Ứng dụng định lý viète giải một số bài toán phổ thông

Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨCKHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN——————————————–QUẢN THỊ DIỄMỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VIÈTEGIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN PHỔ THƠNG Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨCKHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊ

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨCKHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

——————————————–

QUẢN THỊ DIỄM

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VIÈTE

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Ngành đào tạo: Đại học Sư phạm Toán học

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng lặp với các khóa luận, luậnvăn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố

Người cam đoan

Quản Thị Diễm

LỜI CẢM ƠNKhoá luận được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Hồng Đứcdưới sự hướng dẫn của thầy Th.S Nguyễn Hữu Học Nhân đây em xin đượcbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã tận tình chỉ dẫn và truyền dạycho em những kinh nghiệm quý báu trong học tập và trong nghiên cứu trongsuốt thời gian vừa qua.

Đồng thời em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Nhà trường, Khoa vàcác thầy cô giáo đã trực tiếp giảng dạy em trong suốt quá trình em học tập vàrèn luyện tại trường Đại học Hồng Đức

Cuối cùng là lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên độngviên, khích lệ và tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp em có thể hoàn thành tốt khóaluận của mình

Thanh Hóa, tháng 4 năm 2023

Quản Thị Diễm

MỤC LỤC

1.1 Nhà toán học Fran¸cois Viète 3

1.2 Định lý Viète 3

1.2.1 Định lý Viète đối với phương trình bậc 2 3

1.2.2 Định lý Viète đối với phương trình bậc cao 4

1.2.3 Các hệ quả 5

1.3 Định lí Viète đảo 6

1.4 Chứng minh định lí Viète bằng phương pháp quy nạp toán học 8 1.5 Bất đẳng thức AM-GM 10

Chương 2 Ứng dụng định lý Viète giải một số bài toán phổ thông 11 2.1 Ứng dụng định lý Viète giải các bài toán liên quan biểu thức không đối xứng của các nghiệm 11

2.1.1 Dạng đa thức, phân thức 11

2.1.2 Dạng biểu thức chứa căn 22

2.1.3 Dạng biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 25

2.2 Ứng dụng định lí Viète trong các bài toán liên quan hàm số 29

2.3 Một số ứng dụng khác của định lí Viète 41

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Định lý Viète là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình toánhọc phổ thông Từ cấp THCS các em học sinh đã được làm quen với định lý này

và sử dụng trong suốt quá trình học bậc phổ thông Những bài toán liên quannhư giải các bài toán liên quan đến việc phải so sánh nghiệm của phương trìnhbậc hai với một số thực; tìm điều kiện để một hàm số đơn điệu trên khoảng(đoạn); tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng (đoạn); làcác là bài toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10 THPT, các

kỳ thi học sinh giỏi các cấp cũng như trong kỳ thi THPT Quốc gia những nămgần đây

Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lạirất ít, lượng bài tập chưa đa dạng Đã gây khó khăn cho học sinh khi giải cácbài toán liên quan đến định lý Viète Vì thế nâng cao kỹ năng giải quyết các bàitoán liên quan đến vận dụng định lý Viète để giải các bài toán là vấn đề luônđược nhiều người quan tâm

Từ những thực tế đó, chúng tôi lựa chọn

“Ứng dụng định lý Viète để giải một số bài toán phổ thông”

làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Định lý Viète và các kiến thức liên quan giải các bài toán

- Ứng dụng định lý Viète vào giải quyết các bài toán trong các kỳ thi ởbậc THCS, THPT

3 Đối tượng nghiên cứu

Đọc tài liệu, seminar nhóm dưới sự hướng dẫn của người hướng dẫn khoa học.

Sử dụng các phương pháp, kỹ thuật, kết quả của toán sơ cấp để giải quyết cácbài toán

6 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính củakhóa luận gồm hai chương

ˆ Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày vềcác phiên bản định lí Viète, các hệ quả và phương pháp chứng minh thườngđược sử dụng trong chương trình toán phổ thông Một số các kiến thức cóliên quan được dùng về sau

ˆ Chương 2 Ứng dụng định lý Viète để giải một số bài toán phổ thông.Chương này là nội dung chính của khóa luận Trong chương này, chúng tôi

hệ thống lại các bài toán liên quan đến biểu thức không đối xứng của cácnghiệm, các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số và một số bài toán liênquan đến phương trình bậc cao được giải bằng cách vận dụng định lí Viète.Các bài toán được sử dụng trong chương 2, ngoài các bài toán được chúngtôi trích dẫn từ các kỳ thi, một số bài do chúng tôi tự phát triển từ các bài toánquen thuộc, chúng tôi có sử dụng một số bài tập được chia sẻ trên các diễn đàntoán học, các hội nhóm toán, vì nhiều lí do không thể tìm được tác giả chínhthức Qua đây, tôi xin cảm ơn các tác giả đã chia sẻ những bài toán này, giúpchúng tôi hoàn thiện khoá luận của mình

