-]-MỞ ĐẦU
1 Tính cấp thiết của đề tài
Nâng cao độ an toàn và bảo mật của hệ thống truyền tin là một
yêu cau thực tiễn luôn chứa đựng tính cấp thiết, tính đa dạng, lại vừa
chứa đựng tính phát triển không ngừng Các phương pháp mã hóa,
mật mã đã đóng góp không nhỏ vào việc nâng cao hiệu quả và đảm
bảo độ an toàn, tin cậy của các hệ thống truyền tin.
Các vành da thức chan Z,[x]/x°" +1 thường không được sử dung
trong lý thuyết mã sửa sai truyền thống Tuy nhiên một số nghiên cứu
gân đây cho thấy việc sử dụng cấu trúc đại số trên các vành đa thức
chẵn vào việc xây dựng các hệ mật có được một sỐ kết quả nhất định.
Với mục đích tìm hiểu và nghiên cứu phát triển thêm các hệ mật
trên vành đa thức chăn; luận văn tập trung vào nghiên cứu xây dựng
hệ mật mã theo các phần tử khả dao của vành đa thức chan đặc biệt
Z[x]/(? +1), với tên đề tài tốt nghiệp: “Nghién cứu xây dựng hệ
mật theo các phân ¡ tử khả đảo trên vành đa thức chan”.
2 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu
Trong mô hình mật mã cô điển, một hệ mật khóa bí mật thì Alice(người gửi) và Bob (người nhận) chọn một cách bí mật khoá K Sau
đó dùng K để tạo luật mã hoá e, va luật giải mã d, Trong hệ mật
này d, hoặc giống e, hoặc dé dàng nhận được từ nó (ví dụ trong hệ
DES quá trình giải mã hoàn toàn tương tự như quá trình mã nhưng
thủ tục khoá ngược lại) Như vạy, nếu để lộ e, thì làm cho hệ thốngmat an toàn Nhược điểm của hệ mật này là nó yêu cầu phải có thông
tin trước về khoá K giữa Alice và Bob qua một kênh an toàn trướckhi gửi một bản mã bất kỳ Trên thực tế điều này rất khó đảm bảo.
Chang han khi Alice va Bob ở cách xa nhau va họ chỉ có thể liên lạc với nhau băng thư tín điện tử (E.mail) Trong tình huống đó Alice và Bob không thể tạo một kênh bảo mật với giá phải chăng.
Ý tưởng xây dựng một hệ mật khoá công khai (hay dùng chung)
là tim một hệ mật không có kha năng tính toán để xác định d, khi biết e„ Nếu thực hiện được như vậy thì quy tac mã e, có thé được công khai bang cách công bố nó trong một danh bạ (bởi vậy nên có
thuật ngữ hệ mat khoá công khai) Ưu điểm của hệ mật khoá công
khai là ở chỗ Alice (hoặc bất kỳ ai) có thê gửi một bản tin đã mã choBob (mà không cần thông tin trước về khoá mật) bằng cách dùng mật
Trang 2-2-mã công khai e, Người nhận A là người duy nhất có thé giải được bản mã này bằng sử dụng luật giải bí mật đ, của mình.
Có thé hình dung hệ mật này tương tự như sau: Alice đặt một vật
vào một hộp kim loại và rồi khoá nó lại băng một khoá số do Bob dé
lại Chỉ có Bob là người duy nhất có thể mở được hộp vì chỉ có anh ta
mới biết tổ hợp mã của khoá số của mình.
Ý tưởng về một hệ mật khoá công khai được Diffie và Hellman
đưa ra vào năm 1976 Còn việc hiện thực hoá nó thì do Rivesrt,
Shamir và Adleman đưa ra lần đầu tiên vào năm 1977, họ đã tạo nên hệ mật nổi tiếng RSA.
