VẬT THỂ TRÒN XOAY TẠO THÀNH KHI QUAY MỘT HÌNH PHẲNG HOẶC VẬT THỂ

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Công Nghệ Thông Tin, it, phầm mềm, website, web, mobile app, trí tuệ nhân tạo, blockchain, AI, machine learning - Công nghệ thực phẩm BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn 1 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn 1 VẬT THỂ TRÒN XOAY TẠO THÀNH KHI QUAY MỘT HÌNH PHẲNG HOẶC VẬT THỂ Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại website: www.vted.vn Cho một hình phẳng H , quanh H quanh trục XY cho trước ta được một vật thể tròn xoay. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay đó. 1. Các kiến thức cần sử dụng Khối cầu bán kính r có V = 4 π r3 3 tạo thành khi quay một nửa hình tròn quanh đường kính của nó. Khối nón bán kính đáy r, chiều cao h có V = π r2h 3 tạo thành khi quay tam giác ABC vuông tại A, với AB = h, AC = r. Khối trụ có bán kính đáy r, chiều cao h có V = π r2h tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD với AB = r, AD = h quanh AD. Khối nón cụt có bán kính đáy r1,r2 và chiều cao h có V = π h 3 (r1 2 + r1r2 + r2 2 ) tạo thành khi quay hình thang ABCD vuông tại A, D với AB = r1, DC = r2 ,h = AD. Khối chỏm cầu bán kính R, chiều cao h có thể tích V = πh2 R − h 3 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟. 2. Phương pháp chính Chia hình phẳng đã cho thành các hình chữ nhật, tam giác vuông, hình thang vuông và hình tròn. Với mỗi hình chữ nhật, tam giác vuông, hình thang vuông và hình tròn tạo thành áp dụng công thức ở 1. Quan sát hình vẽ để áp dụng đúng công thức bù trừ thể tích. 3. Hướng giải quyết bằng tích phân Chọn trục toạ độ Oxy sao cho Ox trùng với XY. Mô ta phương trình đường thẳng biểu diễn các cạnh của H. Áp dụng công thức V = π f 2 (x) dx a b ∫ ;V = π f 2 (x) − g2 (x) dx a b ∫ . Xem lại bài học về bài toán thực tế phần 2. 2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn 2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn Chú ý. Câu hỏi này thuộc chương Hình học không gian 12, khối tròn xoay và thường được cho dưới dạng câu hỏi vận dụng hoặc vận dụng cao. B – BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1. Cho hình thang ABCD vuông tại A, D với AB = 1, AD = 2,CD = 3. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quanh hình thang ABCD quanh trục AD. A. V = 26 π 3 . B. V = 21 π 3 . C. V = 28 π 3 . D. V = 19 π 3 . Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, với AB = 1, AC = 2. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay ABC quanh trục BC. A. V = 8 π 3 5 . B. V = 4 π 3 . C. V = 2 π 3 . D. V = 4 π 3 5 . Câu 3. Cho hình bình hành ABCD có AB = 4 2, AD = 10 và ∠BAD = 450. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình bình hành ABCD quanh trục AD. A. V = 416 π 3 . B. V = 160 π . C. V = 544 π 3 . D. V = 64 π . Câu 4. Một hình chữ nhật ABCD với AB > AD có diện tích bằng 2, chu vi bằng 6. Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB, AD ta được các khối tròn xoay có thể tích tương ứng là V1,V2 . Tính tỉ số V1 V2 . A. V1 V2 = 2. B. V1 V2 = 3. C. V1 V2 = 1. D. V1 V2 = 1 2 . Câu 5. Cho hình phẳng ABCD có AB = a,CD = 2a, BC = h như hình vẽ bên. Quay hình phẳng đã cho quanh trục BC ta được một vật thể tròn có thể tích là ? A. 5π a2h. B. π a2h. C. 5π a2h 3 . D. 4π a2h 3 . BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn 3 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn 3 Câu 6. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, tam giác MNP đều nội tiếp đường tròn đó và có cạnh MN song song với AB. Cho hình vẽ đó quay quanh trục OP. Kí hiệu V1,V2 ,V3 là thể tích khối tròn xoay tạo thành do hình vuông, hình tròn, tam giác đều quay quanh trục OP. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. V1 = V2 + V3. C. V1 2 = V2 .V3. B. V3 = V2 + V1. D. V3 2 = V2 .V1. Câu 7. Cho hình thang ABCD vuông tại A, B có O là điểm trên cạnh AB sao cho OB = 2OA,OA = 1,∠COB = 600 và tam giác COD vuông tại O. Kí hiệu V1,V2 là thể tích các khối tròn xoay do tam giác OBC,OAD quay quanh trục AB. