112 PhƠn tẵch nhƠn tỷ cĂc bián th cừa a thực Chebyshev loÔi mởt,loÔi hai 14 Trang 4 3.2 a thực Chebyshev loÔi nôm v loÔi sĂu.. Ngo i h mtrüc giao, Chebyshev cán nghi¶n cựu và bĐt ng thự
Mởt số tẵnh chĐt cừa a thực Chebyshev
Phữỡng trẳnh vi phƠn Chebyshev v cĂc a thực cừa nõ
ành nghắa 1.1 (B i toĂn giĂ trà biản Sturm-Liouville) Mởt phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng (ODE) xĂc ành trản khoÊng a ≤ x ≤ b cõ dÔng tờng quĂt d dx p(x) dy dx
(1.2) ữủc gồi l b i toĂn giĂ trà biản Sturm-Liouville ho°c hằ Sturm-Liouville vợi p(x) >
0, q(x) v h m trồng số r(x) > 0 l cĂc h m  cho, a 1 , a 2 , b 1 , b 2 l cĂc hơng số  cho; v giĂ trà °c trững λ l tham số khổng xĂc ành.
B i toĂn giĂ trà biản (1.1) thứa nhên mởt số trữớng hủp °c biằt phử thuởc v o khoÊng xĂc ành, h m số  cho v giĂ trà °c trững Mội trữớng hủp °c biằt n y dăn án mởt ODE cử thº vợi cĂc h m trỹc giao l nghiằm cừa nõ Trong số õ cõ c¡c h m Bessel, a thùc Legendre, a thùc Hermite, a thùc Laguerre v a thùc Chebyshev Chữỡng n y s³ thÊo luên vã a thực Chebyshev. ối vợi cĂc giĂ trà a = −1 v b = 1 , cĂc h m  cho p(x) = √ 1 − x 2 , q(x) = 0 , r(x) = 1 √
1 − x 2 , v gi¡ trà °c tr÷ng λ = n 2 , ODE (1.1) trð th nh d dx p1 − x 2 dy dx
1 − x 2 y = 0 (1.3) ành nghắa 1.2 (Phữỡng trẳnh vi phƠn Chebyshev) Mởt ODE (1.3), hay ữủc biºu diạn dữợi dÔng khĂc l
1 − x 2 d 2 y dx 2 − x dy dx + n 2 y = 0 (1.4) vợi n ∈ N0 cho |x| < 1 , ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn Chebyshev Nghiằm cho ODE n y ữủc gồi l h m Chebyshev vợi cĂc iºm ký dà tÔi x = −1, 1, ∞
Hẳnh 1.1: ỗ thà cừa a thực Chebyshev T n (x) cho n = 0, 1, 2, , 5. ành nghắa 1.3 (a thực Chebyshev) Cổng thực tờng quĂt
T n (x) = cos(n cos −1 x) ho°c T n (x)(cos θ) = cos(nθ) vợi x = cos(θ) (1.5) ữủc gồi l a thực Chebyshev ho°c a thực Chebyshev loÔi mởt Ơy l cĂc nghiằm cừa ODE (1.4) cho số nguyản khổng Ơm n, n ∈ N0 (Xem Hẳnh 1.1).
Sỷ dửng khai triºn chuội y(x) = P ∞ n=0 a n x n , mởt nghiằm tờng quĂt cừa ODE (1.4) ữủc cho bði y(x) = b 1 T n (x) + b 2 p
/ sin cos −1 x l c¡c a thùc Chebyshev lo¤i hai.
Tẵnh chĐt cừa a thực Chebyshev
Tẵnh chĐt 1 (Cổng thực Rodrigues [4]) CĂc a thực Chebyshev T n (x)cõ thº ữủc biºu diạn dữợi dÔng cổng thực Rodrigues theo Ôo h m
Tẵnh chĐt 2 (H m sinh [4]) H m sinh bði cĂc a thực Chebyshev T n (x) l
Chùng minh °t x = cosθ , ta câ
Tứ õ, ta  chựng minh ữủc cổng thực h m sinh cho cĂc a thực Chebyshev. Tẵnh chĐt 3 (H m chđn, l´ [4]) Dỹa trản bêc cừa chúng, cĂc a thực Chebyshev
T n (x) thứa nhên hai khÊ nông l h m chđn ho°c h m l´:
Vợi n chđn thẳ T n (x) l cĂc h m chđn;
Tẵnh chĐt 4 (Mối quan hằ ằ quy [4]) Mởt a thực Chebyshev T n (x) tÔi mởt iºm cử thº cõ thº ữủc biºu diạn dữợi dÔng cĂc a thực Chebyshev lƠn cên cừa nõ tÔi cũng mởt iºm:
Ta gồi (1.9) l mối quan hằ ằ quy ba số hÔng vẳ cổng thực tÔo th nh mối quan hằ giỳa ba số hÔng cừa a thực Chebyshev liản tiáp.
Chựng minh Tứ ành nghắa cừa a thực Chebyshev, ta cõ T n (cosθ) = cos (nθ)
T n+1 (x) = T n+1 (cos θ) = cos (n + 1) θ = cos (nθ) cos θ − sin (nθ) sin θ v
T n−1 (x) = T n−1 (cos θ) = cos (n − 1) θ = cos (nθ) cos θ + sin (nθ) sin θ.
Tiáp theo, cởng hai biºu thực trản vá theo vá, ta ữủc
Cuối cũng, ta ữủc cổng thực ằ quy
Mối quan hằ ằ quy n y cụng cõ thº ữủc suy ra tứ h m sinh ối vợi a thực Chebyshev (Tẵnh chĐt 2) bơng cĂch lĐy Ôo h m hai lƯn (1.8) theo z v l m cho cĂc hằ số cừa z n bơng nhau trản cÊ hai vá cừa phữỡng trẳnh, ta s³ thu ữủc kát qu£ mong muèn t÷ìng ùng.
