Giáo trình độ đo tích phân ( bản tiếng anh)

Độ đo tích phân bài tập liên quan về độ đo giúp sinh viên nắm vững kiến thức luyện các dạng bài tập liên quan đến học phần. ngoài ra giáo trình còn đề cập những lý thuyết nâng cao giúp sinh viên tìm tòi phục vụ cho việc học tập, nghiên cứu

ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC HUẾ

Huế - 2012

viên Khoa Toán, Trường ĐHSP - Đại học Huế Giáotrình này được dùng để giảng dạy và học tập họcphần “Độ đo và Tích phân”, mã số: TOAN3383.

Lý thuyết độ đo và tích phân là một phần quan trọng trong lý thuyết hàm

số thực mà cùng với giải tích hàm tạo nên những kiến thức giải tích cơ bảncho sinh viên cũng như những người làm toán Đây là giáo trình thứ hai về

giải tích hiện đại sau giáo trình “Metric Spaces and General Topology” [13] của

cùng tác giả

Giáo trình này gồm có 3 chương Chương 1 dành cho việc trình bày lýthuyết độ đo Nhiều tác giả đã xét độ đo trên một nửa vành, một số tác giả

lại xét độ đo trên một σ-đại số Ở đây chúng tôi xin giới thiệu độ đo trên một

đại số tập hợp mà những phần tử của đại số này có bản chất tùy ý Vấn đề

độ đo sinh bởi một độ đo ngoài được đề cập khá chi tiết và kết quả đáng lưu

ý nhất là Định lý mở rộng tiêu chuẩn một độ đo Chương 1 cũng trình bàymột nội dung quan trọng là độ đo Lebesgue trên Rk với đặc điểm nổi bật làtính bất biến qua các phép dời Cách viết nội dung này của Frank Jones trong

“Integration on Euclidean Space” [9] là hết sức phù hợp nên tôi đã chọn lọc để

trình bày tính bất biến của độ đo Lebesgue theo cuốn sách đã nêu

Thay thế cho các hàm số liên tục trong giải tích cổ điển là lớp các hàm số

đo được Chương 2 dành cho việc nghiên cứu các hàm số này Chúng ta sẽ thấyrằng lớp các hàm số đo được là tổng quát hơn và rộng hơn lớp các hàm số liêntục Ngoài việc có được các tính chất tốt của lớp các hàm liên tục, các hàm số

đo được còn có thêm những tính chất khác, chẳng hạn như giới hạn của mộtdãy những hàm đo được là đo được, Các khái niệm hội tụ hầu khắp và hội

tụ theo độ đo cũng như mối liên hệ giữa hai loại hội tụ này đã được khảo sátđầy đủ

Tích phân Lebesgue được trình bày trong Chương 3 Như ta đã biết, mộthàm khả tích Riemann trên một hình hộp đóng ∆ của Rk thì bị chặn Trong

lý thuyết tích phân Riemann, ta không có được một điều kiện cần và đủ thuậnlợi để kiểm nghiệm tính khả tích của một hàm như vậy Nhờ vào lý thuyết độ

đo, vào đầu thế kỷ 20, H Lebesgue đã chứng minh được tiêu chuẩn khả tíchcho một hàm bị chặn là hàm đó phải liên tục “hầu khắp” hình hộp đó Điềunày cho thấy sự hạn chế của tích phân Riemann, vì trong nhiều vấn đề của

sự thay thế hoàn hảo để khắc phục các hạn chế của tích phân Riemann H.Lebesgue đã đề ra một ý kiến độc đáo là thay vì nhóm các điểm gần nhau củahộp ∆ (như với các phân hoạch), ta nhóm các điểm của ∆ mà giá trị của hàm

là gần nhau Hơn nữa, việc xây dựng tích phân Lebesgue được tiến hành trênmột không gian độ đo trừu tượng mà khái niệm liên tục hoàn toàn không cónghĩa Các tính chất đặc sắc của tích phân Lebesgue như chuyển giới hạn qua

dấu tích phân, tính σ-cộng được, tính liên tục tuyệt đối cũng được giới thiệu

chi tiết Nội dung cuối cùng của Chương 3 dành cho việc trình bày khái niệmtích độ đo và định lý Fubini, một định lý trung tâm của lý thuyết các tíchphân bội

Các ký hiệu toán học trong giáo trình là phù hợp với ký hiệu quốc tế.Khi trích dẫn một Định lý hay một mệnh đề mà không thuộc về chương đangxét thì đều có kèm theo số chương, chẳng hạn Định lý 1.3.8, Ch 1 Cuối mỗichương đều có một hệ thống bài tập theo các nội dung lớn của từng chương.Việc nắm vững lý thuyết của giáo trình đã khó, giải bài tập lại càng khó hơn

Dù vậy, vẫn có những bài tập mà lời giải không quá phức tạp có thể được hoànthành với việc áp dụng một vài định lý thích hợp Các bài tập đều có lời giải(chi tiết hoặc tóm tắt) hoặc có hướng dẫn Phần lớn bài tập được sưu tập từ[1], [2], [5] và [7] Hy vọng rằng hệ thống bài tập này sẽ giúp cho người họcnắm vững thêm nội dung và có được những kỹ năng cơ bản cho việc giải toán.Tác giả xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong Tổ Giải tích, KhoaToán, ĐHSP-Đại học Huế về những góp ý hữu ích khi biên soạn giáo trìnhnày