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. V1 = 72V2 . B. V2 = 72V1. C. V1 = 36V2 . D. V2 = 36V1. Câu 8. Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 1,∠BAC = 1200. Cho tam giác ABC lần lượt quay quanh trục AB, BC và kí hiệu V1,V2 là thể tích của khối tròn xoay tạo thành. Tính tỉ số V1 V2 . A. V1 V2 = 3. B. V1 V2 = 2 3. C. V1 V2 = 3 2 . D. V1 V2 = 3 4 . Câu 9. Cho hình lập phương ABCD. ′A ′B ′C ′D cạnh bằng 1, tính diện tích xung quanh của hình tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc A ′C ′A quay quanh trục A ′A . A. Sxq = 6 π . B. Sxq = 3 π . C. Sxq = 2 π . D. Sxq = 5 π . Câu 10. Cho tứ diện ABCD có AB, BC,CD đôi một vuông góc, AB = 1, BC = 2,CD = 3. Quay tứ diện ABCD quanh trục BC. Tính tổng thể tích các khối nón tạo thành. A. 20π 81 . B. 20 π 3 . C. 20 π 9 . D. 20 π 27 . Câu 11. Cho hình thang cân ABCD có CD = 3AB = 3a, AD = a 2. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình thang ABCD quanh trục CD. A. V = 4 π a3 3 . B. V = 5 π a3 3 . C. V = 2 π a3 3 . D. V = 3 π a3. Câu 12. Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 4cm, AD = 5cm. Cắt hình chữ nhật đã cho theo đường gấp khúc MNP như hình vẽ bên với BM = 2cm, NP = 2cm, PD = 3cm và giữ lại hình phẳng lớn H. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục AB. A. V = 75 π cm3. C. V = 94 π 3 cm3. B. V = 94 π cm3. D. V = 244 π 3 cm3. 4 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn 4 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn Câu 13. Cho hai hình vuông cùng có cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên xung quanh trục XY. A. V = 125(1+ 2) π 6 . C. V = 125(5 + 4 2) π 24 . B. V = 125(5 + 2 2) π 12 . D. V = 125(2 + 2) π 4 . Câu 14. Cho hai tam giác cân có chung đường cao XY = 40cm và cạnh đáy lần lượt 40cm và 60cm, được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh của tam giác này là trung điểm cạnh đáy của tam giác kia như hình vẽ bên. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục XY. A. V = 40480 π 3 cm3. C. V = 46240 π 3 cm3. B. V = 52000 π 3 cm3. D. V = 1920 π cm3. Câu 15. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 4 2cm và ∠BAD = 450. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình thoi ABCD quanh trục AC. A. V = 64 π 2 − 2 3 cm3. C. V = 64 π 2 − 2 cm3. B. V = 64 π 2 + 2 3 cm3. D. V = 64 π 2 + 2 cm3. BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn 5 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn 5 Câu 16. Cho tam giác đều cạnh bằng 1, và tam giác cân cạnh bên bằng 1, góc ở đỉnh bằng 1200 xếp chồng lên nhau sao cho hai đỉnh của hai tam giác trùng nhau và cả hai tam giác nhận đường cao XY của tam giác đều làm trục đối xứng như hình vẽ bên. Quay mô hình trên quanh trục XY ta được một vật thể tròn xoay. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay đó. A. V = (8 + 3 3) π 72 . C. V = (8 + 3 3) π 24 . B. V = (8 + 5 3) π 72 . D. V = (8 + 5 3) π 24 . Câu 17. Cho hai hình chữ nhật bằng nhau có kích thước 4cm × 6cm được xếp chồng lên nhau như hình vẽ bên. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục XY. A. V = 36 π cm3. C. V = 40 π cm3. B. V = 48 π cm3. D. V = 44 π cm3. Câu 18. Cho tam giác đều và hình vuông có độ dài cạnh bằng nhau và bằng 10cm được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh của tam giác đều trùng với tâm của hình vuông và một cạnh của hình vuông song song với một cạnh của tam giác đều như hình vẽ bên. Quay mô hình trên quanh trục XY ta được một khối tròn xoay có thể tích là ? A. 125(17 + 3) π 9 cm3. C. 125(17 + 7 3) π 9 cm3. B. 125(17 + 5 3) π 9 cm3. D. 125(17 + 3 3) π 9 cm3 6 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn 6 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn Câu 19. Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 8cm, AD = 6cm v...

