GIẢI BÀI TẬP NHÓM LẦN 1 Môn học ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN - TIN HỌC ———————o0o——————– GIẢI BÀI TẬP NHÓM LẦN 1 Môn học: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH Nhóm thực hiện : Nhóm 3 Mã lớp học phần : MATH142101 Giảng viên hướng dẫn : TS PHẠM DUY KHÁNH HỒ CHÍ MINH Mục lục 1 DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 3 1 2 PHẦN GIẢI CÁC BÀI TẬP NHÓM 2 2.1 Điểm bất động 2 3 7 Bài tập nhóm Đại cương về phương pháp tính 1 DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 3 1 Phạm Hữu Dư 48.01.101.009 2 Lê Quốc Bảo 48.01.101.005 3 Phạm Trần Út Yên 48.01.101.107 4 Nguyễn Quang Thanh Lâm 48.01.101.035 5 Huỳnh Lai Bách Tỷ 48.01.101.101 Nhóm 3 1 GVHD: TS Phạm Duy Khánh Bài tập nhóm Đại cương về phương pháp tính 2 PHẦN GIẢI CÁC BÀI TẬP NHÓM với f (x) là hàm liên tục trên một khoảng đóng hay mở nào đó Ta có những khó khăn khi giải phương trình 1 như sau: • Nếu f (x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0 = 0 với an̸ = 0, thì với n = 1, 2 ta có công thức tính nghiệm một cách đơn giản Với n = 3, 4 thì công thức tìm nghiệm cũng khá phức tạp (tham khảo phương pháp Cardano và Ferrari) Còn với n ≥ 5 thì không có công thức tìm nghiệm bullet Khi f (x) = 0 là phương trình siêu việt, ví dụ như cos x − 3x = 0 thì không có công thức tìm nghiệm • Những hệ số của phương trình 1 có thể ta chỉ biết một cách gần đúng, ví 1√ dụ như , 5 3 Khi đó việc xác định chính xác nghiệm của phương trình 1 không có nhiều ý nghĩa Do đó, việc tìm những phương pháp giải gần đúng phương trình 1 cũng như đánh giá mức độ chính xác của nghiệm gần đúng tìm được có một vai trò quan trọng trong Toán học nói riêng và Khoa học, Công nghệ nói chung ya Mục tiêu trong phần này là giải phương trình f (x) = 0 (1) Đôi khi để giải chính xác phương trình (1) là rất khó và đôi khi không có nhiều ý nghĩa Ví dụ việc giải đúng phương trình f (x) = 5x3 − 20x + 3 = 0 gây nhiều khó khăn Trong những trường hợp như vậy, việc xác định một nghiệm gần đúng x của x0 sao cho sai số tương đối λx = |x0 − x| nhỏ nhất |x| là điều cần thiết Một trong những phương phá 2.1 Điểm bất động Định nghĩa 2.1.1 Cho D là một tập con của R và hàm số g : D → R Số thực p ∈ D được gọi là điểm bất động của hàm số g nếu g(p) = p Bổ sung 1.(Cho Ví dụ về điểm bất động bằng cách sau: Vị dụ 1: Ví dụ ở Example 2 p.58 hoặc tương tự (nếu tốt hơn có thể tìm một hàm đơn giản nhưng có 2 điểm bất động) Ví dụ 2: Ví dụ ở Example 3 p.59 Nhóm 3 2 GVHD: TS Phạm Duy Khánh Bài tập nhóm Đại cương về phương pháp tính Ví dụ 3: Phản ví dụ không có điểm bất động Ví dụ 4: Mọi điểm trên y=x đều là điểm bất động.) Bổ sung 2 (Nhận xét điểm bất động của hàm g bất kỳ là giao điểm giữa Lấy ví dụ 1 và 2 ở trên kèm với hình vẽ minh họa) Thêm một lời dẫn liên hệ giữa