Các mô hình xác suất và úng dụng phần iii giải tích ngẫu nhiên

nên giáo trình được viết theo tinh thần: chính xác: về lý thuyết tới mere: độ nhất định, có nhiều ví dụ ứng dụng cụ thể thường gặp trong thực tế và tương đối dỗ hiểu.Giáo trình Các mô hì

ĐẠIHỌCQUỐC GIA HÀ NỘI _

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

NGUYÊN DUY TIÊN

CÁC MÔ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ÚNG DỤNG

PHẦN III:GIẢITÍCHNGẪUNHIÊN

NHÀ XUẤTBẢN ĐẠI HỌCQUỐCGIAHÀ NỘI -2001

Giám đốc: NGUYỄN VĂNTHOA Tổng biêntập: NGUYEN THIỆNGÍÁP

PGS TS ĐINH QUANG Lưu

TS NGUYỄNVIẾT PHÚ

Biên tập và sửa bản in: PHẠM PHÚ TRIÊM

CÁC MÒ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG

PHẦN III:GIẢI TÍCH NGAUNHIÊN

Mã sô :01 214 ĐH 2001 - 503.2001

In 1000 bản tại Nhà in Đại học Quôc gia I ỉa Nội

Số xuất bản: 4/503/CXB Sô' trích ngang: 419 KH/XB

In xong và nộp lưu chiểu quý IV năm 2001

Lời nói đầu 11

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC cơ BẤN v'Ẻ XÁC SUẤT1.1 Biến ngẫu nhiên và hàm phán phối 17

1.1 i Không gian xát suất 17

1.1.2 Biến ngầu nhiên 22

1.1.3 Kỳ vọng và phương sai 24

1.1.1 Phan phối dồng thời hai chiêu 32

1.2 Vector ngẫu nhiên 35

1.2.1 Hàm phân phối và hàm đặc trưng 35

1.2.2 Định lý Bochner 35

1.2.3 Phan phôi (Iman iLchivn 30

1.3 Tổng các biến ngẫu nhiên độc lập 37

1.3.1 l i’i111 (I ọc lạp xác sunI 33

1.4 Đinh nghĩa tổng quát của kỳ vọng có điều kiện 41

1.1.1 Đói với phân hoạch 41

1.4.2 Đổi với íT-trrrừng 41

1.4.3 Các tính chốt cùa kỳ vọng có điêu kiện 44

1.4.4 Các (lịnh lý chuyên giới hạn dưới drill kỳ vọng có điêu kiện 46

2.1.2 Phàn phối hữu hạn chiều 54

2.1.3 Quỹ đạt) và không gian quỹ đạo 55

2.1.4 Tập trụ và (7-trirừng trụ 56

2.1.5 Phàn phối ciia quá trình ngẫu nhiên trén không gian quỹđạo 57 2.1.6 Định lý ton tại Kolmogorov 58

2.4 Những lớp các quá trình ngẫu nhiên quan trọng 68

2.1.1 Quátrình Gauss 68

2.4.2 Quátrình gia số độc lạp 69

2.4.3 Quá trìnhgia số không tương quan 69

2.4.4 Quátrình dừng (theo nghĩa hẹp) 70

2.4.5 Quá trình dừng theo nghĩa rạng 71

Chương 3 MARTINGALE VỚI TEtín GIAN RỜI RẠC3.1 Khái niệm tương thích và dự báo được 88

3.1.1 Các ơ-trường liên quan tới dãy ngẫu nhiên 88

3.3.4 Martingale địa phương 106

3.3.5 Phép biến đổi martingale 107

3.1.2 13al (lang I lure Kolmogorov 110

3 1.3 Bat (lang tlnrc Boob 119

3.9 Hằng đẳng thức Wald 138

3.9.1 Hang đang thức Wald 138

3.9.2 Hang đẳng thức cơ bàn Wald 141

Chương 4 MARTINGALE VỚI THỜI GIAN LIÊN TỤC4.1 Khái niệm tương thích và dự báo được 150

4.1.1 Các ơ-tnrờng liên quan tới quá trình 150

4.4 Tính liên tục của quy đạo 159

4.8.6 Khai trièn Riesz 163

4.8.7 Khai triêii Doob-Meyer đổi với thế 163

4.8.8 Khai triển Dơob-Meyer 163

4.8.9 Martingale địa phương 164

4.8.10 Định lý 164

Bài tập 165

Chương 5 TÍCH PHÂN NGAU nhiên 5.1 Tích phân Wiener 167

5.1.1 lích phân \\ ienei ( lia hàm số (lơn giãn 167

5.1.2 Các tính chất cơ bân cùa tích phàn Wiener cua hàm số đơn giản 169

5.1.3 Tích phân Wiener cùa hàm sổ bình phương kha tích 171

5.2 Tích phân Ito 172

5.2.1 Tích phán Ito C1UI hàm ngầu nhiên thuọc lứp jV 172

5.2.2 Các tính chất CO' bân cua tích phan Ito cua hàm ngan nhiên thuộc lứp A/~ 177

5.2.3 Định lý 177

5.2 1 Định lý ve bân sao liên tục cua tíc h phân Ito cua hàm lìgẫu nhiên 1 h lộc lứp A 178

