Ứng dụng định lý viète giải một số bài toán phổ thông

Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨCKHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN——————————————–QUẢN THỊ DIỄMỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VIÈTEGIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN PHỔ THƠNG Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨCKHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————– QUẢN THỊ DIỄM ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VIÈTE GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP THANH HÓA, NĂM 2023 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————– QUẢN THỊ DIỄM ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VIÈTE GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành đào tạo: Đại học Sư phạm Toán học Mã ngành: 7140209 Người hướng dẫn khoa học: ThS Nguyễn Hữu Học THANH HÓA, NĂM 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố Người cam đoan Quản Thị Diễm i LỜI CẢM ƠN Khoá luận được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Hồng Đức dưới sự hướng dẫn của thầy Th.S Nguyễn Hữu Học Nhân đây em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã tận tình chỉ dẫn và truyền dạy cho em những kinh nghiệm quý báu trong học tập và trong nghiên cứu trong suốt thời gian vừa qua Đồng thời em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Nhà trường, Khoa và các thầy cô giáo đã trực tiếp giảng dạy em trong suốt quá trình em học tập và rèn luyện tại trường Đại học Hồng Đức Cuối cùng là lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên động viên, khích lệ và tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp em có thể hoàn thành tốt khóa luận của mình Thanh Hóa, tháng 4 năm 2023 Quản Thị Diễm ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Chữ viết tắt và ký hiệu iv Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Nhà toán học Fran¸cois Viète 3 1.2 Định lý Viète 3 1.2.1 Định lý Viète đối với phương trình bậc 2 3 1.2.2 Định lý Viète đối với phương trình bậc cao 4 1.2.3 Các hệ quả 5 1.3 Định lí Viète đảo 6 1.4 Chứng minh định lí Viète bằng phương pháp quy nạp toán học 8 1.5 Bất đẳng thức AM-GM 10 Chương 2 Ứng dụng định lý Viète giải một số bài toán phổ thông 11 2.1 Ứng dụng định lý Viète giải các bài toán liên quan biểu thức không đối xứng của các nghiệm 11 2.1.1 Dạng đa thức, phân thức 11 2.1.2 Dạng biểu thức chứa căn 22 2.1.3 Dạng biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 25 2.2 Ứng dụng định lí Viète trong các bài toán liên quan hàm số 29 2.3 Một số ứng dụng khác của định lí Viète 41 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 iii CHỮ VIẾT TẮT, KÝ HIỆU N: Tập hợp các số tự nhiên Z: Tập hợp các số nguyên R: Tập hợp các số thực THCS: Trung học cơ sở THPT: Trung học phổ thông iv MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết của đề tài Định lý Viète là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông Từ cấp THCS các em học sinh đã được làm quen với định lý này và sử dụng trong suốt quá trình học bậc phổ thông Những bài toán liên quan như giải các bài toán liên quan đến việc phải so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực; tìm điều kiện để một hàm số đơn điệu trên khoảng (đoạn); tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng (đoạn); là các là bài toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10 THPT, các kỳ thi học sinh giỏi các cấp cũng như trong kỳ thi THPT Quốc gia những năm gần đây Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng Đã gây khó khăn cho học sinh khi giải các bài toán liên quan đến định lý Viète Vì thế nâng cao kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến vận dụng định lý Viète để giải các bài toán là vấn đề luôn được nhiều người quan tâm Từ những thực tế đó, chúng tôi lựa chọn “Ứng dụng định lý Viète để giải một số bài toán phổ thông” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình 2 Mục tiêu nghiên cứu - Định lý Viète và các kiến thức liên quan giải các bài toán - Ứng dụng định lý Viète vào giải quyết