Huế, ngày 01 tháng 10 năm 2012

Lương Hà

LỜI NÓI ĐẦU ii

1 Một số kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Giới hạn trên và Giới hạn dưới 2

1.2 Tập số thực mở rộng 3

1.3 Đại số tập hợp 4

2 Độ đo 6

2.1 Khái niệm độ đo 6

2.2 Độ đo ngoài 10

2.3 Độ đo ngoài sinh bởi một độ đo 13

2.4 Mở rộng tiêu chuẩn một độ đo 15

3 Độ đo Lebesgue 18

3.1 Độ đo Lebesgue trên R 18

3.2 Độ đo Lebesgue trên không gian nhiều chiều 28

3.3 Tính bất biến của độ đo Lebesgue 30

Bài tập Chương 1 37

Hướng dẫn và giải bài tập Chương 1 42

2 Hàm số đo được 53 1 Khái niệm hàm đo được 54

1.1 Định nghĩa và một số tính chất sơ cấp 54

1.2 Các phép toán trên các hàm đo được 57

1.3 Cấu trúc của các hàm đo được 59

2 Hội tụ theo độ đo 64

2.1 Hội tụ theo độ đo và tính chất 64

2.2 Quan hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp 66

Bài tập Chương 2 68

Hướng dẫn và giải bài tập Chương 2 72

3 Tích phân Lebesgue 81 1 Xây dựng tích phân Lebesgue 81

1.1 Tích phân cho hàm đơn giản không âm 82

1.2 tích phân cho hàm đo được không âm 83

1.3 Tích phân một hàm đo được bất kỳ 85

2 Các tính chất cơ bản 87

2.1 Cộng tính 87

2.2 Bảo toàn thứ tự 88

2.3 Tuyến tính 90

2.4 Tính khả tích 92

3 Chuyển giới hạn qua dấu tích phân 93

3.1 Các định lý cơ bản 93

3.2 Tính σ-cộng được và tính liên tục tuyệt đối 98

3.3 So sánh với tích phân Riemann 101

4 Độ đo trên không gian tích 112

4.1 Tích độ đo 112

4.2 Định lý Fubini 118

Bài tập Chương 3 124

Hướng dẫn và giải bài tập Chương 3 133

Tài liệu tham khảo 155

Chỉ mục 156

Lý thuyết độ đo

Lý thuyết các hàm số liên tục và tích phân Riemann đã không đủ rộng để giảiquyết nhiều bài toán của giải tích Khoảng đầu thế kỷ 20, lý thuyết độ đo đãkhai sinh Các nhà toán học vào thời đó đã nhận thức được rằng để có đượcmột sự hiểu biết tốt hơn về cấu trúc của các hàm số, người ta cần phải nghiêncứu một cách thấu đáo các tập con của các không gian Euclide Rn Để nghiêncứu những tập này, rõ ràng các khái niệm như “độ dài” và “diện tích” phảiđược tổng quát hóa Khái niệm “độ đo” của một tập hợp điểm đã bắt nguồn

từ thời kỳ đó

Mục tiêu của chương này là trình bày

1) Khái niệm độ đo trên một đại số tập hợp và các tính chất cơ bản của một độ đo;

2) Khái niệm độ đo ngoài và mở rộng tiêu chuẩn một độ đo;

3) Xây dựng độ đo Lebesgue trên R và trên R k , các tính chất cơ bản của

độ đo Lebesgue, tập không đo được và sự bất biến của độ đo Lebesgue qua các phép dời.

Trước hết ta cần nhắc lại một số kiến thức cần thiết cũng như bổ sung một

số kiến thức chuẩn bị

§ 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Định nghĩa Cho (x n)n là một dãy số thực Số thực a được gọi là một

giới hạn riêng của dãy (x n)n nếu tồn tại một dãy con (x n k)k của dãy (x n)n mà

n x n= sup

n

³inf

Bản chất của giới hạn trên và giới hạn dưới được cho bởi định lý sau

1.1.3 Định lý Cho (x n)n là một dãy số thực bị chặn Lúc đó giới hạn trên

và giới hạn dưới của (x n)n chính là giới hạn riêng lớn nhất và giới hạn riêng nhỏ nhất của dãy (x n)n

điều ngược lại cũng đúng

1.1.4 Định lý Cho (x n)n là một dãy số thực bị chặn Nếu lim

2) Với hai dãy bị chặn (x n)n và (y n)n, ta có

Lưu ý rằng các biểu thức ∞ − ∞ hoặc ∞ + ∞ là không có nghĩa.

Ngoài ra, tập R được sắp thứ tự với phần tử lớn nhất là +∞, và phần tử nhỏ nhất là −∞ Hơn nữa,

6) −∞ < x < ∞ với mọi x ∈ R.

Một dãy số thực bị chặn thì luôn luôn có giới hạn trên và giới hạn dưới,

và chúng đều là những số thực Bây giờ nếu (x n)n là một dãy số thực không

bị chặn thì ta có thể thấy rằng lim

n x n và lim

n x n tồn tại trong R Như vậy, mỗi

dãy số thực đều có giới hạn trên và giới hạn dưới trong R.

Một dãy số thực (x n)n được gọi là có giới hạn bằng +∞, ký hiệu là lim

n x n=

+∞ hoặc x n → +∞, nếu với mỗi A > 0, tồn tại n o ∈ N sao cho x n > A với

mọi n ≥ n o Tương tự, nếu với mỗi A > 0, tồn tại n o ∈ N sao cho x n < −A

với mọi n ≥ n o , thì dãy (x n)n được gọi là có giới hạn bằng −∞, ký hiệu là

lim

n x n = −∞ hoặc x n → −∞ Như vậy, ta có

1.2.2 Định lý Mỗi dãy đơn điệu những số thực thì có giới hạn.

Nói một cách chính xác thì mỗi dãy tăng sẽ hội tụ hoặc có giới hạn là +∞.

Và mỗi dãy giảm thì hội tụ hoặc có giới hạn là −∞.

đều thuộc C Ngoài ra, nếu A, B thuộc về C thì A ∩ B, A \ B và A∆B cũng thuộc C.

Chứng minh Theo định nghĩa, tồn tại A ∈ C Theo 2), A c ∈ C Và do đó

theo 1) thì X = A ∪ A c ∈ C Từ 2), ∅ = X c ∈ C.

