Ho ng ¼nh H£iTr÷íng H Hçng ùcChõ tàch Hëi çngTS... Ngæ Sÿ Tòng... Ngæ Sÿ Tòng... Têng trüc ti¸p v h¤ng tû trüc ti¸p.. Mæun li¶n töc... Tr¼nh b y mët c¡ch h» thèng lîp mæun li¶n töc v côn
CĂc kián thực chuân bà
Tờng trỹc tiáp v hÔng tỷ trỹc tiáp
GiÊ sỷ vợi mội i ∈ I thẳ A i l mởt mổun con cừa mổun M Khi õ têp hủp P i∈I
A i gỗm mồi tờng hỳu hÔn cõ dÔng xi 1 +ã ã ãxi n, xi k ∈ Ai k, k = 1, , n (1)
(n lĐy mồi giĂ trà nguyản dữỡng khĂc nhau, miạn l i k ∈ I vợi mồi k 1, , n ) l mổun con Nõ ữủc gồi l tờng cừa cĂc mổun con Ai, i ∈ I. BƠy giớ ta giÊ sỷ cĂc mổun con Ai thoÊ mÂn iãu kiằn:
A i ữủc gồi l tờng trỹc tiáp cừa cĂc mổun con Ai, i ∈I v ữủc kỵ hiằu lÔi l ⊕ i∈I Ai.
A i = L i∈IA i ,⊕ i∈I A i khi v ch¿ méi ph¦n tû cõa P i∈I
Ai ãu biºu thà ữủc mởt cĂch duy nhĐt dữợi dÔng (1). ành nghắa 1.1.1 Náu M = A⊕ B vợi A, B l hai mổun con cừa M thẳ mội mổun con n y ãu ữủc gồi l hÔng tỷ trỹc tiáp cừaM v mổun con n y l phƯn bũ trỹc tiáp cừa mổun con kia Khi õ ta viát A ⊆ ⊕ M v B ⊆ ⊕ M.
Mổun con cốt yáu, mổun con ãu
ành nghắa 1.2.1 Cho M l mởt R - mổun phÊi v N l mởt mổun con cõa M.
1 Mổun con N ữủc gồi l cốt yáu trong M v kẵ hiằu l N ⊆ ∗ M, náu vợi mồi mổun con K ⊆ M;K ̸= 0 thẳ N ∩K ̸= 0.
2 Náu N ⊆ ∗ M thẳ M ữủc gồi l mð rởng cốt yáu cừa N.
3 Náu 0 ⊆ ∗ M thẳ M = 0 (quy ữợc). ành nghắa 1.2.2 Cho R l v nh, mởt R - mổun U ữủc gồi l ãu (hay Uniform) náu U ̸= 0 v A∩B ̸= 0 ối vợi mồi mổun con khĂc khổng
Hay nõi cĂch khĂc, U l ãu náu U ̸= 0 v mồi mổun con khĂc khổng l cốt yáu trong U.
1 Z - mổun Z l mổun ãu vẳ: LĐy A = mZ ⊆ Z, m ̸= 0 v B kZ ⊆ Z, k ̸= 0 Khi õ 0 ̸= mãk ∈ mZ∩kZ.
Ta cõ am =bmã a b ∈ A;am= ak ã m n ∈ B.
3 Mồi mổun con khĂc khổng cừa mổun ãu, l ãu.
Mằnh ã 1.2.1 Cho M l R - mổun Khi õ ta cõ: i) A ⊆ ∗ M khi v chi khi ∀x∈ M, x̸= 0, xR ∩A ̸= 0. ii) Cho A ⊆ B, B ⊆ M thẳ A ⊆ ∗ M khi v ch¿ khi A ⊆ ∗ B v B ⊆ ∗ M. iii) Náu A i ⊆ ∗ B i (∀i1,2, , n), A i , B i ⊆ M thẳ Ti=n i=1 A i ⊆ ∗ Ti=n i=1 B i °c biằt náu A i ⊆ ∗ M thẳ Ti=n i=1 A i ⊂ ∗ M. iv) Cho A ⊆ B, B ⊆ M Náu B/A ⊆ ∗ M/A thẳ B ⊆ ∗ M. v) Náu f :M → N l ỗng cĐu mổun v A ⊆ ∗ N thẳ f 1 ⊆ ∗ M. vi) Cho M = P i∈I
M i , A = ⊕ i∈I A i v M i l mổun con cừa M, ∀i ∈ I, trong õ Ai ⊆ ∗ Mi Khi õ tỗn tÔi ⊕ i∈I Mi v A ⊆ ∗ ⊕ i∈I Mi.
Chựng minh i) GiÊ sỷ A ⊆ ∗ M, vợi 0 ̸= x∈ M ⇒xR ̸= 0, xR ⊂ M, hiºn nhiản xR∩A ̸= 0 (theo ành nghắa).
Do X ̸= 0 ⇒ ∃x ∈ X, x ̸= 0 ta cõ 0 = (X ∩A) ⊃ xR∩A ̸= 0 Vổ lỵ. Vêy x∩A ̸= 0 hay A ⊆ ∗ M. ii) Gi£ sû A ⊆ ∗ M L§y 0 ̸= x ⊆ B ⇒ X ⊆ M ⇒ X ∩A ̸= 0 (do
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ A ⊆ ∗ B v B ⊆ ∗ M LĐy 0 ̸= X ⊆ M v B ⊆ ∗ M.
Do â X ∩Ti=n i=1 Ai ̸= 0 Hay Ti=n i=1 Ai ⊆ ∗ Ti=n i=1 Bi. iv) LĐy 0 ̸=X ⊆ M GiÊ sỷ X ∩B = 0 suy ra tỗn tÔi X ⊕B.
Suy ra tỗn tÔi x+a+A =b+A ⇒x = b+a(a ∈ A) Vổ lỵ.
Do õ tỗn tÔi a ̸= 0, a ∈A v a ∈ f(X)⇒ a = f(x) v x̸= 0, x ∈ X. Suy ra x= f −1 (a).
⇒ x∈ f −1 (A) ⇒X ∩f −1 (A) ̸= 0 Vêy f −1 (a) ⊆ ∗ M. vi) Trữợc hát ta chựng minh cho trữớng hủp i hỳu hÔn.
Theo iii ta câ (A 1 ∩A 2 ) ⊆ ∗ (M 1 ∩M 2 ) hay 0 ⊆ ∗ (M 1 ∩M 2 ).
LĐy giao tứng vá cừa (1), (2) ta cõ:
⇒) (A1⊕M2)∩(A2⊕M1) ⊆ (M1∩M2)⇒ (A1⊕A2) ⊆ ∗ (M1⊕M2) BƠy giớ ta chựng minh cho trữớng hủp i vổ hÔn.
Mi ta cõ thº biºu diạn x = P i∈F xi, vợi F hỳu hÔn thuởc I, theo trữớng hủp trản thẳ tỗn tÔi ⊕ i∈F M i v sỹ biºu diạn õ l duy nhĐt. Tiáp theo lĐy 0 ̸= X ⊆ ⊕ i∈I M i ⇒ ∃0 ̸= x ∈ X; m x ∈ ⊕ i∈F M i, ⊕ i∈F
Ai ⊂ ∗ ⊕i∈FMi (vợi F hỳu hÔn thuởc I ).
Vêy ⊕ i∈I A i ⊆ ∗ ⊕ i∈I M i ành nghắa 1.2.3 Cho M l R - mổun
Mổun A ⊆ M ữủc gồi l õng trong M náu A khổng cõ mð rởng cốt yáu thỹc sỹ trong M, tực l náu: A ⊆ ∗ B ⊂ M ⇒A =B.