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn

1 VẬT THỂ TRÒN XOAY TẠO THÀNH KHI QUAY MỘT HÌNH PHẲNG HOẶC VẬT THỂ

*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại website: www.vted.vn

Cho một hình phẳng H, quanh H quanh trục XY cho trước ta được một vật thể tròn xoay

• Khối trụ có bán kính đáy r, chiều cao h có V =πr2h tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD

với AB = r, AD = h quanh AD

• Khối nón cụt có bán kính đáy r1,r2 và chiều cao h có

V =πh 3 (r1

2+ r1r2+ r22) tạo thành khi quay

hình thang ABCD vuông tại A,D với AB = r1, DC= r2,h= AD

• Khối chỏm cầu bán kính R, chiều cao h có thể tích 3 Hướng giải quyết bằng tích phân

• Chọn trục toạ độ Oxy sao cho Ox trùng với XY

• Mô ta phương trình đường thẳng biểu diễn các cạnh của H

2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn

*Chú ý Câu hỏi này thuộc chương Hình học không gian 12, khối tròn xoay và thường được cho dưới dạng câu hỏi vận dụng hoặc vận dụng cao

B – BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1 Cho hình thang ABCD vuông tại A,D với AB = 1, AD = 2,CD = 3 Tính thể tích V của vật thể

tròn xoay khi quanh hình thang ABCD quanh trục AD

Câu 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, với AB = 1, AC = 2 Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo

thành khi quay ABC quanh trục BC

Câu 3 Cho hình bình hành ABCD có AB = 4 2, AD = 10 và ∠BAD = 450 Tính thể tích vật thể tròn

xoay tạo thành khi quay hình bình hành ABCD quanh trục AD

Câu 4 Một hình chữ nhật ABCD với AB > AD có diện tích bằng 2, chu vi bằng 6 Khi quay hình

chữ nhật ABCD quanh trục AB, AD ta được các khối tròn xoay có thể tích tương ứng là V1,V2 Tính tỉ

Câu 5 Cho hình phẳng ABCD có

AB = a,CD = 2a, BC = h như hình vẽ bên Quay hình phẳng đã cho quanh trục BC ta được một vật thể tròn

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn

Câu 6 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, tam giác

MNP đều nội tiếp đường tròn đó và có cạnh MN song song với AB

Cho hình vẽ đó quay quanh trục OP Kí hiệu V1,V2,V3 là thể tích khối tròn xoay tạo thành do hình vuông, hình tròn, tam giác đều quay quanh

trục OP Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Câu 7 Cho hình thang ABCD vuông tại A,B có O là điểm trên cạnh AB sao cho

OB = 2OA,OA = 1,∠COB = 600 và tam giác COD vuông tại O Kí hiệu V1,V2 là thể tích các khối tròn

xoay do tam giác OBC,OAD quay quanh trục AB Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A V1= 72V2 B V2= 72V1 C V1= 36V2 D V2 = 36V1

Câu 8 Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 1,∠BAC = 1200

Cho tam giác ABC lần lượt quay quanh trục AB,BC và kí hiệu V1,V2 là thể tích của khối tròn xoay tạo thành Tính tỉ số

Câu 9 Cho hình lập phương ABCD ′AB′C′D cạnh bằng 1, tính diện tích xung quanh của hình tròn ′

xoay sinh bởi đường gấp khúc A ′CA quay quanh trục A ′′ A

Câu 10 Cho tứ diện ABCD có AB,BC,CD đôi một vuông góc, AB = 1,BC = 2,CD = 3 Quay tứ diện

ABCD quanh trục BC Tính tổng thể tích các khối nón tạo thành

Câu 11 Cho hình thang cân ABCD có CD = 3AB = 3a, AD = a 2 Tính thể tích V của vật thể tròn

xoay tạo thành khi quay hình thang ABCD quanh trục CD

Câu 12 Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 4cm, AD = 5cm Cắt hình

chữ nhật đã cho theo đường gấp khúc MNP như hình vẽ bên với

4 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn

Câu 13 Cho hai hình vuông cùng có cạnh bằng 5 được xếp chồng

lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình

vuông còn lại (như hình vẽ bên) Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên xung quanh trục XY

Câu 14 Cho hai tam giác cân có chung đường cao

XY = 40cm và cạnh đáy lần lượt 40cm và 60cm, được

xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh của tam giác này là trung điểm cạnh đáy của tam giác kia như hình vẽ bên Tính thể

tích V của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục XY

Câu 15 Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 4 2cm và

∠BAD = 450 Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình thoi ABCD quanh trục AC

nhau sao cho hai đỉnh của hai tam giác trùng nhau và cả

hai tam giác nhận đường cao XY của tam giác đều làm

trục đối xứng như hình vẽ bên Quay mô hình trên quanh

Câu 17 Cho hai hình chữ nhật bằng nhau có kích thước 4cm × 6cm được xếp

chồng lên nhau như hình vẽ bên Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục XY