5-3 Mờ rộng tích phân Ito 179

5.3- 1 Tích phàn Ito cùa hàm ngẫunhiên thuộc lóp M 181

5.3 2 Tích phân Wiener nhiêu chiêu 182

5.4 Vỉ phân ngẫu nhiên cúa hàm hợp, công thức Ito 183

5.4.1 Công thức Ito 1-chieu 183

5.4.2 Cóng thire Ito nhiêu chiều 187

5.4.3 Ví clii 188

5.4.1 Còng t hire tích phan tírng phan 189

5.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 189

5.5.1 1’hircrng trình vi phàn ngẫu nhiên là gì? 189

5.5-2 Định lý ton tại cluv nhai Iighiẹm 190

5.5.3 Ví <lụ giãi phircrng trình vi phan ngẫu nhiên 190

5.5.4 Nghiệm mạnh và nghiệm yếu 194

Xác suất Thống kê là lĩnh vực toán ứng dung, nó đòi hỏ; một cơ sờ toán học sâu sắc Ngày nay các mô hình xác suất đã thực sự được ứng dụng rộng

rãi trong khoa học tự nhiên cũng như trong khoa học xã hội Tuy nhiên, ờ

Việt Nam có rất ít những tài liệu về các mô hình xác suất và ứng dụng của chúng Đó là lý do chính để chúng tôi viết giáo trình này Nhằm phục: vụ các độc- giả trong nhiều lĩnh vực khác nhau (toán học, vật lý, CO’ học, sinh học,

khoa học trái đất, kinh tế, y học, nông nghiệp, v.v ) nên giáo trình được viết theo tinh thần: chính xác: về lý thuyết tới mere: độ nhất định, có nhiều

ví dụ ứng dụng cụ thể thường gặp trong thực tế và tương đối dỗ hiểu.

Giáo trình Các mô hình xác suất và ứng dụng do GS.TSKH Nguyền

Duy Tiến chủ biên bao gồm:

Phần I Xích Markov và ứng dụng, GS.TSKH Nguyền Duy Tiến viết.

Phần II Quá trình dừng và ứng dụng, PGS-TSKH Đặng Hùng Thắng viết.

Phần III Giải tích ngẫu nhiên GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến viết.

Các thành viên của Bộ môn Xác suất Thống kê, Khoa Toán - Cơ - Tin

học, Trường ĐHKHTN - ĐHQGHN dã nhiều năm giáng dạy Quá trình ngầu nhiên và tích lũy được nhiều kinh nghiệm đề viết giáo trình này dưới dạng

mô hình ứng dụng phục vụ cho đông đảo bạn đọc Tuy nhiên, đáy không phải là giáo trình sơ cấp Vì vậy đế đổ dạt được hiệu quà cao, bạn đọc cần phải có kiến thức toán của hai năm đầu đại học’ và đặc- biệt phai có kiến thức xác: suất CÔ điển (chẳng hạn như trong Đào Hữu Hồ [1], Đặng Hùng Thắng

[2] hoặc Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến [3]).

Chúng tôi hy vong giáo trình này sẽ có ích cho nhiêu bạn doe phục vụ

tốt cho việc giảng dạy nghiên cứu và ứng dụng.

Chắc chắn giáo trình còn nhiều thiếu sót Rất mong nhận được sir góp ý và chỉ bảo của bạn đọc Chúng tôi xin chân thành cám ơn.

Cuối cùng chúng tôi xin cám ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHKHTN - ĐHQGHN, Khoa Toán - Cơ - Tin học Bộ môn Xác suất Thống kê Trường ĐHKHTN - ĐHQGHN và Nhà Xuất Bản ĐHQGHN đà động viên, cổ vũ và

tận tình giúp đỡ chúng tôi biên soạn tài giáo trình này

Hà Nội mùa thu năm 1999

Các tác giã

GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN

Khác với các phần I-IĨ, pha.il III được viết ở mức độ khá cao và khá trừu

tượng, bời lẽ giải tích ngầu nhiên, ngoài các kiến thức toán học như tích phân Riemann đại sổ ma trận, ta cần phải nắm vững một số kết quâ trừu tượng

('lìa giải tích và đại số.

Giài tích ngẫu nhiên là một chuyên de khó đối vứi sinh viên Để hiếu nội

(lung cùa phần này bạn cần phải :

1 Nắm vững các kiến thức cơ bàn cùa xác suất co dien,

2 Nắm vững lý thuyết độ đo và tích phán Lebesgue,

3 Nắm vững các tính chất của kỳ vọng có điều kiện đối với cr-trường,

4 Nắm được nội dung cơ bân Phan I: Xích Markov, phần II: Quá trình

dừng cua tài liệu: Các mô hình xác suất và ứng dụng (do chúng tôi biên soạn,

xem [5], [6]).

Giãi tích ngẫu nhiên là cơ sỡ toán hoc de nghiên cứu quá trình ngẫu

nhiên Cũng như giâi tích kinh dien, giả.i tích ngầu nhiên dồ cập tới các vấn

đề then chốt sau:

- Giới hạn và liên tục.

- Quỹ đạo và các tính chất quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên,

- Phân phối cùa quá trình ngẫu nhiên trên không gian quỹ dạo.

- Phân loại quá trình ngẫu nhiên,

- Tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên,

- Hội tu cúa quá trình ngẫu nhiên.

Trong một giỉío trình ngắn, không the trình bày dầy dú các vãn đe tron Chúng tôi chi tạp trung trình bày một số khái niệm và kết quả quan trọng nhất cua giải tích ngầu nhiên.

