Ngô Văn Định Trang 3 Bảng ký hiệu Trang 4 Mở đầuMột hệ thống số cộng tính cỡ vô hạn là một hệ thống các tập số nguyênkhông âm thỏa mãn mọi số nguyên không âm đều có thể viết được một c
Tập hợp
Tập hợp, tập hợp con
Tập hợp là một sự tụ tập các đối tượng có tính chất chung nào đó Các đối tượng đó gọi là các phần tử của tập hợp đang xét Chẳng hạn, tập hợp học sinh của một lớp học, tập hợp các nghiệm của một phương trình
Kí hiệu x ∈ X để chỉ x là một phần tử của tập hợp X (đọc là x thuộc X); kí hiệux / ∈ X để chỉ xkhông phải là một phần tử củaX (đọc làxkhông thuộc X). Để mô tả tập hợp, người ta dùng hai cách sau:
Liệt kê các phần tử của tập hợp đó.
Ví dụ 1.1.1 Tập hợp các số tự nhiên
Tập hợp các số tự nhiên khác không
Tập hợp các số nguyên dương không lớn hơn n
Chỉ ra tính chất đặc trưng của tập hợp
Tập A có tính chất T (x) ta viết
Ví dụ 1.1.2 Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 10 nhỏ hơn 100
A = {x : x ∈ N và 10 < x < 100}. Định nghĩa 1.1.3 Tập A được gọi là tập con của X, kí hiệu là A ⊆ X (hay
X ⊇ A) nếu mỗi phần tử x thuộc A thì x cũng thuộc tập X Nếu A ⊆ X và tồn tại phần tử x ∈ X nhưng x / ∈ A thì ta gọi A là một tập con thực sự của tập X và kí hiệu là A ⊂ X.
Ví dụ 1.1.4 E n ⊂ N ⊂ Z. Định nghĩa 1.1.5 Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, kí hiệu là ∅ Qui ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Định nghĩa 1.1.6 Hai tập A và B được gọi là bằng nhau nếu mỗi phần tử x thuộc A khi và chỉ khi x thuộc tập B; khi đó ta viết A = B.
Các phép toán trên tập hợp
Cho A, B là hai tập hợp bất kì Khi đó ta có:
Hợp của hai tập A và B là một tập hợp được kí hiệu là A ∪ B, được xác định như sau:
Giao của hai tập A và B là một tập hợp được kí hiệu là A ∩ B, được xác định như sau:
Nếu A ∩ B = ∅ thì ta nói A, B là hai tập hợp rời nhau.
Hiệu của hai tập A và B là một tập hợp được kí hiệu là A \ B, được xác định như sau:
Nếu A ⊆ X thì kí hiệu X \ A gọi là phần bù của tập A trong tập X và được kí hiệu là C x A.
Các phép toán giao, hợp các tập hợp có thể được mở rộng cho một số họ bất kì các tập hợp Giả sửI là một tập cho trước, và ứng với mỗi phần tửα thuộc I ta có tập A α (khi đó tập I được gọi là tập chỉ số) Hợp của họ các tập A α, α ∈ I là tập
Giao của họ các tập A α , α ∈ I là tập
Quan hệ tương đương
Tích Đề-các của các tập hợp
Định nghĩa 1.2.1 Giả sửX, Y là các tập cho trước.Tích Đề-các (hay tích trực tiếp) của các tập X, Y, được kí hiệu là X × Y, là tập tất cả các cặp có thứ tự (x, y), trong đó phần tử x thuộc tập X, phần tử y thuộc tập Y Ta có
Theo định nghĩa ta có:
Một cách tổng quát: Tích Đề-các của các tập X 1 , , X n , được kí hiệu X 1 ×
X 2 × × X n (hay Qn i=1 X i ), là tập tất cả các bộ n phần tử có thứ tự x 1 , , x n trong đó x i ∈ X i , với i = 1, , n Ta có n
Nếu X 1 = = X n = X thì ta viết X n = Qn i=1 X i Tập X n được gọi là lũy thừa Đề-các bậc n của tập X.