A V = 36π cm3

C V = 40π cm3

B V = 48π cm3

D V = 44π cm3

Câu 18 Cho tam giác đều và hình vuông có độ dài cạnh

bằng nhau và bằng 10cm được xếp chồng lên nhau sao

cho đỉnh của tam giác đều trùng với tâm của hình vuông và một cạnh của hình vuông song song với một cạnh của tam giác đều như hình vẽ bên Quay mô hình trên

quanh trục XY ta được một khối tròn xoay có thể tích

6 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn

Câu 19 Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 8cm, AD = 6cm và

hai hình tròn có cùng bán kính 2cm được xếp chồng lên nhau sao

cho tâm của hai hình tròn lần lượt trùng với trung điểm các cạnh

AB,CD như hình vẽ bên Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục XY

Câu 21 Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 8cm và một hình tròn

có bán kính 5cm được xếp chồng lên nhau sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của hình vuông như hình vẽ bên Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục XY

Câu 22 Cho hai tam giác vuông cân bằng nhau có cạnh góc

vuông bằng 5cm được xếp chồng lên nhau sao đỉnh tại góc

vuông của tam giác này trùng với trung điểm của tam giác kia

như hình vẽ bên Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục XY

Câu 23 Cho hình phẳng (H) được mô tả như hình vẽ bên Tính thể tích

V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục AB

Câu 24 Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình vẽ bên Biết bán kính

đáy chai R = 5cm, bán kính cổ chai r = 2cm, AB = 3cm,BC = 6cm,CD = 16cm Tính thể tích phần

không gian bên trong của chai nước ngọt đó

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn

A V = 495π(cm3) B V = 490π(cm3) C V = 462π(cm3) D V = 412π(cm3)

Câu 25 Trong không gian, cho tam giác ABC đều tâm O Khi quay tam giác ABC quanh trục AO ta

được một khối nón, đồng thời hình tròn nội tiếp và hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC sinh ra hai khối

cầu; khối cầu nhỏ tiếp xúc với mặt đáy của khối nón và khối cầu lớn chứa đỉnh và đường tròn đáy của khối nón Nếu thể tích của khối cầu nhỏ là 10 dm3 thì thể tích của khối cầu lớn là bao nhiêu ?

A 270 dm3 B 80 dm3 C 90 dm3 D 40 dm3

Câu 26 Một chiếc xô có dạng khối tròn xoay có thiết diện qua

trục là hình thang cân như hình vẽ bên Tính thể tích của chiếc

Câu 27 Tính thể tích V của một lon nước ngọt có hình dạng là một vật

thể tròn xoay như hình vẽ bên Biết bán kính nắp và đáy lon bằng nhau

8 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn

Câu 28 Cho tam giác đều và một hình vuông có độ dài các

cạnh bằng nhau và bằng 10cm được xếp chồng lên nhau sao

cho đỉnh của tam giác trùng với tâm của hình vuông và một cạnh của tam giác song song với hai cạnh của hình vuông như

hình vẽ bên Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục XY

Câu 29 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi O là tâm tam giác BCD và M,N lần lượt là trung

điểm các cạnh AB, AC Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình thang BMNC quanh

vẽ bên) Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo thành

khi quay mô hình trên quanh trục là đường thẳng AC

Câu 31 Cho hình vuông ABCD, có các đỉnh là trung điểm các

cạnh của hình vuông cạnh a (như hình vẽ bên) Gọi S là hình

phẳng giới hạn bởi hình vuông bên ngoài và bên trong (phần đánh dấu chấm như hình vẽ) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi

quay S quanh trục AC

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: www.vted.vn

9 Câu 33 Cho tam giác ABC không tù Khi quay tam giác ABC quanh các cạnh BC,CA, AB ta thu được các vật thể tròn xoay có thể tích lần lượt là 1296π

5 ,324π,432π. Tính độ dài cạnh CA. A 15. B 12. C 9. D 20.

Câu 34 Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó

đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích 8π và BAC! = 300 Tính thể tích vật thể tròn

xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) (phần tô gạch sọc)

quanh đường thẳng AB.

Câu 35 Người ta làm một chiếc phao bơi như hình vẽ với bề

mặt có được bằng cách quay đường tròn (C) tâm I, bán kính

R =13cm và r = 41cm để làm hồ lô đựng rượu như hình vẽ

bên Biết đường tròn giao của hai hình cầu có bán kính

′r= 5cm và nút uống rượu là một hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm, chiều cao bằng 4cm. Giả sử độ dày vỏ hồ lô không đáng kể Hỏi hồ lô đựng được bao nhiêu lít rượu ? (Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân sau dấu phẩy)

Khoá học: PRO X TOÁN 2018 DÀNH CHO HS 2000

Links đăng kí: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

KHOÁ HỌC: CHINH PHỤC NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Links đăng ký học:

Khoá học: CHINH PHỤC CỰC TRỊ OXYZ

Links đăng kí:

Khoá học: PRO X TOÁN 2018 DÀNH CHO HS 2000

Links đăng kí: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

ĐÁP ÁN