Tẵnh chĐt 5 (Tẵnh trỹc giao [4]) CĂc a thực Chebyshev T n (x)tÔo th nh mởt têp trỹc giao Ưy ừ trản oÔn −1 ≤ x ≤ 1 vợi h m trồng số 1/ √ 1 − x 2 iãu n y cõ nghắa l
Sỷ dửng tẵnh chĐt trỹc giao n y, mởt h m liản tửc tứng phƯn trản oÔn −1 ≤ x ≤ 1 cõ thº ữủc biºu diạn dữợi dÔng cĂc a thực Chebyshev
1 2 f (x − ) + f(x + ) tÔi cĂc iºm khổng liản tửc (1.11) trong â
Tẵnh chĐt 6 (ành lỵ Parseval [4]) ỗng nhĐt thực Parseval liản quan án khai triºn f(x) = P∞ n=0 C n T n (x) vợi cĂc a thực Chebyshev T n (x) ữủc cho bði
Chựng minh Trữợc tiản, bơng cĂch lĐy bẳnh phữỡng cừa cÊ hai vá cừa khai triºn f(x) =
Sau õ, ta nhƠn (1.14) vợi h m cõ trồng số 1/ √ 1 − x 2 v tẵch phƠn nõ theo bián x tứ −∞ th nh ∞ º ữủc
Sỷ dửng Tẵnh chĐt 5, chúng ta cõ thº viát (1.15) lÔi nhữ sau
C n 2 , tứ õ ta cõ ành lỵ Parseval cho a thực Chebyshev.
Mởt ựng dửng
a thực Chebyshev õng mởt vai trỏ quan trồng trong b i toĂn xĐp x¿ h m, xĐp x¿ tẵch phƠn v nởi suy a thực ối vợi mởt h m tuƯn ho n f (x) trản mởt khoÊng cử thº, mởt chuội Fourier ữu viằt hỡn trong viằc xĐp x¿ nõ vợi sai số tữỡng ối nhọ. Tuy nhiản trong cĂc ựng dửng ta thữớng g°p cĂc h m khổng tuƯn ho n ch¿ ữủc xĂc ành trong mởt khoÊng giợi hÔn CĂc a thực Chebyshev cõ õng gõp Ăng kº cho nhỳng trữớng hủp n y Bơng cĂch xĐp x¿ h m f(x) vợi a thực Chebyshev
T n (x) chúng ta thu ữủc h m nởi suy P N (x) sau Ơy: f (x) ≈ P N (x) =
Ta phÊi chồn cĂc hằ số C n sao cho chuân ∥f(x) − P N (x)∥ 2 l nhọ nhĐt Bơng cĂch tẳm kiám cĂc giĂ trà cỹc trà (trong trữớng hủp n y l cĂc giĂ trà cỹc tiºu) cừa chuân bẳnh phữỡng Euclide ta thu ữủc cĂc hằ số C n nhữ ð (1.12)
Hẳnh 1.2: ỗ thà cừa a thực bêc bÊy y = f(x) = x 7 − 14x 5 + 49x 3 − 36x ữủc xĐp x¿ bơng cĂc h m nởi suy tữỡng ựng vợi cĂc a thực Chebyshev vợi N = 7 v mởt chuội Fourier vợi N = 20
Ta quan sĂt thĐy rơng ối vợi a thực bêc N , ph²p tẵnh gƯn úng Chebyshev vợi N số hÔng cung cĐp ph²p nởi suy chẵnh xĂc trong khi cõ thº cƯn nhiãu số hÔng hỡn trong ph²p tẵnh gƯn úng chuội Fourier º cõ ở chẵnh xĂc ành tẵnh tữỡng ữỡng H m nởi suy bêc N sỷ dửng a thực Chebyshev cung cĐp ph²p tẵnh gƯn úng cho bĐt ký a thực bêc N n o vợi sai số bơng khổng XĐp x¿ mởt a thực bơng cĂch sỷ dửng chuội Fourier yảu cƯu nhiãu số hÔng hỡn º Ôt ữủc ở chẵnh xĂc cõ thº so sĂnh vã m°t chĐt lữủng Hẳnh 1.2 minh hồa vẵ dử cho a thực bêc bÊy y = f(x) = x 7 − 14x 5 + 49x 3 − 36x khi nõ ữủc xĐp x¿ bði a thực Chebyshev v chuội Fourier ối vợi trữớng hủp thự nhĐt, lĐy N = 7 trong h m nởi suy P N (x) s³ mang lÔi mởt ph²p nởi suy chẵnh xĂc ối vợi trữớng hủp thự hai, a thực cõ thº ữủc nởi suy vợi mởt lội tữỡng ối nhọ những cõ thº nhẳn thĐy bơng cĂch lĐy ẵt nhĐt N = 10 ối vợi cĂc h m khổng phÊi a thực, ta quan sĂt thĐy rơng h m nởi suy sỷ dửng chuội Fourier hởi tử nhanh hỡn h m nởi suy sỷ dửng a thực Chebyshev Hẳnh 1.2 minh hồa mởt vẵ dử khĂc vã h m bêc thang (Heaviside) ữủc xĐp x¿ bơng a thực Chebyshev v chuội Fourier oÔn −1 ≤ x ≤ 1 Ta cƯn tối a N = 20 tờng riảng cho h m thự nhĐt trong khi nõ ừ º bao gỗm lản án N = 10 º cĂi sau Ôt ữủc ở chẵnh xĂc tữỡng ữỡng vã chĐt Lữu ỵ rơng ối vợi trữớng hủp cử thº n y, h m bữợc  chồn l số l´ v cĂc tẵch phƠn trong (1.12) cụng vêy vợi n l số chđn Do õ, cĂc hằ số C n = 0 vợi n l số chđn.