Quan hệ tương đương
Định nghĩa 1.2.2 Giả sử X là một tập Mỗi tập con R của tập X × X được gọi là một quan hệ trên tập X Nếu cặp(x, y) thuộc R thì ta nói phần tửx nằm trong quan hệ R với phần tử y, kí hiệu là xRy Xét quan hệ R trên tập X: i) Quan hệ R có tính chất phản xạ nếu xRx đối với mọi x thuộc X. ii) Quan hệ R có tính chất đối xứng nếu xRy thì yRx. iii) Quan hệ R có tính chất bắc cầu nếu xRy và yRz thì xRz. iv) Quan hệ R có tính chất phản đối xứng nếu xRy và yRx thì x = y. Định nghĩa 1.2.3 Quan hệ tương đương trên một tập là một quan hệ có các tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
Giả sử R là một quan hệ tương đương trên tập X Khi đó, nếuxRy thì người ta viết x ∼ y Theo định nghĩa ta có: i) x ∼ x, với mọi x ∈ X (tính chất phản xạ). ii) x ∼ y ⇒ y ∼ x (tính chất đối xứng). iii) x ∼ y và y ∼ z ⇒ x ∼ z (tính chất bắc cầu).
Với mỗi phần tử x ∈ X ta đặt
Tập con [x] được gọi là lớp tương đương có đại biểu là phần tử x Theo tính chất phản xạ ta có x ∈ [x] Vậy [x] 6= ∅ và ∪ x∈X [x] = X.
Mệnh đề 1.2.4 Các lớp tương đương trùng nhau hoặc rời nhau.
Chứng minh Giả sử rằng [x] ∩ [y] 6= ∅ Khi đó tồn tại phần tử z thuộc [x] ∩ [y]. Theo (1.2.1) ta có z ∼ x và z ∼ y Do tính chất đối xứng ta có x ∼ z Với mỗi x 0 ∈ [x] ta có x 0 ∼ x Theo tính chất bắc cầu thì x 0 ∼ z Vì z ∼ y nên x 0 ∼ y.
Do đó ta có x 0 ∈ [y] Vậy [x] ⊆ [y] Chứng minh tương tự ta có [y] ⊆ [x] Vậy [x] = [y]. Định nghĩa 1.2.5 Họ các tập con khác rỗng {A i : i ∈ I} của tập X được gọi là một sự chia lớp tập X nếu thỏa mãn điều kiện A i ∩ A j = ∅ với i 6= j và
Theo Mệnh đề 1.2.4, ta có: Các lớp tương đương là một sự chia lớp tập X. Định nghĩa 1.2.6 Giả sử quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trên tập X.
Tập X/ ∼ được gọi là tập thương của X theo quan hệ tương đương ∼.
Ví dụ 1.2.7 Giả sử n là một số nguyên dương cho trước Ta xét quan hệ ∼ trên tập Z các số nguyên xác định như sau: x ∼ y ⇔ x − y chia hết cho n.
Vì x − x = 0, số 0 chia hết cho n nên x ∼ x Vậy quan hệ đang xét có tính chất phản xạ, vì nếu x − y chia hết cho n thì y − x = −(x − y) cũng chia hết cho n Do đó, nếu x ∼ y thì y ∼ x Vậy quan hệ đang xét có tính chất đối xứng Giả sử rằng x ∼ yvà y ∼ z Vì x − yvà y − z chia hết cho n nênx − z = (x − y) + (y − z) cũng chia hết cho n, do đó x ∼ z Vậy quan hệ đang xét có tính chất bắc cầu, và do đó nó là một quan hệ tương đương trên Z.
Nếu x ∼ y thì ta viết x = y mod (n) (đọc là x bằng y đồng dư n) Dễ dàng thấy rằng đối với mỗi số nguyên x nếu x = kn + r, với r, k ∈ Z, 0 ≤ r < n thì x = r mod (n), do đó [x] = [r] Vậy tập thương của tập các số nguyên Z theo quan hệ tương đương đang xét là
Hệ thống số cộng tính
Trong chương này, nghiên cứu và trình bày lại khái niệm và ví dụ về hệ thống số cộng tính, hệ thống số Anh, một số tính chất, đặc điểm của hệ thống số cộng tính dựa theo tài liệu tham khảo [3] Trong suốt luận văn này mọi số và mọi biến số được nhắc đến đều là các số nguyên không âm.
Hệ thống số cộng tính và hệ thống số Anh
Định nghĩa 2.1.1 Hệ thống số cộng tính có kích thước vô hạn là một bộ các tập hợp sao cho mọi số có thể được viết theo một và chỉ một cách dưới dạng tổng các số từ các tập hợp, không có hai số nào được chọn từ cùng một tập hợp.