Mổun con X cừa M ữủc gồi l bao õng cốt yáu cừa U trong M náu U ⊆ ∗ X v X õng trong M.
Mằnh ã 1.2.2 Bao õng cừa mởt mổun con trong mổun M luổn tỗn t¤i.
Hằ quÊ 1.2.1 i) Náu A l mổun con õng trong M thẳ hÔng tỷ trỹc tiáp cừa A cụng õng trong M. ii) Náu A l mổun con õng trong hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M thẳ A cụng âng trong M. iii) Náu A l mổun con õng trong X v X õng trong M thẳ A mổun con âng trong M.
Mổun ãu, mổun con ãu v chiãu ãu
ành nghắa 1.3.1 Cho R l mởt v nh, mởt R - mổun trĂi khĂc khổng
M ữủc gồi l ãu náu vợi bĐt ký hai mổun con khĂc khổng A, B cừa M ta luổn cõ A∩B ̸= 0 Nõi cĂch khĂc, M l ãu náu M ̸= 0 v mồi mổun con khĂc khổng cừa M l cốt yáu trong M. ành nghắa 1.3.2 (i) Mởt mổun M trản v nh R gồi l cõ chiãu ãu (hay chiãu Uniform) hỳu hÔn náu khổng tỗn tÔi mởt tờng trỹc tiáp vổ hÔn cĂc mổun con khĂc khổng trong M.
Mổun M ữủc gồi l cõ chiãu ãu vổ hÔn trong trữớng hủp ngữủc lÔi. Ngữới ta  chựng minh ữủc rơng náu mổun M cõ chiãu ãu hỳu hÔn thẳ số hÔng tỷ lợn nhĐt cừa mởt tờng trỹc tiáp cĂc mổun con ãu, m cốt yáu trong M l mởt số bĐt bián, số õ ữủc gồi l chiãu ãu cừa M v kỵ hiằu l udim(M).
(ii) Cho R l mởt v nh tuý ỵ, ta gồi chiãu ãu phÊi cừa R l chiãu ãu cừa R R v chiãu ãu trĂi cừa R l chiãu ãu cừa RR.
Mằnh ã 1.3.1 Cho M l mởt R - mổun v N l mổun con cừa M. i) Cho N ⊆ e M, khi õ M cõ chiãu ãu hỳu hÔn náu v ch¿ náu N cõ chiãu ãu hỳu hÔn v trong truớng hỡp n y udimM = udimN. Ngữủc lÔi, náu M cõ chiãu ãu hụu hÔn v udimM = udimN thẳ
N ⊆ e M. ii) Náu M = M1⊕ .⊕Mn, thẳ udimM = udimM1,+ .+udimMn.iii) GiÊ sỷ N v M/N ỗng thới cõ chiãu ãu hỳu hÔn Khi õ M cõ chiãu ãu hỳu hÔn v udimM ≤ udimN +udimM/N. iv) Náu M cõ chiãu ãu hỳu hÔn thẳ mồi mổun con cừa M cõ chiãu ãu húu h¤n.
Mổun A-nởi xÔ, nởi xÔ, tỹa nởi xÔ
ành nghắa 1.4.1 Cho A v M l R - mổun i) Mổun M ữủc gồi l A− nởi xÔ( A−injective) náu ∀X ⊆ A, ∀ ỗng cĐu f : X → M, luổn tỗn tÔi mð rởng cừa f l f ∗ :A →M.
Nghắa l : f = f ∗ i, trong õ i l ph²p nhúng ỗng nhĐt. ii) Mổun M ữủc gồi l nởi xÔ (injective) náu M l A - nởi xÔ, ối vợi mồi mổun A trản v nh R. iii) Mổun M ữủc gồi l tỹa nởi xÔ náu M l M−nởi xÔ.
Mội khổng gian v²c-tỡ V l mởt mổun nởi xÔ, vẳ náu V l khổng gian con cừa V ′ thẳ nõ ỗng thới l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa V ′ ành nghắa 1.4.2 1 Cho M l mởt R - mổun trĂi Bao nởi xÔ (in- jective hull) cừa M l mổun Q thoÊ mÂn: i) Q l mổun nởi xÔ, ii) Tỗn tÔi ỡn cĐu R - mổun f : M →Q m f(M) ⊆ e Q.
2 Hai R - mổun trĂi M, N ữủc gồi l nởi xÔ lăn nhau (relatively injective) trong trữớng hủp ỗng thới M l N - nởi xÔ v N l M - nởi xÔ.
Mằnh ã 1.4.1 Cho N l A - nởi xÔ v B ⊆ A Khi õ: i) N l B - nởi xÔ. ii) N l A/B nởi xÔ.
Tẵnh chĐt 1.4.1 Bao nởi xÔ E(M) luổn tỗn tÔi vợi mồi R−mổun trĂi M.
Nhên x²t 1.4.3 i) Bao nởi xÔ cừaM l tối tiºu trong cĂc mð rởng nởi x¤ cõa M. ii) Bao nởi xÔ cừa M l tối Ôi trong cĂc mð rởng cốt yáu cừa M.
ở d i cừa mổun
ành nghắa 1.5.1 Cho M l mổun khĂc khổng Mởt têp hỳu hÔn n+ 1 mổun con cừa M
M =M 0 ⊇ M 1 ⊇ ⊇ M n = 0 ữủc gồi l mởt dÂy hủp th nh cõ ở d i n trong M vợi iãu kiằn rơng
M i−1 /M i l ìn (i = 1,2, , n). ành lỵ 1.5.1 Náu mởt mổun M cõ dÂy hủp th nh thẳ mồi c°p dÂy hủp th nh trong M ãu cõ cũng ở d i. ành nghắa 1.5.2 ở d i cừa mổun M (kỵ hiằu l(M) ) ữủc xĂc ành bði l(M) = 0 náu M = 0 v l(M) = n náu M cõ mởt dÂy hủp th nh cõ ở d i n. ành lỵ 1.5.2 Náu mởt mổun M cõ dÂy hủp th nh thẳ mồi c°p dÂy hủp th nh trong M ãu cõ cũng ở d i.
Mổun liản tửc
CĂc iãu kiằn (C i ) cừa mổun
Cho M l mởt R - mổun trĂi Ta x²t cĂc iãu kiằn sau ối vợi M :
(C1) Mồi mổun con cừa M l cốt yáu trong mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Nõi cĂch khĂc, mồi mổun con õng trongM l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.
(C2) Náu A v B l cĂc mổun con cừa M ¯ng cĐu vợi nhau v A l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M thẳ B cụng l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cõa M.
(C3) Náu A v B l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M sao cho A∩B = 0 thẳ
A⊕B cụng l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.
(1−C 1 ) Mồi mổun con ãu cừa M l cốt yáu trong mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.
Z− mổun Z2 v Z8 thọa mÂn cĂc iãu kiằn (C 1 ),(C 2 ) v (C 3 ).
Lợp cĂc mổun thọa mÂn iãu kiằn (Ci) (i = 1,2,3) l mởt lợp mð rởng cừa mổun nởi xÔ, tỹa nởi xÔ.
2.1.2 ành nghắa i) Mởt mổun M ữủc gồi l CS−mổun (hay extending mổun) náu
M thoÊ mÂn iãu kiằn (C 1 ). ii) Mởt mổun M ữủc gồi l liản tửc (continuous) náu M thoÊ mÂn iãu kiằn (C1) v (C2). iii) Mởt mổun M ữủc gồi l tỹa liản tửc (quasi-continuous) náu M thoÊ mÂn iãu kiằn (C1,) v (C3). iv) Mởt mổun M ữủc gồi l (1−C1) mổun náu M thoÊ mÂn iãu kiằn (1−C 1 )
Mởt số tẵnh chĐt cừa mổun thọa mÂn (C 1 ) , (C 2 ) , (C 3 )
Mằnh ã 2.2.1 Mởt mổun M l CS - mổun náu v ch¿ náu mồi mổun con õng trong M l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.