Một chú ý quan trọng là một hệ mật khoá công khai không bao
giờ có thể đảm bảo được độ mật tuyệt đối (an toàn vô điều kiện) Sở
dĩ như vậy vì đối phương khi nghiên cứu một bản mã, anh ta có thê
mã lan lượt các bản tin rõ bằng luật mã hóa công khai e, cho tới khi
anh ta tìm được bản rõ duy nhất M đảm bảo C =e,(M) Bản rõ này
chính là kết quả giải mã Bởi vậy, ta chỉ nghiên cứu độ mật về mặt
tính toán của các hệ mật này Một khái niệm có ích khi nghiên cứu hệ
mật khoá công khai là khái niệm về hàm cửa sập một chiêu.
Hàm mã khoá công khai e, của Bob phải là một hàm dễ tính toán.
Song việc tìm hàm ngược (hàm giải mã) rất khó khăn (đối với bất kỳ
ai không phải là Bob) Đặc tính dê tính toán hàm ngược thường đượcgọi là đặc tính một chiêu Bởi vậy điêu kiện cân thiệt là e, phải là
hàm một chiều (tính thuận đơn giản, nhưng tính ngược phức tạp).
Các hàm một chiêu đóng vai trò quan trọng trong mật mã học, các hệmật khoá công khai và trong nhiêu lĩnh vực khác.
ĐỀ xây dựng một hệ mật khoá công khai thì việc tìm được mộthàm một chiều vẫn chưa đủ Ta không muốn e, là hàm một chiều đối
với Bob vì anh ta phải có khả năng giải mã các bản tin nhận được
một cách hiệu quả Điều cần thiết là Bob phải có một cửa sập chứa
thông tin bí mật cho phép dé dàng tìm hàm của e, Như vậy Bob cóthé giải mã một cách hữu hiệu vì anh ta có một hiểu biết tuyệt mật
nào đó về K Bởi vậy một hàm được gọi là cửa sập một chiều nếu nó
là một hàm một chiều và nó trở nên dễ tính ngược nếu biết một cửa
sập nhất định.
Các nghiên cứu trên thế giới từ năm 1976 cho đến nay đã đưa ra được 5 bài toán một chiều như sau [1], [8], [10]: Bài toán logarit rời
Trang 3-3-rạc; Bài toán phân tích thừa số; Bài toán xếp ba lô; Bài toán mã sửa
sai; Bài toán xây dựng hệ mật trên đường cong elliptic.
Việc tìm hiểu và nghiên cứu phát triên thêm các hệ mật kiến trúc
trên vành đa thức chăn có ý nghĩa lý thuyết góp phần làm phong phú
thêm các bài toán về mật mã, từ đó luận văn tập trung vào nghiên cứu xây dựng hệ mật mã theo các phần tử khả đảo của vành đa thức chan.
3 Mục dich nghiên cứu
- Nghiên cứu tổng quan về mật mã học.
- Nghiên cứu cơ sở toán học và một cau trúc đại số trên vành đa thức chan.
- Nghiên cứu xây dựng một hệ mật cụ thể trên vành đa thức
chan Khảo sát và đánh giá.
4 Đối twong và phạm vi nghiên cứu
- Đối tương nghiên cứu: Mật mã khóa công khai, vành đa thức
- Pham vi nghiên cứu: Ap dụng các phan tử kha dao trên vành
chan dé xây dựng hệ mật mã khóa công khai.
5 Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng lý thuyết về mật mã học, các cấu trúc đại số trên vành
đa thức, kết hợp với việc tính toán và kiểm tra.
6 Bỗ cục luận văn
Bản luận văn này bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và
phần kết luận.
Chương I: Tổng quan về mật mã học Trinh bày những van đề
cơ bản về lý thuyết mật mã, khái niệm mật mã khóa bí mật, mật mã khóa công khai, quá trình phát triển của hệ mật khóa công khai.
Chương II: Nghiên cứu vành đa thức chan Trinh bay cac
nghiên cứu về vành đa thức, đa thức, nhóm nhân cyclic, cấp số nhâncyclic, lũy đăng, đa thức chăn và các phần tử khả đảo trên vành đa
thức chan.