Phần III: GIẨI TÍCH NGẪU NHIÊN (gồm 4 chương)

Chương 1 trình bày:

- Torn tat các kết quả quan trọng nhất của xác suất cô điên dựa trên độ

do và tích phân Lebesgue;

- Kỳ vọng có điều kiộn (Đày là mục đích chính của chương 1.)

Chương 2 trình bày các định nghĩa cơ bần về quá trình ngẫu nhiên Chúng tôi tập trung vào giải thích ý nghĩa cua các khái niệm như: Phán phối hữu hạn chiêu; Điêu kiện nhất qiĩán; Sự tồn tại cùa qitá trình ngẫu

nhiêm Các tính chất quỹ dạo Sau dó trình bày sir phản lớp các quá trình

ngầu nhiên: Quá trình Gauss: Quá trình có gia số độc lập; Quá trình dừng Đặc biệt quan trọng là quá trình Wiener.

Chương 3 dành cho lý thuyết martingale với thời gian rời rạc

Nội dung chính của chương 3 là: Các bất đằng thức; Các dịrih lý hội tụ; Thời diem dừng Bất dang thức Doob và định lý Doob ve sự hội tụ cua martingale

là mục đích chính cúa chương 3 Bạn có thề đọc chương 3 ngay sau khi đọc hết chương 1.

Nội dung của chương 4 tương tự như nội dung của chương 3 Chương4 dành cho lý thuyết martingale với thỊÒd gian liên tục Hầu hết các két qúâ của phần này chì được phát biếu, không chứng minh (vì các chứng

minh hoặc giống trường hợp rời rạc, hoặc rất phức tạp và khó) Nhưng chúng

tòi cố gắng chi rõ những khó khăn khi chuyền các kết quà của martingale từ

thời gian rời rạc lên thời gian lien tục.

Chương 5 dành cho lý thuyết tích phân ngẫu nhiên Đầu tiên ta

dịnh nghĩa tích phân Wiener, sau đó là tích phân và vi phân Ito Cóng thức

Ito ve vi phan cùa hàm hợp là kết quá then chốt Phương trình vi phân ngẫu nhiên, bài toán lọc Kanman-Bucci cũng được đồ cập tới trong chương này.

Mỗi chương đều có bài tập giúp bạn đọc hiều sâu thêm lý thuyết và tập 1'rng dụng giải các bài toán thực tế Bài tập khó có đánh dấu

Nội dung cúa giáo trình này được biên soạn theo các sách trong phần tài liệu tham khÀo.

Chúng tôi chân thành cám ơn TS Nguyễn Viết Phú, PGS.TSKH Đinh

Quang Lưu vầ PGS TS Nguồn Văn Hữu đã đọc kỹ bàn thảo và góp nhiều ý kiến quí báu đê’ giáo trình nà.y hoàn thiện hơn.

Hà Nội mùa thu năm 2000 Nguyễn Duy Tiến

Chương 1

Xác suất và thống kê bắt nguồn từ nhũng vấn đồ thực tế liên quan đến xử lý số liệu thực nghiêm Tuy vậy, có thổ nói rằng, cơ sợ toán học của lý thuyết xác suất và thống kê là độ đo vả tích phân Lebesgue, một lĩnh vực

toán học khá trừu tượng Đặc biệt, để nghiên cứu giải tích ngầu nhiên, bạn phải nắm khá vững lý thuyết độ đo vả tích phân Lebesgue và một số khái niệm cơ bản cũng như những kết quà then chốt của xác suất cổ điển Để giúp bạn đọc hiểu rõ bàn chất cùa giãi tích ngẫu nhiên, trong chương này,

chúng tôi trình bày tóm tắt những điều cốt yếu nhất của lý thuyết độ đo và

t ích phân Lebesgue, và ciìa xác suất co điên.

Ngoài ra, vì giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu các quá trình ngầu nhiên mô tà quan sát sự tiến triển theo thời gian cùa một hệ thống nào đó, nên cần

phái điền giài sự phụ thuộc giữa, các- quan sát tại các thời điếm khác nhan Trong xác suất và thống kê, khá.i niệm xác suất có điồu kiện và kỳ vọng có

cĩiou kiện thường (lược dùng đe mô phổng sự plm thuộc nói trên Chính vì

thế, mục đích chính của chúng tôi trong chương này là trình bày (khá chi tiết) định nghĩa tổng quát của kỳ vọng có điều kiện (đối với ơ-trường).

Bạn hãy đọc kỹ phần nà.y trước khi đọc tiếp các chương sau .

1.1 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối1.1.1 Không gian xác suất

Thí nghiệm (hay phép thừ) ngẫu nhiên là thí nghiệm có nhiều kết quà

mà ta không thể đoán trước kết quả nào sẽ xảy ra Tập hợp tất cả các kẹt

quả có thể có của thí nghiệm được gọi là không gian mẫu và được ký hiệu

là Q Mỗi tập hợp con A c Q được gọi là một biến cố Dưới đây ta giả sử Q là tập khác rỗng nào đó.