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Nhà toán học Fran¸ cois Viète

Fran¸cois Viète là một trong những nhà toán học vĩ đại của thế kỷ 16.Viète sinh ra tại Fontenay-le-Comte ở miền nam nước Pháp vào năm 1540 Ông

là một luật sư về thương mại, và từng là ủy viên hội đồng bí mật cho cả HenryIII và Henry IV của Pháp, nhưng dành phần lớn thời gian cho toán học và thiênvăn học

Tác phẩm chính của ông được xuất bản trong “Giới thiệu về nghệ thuậtphân tích” (Introduction to the Art of Analysis), còn được gọi là “Đại số mới”(New Algebra), vào năm 1591 Ý tưởng chính của Viète là biến đại số thành mộtcông cụ toán học mạnh mẽ và ông là người đầu tiên sử dụng các chữ cái làmtham số trong phương trình và đồng thời ứng dụng chúng trong việc biến đổi vàgiải phương trình

Trong số các chủ đề khác, ông đã nghiên cứu các phương trình đồng nhất,

và được các thế hệ tương lai biết đến với tư cách là người đã xây dựng và chứngminh công thức của Viète thể hiện mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số củaphương trình

Ông còn là một chuyên gia về giải các mật mã trong thế chiến giữa Pháp

và Tây Ban Nha

1.2 Định lý Viète

Nội dung phần này được viết trên cơ sở tham khảo tài liệu [1], [8]

1.2.1 Định lý Viète đối với phương trình bậc 2

Định lý 1.2.1 Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a ̸= 0) thì

Chứng minh Giả sử: x1, x2 là hai nghiệm của phương trình

Đến đây, một câu hỏi được đặt ra:

Liệu rằng có hay không một Định lý Viète tổng quát trên trường số thực cho

một đa thức có bậc n?Câu trả lời là có và xin được trình bày tiếp ở phần dưới đây

1.2.2 Định lý Viète đối với phương trình bậc cao

Xét phương trình bậc n theo ẩn x tổng quát như sau:

anxn + an−1xn−1+ + a1x + a0 = 0, (an ̸= 0) (1.2)

Giả sử: xi, i = 1, n là n nghiệm của phương trình (1.2)

Khi đó, phương trình bậc n tương đương với phương trình:

1≤i<j≤n

xixj = x1x2+ x1x3+ x2x3+ + xn−1xn = an−2

an .

là hai nghiệm của(1.3).

Chứng minh Theo định lý Viète mở rộng, ta suy ra: Nếu xi, i = 1, n là nghiệmcủa (1.2), thì:

X

1≤i<j≤n

xixj = x1x2+ x1x3+ x2x3+ + xn−1xn = an−2

an .

Sn−1 = (−1)n−1· a1

an

Sn = (−1)n· a0

a n

Vậy phương trình (1.4) tương đương với:

1.4 Chứng minh định lí Viète bằng phương pháp

quy nạp toán học

Ngoài hướng chứng minh Định lí Viète mở rộng bằng các sử dụng định

lí cơ bản của đại số như đã trình bày ở trên Người ta còn chứng minh định

lí Viète (thuận và đảo) bằng phương pháp quy nạp toán học Trong mục này,chúng tôi trình bày ý tưởng này Trước hết ta xét cho trường hợp bậc hai và bậcba

Định lý 1.4.1 ([8]) Cho đa thức bậc hai

+x2xn+ x3x4+ · · · + xn−1xn) xn−2+ · · · + (−1)nx1x2x3· · · xn

=xn−1(x − x1) −x2xn−2(x − x1) + x3xn−2(x − x1) + · · · + xnxn−2(x − x1)+x 2 x 3 xn−3(x − x 1 ) + x 2 x 4 xn−3(x − x 1 ) + · · · + x 2 x n xn−3(x − x 1 )

GM là viết tắt của Geometric mean) Do nhà toán học người Pháp AugustinLouis Cauchy (1789 - 1857), người đã đưa ra một cách chứng minh đặc sắc nênnhiều người hay gọi là bất đẳng thức Cauchy

Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị.Đồng thời, nó cũng có nhiều cách viết, cũng như có nhiều cách chứng minh bấtđẳng thức này Trong khoá luận này, ở một số bài tập có sử dụng bất đẳng thứcnày nên chúng tôi nhắc lại bất đẳng thức này dưới dạng thường gặp trong cáctài liệu về bất đẳng thức dành cho học sinh phổ thông