Hẳnh 1.3: Mởt h m bữợc ữủc xĐp x¿ bơng cĂc h m nởi suy tữỡng ựng vợi cĂc a thực Chebyshev vợi
N = 20 v mởt chuội Fourier vợi N = 10 ối vợi cĂc h m khổng phÊi l a thực, cƯn cõ nhiãu số hÔng hỡn trong h m nởi suy º cĂc a thực Chebyshev Ôt ữủc ở chẵnh xĂc ành tẵnh tữỡng tỹ vợi h m sỷ dửng chuội Fourier. iãu n y cõ nghắa l m°c dũ chúng ta lĐy N = 20 cho h m nởi suy, những ch¿ cõ 10 số hÔng khĂc 0 õng gõp v o ph²p tẵnh gƯn úng, tực l , ch¿ cĂc số hÔng l´ cừa a thực Chebyshev ối vợi cÊ hai trữớng hủp, ta quan sĂt thĐy sỹ xuĐt hiằn cừa hiằn tữủng Gibbs.
Hiằn tữủng Gibbs l mởt sỹ kiằn trong õ mởt bữợc nhÊy ho°c mởt ở lằch xÊy ra gƯn cĂc iºm khổng liản tửc cừa mởt oÔn h m liản tửc khi h m xĐp x¿ bơng chuéi Fourier ho°c chuéi h m kh¡c.
Kát luên Chữỡng 1: Trong chữỡng n y, chúng ta  quan sĂt thĐy rơng phữỡng trẳnh vi phƠn Chebyshev l mởt trữớng hủp °c biằt cừa b i toĂn giĂ trà biản Sturm-Liouville CĂc nghiằm cừa nõ, cĂc a thực Chebyshev, cõ cĂc tẵnh chĐt cụng ữủc tẳm thĐy trong cĂc a thực khĂc Mởt trong nhỳng tẵnh chĐt n y l tẵnh trỹc giao, õng vai trỏ quan trồng trong viằc tẵnh gƯn úng cĂc h m, tữỡng tỹ nhữ chuội Fourier nời tiáng Tữỡng tỹ nhữ trữớng hủp trong chuội Fourier, viằc xĐp x¿ cĂc h m liản tửc tứng phƯn bơng cĂch sỷ dửng a thực Chebyshev cụng tÔo ra hiằn tữủng Gibbs Khi xĐp x¿ a thực, a thực Chebyshev thº hiằn tẵnh ữu viằt hỡn so vợi chuội Fourier do tẵnh chẵnh xĂc cừa nõ Tuy nhiản, chuội Fourier dữớng nhữ hởi tử nhanh hỡn trong nởi suy cĂc h m khổng phÊi a thực so vợi cĂc a thùc Chebyshev.
PhƠn tẵch nhƠn tỷ cĂc bián thº cừa a thực Chebyshev loÔi mởt, loÔi hai
Chữỡng n y ã cêp án b i toĂn mð cừa Y Z Gurtas vã viằc phƠn tẵch nhƠn tỷ cừa U n (x) + 1 v U n (x) − 1 Cử thº l têp trung khÊo sĂt b i toĂn phƠn tẵch nhƠn tỷ cĂc bián thº cừa a thực Chebyshev loÔi mởt, loÔi hai vợi cĂc a thực tối tiºu cõa cos(2π/d).
a thực Chebyshev loÔi mởt v loÔi hai v B i toĂn mð Gurtas
a thực Chebyshev loÔi mởt v loÔi hai
U n (x) 2 − 1 = Y d|2n d>2 Ψ d (x) Y d|2n+4 d>2 Ψ d (x), (2.1) trong â U n (x) l a thùc Chebyshev lo¤i hai v n ≥ 1 C¡c a thùc Ψ d (x) l Ψ d (x) = Y k∈S d/2
, (2.2) trong õ S d/2 = {k : (k, d) = 1, 1 ≤ k < d/2} v d > 2 Chúng cõ bêc ϕ(d)/2 trong õ ϕ l h m têng Euler a thùc tèi tiºu trong Q [x] cõa cos 2π d l 2 − ϕ(d) 2 Ψ d (x) trong õ d > 2 , suy ra tứ chựng minh ành lỵ 1 cừa D.H Lehmer [5].
B i toĂn mð cừa Y.Z.Gurtas l tẳm cĂc nhƠn tỷ cừa U n (x) + 1 v U n (x) − 1 dữợi dÔng cĂc nhƠn tỷ Ψ d (x) ð vá phÊi cừa phữỡng trẳnh (2.1).
U 10 (x) + 1 = 1024x 10 − 2304x 8 + 1792x 6 − 560x 4 + 60x 2 cõ thº phƠn tẵch th nh nhƠn tỷ Ψ 3 (x)Ψ 4 (x) 2 Ψ 6 (x)Ψ 12 (x)Ψ 20 (x), õ l
NhƠn tỷ l°p lÔi Ψ 4 (x) = 2x l nhƠn tỷ cừa cÊ hai tẵch trong phữỡng trẳnh (2.1) v cĂc nhƠn tỷ khĂc l nhƠn tỷ cừa tẵch thự hai ngoÔi trứ Ψ 20 (x).
U 8 (x) − 1 = 256x 8 − 448x 6 + 240x 4 − 40x 2 cõ thº phƠn tẵch th nh nhƠn tỷ Ψ 4 (x) 2 Ψ 8 (x)Ψ 20 (x) = (2x) 2 (4x 2 − 2)(16x 4 − 20x 2 + 5).
Hằ số l°p lÔi Ψ 4 (x) xÊy ra trong U 8 (x) − 1.
Trong mởt lới kát luên, Gurtas  phĂt biºu mởt cĂch tá nhà rơng sỹ phƠn tẵch th nh phƯn riảng cừa U n (x) + 1 v U n (x) − 1 khổng dạ d ng suy ra tứ phữỡng trẳnh (2.1) v vẳ vêy Ơy l mởt cƠu họi mð khĂ thú và.
