồng nhất, được mô tả bởi ma trận hệ số trạng thái vòng kín ACL = A-BK, BCL = 0, CCL= C-DK và DCL= 0 Các cực vòng kín là giá trị riêng của ma trận ACL Dó đó bằng cách chọn ma trận tăng cường bộ ổn định K, chúng ta có thể đặt lại các cực vòng kín tại những vị trí mong muốn Đối với thiết bị bậc n với r ngõ vào, kích thước của ma trận K là r ×n Từ đó chúng ta sẽ nắm trong tay toàn bộ các tham số thiết kế vô hướng Đối với hệ thống đa ngõ vào, số lượng của tham số thiết kế sẽ nhiều hơn số khả năng chọn lựa vị trí cực n.

2.2.4Thiết kế hệ thống ổn định gán cực cho ngõ vào đơn

Có một vấn đề gặp phải đó là, ngay cả với một thiết bị có ngõ vào đơn, bậc hai thì việc tính toán cho ma trận tăng cường bộ ổn định K bằng tay khá là rắc rối và có thể vượt quá khả năng khi mà bậc của thiết bị tăng vượt qua bậc ba [2] May mắn thay, nếu thiết bị ở dạng bộ điều khiển đôi, thì việc tính toán đối với các thiết bị ngõ vào đơn lúc này sẽ được đơn giản hoá đi rất nhiều Hãy xem xét một thiết bị ngõ vào đơn có bậc n, dạng bộ điều khiển đôi của nó sẽ như sau:

Với a0, , an−1 là các hệ số của đa thức đặc trưng của thiết bị |sI − A| = sn+ an−1sn−1 + a1s + a0 Ma trận tăng cường bộ ổn định hồi tiếp toàn trạng thái là một véc-tơ hàng gồm n tham số chưa biết được cho bởi:

K =K1; K2; ; Kn

(2.56)

Nó đòi hỏi phải đặt các cực vòng kín sao cho ma trận đặc đặc trưng vòng kín như sau:

|sI − ACL= |sI − A + BK| = sn+ αn−1sn−1+ αn−2sn−2 + α1s + α0 (2.57)

Trong đó ma trận động lực học trạng thái vòng kín, ACL= A − BK, được định nghĩa như sau:

Lưu ý rằng hệ thống vòng kín cũng ở dạng bộ điều khiển đôi Do đó từ ma trận (2.58), các hệ số của đa thức đặc trưng vòng kín phải được diễn tả như sau:

αn−1 = an−1+K1; αn−2= an−2+K2; ; α1 = a1+Kn−1; α0 = a0+Kn (2.59)

Hoặc, các tham số ổn định chưa biết được tính đơn giản như sau:

K1 = αn−1−an−1; K2 = αn−2−an−2; ; Kn−1 = α1−a1; Kn= α0−a0 (2.60)

Ở dạng véc-tơ, phương trình (2.60) có thể được biểu diễn thành:

Với α = [αn−1; αn−2; ; α1; α0] và a = [an−1; an−2; ; a1; a0] Nếu biểu diễn không gian-trạng thái của thiết bị không ở dạng bộ điều khiển đôi, thì có thể sử dụng một phép biến đổi trạng thái để chuyển đổi thiết bị sang dạng bộ điều khiển đôi như sau:

x0(t) = T x(t); A0 = T AT−1; B0 = T B (2.62)

Với x0(t) là véc-tơ trạng thái của thiết bị ở dạng bộ điều khiển đôi, x(t) là véc-tơ trạng thái ban đầu và T là ma trận chuyển đổi trạng thái Do đó định luật kiểm soát của bộ ổn định ngõ vào đơn (2.52) có thể được biểu diễn như sau:

Vì KT−1 là ma trận tăng cường bộ ổn định khi thiết bị ở dạng bộ điều khiển đôi, nó phải được cho bởi phương trình (2.61):

KT−1 = α − a (2.64)

Ma trận kiểm tra khả năng điều khiển của thiết bị ở không gian - trạng thái ban đầu được biểu diễn như sau:

Với P0 là ma trận kiểm tra khả năng điều khiển của thiết bị ở dạng bộ điều khiển đôi Nhân cả 2 vế của phương trình (2.67) với ma trận chuyển đổi trạng thái T , sau đó tiếp tục nhân cả 2 vế phương trình thu được với P−1, chúng ta nhận được biểu thức sau cho T :

T = P0P−1 (2.68)

Có thể dễ dàng hiểu rằng P0 là ma trận tam giác trên (gọi như vậy vì tất cả các phần tử bên dưới đường chéo chính của nó đều bằng 0):

1 −an−1 −an−2 −a2 −a1 0 1 −an−1 −a3 −a2

Phương trình (2.70) được gọi là công thức không gian đặt cực Ackermann Đối với thiết bị ngõ vào đơn được xem xét ở đây, P và P0 đều là ma trận vuông kích thước (n × n).

Áp dụng vào thiết kế hệ thống điều chỉnh thông tin phản hồi trạng thái đầy đủ cho mô hình xe hai bánh tự cân bằng Từ phương trình biểu diễn không gian - trạng thái tuyến tính của hệ thống, ma trận hệ số trạng thái được biểu diễn như sau:

Ngõ vào đơn, u(t), là một lực tác dụng lên thiết bị theo phương nằm ngang và hai ngõ ra là vị trí góc của nghiêng của thiết bị, θ(t), và vị trí ngang của sàn xe, x(t) Bốn véc-tơ trạng thái ứng với các bậc tự do của thiết bị lần lượt