• Một họ các biến cố A được gọi là trường (hay đại số) nếu: (i) A chúakhông gian mẫu, tức là, Q G A ,

(ii) yl kín đối với-phép lấyphần bù,tức là, A E A thì A' EX trong

đó Ac = Q \ A,

(iii) A kín đối với phéplấy hợphữu hạn, tức là, nếu

Ak EA, k— thỉ i,_J A,I E A­

• Một họ các biến cố A được gọi là ơ-trường (hay ơ-đại số) nếu:

(i) Achúa khônggian mẫu, tức là, Q G A,

(ii) Akín đối với phéplấyphần bù, tức là A E A thì yV' E A,trong

đo Ah í 2 A,

(iii) Akín đối với phép lấy hợpđốmđuợc,tức là nếu

An EA,n = 1,2, thi [JAJt E A.n=l

• Không gian đo là cặp (Í2, A). trong đó Í2 là không gian màu lìào đó,

A là ơ-trường.

• Già sử c lằ tập mà mồi phần từ của nó là tập con của Q Khi đó ta nói c lồ một lớp Ta ký hiệu 2n là lớp gồm tất cả các tạp (’Oil cùa ỉỉ Đó

là ư-trường lớn nhất Trong khi đó lớp gồm hai tập: (Í2,0) là ư-trường bé nhất Giao của các ơ-trường chứa c cũng là íT-trườug chứa c Vì thế tồn

tại ơ-trường bé nhất chứa c. Ta ký hiệu íT-trường này là ư(C), và gọi đó là ơ-trường sinh ra tír c.

• về thực chất <7-trường là khái niệm tổng quát hoá khái niệm phân hoạch Nói rằng dãy (hữu hạn hoặc vô hạn) các tập (An) là phân hoạch của Q nếu hợp cua chúng bằng Q và chúng rời nhau từng cặp, tức là,

trong dó ỉ là tập con cùa {1,2, }.

• Cho (Au) là dãy các tập con của Q Ký hiệu

lim ■/supAn-nuAk, lim inf An — u nAk

limsupA,! = lim infAn

thì ta nói (A„) có giới han, và ký hiêu các tâp bằng nhau này bởi

ỉimAn Trong trường hợp dổ ta nói limAu là giới hạn ẹỉủa dãy (A„_).

• Ta, nói (A-u) là dãy đơn điệu không giàm nếu An c A.u-ị-1, và nói

(Au.) là dãy đơn điệu không tăng nếu Au+1 c Azl Nói rằng (Au) là dãy

đơn điệu nếu nó hoặc đơn điệu không giảm, hoặc đơn điệu không tăng.

• Lớp yM là đơn điệu nếu A4 chứa giới hạn của các dày đơn điệu cùa nó, tức là nếu Au G A4 và (Au) đơn điệu thì lim A„ G Ní. Dề dàng thấy rằng:

A ỉàơ-trư.ừỉtg khi và cỉtĩ khi A lò trường,và đơn điệu;

Nếu cỉà đạisố thỉ cr(C) — NÍ(C), trong đó Nt(C) là lớpđơn điệu bé nhất

(■.h ứa c.

• Cho hai không gian đo (ill , >11), (ÍI2, A2) Tập chữ nhật là tập có dạng

Al X A2, At e Ai, i = 1,2.

Ký hiện Aỵ ®A? là ơ-trường bé nhất chứa, các tập chữ nhật, và gọi đó là

ơ-trường tích Khi đó, (Qi X n2,Ai ® A2) được gọi là không gian đo tích Tương tự ta định nghĩa không gian đo tích cho một số hữu hạn các

không gian đo:

M n

k= 1 k— 1

• Khi Í2 là không gian metric E, thì ta ký hiệu 13(E) là ơ-trường sinh ra từ các tập mờ và gọi 13(E) là ư-trường Borel của E. Ttong trường hợp E

là đường thằng thực IR, thì 3(IR) trùng với ơ- trường sinh ra từ các khoảng.

Khi E = IRn thì ta viết Ì3n thay cho ổ(IRĩl).

• Ta hiểu độ đo trôn ơ-trường A là ánh xạ /,4 ; A » [0,00] sao cho tồn tai A EA với fj>(A) < 00 và nếu An G An — 1, 2, là dãy các tập

rời nhau từng cập thì

M ( J ụ,(A7l)

Độ đo ỊJ, là hữu hạn nếu /1(Í1) < 00; Độ đo ụ, là ơ-hữu hạn hay hữu hạn đếm được nếu

Độ đo ỊJ, được gọi là đủ hay chính xác hơn A là đủ đối với /.I nếu A

chứa tất cà các tập có /4-độ đo không.

cr-trường bổ sung của A đối với /4 được định nghĩa theo công thức sau

Ặ, = (Ceil I tồn tại Ai, A2 e A,Ai c c c A2, M(^! \ A2) 0

Hiổn nhiên Aft là đủ đối với ẬẬ.

• Xác suất p là độ đo chuẩn hóa, tức là P(Í2) = 1 Trong trường hợp (1(5 bộ ba (Q,>1, P) đirợc gọi là không gian xác suất (cơ sở) Nếu .4 đủ dối với F thì ta nói (Q,.A,P) là không gian xác suất đủ.

Ta thường (lùng các ký hiệu sau:

P(z4), ĨPịXÌ, ĨP{yl} để chì xác suất cúa biến cố A.

P(yl|B),F[zl|B], ĨP{.4ỊB} đe chi xác suất có điều kiện cùa 4 khi Ỉ3 đã xay ra (hoặc B đà cho).