Cổng thực sỡ bở a thực Chebyshev loÔi hai U n (x) thọa mÂn tẵnh chĐt sau vợi mồi n ≥ 0 ([7]):
Lới giÊi cho b i toĂn mð sỷ dửng ph²p truy hỗi sau m cĂc a thực U n (x) thọa mÂn, vẵ dử, phữỡng trẳnh (1.6a) v (1.6b) cừa Mason v Handscomb ([7]):
B i to¡n mð Gurtas v líi gi£i
ành lỵ sau Ơy giÊi b i toĂn phƠn tẵch th nh nhƠn tỷ. ành lỵ 2.1 ([8]) Náu n ≥ 1 thẳ
Náu d|2n v d > 2 , °t a = 2n d , a ∈ N Tứ phữỡng trẳnh (2.2) ta cõ θ = πak n , Ψ d (cos θ) = 0, v tứ phữỡng trẳnh (2.3), ta cõ
Do cổng thực gõc sin(A + B), tỷ số l sin(πak + θ), bơng vợi cos (πak) sin θ Mău số sin θ ̸= 0 vẳ θ khổng thº l mởt bởi số nguyản cừa π khi d > 2 CĂc số ak v a cõ cũng tẵnh chđn l´ iãu n y l hiºn nhiản khi a l số chđn Náu a l số l´ thẳ d l số chđn v k l số l´ vẳ (k, d) = 1 Ta cõ cos πak = cos πa , v U n (cos θ) = cos πa
Do õ, náu a chđn thẳ U n (cos θ) = 1 v Ψ d (x) l mởt nhƠn tỷ cừa U n (x) − 1. Tữỡng tỹ, náu a l số l´ thẳ U n (cos θ) = −1 v Ψ d (x) l mởt nhƠn tỷ cừa U n (x) + 1. Náu d|2n + 4 v d > 2, °t b = 2n+4 d , b ∈ N Ta cõ θ = n+2 πbk trong õ (k, d) = 1 v
1 ≤ k < d 2 Tỷ số cừa vá phÊi cừa phữỡng trẳnh (2.3) l sin πbk n + 2 − 1 n + 2
Nõ bơng − cos (πbk) sin θ Kát quÊ sau ữủc suy ra tữỡng tỹ nhữ trữớng hủp trữợc vẳ mău số sin θ ̸= 0, cĂc số bk v b cõ cũng tẵnh chđn l´ v U n (cos θ) = − cos (πb)
Tứ sỹ truy hỗi cừa phữỡng trẳnh (2.4), U n (x) cõ bêc n iãu n y suy ra rơng vá phÊi cừa phữỡng trẳnh (2.1) trong phƠn tẵch th nh nhƠn tỷ cừa U n (x) 2 − 1 cõ bêc l 2n Nõ cõ 2n nhƠn tỷ tuyán tẵnh dÔng 2 (x − cos θ) tứ phữỡng trẳnh (2.1) v (2.2), mởt nỷa trong số õ l nhƠn tỷ cừa U n (x) + 1 v nỷa cỏn lÔi l nhƠn tỷ cừa
U n (x) − 1 Nhữ vêy, Ănh xÔ ữủc ành nghắa ð trản s³ chuyºn mồi nhƠn tỷ nhữ vêy cừa U n (x) 2 − 1 th nh U n (x) + 1 ho°c U n (x) − 1, tũy thuởc v o viằc cos θ cõ phÊi l mởt nghiằm cừa U n (x) + 1 hay U n (x) − 1 CĂc nhƠn tỷ tuyán tẵnh l°p lÔi v do õ cĂc nhƠn tỷ dÔng Ψ d (x) 2 cừa U n (x) 2 − 1 ãu xuĐt hiằn trong cũng mởt phƠn tẵch th nh nh¥n tû cõa U n (x) + 1 ho°c U n (x) − 1.
Vá phÊi cừa phữỡng trẳnh (2.5) v (2.6) l tẵch cừa nhỳng nhƠn tỷ tuyán tẵnh ữủc Ănh xÔ, do õ cÊ hai ãu cõ bêc bơng n
Tứ phữỡng trẳnh (2.4), cĂc hằ số cao nhĐt cừa U n (x) ± 1l 2 n CĂc mð rởng cừa cĂc phƠn tẵch bản vá phÊi cừa cÊ hai phữỡng trẳnh (2.5) v (2.6) ãu cõ 2 n nhữ l cĂc hằ số cao nhĐt, bði mội a thực l tẵch cừa n nhƠn tỷ dÔng 2 (x − cos θ)
Hằ quÊ 2.1 ([8]) Tứ ành lỵ 2.1, náu tỗn tÔi nhƠn tỷ l°p thẳ õ l Ψ 4 (x) vẳ d|2n, d|2n + 4 v d > 2 dăn án d = 4 a thực Ψ 4 (x) 2 l mởt nhƠn tỷ cừa U n (x) 2 − 1 khi v ch¿ khi n ch®n.
Khi n 2 l số l´, Ψ 4 (x) 2 l mởt nhƠn tỷ cừa U n (x) + 1.
Khi n 2 chđn, nõ l nhƠn tỷ cừa U n (x)− 1.CĂc vẵ dử trẳnh b y ð trản l cho trữớng hủp n = 10 v n = 8 Ψ 2n (x) l nh¥n tû cõa U n (x) + 1 khi n > 1 v Ψ 2n+4 (x) l nh¥n tû cõa U n (x) − 1. a thùc Ψ n (x)l nh¥n tû cõa U n (x)−1khi n > 2 v Ψ n+2 (x)l nh¥n tû cõa U n (x)+1 khi n ≥ 1
PhƠn tẵch nhƠn tỷ a thực T n (x) ± 1
ành lỵ 1 trong Gurtas [3] Â ch¿ ra rơng, vợi n ≥ 3 , ta cõ
Mằnh ã 4 trong Gurtas [3] cụng cho ta thĐy, vợi n ≥ 2 , ta cõ
Nhên x²t ành lỵ 1 v Mằnh ã 4 cừa Gurtas [3] vợi mởt số thay ời nhọ l tữỡng ữỡng vợi ành lỵ 2.2 dữợi Ơy iãu kiằn n ≥ 3 , trong ành lỵ 1 cừa Gurtas
[3] cõ thº chuyºn th nh n ≥ 1 Khi õ nõ trð nản tữỡng ữỡng vợi cĂc phữỡng trẳnh (2.12) v (2.14) s³ ữủc phĂt biºu dữợi Ơy Trong phữỡng trẳnh cừa Mằnh ã 4, Gurtas [3], iãu kiằn d > 2 cƯn ữủc thảm v o phữỡng trẳnh khi n l´ iãu kiằn cừa mằnh ã sau õ cõ thº ữủc thay ời th nh n ≥ 1 Vợi nhỳng thay ời n y, tữỡng ữỡng vợi phữỡng trẳnh (2.11) v (2.13) dữợi Ơy. a thực T n (x) cõ bêc n trong õ n ≥ 0 vẳ nõ thọa mÂn tẵnh truy hỗi
T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T n (x) = 2xT n−1 (x) − T n−2 (x) (2.7) a thực Chebyshev loÔi mởt cõ tẵnh chĐt sau vợi mồi n ≥ 0 :
Vợi mửc ẵch tẳm mởt phữỡng trẳnh cho T n (x) tữỡng tỹ nhữ phữỡng trẳnh (2.1) ối vợi U n (x), ta cõ
T n (x) 2 + x 2 − 1 = T n−1 (x)T n+1 (x), (2.9) trong õ n ≥ 1 v |x| ≤ 1 iãu n y ữủc suy ra bơng cĂch thay thá cos θ bði x v Ăp dửng phữỡng trẳnh (2.8) cũng vợi cĂc cổng thực lữủng giĂc
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos(A − B ), cos 2A = 2cos 2 A − 1 ð vá phÊi cừa phữỡng trẳnh. ành nghắa 2.1 a thực Ψ 1 (x) = 2 (x − 1) v a thực Ψ 2 (x) = 2(x + 1). ành nghắa n y phũ hủp vợi ành nghắa cừa Gurtas [3], ð õ ổng ta  sỷ dửng Ψ 1 (x)Ψ 2 (x) = 4(x 2 − 1) Chúng l cĂc a thực cõ nghiằm lƯn lữủt l cos 2π v cos π Phữỡng trẳnh theo yảu cƯu ữủc ữa ra trong bờ ã sau.
Chựng minh Trữợc hát ta nhưc lÔi, phữỡng trẳnh (2.38) trong [7] l
2 (T m+n (x) + T |m−n| (x)). p dửng phữỡng trẳnh n y cho vá phÊi cừa phữỡng trẳnh (2.9) ta ữủc
BƠy giớ phữỡng trẳnh trong ành lỵ 1 cừa Gurtas [3] trð th nh
T n (x) − 1 = 2 x 2 − 1 Y d|2n d>2 Ψ d (x) 2 khi n chđn v n ≥ 2 Thay n bơng 2n trong phữỡng trẳnh n y v sau õ thay thá nõ v o phữỡng trẳnh trữợc s³ cho ta phữỡng trẳnh (2.10).
Bờ ã 2.1 cho ph²p chúng ta ữa ra kát quÊ tữỡng tỹ vợi ành lỵ 2.1 ð trản cho cĂc a thực Chebyshev loÔi mởt bơng cĂch sỷ dửng phữỡng phĂp chựng minh tữỡng tỹ CĂc nhƠn tỷ hõa trong ành lỵ 2.2 dữợi Ơy l duy nhĐt náu khổng x²t tẵnh giao hoĂn v kát hủp cừa ph²p nhƠn. ành lỵ 2.2 Náu n ≥ 1 l số l´ thẳ
Chựng minh Cho a = 2n d Ơy l số tỹ nhiản vẳ d|2n
Náu d = 1 thẳ a thực Ψ 1 (x) cõ mởt nghiằm l cos 2π = 1 Suy ra
Khi õ Ψ 1 (x) l mởt nhƠn tỷ cừa T n (x) − 1.
Tữỡng tỹ, khi d = 2 , ta cõ a = n v Ψ 2 (x) l mởt nhƠn tỷ cừa T n (x) − 1 náu n chđn, v l mởt nhƠn tỷ cừa T n (x) + 1 náu n l´.
Náu d > 2 v d|2n , °t θ = 2πk d trong õ (k, d) = 1 v 1 ≤ k < d 2 Ta cõ θ = πak n v Ψ d (cos θ) = 0 tứ phữỡng trẳnh (2.2).
Vá phÊi cừa phữỡng trẳnh (2.10) bơng 0 náu x = cos θ Lúc n y, tứ phữỡng trẳnh (2.8) ta câ
= cos πak,CĂc số ak v a cõ cũng tẵnh chđn l´.
Náu a l số l´, thẳ suy ra d chđn v k l´ vẳ (k, d) = 1 Do õ cos πak = cos πa , v
Náu a chđn, thẳ T n (cos θ) = 1 v Ψ d (x) l mởt nhƠn tỷ cừa T n (x) − 1 Tữỡng tỹ, náu a l số l´ thẳ T n (cos θ) = 1 v Ψ d (x) l mởt nhƠn tỷ cừa T n (x) + 1
Tứ phữỡng trẳnh (2.7), ta cõ thº suy ra rơng vá phÊi phữỡng trẳnh (2.10) phƠn tẵch nhƠn tỷ cừa T n (x) 2 − 1 cõ bêc l 2n Nõ cõ 2n nhƠn tỷ tuyán tẵnh dÔng
2 (x − cos θ) bði cĂc phữỡng trẳnh (2.10), (2.2) v ành nghắa cừa Ψ 1 (x) v Ψ 2 (x). Mởt nỷa cĂc yáu tố n y l cĂc nhƠn tỷ cừa T n (x) + 1 v nỷa cỏn lÔi l cĂc nhƠn tỷ cừa T n (x) − 1 nh xÔ ữủc ành nghắa nhữ trản Ănh xÔ mồi nhƠn tỷ nhữ thá cừa T n (x) 2 − 1 th nh T n (x) + 1 ho°c T n (x) − 1 tũy thuởc v o viằc cos θ cõ phÊi l nghiằm cừa T n (x) + 1 ho°c T n (x) − 1 tữỡng ựng hay khổng CĂc nhƠn tỷ tuyán tẵnh l°p lÔi v do õ cĂc nhƠn tỷ dÔng Ψ d (x) 2 cừa T n (x) 2 − 1 ãu xuĐt hiằn trong phƠn tẵch nhƠn tỷ cừa T n (x) + 1 ho°c T n (x) − 1.