Định lý 1.5.1 (Bất đẳng thức AM-GM) Với n số không âm: a1, a2, , an(n ≥ 2) ta có:

a1+ a2+ + an

n ≥ √ n

a1· a2 an

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1= a2 = = an

Chứng minh bất đẳng thức này có thể tham khảo ở nhiều tài liệu về bấtđẳng thức, chẳng hạn [2]

Chương 2 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VIÈTE GIẢI

MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG

2.1 Ứng dụng định lý Viète giải các bài toán liên

quan biểu thức không đối xứng của các nghiệm

Ta nhắc lại rằng một biểu thức của hai biến x và y được gọi là đối xứngnếu giá trị của biểu thức không thay đổi khi ta thay đổi vai trò của x và y chonhau Trong khoá luận này các biểu thức không có tính chất nêu trên, chúng tôi

sẽ gọi là biểu thức không đối xứng

Các bài toán ứng dụng định lí Viète để giải các bài toán có chứa biểuthức đối xứng nghiệm được gặp nhiều trong các kỳ thi vào lớp 10 THPT, các

kỳ thi học sinh giỏi lớp 9, lớp 10

Phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến biểu thức đối xứngcủa các nghiệm đã được đề cập đến trong nhiều tài liệu viết về toán phổ thông(có thể xem trong [1])

Trong những năm gần đây, các bài toán có chứa các biểu thức không đốixứng xuất hiện ngày càng nhiều Trong mục này, chúng tôi xét một số bài toánchứa biểu thức không đối xứng nghiệm và trình bày cách xử lí khi gặp các dạngbài tập này

Để xử lí các bài toán có chứa các biểu thức không đối xứng của cácnghiệm, ta thường sử dụng phương pháp thế, phương pháp hạ bậc hoặc kết hợpnhiều phương pháp này với các kỹ thuật phân tích thành nhân tử, sau đó sửdụng định lí Viète để tìm ra kết quả

Ta xét một số bài toán cụ thể dưới đây

2.1.1 Dạng đa thức, phân thức

Bài toán 2.1 Cho phương trình x2− 6x + m = 0 Tính giá trị của m, biết rằngphương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1− x2 = 4

Giải Phương trình đã cho có hai nghiệm khi

Bài toán 2.2 Cho phương trìnhx2− 2x + m − 3 = 0 (m là tham số) Tìm m đểphương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 = 3x2

Bài toán 2.3 Cho phương trình: x2− x + 3m − 11 = 0 (với m là tham số) Tìm

m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho

Thay x1 = −1, x2 = 2 vào x1x2= 3m − 11 ta được

(−1) · 2 = 3m − 11 ⇔ 3m = 9 ⇔ m = 3 ( thoả mãn điều kiện).

hệ thức Viète Mục đích là để đưa về dạng biểu thức đối xứng

Ta xét thêm bài toán sau với cách làm tương tự.

Bài toán 2.5 Cho phương trìnhx2− 2mx + 4m − 4 = 0 (m là tham số) Tìm giátrị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện

Khi biểu thức không phụ thuộc vào tham số, ta có thể sử dụng phươngpháp thế để tìm các nghiệm trước, như bài toán sau đây

Bài toán 2.6 Cho phương trình x2− 2mx − 9 = 0, m là tham số Tìm tất cảcác giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

x31+ 9x2 = 0.

(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bắc Giang 2022-2023)

9 Thay vào phương trình thứ hai của hệ thức Viète, ta có:

x1· −x

3 1

Bài toán 2.7 Cho phương trìnhx2+ 2x + m − 5 = 0 (m là tham số) Tìm m đềphương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện

Bài toán 2.8 Cho phương trình: x2− 2(m + 1)x + 2m = 0 (m là tham số) Giả

sử x1, x2 là nghiệm của phương trình trên Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x21+ 2(m + 1)x 2 + 4x 1 x 2

(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Cao Bằng 2022-2023)

Nhiều bài toán còn đòi hỏi chúng ta phải biến đổi khéo léo và kết hợpnhiều phương pháp với nhau để giải, chẳng hạn như bài toán dưới đây.

Bài toán 2.9 Cho phương trìnhx2− 2(m + 1)x − m2− 3 = 0, vớim là tham số.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

2 + 7

⇒ Phương trình (2.1) vô nghiệm.

2.1.2 Dạng biểu thức chứa căn

Đối với các bài toán có chứa căn thức, ta đặt điều kiện để căn thức cónghĩa, sau đó sử dụng các phương pháp đã trình bày ở trên cùng với các phươngpháp khử căn để tìm lời giải

Bài toán 2.11 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

Giải Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2

⇔ ∆′> 0 ⇔ 4(m − 1)2+ 12 > 0 (luôn đúng với mọi m).