việc tìm điểm bất động và nghiệm của phương trình, từ đó dẫn dắt vào Định lý 2.1.2????? Định lí 2.1.2 Nếu p là nghiệm của phương trình f (x) = 0 thì ta có thể xác định được hàm g nhận p làm điểm bất động theo nhiều cách khác nhau, chẳng hạn g(x) = x − f (x), hoặc g(x) = x + 2f (x), Ngược lại, nếu hàm g có điểm bất động là p, thì hàm số f định bởi f (x) = x − g(x) nhận p làm nghiệm 1 Đến đây kết luận việc tìm nghiệm của phương trình và tìm điểm bất động có tương đương hay không? 2 Số nghiệm của phương trình f(x)=0 có tương ứng với số điểm bất động của hàm g hay không? 3 Ví dụ cụ thể cho Định lý 2.1.1 [Dùng ví dụ cho các hàm g ở trang 10-11 của mình] chỉ ra một hàm số có thể chọn nhiều hàm g khác nhau Ví dụ 2.1.3 Một điểm bất động "thú vị" là p = 0.73908513321516, đây là số bạn nhận được khi bấm liên tục phím cos trên máy tính Số này thỏa phương trình cos p = p (Chuyển cái ví dụ này thày kiểu "Có thể bạn chưa biết") Từ nhận xét ở trên ta đã biết việc tìm nghiệm của phương trình f (x) = 0 tương đương với việc tìm điểm bất động p của một hàm g, tuy nhiên việc giải nghiệm trực tiếp của phương trình f (x) = 0 không phải lúc nào cũng dễ dàng, thay vào đó ta có thể thay thế việc tìm nghiệm trực tiếp đó bằng một thuật toán tìm điểm bất động vì với thuật toán này chung quy có thể dễ dàng thực hiện hơn và máy tính có thể chạy được thuật toán này Thuật toán: Ta biết điểm bất động p của hàm g là điểm thỏa mãn p = g(p) từ đó thấy p chính là nghiệm của hệ: Nói cách khác, p chính là hoành độ giao điểm của đường cong y = g(x) và đường thằng y = x y = g(x) y =x Nhóm 3 3 GVHD: TS Phạm Duy Khánh Bài tập nhóm Đại cương về phương pháp tính Khi đó, nghiệm p có thể tìm được bởi quá trình lặp như sau: + Cho p0 ∈ [a; b] bất kì, chiếu lên đồ thị của đường cong y = g(x), ta được điểm có tọa độ (p0; g(p0)) + Chiếu g(p0) xuống đường thẳng y = x ta được điểm có tọa độ (p1; p1), với p1 = g(p0), tiếp tục chiếu p1 lên đường cong y = g(x) ta được g(p1) và tương tự ta thu được p2 = g(p1) + Tiếp tục lặp lại quá trình trên, ta nhận được dãy {pn} với pn = g(pn−1) [Yên] chèn hình và giải thích thuật toán điểm bất động ở đây nha Xong rồi thêm bình luận kiểu "Để thuật toán này đúng, thì vấn đề đặt ra ở chỗ 1 Liệu thuật toán như vậy có đảm bảo việc hội tụ đến điểm bất động hay không? 2 Việc chọn hàm g có phải là lấy ngẫu nhiên được hay không, liệu hàm g có 2 điểm bất động trên đoạn đó thì ta phải làm như thế nào Do đó ta cần một cơ sở lý thuyết toán học để chỉ ra rằng thuật toán này sẽ chắc chắn tìm được điểm bất động Nhóm 3 4 GVHD: TS Phạm Duy Khánh Bài tập nhóm Đại cương về phương pháp tính Ở định lý 2.1.4 Tách rõ ràng ra: Ý 1 là sự tồn tại để ở mục (i) và ý tính duy nhất để ở mục (ii) Định lí 2.1.4 (i) Giả sử g ∈ C[a, b] và (x) ∈ [a, b] với mọi x ∈ [a, b] Khi đó, có ít nhất một điểm bất động trên đoạn [a, b] (ii) Hơn nữa, nếu khả vi trên khoảng (a, b) và tồn tại một hằng số k ∈ (0, 1) sao cho |g′(x)| ≤ k, ∀x ∈ (a, b) (2) thì chỉ có một điểm bất động trong [a, b] Chứng minh: • Sự tồn tại: Đặt f (x) = g(x) − x Vì g liên tục trên [a, b] nên f cũng liên tục trên [a, b] Vì g(x) ∈ [a, b] với mọi x ∈ [a, b] nên ta có f (a) = g(a) − a ≥ 0 và f (b) = g(b) − b ≤ 0 Do đó, theo định lý giá trị trung gian, tồn tại p ∈ [a, b] sao cho f (p) = 0 hay g(p) = p Vậy p là một điểm bất động của g • Tính duy nhất: Giả sử p và q là hai điểm bất động của g Giả sử p̸ = q Không mất tính tổng quát, giả sử p ≤ q Vì g khả vi trên (a, b) nên g cũng khả vi trên (p, q) ⊂ (a, b) Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại c ∈ (p, q) ⊂ (a, b) sao cho g′(c) = g(p) − g(q) = p − q = 1, p−q p−q điều này mâu thuẫn với giả thiết |g′(x)| ≤ k < 1 với mọi x ∈ (a, b) Do đó, p = q và điểm bất động của g trên [a, b] là duy nhất Ví dụ 2.1.5 Xét hàm số g(x) = x2 − ex + 2 trên đoạn [0, 1] Dễ dàng kiểm tra g ∈ C1[a, b] và g([0, 1]) ⊂ [0, 1] 3 Từ đây, ta tính được g′(x) = 2x − ex Suy ra, g′′(x) = 2 − ex Xét phương 2 − e x x 3 3 trình g′′(x) = 0, ta có = 0 hay 2 − e = 0 Khảo sát hàm số h(x) = 3 2−ex trên R, ta có h(x) ≤ h(ln2) ≈ −0.6137 Do đó, phương trình g′(x) = 0 vô nghiệm Vậy Ngay đây tính ra đạo hàm Ví dụ phải cho rõ ràng, không được làm tắt Chèn thêm hình minh họa trực quan cho hàm số max g′(x) = 2ln2 − 2 ≈ −0.2046 và min g′(x) = −1 3 3 x∈[0,1] x∈[0,1] Từ đây ta được ∀x ∈ [0, 1], |g′(x)| ≤ 1 = q < 1 3 Do đó, theo Định lí 2.1.4 hàm g có duy nhất một điểm bất động trong [0, 1] Nhóm 3 5 GVHD: TS Phạm Duy Khánh Bài tập nhóm Đại cương về phương pháp tính Nhận xét rằng chiều đảo chưa đúng bằng cách đưa ra phản ví dụ ở phần Định nghĩa của Bảo-ví dụ số 2 Cụ thể: Chỉ ra hàm g không thỏa điều kiện cần nhưng vẫn tồn tại điểm bất động Nhóm 3 6 GVHD: TS Phạm Duy Khánh Bài tập nhóm Đại cương về phương pháp tính 3 Ta đã biết rằng việc giải phương trình f (x) = 0 tương đương với việc tìm điểm bất động của một hàm g(x) nào đó [Chờ Bảo trả lời câu hỏi này rồi ghi trích dẫn nha] Vấn đề đặt ra là ta phải chọn hàm g(x) như thế nào để đảm bảo rằng dãy lặp điểm bất động cho hàm g(x) đó sẽ hội tụ Định lý sau đây sẽ trả lời câu hỏi trên Định lí 3.0.1 Cho g ∈ C[a, b] thỏa mãn g(x) ∈ [a, b] với mọi x ∈ [a, b] Giả sử g khả vi trên khoảng (a, b) và tồn tại một hằng số k ∈ (0, 1) sao cho |g′(x)| ≤ k, ∀x ∈ (a, b) Khi đó, cho trước p0 ∈ [a, b] tùy ý, dãy lặp {pn}∞ 0 được cho bởi (??) luôn hội tụ đến điểm bất động duy nhất p của g Chứng minh: Theo Định lí 2.1.4, tồn tại duy nhất p ∈ [a, b] sao cho g(p) = p Vì g đi từ [a, b] vào chính nó và p0 ∈ [a, b] nên mọi số hạng của dãy {pn}∞ 0 đều thuộc đoạn [a, b] Áp dụng định lý