Vá phÊi cừa cĂc phữỡng trẳnh (2.11)(2.12) l tẵch cừa nhỳng th nh phƯn tuyán tẵnh  ữủc Ănh xÔ n y nhƠn vợi 1 2 khi n ≥ 1 l số l´, v tữỡng tỹ cho vá phÊi cừa cĂc phữỡng trẳnh (2.13)(2.14) khi n ≥ 2 l số chđn Tứ õ suy ra rơng cĂc vá phÊi cừa mội phữỡng trẳnh n y cõ bêc n Khi õ, dạ thĐy hằ số ð và trẵ Ưu tiản ð vá trĂi cừa cĂc phữỡng trẳnh n y l 2 n−1 Do phữỡng trẳnh (2.7), hằ số ð và trẵ Ưu tiản ð vá phÊi cừa cĂc phữỡng trẳnh n y cụng bơng 2 n−1
Kát luên Chữỡng 2: Chữỡng n y  trẳnh b y lới giÊi cho b i toĂn mð cừa Y.
Z Gurtas liản quan án phƠn tẵch nhƠn tỷ cừa U n (x) + 1 v U n (x) − 1, trong õ
U n (x) l a thực Chebyshev loÔi hai, vợi cĂc thứa số a thực cõ dÔng Ψ d (x) Mội thứa số a thực nhữ vêy bơng tẵch cừa lụy thứa bêc 2 vợi mởt a thực tối thiºu cừa cos(2π/d)) Chúng tổi sau õ Ăp dửng phữỡng phĂp n y º ữa ra mởt chựng minh trỹc tiáp hỡn vã cĂc kát quÊ tữỡng tỹ cừa Y Z Gurtas ([3]) cho a thựcChebyshev loÔi mởt.
PhƠn tẵch nhƠn tỷ cĂc bián thº cừa a thùc Chebyshev lo¤i ba, lo¤i bèn
Chữỡng n y ã cêp án b i toĂn phƠn tẵch nhƠn tỷ cĂc bián thº cừa a thực Chebyshev loÔi ba, loÔi bốn vợi cĂc a thực tối tiºu cừa cos(2π/d) Cử thº l têp trung giÊi b i toĂn phƠn tẵch nhƠn tỷ a thực V n (x) ± 1 v W n (x) ± 1 trong õ V n (x) v W n (x)l a thùc Chebyshev lo¤i ba v lo¤i bèn Ph÷ìng ph¡p chùng minh düa trản cổng trẳnh trữợc Ơy cừa Wolfram [8] cho cĂc bián thº phƠn tẵch nhƠn tỷ cừa a thực Chebyshev loÔi mởt v loÔi hai T n (x) ± 1 v U n (x) ± 1 Chúng tổi cụng ch¿ ra rơng, nõi chung, khổng cõ phƠn tẵch nhƠn tỷ cừa cĂc bián thº cừa a thựcChebyshev loÔi nôm v loÔi sĂu X n (x) ± 1 v Y n (x) ± 1 bơng cĂch sỷ dửng a thực tèi thiºu cos(2π/d).
PhƠn tẵch nhƠn tỷ cĂc bián thº cừa a thực Chebyshev loÔi ba v lo¤i bèn
a thùc Chebyshev lo¤i ba v lo¤i bèn
a thực Chebyshev loÔi ba cõ thº ữủc ành nghắa bði
V n (x) = cos n + 1 2 θ cos θ 2 (3.1) v loÔi bốn ữủc ành nghắa bði
Chúng cụng cõ thº ữủc ành nghắa theo a thực Chebyshev loÔi hai, U n (x):
W n (x) = U n (x) + U n−1 (x) (3.4) trong õ n ≥ 1 Ơy l cĂc phữỡng trẳnh (1.17)(1.18) cừa Mason v Handscomb trong [7].
PhƠn tẵch nhƠn tỷ cĂc a thực V n (x) ± 1 v W n (x) ± 1
Ta s³ trẳnh b y lới giÊi theo phữỡng phĂp giÊi theo Wolfram [8].
Bữợc Ưu tiản l biºu diạn V n (x) 2 − 1 v W n (x) 2 − 1 theo cĂc a thực tối tiºu Ψ d (x) trong â d ≥ 1
Chựng minh Tứ phữỡng trẳnh (3.3), ta cõ
= Ψ 2 (x) Y d|2n d>2 Ψ d (x) Y d|2n+2 d>2 Ψ d (x). ành lỵ sau Ơy giÊi b i toĂn phƠn tẵch nhƠn tỷ cho vĐn ã cừa V n (x) 2 − 1.Bữợc thự hai cừa phữỡng phĂp liản quan án viằc xĂc ành Ănh xÔ tĂch 2n thứa số cừa
V n (x) 2 − 1 th nh n thứa số cừa V n (x) + 1 v n thứa số khĂc cừa V n (x) − 1 Viằc phƠn tẵch nhƠn tỷ l duy nhĐt sai khĂc tẵnh kát hủp v tẵnh giao hoĂn cừa ph²p nhƠn. ành lỵ 3.1 ([9]) Náu n ≥ 1, thẳ
Chựng minh Do phữỡng trẳnh (3.5) v Ψ 1 cos(2π)
= 0.Ta câ a thùc Ψ 1 (x) = 2(x − 1) l mởt nhƠn tỷ cừa V n (x) 2 − 1 Tứ phữỡng trẳnh (3.1) suy ra rơng V n cos(2π)
= 1 v do õ Ψ 1 (x) l mởt nhƠn tỷ cừa V n (x) − 1.