Chương III: Xây dựng hệ mật trên vành da thức chan Trinh
bày về phần tử khả đảo và hàm sập trên vành đa thức chăn, từ đó đề xuất hệ mật khóa công khai trên cơ sở áp dụng phan tử kha đảo trên
vành đa thức chẵn và đánh giá hiệu quả của hệ mật được dé xuất.
Trang 4-4-CHUONG 1: TONG QUAN VE MAT MÃ HỌC
Trong chương này sẽ trình bay tổng quan về mật mã học, di vào
tìm hiệu hai loại hệ mát: hệ mát khóa bí mat và hệ mật khóa côngkhai, trong do sẽ trình bày kỹ hơn về các hệ mật khóa công khai.
1.1 Khái quát về mật mã học
1.1.1 Giới thiệu
Mật mã học là ngành khoa học ứng dụng toán học vào việc
biến đổi thông tin thành một dạng khác với mục đích che dấu nội
dung, ý nghĩa thông tin cần mã hóa Đây là một ngành quan trọng và
có nhiều ứng dụng trong đời sống xã hội Ngày nay, các ứng dụng
mã hóa và bảo mật thông tin đang được sử dụng ngày càng phổ biến
hơn trong các lĩnh vực khác nhau trên thế giới, từ các lĩnh vực an
ninh, quân sự, quốc phòng , cho đến các lĩnh vực dân sự nhưthương mại điện tử, ngân hàng
1.1.2 Sơ lược về mật mã học
Khoa học về mật mã (cryptology) bao gồm: Mật mã học
(cryptography) và Phân tích mật mã (cryptanalysIs)
Mật mã học là khoa học nghiên cứu cách ghi bí mật thông tin
nhằm biến bản tin rõ thành các bản mã [1].
Phân tích mật mã là khoa học nghiên cứu cách phá các hệ mật
nhằm phục hồi ban rõ ban đầu từ bản mã Việc tìm hiéu các thông tin
về khoá và các phương pháp biến đổi thông tin cũng là một nhiệm vụ
quan trọng của phân tích mật mã.
Có ba phương pháp tan công cơ ban của thám mã: Tìm khoá vét
cạn; Phân tích thống kê và phân tích toán học.
Việc tan công của thám mã có thé được thực hiện với giả định:
Tan công chỉ với bản mã; Tan công với bản rõ đã biết; Tan công với
các bản rõ được chọn; Tan công với các bản mã được chọn.
Có hai hệ thống mật mã chính là: mật mã khoá bí mật và mật mã
khoá công khai.
Khi xây dựng hệ mật ta thường xem xét tới các tiêu chuẩn sau: độ mật cần thiết, kích thước không gian khoá, tính đơn giản và tốc độ
mã hoá và giải mã, tính lan truyền sai, tính mở rộng bản tin.
Định nghĩa một số khái niệm cơ bản về mã hóa: Bản rõ, Bản mã,
Mã, Khoá, Mã hoá, Giải mã, Mật mã, Thám mã, Lý thuyết mã.
Trang 5-5-1.2 Các hệ mật và các phương pháp thám mã
1.2.1 Các hệ mật ma khoá bí mật
Hệ thống mã hóa bí mật là hệ thống mã hóa trong đó quy trình mã hóa và giải mã đều sử dụng chung một khoá - khóa bí mát Việc
bảo mật thông tin phụ thuộc vào việc bảo mật khóa.
Trong hệ thống mã hóa quy ước, thông điệp nguồn được mã hóa
với mã khóa k được thống nhất trước giữa người gui A và người
nhận B Người A sẽ sử dụng mã khóa & để mã hóa thông điệp x
thành thông điệp y và gửi y cho người B; người B sẽ sử dụng mã
khóa k để giải mã thông điệp y này Vấn đề an toàn bảo mật thông
tin được mã hóa phụ thuộc vào việc giữ bí mật nội dung mã khóa k.Nếu người C biết được mã khóa & thì C có thé “mở khóa” thông điệpđã được mã hóa mà người A gui cho người B.
