Định nghĩa và ý nghĩa của Direction field: - Trường định hướng là biểu diễn đồ thị của phương trình vi phân cấp một.Mặc dù trường định hướng có thể được sử dụng để hình dung nghiệm của p
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1 GVHD: THs Lê Nguyễn Hạnh Vy NHÓM: GT1-DT04-09 Ngày 27 tháng 7 năm 2023 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 STT MSSV Bảng phân công công việc 1 1915228 Họ Tên Phân công công việc Ghi chú 2 2113198 3 2212255 Ngô Quốc Thắng Word - Powerpoint Không 4 2212689 Nguyễn Minh Đông Câu 2 tham gia 5 2248067 Đỗ Ánh Ngọc Câu 1 6 2213581 Mai Huy Phương Câu 1 Hồ Trung Tín Câu 2 Trần Thị Thanh Trâm Nội dung câu hỏi Đề bài: (đề số 5) Câu 1: Tìm hiểu về Direction field (9.2) và mô hình quần thể đa loài (9.6 Predator - Prey System) trong James Stewart, Calculus - Early transcendantals Câu 2: Tìm hiểu cách sử dụng Slope Field Plotter để vẽ direction field Vẽ minh họa direction fields cho phương trình y’= f(x,y) và hàm nghiệm cùa bài toán y’= f(x,y),y(x0)= y0 dựa trên direction field này 1 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 Nhận xét của GV hướng dẫn 2 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 Mục lục Câu 1 4 1.1 4 1.2 8 Câu 2 14 Tổng kết 16 Tài liệu tham khảo 17 3 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 1 Câu 1 1.1 Direction field – Trường định hướng 1.1.1 Định nghĩa và ý nghĩa của Direction field: - Trường định hướng là biểu diễn đồ thị của phương trình vi phân cấp một.(Mặc dù trường định hướng có thể được sử dụng để hình dung nghiệm của phương trình vi phân cấp một nhưng trường định hướng không phải là đồ thị nghiệm của phương trình vi phân) - Bằng cách sử dụng trường định hướng, có thể biểu diễn một phương trình hoặc bất đẳng thức dưới dạng một đồ thị 1.1.2 Cơ sở lý thuyết: Giả sử xét phương trình vi phân cấp 1 có dạng 𝑦′ = 𝐹(𝑥, 𝑦) trong đó 𝐹(𝑥, 𝑦) là biểu thức nào đó theo x và y Ta có hệ số góc của một đường cong nghiệm tại một điểm (𝑥0, 𝑦0) trên đường cong là 𝐹(𝑥0, 𝑦0) Nếu ta vẽ các đoạn thẳng ngắn tại mỗi điểm (𝑥0, 𝑦0) tương ứng với hệ số góc 𝐹(𝑥0, 𝑦0), ta nhận được Trường định hướng Các đoạn thẳng này cho thấy hướng mà một đường cong nghiệm đang tiến về Mật độ điểm được vẽ càng dày đặt giúp ta càng dễ xác định chính xác hình dạng của đường cong nghiệm Độ dày đặc thấp Độ dày đặc cao Hình 1.1: Trường định hướng của phương trình vi phân 𝑦′ = 𝑥 + 𝑦 4 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 1.1.3 Ví dụ : Câu 1: Vẽ trường định hướng của phương trình vi phân 𝒙𝒚′ = 𝟐𝒚 Lời giải 𝑥𝑦′ = 2𝑦 𝑦′ = 2𝑦 𝑥 Tiếp theo chọn vài điểm trên mỗi góc phần tư cũng như trên hai trục Tính hệ số góc tại các điểm đã chọn đó 𝑥 -2 -2 -2 0 0 2 2 2 𝑦 2 0 -2 2 -2 2 0 -2 𝑦′ = 2𝑦 -2 0 2 ∞ -∞ 2 0 -2 𝑥 Cuối cùng có thể vẽ các đoạn thẳng ngắn tại mỗi điểm dựa vào hệ số góc 5 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 Hình 1.2 Trường định hướng của phương trình vi phân 𝑥𝑦′ = 2𝑦 Câu 2: Vẽ hai đường cong nghiệm của phương trình vi phân 𝒚′ = 𝒚 Xác định trường định hướng của phương trình vi phân 𝑦′ = 𝑦 6 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 Để xác định đường cong nghiệm, ta