Hình học phẳng ôn thi đại học

WWW.ToanCapBa.Tk HèNH HC PHNG ễN THI I HC HèNH HC PHNG ễN THI I HC 1) Trong mp(Oxy) cho tam giỏc ABC bit ( ) 1;4A = , phng trỡnh ng cao (BH): 2 9 0x y + = , Phng trỡnh ng phõn giỏc (CD) 3 0x y+ = . Tỡm to 2 im B, C 2) Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): ( ) ( ) 2 2 1 1 4x y + + = . Mt ng trũn (C') tip xỳc vi Oy v tip xỳc ngoi vi (C). Tỡm tõm ca (C') bit tõm thuc ng thng (d): 2 0x y = . 3) Cho ABC cú nh A(1;2), ng trung tuyn BM: 2 1 0x y+ + = v phõn giỏc trong CD 1 0x y+ = . Vit phng trỡnh ng thng BC HD: im ( ) : 1 0 ;1C CD x y C t t + = . Suy ra trung im M ca AC l 1 3 ; 2 2 t t M + ữ . im ( ) 1 3 : 2 1 0 2 1 0 7 7;8 2 2 t t M BM x y t C + + + = + + = = ữ T A(1;2), k : 1 0AK CD x y + = ti I (im K BC ). Suy ra ( ) ( ) : 1 2 0 1 0AK x y x y = + = . Ta im I tha h: ( ) 1 0 0;1 1 0 x y I x y + = + = . Tam giỏc ACK cõn ti C nờn I l trung im ca AK ta ca ( ) 1;0K . ng thng BC i qua C, K nờn cú phng trỡnh: 1 4 3 4 0 7 1 8 x y x y + = + + = + 4) Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú din tớch bng 4. Bit A(1;0), B(0;2) v giao im I ca hai ng chộo nm trờn ng thng y = x. Tỡm ta nh C v D. Ta cú: ( ) 1;2 5AB AB= = uuur . Phng trỡnh ca AB l: 2 2 0x y+ = . ( ) ( ) : ;I d y x I t t = . I l trung im ca AC v BD nờn ta cú: ( ) ( ) 2 1;2 , 2 ;2 2C t t D t t Mt khỏc: D . 4 ABC S AB CH= = (CH: chiu cao) 4 5 CH = Ngoi ra: ( ) ( ) ( ) 4 5 8 8 2 ; , ; | 6 4 | 4 3 3 3 3 3 ; 5 5 0 1;0 , 0; 2 t C D t d C AB CH t C D = ữ ữ = = = Vy ta ca C v D l 5 8 8 2 ; , ; 3 3 3 3 C D ữ ữ hoc ( ) ( ) 1;0 , 0; 2C D 5) Trên Oxy cho Elip 1 2 2 2 2 =+ b y a x )0( >> ba biết 2 1 22 = a ba hình chữ nhật cơ sở cắt Ox tại A, A, cắt Oy tại B, B. Lập phơng trình Elip biết diện tích hình tròn nội tiếp hình thoi ABAB có diện tích bằng 4 . HD: . gt: Diện tích hình tròn nội tiếp hình thoi ABAB bằng 4 bán kính đờng tròn r = 2 WWW.ToanCapBa.Net 1 A A B B O K WWW.ToanCapBa.Tk HèNH HC PHNG ễN THI I HC . O là tâm hình tròn, kẻ OK AB r = OK = 2 .Xét tam giác vuông OAB ta có: 22222 11 4 1111 baOBOAOK +=+= (1) . Từ gt: 22222 22 22 222 .2 2 1 babaa baa a ba == == . a 2 và b 2 đợc tìm từ hệ (1); (2) = = =+ = 6 12 4 11 2 2 2 22 22 b a ba ba Vậy Elíp thoả yêu cầu bài toán co pt là: 1 612 22 =+ yx 6) Trên Oxy cho 2 đờng thẳng d 1 : 2x-y-1=0, d 2 : 2x+y-3=0. Gọi I là giao điểm của d 1 và d 2 ; A là điểm thuộc d 1 , A có hoành độ dơng khác 1 (0 < x A 1). Lập phơng trình đờng thẳng () đi qua A, cắt d 2 tại B sao cho diện tích IAB bằng 6 và IB = 3IA I = d 1 d 2 tạo độ của I là n 0 của hệ = = =+ = 1 1 032 012 y x yx yx Vậy I(1; 1) Từ gt d 1 có VTPT );1;2( 1 =n d 2 có VTPT );1;2( 2 =n Gọi là góc của d 1 và d 2 Từ gt: 4556 22 === IBIAS IAB )12,(. 1 aaAdA với a > 0, a 1 . pt = = ==+= 2 0 5)1(55)22()1(5 2222 a a aaaIA a = 2 A(2;3) * )23,(. 