Ta có A ∩ B = (A c ∪ B c)c ; A \ B = A ∩ B c ; A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) nên

dễ dàng suy ra các tập A ∩ B, A \ B và A∆B cũng thuộc C nếu A, B ∈ C.¥ 1.3.3 σ-đại số Một họ không rỗng C ⊂ P(X) được gọi là một σ-đại số trên X nếu

1.3.4 Lưu ý

1) Nếu C là một σ-đại số thì C là một đại số.

2) Giả sử C là một σ-đại số trên X Lúc đó, nếu (A n)n ⊂ C thì ∞ ∩

n=1 A n ∈ C.

1.3.5 Định lý Cho C ⊂ P(X) là một lớp không rỗng Lúc đó tồn tại duy nhất

một σ-đại số F(C) chứa C và chứa trong mọi σ-đại số chứa C.

Chứng minh Ta ký hiệu F(C) là giao của tất cả các σ-đại số trên X mà

chứa C Có thể kiểm tra được rằng F(C) là một σ-đại số Rõ ràng F(C) chính

là σ-đại số cần tìm.¥

Như vậy σ-đại số F(C) là σ-đại số nhỏ nhất chứa C, và được gọi là σ-đại

số sinh ra bởi C Nhận xét sau tỏ ra có ích.

1.3.6 Bổ đề Nếu A ⊂ F(C) thì F(A) ⊂ F(C).

1.3.7 σ-đại số Borel.

Cho X là một không gian tôpô Lúc đó σ-đại số sinh ra bởi họ các tập mở của X được gọi là σ-đại số Borel trên X, ký hiệu là B X hoặc đơn giản là B Mỗi phần tử của B X được gọi là một tập Borel.

Như vậy mỗi tập mở là tập Borel Vì mỗi tập đóng là phần bù của một

tập mở nên mỗi tập đóng cũng là một tập Borel Do đó, mọi tập G δ , F σ cũng

là tập Borel Nhắc lại rằng một tập con của X gọi là một tập G δ nếu nó biểu

diễn thành giao của một họ đếm được những tập mở, và một tập con của X gọi là tập F σ nếu nó là hợp của một họ đếm được những tập đóng Tổng quáthơn, hợp, giao của một họ không quá đếm được những tập Borel là tập Borel,hiệu và hiệu đối xứng của hai tập Borel cũng là tập Borel, và phần bù của mộttập Borel là tập Borel

1.3.8 Định lý Giả sử X là một không gian tôpô Lúc đó σ-đại số Borel trên

X cũng là σ-đại số sinh bởi lớp các tập đóng.

Chứng minh Gọi M, N lần lượt là lớp các tập mở và lớp các tập đóng của X Ta có B X = F(M) Mỗi tập đóng là một tập Borel nên N ⊂ B X, do

đó, theo bổ đề 1.3.6, F(M) ⊂ B X Mặt khác, mỗi tập mở là phần bù của một

tập đóng nên M ⊂ F(N ), và vì vậy B X ⊂ F(N ) Từ đó ta có điều cần chứng

minh ¥

Trên đường thẳng thực R với tôpô thông thường, ta có kết quả sau:

1.3.9 Mệnh đề σ-đại số Borel trên R được sinh bởi một trong các lớp sau:

(5) lớp các tia đóng C7 = {[a; +∞) : a ∈ R} hoặc C8 = {(−∞; a] : a ∈ R} Chứng minh Các phần tử của C j với j 6= 3, 4 là tập mở hoặc tập đóng, còn các phần tử của C3 và C4là những tập G δ , chẳng hạn ta có (a; b] = ∞ ∩

n=1 (a; b+1

n)

Tất cả các phần tử này là tập Borel nên theo bổ đề 1.3.6, F(C j ) ⊂ BR với mọi

j = 1, 2, , 8 Mặt khác, mỗi tập mở của R là hợp của một họ không quá

đếm được những khoảng mở nên BR ⊂ F(C1) Với j ≥ 2, ta sẽ chứng tỏ rằng

BR⊂ F(C j ) bằng cách chỉ ra rằng mọi khoảng mở đều thuộc về F(C j) rồi áp

dụng bổ đề 1.3.6 Chẳng hạn, (a; b) = ∞ ∪

n=1 (a + 1

n ; b − 1

n ) ∈ F(C2) Đối với cáctrường hợp còn lại, việc kiểm chứng xem như bài tập dành cho người đọc.¥

Cho C ⊂ P(X) Một ánh xạ f : C → R được gọi là một hàm tập.

Mệnh đề c) được gọi là tính σ-cộng được của độ đo.

Độ đo µ gọi là hữu hạn nếu µX < +∞.

Độ đo µ gọi là σ-hữu hạn nếu X = ∞ ∪

n=1 X n mà X n ∈ C và µX n < +∞ với

mọi n ∈ N.

Có thể chứng minh được rằng trong trường hợp độ đo µ là σ-hữu hạn thì

ta có thể chọn dãy (X n)n ⊂ C sao cho hoặc X n ⊂ X n+1 với mỗi n ∈ N hoặc các X n là rời nhau đôi một.

2.1.2 Ví dụ

1) Cho µ là hàm tập xác định trên đại số C mà µA = 0 với mọi A ∈ C Lúc

Giả sử A 6= ∅ Nếu a / ∈ A thì a / ∈ A n với mọi n Do đó, µA = 0 và µA n = 0

với mọi n Ta thu được đẳng thức như trường hợp trên.

Nếu a ∈ A thì có n o để a ∈ A n o và a / ∈ A n với mọi n 6= n o Như vậy,

µA = 1, µA n o = 1 và µA n = 0 với mọi n 6= n o Ta suy ra

n

X

n=1

µA n = µA n o = 1 = µA.

Tóm lại, µ là một độ đo trên C Đây là một độ đo hữu hạn.

3) Cho C = P(X) Xét hàm tập µ xác định trên C bởi công thức µA = +∞ nếu tập A là vô hạn, và µA = số phần tử của A nếu tập A là hữu hạn.

Đề nghị người đọc kiểm chứng µ là một độ đo σ-hữu hạn Độ đo này được gọi là độ đo đếm trên X.

Trong các định lý tiếp theo đây, C là một đại số trên X.