Ví dụ 2.1.2 Xét bộ các tập hợp sau:
Bộ các tập hợp trên là hệ thống số cộng tính được xây dựng trên số thập phân.Chẳng hạn ta có thể biểu diễn số 123 = 100 + 20 +3, hay số 9452 = 9000 +
400 + 50 + 2; nhưng nếu biểu diễn số 415 = 400 + 7 + 8 thì ta thấy số 7 và số
8 cùng thuộc vào một tập hợp, do vậy đây không phải là biểu diễn của số 415 qua hệ thống số cộng tính trên, tuy nhiên ta có thể biểu diễn số 415 qua tổng sau 415 = 400 + 10 + 5. Định nghĩa dưới đây là khái niệm về hệ thống số cộng tính có kích thước hữu hạn. Định nghĩa 2.1.3 Hệ thống số cộng tính có kích thước z là một bộ các tập hợp sao cho mọi số nhỏ hơn z đều có thể được viết theo một và chỉ một cách dưới dạng tổng các số từ tập hợp, không có hai số nào được chọn từ cùng một tập hợp (Khi đó không có số nào lớn hơn hoặc bằng z có thể được viết thành một tổng như vậy).
Ví dụ 2.1.4 Trong Ví dụ 2.1.2 nếu ta giới hạn trong 3 bộ đầu tiên:
{100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900}. thì đây là một hệ thống số cộng tính có kích thước 1000 vì các tổng ta nhận được đi từ 1 đến 999.
Ví dụ 2.1.5 Xét bộ các tập hợp sau:
Bộ các tập hợp ở trên là một hệ thống số cộng tính có kích thước vô hạn Nếu lấy 3 bộ đầu tiên ta sẽ có một hệ thống số cộng tính có kích thước 50 (vì ta có thể có các số bất kì từ 1 đến số 49).
Ví dụ 2.1.6 Xét bộ các tập hợp sau:
Ta thấy số 26 có thể được biểu diễn 26 = 1 + 5 + 20 và 26 cũng có thể được biểu diễn là 26 = 1 + 25, như vậy số 26 có thể biểu diễn theo hai cách, có nghĩa nó không là duy nhất Do đó, bộ các tập hợp trên không phải là một hệ thống số cộng tính. Định nghĩa 2.1.7 Giả sử A là một bộ các tập hợp rời rạc, trong đó mỗi tập hợp là một tập các số nguyên dương khác rỗng Ta định nghĩa một A-lấy mẫu là một tập hợp hữu hạn chứa nhiều nhất một phần tử từ mỗi tập hợp của A và một A-tổng là tổng các phần tử của tập A-lấy mẫu Quy ước tập ∅ luôn là một
A-lấy mẫu và có tổng bằng 0.
Khi đó A là một hệ thống số cộng tính có kích thước z (0 ≤ z ≤ ∞) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) A-tổng là số nguyên không âm nhỏ hơn z. ii) Mỗi A-tổng là tổng của chỉ một phép A-lấy mẫu.
Nhận xét 2.1.8 i) Tập ∅ là hệ thống số cộng tính duy nhất có kích thước 1. ii) Có duy nhất một hệ thống số cộng tính có kích thước 2, 3, nhưng có hai hệ thống số cộng tính có kích thước 4. iii) Định nghĩa trên có thể diễn đạt lại như sau: A là một hệ thống số cộng tính có kích thước z nếu và chỉ nếu phép tính tổng là một song ánh từ tập A-lấy mẫu đến tập các số nguyên không âm nhỏ hơn z. iv) Ta viết |A| là kích thước của hệ thống số cộng tính A.
Mệnh đề dưới đây cho ta cách tạo ra một hệ thống số cộng tính từ một hệ thống số cộng tính nhỏ hơn.
Mệnh đề 2.1.9 Giả sử A là một hệ thống số cộng tính với |A| = z < ∞ và giả sử z 0 = ∞ hoặc z 0 = sz với số nguyên s ≥ 2 Đặt B là tập hợp các bội số nguyên dương của z nhỏ hơn z 0 và đặt A 0 = A ∪ {B } Khi đó ta có: i) A 0 là một hệ thống số cộng tính có kích thước z 0 ii) Nếu σ là một A 0 - lấy mẫu với tổng n ≤ z thì max σ nằm trong B và cụ thể nó là phần tử lớn nhất của ∪A 0 nhỏ hơn hoặc bằng n.