21 baBdB = = == =+= )7;2(2 )5;4(4 9)1(45 )1(5)22()1( 22 2222 Bb Bb bIB bbbIB Với A(2;3); B(4;5) pt cần tìm là 0114 35 3 24 2 =+ = yx yx Với A(2;3); B(-2;7) pt cần tìm là 05 37 3 22 2 =+ = yx yx 7) Trong mt phng ta Oxy cho tam giỏc ABC cú trung im cnh AB l ( 1;2)M , tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc l (2; 1)I . ng cao ca tam giỏc k t A cú phng trỡnh: 2 1 0x y+ + = . Tỡm ta nh C . WWW.ToanCapBa.Net 2 (2) loại I A B IB=3TA 2 4 1 3 4 cos sin 5 5 5 1 4 6 .3 . 2 5 5 IAB IA S IA IA = = = = = WWW.ToanCapBa.Tk HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC HD: AB đi qua M nhận (3, 3)MI = − uuur làm vtpt nên có pt: 3 0x y− + = Tọa độ A là nghiệm của hệ : 3 0 4 5 ; 2 1 0 3 3 x y A x y − + =  −   ⇒   ÷ + + =    ( 1;2)M − là trung điểm của AB nên 2 7 ; 3 3 B −    ÷   BC nhận (2;1)n = r làm vtcp nên có p t: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 3 2 ; 7 3 3 3 8 10 8 10 2 3 3 3 3 0,loai (do ) 4 5 x t C t t y t IB IC IB IC t t t C B t −  = +  −    ⇒ + +   ÷    = +           = ⇒ = ⇒ − + + = +  ÷  ÷  ÷  ÷         = ≡   ⇒  =  Vậy 14 47 ; 15 15 C    ÷   8) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ( 12;1)B − , đường phân giác trong góc A có phương trình: 2 5 0x y+ − = . Trọng tâm tam giác ABC là 1 2 ; 3 3 G    ÷   .Viết phương trình đường thẳng BC . Gọi H là hình chiếu của B trên ( ) 5 2 : 5 2 ; x t d H t t y t = −  ⇒ −  =  ( ) ( ) ( ) ( ) 17 2 ; 1 2;1 2 17 2 1 0 7 9;7 d BH t t u t t t H = − − ⊥ = − ⇒ − − + − = ⇒ = ⇒ − uuur uur Gọi M là điểm đối xứng của B qua d ( ) ( ) ( ) 2 6;13 5 2 ; 8 2 ;1 BM BH M AC A d A a a C a a ⇒ = ⇒ − ∈ ∈ ⇒ − ⇒ + − uuuur uuuuuuur ( ) / / 2 4;3MA MC a C⇒ = − ⇒ uuur uuuur Vậy : 8 20 0BC x y− + = 9) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua ( ) 2;1M và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 . HD: Gọi d là ĐT cần tìm và ( ) ( ) ;0 , 0;A a B b là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: : 1 x y d a b + = . Theo giả thiết, ta có: 2 1 1, 8ab a b + = = . Khi 8ab = thì 2 8b a+ = . Nên: 1 2; 4 : 2 4 0b a d x y= = ⇒ + − = . 10) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho điểm 1 3; 2 M    ÷   . Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm M và nhận ( ) 1 3;0F − làm tiêu điểm WWW.ToanCapBa.Net 3 WWW.ToanCapBa.Tk HèNH HC PHNG ễN THI I HC 11) Trong mt phng vi h to Oxy, lp phng trỡnh ng thng d i qua im A(1; 2) v ct ng trũn (C) cú phng trỡnh 2 2 ( 2) ( 1) 25 + + =x y theo mt dõy cung cú di bng 8 HD : G/s mt vộc t phỏp tuyn ca d l ( ; )n a b r ,vỡ d i qua im A(1;2) nờn d cú phng trỡnh d: a(x 1)+ b(y 2) = 0 hay d: ax + by a 2b = 0 ( a 2 + b 2 > 0) Vỡ d ct (C) theo dõy cung cú di bng 8 nờn khong cỏch t tõm I(2; 1) ca (C) n d bng 3. ( ) 2 2 2 2 2 2 , 3 3 3 = = = + + a b a b d I d a b a b a b 2 0 8 6 0 3 4 = + = = a a ab a b a = 0: chn b = 1 d: y 2 = 0 a = 3 4 b : chn a = 3, b = 4 d: 