2.1.3 Định lý Cho µ là một độ đo trên C Lúc đó, các mệnh đề sau là đúng:

1) Nếu A1, A2, , A n là n phần tử tùy ý của C, rời nhau đôi một thì µ( ∪ n

i=1 A i) = Pn

i=1

µA i 2) Nếu A, B là hai phần tử của C mà A ⊂ B thì µA ≤ µB Nếu thêm điều kiện µA < +∞ thì µ(B \ A) = µB − µA.

Chứng minh

1) Vì C là một đại số nên ∪ n

i=1 A i ∈ C Đặt A i = ∅ nếu i > n Lúc đó dãy

(A i)i nằm trong C, rời nhau đôi một và ∞ ∪

Nhưng µ(B \A) ≥ 0 nên µA ≤ µB Trường hợp µA < +∞ thì hiệu số µB −µA

là có nghĩa nên µ(B \ A) = µB − µA.¥

Tính chất của độ đo trong 1) gọi là tính cộng được.

2.1.4 Định lý Cho µ là một độ đo trên C Lúc đó các mệnh đề sau là đúng:

1) Nếu A ∈ C và (A n)n ⊂ C sao cho A ⊂ ∞ ∪

n=1 A n thì µA ≤ P∞

n=1

µA n 2) Nếu (A n)n ⊂ C là rời nhau đôi một, A ∈ C sao cho ∞ ∪

2.1.5 Định lý.

1) Cho (A n)n ⊂ C mà µA n = 0 với mỗi n ∈ N và ∞ ∪

n=1 A n ∈ C Lúc đó µ( ∞ ∪

n=1 A n ) = 0.

2) Giả sử A, B là hai phần tử của C mà µB = 0 Lúc đó

µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µA.

Chứng minh

1) Kết quả được suy ra ngay từ mệnh đề 1) của Định lý 2.1.4

2) Ta có A ⊂ A ∪ B nên µA ≤ µ(A ∪ B) Mặt khác, µ(A ∪ B) ≤ µA + µB =

µA nên ta có µ(A ∪ B) = µA.

Ta lại có A \ B = A \ (A ∩ B) nên µ(A \ B) = µ(A \ (A ∩ B)) Vì µ(A ∩ B) ≤

µB = 0 nên µ(A ∩ B) = 0 Do đó µ(A \ B) = µA − µ(A ∩ B) = µA.¥

2.1.6 Định lý

1) Cho (A n)n ⊂ C mà A n ⊂ A n+1 với mỗi n ∈ N và ∞ ∪

n=1 A n ∈ C Lúc đó µ( ∞ ∪

n=1 A n) = lim

n µA n 2) Giả sử (A n)n ⊂ C mà A n ⊃ A n+1 với mỗi n ∈ N và ∞ ∩

n Từ giả thiết ta suy

ra µA n < +∞ với mỗi n và do đó µ( ∞ ∩

n=1 A n ) < +∞.

νA i với mỗi n ∈ N.

2) Nếu µ là một độ đo trên một đại số C ⊂ P(X) thì µ sẽ là một độ đo ngoài khi và chỉ khi C = P(X) Ta sẽ thấy rằng một độ đo ngoài thì không

(1) µ ∗ E = µ ∗ (E ∩ A) + µ ∗ (E \ A) với mọi E ⊂ X.

Ta ký hiệu L là lớp tất cả các tập µ ∗-đo được

Vì ta luôn luôn có bất đẳng thức µ ∗ E ≤ µ ∗ (E ∩ A) + µ ∗ (E \ A) nên A là

µ ∗-đo được nếu

(1’) µ ∗ E ≥ µ ∗ (E ∩ A) + µ ∗ (E \ A) với mọi E ⊂ X.

Ta có kết quả sau:

2.2.5 Mệnh đề Nếu µ ∗ A = 0 thì A là µ ∗ -đo được.

Chứng minh Xét E ⊂ X Ta có E = (E ∩ A) ∪ (E \ A) nên theo Nhận xét 2.2.2, ta có µ ∗ E ≤ µ ∗ (E ∩ A) + µ ∗ (E \ A) Theo tính đơn điệu của độ đo ngoài thì µ ∗ (E ∩ A) = 0 nên µ ∗ (E ∩ A) + µ ∗ (E \ A) ≤ µ ∗ E Do đó (1’) là đúng

nên A là µ ∗-đo được.¥

Để chứng minh thêm một số tính chất của các tập µ ∗-đo được, ta cần bổ

Chứng minh Ta tiến hành chứng minh theo quy nạp Rõ ràng kết quả là

đúng khi n = 1 Giả sử đẳng thức đúng cho đến n > 1 Xét A1, A2, , A n , A n+1

là những tập µ ∗ -đo được, rời nhau đôi một Với E ⊂ X, ta có

2.2.7 Định lý Lớp L các tập µ ∗ -đo được là một σ-đại số trên X.

Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.5 thì tập rỗng là một phần tử của L nên

L là khác rỗng.

Nếu A ∈ L thì µ ∗ E = µ ∗ (E ∩ A) + µ ∗ (E ∩ A c ) với mọi E ⊂ X Vì

(E ∩ A ∩ B) ∪ (E ∩ A ∩ B c ) ∪ (E ∩ A c ∩ B) = E ∩ (A ∪ B)

nên µ ∗ E ≥ µ ∗ (E ∩ (A ∪ B)) + µ ∗ (E ∩ (A ∪ B) c ) ≥ µ ∗ E Như vậy A ∪ B ∈ L.

Đến đây ta đã chứng minh được L là một đại số Bây giờ ta sẽ chứng minh

L đóng kín đối với phép hợp đếm được Xét (A n)n ⊂ L Gọi A = ∞ ∪

2.2.8 Định lý (Carathéodory) Cho µ ∗ là một độ đo ngoài trên X Lúc đó hàm tập µ = µ ∗

|L là một độ đo.