Xác suất có (lieu kiện được định nghĩa, theo còng thức

P(j4|n) = "Vea/0- P(B) >

°-• Giã sữ c là lớp nào đó Ta gọi hàm tập là ánh xạ y? : c —» [—00,00] nhưng chi có thố nhận một trong hai giá trị —00, +00 Ta luôn giả thiết tồn tạ.i c ỂE c sao cho —00 < ụ?(C) < 00.

Nếu — 00 < 99(C) < 00 với mọi c Ec thì ta nói <p hữu hạn.

Nếu Ỉ7 phản hoạch thành một dãy các < ý?(ơ„) < 00 với mọi H — 1,2, thì ta

Nếu 9?(C) > 0 với mọi c E c thì ta nói 99 không âm

Nếu *p(A u B) —<p(A) -í- <p(B) với mọi A, B E c thoa mãn điều kiện /lul? t V, A n B — 0 thì ta nói 99 cộng tính hữu hạn.

Nếu limn <^(j4„) = 0 với mọi dãy (An E C) đơn điệu giảm tới 0 (tức là,

nẤ„ — 0), và 0 E c thì ta nói <p liên tục tại 0.

Kết quả sau thường đirợc áp dụng: Nếu 99 hữ’u hạn (hoặc không âm), cộng tinh h'ữ.u hạnvà 99 liên tục tại 0 thì 97 cộng tính đếm đưực (hay <7-cộng tính), tức là, nếuAn Ec ,n = 1,2, là dãy các tậpvời nhau từng

cặp saocho

71=1

n.= 1 71=1

Ngượclại, nếu ự) hưu hạn và cộng tính đốm được thì '-Pliêntục tại 0.

• Khai triền Hahn-Jordan Nếu (£> là hàm tập xác định trên cr-trưừng

>1, cộng tính đếm được thì tồn tại hai độ đo v?+, <p~ xác định trên >1 sao cho V?(.A) = ọ9+(yl) — g> (A), Vj4 e A.

• Mờ rông độ đo Nếu ịx làhàm tập không âm xácđịnh trêntrường c,

cộngtính đếm được và hữu hạn (hoặc hữuhạn đếm được), thỉ tồn tạ.i duy nhất một độ đo /ĩ : ư(C) —> [0, co] (xác định trên ơ-trường bé nhốt chứa.C)

sao cho

ỹ(C) - fi(cỵ VCeC.

Tử đâysuy ra hai độđo trênơ(C) bằng nhautrên cthìbằng nhau trên ư(C).

• Độ đo tích Giả sử (Hí, Xi,/Ắặ), i = 1, 2 là hai không gian có độ đo hữu hạn hoặc hữu hạn đếm được Khi đó, tồn tại và duy nhất độ đo /Zị X /./2, được gọi là độ đo tích của /Z1,/Z2, trên không gian đo tích

(Qi X Cì.2, >11 ® Ao) sao cho

/lỵ X /12(^1 X A2) — /L1(Ai)fi2(Á2), Ai <E Ai, i — 1,2.

1.1.2 Biến ngẫu nhiên

• Nói một cách chung chung thì biến ngẫu nghiên là đại lượng mà giá trị

của nó phụ thuộc vào kết quả cùa thí nghiệm Định nghĩa chính xác cùa nó

(i) không giàm , (ii) liên tục bên phải,

(iii) lim F(x) — 0 , lim F\.r')= 1.

';c-4.-00 X-++OC

Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu tập tất cà các giá trị của nó là hữu hạn hay đếm được Ký hiệu .) là các giá trị của X.

Ta đặt pn = P(X = ?:„) , (?/ = 1, 2, ) và gọi (pTi) là dãy phân phối xác suất cùa X.

Dày số này có các tính chất (cần và đủ) sau:

(i) không âm tức là pIL > 0 (n — 1,2, ),

• Già sứ (í 2, A.) và (B, Ĩ3) là hai không gian đo Ánh xạ X: Ị>ì —ì E được

gọi là đo được, hay chính xác hơn là (X,Z3)-đo được, nếu

VBeổ,

hoặc tương đương

trong đi') Ỉ3 =rr(C) Nếu (Q.A,/i) là không gian có độ đo, thì ta đặt

Khỉ đố) fj,x là độ đo xác định trên Ỉ3 Ta gọi /J-X là độ đo ành của độ đo// qua ánh xạ X Trong trường hợp /í — p là độ đo xác suất, thì được

gọi là phân phối (xác suất) cda X (trên không gian trạng thái £■) Khi

E = ]Rn, Ỉ3 = ổ(IRn), thì X = (_¥1, ,XTt) được gọi là vector ngảu nhiên và 1P.X' được gọi là phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên yX„.

Cần chú ý rằng:

- Mỗi độ đo xác suất trên (IR, Ì3) tương ứng duy nhất (chính xác đến

hằng số công) với hàm phân phối xác suất F (tức là F không giảm, liên tuc

phái, giới hạn ờ —oo bằng 0, giới hạn ờ +oo bằng 1) theo còng thức /t((n,ò]) = F(6)-F(a).

- Trén (IR" , 23") có độ đo duy nhất Ă sao cho A-độ đo của hình hộ]) bằng

the tích cua hình hộp Độ do này được gọi là độ đo Lebesgue của ]R” Mói

tạp thuộc Ì3n được gọi là tập Borel; trong khi đó, mồi tập của Bỵ (ơ-trường

bo sung cut) 23" dối với A) được gọi ỉà tập Lebesgue Tất nhiên

Bn c

Hàm f : 1R" —à IR được gọi là hàm Borel, nếu nó đo dược đối với 23"; được gọi là hàm Lcbesgue-đo được nếu nó đo được đối với Z3£ Chằng hạn, các hàm liên tục là Borel.