bắt đầu từ phía ngoài cùng bên trái của trường định hướng Khi di chuyển dần dần về bên phải, ta sẽ thấy được các đoạn thẳng ngắn Nếu các đoạn thẳng này có hệ số góc âm, đường cong nghiệm di chuyển dần xuống dưới Và ngược lại, nếu các hệ số góc dương, đường cong nghiệm đi lên Hình 1.3 Hai đường cong nghiệm của phương trình vi phân 𝑦′ = 𝑦 1.2 Mô hình quần thể đa loài (Predator – Prey System) 1.2.1 Mô hình quần thể đa loài là gì? 7 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 Là một cấu trúc sinh thái lưới thức ăn thẳng đứng được mô tả bởi một phương trình vi phân thông thường có các biến số đại diện cho thảm thực vật được chăn thả bởi động vật ăn cỏ và sau đó được ăn bởi động vật ăn thịt Các tham số mô tả tốc độ tăng trưởng hoặc tỷ lệ tử vong tương ứng của từng loài trong các điều kiện khác nhau 1.2.2 Cơ sở lý thuyết: Một số tình huống yêu cầu nhiều hơn một phương trình vi phân để mô hình hóa một tình huống cụ thể Chúng ta có thể sử dụng một hệ phương trình vi phân để lập mô hình hai loài tương tác với nhau, một loài săn mồi loài kia Ví dụ: chúng ta có thể lập mô hình cách quần thể sói tương tác với quần thể thỏ Con mồi chính của sói là thỏ Chúng ta sẽ biểu thị số lượng thỏ rừng bằng R(t) và số lượng sói bằng W(t) , trong đó t là thời gian tính bằng năm - Nếu không có sói, thỏ rừng sinh sản với tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng của chúng và không bị ảnh hưởng bởi tình trạng quá đông Nghĩa là, dân số thỏ rừng sẽ tăng theo cấp số nhân: 𝑑𝑅 = 𝑎𝑅 (với a là một hằng số dương) 𝑑𝑡 - Vì sói săn thỏ rừng, nên tốc độ thỏ rừng bị sói săn được tỷ lệ thuận với tốc độ tương tác giữa thỏ rừng và sói Do đó, phương trình dự đoán tốc độ thay đổi của quần thể thỏ rừng trở thành: 𝑑𝑅 = 𝑎𝑅 − 𝑏𝑅𝑊 (với a,b là một hằng số dương) 𝑑𝑡 Với RW là số lần tương tác có thể có giữa sói và quần thể thỏ rừng - Nếu không có thức ăn, quần thể sói sẽ giảm với tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng của nó: 𝑑𝑊 = −∝ 𝑊 (với α là hằng số dương) 𝑑𝑡 - Tốc độ sinh ra của sói tỷ lệ thuận với số lượng thỏ rừng bị ăn thịt và tỷ lệ này tỷ lệ thuận với tốc độ tương tác giữa thỏ rừng và sói Do đó, tốc độ tăng trưởng của quần thể sói có thể được mô tả bằng: 8 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 𝑑𝑊 = 𝑐𝑅𝑊−∝ 𝑊 (với c,α là hằng số dương) 𝑑𝑡 - Bây giờ chúng ta có một hệ phương trình vi phân mô tả cách hai quần thể tương tác với nhau 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝑎𝑅 − 𝑏𝑅𝑊 𝑑𝑊 𝑑𝑡 = 𝑐𝑅𝑊−∝ 𝑊 Chú ý rằng số hạng bRW làm giảm tỷ lệ tăng trưởng tự nhiên của con mồi và số hạng cRW làm tăng tỷ lệ tăng trưởng tự nhiên của thú săn Hệ phương trình này được gọi là hệ phương trình thú săn- con mồi, hoặc hệ phương trình Lotka – Volterra Nghiệm của hệ phương trình này là cặp hàm số R(t) và W(t) mô tả số lượng con mồi và thú săn dưới dạng các hàm số theo thời gian Bởi vì đây là hệ phương trình được ghép thành cặp (R và W xuất hiện trong cả hai phương trình), nên chúng ta không thể giải lần lượt từng phương trình này đến phương trình kia Ta phải giải chúng 1 cách đồng thời Không may là cho đến thời điểm hiện tại, ta không thể tìm được các