Khóa bí mật
- Hà E tù, ») |
Thong diep Ma hoa Thong điệp Giai ma Thong điệp
nguôn đã ma hóa đã giải mà
Hình 1.1 Mô hình hệ thống mã khoá bí mật
Có 3 phương pháp chính trong | mật mã khoá bí mật (mat mã khoá
riêng hay mật mã cô điển) pháp nối bật đó là: Thay thế; Hoán vị; Xử
lý bit (chủ yếu trong ngôn ngữ lập trình)
Các hệ mật mã khoá bí mật bao gồm các hệ mật sau: - Mật mã thay thé
- Mat mã hoán vi
- Mat ma Hill
- Hé mật xây dựng trên các cấp số nhân cyclic trên vành đa thức - Ma Affine (trường hợp đặc biệt của hệ mã thay thé)
- Cac hệ mật mã tích- Cac hệ mã dòng
Trang 6-6-Ngoài ra còn có phương pháp hỗn hợp thực hiện kết hợp cácphương pháp trên mà điển hình là chuẩn mã dữ liệu DES, chuẩn mã
dữ liệu tiên tiến AES của Mỹ.
1.2.2 Các hệ mật mã khoá công khai
Một hệ thống khóa công cộng sử dụng hai loại khóa trong cùng một cặp khóa: khóa công cộng (public key) được công bố rộng rãi
và được sử dụng trong mã hóa thông tin, khóa riêng (private key)
chỉ do một người nắm giữ và được sử dụng để giải mã thông tin đã được mã hóa bằng khóa công cộng.
khóa công cộng khỏa riêng
OOO ©
+ ZPD
Thông điệp Mã hóa Thông điệp Giải mã Thông điệp
gốc đã mã hóa được giải mã
Hình 1.2 Mô hình hệ thống mã khoá công khai
Các phương pháp mã hóa này khai thác những ánh xạ ƒ mà việc
thực hiện ánh xạ ngược ƒˆÌ rất khó so với việc thực hiện ánh xạ ƒ Chỉ khi biết được mã khóa riêng thì mới có thê thực hiện được ánh xạ ngược ƒ !.Khi áp dụng hệ thống mã hóa khóa công cộng, người A
sử dụng mã khóa công cộng để mã hóa thông điệp và gửi cho ngườiB Do biết được mã khóa riêng nên B mới có thể giải mã thông điệpmà A đã mã hóa Người C nêu phát hiện được thông điệp ma A gửi
cho B, kết hợp với thông tin về mã khóa công cộng đã được công bó,
cũng rất khó có khả năng giải mã được thông điệp này do không
năm được mã khóa riêng của B.
1.3 Hệ mật khóa công khai
1.3.1 Giới thiệu về mật mã khóa công khai
Y tuong vé một hệ mật khoá công khai được Diffie va Hellman
đưa ra vào năm 1976 Còn việc hiện thực hoá nó thì do Rivesrt,
Trang 7-7-Shamir va Adleman đưa ra lần đầu tiên vào năm 1977, họ đã tạo nên
hệ mật nồi tiếng RSA Ké từ đó đã công bố một SỐ hệ, độ mật của
chúng dựa trên các bài tính toán khác nhau Trong đó, quan trọng
nhất là các hệ mật khoá công khai sau:
- Hé mật RSA: Dựa trên độ khó của bài toán phân tích thừa SỐ.
- Hệ mật xếp ba lô Merkle - Hellman: Hệ này và các hệ liên quan
dựa trên tính khó giải của bài toán tổng các tập con Tuy nhiên tất
cả các hệ mật xếp ba lô khác nhau đều đã bị chứng tỏ là không
mật (ngoại trừ hệ mật Chor-Rivest).
- Hé mát McEliece: dựa trên bài toán giải mã cho các ma tuyến tính (cũng là một bài toán NP day đủ).
- Hệ mật ElGamal: Hệ mật ElGamal dựa trên tính khó giải của bai
toán logarithm rời rạc trên các trường hữu hạn.