Chựng minh Náu M l CS - mổun v A mổun con õng bĐt ký cừa M, khi õ do M thoÊ mÂn iãu kiằn (C 1 ) náu tỗn tÔi mổun con B cừa M m A ⊆ e B ⊆ ⊕ M, do A l õng nản A = B, vêy A l hÔng tỷ trỹc tiáp cõa M.
Ngữủc lÔi, náu mồi mổun con õng cừa M l hÔng tỷ trỹc tiáp, khi õ náu A l mổun con õng bĐt ký cừa M v B l bao õng cừaA trong
M thẳ A ⊆ e B ⊆ ⊕ M Do õ M thoÊ mÂn iãu kiằn (C1) hay M l CS - mổun.
Mằnh ã 2.2.2 Cho R l v nh Mởt R - mổun M = M1 ⊕M2, l mởt tờng trỹc tiáp cừa mởt mổun ỡn v mởt mổun cõ ở d i 2 Khi õ M l CS mổun.
Chựng minh Thêt vêy, giÊ sỷ mổun M = M 1 ⊕M 2 , vợi M 1 , l mổun ỡn v mổun M2, cõ ở d i 2 (khi M cõ ở d i 3).
Gồi K l mởt mổun con õng trong M, thẳ tứ M1, l mổun con ỡn. Nản K ∩M 1 = 0 ho°c K ∩M 1 = M 1
Trữớng hủp 1 K ∩M 1 = M 1 thẳ ró r ng K ⊆ ⊕ M.
Khi õ vợi phƯn tỷ bĐt kẳ x∈ K : x= x 1 +x 2 vợi x 1 ∈ M 1 , x 2 ∈M 2 Cho α(x) = 0 thẳ dăn án α(x1+x2) = α(x1) +α(x2) = x2 = 0, bði vẳ K ∩M1 = 0 nản suy ra x1 = 0 hay x = 0.
Vêy α l mởt ỡn cĐu v nhữ vêy ta cõ K ∼= α(K) ⊆ M 2
Náu l(K) =l(M 2 ) = 2 thẳ ỡn cĐu α l mởt ¯ng cĐu v nhữ vêy ta cõ
Vẳ l(M) = 3 nản náu nhữ K ∩M 2 = 0 thẳ dạ thĐy M = K ⊕M 2 , (vẳ náu khổng thẳ tứ K ⊕M 2 ⊆ M dăn án l(K ⊕M 2 ) = 3 < l(M) = 3, mƠu thu¨n) hay K ⊆ ⊕ M.
Do K õng trong M nản dăn án K õng trong M2.
M°t khĂc, vẳ M 2 l mởt CS - mổun, suy ra K ⊆ ⊕ M 2 ⊆ ⊕ M, hay
Mằnh ã 2.2.3 HÔng tỷ trỹc tiáp cừa mổun thọa mÂn (C 1 ) l mổun thọa mÂn (C1).
Chựng minh Cho M l mởt mổun thọa mÂn (C1).
GiÊ sỷ N l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M v U l mổun con õng trong N.
Khi õ U l mổun õng trong M Do M thọa mÂn (C1), do vêy U l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M, nghắa l M = U ⊕X, vợi X l mổun con n o õ cừa M Khi õ, bði vẳ N ⊆ M Theo luêt mổun ta cõ:
Vêy U l hÔng tỷ trỹc tiáp cừaN Hay N l mổun thoÊ mÂn (C 1 ).
Mằnh ã 2.2.4 Mổun M thoÊ mÂn iãu kiằn (C 2 ) náu v ch¿ náu vợi mội mổun con õng K cừa M sao cho K ¯ng cĐu vợi mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M, mội ỗng cĐu f :K → M mð rởng ữủc th nh mởt ỗng cĐu tứ M v o M.
Chựng minh iãu kiằn cƯn l hiºn nhiản vẳ K cụng l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Ta chựng minh chiãu ngữủc lÔi.
GiÊ sỷ K l mổun con cừa M sao cho K ¯ng cĐu vợi mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Ta chựng minh K cụng l hÔng tiáp cừa M.
Thêt vêy, theo giÊ thiát tỗn tÔi hÔng tỷ trỹc tiáp L cừa M v ¯ng cĐu f : K → L Khi â f : K → M l ìn c§u sao cho L = f(K) l h¤ng tû trỹc tiáp cừa M Theo giÊ thiát, f cõ thº mð rởng ữủc th nh ỗng cĐu g : M →M.
Ta cõ h l ỗng cĐu tứ M v o f(M).
Chú ỵ rơng vợi mồi x ∈K ta cõ: h(x) =pg(x) =p(g(x)) =p(f(x)) = f(x).
Vêy K l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.
Mằnh ã 2.2.5 HÔng tỷ trỹc tiáp cừa mổun thọa mÂn (C2) l mổun thọa mÂn (C 2 ).
Chựng minh Gồi M l mổun thọa mÂn (C2) v N l hÔng tỷ trỹc tiáp cõa M.
Ta cƯn chựng minh N thọa mÂn (C 2 ).
Thêt vêy, giÊ sỷ A l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa N v B l mổun con cừa
N sao cho A ∼= B ta chựng minh B l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa N.
Do A l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa N nản N = A ⊕X, vợi mổun con X n o õ cừa N Do N l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M nản N ⊕Y = M vợi Y l mổun con n o õ cừa M Vẳ vêy
M = N ⊕Y = (A⊕X)⊕Y = A⊕(X ⊕Y) Suy ra A l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.
Vẳ B l mổun con cừa N nản B cụng l mổun con cừa M.
Do M thọa mÂn (C2), A l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M, B l mổun con cừa M ¯ng cĐu vợi A nản B l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.
Do B ⊂ N nản theo luêt modular ta suy ra B l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa
Bờ ã 2.2.1 CĂc iãu kiằn sau l tữỡng ữỡng cho mởt mổun M. i) M thọa mÂn (C 3 ), ii) Mồi hÔng tỷ trửc tiáp P, Q cừa M vợi P ∩Q = 0, tổn tÔi mổun con
Chựng minh i ⇒ ii GiÊ sỷ P, Q l cĂc hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M vợi
Vêy tỗn tÔi Q ′ l mổun con cừa M sao cho M = P ⊕Q⊕Q ′ °t P ′ = Q⊕Q ′ thẳ P ′ ⊆ M v M =P ⊕P ′ , Q ⊆ P ′ ii ⇒ i GiÊ sỷ K v L l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M sao cho K ∩L = 0. VẳM thọa mÂn ii nản tỗn tÔiK ′ ⊆ M sao choL ⊆ K ′ v M = K⊕K ′ M°t khĂc L ⊂ ⊕ M nản tỗn tÔi L ′ ⊆ M sao cho M = L⊕L ′
Suy ra K ′ = L⊕ (L ′ ∩K ′ ) v M = K ⊕ K ′ = K ⊕ L ⊕(L ′ ∩K ′ ). iãu n y k²o theo K ⊕L ⊂ ⊕ M Hay M thọa mÂn (C3).
Mằnh ã 2.2.6 Mổun M thoÊ mÂn iãu kiằn (C3) náu v ch¿ náu ối vợi mội mổun con K cừa M sao cho K l tờng trỹc tiáp cừa cĂc mổun con K 1 , v K 2 cừa M, mội ỗng cĐu f : K → M mð rởng ữủc th nh ỗng cĐu tứ M v o M.