3x 4 y + 5 = 0 12) Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh tip tuyn chung ca hai ng trũn (C 1 ): x 2 + y 2 2x 2y 2 = 0, (C 2 ): x 2 + y 2 8x 2y + 16 = 0. HD: (C 1 ): 2 2 ( 1) ( 1) 4 + =x y cú tõm 1 (1; 1)I , bỏn kớnh R 1 = 2. (C 2 ): 2 2 ( 4) ( 1) 1 + =x y cú tõm 2 (4; 1)I , bỏn kớnh R 2 = 1. Ta cú: 1 2 1 2 3= = +I I R R (C 1 ) v (C 2 ) tip xỳc ngoi nhau ti A(3; 1) (C 1 ) v (C 2 ) cú 3 tip tuyn, trong ú cú 1 tip tuyn chung trong ti A l x = 3 // Oy * Xột 2 tip tuyn chung ngoi: ( ) : ( ) : 0 = + + =y ax b ax y b ta cú: 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 ( ; ) 4 4 ( ; ) 4 1 4 7 2 4 7 2 1 4 4 + = = = = + = + + = = = + a b a a d I R a b hay d I R a b b b a b Vy, cú 3 tip tuyn chung: 1 2 3 2 4 7 2 2 4 7 2 ( ): 3, ( ): , ( ) 4 4 4 4 + = = + = +x y x y x 13) Trong mt phng to Oxy cho ng trũn (C) : x 2 + y 2 + 4x 6y + 9 = 0 v im M( 1; - 8).Vit phng trỡnh ng thng d qua M sao cho d ct (C) ti hai im A,B phõn bit m din tớch tam giỏc ABI t giỏ tr ln nht.Vi I l tõm ca ng trũn (C). Đtròn (C) có tâm I(- 2; 3) & bán kính R = 2. Giả sử ptđt (d) : Ax + By A + 8B = 0 với A 2 + B 2 > 0 Luôn có BIA cân tại I với IA = IB = 2 ; S BIA = 2 1 IA.IB.sinAIB = 2sinAIB S BIA 2 Dấu = khi AIB vuông cân tại I hay d(I ; (d)) = 2 2 311 22 = + BA AB 7A 2 66BA + 119B 2 = 0 (A 7B)(7A 17B) = 0 Vậy có hai đờng thẳng d thoả mãn: 7x + y + 1 = 0 & 17x + 7y + 39 = 0 14) Cho A(1 ; 4) v hai ng thng b : x + y 3 = 0 ; c : x + y 9 = 0. Tỡm im B trờn b , im C trờn c sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A Gọi B(b ; 3 - b) & C( c ; 9 - c) => AB (b - 1 ; - 1 - b) ; AC (c - 1 ; 5 - c) & ABC vuông cân tại A = = ACAB ACAB 0. +=++ += 2222 )5()1()1()1( )5)(1()1)(1( ccbb cbcb vì c = 1 không là n 0 nên hệ +=++ + + = )2 ()5()1()1( )1( )5( .)1( )1 ( 1 )5)(1( 1 222 2 2 2 ccb c c b c cb b Từ (2) (b + 1) 2 = (c - 1) 2 . WWW.ToanCapBa.Net 4 WWW.ToanCapBa.Tk HèNH HC PHNG ễN THI I HC Với b = c 2 thay vào (1) => c = 4 ; b = 2 => B(2 ; 1) & C( 4 ; 5). Với b = - c thay vào (1) => c = 2 ; b = - 2 => B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7). Kết luận :có hai tam giác thoả mãn: B(2 ; 1) & C( 4 ; 5) hoặc B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7). 15) Trong hệ toạ độ Oxy đờng thẳng (d): x y +1 =0 và đờng tròn (C): 2 2 2 4 0x y x y+ + = .Tìm điểm M thuộc đờng thẳng (d) mà qua M kẻ đợc hai đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn (C) tại A và B sao cho ã 0 60 .AMB = 16) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD biết phơng trình cạnh BC:x + 2y - 4 = 0 phơng trình đờng chéo BD: 3x + y 7 = 0,đờng chéo AC đi qua M(-5;2).Hãy tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. 