1.1.3 Kỳ vọng và phương sai

Giã sư (Q,M, P) ỉà không gian xác suất., X là biến ngẫu nhiên.

nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối.

Kỳ vọng có điều kiện của. X khi biến cố B đã cho là số thực xác đinh

theo cóng thức

E(X|B) - = xrt|B).

Phương sai của X là số thực không âm xác định theo công thức

VarX - E[X - EX]2 = EX2 - (EX)2

là số thực không âm xác định theo công thức

= E[X - EX]2 = EX2 - (EX)2

— ị X2 f{x)dx — ( Ịxf{x)dx^ — <~yCì —rx~)

Ta có công thức sau: với r > 1

• Định nghĩa tổng quát của kỳ vọng Trước hết ta trình bày vắn tắt

cách xây dựng tích phân Lebesgue Giả sử (Q, yljp) là không gia.n có độ đo,

hữu hạn, thì ta nói / có tích phân Lebesgue (đối với độ đo p.) và đặt

Nếu cà hai tích phân ờ vế phải hữu hạn, thì ta nói / khả tích Lebesgue

(đối với độ đo p,).

27 Bằng cách tương tự ta, định nghĩa hàm đo được / : íì —> 1R, trong đó

IR = [—00,00], và định nghĩa tích phân Lebesgue cho những hàm như thế Trong lý thuyết xác suất, X : Q —> IR được gọi là biến ngẫu nhiên suy

và gọi đó là kỳ vọng của X. Ta nói Xcó kỳ vọng hữu hạn nếu EỊXI < oo, và nói X có kỳ vọng nếu một trong hai số + hữu hạn.

• Không gian Lr Cho hại hàm đo được f,g Nói rằng /, g bằng nhau hầu

khắp nơi, nếu tập

{(U e Q|/(íu) Ạg(u)}

có /í-độ đo không Trong trường hợp như thế ta viết f~g hay chính xác

hơn f= g (mod /t) Dưới đây ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp nơi Ta thường dùng các ký hiệu sau:

Z/o(D,/r) — tập các hàm đo được,

với 0 < r < oo ta đặt

run M) = tập các hàm đo được ỉ sao cho Ị |/r<ỈM < oo,

Z-ooffZj/z) — tập các hàm đo được bị chặn.

Khi đã cho không gian có độ đo cụ thể, thì ta dùng ký hiệu vắn tắt L,.,0 < < oo, thay cho các ký hiệu trên.

• Các khái niệm hội tụ Cho dãy fn G Lo- Nói rằng fn hội tụ /1-hầu khắp nơi nếu tập

{cc G Í2| (/n.(cư)) không hội tụ }

có p-độ đo không Vậy, khi bỏ đi một tập có độ đo không, tồn tại f = ỉimn fn,

Cho day f7l Ể Lr. Nói rằng fn hội tụ trong Lr (hay hội tụ trung bình cấp

r 0 < < co) tới fE L, nếu

- f\' dp = 0.

Khi p — p là độ đo xác suất thì ta nói hôi tụ hầu chắc chắn thay cho hội tụ hầu khắp nơi; hội tụ theo xác suất thay cho hội tụ theo độ do Ngoài

ra, nếu (JCn) là dãy các biến ngẫu nhiên, thì (X,i) hội tụ theo phân phối

đến biến ngẫu nhiên X nếu với mọi hàm thực / : IR —» IR liên tục và bị chặn ta có

J f(x')dPXn = Jf(x)dPx.

Ta cần nhớ các kết quả sau:

Hội tụ theo xác.suấtkéotheo hội tụ theophân phối.

Hội tụ hầuchắc chắn kéo theohội tụ theo xácsuất Ngượclụi; một dãy

hộitụ theoxác suất thì cómộtdãy conhộitụ hầu chắc chắn.Hộitụ trong Lri0 < r < oo kéotheo hội tụ theoxác suất.

Các kết quả sau là những nét đặ.c sắc nhất của tích phân Lebesgue.

• Định lý hội tụ đơn điệu (của B.Levy) Nếu (fn) là dãy thuộc Lo, đơn điệu tăng, không âm và hội tụ hầu khắp nơi tới f thì

• Định lý hội tụ bị chặn (của Lebesgue), Nếu (/Ti) là dãy thuộc Lq hội tụ hầu khắp nơi tới f và tồn tại g ELỵ sao cho

sup \fn\ <g mod ụ,

thì f E Lỵ và.

Jim J ỉndp.= J fdự

Q Q

* Khả tích đều Họ {fa} trong L1 được gọi là khả tích đều, nếu với mọi

f: > 0, ton tại số dương K sao cho

sup y \fn\dfi < e.

Ta cần nhớ kết quà sau: Giảsử (An) là dãycác biến ngẫu nhiên thuộcLr,l< r < oo, hộitụ theođộ đo hoặc hộitụhầu chắcchắn tới X, thì ba

điều sau là tuơngđuơng

(ĩ) (N.n) hộitụ tới X trongLr;

(ii) (ịxrt|r) khả tích đều;

(iii) E|A’n,|r = E|-X’|r.