- Hé mật Chor-Rivest: Hệ mật Chor-Rivest cũng được xem như một
hệ mật xếp ba lô Tuy nhiên nó vẫn được coi là an toàn.
- Hệ mật trên các đường cong Elliptic: Các hệ mật nay là bién
tướng của các hệ mật khác, chúng làm việc trên các đường congElliptic chứ không phải là trên các trường hữu hạn Hệ mật này
đảm bảo độ mật với số khoá nhỏ.
Một chú ý quan trọng là một hệ mật khoá công khai không bao
giờ có thể đảm bảo được độ mật tuyệt đối Bởi vì đối phương khi nghiên cứu một bản mã, y có thể mã lần lượt các bản tin rõ bằng luật
mã hoá công khai e, cho tới khi anh ta tìm được bản rõ duy nhất x đảm bảo y =e, (x) Bản rõ này chính là kết quả giải mã của y.
Hàm mã khoá công khai e, của Bob phải là một hàm dễ tính toán.
Song việc tìm hàm ngược (hàm giải mã) rất khó khăn Đặc tính dễ tính toán hàm ngược thường được gọi là đặc tính một chiều Bởi vậy
điều kiện cần thiết là e, phải là hàm một chiều.
Các hàm một chiều đóng vai trò quan trọng trong mật mã học, chúng rất quan trọng trong các hệ mật khoá công khai và trong nhiều
lĩnh vực khác Đáng tiếc là mặc dù có rất nhiều hàm được coi là hàm một chiều nhưng cho đến nay vẫn không tổn tại một hàm nào có thé chứng minh được là hàm một chiều.
1.3.2 Nguyên tắc chung mã hóa với khóa công khai
Trong hệ thống có n đối tượng cùng trao đồi thông tin mật Từng
đôi tượng chọn cho mình một khóa lập mã k và công thức mã hóa ex
Trang 8_8-được công khai Như vay có n khóa lập mã công khai ki, kạ, , kn.
Khi đối tượng ¡ muốn gửi thông tin cho đối tượng j thì dữ liệu được
chuyền thành từng khối với độ dài nào đó, mỗi khối P trong văn bảnđược mã hóa bằng khóa lập mã e, cua đối tượng j, thông tin gửi di
có dạng: C =e, (P).
Dé giải mã đối tượng j thực hiện: d, (C) = d„.e„(P)=
Do ¿„ và d, là khóa lập mã và giải mã của đối tượng j do vậy
các đối tượng khác trong hệ thống không thể tìm ra khóa giải mã dy
trong thời gian chấp nhận được mặc dù biết đụ
-1.3.3 Quá trình phát triển của hệ mat khóa công khai [1],[8],[10]
Các hệ mật khóa công khai được nghiên cứu và phát triển mạnh
mẽ cuối những năm 70 của thế kỷ trước Các hệ mật điển hình được
tập trung nghiên cứu phát triển và đưa vào ứng dụng trong thực tế là
hệ mật RSA, hệ mật RABIN, hệ mật ELGAMAL, hệ mật CHOR-RIVEST, hệ mật Merkle-Hellman, hệ mật MCELICECE, các hàm
băm và tính toàn ven dit liéu,
Chương này đã trình bày những van đề tổng quan về mật mã hoc
như các khái niệm, phân loại và sơ đồ chức năng của hai hệ mật mã
hóa bí mật và khóa công khai Ngoài ra đi vào tìm hiểu và phân tíchcác vấn đề liên quan đến hệ mật khóa công khai và các bài toán một
Do vậy, trong chương 2 sẽ đi tìm hiểu về vành đa thức chan và các phan tử khả đảo trên vành đa thức chan (phan tử góp phần kiến
trúc lên hệ mật khóa công khai).
Trang 9-0-CHUONG 2: NGHIÊN CỨU VÀNH ĐA THUC CHAN
Trong chương này, chúng ta sẽ di tìm hiểu về vành da thức và
phân hoạch vành đa thức, các mô tả và tính chất của vành đa thức
chan, cdc phan tử kha đảo trên vành da thức chan Chương này giúp
cung cấp những kiến thức cơ bản để nghiên cứu xây dựng hệ mậttrên vành da thức chan trong chương 3.