Lagrange, ta có |pn − p| = |g(pn−1) − g(p)| = |g′(ξn)(pn−1 − p)| ≤ k |pn−1 − p| (3) trong đó ξn ∈ (a, b) Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta thu được |pn − p| ≤ k |pn−1 − p| ≤ k2 |pn−2 − p| ≤ ≤ kn |p0 − p| (4) Suy ra {pn}∞ 0 hội tụ đến p Hệ quả Nếu g thỏa mãn các giả thiết của định lý Định lí 3.0.1, thì ước lượng sai số tuyệt đối của pn được cho bởi |pn − p| ≤ kn.max{p0 − a, b − p0}, n ∈ N∗, (5) [ĐỔI CÁC DẤU PHẨY TRƯỚC n ∈ N∗ thành chữ với] hay |pn − p| ≤ k · |pn − pn−1| , n ∈ N∗, (6) 1−k hay |p kn n − p| ≤ · |p1 − p0| , n ∈ N∗ (7) 1−k Chứng minh: Bất đẳng thức 5 được suy ra từ bất đẳng thức 6 trong phần chứng minh định lý ??: |pn − p| ≤ kn |p0 − p| ≤ knmaxp0 − a, b − p0 Nhóm 3 7 GVHD: TS Phạm Duy Khánh Bài tập nhóm Đại cương về phương pháp tính Tiếp theo, với mỗi n ∈ N∗ ta có: |pn − p| = |g(pn−1) − g(p)| = |g′(ξn)(pn−1 − p)| ≤ k |pn−1 − p| ≤ k(|pn−1 − pn|+|pn − Chuyển số hạng k |pn − p| từ vế phải qua vế trái rồi chia 2 vế cho 1 − k, ta được 6 Cuối cùng, với mỗi n và m thuộc N∗ ta có: |pn+m − pn| = |pn+m − pn+m−1 + pn+m−1 − pn+m−2 + + pn+1 − pn| ≤ |pn+m − pn+m−1| + |pn+m−1 − pn+m−2| + + |pn+1 − pn| ≤ kn+m−1 |p1 − p0| + kn+m−2 |p1 − p0| + + kn |p1 − p0| = kn |p1 − p0| (km−1 + km−2 + + 1) = kn |p 1 − km 1 − p0| 1−k Cố định n và cho m → ∞, ta được: |p − pn| = lim |pn+m − pn| ≤ lim kn |p 1 − km 1 − p0| = kn |p 1 1 − p0| m→∞ m→∞ 1−k 1−k Vậy ta suy ra được 7 Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f (x) = 5x3 − 20x + 3 = 0 bằng phương pháp lặp điểm bất động với độ chính xác 10−4, biết khoảng phân ly nghiệm là (0, 1) Giải: Có nhiều cách đưa về phương trình tương đương dạng x = g(x) • x = 5x3 − 19x + 3 = g1(x) • x = 3 20x = g2(x) 5 5x3 + 3 • x = 20 = g3(x) Theo Định lí 3.0.1, quá trình lặp hội tụ khi |g′(x)| ≤ k với mọi x ∈ (0, 1) Ta có • |g1′ (x)| = 15x2 − 19 > 1 với mọi x ∈ (0, 1) • |g2′ (x)| = 4 không bé hơn 1 với mọi x ∈ (0, 1) 3 3 20x − 3 5 Đưa ra phản ví dụ g2′ (0.5) ′ 3x2 • |g3(x)| = < 1 với mọi x ∈ (0, 1) 4 ′ 3x2 Vậy ta có thể dùng g3(x) với |g3(x)| = ≤ 0.75 = q < 1 với mọi 4 Nhóm 3 8 GVHD: TS Phạm Duy Khánh Bài tập nhóm Đại cương về phương pháp tính x ∈ (0, 1) và có công thức lặp x 5x3 n = n−1 + 3 20 Theo công thức đánh giá sai số, ta có |xn − x| ≤ q |xn − xn−1| ≤ 10−4 1−q 10−4.(1 − q) 10−4.(1 − 0.75) Suy ra |xn − xn−1| ≤ q = 0.75 = 0.00003 • n = 0: xn = 0.75 • n = 1: xn = 0.25547, |xn − xn−1| = 0.49453 • n = 2: xn = 0.15417, |xn − xn−1| = 0.1013 • n = 3: xn = 0.15092, |xn − xn−1| = 0.00325 • n = 4: xn = 0.15086, |xn − xn−1| = 0.0006 • n = 5: xn = 0.15086, |xn − xn−1| = 0 Vậy nghiệm gần đúng là 0.15806 ở lần lặp thứ 5 Trong trường hợp tổng quát không phải lúc nào chúng ta cũng tìm được chính xác điểm bất động p của một hàm g bất kì, ví dụ như ta không thể tìm được chính xác điểm