Hơn nứa,nếu mộttrong haiđiều kiện sauđuợc thụchiện, thì (ỉ), (iỉ)

và(iii) ở trênsẽđuợc thục hiện

(iv) sup,, |X,JZ' < oo, r< p < Cữ:

(v)Tồn tại Y t L,- saocho |Xn| < K Vn.

• Công thức đổi biến Già sử (Q,X) và (£?, 13) là hai không gian đo, và _Y : Q —> E là (4., 23)-đo được Nến (Ỉ2,4,/1) là không gian có độ đo, thì ta

Đặc biệt, riếu /./, = p là độ đo xác suất; X : í2 —> Hì"' là vector ngẫu nhiên và

/ : Hì" —> Hì kì hàm nhiêu biến Borel-đo được, thì

Kết quổ sau đây là then chốt để định nghĩa kỳ vọng có điều kiện tổng

• £>ịnh lý Radon-Nikodym Trôn cùng một không gian đo (Q, 4) ta xét hai hàm tập cộng tính đếm được </>, ýn Nói rằng tp tuyệt đối liên tục đối

với '0 và viết p <v lị} nếu Ịi/;|(A) = 0 thì q?(A) = 0, trong đó |'0| = ?/>+

4-(xem khai tricn Hahn-Jordan).

Gia sừ /í là độ đo trên A. và f E L(](Í2,//,) và / có tích phân Lebesgue.

Đặt

Khi đó <p là độ đo trên yt và /I và mọt trong hai y?+, Ip~ ỉà độ đo hữu hạn Ngược lại, giàsù p là độ do <7-hữu hạn trên X và ự? là hàm,Lậpơ-hùu hạntrên >4 sao cho một tronghai 'P +, ip~làđộđo hữu hạn Nếu

<p> <s; /íthì tồn tại f : Q—> [ — 00,0©] sao chof làA-đo đuợc, cótích phản

Hơn nữa, / khảtích Lebesgue khi vàchi khi iphữu hạn Đạo hàm Radon- Nikod.gm đuợc xác định duy nhất fj,- hầu khắp nơi(hoặcxác đỉnh duy nhất sai

khác mộttập có /1 độ đo không),tức là nếu f, f làđạo hàm Radon-Nikodym

cùa p dối với ụ, thì

G Q|/(u>) /M} = 0.

Nếu p và u là hai dộ đo trên A, pb z>, và g € thì ta có công thức đôi độ đo sau:

ígdfi — ỉ g—^du, TA € A.

Neu X : Q —» Z?” là vector ngẫu nhiên, và Px liên tục tuyệt đối đối với (lộ (lo Lebesgue A thông thưởng cùa, IR'1, thì

được gọi là mật độ của X.

Định lý Fubini Giả sử (Qi, Ai, pbi),i= 1,2 là hai khônggian có đệđo hữu

hạn hoặc hữu hạn đếmdược,Ịj,ỵ X /J.2 là độđo tích trênkhông gianđotích

(Í71 X Q2, A1 ®Aỉ)- Giả sii f : Qi X Q2 —+ IR là Ai® Ạz-đo đuợc và

cai, ía2)[d(/ii X/12) <00.

Q

San khi đã có những kiến thức, trên về độ đo và tích phân Lebesgue ta dễ dàng tìm hiên những khái niệm cơ bàn của xác suốt Đê dễ hiểu, trước hết ta xét trường hợp hai chiều.

1.1.4 Hàm phân phối đồng thời hai chiêu

Gill sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên Hàm phân phối đồng thời của

X y dược xác định theo công thức

-F(a;, ,ự) = P(X < X-, Y < ỵy) ; r, y € IR.

• Trường hợp rời rạc.

Giá sử X và Y lằ. hai biến ngẫu nhiên rời rạc Khi đó dã.y số kép

Pij = P(X = Xi, Y = yy)

Nếu X, Y có moment cấp hai hữu hạn, thì covarian và hệ số tươngquan của X,Y được xác định theo các công thức tương ứng sau:

cov(X.y) = E[(X - EX)(r - EK)i = EXT - EXEK = y2 xiyjPij — EXEK

_ covjX, Y)

x/Var X Var Y

Trirờng hợp liên tục.

Nếu hàm phân phối đồng thời của X, Y có dạng

thì lui gọi là mật độ đồng thời của X, y.

Khi đó, hàm mật độ của X được tính theo công thức

=Ị f (xpy)dy

và hàm mật độ cùa Y được tính theo công thức.

fy(y) =y /o, y)dx.

Hàmmật độ có điêu kiện của X khi đãcho Y = y được tỉnh,theo

công thức

-vàkỳ vọng cóđiềukiện của X khỉ đã cho Y— yđược tính theo công thức

E[x|r = í/] = xfx\Y^\y)dx.

Nếu tại Y — y ta đặt E(X|y) E(Xjy - y) thì nói chung £?(JCịK) là biến ngẫu nhiên và được gọi là kỳ vọng có điều kiện của

X đối với Y

Chú ý rằng trong mọi trường hợp ta đều có công thức quan trọng sau

EX = E[E(X|Y)].