17) Phng trỡnh hai cnh ca mt tam giỏc trong mt phng ta l 5x - 2y + 6 = 0; 4x + 7y 21 = 0. vit phng trỡnh cnh th ba ca tam giỏc ú, bit rng trc tõm ca nú trựng gc ta O Gi s AB: 5x - 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y 21 = 0 Vy A(0;3) ng cao nh BO i qua O nhn VTCP a r = (7; - 4) ca AC lm VTPT Võy BO: 7x - 4y = 0 vy B(-4;-7) A nm trờn Oy, vy ng cao AO chớnh l trc OY, Vy AC: y + 7 = 0 18) Trong mpOxy, cho ng trũn (C): x 2 + y 2 6x + 5 = 0. Tỡm M thuc trc tung sao cho qua M k c hai tip tuyn ca (C) m gúc gia hai tip tuyn ú bng 60 0 . HD: (C) cú tõm I(3;0) v bỏn kớnh R = 2 M Oy M(0;m) Qua M k hai tip tuyn MA v MB ( A v B l hai tip im) Vy ã ã 0 0 60 (1) 120 (2) AMB AMB = = Vỡ MI l phõn giỏc ca ã AMB (1) ã AMI = 30 0 0 sin 30 IA MI = MI = 2R 2 9 4 7m m+ = = m (2) ã AMI = 60 0 0 sin 60 IA MI = MI = 2 3 3 R 2 4 3 9 3 m + = Vụ nghim Vy cú hai im M 1 (0; 7 ) v M 2 (0;- 7 ) 19) Trong mt phng to Oxy. Lp phng trỡnh ng thng i qua A(8 ;6) v to vi 2 trc to mt tam giỏc cú din tớch bng 12 Gi s (d) i qua A(8;6) ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti cỏc im M(a;0), N(0;b) a,b khỏc 0.Khi ú (d) cú phng trỡnh 1 x y a b + = . Vỡ (d) i qua A nờn 8 6 1 a b + = (1) li cú 1 12 2 OAB S ab = = (2). T (1) v (2) ta cú h 8 6 1 24 a b ab + = = 4 6 8 3 a b a b = = = = t ú cú 2 ng thng tho món iu kin l 1, 1 4 6 8 3 x y x y = + = 20) Trong mt phng to Oxy vit phng trỡnh cỏc cnh ca hỡnh ch nht ABCD .Bit rng AB = 2BC , A, B thuc ng thng i qua M( 4 ;1 3 ), B, C thuc ng thng i qua N(0 ; 3), A,D thuc ng thng i qua P(4 ; -1/3), C,D thuc ng thng i qua Q(6 ;2) HD : Phng trỡnh AB cú dng: y = k(x + 4/3) + 1 DC: y = k(x - 6) + 2 , BC: x + ky 3k = 0 , AD: x + ky -4 + k/3 = 0 WWW.ToanCapBa.Net 5 WWW.ToanCapBa.Tk HèNH HC PHNG ễN THI I HC Vỡ AB = 2BC nờn d(AD,BC)=2d(AB,DC) hay d(P;BC) = 2d(M;DC) 2 2 4 1 4 3 1 6 2 10 12 6 44 3 3 3 10 12 44 6 3 1 1 17 k k k k k k k k k k k k + = = = = + + = Vi k = 1/3 ta cú phng trỡnh cỏc cnh hỡnh ch nht l: AB: 1/ 3( 4 /3) 1, : 1/3( 6) 2, : 1/3 1 0, : 1/ 3 35 /9 0y x DC y x BC x y AD x y= + + = + + = + = Vi k = -3/17 ta cú phng trỡnh cỏc cnh ca hỡnh ch nht l: : 3/17( 4 /3) 1, : 3/17( 6) 2, : 3/17 9 /17 0, : 3/17 4 3/17 0 AB y x DC y x BC x y AD x y = + + = + + = = 21) Trong mp vi h ta Oxy cho ng trũn : x 2 +y 2 -2x +6y -15=0 (C ). Vit PT ng thng () vuụng gúc vi ng thng : 4x-3y+2 =0 v ct ng trũn (C) ti A; B sao cho AB = 6 ng trũn ( C) cú tõm I(1;-3); bỏn kớnh R=5 Gi H l trung im AB thỡ AH=3 v IH AB suy ra IH =4 Mt khỏc IH= d( I; ) Vỡ || d: 4x-3y+2=0 nờn PT ca cú dng 3x+4y+c=0 vy cú 2 t tha món bi toỏn: 3x+4y+29=0 v 3x+4y-11=0 22) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hypebol (H) cú phng trỡnh: 2 2 x y 1 2 3 = v im M(2; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i qua M, bit rng ng thng ú ct (H) ti hai im A, B m M l trung im ca AB. HD: Gi s d qua M ct (H) ti A, B : vi M l trung im AB A, B (H) : 2 2 A A 2 2 B B 3x 2y 6 (1) 3x 2y 6 (2) = = M l trung im AB nờn : x A + x B = 