bất động của hàm g(x) = 2 + sin x vì ta không giải được chính xác nghiệm của phương trình p = g(p) = 2 + sin p Tuy nhiên, chúng ta được giá trị xấp xỉ điểm bất động của hàm g với một lượng sai số ε mà ta có thể kiểm soát được Thuật toán sau đây cho ta xấp xỉ giá trị p với sai số ε cho trước [Yên] Thuật toán này là mình dời lên sau định nghĩa rồi á nha Thuật toán: Tìm điểm bất động p của hàm x = g(x) với g ∈ C[a; b] và g(x) ∈ [a; b] Đầu tiên ta chọn xấp xỉ giá trị ban đầu tùy ý p0 ∈ [a; b], ta xây dựng dãy {pn}∞ 0 như sau: p1 = g(p0), p2 = g(p1), , pn = g(pn−1) Nếu ta chứng minh được {pn} → p khi n → ∞ khi đó do tính liên tục của hàm g, ta có: p = lim pn = lim g(pn−1) = g( lim pn−1) = g(p) n→∞ n→∞ n→∞ Vậy p chính là điểm bất động của phương trình x = g(x) trên [a; b] Từ đó ta thấy p chính là nghiệm của hệ: y = g(x) y =x Nói cách khác, p chính là hoành độ giao điểm của đường cong y = g(x) và đường thẳng y = x Khi đó, nghiệm p có thể tìm được bởi quá trình lặp như sau: + Cho p0 ∈ [a; b] bất kì, chiếu lên đồ thị của đường cong y = g(x), ta được Nhóm 3 9 GVHD: TS Phạm Duy Khánh Bài tập nhóm Đại cương về phương pháp tính điểm có tọa độ (p0; g(p0)) + Chiếu g(p0) xuống đường thẳng y = x ta được điểm có tọa độ (p1; p1), với p1 = g(p0), tiếp tục chiếu p1 lên đường cong y = g(x) ta được g(p1) và tương tự ta thu được p2 = g(p1) + Tiếp tục lặp lại quá trình trên, ta nhận được dãy {pn} với pn = g(pn−1) Ảnh –Bị trùng với phần của Lâm– Tuy nhiên, dãy {pn} có hội tự về một giá trị hay không Nếu hội tụ thì giá trị đó chính là điểm bất động mà ta cần tìm Câu hỏi được trả lời trong Định lí 2 Hệ quả từ định lí 2: Nếu g thỏa mãn các giả thiết của định lí 2, thì ước lượng sai số tuyệt đối pn được cho bởi: |pn − p| ≤ kn max {p0 − a; b − p0}, (1) Hay k |pn − p| ≤ 1 − k |pn − pn−1|, (2) Hay kn |pn − p| ≤ 1 − k |p1 − p0| (3) Từ hệ quả trên, ta có thể rút ra được đánh giá sau: + Để |pn − p| ≤ ε, từ (3) ta có: kn 1 − k |p1 − p0| ≤ ε, Hay n ln k ≤ ln ε(1 − k) , |p1 − p0| Do k < 1 nên ln k < 0 Vậy ta có: ε(1 − k) ln n ≥ |p1 − p0| (*) ln k Từ đánh giá (*) ta có thể ước lượng được số lần lặp trong thuật toán để đạt được sai số ε mong muốn Ví dụ 1: Tìm điểm bất động gần đúng của hàm g(x) = 2 + sin x trên đoạn [2; 3] bằng thuật toán điểm bất động với p0 = 2 và số lần lặp là 5 Hãy đánh giá sai số tuyệt đối điểm bất động gần đúng sau lần lặp thứ 5 Và với số lần lặp là bao nhiêu thì điểm bất động gần đúng có độ chính xác bằng 10−5? Giải + Ta có g ∈ C1[2; 3], g(x) ∈ [2; 3], ∀x ∈ [2; 3] và g′(x) = cos x Ta thấy |g′(x)| ≤ k = 0.99 < 1, ∀ ∈ [2; 3] Vậy g có duy nhất điểm bất động trên [2; 3] + Áp dụng thuật toán trên ta thu được bảng kết quả sau 5 lần lặp là: Nhóm 3 10 GVHD: TS Phạm Duy Khánh Bài tập nhóm Đại cương về phương pháp tính n pn = 2 + sin pn−1 