các bài toán trong các kỳ thi ở bậc THCS, THPT 3 Đối tượng nghiên cứu - Định lý Viète - Các dạng toán liên quan đến định lý Viète 4 Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu việc vận dụng định lí Viete để giải các bài toán ở bậc THCS và THPT 5 Phương pháp nghiên cứu 1 Đọc tài liệu, seminar nhóm dưới sự hướng dẫn của người hướng dẫn khoa học Sử dụng các phương pháp, kỹ thuật, kết quả của toán sơ cấp để giải quyết các bài toán 6 Cấu trúc của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của khóa luận gồm hai chương ˆ Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày về các phiên bản định lí Viète, các hệ quả và phương pháp chứng minh thường được sử dụng trong chương trình toán phổ thông Một số các kiến thức có liên quan được dùng về sau ˆ Chương 2 Ứng dụng định lý Viète để giải một số bài toán phổ thông Chương này là nội dung chính của khóa luận Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại các bài toán liên quan đến biểu thức không đối xứng của các nghiệm, các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số và một số bài toán liên quan đến phương trình bậc cao được giải bằng cách vận dụng định lí Viète Các bài toán được sử dụng trong chương 2, ngoài các bài toán được chúng tôi trích dẫn từ các kỳ thi, một số bài do chúng tôi tự phát triển từ các bài toán quen thuộc, chúng tôi có sử dụng một số bài tập được chia sẻ trên các diễn đàn toán học, các hội nhóm toán, vì nhiều lí do không thể tìm được tác giả chính thức Qua đây, tôi xin cảm ơn các tác giả đã chia sẻ những bài toán này, giúp chúng tôi hoàn thiện khoá luận của mình 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhà toán học Franc¸ois Viète Fran¸cois Viète là một trong những nhà toán học vĩ đại của thế kỷ 16 Viète sinh ra tại Fontenay-le-Comte ở miền nam nước Pháp vào năm 1540 Ông là một luật sư về thương mại, và từng là ủy viên hội đồng bí mật cho cả Henry III và Henry IV của Pháp, nhưng dành phần lớn thời gian cho toán học và thiên văn học Tác phẩm chính của ông được xuất bản trong “Giới thiệu về nghệ thuật phân tích” (Introduction to the Art of Analysis), còn được gọi là “Đại số mới” (New Algebra), vào năm 1591 Ý tưởng chính của Viète là biến đại số thành một công cụ toán học mạnh mẽ và ông là người đầu tiên sử dụng các chữ cái làm tham số trong phương trình và đồng thời ứng dụng chúng trong việc biến đổi và giải phương trình Trong số các chủ đề khác, ông đã nghiên cứu các phương trình đồng nhất, và được các thế hệ tương lai biết đến với tư cách là người đã xây dựng và chứng minh công thức của Viète thể hiện mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình Ông còn là một chuyên gia về giải các mật mã trong thế chiến giữa Pháp và Tây Ban Nha 1.2 Định lý Viète Nội dung phần này được viết trên cơ sở tham khảo tài liệu [1], [8] 1.2.1 Định lý Viète đối với phương trình bậc 2 Định lý 1.2.1 Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a̸ = 0) thì  x b 1 + x2 = − , ca  x1x2 = a 3 Chứng minh Giả sử: x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1.1) ax2 + bx + c = 0 (a̸ = 0) Khi đó, phương trình bậc hai (1.1) tương đương với phương trình y = a(x − x1)(x − x2) Như vậy, ta có đẳng thức: ax2 + bx + c = ax2 − a(x1 + x2)x + ax1x2 ∀x Đồng nhất hệ số hai vế, ta thu được:  x b 1 + x2 = − ,  ⇔ ca  b = −a(x1 + x2)  x1.x2 = a  c = ax1x2 Đến đây, một câu hỏi được đặt ra: Liệu rằng có hay không một Định lý Viète tổng quát trên trường số thực cho một đa thức có bậc n? Câu trả lời là có và xin được trình bày tiếp ở phần dưới đây 1.2.2 Định lý Viète đối với phương trình bậc cao Xét phương trình bậc n theo ẩn x tổng quát như sau: (1.2) anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0 = 0, (an̸ = 0) Giả sử: xi, i = 1, n là n nghiệm của phương trình (1.2) Khi đó, phương trình bậc n tương đương với phương trình: y = an (x − x1) (x − x2) (x − xn) Như vậy, ta có: anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0 = an (x − x1) (x − x2) (x − xn) Điều này tương đương với ⇔ anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0 4