Chựng minh iãu kiằn cƯn l hiºn nhiản, vẳ khi õ K cụng l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Ta chựng minh iãu kiằn ừ.
Cho K 1 , K 2 l cĂc hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M sao cho K 1 ∩K 2 = 0, ta chựng minh K1⊕K2 cụng l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.
Do K1, K2 l hÔng tỷ trỹc tiáp cừaM nản tỗn tÔi cĂc mổun conL1, L2 cõa M sao cho M = K 1 ⊕L 1 = K 2 ⊕L 2
GiÊ sỷ f : K1⊕K2 →M cho bði f(x+y) =x vợi x∈ K1, y ∈ K2. Theo giÊ thiát f mð rởng ữủc th nh g :M → M sao chog(x+y) = x, vợi mồi x∈ K 1 , y ∈ K 2 Kẵ hiằu p : M = K 1 ⊕L 1 →K 1 , l ph²p chiáu. Khi õ Ănh xÔ h = pg : M → K1 l ỗng cĐu sao cho vợi mồi x ∈ K1 ta câ h(x) = pg(x) = p(g(x)) = p(f(x)) =p(x) = x.
Rã r ng ta câ M = K1⊕Kerh v K2 ⊆ Kerh. iãu n y suy ra M = (K 1 ⊕K 2 ) (Kerh∩L 2 ).
Mằnh ã 2.2.7 HÔng tỷ trỹc tiáp cừa mổun thọa mÂn (C 3 ) l mổun thọa mÂn (C3).
Chựng minh GiÊ sỷ M l mổun thọa mÂn (C 3 ) v N l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M, gồi A v B l cĂc hÔng tỷ trỹc tiáp cừa N sao cho A∩B = 0.
K l mổun con n o õ cừa M Suy ra A ⊆ ⊕ M, B ⊆ ⊕ M.
Suy ra M = A⊕B ⊕L, L ⊆ M Vẳ A, B ⊆ N nản A⊕ B ⊆ N Theo luêt modular,
Suy ra A⊕B ⊆ ⊕ N Hay N thọa mÂn (C 3 ).
Hằ quÊ 2.2.1 HÔng tỷ trỹc tiáp cừa mổun liản tửc (tỹa liản tửc) l mổun liản tửc (tỹa liản tửc).
Mổun liản tửc
Mằnh ã 2.3.1 i) M l CS-mổun thẳ M l (1−C 1 ) - mổun, ii) Náu mổun M thọa mÂn iãu kiằn (C2) thẳ cụng thọa mÂn iãu kiằn (C 3 ).
Chựng minh i Hiºn nhiản vẳ M l CS-mổun nản theo ành nghắa, mội mổun con cừa M cốt yáu trong mởt hÔng tỷ trỹc tiáp.
Do vêy, mội mổun con ãu cụng cốt yáu trong mởt hÔng tỷ trỹc tiáp. Suy ra M l (1−C 1 ) - mổun (theo ành nghắa (1−C 1 ) - mổun). ii GiÊ sỷ M1, M2 l cĂc hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M sao cho M1∩M2 = 0. Vẳ M 1 l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M suy ra M = M 1 ⊕M ′
Náu lĐy x ∈M 1 ⊕M 2 , thẳ ta cõ x= m 1 +m 2 trong õ m 1 ∈ M 1 , m 2 ∈
Vẳ M2M ′′ M =M1⊕M ′ nản m2 =x1+x2 trong õ x1 ∈ M1, x1 ′ ∈M ′ Suy ra x= m 1 + (x 1 +x ′ 1 ) = (m 1 +x 1 ) +x ′ 1 ∈ M 1 ⊕π(M 2 ).
Náu x∈ M1⊕π(M2), x =m1+π(m2) trong õ m1 ∈M1, m2 ∈M2. Vẳ M2 ⊆ M =M1⊕M ′ nản m2 = x1+x ′ , trong õ x1 ∈ M1, x1 ′ ∈M ′ Suy ra π(m 2 ) =x 1 , x =m 1 + (m 2 −x) = (m 1 −x 1 ) +m 2 ∈M 1 ⊕M 2 Vêy º chựng minh M1⊕M2, l hÔng tỷ trỹc tiáp cừaM ta chựng minh
M1⊕π(M2) l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.
Vẳ M thọa mÂn (C2) nản π(M2) l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.
Do (c) nản dũng luêt Modula ð (a) cõ:
Mằnh ã 2.3.2 Ta cõ dÂy k²o theo sau Ơy l úng: Nởi xÔ ⇒ tỹa nởi xÔ ⇒ liản tửc ⇒ tỹa liản tửc ⇒CS-mổun ⇒ (1−C 1 ) - mổun.
Chựng minh i Nởi xÔ ⇒ tỹa nởi xÔ: theo ành nghắa. ii Tỹa nởi xÔ ⇒ liản tửc: GiÊ sỷ N ⊆ M °t E(M) = E1⊕E2, E1 E(N) Do M tỹa nởi xÔ (⇔ f(M) ⊆ M mồi f ∈ End(E(M)).
GiÊ sỷ M = M ′ ⊕N Tứ M l M - nởi xÔ ⇒ M ′ l M - nởi xÔ.
Vêy M l liản tửc. iii Liản tửc ⇒ tỹa liản tửc: theo ii cừa Hằ quÊ 2.2.1. iv Tỹa liản tửc ⇒ CS - mổun: theo ành nghắa. v CS - mổun ⇒ (1−C1) - mổun: theo i cừa Mằnh ã 2.3.1.
Chú ỵ: Chiãu ngữủc lÔi cừa dÂy k²o theo trản l khổng úng.
Mằnh ã 2.3.3 Mổun khổng phƠn tẵch ữủc M thoÊ mÂn iãu kiằn (C 1 ) náu v ch¿ náu M l mổun ãu Khi õ M l mổun tỹa liản tửc. ành lỵ 2.3.1 CĂc phĂt biºu sau Ơy l tữỡng ữỡng ối vợi mởt mổun
M : i) M l tỹa liản tửc, ii) M =X ⊕Y, vợi mồi mổun con X v Y l bũ giao cừa nhau, iii) f M ⊆ M, vợi mồi luÿ ¯ng f ∈EndE(M), iv) Náu E(M) = ⊕ i∈I E i , suy ra M = ⊕ i∈I M ∩E i
Chựng minh i ⇒ ii GiÊ sỷ M l mổun tỹa liản tửc v X, Y l bũ giao cõa nhau.
Suy ra X, Y ⊆ ⊕ M v do M l mổun tỹa liản tửc nản X ⊕Y ⊆ ⊕ M. M°t kh¡c X ⊕Y ⊆ e M Do â M = X ⊕Y. ii ⇒ iii Gồi A1 =M ∩(E(M)) v A2 = M ∩(1−f)E(M).
Gi£ sû B 1 l bò - giao cõa A 2 trong A 1 v gi£ sû B 2 l bò-giao cõa B 1 trong A 2
Do õ M = B1⊕B2 GiÊ sỷ π : B1⊕B2 → B1 l ph²p chiáu tỹ nhiản.
Ta cƯn chựng minh rơng M ∩(f −π)M = 0.
Suy ra f(x)−π(x) = y nản f(x) =y +π(x) ∈ M v do õ f(x) ∈ A 1 Suy ra (1−f)(x) ∈ M, vẳ vêy (1−f)(x) ∈ A2.
M°t khĂc, do M ⊆ E(M),(f −π)M = 0 nản f M = πM ⊆ M vợi mồi lôy ¯ng f ∈EndE(M). iii ⇒ iv Rã r ng ⊕ i∈I M ∩E i ⊆ M.