4 (3) v y A + y B = 2 (4) (1) (2) ta cú : 3(x 2 A - x 2 B ) - 2(y 2 A - y 2 B ) = 0 (5) Thay (3) v (4) vo (5) ta cú : 3(x A -x B )-(y A -y B ) = 0 3(2x A -4)-(2y A - 2) = 0 3x A - y A = 5 Tng t : 3x B - y B = 5. Vy phng trỡnh d : 3x - y - 5 = 0 23) Cho hỡnh tam giỏc ABC cú din tớch bng 2. Bit A(1;0), B(0;2) v trung im I ca AC nm trờn ng thng y = x. Tỡm to nh C. HD: Ta cú: ( ) 1;2 5AB AB= = uuur . Phng trỡnh ca AB l: 2 2 0x y+ = . ( ) ( ) : ;I d y x I t t = . I l trung im ca AC: )2;12( ttC Theo bi ra: 2),(. 2 1 == ABCdABS ABC 446. =t = = 3 4 0 t t T ú ta cú 2 im C(-1;0) hoc C( 3 8 ; 3 5 ) tho món 24) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với )5;2(,)1;1( BA , đỉnh C nằm trên đờng thẳng 04 =x , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 0632 =+ yx . Tính diện tích tam giác ABC. WWW.ToanCapBa.Net d(I; )= 6 I A H B WWW.ToanCapBa.Tk HèNH HC PHNG ễN THI I HC Ta có );4( C yC = . Khi đó tọa độ G là 3 2 3 51 ,1 3 421 CC GG yy yx += ++ == + = . Điểm G nằm trên đờng thẳng 0632 =+ yx nên 0662 =+ C y , vậy 2= C y , tức là )2;4(=C . Ta có )1;3(,)4;3( == ACAB , vậy 5 = AB , 10=AC , 5. =ACAB . Diện tích tam giác ABC là ( ) 2510.25 2 1 2 1 2 22 == ACABACABS = 2 15 25) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với )2;1(,)1;2( BA , trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 02 =+ yx . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5 Vì G nằm trên đờng thẳng 02 =+ yx nên G có tọa độ )2;( ttG = . Khi đó )3;2( ttAG = , )1;1( =AB Vậy diện tích tam giác ABG là ( ) [ ] 1)3()2(2 2 1 2 1 22 2 22 +== ttABAGABAGS = 2 32 t Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng 5,43:5,13 = . Vậy 5,4 2 32 = t , suy ra 6 = t hoặc 3=t . Vậy có hai điểm G : )1;3(,)4;6( 21 == GG . Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên )(3 BaGC xxxx += và )(3 BaGC yyyy += . Với )4;6( 1 =G ta có )9;15( 1 = C , với )1;3( 2 =G ta có )18;12( 2 = C 26) Trong mt phng oxy cho ABC cú A(2;1) . ng cao qua nh B cú phng trỡnh x- 3y - 7 = 0 .ng trung tuyn qua nh C cú phng trỡnh x + y +1 = 0 . Xỏc nh ta B v C . Tớnh din tớch ABC . +AC qua A v vuụng gúc vi BH do ú cú VTPT l (3;1)n = r AC cú phng trỡnh 3x + y - 7 = 0 + Ta C l nghim ca h AC CM C(4;- 5) + 2 1 ; 2 2 B B M M x y x y + + = = ; M thuc CM ta c 2 1 1 0 2 2 B B x y+ + + + = + Gii h 2 1 1 0 2 2 3 7 0 B B B B x y x y + + + + = = ta c B(-2 ;-3) Tớnh din tớch ABC . + Ta H l nghim ca h 14 3 7 0 5 3x 7 0 7 5 x x y y y = = + = = . Tớnh c BH = 8 10 5 ; AC = 2 10 Din tớch S = 1 1 8 10 . .2 10. 16 2 2 5 AC BH = = ( vdt) 27) Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC bit A(5; 2). Phng trỡnh ng trung trc cnh BC, ng trung tuyn CC ln lt l x + y 6 = 0 v 2x y + 3 = 0. Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC WWW.ToanCapBa.Net 7 WWW.ToanCapBa.Tk HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC 28) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆ : 3 8 0x y+ + = , ':3 4 10 0x y∆ − + = và điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆ , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’. HD: Tâm I của đường tròn thuộc ∆ nên I(-3t – 8; t) Theo yc thì k/c từ I đến ∆ ’ bằng k/c IA nên ta có 2 2 2 2 3( 3 8) 4 10 ( 3 8 2) ( 1) 3 4 t t t t − − − + = − − + + − + Giải tiếp được t = -3 Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt cần tìm: (x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 25 29) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( ) 1; 2;3I − . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2 : 2 0C x y x+ + = . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30 o . Ta có: Hệ số góc của tiếp tuyến ( ) ∆ cần tìm là 3± . ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 1 1;0 ; 1C x y I R+ + = ⇒ − = Do đó: ( ) 1 : 3 0x y b∆ − + = tiếp xúc (C) ( ) 1 ,d I R⇔ ∆ = 3 1 2 3 2 b b − ⇔ = ⇔ = ± + . KL: ( ) 1 : 3 2 3 0x y∆ − ± + = . Và : ( ) 2 : 3 0x y b∆ + + = tiếp xúc (C) ( ) 2 ,d I R⇔ ∆ = 3 1 2 3 2 b b − ⇔ = ⇔ = ± + . KL: ( ) 2 : 3 2 3 0x y∆ + ± + = . 30) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm (1;0)H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là (0; 2)K , trung điểm cạnh AB là (3;1)M .+ Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận ( 1; 2)HK = − uuur làm vtpt và AC đi qua K nên ( ): 2 4 0.AC x y− + = Ta cũng dễ có: ( ): 2 2 0BK x y+ − = . + Do ,A AC B BK∈ ∈ nên giả sử (2 4; ), ( ; 2 2 ).A a a B b b− − Mặt khác (3;1)M là trung điểm của AB nên ta có hệ: 2 4 6 2 10 4 . 2 2 2 2 0 2 a b a b a a b a b b − + = + = =    ⇔ ⇔    + − = − = =    Suy ra: (4; 4), (2; 2).A B − + Suy ra: ( 2; 6)AB = − − uuur , suy ra: ( ) :3 8 0AB x y− − = . + Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận (3; 4)HA = uuur , suy ra: ( ) :3 4 2 0.BC x y+ + = KL: Vậy : ( ): 2 4 0,AC x y− + = ( ) :3 8 0AB x y− − = , ( ) :3 4 2 0.BC x y+ + = 31) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn 2 2 ( ): – 2 – 2 1 0,C x y x y+ + = 2 2 ( ') : 4 – 5 0C x y x+ + = cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ')C C lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB + Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và 1, ' 3R R= = , đường thẳng (d) qua M có phương trình 2 2 ( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b− + − = ⇔ + − = + ≠ . WWW.ToanCapBa.Net 8 WWW.ToanCapBa.Tk HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC + Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM. Khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H= ⇔ − = − ( ) ( ) 2 2 1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d⇔ − = − , .IA IH > ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 9 4 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35 a b d I d d