2.1 Vành đa thức
2.1.1 Khát niệm vành da thức
2.1.2 Tính chất đa thức trong vành 2.1.3 Lũy đẳng trong vành đa thức
2.1.4 Lity đẳng nuốt trong R,[x] với n lẻ
Định nghĩa 2.5: Trong các vành R,[x] một lũy đăng e(x) được
gọi lũy đăng nuôt (Swallowing Idempotent) nêu:
f(x) *e(x) =(w(f(z)mod2).e(x)mod(+"+I)IYƒ(+)eR,[x] (2.8)
Rõ rang trong mọi vành R,[x] với n lẻ, e,,(x) = Sx la lũy dang
nuốt Day là đa thức chứa toàn bộ các đơn thức trong vành, do đó
é,,(x) là lũy đăng nuôt duy nhat trong vành này.
Trong một vành bat kỳ, với ø lẻ luôn tồn tại một lớp kề chỉ
chứa một lũy đăng “nuôt” e,, (x).
2.1.5 Các phân tử khả đảo
Định nghĩa 2.6: Trong R,[x], một đa thức f(x) là khả đảo nếu
tồn tại một đa thức g(x) e R,[x] thỏa mãn øg(x)* f(x) =1mod(x" +1).
Định nghĩa 2.7: Trong R,[x], tỉ lệ giữa số phần tử khả đảo trên
tổng số da thức của vành được ký hiệu là K,
Do các đa thức khả đảo luôn có trọng số lẻ nên giá trị lớn nhất của
K, là max(K,)=
Trang 10-10-2.1.6 Đa thức bù, khát niệm nghịch đảo mở rộng trong các vành lẻ
Định nghĩa 2.8: Trong R[x] với n lẻ, đa thức
ƒ()= f(x) +e,,(x) được gọi là đa thức bù hay phan bù của f(x).
Có thé thấy f(x) cũng chính là phần bù của f(x) trong R,[x].
Định nghĩa 2.9: Trong R[x] với ø lẻ, một đa thức f(x) được
gọi là “khả nghịch mở rộng” nếu tồn tai một đa thức g(+) e R,[x]
thỏa mãn g(x)* f(x) =(e,(x)+1)mod(x"+1) và g(x) được gọi là
nghịch đảo mở rộng của f(x).
Bồ dé 2-1: Trong R,[x] với n lẻ, nếu f(x) là khả đảo với phan tử nghịch dao g(x) thì ø(+)= g(x)+e,,(x)chinh là phần tử nghịch đảo
mở rộng của f(x).
Bồ dé 2-2: Trong R,[x] với n lẻ, giả sử k(x) là nghịch đảo mở rộng của (x), nếu biết c(x) =zm(x)*f(x)mod(x" +1) và w(m(x)) ta có thé tính được:
m(x) = wứm(x))mod2.a„(x)+k(+)*c(x)mod(x"+lI) (2.9)
2.2 Phan hoạch vành đa thức
2.2.1 Nhóm nhan cyclic trên vành da thức [2]
2.2.2 Cấp số nhân cyclic trên vành da thức [2], [5]
2.2.3 Các bước phân hoạch vành đa thức [2], [5]
Đê phân hoạch một vành đa thức ta thực hiện theo các bước sau
đây [2], [5]: :
Bước 1: + Chọn một phân tử sinh a(x) e £ ,[x]/x" +1.
+ Xây dựng nhóm nhân cyclic: A ={a'(x),i=1,2, ,m},
trong đó: m = orda(x).
Bước 2: + Chọn b(x) e{£ ,[x]/x” +1\S}.