GiÊ sỷ m l phƯn tỷ tuý ỵ thuởc M Suy ra m ∈ ⊕ i∈F Ei vợi F l têp con húu h¤n cõa I, F ⊆ I. °t E(M) = ⊕ i∈F Ei ⊕ E ∗ Khi õ tỗn tÔi luÿ ¯ng trỹc giao fi ∈
EndE(M)(i ∈ F) sao cho Ei = fiE(M) do fiM ⊆ M.
Do vêy M ⊆ ⊕ i∈I M ∩Ei; Suy ra M =⊕ i∈I M ∩Ei. iv ⇒ i Gồi A ⊆ M. °t E(M) = E(A)⊕E ′
Ta cƯn chựng minh M thọa mÂn (C 3 ).
Gồi M 1 , M 2 ⊂ ⊕ M vợi M 1 ∩M 2 = 0 °t E(M) = E 1 ⊕ E 2 ⊕ E ′ vợi mồi Ei =E(Mi),(i = 1,2).
Vêy M l mổun tỹa liản tửc.
Mằnh ã 2.3.4 Cho M l mởt mổun vợi chiãu ãu hỳu hÔn Khi õ M l CS mổun náu v ch¿ náu M l (1−C 1 ) - mổun.
Chựng minh Náu M l CS - mổun thẳ hiºn nhiản l (1−C1) - mổun. Ngữủc lÔi, giÊ sỷ rơng M l (1−C 1 ) - mổun v N l mởt mổun õng trong M Khi õ ta cõ N l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.
Vêy M l CS - mổun. ành lỵ 2.3.2 GiÊ sỷ R l mởt v nh v M l R - mổun sao cho M ⊕ i∈I M i l tờng trỹc tiáp cừa cĂc mổun ãu M i , v sỹ phƠn tẵch õ cừa M l bũ hÔng tỷ trỹc tiáp GiÊ thiát rơng Mi khổng nhúng ¯ng cĐu ữủc thỹc sỹ v o M j , mồi i ̸= j ∈ I Khi õ cĂc phĂt biºu sau Ơy l tữỡng ữỡng: i) M l CS - mổun, ii) M l (1−C1) - mổun, iii) M(J) l M(K) - nởi xÔ, ối vợi cĂc têp con K v J cừa I sao cho
Chựng minh i ⇒ ii  chựng minh ð Mằnh ã 2.3.4. ii ⇒ iii º chựng minh M(J) l M(K) - nởi xÔ, bði ta ch¿ cƯn chựng minh rơng M(J) l M k - nởi xÔ vợi mồi k ∈ K.
GiÊ sỷ U l mổun con bĐt ký cừa Mk v α : U → M(J) l mởt ỗng cĐu Ta gồi X ={x−α(x) : x ∈U}.
Dạ thĐy X ∩M(J) = 0, do õ X nhúng ¯ng cĐu ữủc v o M k vẳ vêy
Do Mằnh ã 2.3.4 Mj ⊕Mk l (1−C1) - mổun.
Tứ õ tỗn tÔi mổun X ′ sao cho X ⊊ e X ′ v X ′ l hÔng tỷ trỹc tiáp cõa M(J)⊕M k
Bði vẳ M(J)⊕Mk l sỹ phƠn tẵch bũ hÔng tỷ trỹc tiáp do vêy hai khÊ nông xÊy ra:
2 M(J)⊕Mk = X ′ ⊕M (j1)⊕Mk, trong õ J ′ v J1 l têp con n o õ cõa J.
Náu khÊ nông 1 xÊy ra khi õ ta cõ
Gồi π l ph²p chiáu tứ X ′ ⊕M(J) án M(J) v gồi α ′ = π | M k Khi õ mồi x ∈ Mk, x = α(x) + (x−α(x)) trong õ α(x) ∈ M(J) v x−α(x) = X, ta cõ: α ′ (x) = α ′ [α(x) + (x−α(x))] = α(x), nghắa l α ′ l mð rởng cừa α.
Náu khÊ nông 2 xÊy ra.
Khi õ gồi π k :X ′ ⊕M (j 1 )⊕M k → M k l ph²p chiáu tỹ nhiản.
Náu A ̸= 0, v giÊ sỷ A∩M(J) ̸= 0 vợi mồi j ∈ J.
Khi õ A l mổun con cốt yáu trong M(J).
Tứ õ suy ra X ′ ⊕A cốt yáu trong Mk ⊕M(J).
Nh÷ng khi â M k ∩(X ′ ⊕A)̸= 0 v suy ra M k ∩(X ′ ∩M (J 1 )) ̸= 0 l khổng thº ữủc.
MƠu thuăn õ chựng tọ tỗn tÔi mởt ch¿ số j ∈ J sao cho Mj ∩A = 0. Khi õ dạ d ng thĐy rơng M j ∩Kerπ k = 0 v dăn án M j ∼= π k (M j ) l mởt mổun con cừa Mk Bði giÊ thiát Mj khổng thº nhúng ¯ng cĐu thỹc sỹ v o Mk, do vêy πk(Mj) = Mk Tứ õ ta cõ
J2 = J1∪ {j}. iãu õ chựng tọ rơng M(J)⊕Mk = X ′ ⊕M(J2).
Chựng minh nhữ trong trữớng hủp 1 ta chựng tọ α cõ mởt mð rởng thuởc HomR(Mk, M(J)).
GiÊ sỷ rơng A = 0, khi õ dạ thĐy rơng M (J 1 ) = 0 Vẳ vêy ta cõ:
M(J)⊕Mk = X ′ ⊕Mk iãu õ chựng tọ rơng têp J ch¿ cõ mởt phƯn tỷ, ch¯ng hÔn j v khi õ
Ta cụng x²t ph²p chiáu πk :X ′ ⊕Mk → Mk, v bði vẳ X ′ ∩Mj = 0 do õMj ∼=πk(Mj) l mổun con cừaMk, nhữ vêy ta cụng cõ πk(Mj) =Mk.
Tứ õ M(J)⊕M k = X ′ ⊕M j lÔi ữa vã trữớng hủp 1
Vêy ii ⇒ iii ữủc chựng minh. iii ⇒ i GiÊ sỷ A l mổun con õng bĐt ký cừa M.
Gồi J l têp con tối Ôi cừa I sao cho A∩M(J) = 0.
Dạ kiºm tra ữủc rơng (A⊕M(J)) ⊆ e M.
GiÊ sỷ K = I−J v π K , π J l cĂc ph²p chiáu tứM lản M(K) v M(J) t÷ìng ùng.
Bði vẳ A∩Kerπk = 0, do vêyπ K/A l mởt ỡn cĐu nản tỗn tÔi π K|A −1
Khi õ dạ d ng kiºm tra ữủc A = {x+α(x) : x ∈πK(A)}.
Bði giÊ thiát M(J) l M(K) - nởi xÔ, do õ tỗn tÔi β :M(K) → M(J) l mð rởng cừa α Ta gồi
Tứ tẵnh cốt yáu cừa A⊕M(J) trong M ta kiºm tra ữủc rơng πK(A) l cốt yáu trong M(K) v tứ õ A cốt yáu trong A ′
Bði A âng ta ph£i câ A =A ′ v do â πK(A) = M(K).
Tứ õ suy ra rơng M = A⊕ M(J), nghắa l A hÔng tỷ trỹc tiáp cừa
Bờ ã 2.3.1 GiÊ sỷ M = M1 ⊕ M2 l mởt tờng trỹc tiáp cừa nhỳng mổun con M1, M2 Khi õ, cĂc iãu kiằn sau l tữỡng ữỡng: i) M2 l M1− nởi xÔ. ii) Cho mội mổun con N cừa M vợi N ∩M2 = 0, tỗn tÔi mởt mổun con M ′ cõa M sao cho M = M ′ ⊕M2 v N ⊆ M ′
Chựng minh i ⇒ ii Cho i= 1,2 °t π| i : M →M i l cĂc ph²p chiáu tỹ nhiản.