Vì x2 là nghiệm của phương trình (∗) nên:

x2

Giải Ta có: ∆ = (−5)2− 4.1.(m − 1) = 29 − 4m.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 ⇔ m < 29

4 Theo hệ thức Viète ta có:

Thay 4x21 = x 2 vào x 1 + x 2 = 5 suy ra:

2.1.3 Dạng biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tương tự như trường hợp chứa căn thức, chúng ta kết hợp các phươngpháp trên với các phương pháp khử dấu giá trị tuyệt đối để tìm lời giải

Bài toán 2.15 Cho phương trình x2 + (m − 1)x − m2− 2 = 0 (x là ẩn, m làtham số) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệmx 1 , x 2 trái dấu, biết

Bài toán 2.16 Cho prabol (P ) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = −2mx − 2m.Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt cóhoành độ x1 và x2 thỏa mãn |x1| + |x2| = 2√3.

(Trích đề tuyển sinh vào 10 chuyên Cần Thơ 2021 - 2022)Giải Hoành độ giao điểm của (d) và (P ) là nghiệm của phương trình:

x2 = −2mx − 2m ⇔ x2+ 2mx + 2m = 0. (2.4)

Ta có: ∆′ = m2− 2m.

(d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 và x2 ⇔ phương trình (2.4)

có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

Vậy với m = −1 thì (d) cắt (P ) tại hai điểm x1, x2 thỏa mãn đề bài ■

Bài toán 2.17 Cho phương trình: x2− 2mx − 3 = 0 (x là ẩn, m là tham số).Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thỏa mãn

Dấu đẳng thức xảy ra khi

(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Hải Dương 2019-2020)Giải Xét phương trình x2− (2m + 1)x − 3 = 0 có

2.2 Ứng dụng định lí Viète trong các bài toán liên

quan hàm số

Đối với dạng bài toán liên quan đến hàm số có thể ứng dụng định lí Viète,thường là các bài toán liên quan đến sự tương giao của các đồ thị hàm số Khigiải các bài tập dạng này, phương pháp chung thường thực hiện theo các bướcnhư sau:

− Bước 1 : Viết phương trình hoành độ giao điểm

− Bước 2 : Tìm điều kiện để có các giao điểm

− Bước 3 : Biến đổi điều kiện đề bài dưới dạng tổng hoặc tích

−Bước 4 : Áp dụng định lý Viète vào điều kiện vừa biến đổi Tìm ra giá trị thỏamãn điều kiện đề bài So sánh với điều kiện và kết luận

Các bài tập dạng này thường rất đa dạng và liên quan đến rất nhiều kiếnthức trải dài suốt chương trình toán học phổ thông Vì vậy, để làm tốt các dạngtoán này, ngoài kỹ năng vận dụng định lí Viète còn cần rất nhiều kỹ năng liênquan đến các phương pháp xử lí các bài toán về đồ thị hàm số Sau đây là một

số bài toán thường gặp và cách giải quyết các bài toán đó

Bài toán 2.19 Cho parabol (P ) : y = −x2 và đường thẳng (d) đi qua điểm

I(0; −1) và có hệ số gốc là k Gọi a và B là các giao điểm của (P ) và (d) Giả sử

A, B lần lượt có hoành độ là x1, x2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x31− x32

Giải Đường thẳng (d) có phương trình: y = kx − 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P ):

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x31− x32 là 2, đạt được khi k = 0 ■

Bài toán 2.20 Tìm tất cả các giá trị thực m để đường thẳng y = −x + m

cắt đồ thị hàm số y = 1

3x

3 + (2 − m)x2+ 3(2m − 3)x + m tại ba điểm phân biệt

A(0; m), B, C sao cho đường thẳng OA là phân giác của góc BOC

Giải Phương trình hoành độ giao điểm:

m < 18 − 8

√ 3 3

điều này tương đương với

Bài toán 2.21 Cho hàm sốy = x3+ (3 − 2m)x2+ (9m − 31)x + 27 − 7m có đồ thị

là (C) Biết rằng ứng với giá trị nguyện m = m1 thì hàm số (C) cắt trục hoànhtại 3 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng có các phần tử đều nguyêndương và ứng với giá trị nguyên m = m 2 thì hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm

có hoành độ lập thành một cấp số nhân có các phần tử đều nguyên dương Tìmgiá trị m1, m2?

Giải Từ hàm số: y = x3+ (3 − 2m)x2+ (9m − 31)x + 27 − 7m

Ta nhận thấy x = 1 luôn luôn là một nghiệm của phương trình y = 0

Bằng phép chia Hoocne ta có: