TRNG THCS NAM Đềthi thông tin chọn học sinhgiỏi lớp 8 năm học 2008 2009 H tên : Lớp : Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 ( 2,0 điểm) Giải phơng trình : x(x+2)(x 2 +2x+5) = 6 Câu 2 : ( 4,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức : A = x 8 31x 7 + 31x 6 31x 5 +31x 4 31x 3 + 31x 2 31x + 27 với x = 30 b) Cho a - b = 4 tính giá trị của biểu thức B = a 3 12ab - b 3 Câu 3 : ( 2,0 điểm) Rút gọn phân thức : 3 2 3 2 2 7 12 45 3 19 33 9 a a a a a a + + Câu 4 : ( 3,5 điểm) Một ngời đi một nữa quãng đờng tử A đến B với vận tốc 15km/h , và đi phần còn lại với vận tốc 30km/h . Tính vận tốc trung bình của ngời đó trên toàn bộ quãng đờng AB . Câu 5 : ( 2,0 điểm) Chứng minh rằng : a) S 2 2 4 a b+ với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh bằng a , b . Câu 6 :( 6,5 điểm) Cho tam giác IKP cân tại A có KP = 4 cm , M là trung điểm của KP lấy D, E thứ tự thuộc các cạnh IK , IP sao cho DME K= . a) Chứng minh rằng tích KD . PE không đổi . b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc KDE . c) Tính chu vi IED nếu IKP là tam giác đều . ( Giám thị không giải thích gì thêm ) Họ và tên thísinh : Số báo danh Chữ kí giám thị 1 Chữ kí giám thị 2 hớng dẫn chấm thi môn toán kỳ thi thông tin chọn học sinhgiỏi lớp 8 THCS năm học 2008-2009 Câu 1 (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm a) Ta có A = x 6 19x 5 + 19x 4 19x 3 +19x 2 19x + 25 = x 5 ( x 18 ) x 4 ( x- 18 ) + x 3 ( x-18) x 2 ( x-18) + x(x- 18) - ( x 18 ) + 7 Do đó với x = 18 thì giá trị của biểu thức A = 7 . b) Với x+y = 1 ta có : B = ( x 3 + y 3 )+ 3xy = ( x +y ) ( x 2 - xy +y 2 ) + 3xy = x 2 +2xy +y 2 = ( x+y ) 2 = 1 1,00 1,00 1,00 1,00 Câu 2 (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm a) ta có 3 2 3 2 2 7 12 45 3 19 33 9 x x x x x x + + = 3 2 2 3 2 2 (2 5 ) (12 30 ) (18 45) (3 ) (18 6 ) (27 9) x x x x x x x x x x + + + + + = = 2 2 (2 5) 6 (2 5) 9(2 5) (3 1) 6 (3 1) 9(3 1) x x x x x x x x x x + + + + + = 2 2 (2 5)( 6 9) (3 1)( 6 9) x x x x x x + + + = 2 2 (2 5)( 3) (3 1)( 3) x x x x + = 2 5 3 1 x x + b) Giải phơng trình : (x 2 -x+1)(x 2 -x+2) = 12 (1) Đặt t = x 2 -x+1 thay vào phơng trình (1) ta đợc pt : t ( t+1 ) = 12 t 2 + t 12 = 0 ( t 2 - 3t ) + (4t 12) = 0 t( t - 3) + 4(t 3) = 0 (t - 3) (t+ 4) = 0 t = 3 hoc t = - 4 - Với t = 3 => x 2 -x+1 = 3 x 2 -x-2 = 0 x 2 -2x + x -2 = 0 x(x-2) + (x -2 ) = 0 (x-2) (x +1 ) = 0 x = 2 hoc x = - 1 - Với t = - 4 => x 2 -x+1 = - 4 x 2 -x + 5 = 0 ( x- 1 2 ) 2 + 19 4 = 0 phơng trình này vô nghiệm vì ( x- 1 2 ) 2 + 19 4 > 0 với mọi x . Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là : x = 2 , x = -1 1,00 0,50 0.50 0.50 0.75 0.25 0.25 0.25 Câu 3 : ( 4,5 điểm ) Gọi vận tốc mà ô tô dự định đi từ A đến B là : x ( điều kiện : x(km/h ) , x > 6 ). Ta có : Vận tốc ô tô đi nữa đầu quãng đờng là : x+10 ( km/h ) Vận tốc ô tô đi nữa sau quãng đờng là : x 6 (km/h ) Thời gian ô tô đi nữa đầu quãng đờng là : 30 10x + (h) Thời gian ô tô đi nữa sau quãng đờng là : 30 6x (h) Thời gian ô tô đi quãng đờng từ A đến B là : 60 x (h) Ta có phơng trình : 30 10x + + 30 6x = 60 x ( 6) ( 10)( 6) x x x x x + + ( 10) ( 10)( 6) x x x x x + + = 2( 10)( 6) ( 10)( 6) x x x x x + + => x 2 6x + x 2 + 10x = 2x 2 + 8x 120 x 2 6x + x 2 + 10x - 2x 2 - 8x = -120 4x = 120 x = 30 ( km/h ) Vậy thời gian ô tô dự định đi quãng đờng AB là : 60 30 = 2 ( giờ ) 0.50 1.00 0.75 0.75 0.50 0.50 0.50 Câu 4 (3,5 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng K E H I D M C B A a) Ta có DMC DME CME= + , mặt khác DMC B BDM= + , mà DME B= nên CME BDM= . Do đó BDM và CME đồng dạng ( gg ) . => BD BM CM CE = => BD . CE = CM . BM = a . a = a 2 Vậy tích BD . CE luôn không đổi . b) BDM và CME đồng dạng còn suy ra : DM BD ME CM = => DM BD ME BM = ( vì CM = BM ) Do đó DME và DBM đồng dạng => MDE BDM= hay DM là tia phân giác của góc BDE . 0.5 0.50 0.50 0.50 0.50 c) Từ câu b suy ra DM là tia phân giác của góc BDE , EM là tia phân giác của góc CED . Kẻ MH DE , MI AB , MK AC . Ta có DH = DI , EH = EK , do đó chu vi AED bằng AI + AK = 2AK . Ta lại có CK = 2 2 MC a = , AC = 2a nên AK = 1,5a . Vậy chu vi tam giác ADE bằng 3a . 0.50 0.50 Câu 5 : HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng c d h b D C B a A a) Gọi h là chiều cao tơng ứng với cạnh a , ta có S = 1 2 ah . => 4S = 2ah 2ab a 2 + b 2 . Vậy S 2 2 4 a b+ . Dấu bằng xảy ra h = b , a = b ABC vuông cân b) Theo câu a ta có : S ABC 2 2 4 a b+ ; S ADC 2 2 4 c d+ Mà S = S ABC + S ADC => S 2 2 2 2 4 4 a b c d+ + + => S 2 2 2 2 4 a b c d+ + + . Dấu bằng xảy ra ABC vuông cân ở B , ACD vuông cân ở D ABCD là hình vuông . 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 Lu ý : Nếu thísinh làm theo cách khác đúng đầy đủ chính xác cũng đợc điểm tối đa . dạng => MDE BDM= hay DM là tia phân giác của góc BDE . 0.5 0.50 0.50 0.50 0.50 c) Từ câu b suy ra DM là tia phân giác của góc BDE , EM là tia phân giác của góc CED . Kẻ MH DE , MI AB. góc KDE . c) Tính chu vi IED nếu IKP là tam giác đều . ( Giám thị không giải thích gì thêm ) Họ và tên thí sinh : Số báo danh Chữ kí giám thị 1 Chữ kí giám thị 2 hớng dẫn chấm thi môn. sinh : Số báo danh Chữ kí giám thị 1 Chữ kí giám thị 2 hớng dẫn chấm thi môn toán kỳ thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8 THCS năm học 2008-2009 Câu 1 (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm a) Ta