+ Xây dựng cấp số nhân cyclic:
B=bD(x).A = {b(x).a' (x),i =1,2, ,m}
+ S=SUB
Bước 3: Lap lại bước 2 cho đến khi S=¢ 2[xl⁄“" +1
Trang 11-|1-Thông số m là cấp của a(x) (ký hiệu ord a(x) ) Giá tri m chi có
thé bang max ord a(x) hoặc ước số của max ord a(x)
Do vành da thức có cau trúc đối xứng, một nửa vành gồm các
phần tử có trọng số lẻ, một nửa vành gôm các phan tử có trong số chan Vì vậy khi phân hoạch ta chỉ cần tìm các phần tử có trọng sô lẻ
của vành rồi có thé dé dang suy ra các phan tử chan.2.2.4 Các kiểu phân hoạch vành đa thức
Các kiểu phân hoạch vành đa thức cho đến nay bao gồm [5]: Phân
hoạch chuẩn; Phân hoạch cực đại; Phân hoạch cực tiêu; Phân hoạch
thành các cấp số nhân có cùng trọng số; Phân hoạch vành thành các
cấp số nhân với các phân tử có cùng tính chăn lẻ của trọng số; Phân
hoạch vành thành các câp số nhân theo modulo của A(x); Phân hoạch
hỗn hợp của hai vành đa thức khác nhau.
2.3 Vành đa thức chan
Vành đa thức chin là vành các đa thức có hệ số trên GF(2) theo modulo x?"+1lneZ* Biéu diễn toán học day đủ của vành này là
GE, [x]/x°" +1 hay viết ngắn gọn là R,,[x].
2.3.1 Các thang du bậc hai và các phan tử liên hợp
2.3.1.1 Các thang du bậc hai va căn bậc hai cua thang du do trênvành da thức chan
Dinh nghia 2.12:
Đa thức f(x) được gọi là thang dư bậc 2 (quadratic residue - QR)
trong R,,[x] néu ton tại da thức g(x) e R,,[x] thỏa man:
g(x) = f (x) mod(xTM” +1) (2.13)
Khi đó g(x) va được gọi là căn bậc 2 của f(x) va g,(x)= J f(x)
được gọi là căn bậc 2 chính cua f(x).
Trang 12-|2-Bồ dé 2-3 [12]: Da thức f(x) năm trong tập các thang du bậc 2 Q,, khi và chỉ khi f(x) chứa các đơn thức có số mũ chan.
Số các thang dư bậc 2 trong R,, [x] được xác định như sau:
|2,,,| = vc =C)+C)+C}`+ +C?""'+C? =2" (2.14)
Bồ đề 2-4 [12]: Các căn bậc 2 của một thặng dư bậc 2 được xác
định theo công thức sau:
sqrtf (O} = gG)=+x")S`x' + SFO) (2.15)
trong đó U là một tập gồm các tô hợp tuỳ ý các giá trị trong tap
s={0,n—1} Do vậy lực lượng của U sẽ bằng |U| =2" -1 Ngoài ra, mỗi thang dư bậc 2 trong vành R,,[x] có tat cả 2" căn bậc 2 (kế cả
căn bậc 2 chính).
Các căn bậc 2 của một đa thức là tổng của nhiều đơn thức sẽ bằng tổng các căn bậc 2 của từng đơn thức hay nói cách khác khai căn bậc 2 của đa thức là thực hiện khai căn từng thành phần của đa thức.
Một số nhận xét:
- Trong vành R,,[x] có 2" thang dư bậc 2, mỗi thang dư bậc 2 có
2" căn bậc 2, do vậy có tat cả 27" căn bậc 2 trong vành.
- Mặt khác, ta thấy rang, trong vành R, [x] có 2?” đa thức (lực
lượng các phan tử trong vành được tinh bằng |Z,,|= 2°" ) do vậy các
căn bậc 2 của các thang dư bậc 2 tạo nên toàn bộ vành R, [x].
- Trong trường số day đủ, căn bậc 2 của (-1) là +7, chúng được gọi là các phần tử liên hợp của (-1) Tương tự như vậy, sau đây ta sé
gọi các căn bậc 2 của cùng một thang dư bậc 2 là các phần tử liên
hợp (Conjugate Elements) tương ứng với thang dư đó ký hiệu là