Tứ i, tỗn tÔi ỗng cĐu φ : M 1 → M 2 sao cho φα = β °t M ′ {x+φ(x)/x ∈ M 1 }.
Khi õ ta cõ, vợi x ∈ N, x =x1+x2 vợi m1 ∈ M1, m2 ∈ M2.
Do õ y1 ∈ M1∩M2 = 0, vêy y1 = 0 hay y = 0 Nhữ vêy M ′ ∩M2 = 0. (2)
BƠy giớ lĐy phƯn tỷ x ∈ M, ta cõ x =x1+x2, vợi x1 ∈ M1, x2 ∈M2. Khi â: x = x1 +φ(x1) +x2−φ(x1) trong â x1+φ(x1) ∈ M ′ , x2 − φ(x 1 )∈ M 2
Tứ (1), (2) v (3) ta cõ ii. ii ⇒ i Gồi K l mổun con cừa M1 v f : K → M2 l mởt ỗng cĐu. °t L ={y−f(y) | y ∈ K}, thẳ L l mổun con cừa M.
LĐy x ∈M2∩L, thẳ tỗn tÔi y ∈ K sao cho x= y−f(y) ∈ M2.
Theo ii ta cõ, M = L ′ ⊕M2, vợi L ′ l mổun con cừa M v L ⊆ L ′ °t π : M → M2 l ph²p chiáu tỹ nhiản.
Ta câ g(y) =π(y−f(y) +f(y)) = π(y−f(y)) +π(f(y)) =f(y). iãu n y chựng tọ rơng g l mởt mð rởng cừa f án M1.
Nhữ vêy ta chựng minh ữủc (i).
Mằnh ã 2.3.5 Náu M1⊕ M2 l thọa mÂn (C1) v (C3) thẳ M1 v M2 l nởi xÔ lăn nhau.
Chựng minh Ta cõ M2 l M1 - nởi xÔ (theo Bờ ã 2.3.1).
Ta cƯn chựng minh M 1 l M 2 - nởi xÔ. °t M =M 1 ⊕M 2
GiÊ sỷ X ⊆ M1, v φ : X → M2 l ỗng cĐu v °t B = {x−φ(x) : x∈ X} Suy ra B∩M 2 = 0.
GiÊ sỷ M 1 ∗ l phƯn bũ cừa M2 trong B thẳ M = M1 ∗⊕M2 Khi õ x²t ph²p chiáu π :M 1 ∗ ⊕M2 → M2, mồi x ∈ X. ta câ 0 = π(x−φ(x)) =π(x)−π(φ(x)) = π(x)−φ(x).
Vẳ vêy π| M1 l mð rởng cừa φ Do õ M1 l M2 - nởi xÔ.
Mằnh ã 2.3.6 Mởt CS - mổun M l tỹa liản tửc náu v ch¿ náu M cõ sỹ phƠn tẵch th nh tờng trỹc tiáp M = M 1 ⊕ M 2 cừa cĂc mổun con
M1, M2 thẳ M1 v M2 l cĂc mổun nởi xÔ nhau.
Chựng minh GiÊ sỷ rơng M l tỹa liản tửc v M = M1⊕M2.
Gồi N l mổun con cừa M vợi N ∩M2 = 0.
Do M l CS - mổun nản tỗn tÔi hÔng tỷ trỹc tiáp N ' cừa M sao cho
Ró r ng N ∩M2 = 0 Theo Bờ ã 2.2.1 ta cõ
M = M ′ ∩M 2 vợi mồi mổun con M ′ sao cho N ′ ⊆ M ′
Theo Bờ ã 2.2.1 suy ra M2 l M1 - nởi xÔ.
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ M 2 l M 1 - nởi xÔ v M = M 1 ⊕M 2 p dửng Bờ ã 2.3.1. ành lỵ 2.3.1, suy ra M thọa mÂn (C3).
Mởt số tẵnh chĐt cừa mổun liản tửc
Khi xem x²t v nh liản tửc, Utumi  xĂc ành ữủc ba iãu kiằn ữủc thọa mÂn trản v nh tỹ nởi xÔ Tữỡng tỹ nhỳng iãu kiằn õ vợi mổun
1 M thọa mÂn iãu kiằn (C 1 ) náu mồi mổun con cừa M l cốt yáu trong mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M ? (Lữu ỵ rơng luổn coi mổun 0 l cốt yáu trong chẵnh nõ.) iãu kiằn (1) cụng ữủc gồi l iãu kiằn CS vẳ nõ tữỡng ữỡng vợi mồi mổun con bũ l hÔng tỷ trỹc tiáp (mổun con bũ cụng ữủc gồi l mổun con õng Chúng ta trð lÔi vĐn ã n y trong phƯn sau.
2 M thọa mÂn iãu kiằn (C2) náu mồi mổun con l ¯ng cĐu vợi mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M thẳ nõ cụng l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.
3 M thọa mÂn iãu kiằn (C 3 ) náu mồi N v K l mổun con cừa M vợi N ⊆ ⊕ M, K ⊆ ⊕ M(N v K l cĂc hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M) v
N ∩K = 0 thẳ N ⊕K ⊆ ⊕ M (thẳ N ⊕K cụng l hÔng tỷ trỹc tiáp cõa M).
Mởt v nh R ữủc gồi l mởt v nh (C 1 ) phÊi (tữỡng tỹ v nh l (C 2 ), v nh (C3) náu mổun RR cõ tẵnh chĐt tữỡng tỹ.
Náu M l mởt mổun khổng phƠn tẵch ữủc thẳ M l mởt mổun (C 3 ) ;M l (C 1 ) mổun khi v ch¿ khi M l mổun ãu (õ l X ∩Y ̸= 0 vợi mồi mổun con X ̸= 0 v Y ̸= 0 ) v M l (C2) mổun náu v ch¿ náu mồi tỹ ỡn cĐu cừa (M) l ¯ng cĐu.
Mội Z− mổun Z2 v Z8 ãu thọa mÂn iãu kiằn (C 1 −), (C 2 −) v (C3−) iãu kiằn, những tờng trỹc tiáp cừa N = Z2⊕Z8 khổng phÊi l mởt mổun (C 1 ) vẳ, °t S = Z2⊕0 v K =Z(1 + 2Z,2 + 8Z), ta thĐy rơng K ch¿ chựa trong hai tờng trỹc tiáp N v S⊕K v khổng cƯn thiát trong cÊ hai Hỡn thá nỳa, N khổng phÊi l mởt (C2) mổun vẳ 0⊕ Z(4 + 8Z) l ¯ng cĐu vợi tờng v Z2⊕0.
Do õ, tờng trỹc tiáp cừa cĂc mổun (C 1 ) ho°c mổun (C 2 ), cõ thº khổng cũng tẵnh chĐt L mởt nhõm abel, Z thọa mÂn cÊ iãu kiằn (C1) v (C 3 ), những khổng phÊi mổun C 2
Tuy nhiản, náu F l mởt trữớng, lĐy R
khổng phƠn tẵch ữủc (thỹc tá l eRe∼= F ) v l mởt mổun C2, những nõ khổng phÊi l mổun (C1) vẳ nõ khổng ỗng nhĐt.
Khi õ R l v nh (C 1 ) trĂi phÊi, những khổng phÊi l vỏng (C 2 ) trĂi ph£i.