I d a b a b ⇔ − = ⇔ − = + + 2 2 2 2 2 2 36 35 36 a b a b a b − ⇔ = ⇔ = + Dễ thấy 0b ≠ nên chọn 6 1 6 a b a = −  = ⇒  =  . Kiểm tra điều kiện IA IH> rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn 32) Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp xúc với đường thẳng : 2 0d x y− − = tại điểm A có hoành độ bằng 4. Gọi ( ) 2 2 2 2 : 1 x y H a b − = . (H) tiếp xúc với ( ) 2 2 : 2 0 4 1d x y a b− − = ⇔ − = ( ) ( ) ( ) 2 2 16 4 4 2 4;2 1 2x y A H a b = ⇒ = ⇒ ∈ ⇒ − = Từ (1) và (2) suy ra ( ) 2 2 2 2 8; 4 : 1 8 4 x y a b H= = ⇒ − = 33) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy lập phương trình tiếp tuyến chung của elip (E): 2 2 1 8 6 x y + = và parabol (P): y 2 = 12x. Giả sử đường thẳng (∆) có dạng: Ax + By + C = 0 (A 2 + B 2 > 0) (∆) là tiếp tuyến của (E) ⇔ 8A 2 + 6B 2 = C 2 (1) (∆) là tiếp tuyến của (P) ⇔ 12B 2 = 4AC ⇔ 3B 2 = AC (2) Thế (2) vào (1) ta có: C = 4A hoặc C = −2A. Với C = −2A ⇒ A = B = 0 (loại) Với C = 4A ⇒ 2 3 A B = ± ⇒ Đường thẳng đã cho có phương trình: 2 2 3 4 0 4 0 3 3 A Ax y A x y± + = ⇔ ± + = Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: 2 3 4 0 3 x y± + = 34) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao : 1 0CH x y− + = , phân giác trong : 2 5 0BN x y+ + = .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC + Do AB CH⊥ nờn AB: 1 0x y+ + = . Giải hệ: 2 5 0 1 0 x y x y + + =   + + =  ta có (x; y)=(-4; 3). Do đó: ( 4;3)AB BN B∩ = − . + Lấy A’ đối xứng A qua BN thỡ 'A BC ∈ . - Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): 2 5 0x y− − = . WWW.ToanCapBa.Net 9 WWW.ToanCapBa.Tk HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC Gọi ( )I d BN= ∩ . Giải hệ: 2 5 0 2 5 0 x y x y + + =   − − =  . Suy ra: I(-1; 3) '( 3; 4)A⇒ − − + Phương trình BC: 7 25 0x y+ + = . Giải hệ: 7 25 0 1 0 x y x y + + =   − + =  Suy ra: 13 9 ( ; ) 4 4 C − − . + 2 2 450 ( 4 13 / 4) (3 9 / 4) 4 BC = − + + + = , 2 2 7.1 1( 2) 25 ( ; ) 3 2 7 1 d A BC + − + = = + . Suy ra: 1 1 450 45 ( ; ). .3 2. . 2 2 4 4 ABC S d A BC BC= = = 35) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng 03: 1 =−− yxd và 06: 2 =−+ yxd . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d 1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Ta có: Idd 21 =∩ . Toạ độ của I là nghiệm của hệ: 3 0 9 / 2 6 0 3 / 2 x y x x y y − − = =   ⇔   + − = =   . Vậy 9 3 ; 2 2 I   =  ÷   Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD OxdM 1 ∩=⇒ Suy ra M( 3; 0) Ta có: 23 2 3 2 9 32IM2AB 22 =       +       −== Theo giả thiết: 22 23 12 AB S AD12AD.ABS ABCD ABCD ===⇔== Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d 1 ADd 1 ⊥⇒ Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d 1 nhận )1;1(n làm VTPT nên có PT: 03yx0)0y(1)3x(1 =−+⇔=−+− . Lại có: 2MDMA == Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT: ( )      =+− =−+ 2y3x 03yx 2 2 ( ) ( )    ±=− −= ⇔    =−+− +−= ⇔    =+− +−= ⇔ 13x x3y 2)x3(3x 3xy 2y3x 3xy 2 2 2 2    = = ⇔ 1y 2x hoặc    −= = 1y 4x . Vậy A( 2; 1), D( 4; -1) Do       2 3 ; 2 9 I là trung điểm của AC suy ra:    =−=−= =−=−= 213yy2y 729xx2x AIC AIC Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4) Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) 36) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 ;0 2 I   =  ÷   Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó. +) 5 ( , ) 2 d I AB = ⇒ AD = 5 ⇒ AB = 2 5 ⇒ BD = 5. +) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2) 2 + y 2 = 25/4 WWW.ToanCapBa.Net 10 [...]...WWW.ToanCapBa.Tk HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC +) Tọa độ A, B là nghiệm của  x = 2  1 2 25  2 ( x − ) + y =   y = 2 ⇒ A(−2;0), B(2; 2) 2 4 ⇔ hệ:   x = −2 x − 2 y + 2 = 0    y = 0  ⇒ C (3;0), D(−1; −2) 37) Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng ∆ : 3x − 4 y + 4 = 0 Tìm trên ∆ hai... = 2   ≤3 41) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0; 2x + 5y − 2 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C { 4x + y + 14 = 0 { x = −4 Tọa độ A là nghiệm của hệ 2x + 5y − 2 = 0 ⇔ y = 2 ⇒ A(–4, 2) Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ∆ABC nên WWW.ToanCapBa.Net 11 WWW.ToanCapBa.Tk HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC 3x G = x A + x B + x... 3a + 4 16 − 3a ) ⇒ B (4 − a; ) Khi đó diện tích tam giác ABC là Gọi A(a; 4 4 1 S ABC = AB.d (C → ∆) = 3 AB 2 2 a = 4  6 − 3a  Theo giả thi t ta có AB = 5 ⇔ (4 − 2a ) 2 +  ÷ = 25 ⇔  a = 0  2   Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4) x2 y 2 38) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp ( E ) : + = 1 và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tìm 9 4 trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho... (C → AB ) = 2x + 3y = 3 + 2 13 3 4 2 13 85  x 2 y 2  170 2 + ÷ = 3 13  9 4  13  x2 y 2   9 + 4 = 1 x = 3 2  3 2 ⇔ 2 Dấu bằng xảy ra khi  Vậy C ( ; 2) 2 x = y y = 2  3 2  39) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0 Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy Gọi A là giao điểm . = 0. Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC WWW.ToanCapBa.Net 7 WWW.ToanCapBa.Tk HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC 28) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆ : 3 8 0x y+ + = , ':3. BC ∈ . - Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): 2 5 0x y− − = . WWW.ToanCapBa.Net 9 WWW.ToanCapBa.Tk HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC Gọi ( )I d BN= ∩ . Giải hệ: 2 5 0 2 5. 0)(*)a x b y ax by a a b− + − = ⇔ + − = + ≠ . WWW.ToanCapBa.Net 8 WWW.ToanCapBa.Tk HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC + Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM. Khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2 '