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh thêm µ là σ-cộng được Xét (A n)n ⊂

L, rời nhau đôi một Gọi A = ∞ ∪

n=1 A n Theo định nghĩa độ đo ngoài, ta có

Độ đo µ trong Định lý 2.2.8 được gọi là độ đo sinh bởi độ đo ngoài µ ∗

Trong phần này, xét m là một độ đo trên một đại số C Ta sẽ mở rộng một

độ đo m thành một độ đo ngoài µ ∗ sao cho mỗi phần tử của C là µ ∗-đo được

Với mỗi A ⊂ X, ta định nghĩa

mP i Theo định nghĩa của µ ∗ B, ta suy ra µ ∗ A ≤ µ ∗ B.

Xét (A n)n là một dãy tùy ý những tập con của X Nếu P∞

n=1

µ ∗ A n = +∞ thì hiển nhiên µ ∗(∞ ∪

dãy (P ni)i ⊂ C sao cho ∞ ∪

Do ε > 0 tùy ý nên µ ∗ E ≤ µ ∗ (E ∩ A) + µ ∗ (E ∩ A c ) ≤ µ ∗ E Ta suy ra A là

µ ∗-đo được.¥

Lưu ý rằng kết luận cuối cùng của Định lý 2.3.1 cũng có nghĩa là mỗi phần

tử của σ-đại số F(C) là µ ∗ -đo được.

Một độ đo µ xác định trên một σ-đại số F gọi là một độ đo đủ nếu với bất

kỳ A ∈ F mà µA = 0 thì mọi tập con của A cũng thuộc về F.

Định lý sau đây cho ta tính đủ của độ đo sinh bởi một độ đo ngoài

2.3.2 Định lý Cho µ ∗ là một độ đo ngoài trên X Lúc đó, độ đo sinh bởi µ ∗

là đủ trên σ-đại số L các tập µ ∗ -đo được.

Chứng minh Kết quả được suy ra ngay từ Mệnh đề 2.2.5

Bây giờ ta sẽ tổng hợp các kết quả thu được để có một định lý quan trọng

dưới đây, được gọi là định lý mở rộng tiêu chuẩn một độ đo.

2.4.1 Định lý Cho m là một độ đo trên một đại số C ⊂ P(X) Lúc đó tồn

tại một độ đo µ xác định trên một σ-đại số L ⊃ C sao cho:

1) µA = mA với mọi A ∈ C;

2) Nếu m là hữu hạn thì µ là hữu hạn; nếu m là σ-hữu hạn thì µ là σ-hữu hạn;

3) µ là một độ đo đủ;

4) Giả sử rằng µ là σ-hữu hạn Lúc đó A ∈ L khi và chỉ khi A = B ∪ N hay A = B \ N, trong đó B ∈ F(C), µ ∗ N = µN = 0, với µ ∗ là độ đo ngoài sinh bởi m.

Chứng minh Gọi µ ∗ là độ đo ngoài sinh bởi m theo Định lý 2.3.1 và gọi

L là σ-đại số các tập µ ∗ -đo được Lúc đó thu hẹp µ của µ ∗ lên L là một độ đo (Định lý 2.2.7) Theo định lý 2.3.1, ta có C ⊂ L và µA = µ ∗ A = mA với mọi

n=1 A n với A n ∈ L và µA n < +∞ với mọi n ∈ N Theo

phần chứng minh trên, với mỗi n ∈ N, tồn tại D n ∈ F(C) sao cho A n ⊂ D n

Lưu ý rằng ta đã định nghĩa độ đo ngoài sinh bởi một độ đo m theo công

một Sự kiện này sẽ được sử dụng để chứng minh tính duy nhất của độ đo mở

rộng của m lên σ-đại số L các tập µ ∗-đo được

2.4.2 Định lý Giả sử m là một độ đo σ-hữu hạn trên đại số C, và µ là mở

rộng tiêu chuẩn của m lên σ-đại số L các tập µ ∗ -đo được Nếu ν là một độ đo trên một đại số M với C ⊂ M ⊂ L và ν = m trên C, thì ν = µ trên M Như vậy, mở rộng tiêu chuẩn µ là mở rộng duy nhất của m thành một độ

đo trên σ-đại số L.

Chứng minh Gọi ν ∗ là độ đo ngoài sinh bởi ν Xét A ⊂ X, và A ⊂ ∞ ∪

Do đó, ν ∗ A ≤ µ ∗ A với mọi A ⊂ X Hiển nhiên bất đẳng thức này cũng

đúng cho A ∈ M, và lúc đó νA ≤ µA.

Ta chứng minh νA ≥ µA Trước hết, xét A ∈ M mà µA < +∞ Xét ε > 0 Theo nhận xét trên, tồn tại một dãy (A n)n ⊂ C rời nhau đôi một sao cho

µA ≤ µK = ν ∗ K = ν ∗ A + ν ∗ (K \ A) = νA + ν ∗ (K \ A) < νA + ε.

Ta suy ra µA ≤ νA, và do đó µA = νA với mọi A ∈ M mà µA < +∞ Trong trường hợp tổng quát, theo giả thiết m là σ-hữu hạn, tồn tại một dãy (X n)n ⊂ C rời nhau đôi một sao cho X = ∞ ∪

Định lý đã được chứng minh xong ¥

Trong phần này ta sẽ sử dụng định lý 2.4.1 để xây dựng độ đo Lebesguetrên Rk Độ đo này là sự mở rộng tự nhiên của các khái niệm độ dài, diện tích,thể tích Để đơn giản vấn đề, trước hết ta sẽ xây dựng độ đo Lebesgue trên R

và sau đó sẽ nêu ý tưởng để xây dựng độ đo Lebesgue trên Rk (k > 1).

3.1.1 Gian và độ dài một gian

Một tập con của R gọi là một gian nếu nó thuộc một trong các dạng sau:

(a; b), (a; b], [a; b), [a; b], (−∞; a), (−∞; a], (a; +∞), [a; +∞); (−∞; +∞), với a, b là những số thực.

