Câu II Cho hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại A và B.. Trên tia đối tia AB lấy điểm M.. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của P B và AC, F là giao điểm củ
Trang 1Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP.HCM 2011-2012
Môn: TOÁN VÒNG 1 www.vnmath.com Câu I
Giải hệ phương trình sau:
xy+1 = (y + 1)x
√
−4x2+ 18x − 20 + 2x2x22−9x+6−9x+8 =√
y + 1
Câu II
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B Trên tia đối tia AB lấy điểm M Cát tuyến qua B cắt (O1) và (O2) lần lượt tại C và D (B nằm giữa C và D) Đường thẳng M C cắt (O1) tại P khác C Đường thẳng M D cắt (O2) TẠI Q khác D Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD,
E là giao điểm của P B và AC, F là giao điểm của QB và AD Chứng minh
M O vuông góc với EF
Câu III
Cho a; b; c > 0 Chứng minh:
1 a(b + 1) +
1 b(c + 1) +
1 c(a + 1) ≥ 3
1 + abc. Câu IV
Cho đa thức P (x) = x2012− mx2010+ m(m 6= 0) Giả sử P (x) có 2012 nghiệm thực Chứng minh có ít nhất một nghiệm thỏa | x0 |≤√2
Câu V
Cho các số nguyên x, y thỏa mãn x2−2xy+y2−5x+7y và x2−3xy+2y2+x−y đều chia hết cho 17 Chứng minh xy − 12x + 15y chia hết cho 17
1
www.VNMATH.com
Trang 2Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP.HCM 2011-2012
Môn: TOÁN VÒNG 2 www.vnmath.com Câu I
Tìm tất cả các hàm f (x) : R → R thỏa: f (f (x) + y) = f (x2 − y) + 4yf (x) với mọi x, y ∈ R
Câu II
Cho a; b; c > 0 Chứng minh:
ab2
a2+ 2b2+ c2 + bc
2
b2+ 2c2+ a2 + ca
2
c2+ 2a2+ b2 ≤ a + b + c
Câu III
Cho 4ABC nội tiếp (O) Trên AC và AB lần lượt lấy 2 điểm P và Q Gọi
M, N, J lần lượt là trung điểm BP, CQ, P Q Cho (M N J ) cắt P Q tại R Chứng minh OR ⊥ P Q
Câu IV
Cho dãy (un) được định bởi:
u1 = 45
un+1 = u2n
u 4
n −8u 2
n +8∀n ∈ N∗ Tìm công thức tổng quát của dãy un
Câu V
Tìm tất cả các số nguyên dương a, b thỏa mãn (ab)2− 4(a + b) là một bình phương của 1 số nguyên
2
www.VNMATH.com