công thức tường minh cho R và W dưới dạng các hàm số theo t, nhưng ta có thể sử dụng phương pháp Trường định hướng để phân tích các phương trình này 1.2.3 Ví dụ: Bây giờ ta sẽ gán giá trị cụ thể cho các hằng số a, b, α và c để phân tích thử mô hình trên Ví dụ: Giả sử quần thể thỏ và sói được mô tả bằng phương trình Lotka- Volterra với a = 0.08, b = 0.001, α = 0.02 và c = 0.00002 Thời gian t được tính theo tháng (a) Tìm các nghiệm cân bằng và nêu ý nghĩa sinh học của chúng (b) Sử dụng hệ phương trình vi phân để tìm một biểu thức cho 𝑑𝑊 𝑑𝑅 (c) Vẽ trường định hướng cho phương trình vi phân vừa tìm được trong mặt phẳng R-W Sau đó sử dụng trường định hướng đó để vẽ một vài đường cong nghiệm 9 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 (d) Giả sử vào một thời điểm nào đó có 1000 con thỏ và 40 linh miêu Vẽ đường cong nghiệm tương ứng và sử dụng nó để mô tả sự thay đổi về số lượng trong cả hai quần thể (e) Sử dụng câu (d) để vẽ đồ thị biễu diễn R và W theo biến t Lời giải a Thay các giá trị đề cho vào hệ 2 phương trình vi phân ta được: 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 0.08𝑅 − 0.001𝑅𝑊 𝑑𝑊 𝑑𝑡 = 0.00002𝑅𝑊 − 0.2𝑊 R và W sẽ là hằng số nếu đạo hàm của chúng bằng 0, khi đó: 𝑅′ = 𝑅(0.08 − 0.001𝑊) = 0 𝑊′ = 𝑊(0.00002𝑅 − 0.2) = 0 Một nghiệm của hệ là R = W = 0, điều này là hiển nhiên vì nếu không có con thỏ và sói nào thì kích thước mỗi quần thể chắc chắn sẽ không thay đổi và bằng 0 Một nghiệm khác của hệ là: 𝑊 = 0.08 = 80 và 𝑅 = 0.2 = 1000 0.001 0.00002 Vậy quần thể cân bằng sẽ có 1000 con thỏ và 80 con sói Điều này có nghĩa rằng 1000 con thỏ chỉ đủ để duy trì một số lượng sói là 80 con b Ta sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp để khử t: 𝑑𝑊 𝑑𝑊 = 𝑑𝑡 = 0.00002𝑅𝑊 − 0.2𝑊 𝑑𝑅 𝑑𝑅 0.08𝑅 − 0.001𝑅𝑊 𝑑𝑡 c Ta có phương trình vi phân W theo R: 𝑑𝑊 𝑑𝑊 = 𝑑𝑡 = 0.00002𝑅𝑊 − 0.2𝑊 𝑑𝑅 𝑑𝑅 0.08𝑅 − 0.001𝑅𝑊 𝑑𝑡 Ta tiến hành vẽ trường định hướng cho phương trình vi phân và dựa vào đó vẽ các đường cong nghiệm của hệ Ta thấy được mối liên hệ giữa R và W thay đổi thế nào qua thời gian và những đường cong nghiệm này là những đường cong khép kín Điểm (1000; 80) luôn nằm bên trong tất cả các đường cong nghiệm và ta gọi nó là điểm cân bằng vì nó tương ứng với số lượng quần thể ở trạng thái cân bằng R=1000, W=80 10 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 Hình 1.4: Trường định hướng của phương trình vi phân 𝑑𝑊 𝑑𝑅 Hình 1.5: Đường cong nghiệm của phương trình vi phân 𝑑𝑊 𝑑𝑅 d Ta vẽ đường cong nghiệm đi qua điểm P0(1000;40) 𝑑𝑅 Thay R=1000 và W=40 vào phương trình vi phân 𝑑𝑡 𝑑𝑅 = 0.08(1000) − 0.001(1000)(40) = 40 𝑑𝑡 Vì 𝑑𝑅 > 0 , ta kết luận được R đang tăng tại P0 và di chuyển ngược 𝑑𝑡 chiều kim đồng hồ 11 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 Hình 1.6: Đường cong nghiệm đi qua P0(1000;40) Tuy nhiên, tại P0 không đủ số lượng sói để duy trì sự cân bằng giữa các quần thể, vì thế số lượng thỏ tăng lên Điều đó dẫn đến có nhiều sói hơn và cuối cùng có rất nhiều sói đến nỗi quần thể thỏ khó tránh bị ăn thịt Vì vậy, tại điểm P1 số lượng thỏ bắt đầu giảm (sau khi R đạt đến cực đại 2800 con) Điều này dẫn đến sau một thời gian, quần thế sói bắt