Nếu X, Y có moment cấp hai hữu hạn, thì covarian và hệ số tương quan

cùa. X, Y được xác định theo các công thức tương ứng sau:

cov(X,y) = E[(X - EX)(r - Eh)J = Exy - EXEK

1.2 Vector ngẫu nhiên

1.2.1 Hàm phân phối và hàm đặc trưng Ta nói rằng X = (X1, Xd)

là vector ngẫu nhiên d chiều, nếu mỗi thành phần k = l, ,rZ cùa X là biến ngẫu nhiên Nói cách khác, X : Q —■> IR/7 là vector ngẫu nhiên, nếu

{cư e Q|X1 < Xỵ, ,xd < Xd} e Avờ' mọi X — (.T1, ,Xd) E IRd.

Hàm phân phối của vector X được xác định theo công thức sau:

Hàm này thường được gọi lả hàm phân phối đồng thòrì của các biến ngẫu nhiên và được, ký hiệu là:

Tỵ-!, Xd) P{X1 < X1, ,xd <xd}.

Khi d = 1, ta trò về khái niệm biến ngẫu nhiên và hàm phân phối (một

chiêu); Khi d = 2, ta trờ về khái nỉệm vector ngẫu nhiên và hàm phân phối hai chiều đã xét ờ trên.

Dễ (làng định nghĩa vector ngẫu nhiên rời rạc, vector ngẫu nhiên liên tục, và hàm mật độ cho trường họp d > 3.

Hàm đặc trưng của X được xác định theo công thức sau:

<Ay, Y„(t) Ee«‘-X> = y'e,<t-x>£ZP = ị è<l’x>dFx^),

1.2.2 Định lý Bochner Diều kiện cầnvà đủ đê : IRd —> c là hàmđặc.

đốivới mọi fl e N, C1, ,cn E c vàE ỈRư.

(iii)ipliên tục tại (0, 0).

Ta nhác lại rằng: các biếnngẫu nhiên Xỵ, xd độc lập khivà chì khi một trong hai điêu kiện tương đương sau đây được thực hiện:

•Hàm phânphối đồng thời bằng tích cáchàm phânphối thành phần, túc

Fxỵ Xrf(^i, ■■■,Xcí)— X • X Fxd

(^ư)-•Hàm đặctrưng cùa X bằngtích các hàm đặctrưngthành phần, tứclà,

-Ad) = ơi) X •- • X<pXtí(id)

1.2.3 Phân phối chuẩn d-chiều

Ta nói rằng X có phân phối chuẩn hay X là vector Gauss, nếu hàm đạc

trrrng cùa nó có dạng

xrí(tỵ, —,td) = exp —ộQAi > ■■■,td)^,

trong đó m =(rn 1, Iìid) E JRf/ là vector nào đó, Q(tỵ, Ể<y) là dạng toàn phương xác định không â.m:

Q(t) = Q(ti,—Ad) =yz ^jktjtk-j,k—l

•Xi,Xd độc lập khi và chỉ khi A có dạng đường chéo.

• Nếu A không suy biến (tức là định thức của A khác không), thì X có

trong đó dct A là định thức cúa A, còn Xjk là phần phụ đại số cúa Xjk.

• Nếu bring của A bang (?• < (7), thì tồn tại r biến ngầu nhiên độc lập

£11 vó phàn phối chuẩn với trung bình bằng 0 phương sai bằng 1 sao

cho mỗi thành phần xk là tổ hợp tuyến tính của T biến ngẫu nhiên này.

• X = (X1, X(i) là vector Gauss khi và chỉ khi mỗi tổ hợp tuyến tính cua Xi, ,Xd là biến ngẫu nhiên chuẩn.

Bây giờ ta diem qua một số kết quà cơ bản nhất của lý thuyết xác suất kinh dien lien quan tới các biến ngẫu nhiên độc lập.

1.3 Tổng các biến ngẫu nhiên độc lập

Trước hốt ta trình bày khái niệm độc lập cho các lớp biến cố.

1.3.1 Tính độc lập xác suất

Giả sir (Q, A,P) là không gian xác suất Nói rằng: Hai biến cố A, B là độc lập nếu

P(An B) = P(A)P(B).

Hai lớp C1,C2 của A là độc lạp nếu

P(C1 n Cạ) = P(C1)P(C2), vc; G Ci, = 1, 2.

Giả sir (£?,, ổ,),ỉ‘ — 1,2 là hai không gian đo Xi : Q —» E-i,i = 1,2 Khi

đó, A'1,%2 là dộc lập nếu hai ơ-trường rr(Ah) — X,ị (23,),7 = 1,2 độc lạp.

Cần nhớ rằng, nếu A\,Ab độc lập và có kỳ vọng hữu hạn thì tích X(X2 l ũng

có kỳ vong hữu hạn và

EX1X2 = EXiEXọ.

Các biến cố (Afc,k — 1, ,7/.) là độc lập, nếu với mọi tập con I khác rỗng

của (1, 7Ỉ.)

Họ biến cố (Act) là độc lập, nếu với mọi 77 > 2 các biến cố (AOfc,

k = 1, , 77.) độc lập Tirơng tự ta định nghĩa tính độc lập của họ các lớp biến cố, và họ các biến ngẫu nhiên.

• Luật 0-1 Kolmogorov Ta ký hiệu ơ{Aa,Oí G Z} là ơ - trường bé nhất

chứa tất cả Aa,O! GI Đặcbiệt, a{Ak,k>77.} là ơ - trường bé nhất chứa, tất

cá Ak,k > 77 Đặt

íToo = Q ơ{Ak,k> 71}, n=l