∼= e 12 R (trong õ e ij , l ma trên ỡn và), nản R khổng phÊi (C 2 ) phÊi vẳ J R khổng phÊi l tờng trỹc tiáp cừa
Tữỡng tỹ, R khổng phÊi (C 2 ) trĂi.
Ta thĐy rơng R úng l (C 1 ) phÊi, lĐy T ̸= 0 l mởt iảan phÊi.
Náu T = Sr, thẳ T ⊆ e RR vẳ R l v nh antini phÊi.
Vẳ vêy, ta cõ thº giÊ sỷ rơng dim F (T) = 1, giÊ sỷ T = xR, x ∈ S r Náu x 2 =x ̸= 0 l xong.
Do â R l v nh (C1) ph£i; t÷ìng tü R l v nh (C2) ph£i.
Bờ ã 2.4.1 iãu kiằn (C 2 ) bao h m iãu kiằn (C 3 ).
Chựng minh Cho N ⊆ ⊕ M v K ⊆ ⊕ M thọa mÂn N ∩K = 0; ta phÊi chựng minh rơng N⊕K ⊆ ⊕ M LĐy M = N ⊕N ′ , v π : M →N ′ l hẳnh chiáu vợi ker(π) = N,
Vẳ π K :K →M l ỡn Ănh nản ta cõ π(K) ⊆ ⊕ M theo iãu kiằn (C 2 ). Vẳ π(K) ⊆ N ′ nản N ′ = π(K)⊕ W ối vợi mổun con W v do õ
Do õ M thọa mÂn iãu kiằn (C 3 ).
Mằnh ã 2.4.1 Mồi mổun tỹa nởi xÔ ãu liản tửc.
Chựng minh ChoM l trỹc giao Náu N ⊆ M khi õ E(M) chựa cĂc bÊn cừa E(N) = E, v E(M) =E ⊕G vợi mội mổun con G vẳ E l nởi xÔ. Những sau õ hằ quÊ 2.2.1 cho thĐy M = (M∩E)⊕(M ∩G) Hỡn thá nỳa N ⊆ e E nản N ⊆ e (M ∩E). iãu n y cho thĐy M cõ tẵnh chĐt (C 1 ) BƠy giớ, giÊ sỷ rơng N ∼= P ⊆
Vẳ M l M−nởi xÔ, suy ra P cụng l M− nởi xÔ v do õ N l M− nởi xÔ.
Những khi õ tẵnh ỗng nhĐt 1N : N → N mð rởng án φ : M → N, v theo â M = N ⊕ker(φ) iãu n y chựng tọ (C2).
Bờ ã sau l mởt kát nối hỳu ẵch giỳa cĂc mổun con thiát yáu v mổun con suy bián.
Bờ ã 2.4.2 Náu K ⊆ e M l cĂc mổun thẳ M/K l suy bián, nghắa l Z(M/K) = M/K.
Chựng minh Náu K ⊆ e M v m ∈ M, ta phÊi ch¿ ra rơng τR( m+K) ⊆ e
RR, nghắa l , bR∩τR( m+K) ̸= 0 vợi mồi 0 ̸=b ∈ R. iãu n y ró r ng náu mb= 0.
M°t khĂc, chúng ta cõ mbR ∩K ̸= 0 theo giÊ thuyát, giÊ sỷ 0 ̸= mba
∈ K, a∈ R Những sau õ 0 ̸ ∈ bR∩τR( m+K) theo yảu cƯu.
BƠy giớ chúng ta cõ thº chựng minh hai kát quÊ quan trồng vã v nh cĂc tỹ ỗng cĐu cừa lụy ¯ng.
Mởt v nh R ữủc gồi l nỷa chẵnh quy náu R/J l chẵnh quy v cĂc luÿ ¯ng ãu cõ thº nƠng lản ữủc theo mổun J Vợi mội a ∈ R tỗn tÔi e 2 = e ∈ aR sao cho (1−e)a ∈J.
Chúng ta s³ chựng minh rơng v nh ỗng cĐu S cừa mởt mổun liản tửc
MR l nỷa chẵnh quy v J(S) = {α ∈ S\ker(α) ⊆ e M}.
Chúng ta s³ cƯn bờ ã sau.
Bờ ã 2.4.3 Cho R− mổun phÊi M Gồi S = End(M), S¯ = S/J(S). GiÊ sỷ S l nỷa chẵnh quy v J(S) = {α ∈ S\ker(α) ⊆ ε M}.
1 Náu π 2 = πv τ 2 = τ trongS thoÊ mÂn π¯S∩¯¯ τS¯ = 0thẳπM∩τ M = 0.
2 Náu M thọa mÂn iãu kiằn C3 v P i∈I ¯ πiS,S¯ l tờng trỹc tiáp trong S¯ trong õ π i 2 = π i ϵS vợi mồi i, thẳ P i∈I π i M; M l tờng trỹc tiáp trong
3 Náu M l tỹa liản tửc v P i∈I πiM tờng trỹc tiáp trong M, trong õ π i 2 = π i ∈ S vợi mồi i, thẳ P i∈I ¯ π i S¯ l tờng trỹc tiáp trong S¯. Chựng minh 1 Ta bưt Ưu vợi giÊ thiát sau:
Bữợc 1 Ta cõ thº giÊ sỷ rơng τ¯π¯ = 0.
Vẳ S¯ l chẵnh quy, °t π¯S¯⊕τ¯S¯⊕T = ¯S vợi T l mởt iảan phÊi cừa
Theo giÊ thuyát, ta cõ thº giÊ sỷ rơng à 2 = à trong S.
Do õ γ¯π¯ = ¯à¯π = 0 nản thay τ bơng γ chựng minh ữủc bữợc 1 Theo bữợc 1 , ta cõ τ πϵJ(S), vẳ vêy K = ker(τ π), ta cõ K ⊆ e M theo giÊ thuyát, suy ra πK ⊊ e πM (náu 0 ̸= X ⊆ πM thẳ πx = x vợi mội x∈ X nản 0 ̸= X∩K ⊆ X∩πK) Tuy nhiản, τ πK = 0, nản πK ⊆ ker(τ), khi â πK ∩τ M = 0. iãu n y nghắa l πM ∩τ M = 0 bði vẳ πK ⊆ e πM.
2 Nõ ừ º cho thĐy rơng P i∈F πiM l tờng trỹc tiáp vợi mồi têp con hỳu hÔn F ⊆ I Cho F = {1, , n} v tiáp tửc bơng quy nÔp trản n.
Náu n = 1 thẳ khổng cõ gẳ º chựng minh, v náu n = 2 thẳ (2) suy ra tứ (1) Theo giÊ thiát quy nÔp π 1 M +ã ã ã+π n M l mởt tờng trỹc tiáp n ≥ 1.
Khi õ, iãu kiằn (C3) cõ nghắa l π1M ⊕ .⊕πnM =πM cho mởt số π 2 = πϵS.
Ta cõ ππ i = π i , vợi mồi i (vẳ π i M ⊆ πM ), vợi P n i=1 π i S ⊈ πS.
Vợi mội i = 1, , n, lĐy ρi : πM →πiM l ph²p chiáu sao cho πρi =ρi cho mồi i v π n
P i=1 τi xĂc ành τi = ρiπ cho mồi i. Khi õ πτ i = τ i , vợi mồi i, v do õ πS n
P i=1 π i S. iãu n y chựng minh ữủc bữợc 2.
Theo bữợc 2, ta cõ π¯S¯ = ¯πiS¯⊕ .⊕π¯nS¯ nản π¯S¯∩π¯n+1S¯ = 0.