Như vậy, tập rỗng là một gian Hơn nữa, giao của hai gian là một gian vàphần bù của một gian cũng là một gian hoặc là hợp của hai gian rời nhau Ta

ký hiệu chung cho một gian là ∆ = ha; bi, trong đó a ∈ R hoặc a = −∞ và

Gọi C là lớp tất cả các tập con P của R biểu diễn được thành hợp của một

số hữu hạn những gian rời nhau đôi một Như vậy P ∈ C khi và chỉ khi tồn

tại n ∈ N và những gian ∆1, ∆2, , ∆ n rời nhau đôi một sao cho P = ∪ n

trong đó các gian ∆1i , i = 1, , n là rời nhau đôi một và các gian ∆ 2j , j =

1, , s là rời nhau đôi một Ta suy ra

ta dễ dàng suy ra P1∪ P2 là thuộc C Do đó C là một đại số.¥

Bây giờ ta xét hàm tập m : C → R được xác định như sau: nếu P ∈ C và

Chứng minh Rõ ràng hàm tập m là không âm và m(∅) = 0.

Trước hết, ta chỉ ra rằng nếu gian ∆ là hợp của một họ đếm được nhữnggian ∆k rời nhau đôi một thì |∆| = P∞

Nếu có một gian ∆k mà |∆ k | = +∞ thì bất đẳng thức cần chứng minh

hiển nhiên là đúng Giả sử |∆ k | < +∞ với mọi k ∈ N Ta xét hai trường hợp.

i=1 P i , trong đó P, P i là những phần tử của C và rời nhau

đôi một Theo định nghĩa

Định lý đã được chứng minh xong.¥

3.1.4 Định nghĩa Mở rộng tiêu chuẩn của độ đo m theo Định lý 2.4.1 được

gọi là độ đo Lebesgue trên R.

Ta ký hiệu độ đo này là µ Lúc đó độ đo ngoài µ ∗ sinh bởi m được xác định

Ta vẫn ký hiệu L là σ-đại số các tập µ ∗-đo được (Lebesgue đo được) Nếu

A ∈ L thì µA = µ ∗ A Lưu ý rằng do C ⊂ F(C) ⊂ L nên mP = µP = µ ∗ P với

2) Độ đo Lebesgue trên R là đủ và σ-hữu hạn.

3) Với mỗi A ⊂ R, độ đo ngoài được cho bởi

Chứng minh mệnh đề 3) trong định lý dành cho người đọc.¥

3.1.6 Định lý Mỗi tập Borel là đo được Chính xác hơn, B = F(C), với B là

σ-đại số Borel trên R.

Chứng minh Vì mỗi gian là một tập Borel nên C ⊂ B Do đó F(C) ⊂ B Mặt khác vì C chứa lớp các khoảng mở nên F(C) ⊃ B Vậy F(C) = B.¥ Như vậy, mỗi tập mở, tập đóng, tập F σ , tập G δ của R là đo được Hơn nữa,

theo Định lý 2.4.1, mỗi phần tử của L là một tập Borel thêm hay bớt đi một

tập có độ đo ngoài bằng không.

3.1.7 Mệnh đề Mọi tập con hữu hạn hoặc đếm được của R thì đo được và

có độ đo không.

Chứng minh Xét a ∈ R Lúc đó {a} = [a; a] nên tập một điểm {a} là đo

được và có độ đo không Từ đây dễ dàng suy ra kết quả trên.¥

Như vậy các tập N, Z, Q là đo được và có độ đo không Tập các số vô tỷ cũng đo được và có độ đo bằng +∞ Tiếp theo đây là đặc trưng của một tập

Lebesgue đo được

3.1.8 Định lý Cho A ⊂ R Lúc đó các mệnh đề sau là tương đương:

1) A là đo được.

2) Với mỗi ε > 0, tồn tại tập mở G ⊃ A sao cho µ ∗ (G \ A) < ε.

3) Với mỗi ε > 0, tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ ∗ (A \ F ) < ε.

Chứng minh

1) ⇒ 2) Trước hết, ta chứng minh cho trường hợp µA < +∞ Lúc đó với

ε > 0, tồn tại một họ đếm được những khoảng mở (∆ k)k sao cho A ⊂ ∞ ∪

k=1∆kvà

Vì µA < +∞ nên µ(G \ A) = µG − µA < ε.

Trong trường hợp tổng quát, A = ∞ ∪

n=1 (A ∩ [−n; n]) Đặt A n = A ∩ [−n; n] thì mỗi A n là đo được, có độ đo hữu hạn, và A = ∞ ∪

n=1 A n Do đó, với mỗi n ∈ N, tồn tại tập mở G n mà A n ⊂ G n và µ(G n \ A n ) < ε

1) ⇔ 3) Tập A là đo được khi và chỉ khi phần bù A c là đo được Theo

phần vừa chứng minh, với mỗi ε > 0, tồn tại tập mở G sao cho A c ⊂ G và

µ ∗ (G \ A c ) < ε Đặt F = G c thì G là mở, chứa A c tương đương với F là đóng, chứa trong A Ngoài ra, A \ F = G \ A c nên A là đo được khi và chỉ khi với mỗi ε > 0, tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ ∗ (A \ F ) < ε Định lý đã được

n với mọi n ∈ N nên µ(K \ A) = 0 Đặt N = K \ A) thì µN = 0 Ta thu được kết quả A = K \ N

với K là một tập loại G δ và µN = 0.

2) ⇒ 1) Hiển nhiên vì hiệu của hai tập đo được là đo được.

Chứng minh 1) ⇔ 3) được tiến hành tương tự và dành cho người đọc như

là một bài tập.¥

3.1.10 Định lý Cho A ⊂ R với µA < +∞ Lúc đó với mỗi ε > 0, tồn tại

tập B là hợp của một số hữu hạn những khoảng mở sao cho µ(A∆B) < ε.