Náu d|2n v d > 2, °t θ = 2πk d trong õ (k, d) = 1, 1 ≤ k < d 2 v a = 2n d Ta cõ θ = πak n v Ψ d (cos θ) = 0 Tứ phữỡng trẳnh (3.1),
M¨u sè cos θ 2 ̸= 0 vẳ θ 2 = πk d khổng thº bơng π 2 khi d > 2 CĂc số ak v a cõ cũng tẵnh chđn l´ Hiºn nhiản iãu n y xÊy ra khi a chđn Náu a l số l´, k²o theo d l số chđn v k l số l´ vẳ (k, d) = 1 Ta cõ cos(πak) = cos(πa), v V n (cos θ) = cos(πa).
Do õ, náu a chđn thẳ V n (cos θ) = 1 v Ψ d (x)l mởt nhƠn tỷ cừa V n (x) − 1.Tữỡng tỹ, náu a l´ thẳ V n (cos θ) = −1 v Ψ d (x) l mởt nhƠn tỷ cừa V n (x) + 1.
Náu d|2n + 2 v d > 2, °t b = 2n+2 d Ta cõ θ = n+1 πbk trong õ k thọa mÂn (k, d) = 1 v 1 ≤ k < d 2 Tứ phữỡng trẳnh (3.1),
Tữỡng tỹ nhữ trữớng hủp trữợc, mău số cos θ 2 ̸= 0,cĂc số bk v b cõ cũng tẵnh chđn l´, v V n (cos θ) = cos(πb) Tứ õ suy ra rơng náu b l số l´ thẳ Ψ d (x) l mởt nhƠn tỷ cừa V n (x) + 1 v náu b l số chđn thẳ Ψ d (x) l mởt nhƠn tỷ cừa V n (x) − 1.
Tứ phữỡng trẳnh (2.4) v (3.3), V n (x) cõ bêc n Suy ra rơng vá phÊi cừa phữỡng trẳnh (3.5) trong phƠn tẵch cừa V n (x) 2 − 1 cõ bêc l 2n Tứ phữỡng trẳnh (2.2) v ành nghắa (3.1), cõ 2n thứa số cõ dÔng 2(x − cos θ) , mởt nỷa số õ l cĂc thứa số cừa V n (x) + 1 v nỷa cỏn lÔi l cĂc thứa số cừa V n (x) − 1 nh xÔ ữủc xĂc ành ð trản bián mội nhƠn tỷ nhữ vêy cừa V n (x) 2 − 1 th nh V n (x) + 1 ho°c V n (x) − 1 tũy thuởc v o viằc cos θ cõ phÊi l nghiằm cừa V n (x) + 1 hay V n (x) − 1 Vá phÊi cừa phữỡng trẳnh (3.7) v (3.8) l tẵch cừa cĂc thứa số ữủc Ănh xÔ n y v do õ cÊ hai ãu cõ bêc bơng n
Tứ phữỡng trẳnh (2.4) v (3.3), hằ số cao nhĐt cừa V n (x) ± 1 l 2 n CĂc mð rởng cừa cĂc phƠn tẵch ð vá phÊi cừa phữỡng trẳnh (3.7) v (3.8) ãu cõ 2 n l hằ số cao nhĐt, vẳ mội mởt trong chúng ãu l tẵch cừa n nhƠn tỷ cõ dÔng 2(x − cos θ) Vẵ dử a thực V 12 (x) 2 − 1 cõ 24 nhƠn tỷ, v V 12 (x) + 1 cũng vợi V 12 (x) − 1 mội biºu thực chiám mởt nỷa số nhƠn tỷ ữủc nhƠn lÔi vợi nhau nh xÔ trong chựng minh ành lỵ 3.1 ch¿ ra rơng
(2x + 1)(2x)(2x − 1)(4x 2 − 3) × (64x 6 + 32x 5 − 80x 4 − 32x 3 + 24x 2 + 6x − 1). ành lỵ sau Ơy giÊi b i toĂn phƠn tẵch nhƠn tỷ cho biºu thực W n (x) 2 − 1 CĂc phƠn tẵch n y văn duy nhĐt sai khĂc án tẵnh kát hủp v tẵnh giao hoĂn cừa ph²p nh¥n. ành lỵ 3.2 ([9]) Náu n ≥ 1 thẳ
Chựng minh CĐu trúc chựng minh tữỡng tỹ nhữ ành lỵ 3.1 Náu d|2n v d > 1, °t a = 2n d v k sao cho (k, d) = 1 trong õ 1 ≤ k < d 2 Tứ phữỡng trẳnh (3.2),
M¨u sè sin θ 2 ̸= 0 vẳ θ 2 = πk d khổng thº bơng π khi d > 1 Tữỡng tỹ, chúng ta cõ ak v a cõ cũng tẵnh chđn l´ v W n (cos θ) = cos (πa) Do õ, náu a chđn thẳ
W n (cos θ) = 1 v Ψ d (x) l mởt nhƠn tỷ cừa W n (x) − 1 Náu a l´ thẳ W n (cos θ) = −1 v Ψ d (x) l mởt nhƠn tỷ cừa W n (x) + 1.
Náu d|2n + 2 v d > 2 °t b = 2n+2 d v k sao cho (k, d) = 1 trong õ 1 ≤ k < d 2 Ta cõ θ = n+1 πbk v θ 2 = πk d Tứ phữỡng trẳnh (3.2),
M¨u sè sin θ 2 ̸= 0,náu cĂc số b v bk cõ cũng tẵnh chđn l´ b chđn thẳ W n (cos θ) = −1 v Ψ d (x) l mởt nhƠn tỷ cừa W n (x) + 1 Náu b l´ thẳ W n (cos θ) = 1 v Ψ d (x) l mởt nh¥n tû cõa W n (x) − 1.