1 2.909297427 2 2.230211706 3 2.790350537 4 2.344064353 5 2.715631852 + Để ước lượng sai số tuyệt đối của p5 ta có: |p5 − p| ≤ 0.99 |p5 − p4| = 0.37x102 1 − 0.99 Vậy sai số của p5 là 0.37x102 + Với ε = 10−5 áp dụng (*) ta được: ε(1 − k) 10−5(1 − 0.99) ln ln n ≥ |p1 − p0| = ln k 0.9093 = 1594.27 ln 0.99 Vậy sau 1595 lần lặp thì điểm bất động gần đúng có độ chính xác bằng 10−5 Ví dụ 2: Dùng thuật toán tìm điểm bất động gần đúng của hàm g(x) = (3 − 3x2) 1 trên đoạn [−2.75; −2.5] với p0 = −2.5 và số lần lặp là 5 Đánh 3 giá sai số tuyệt đối p5 và với số lần lặp là bao nhiêu thì điểm bất động gần đúng có độ xác bằng 10−5? Giải + Ta có g ∈ C1[−2.75; −2.5], g(x) ∈ [−2.75; −2.5], ∀x ∈ [−2.75; −2.5]p và g′(x) = 13 3 (3 − 3x2)2 1 Ta thấy |g′(x)| ≤ k = 1 < 1, ∀ ∈ [−2.75; −2.5] 3 Vậy g có duy nhất điểm bất động trên [2; 3] + Áp dụng thuật toán trên ta thu được bảng kết quả sau 5 lần lặp là: n pn = (3 − 3pn−1 2 )31 1 -2.506648967 2 -2.511935838 3 -2.516133787 4 -2.519463421 5 -2.52210204 + Để ước lượng sai số tuyệt đối của p5 ta có: 1 |p5 − p| ≤ 3 1 |p5 − p4| = 1.3x10−3 1− 3 Vậy sai số tuyệt đối của p5 bằng 1.3x10−3 + Với ε = 10−5 áp dụng (*) ta được: ε(1 − k) ln 10−5(1 − 13) ln n ≥ |p1 − p0| = 1 0.665x10−2 = 6.3 ln k ln 3 Nhóm 3 11 GVHD: TS Phạm Duy Khánh Bài tập nhóm Đại cương về phương pháp tính Vậy sau 7 lần lặp thì điểm bất động gần đúng có độ chính xác bằng 10−5 –Phần trên bị trùng với Lâm – Nhận xét: qua hai ví dụ ta thấy được tốc độ hội tụ của hàm g về điểm bất động p là khác nhau, ở ví dụ 1 với hằng số k rất gần 1 thì với số lần lặp rất lớn ta mới thu được điểm bất động với sai số 10−5, tuy nhiên ở ví dụ 2 với hằng số k nhỏ và cùng với sai số là 10−5 thì số lần lặp lại rất ít so với ví dụ 1 Như vậy rõ ràng cách chọn hàm g có liên quan đến sự hội tụ nhanh hay chậm về điểm bất động p Như vậy, liệu có cách chọn hàm g như nào là tối ưu cho bài toán tìm điểm bất động hay không? Một ví dụ minh họa cho dãy lập điểm bất động Xét phương trình 2x3 + 5x2 − 9 = 0 Phương trình này có nghiệm duy nhất trên [1,2] Giả sử nghiệm duy nhất này là a Như đã nói ở phần trên ta sẽ có nhiều cách để đưa việc tìm nghiệm duy nhất của phương trình trên thành bài toán tìm điểm bất động của một hàm số g nào đó Chẳng hạn, Từ phương trình x3 + 5x2 − 9 = 0 ⇒ x = x3 + 5x2 + x − 9 Như vậy, ta đã đưa việc giải phương trình trên về bài toán tìm điểm bất động của hàm g1 với g1(x) = x3 + 5x2 + x − 9 Từ đó, ta cũng lập được các hàm g khác như sau 9 g2(x) = x2 − 5 3 g3(x) = √ x+3 x3 + 5x2 − 9 g4(x) = x − 3x2 + 10x Bảng sau sẽ cho ra kết qủa các phần tử ban đầu của dãy lặp điểm bất động pn = g(pn−1), ∀n ∈ N với p0 = 1.5 Nhận xét 1 Ví dụ trên đã cho ta thấy rằng không phải bất kỳ hàm g nào cũng tạo ra một dãy lặp điểm bất động hội tụ đến nghiệm phương trình