Chứng minh Xét ε > 0 Lúc đó theo định lý 3.1.8, tồn tại một tập mở

Đến đây ta dễ dàng suy ra được µ(A∆B) < ε.¥

Cho A ⊂ R và a, b ∈ R Các ánh xạ từ R vào R cho bởi x 7→ b + x và

x 7→ ax lần lượt gọi là phép tịnh tiến véc-tơ b và phép giãn hệ số a Lưu ý rằng

mọi phép tịnh tiến véc-tơ b và phép giãn tỉ số a 6= 0 là các phép đồng phôi.

2) Nếu A ⊂ R là đo được, thì aA + b là đo được Hơn nữa,

µ(aA + b) = |a| µA.

Chứng minh Xét (a n ; b n)n là một dãy những khoảng mở Ta có

ta suy ra

µ ∗ (E ∩ aA) + µ ∗ (E ∩ (aA) c ) = |a|£µ ∗ ((a −1 E) ∩ A) + µ ∗ ((a −1 E) ∩ A c)¤.

Do đó, A là đo được khi và chỉ khi aA là đo được với mọi a 6= 0.

Đến đây, ta dễ dàng có được các kết luận của định lý ¥

Giả sử rằng A là đo được Nếu a = 1 thì µ(A+b) = µA, nên độ đo Lebesgue

là bất biến qua phép tịnh tiến Hơn nữa, nhờ vào Định lý 3.1.11, ta thấy độ

đo Lebegue là bất biến đối với phép đối xứng qua một điểm bất kỳ của đường

thẳng thực

3.1.12 Tập không đo được

Mặc dù σ-đại số L các tập Lebesgue đo được là khá rộng nhưng L không

thể chứa tất cả các tập con của R Nói cách khác, tồn tại một tập con của R

mà không đo được Về lý thuyết, ta có thể mở rộng độ đo Lebesgue trên R lên

một σ-đại số lớn hơn L mà vẫn còn giữ được tính chất bất biến qua các phép tịnh tiến Nhưng ta lại không thể nào mở rộng lên toàn bộ P(R) Ví dụ dưới đây cho ta thấy điều đó và ta có được một tập không đo được đối với độ đo

Lebesgue trên R

Xét (0; 1] với quan hệ tương đương x ∼ y khi và chỉ khi x − y ∈ Q Lúc đó

(0; 1] được phân hoạch thành các lớp tương đương không giao nhau Theo tiên

đề chọn, tồn tại một tập A chứa đúng một phần tử của mỗi lớp tương đương

Nếu µA = 0 thì µ(0; 1] = 0, còn nếu µA > 0 thì µ(0; 1] = +∞, ta đều gặp mâu thuẫn Vậy tập A là không đo được, và do đó A không phải là một tập Borel.

3.1.13 Tập Cantor

Ta biết rằng mỗi tập con đếm được của R thì có độ đo không Tuy nhiênvẫn tồn tại những tập vô hạn không đếm được mà độ đo bằng không Một ví

dụ kinh điển về một tập như vậy chính là tập Cantor.

Mỗi x ∈ [0; 1] đều có một khai triển tam phân x = P∞

j=1

a j3−j, trong đó

a j ∈ {0, 1, 2} Khai triển này là duy nhất chỉ trừ trường hợp x = p3 −k với hai

số tự nhiên p, k nào đó Lúc đó, x có hai khai triển tam phân: một khai triển với a j = 0 với mọi j > k, và khai triển thứ hai với a j = 2 với mọi j > k Giả

sử rằng p không chia hết cho 3 Lúc đó, một trong hai khai triển trên sẽ có

a k = 1 và khai triển còn lại sẽ có a k = 0 hoặc a k = 2 Nếu ta quy ước chỉ dùng

khai triển sau, thì ta thấy rằng a1 = 1 nếu 1

Vì mỗi C k là đóng nên C là một tập đóng Hơn nữa, C là bị chặn nên nó

là compact Lưu ý rằng C k bao gồm 2k những khoảng đóng mà mỗi khoảngnhư vậy có độ dài là 3−k , và C chứa các đầu mút của các khoảng này Ta có

Các khoảng mở bị loại trừ ở bước thứ k gọi là các khoảng kề hạng k Có

2k−1 các khoảng kề hạng k, ký hiệu là J k1 , J k2 , , J k2 k−1 (được đánh số từ trái

sang phải) Theo cách xây dựng tập Cantor, mỗi khoảng kề hạng k này có độ

Gọi f k là hàm số liên tục trên [0; 1] thỏa mãn điều kiện f k (0) = 0, f k(1) = 1,

và f k (x) = j2 −k nếu x ∈ J kj với j = 1, 2, , k2 k−1 , và f k là tuyến tính trên

mỗi khoảng của C k

Theo cách xây dựng này, mỗi hàm f k là đơn điệu tăng, f k+1 (x) = f k (x) nếu x ∈ J kj với j = 1, 2, , k2 k−1 , và |f k (x) − f k+1 (x)| < 2 −k với mọi x ∈ [0; 1].

f (0) = 0, f (1) = 1, f đơn điệu tăng và liên tục trên [0; 1], và f là hằng trên

mỗi khoảng kề Hàm số f này được gọi là hàm Cantor-Lebesgue.

Đồ thị của các hàm f1 và f2 được chỉ ra trong hình sau:

Hình I.2 Đồ thị của f1 và f2

Việc xây dựng độ đo trên Rk được tiến hành tương tự như việc xây dựng

trên R Trước hết ta định nghĩa một gian của R k là tích Descartes của k gian

trong R Như vậy, một gian trong Rk là một tập có dạng

hộp mở.

Gọi C k là lớp các tập con của Rk biểu diễn được thành hợp của một số hữu hạn những gian rời nhau đôi một Lúc đó

i=1∆i, và các gian ∆i ⊂ R k là rời nhau đôi một, là một độ đo.

3) Mở rộng tiêu chuẩn của độ đo m k lên σ-đại số L k ⊃ F(C k ) ⊃ C k gọi là

độ đo Lebesgue trên Rk , ký hiệu là µ k

Tương tự như đối với độ đo Lebesgue trên R, ta có các định lý sau:3.2.1 Định lý

1) Mỗi gian của R k là một tập đo được, và độ đo của một gian bằng thể tích của gian đó.