Chứng minh Với 0 ≤ t < z, gọi σ t là một A-lấy mẫu duy nhất với tổng t Tất nhiên mỗi σ t cũng là một A 0 - lấy mẫu Khi đó A 0 - lấy mẫu có dạng σ t ∪ {z} có tổng là z, z + 1, z + 2, , 2z − 1; và A 0 - lấy mẫu có dạng σ t ∪ {2z} có tổng là 2z, 2z + 1, 2z + 2, , 3z − 1 Do đó cả hai phần của Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 2.1.10 Cho B = (B i ) 0≤i > s i và s 1 + s 2 + + s i = n, tương tự ta thấy rằng s i+1 là phần tử lớn nhất của∪ B nhỏ hơn hoặc bằng n − (s 1 + + s i ).
Tập thương
Ta có thể hình thành một hệ thống số cộng tính mới từ một hệ thống số cộng tính khác bằng cách "liên kết" một số tập hợp của bộ đó lại với nhau.
Ví dụ 2.2.1 Ta có thể kết hợp các tập hợp của bộ các tập hợp trong Ví dụ 2.1.5 để được một bộ các tập hợp mới sau:
Ta thấy tập hợp đầu tiên của bộ mới bao gồm các số được sử dụng từ tập thứ nhất, tập thứ tư và các số là tổng của tập thứ tư và thứ nhất của bộ các tập hợp trong Ví dụ 2.1.5 Tập hợp thứ ba bao gồm các số được sử dụng từ tập thứ ba và các số là tổng của tập thứ ba và thứ năm.
Nhận xét 2.2.2 Khi ta liên kết các tập hợp với nhau thì ta gọi hệ thống số cộng tính mới làtập thương Tập thương hữu ích là những bộ mà trong đó chúng ta chỉ liên kết các tập không liền kề và ta nói một tập thương như vậy là tập thương hỗn hợp. Định nghĩa 2.2.3 Gọi A là một hệ thống số cộng tính và ∼ là một quan hệ tương đương trên A Với bất kì tập A nào trong A, ta viết [A] cho lớp tương đương của nó và< A > cho tập khác không[A]-tổng Vì A 1 ∼ A 2 nếu và chỉ nếu
< A 1 > = < A 2 >, có một < A > phân biệt cho mỗi lớp tương đương của A Ta định nghĩa A/ ∼ là tập thương của A bởi ∼ là tập hợp tất cả các < A >.
Mệnh đề 2.2.4 Cho một quan hệ tương đương trên một hệ thống số cộng tính, thương số của nó là một hệ thống số cộng tính có cùng kích thước.
Chứng minh Gọi ∼ là một quan hệ tương đương trên hệ thống số cộng tính A.Một A-lấy mẫu và (A/ ∼)-lấy mẫu là tương ứng một-một Chẳng hạn đặt A và
A/ ∼ lần lượt là các hệ thống số cộng tính ở Ví dụ 2.1.5 và Ví dụ 2.2.1 Ta có
794 là tổng của A-lấy mẫu {4, 15, 25, 50, 700} và cũng là tổng của A/ ∼-lấy mẫu {54, 15, 725} Ta thay 4 và 50 bằng 54, tương tự thay 25 và 700 bằng 725 Như vậy, với một A-lấy mẫu, ta nhóm các phần tử của lấy mẫu lại với nhau trong các tập tương đương ∼ Sau đó thay thế mỗi nhóm bằng tổng các phần tử của nhóm Vì tổng các mẫu lấy mẫu tương ứng bằng nhau suy ra mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 2.2.5 Giả sử B = (B i ) 0≤i hoặc n không nằm trong A và không nằm trong tập B / ∼.
Cho N là một số nguyên dương, và giả sử phát biểu trên đúng với mọi số nguyên dương n < N Như vậy, nếu chúng ta có một tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn N, thì tập hợp đó là A-lấy mẫu nếu và chỉ nếu nó là ( B / ∼)-lấy mẫu.
Giảm bậc của N xuống N < | B / ∼ |, ta chỉ ra rằng nếu N = | B / ∼ | thì
|A| = | B / ∼ | Khi đó với mọi n ≥ N, n không nằm trong bất kì tập hợp nào của
Vì vậy giả sử N = | B / ∼ | Mọi số nguyên dương n < N đều là một ( B / ∼)- tổng, và do đó nó cũng là một A-tổng, suy ra |A| ≥ | B / ∼ | Nếu |A| > | B / ∼
| = N thì N là tổng củaA-lấy mẫu σ Theo điều kiện thứ hai thì N không thuộc bất kì tập hợp nào của A (vì | B | = | B / ∼ |) Do đó σ chứa ít nhất 2 phần tử. Nhưng khi đó mọi phần tử của σ đều bé hơn N Vì vậy theo giả thiết trên σ là một ( B / ∼)-lấy mẫu, mẫu thuẫn với N = | B / ∼ |.