đó Ngoài ra, nghiệm của phương trình đã cho chính là 1.20440155 2 Nhận thấy rằng các hàm g3 và g4 chính là những lựa chọn tốt cho sự hội tụ của dãy (pn) Tuy nhiên liệu có một phương pháp nào giúp ta có thể lựa chọn hàm g tốt nhất có thể cho sự hội tụ của dãy (pn) hay không? Nói cách khác, liệu chúng ta có thể tìm được một hàm g sao cho nó tạo ra một dãy lặp điểm bất động hội tụ nhanh chóng đến nghiệm của phương trình Nhóm 3 12 GVHD: TS Phạm Duy Khánh Bài tập nhóm Đại cương về phương pháp tính đã cho hay không? Tuy nhiên câu hỏi trên có thể được trả lời thông qua định lý 2.4 và hệ quả 2.5 Để tìm ra các hàm g sao cho nó tạo ra một dãy lặp điểm bất động hội tụ nhanh thì ta sẽ lấy hàm g thỏa các điều kiện của định lý 2.4 và theo hệ quả 2.5, ta sẽ chọn g sao cho nó có đạo hàm càng nhỏ càng tốt ở gần điểm bất động Quay lại phần ví dụ ban đầu Trước hết, chúng ta hãy cùng xem xét lại chúng một lần nữa dưới góc nhìn của định lý 2.4 và hệ quả 2.5 +) Với g1(x) = x3 + 5x2 + x − 9 trên [1,2] Ta có g1(1) = −2, g(2) = 21 Do đó hàm g1 không đi từ [1,2] vào chính nó Hơn thế nữa g′(x) = 3x2 + 10x + 1 > 1, ∀x ∈ [1, 2] Mặc dù định lý 2.4 không đảm bảo rằng việc chọn hàm g1 như vậy là không thành công, Tuy nhiên, có lẽ ta sẽ không mong đợi gì cho sự hội tụ của dãy lặp điểm bất động với một hàm tăng ngặt thế này 9 +) Với g2(x) = x2 − 5 trên [1, 2] Nhận thấy g2(x) không là hàm số đi từ [1,2] vào chính nó Ta có g′(x) = x3 −18 < −2, ∀x ∈ [1, 2] Nhóm 3 13 GVHD: TS Phạm Duy Khánh Bài tập nhóm Đại cương về phương pháp tính Như vậy, cũng như g1 ta không thể mong đợi sự hội tụ của dãy lặp điểm bất động 3 +) Với g3(x) = x + 5 Ta có g3(x) là 1 hàm đi từ [1, 2] vào [1, 2] Ngoài ra ′ 3 |g3(x)| = 2(x + 5)3/2 < 0.4, ∀x ∈ [1, 2] Do đó theo định lý 2.4 thì dãy lặp điểm bất động sẽ hội tụ Nhận thấy rằng ′ |g3(x)| < 0.4, ∀x ∈ [1, 2] nên theo hệ quả 2.15 thì sự hội tụ này khá nhanh x3 + 5x2 − 9 +) Với g4(x) = x − 3x2 + 10x Hàm này sẽ thỏa mãn định lý 2.4 Đặc biệt, với hàm trên thì sẽ tạo ra dãy có tốc độ hội tụ nhanh hơn rất nhiều so với hàm g3(x) Ta có thể nhìn rõ ở (*) Phân tích sau sẽ cho ta biết lý do vì sao hàm này có thể tạo ra một dãy hội tụ nhanh như thế ***Giả sử ta có phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất là α trên đoạn [a, b] và f ′(x) khác 0 với mọi x thuộc [a,b] Ta cần tìm một hàm g có đạo hàm liên tục thỏa α là điểm bất động của nó sao cho g tạo ra một dãy hội tụ nhanh chóng về α Ta đặt g(x) = x + u(x).f (x) Ta cần chọn u sao cho hàm g tạo ra một dãy lặp điểm bất động hội tụ nhanh chóng Khi đó ta có g′(x) = 1 + u′(x).f (x) + f ′(x).u(x) Nhận thấy g′(α) = 1 + f ′(α).u(α) Do đó ta hoàn toàn có thể chọn u(x) = f′(x) −1 Khi đó g′(α) = 0 Vì g′ liên tục trên [a; b] nên tồn tại một khoảng mở của α và k khá nhỏ sao cho |g’(x)|