2) Độ đo Lebesgue trên R k là đủ và σ-hữu hạn.

3) Với mỗi A ⊂ R k , độ đo ngoài được cho bởi

2) Với mỗi ε > 0, tồn tại tập mở G ⊃ A sao cho (µ k)∗ (G \ A) < ε.

3) Với mỗi ε > 0, tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho (µ k)∗ (A \ F ) < ε 3.2.5 Định lý Cho A ⊂ R k Lúc đó các mệnh đề sau là tương đương:

T : R k → R k là một phép dời (chẳng hạn, phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm,

phép quay) thì A ⊂ R k là đo được khi và chỉ khi T (A) là đo được, và lúc đó

µ k T (A) = µ k A Vấn đề này sẽ được trình bày chi tiết ở mục 3.3

Nhờ vào tiên đề chọn, người ta chứng minh được rằng trong mỗi không gian

Rk đều tồn tại một tập không đo được đối với độ đo Lebesgue Điều này không

có nghĩa là lớp các tập Lebesgue đo được chưa đủ rộng, vì người ta cũng chứngminh được rằng trên mỗi không gian Rk không thể tồn tại một độ đo σ-hữu

hạn sao cho độ đo này

a) xác định trên mọi tập con của Rk;

b) bất biến đối với các phép dời;

c) độ đo của mỗi gian trùng với thể tích của gian đó

Ví dụ về một tập không đo được trong R2 xin tham khảo trong [12]

Khi ta xây dựng độ đo Lebesgue trên Rk, chẳng hạn, R2 thì độ đo của mỗi

hình chữ nhật ∆ = [a, b] × [c; d] chính là tích số (b − a)(d − c) Điều này có vẻ

như độ đo Lebesgue phụ thuộc vào hệ trục tọa độ đang xét, bởi vì chúng takhông biết rằng nếu một hình chữ nhật thông thường mà không có các cạnhsong song với hai trục tọa độ, thì độ đo của nó có còn bằng tích của độ dàihai cạnh hay không

Dưới đây là hình vẽ minh họa cho hai hình chữ nhật trong R2

Hình I 3 Hình chữ nhật trong R2

Mục này dành cho việc giới thiệu tính bất biến của độ đo Lebesgue trên

Rk qua các ánh xạ tuyến tính Nội dung dưới đây được trình bày theo [9] (tr.65-80)

Trước hết ta cần một số kiến thức về đại số tuyến tính Trong mục này ta

luôn luôn xét các ma trận vuông cấp k với các phần tử là số thực.

3.3.1 Ma trận sơ cấp Có hai dạng ma trận mà ta gọi là ma trận sơ cấp i) Ma trận nhân Cho c 6= 0 và l ∈ {1, 2, , k} Ma trận M = (m ij) gọi

là một ma trận nhân nếu m ii = 1 khi i 6= l, m ll = c và m ij = 0 nếu i 6= j Như vậy, mọi phần tử ngoài đường chéo chính của ma trận nhân M đều

bằng 0, trên đường chéo chính thì mọi phần tử đều bằng 1, chỉ trừ phần tử

thứ l là bằng c.

Ta có det M = c và ma trận đảo M −1 cũng là một ma trận nhân với phần

tử c −1 thay cho phần tử c Chẳng hạn, với l = 1, ta có ma trận nhân

Lưu ý ta có det A = 1 và ma trận đảo A −1 cũng là một ma trận cộng với

−c thay cho c Với một ma trận vuông tùy ý T , ta có

α) MT là ma trận thu được từ T bằng cách nhân hàng thứ l của ma trận

T với số c.

β) AT là ma trận thu được từ T bằng cách cộng c lần hàng thứ n của ma

trận T vào hàng l.

Dưới đây là một kết quả trong đại số tuyến tính

3.3.2 Mệnh đề Mỗi ma trận khả đảo đều biểu diễn được thành tích của

những ma trận sơ cấp.

3.3.3 Ma trận trực giao Xét không gian Rk với tích vô hướng

Một định nghĩa tương đương với mệnh đề trên là: T là một ma trận trực

giao khi và chỉ khi T là khả đảo và T −1 = T tr , trong đó T tr là ma trận chuyển

Như vậy, z + A chính là ảnh của tập A qua phép tịnh tiến véc-tơ z, còn tA

là ảnh của A qua phép giãn hệ số t.

3.3.5 Định lý Cho A ⊂ R k , z ∈ R k Lúc đó

µ ∗ (z + A) = µ ∗ (A),

µ ∗ (tA) = |t k | µ ∗ (A).

Tập A là đo đo được khi và chỉ khi z + A là đo được Hơn nữa, nếu t 6= 0 thì

A là đo được khi và chỉ khi tA là đo được, và

µ(z + A) = µ(A), µ(tA) = |t k | µ(A).

Chứng minh Định lý 3.3.5 được tiến hành tương tự như chứng minh Định

Định lý này là một trường hợp đặc biệt của định lý tổng quát tiếp theo

đây Do đó, chúng ta sẽ không chứng minh nó vào lúc này Lưu ý rằng nếu F

là một phép dời có dạng F (x) = z + T x với T là một ma trận trực giao thì với A ⊂ R k , ta có F (A) = z + T A nên µ ∗ (F (A)) = µ ∗ (T A), vì vậy ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp z = 0.

Bây giờ, ta sẽ giới thiệu kết quả tổng quát của sự biến đổi độ đo qua nhữngánh xạ tuyến tính

3.3.8 Định lý Xét A ⊂ R k , và T là một ma trận vuông cấp k Lúc đó

µ ∗ (T (A)) = | det T | µ ∗ (A).

Nếu A là đo được, thì T (A) là đo được và

µ(T (A)) = | det T | µ(A).

Ký hiệu det T để chỉ định thức của ma trận T