đầu giảm tại P2 (khi R=1000 và W≈140) Nhưng điều này có lợi cho thỏ, vì vậy quần thể của chúng sau đó bắt đầu tăng lên lại tại P3 (W=80 và R≈210) Kết quả là số lượng sói cuối cùng cũng tăng lên Điều này xảy ra khi các quần thể quay trở lại giá trị ban đầu là R=1000 và W=40 Toàn bộ chu kỳ bắt đầu lại e Mặc dù không thể tìm được công thức tường minh của W(t) và R(t), ta vẫn có thể ước tính được đồ thị của hai hàm số này Từ diễn tả về sự tăng giảm số lượng của thỏ và sói ở câu (d) ta có thể vẽ lại đồ thị của R và W theo t Giả sử rằng những điểm P1, P2 và P3 lần lượt xảy ra vào thời điểm t1, t2 và t3 12 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 Hình 1.7a: Đồ thị của R theo thời gian Hình 1.7b: Đồ thị của W theo thời gian Để dễ so sánh hơn, ta vẽ các biểu đồ trên cùng một hệ trục nhưng với các tỷ lệ 1 khác nhau cho R và W Ta nhận thấy thỏ đạt quần thể tối đa khoảng 4 chu kỳ trước sói Hình 1.8: Biểu đồ so sánh số lượng thỏ và sói tại từng thời điểm 13 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 2 Câu 2 Chương 2: Công cụ Slope Field Plotter của Geogebra Công cụ Slope Field Plotter của phần mềm Geogebra cho phép người sử dụng dựng trường định hướng và các đường cong nghiệm của phương trình vi phân Đây là công cụ rất cần thiết cho quá trình học tập và nghiên cứu toán học 2.1 Danh sách hàm dùng trong Slope Field Plotter: - SlopeField( f(x,y), Number n) : Dựng trường định hướng của phương trình vi phân 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) với độ dày đặc là 𝑛 × 𝑛 điểm trên màn hình - SolveODE( f’(x,y), Point on f) : Tìm đường cong nghiệm thỏa mãn phương trình vi phân 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) và đi qua điểm cho trước 2.2 Ví dụ: Bài 1: Cho phương trình vi phân 𝑦′ = 𝑦(𝑦 − 2)(𝑦 − 4) Vẽ trường định hướng và các đường cong nghiệm ứng với: y(0) =-0.3 y(0) =1 y(0) =3 y(0) =4.3 Ta có: Lời giải 𝑦′ = 𝑦(𝑦 − 2)(𝑦 − 4) = 𝑦(𝑦2 − 6𝑦 + 8 Hình 2.1: Trường định hướng và các đường cong nghiệm của phương trình vi phân 𝑦′ = 𝑦(𝑦 − 2)(𝑦 − 4) 14 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 Bài 2: Dựng trường định hướng của phương trình vi phân 𝑥𝑦′ = 2𝑦 và vẽ vài đường cong nghiệm thỏa mãn Lời giải Ta có: 𝑥𝑦′ = 2𝑦 𝑦′ = 2𝑦 𝑥 Hình 2.2: Trường định hướng và các đường cong nghiệm của phương trình vi phân 𝑥𝑦′ = 2𝑦 15 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 TỔNG KẾT: Các khái niệm, cơ sở lý thuyết và ví dụ về Direction Field và mô hình Predator - Prey System đã được trình bày khá đầy đủ trong bài báo cáo Tuy nhiên, vì lý do thời gian không nhiều cũng như lượng kiến thức còn hạn chế, bài báo cáo vẫn còn một số lỗi và nhóm chưa tìm hiểu được các ứng dụng nâng cao của những nội dung này - Về Geogebra, đây là phần mềm giúp vẽ Trường định hướng và các đường cong nghiệm một cách dễ dàng Tuy nhiên vẫn còn một số hạn chế như không chạy được với các phương trình vi phân khó hơn, vì thế nếu dùng phần mềm chuyên dụng khác như MATLAB sẽ khắc phục được những hạn chế này 16 BTL Giải tích 1 Nhóm 9 TÀI LIỆU THAM KHẢO: James Stewart, Daniel K Clegg, and Saleem Watson Calculus: Early Transcendentals Thomson Learning, 2008 17