Những (1) ngử ỵ rơng πM ∩π n+1 M = 0 Vẳ π 1 M ⊕ .⊕π n M = πM. iãu n y cho thĐy π 1 M ⊕ .⊕π n M ⊕π n+1 M l mởt tờng trỹc tiáp, nhữ yảu cƯu.
3 Vợi mồi i ∈ I, lĐy (C1) l mởt bao õng cừa ⊕ j̸=i πiM, sao cho
⊕ j̸=i πiM ⊆ e Ci Suy ra πiM ∩Ci = 0.
Những (Ci), l tờng trỹc tiáp cừa M theo iãu kiằn (C1−) nản iãu kiằn (C 3 ) cõ nghắa M = π i M ⊕C i ⊕N i vợi mởt số mổun con N i ⊆ M. Nản vợi mội i i ∈ I, lĐy τ i 2 = τ i ∈ S, τ i M = π i M v ker (τ i ) = C i ⊕N i Khi â πiτi = τi v τiπi = πi, v do â τiS = πiS.
Hỡn nỳa τ i π j = 0 vợi j ̸= i, vẳ π j M ⊆ C i ⊆ ker (τ i ).
Do õ τi l trỹc giao nhữ vêy P i ¯ πlS¯ = P i ¯ τlS¯ l tờng trỹc tiáp trong S¯ vẳ τ¯ i cụng l trỹc giao.
Ta cõ thº chựng minh mởt kát quÊ quan trồng vã v nh cĂc tỹ ỗng cĐu cừa mởt mổun liản tửc (ho°c tỹa liản tửc). ành lỵ 2.4.1 Cho MR l mởt mổun liản tửc vợi S = End(MR) Khi â:
3 Náu M l tỹa nởi xÔ thẳ S/J(S) l v nh tỹa nởi xÔ phÊi
Ta cõ thº thĐy rơng ∆ l mởt iảan cừa S;
Náu α ∈ ∆ thẳ ker(α)∩ker(1−α) = 0 cõ nghắa l ker(1−α) = 0.
Những ker(α) ⊆ (1−α)M, nản suy ra (1−α)M = M.
Do õ 1−α l mởt ỡn và trong S, v ∆ ⊆ J(S).
Náu π 2 = π ∈ S thọa mÂn πM = Q thẳ βαπ =π. ành nghắa τ = απβ.
Khi õτ 2 = τ ∈αS v (1−τ)α =α−απβαthuởc∆vẳ ker(α−απβα) ⊇ ker(α)⊕Q v ker(α)⊕Q ⊆ e P ⊕Q = M (theo Bờ ã 2.4.3).
Suy ra, S/∆ l chẵnh quy, do õ J(S) ⊆ ∆. iãu n y chựng tọ rơng J(S) = ∆, do õ S l nỷa chẵnh quy. iãu n y chựng tọ (1) º chuân bà cho viằc chựng minh (2) v (3), cho
T l mởt iảan phÊi cừa S¯ v theo Bờ ã Zorn, chồn mởt hồ ¯ πiS/i¯ ∈ I khĂc 0 Iảan phÊi cừa S¯ Ôt cỹc Ôi sao cho π¯iS¯ ⊆ T vợi mồi i v P i ¯ πiS¯ l tờng trỹc tiáp.
Khi π i M ⊆ πM vợi mồi i, ta cõ π¯ i S¯ ⊆ π¯S,¯ ⊕ i π¯ i S¯ ⊆ π¯S¯,
CƯn chựng tọ rơng ⊕iπ¯iS¯ ⊆ e πS¯
Trữợc õ, ta cõ thº giÊ sỷ rơng à 2 = à trong S.
Do õ àM ∩(⊕iπiM) = 0 bði Bờ ã 2.4.3.
Tứ π¯à¯ = ¯à ta cõ (πà − à) ∈ J( S) = ∆ do õ (πà− à)K = 0 vợi
V suy ra àK = 0 bði vẳ (⊕ i π i M)⊆ e πM.
Do õ à ∈ J(S), nản ௠= 0 iãu n y ữủc chựng minh.
BƠy giớ ta cõ thº ch¿ ra rơng T ⊆ e πS¯
Vẳ ⊕ i π¯ i S¯ ⊆ T nản ừ (theo yảu cƯu trản) º chựng tọ rơng T ⊆ π¯S¯. º 0 ̸= ¯τ ∈T.
Vẳ ⊕iπ¯iS¯ ⊆ T nõ cõ nghắa l τ¯S¯∩ ⊕iπ¯iS¯
Những τ¯S¯ ∩π¯S¯ sinh ra bði mởt iảan ( S¯ l mởt v nh chẵnh quy) do õ τ¯S¯∩π¯S¯ = ¯τS¯ °c biằt, τ¯ ∈ π¯S¯ theo yảu cƯu.
Do õ S¯ thọa mÂn C1 v (2) theo sau S¯ thọa mÂn C2) vẳ nõ chẵnh quy theo (1).
3 Cho f : T → S¯ l S¯ - tuyán tẵnh, trong õ T l mởt iảan phÊi cừa
Ta phÊi ch¿ ra f = ¯δ l ph²p nhƠn trĂi vợi mởt phƯn tỷ δ¯ cừa S¯.
Theo Bờ ã 2.4.3, ta cõ thº giÊ sỷ rơng T ⊆ e S¯ s ¯ LĐy f (¯π t ) = ¯σ t , trong â σi ∈S
Vẳ M l chuân h m nản Ănh xÔ: ⊕ i∈I π i M → M cho bði
→ P i σ i (π i m i )mð rởng án σ ∈ S Do õ δ(π i m) =σ i (π i m)vợi mồi m∈ M.
Những sau õ δ¯π¯i = ¯σ¯πi = f (¯πi) ¯πi = f (¯πi) vợi mồi i, v δ¯ giống nhữ f trản ⊕ i π¯ i S¯. iãu n y cõ nghắa l δ¯= f vẳ ⊕ i π¯iS¯ ⊆ e S¯S ¯ v Z S¯S ¯
= 0 (vẳ S¯ l chẵnh quy) iãu n y chựng tọ (3).
Náu M R liản tửc v S = end (M R ) thẳ Z(S s )⊆ J(S) vẳ S l nỷa chẵnh quy, v ta cõ ¯ng thực náu M tỹ do.
Luên vôn têp trung nghiản cựu cĂc vĐn ã liản quan án cĂc iãu kiằn
(Ci) (i = 1,2,3) cừa mổun v mởt số tẵnh chĐt vã lợp mổun liản tửc.
Cử thº, dỹa v o cĂc t i liằu v t i liằu chẵnh l [7], luên vôn trẳnh b y cĂc khĂi niằm i án ành nghắa vã cĂc iãu kiằn (Ci) cụng nhữ mối quan hằ giỳa cĂc iãu kiằn õ, ã t i cụng cố gưng tữớng minh mởt số vẵ dử vã cĂc iãu kiằn (C i ) cừa mổun.
Trản cỡ sð cĂc iãu kiằn (Ci) ã t i luên vôn cụng trẳnh b y mởt cĂch cõ hằ thống vã khĂi niằm cụng nhữ tẵnh chĐt cừa lợp mổun liản tửc Sau khi nghiản cựu luên vôn  Ôt ữủc cĂc kát quÊ sau:
Chựng minh chi tiát mởt số tẵnh chĐt vã cĂc iãu kiằn (Ci) cừa mổun v mối liản hằ giỳa cĂc iãu kiằn õ.
Trẳnh b y mởt cĂch hằ thống lợp mổun liản tửc v cụng chựng minh chi tiát mởt số tẵnh chĐt cừa lợp mổun liản tửc trản cỡ sð t i liằu [7].Trẳnh b y mởt số vẵ dử vã iãu kiằn (C i ) v lợp mổun liản tửc.