Dạ d ng chựng minh rơng bêc cừa vá phÊi cừa cĂc phữỡng trẳnh (3.9) v (3.10) ãu l n, v cĂc hằ số Ưu tiản cừa cÊ hai phẵa cừa cĂc phữỡng trẳnh n y ãu l 2 n
Vẵ dử a thực W 12 (x) 2 − 1 cõ 24 nhƠn tỷ, v W 12 (x) + 1 cũng vợi W 12 (x)) − 1 mội biºu thực chiám mởt nỷa số nhƠn tỷ ữủc nhƠn lÔi vợi nhau nh xÔ trong chựng minh ành lỵ 3.2 ch¿ ra rơng
Khi n l´, Ψ 2 (x) l mởt nhƠn tỷ cừa W n (x) + 1:
3.2 a thực Chebyshev loÔi nôm v loÔi sĂu a thực Chebyshev loÔi nôm X n (x) v loÔi sĂu Y n (x) ữủc ành nghắa bði Masjed- Jamei [6] T÷ìng tü nh÷ bèn lo¤i a thùc Chebyshev cán l¤i, chóng l c¡c a thùc trỹc giao cõ hằ số nguyản v X n (x)v Y n (x)cõ bêc n trong õ n ≥ 0 ([1],[2]) Chúng câ d¤ng
⌊ n 2 ⌋ X v=0 a v x n−2v a thực Monic Chebyshev loÔi nôm v loÔi sĂu, X ¯ n (x)) v Y ¯ n (x), cõ thº ữủc xĂc ành bơng cĂc ph²p toĂn truy hỗi sau m ta ỡn giÊn hõa tứ [1].
SĂu a thực Chebyshev loÔi nôm Ưu tiản trản Z l
SĂu a thực Chebyshev loÔi sĂu Ưu tiản trản Z l
CĂc a thực X 5 (x) ± 1 v Y 5 (x) ± 1 l khÊ quy trản Z v khổng cõ a thực n o khÊ quy trản mởt a thực tối tiºu cừa cos 2π d , trong õ ch¿ cõ hai bêc 5 : Ψ 11 (x) = 32x 5 + 16x 4 − 32x 3 − 12x 2 + 6x + 1 Ψ 22 (x) = 32x 5 − 16x 4 − 32x 3 + 12x 2 + 6x − 1.
Nhỳng phÊn vẵ dử vã X n (x) ± 1 v Y n (x) ± 1 cho thĐy rơng, nõi chung, chúng khổng cõ ph²p phƠn tẵch nhƠn tỷ bơng cĂch sỷ dửng cĂc a thực tối thiºu cừa cos 2π d
Kát luên Chữỡng 3 Nhữ vêy ta  giÊi ữủc b i toĂn phƠn tẵch th nh nhƠn tỷ cừa a thực Chebyshev loÔi ba v loÔi bốn X n (x) ± 1 v Y n (x) ± 1 dữợi dÔng cĂc a thực tối tiºu cừa cos 2π d iãu n y ữủc thỹc hiằn bơng cĂch Ăp dửng phữỡng phĂp Wolfram [12] º phƠn tẵch th nh nhƠn tỷ T n (x) ± 1 v U n (x) ± 1 theo cũng mởt phữỡng phĂp Ngo i ra, chữỡng n y cụng cho thĐy iãu õ khổng cõ sỹ khĂi quĂt hõa viằc phƠn tẵch nhƠn tỷ n y vợi cĂc bián thº tữỡng tỹ cừa Chebyshev a thực loÔi nôm v loÔi sĂu.
Luên vôn  ho n th nh cĂc mửc tiảu  °t ra, õ l nghiản cựu mởt số tẵnh chĐt cừa a thực Chebyshev, cĂc ựng dửng cõ liản quan, tẳm hiºu vã cĂc a thực Chebyshev loÔi mởt, hai, ba, bốn, mð rởng lản án loÔi nôm, loÔi sĂu v phƠn tẵch nhƠn tỷ cĂc bián thº cừa chúng vợi cĂc a thực tối tiºu cừa cos(2 π /d).
Tẳm hiºu mởt số ành nghắa, tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa a thực Chebyshev v sữu tƯm ựng dửng cừa nõ.
Nghiản cựu vã b i toĂn mð cừa Y.Z.Gurtas v phƠn tẵch nhƠn tỷ a thực
Tẳm hiºu ành nghắa cĂc a thực Chebyshev loÔi ba, loÔi bốn v phữỡng phĂp phƠn tẵch nhƠn tỷ cĂc a thực V n (x) ± 1 v W n (x) ± 1.
Tẳm hiºu thảm cĂc a thực Chebyshev loÔi nôm, loÔi sĂu v viằc phƠn tẵch nh¥n tû cõa nâ.
[1] W M Abd-Elhameed, Y H Youssri, Fifth-kind orthonormal Chebyshev poly- nomial solutions for fractional differential equations, Comp Appl Math., 37(2018), 2897-2921.
[2] W M Abd-Elhameed, Y H Youssri, Neoteric formulas of the monic orthogonal Chebyshev polynomials of the sixth-kind involving moments and linearization formulas, Advances in Difference Equations, 84(2021).
[3] Y Z Gurtas, Chebyshev polynomials and the minimal polynomial of cos(2π/n) Amer Math Monthly, 124(1) (2017), 74-78.
[4] N Karjanto, Properties of Chebyshev Polynomials, Publication Scientifique de l'AEIF, 2(2002), 127-132.
[5] D H Lehmer, A note on trigonometric algebraic numbers Amer Math. Monthly, 40(3) (1933), 165166.
[6] M Masjed-Jamei, Some new classes of orthogonal polynomials and special func- tions: a symmetric generalization of Sturm-Liouville problems and its conse- quences Ph.D thesis, (2006).
[7] J C Mason, D C Handscomb, Chebyshev Polynomials New York: Chapman and Hall/CRC, (2002).
[8] D A Wolfram, Factoring Variants of Chebyshev Polynomials of the First andSecond Kinds with Minimal Polynomials of cos(2π/d), The American Mathe- matical Monthly, 2(129)(2022), 172-176, DOI: 10.1080/00029890.2022.2005391.