Giả sửN < | B | Nếu N là một phần tử của ∪ B, ta nói N ∈ B i, khi đó N vừa nằm trong A i (theo điều kiện thứ nhất) và cũng nằm trong < B i >, theo định nghĩa tập thương Đây là điều ta cần chứng minh, ta cũng giả rằng N không nằm trong ∪ B.
Gọi σ N là ( B / ∼)-lấy mẫu với tổng N Nếu σ N có nhiều hơn một phần tử, theo giả thiết trênσ N cũng là một A-lấy mẫu Trong trường hợp, N không nằm trong tập hợp của A hoặc của ( B / ∼).
Trường hợp cuối cùng: N không nằm trong ∪ B và σ N = {N } là ( B / ∼)-lấy mẫu với tổngN, ta nóiN là phần tử của một số tập hợp< B j >của( B / ∼).
Bổ đề 2.3.2 Gọi ( B / ∼) là một tập thương hỗn hợp, viết B = (B i ) 0≤i thì tồn tại các số nguyên dương s, t, u sao cho : i) s < t + u < N. ii) s + N = t + u. iii) s và u nằm trong < B j >. iv) Tồn tại k sao cho t ∈ B k và < B k >6=< B j >.
Chứng minh Với 0 ≤ i < 1, đặt b i = min B i
Theo định nghĩa tập thương, N là tổng của một [B j ]-lấy mẫu w ([B j ] là lớp tương đương của B j ) Do N không nằm trong ∪ B nên w chứa ít nhất 2 phần tử Gọi r là phần tử bất kì của w, r không phải là phần tử lớn nhất của w, khi đó r ∈ B i với B i ∼ B j Đặt u = N − r Vì u là tổng của tập khác rỗng [B j ]- lấy mẫu w \ {r}, ta có u nằm trong < B j > Với r được chọn, ta sử dụng quan hệ tương đương hỗn hợp ∼, suy ra u ≥ max (w \ {r}) ≥ b i+2. Đặt t = b i+1 và s = b i+1 − r = t + u − N Khi đó s < t < b i+2 ≤ u < N Từ đó ta có t ∈ B i+1, ta cần chứng minh s nằm trong < B j > Ta có r ∈ B i suy ra s = b i+1 − r ∈ B i, từ đó B i là tập hợp các bội dương của b i nhỏ hơn b i+1 Vậy
Mô tả hệ thống số Anh
Định nghĩa 2.4.1 Cho n là một số nguyên dương và C là bộ các tập hợp các số nguyên dương Ta định nghĩa C = B I−1 và Bổ đề 2.5.6 ta có z ∈ B I−1
Nhận xét 2.5.8 Trong Mệnh đề 2.5.7, từ (iii) và (iv) suy ra C U = B / ∼, ta có thể loại trừ số các phần tử có f U (u) = 0, và ở đó có nhiều nhất một phần tử như vậy. Định lý 2.5.9 Gọi U là hợp của một hệ thống số cộng tính A. i) Khi đó C U là một hệ thống số cộng tính. ii) Giả sử tồn tại các số nguyên s ≥ 2 và z ≥ 1 sao cho s là phần tử lớn nhất của U là z, 2z, , sz Khi đó:
(a) C U có thể thu gọn được và,
(b) A bằng với C U hoặc là thu gọn của C U iii) Nếu không có số nguyên s và z như trong (ii) thì A bằng C U
Chứng minh Cho C = C U Nếu U không chứa cả 1 và 2 thì dễ thấy rằng A là tập rỗng hoặc {1} Trong cả hai trường hợp đó, không tồn tại số nguyên s và z như trong (ii), và khi đó C = A Vì vậy, ta có thể giả sử rằng U chứa1 và 2 Xét các điều kiện sau đây: i) A 6= C. ii) Tồn tại các số nguyên s ≥ 2 và z ≥ 1 sao cho s là phần tử lớn nhất của U là z, 2z, , sz. iii) C là thu gọn (đặc biệt, C là một hệ thống số cộng tính). iv) A là thu gọn của C Ta thấy rằng (i) suy ra (ii), (iii) và (iv) Điều này chứng minh tất cả Định lý 2.5.9, ngoại trừ phần đầu tiên của (ii); do đó ta chứng minh riêng rằng (ii) suy ra (iii). Áp dụng Định lí 2.3.1, viếtAdưới dạng thương hỗn hợp B / ∼để ta có thể áp dụng Mệnh đề 2.5.7 Giả sử B = (B i ) 0≤i