CHƯƠNG 6 :NHIỄU XẠ CỦA SÓNG ÁNH SÁNG

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Công Nghệ Thông Tin, it, phầm mềm, website, web, mobile app, trí tuệ nhân tạo, blockchain, AI, machine learning - Công nghệ thông tin CHƯƠNG 6 :NHIỄU XẠ CỦA SÓNG ÁNH SÁNG 1.NHIỄU XẠ CỦA MỘT SÓNG PHẲNG QUA CÁC KHE HẸP : 1.1 NHIỄU XẠ CỦA CHÙM TIA LASER QUA MỘT KHE HẸP : aThí nghiệm: -Chiếu một chùm tia laser được xem như một sóng phẳng, đơn sắc tới đập vào màn chắn có một khe độ rộng a biến đổi được. -Trên màn ảnh đặt cách khe một khoảng d ,ban đầu ta quan sát được vết sáng laser gần như là một điểm ,thu hẹp dần khe a,ta lại thấy chùm sáng laser trải rộng ra trên màn và độ rọi cũng không đều như trước:hai bên vết sáng trung tâm có các vết sáng thứ cấp nhỏ hơn. bKết luận : Định luật truyền thẳng của ánh sáng không còn được nghiệm đúng =>Hiện tượng nhiễu xạ . Ta có công thức tính độ rộng của vết sáng trung tâm là: Độ bán rộng góc của vết sáng trung tâm là : Trong gần đúng quang hình học vẫn còn sử dụng được nếu như a rất lớn so với  1.2 NHIỄU XẠ VÀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ : Nguyên lí bất định HEISENBERG :không thể đo được đồng thời vị trí và động lượng của một hạt với một độ chính xác tuyệt đối . 1.3 NHIỄU XẠ TAI VÔ CỰC CỦA MỘT SÓNG PHẲNG QUA MỘT CÁCH TỬ KHE : aThí nghiệm : 2. . d l    a    .xp x h   -Lập sơ đồ thí nghiệm gồm một cách tử N khe cách đều nhau một khỏang a. Cáchtử được chiếu sáng bằng một sóng phẳng đơn sắc bước sóng  và vector sóng tới ik  đập vuông góc với các khe. -Ta quan sát sóng nhiễu xạ của cách tử ở vô cực hay tương đương là trên một màn đặt ở tiêu diện ảnh của một thấu kính. bMô hình hóa cách tử nhiễu xạ: -Các khe làm nhiễu xạ sóng tới,dựa vào độ lệch pha và tính tóan về hiệu quang lộ ta dễ dàng chứng minh được p:bậc nhiễu xạ i  :góc giữa pháp tuyến của mặt cách tử với ik  sin sin .p i p a     Hình 6 .Khi N rất lớn,tổng các eiN  tiến tới 0,trừ các giá trị  xấp xỉ 2p  (p nguyên) cKết luận : -Như vậy mô hình sử dụng là đủ giải thích sự nhiễu xạ của sóng phẳng qua cách tử khe. -Các phương nhiễu xạ của ánh sáng phụ thuộc vào bước sóng  .Ánh sáng đa sắc có bao nhiêu thành phần đơn sắc thì có bấy nhiêu hệ vết sáng. =>Cách tử dùng để phân tích các thành phần đơn sắc của một ánh sáng đa sắc . 2.NGUYÊN LÍ HUYGENS – FRESNEL 2.1.BÀI TOÁN NHIỄU XẠ TỔNG QUÁT: -Sóng ló hay sóng nhiễu xạ phụ thuộc vào dạng và các tính chất quang học của vật nhiễu xạ. -Vì vậy việc khảo sát bài tóan nhiễu xạ là rất phức tạp trong thực tế,tuy nhiên ta có thể áp dụng cách giải gần đúng trong các trường hợp thường gặp. 2.2.CÁC SÓNG THỨ CẤP: -Sóng phát ra qua mặt sóng  được xem như kết quả chồng chất của các sóng thứ cấp (hoặc sóng con) phát ra từ các điểm trên  . 2.3 ĐỘ TRONG SUỐT CỦA MỘT LỖ NHIỄU XẠ : -Một miền trong suốt được tạo ra trên một màn phẳng ,không trong suốt được gọi là lỗ nhiễu xạ. -Nếu P là một điểm trên mặt  của lỗ nhiễu xạ thì độ trong suốt phức(hay hàm truyền qua) ( )t P đựợc định nghĩa bởi công thức : ( , )is P t là biên độ mà sóng tới sẽ có được tại P khi không có lỗ nhiễu xạ. ( , )s P t là biên độ mà ta sẽ quan sát được tại Pkhi không có nhiễu xạ,nghĩa là theo các định luật của quang hình học. ( )t P =0 nếu vật nhiễu xạ là không trong suốt tại P; ( )t P =1 nếu tại một lỗ thủng. ( )t P =-1 đối với một gương kim loại lí tưởng. ( )t P = 0 2 .exp( ( 1) )t i n e     với t0 r’ hay l D AB  22.1 . D l biểu thị số khẩu độ của thấu kính, trong điều kiện Gauss, số này thường lớn hơn 1. Do có nhiễu xạ, ảnh của một vật điểm không hoàn toàn là một điểm và điều đó giới hạn khả năng phân giải của các quang cụ. Nói riêng, kích thước của các chi tiết nhỏ nhất còn có thể phân biệt được bằng các phương tiện quang học là vào cỡ bước sóng của ánh sáng sử dụng. 6.NHIỄU XẠ QUA MỘT TẬP HỢP CÁC LỖ GIỐNG HỆT NHAU 6.1 BIỂU THỨC CỦA BIÊN ĐỘ Biên độ tại một điểm M ở vô cực gây ra do nhiễu xạ của một sóng phẳng ,đơn sắc qua một tập hợp N lỗ giống hệt nhau định tâm tại các điểm O m(x m,y m) sẽ bằng tích số :  của hàm nhiễu xạ của một lỗ định tâm tại O: 0 0( , ) ( ( )) ( )Ds M t Ks i t M F M    với 0 2 ( ) ( , ) exp (( ) ( ) )D i i lo F M t i d d                   với một số hạng giao thoa : 1 1 2 ( ) exp (( ) ( ) ) N i m i m m F M i x y            6.2 TRƯỜNG HỢP CÁC LỖ PHÂN BỐ TÙY Ý Xét trường hợp N rất lớn và N lỗ được phân bố một cách tùy ý Cường độ sáng có dạng : 2 2 0 1( ) ( )DI I F M F M số hạng nhiễu xạ phụ thuộc vào dạng của lỗ. Ta nghiên cứu ảnh hưởng của số hạng giao thoa : 2 1 1 ( ) ( )( )m m N N i i I m m F M e e         với 2 ( ) ( ) m i m i mx y            2 ( ) ( ) n m i I m n m F M N e         Nếu khảo sát từng cặp lỗ thì ta được: ( ) ( ) ( ) ( )n m n m n mi i i m n m n m e e e               giả sử 2 ( ) 2 cos ( ) ( )I n m n m F M N M M       Nếu các lỗ nhiễu xạ được phân bố một cách tùy ý thì các góc ( ) ( ) ( )nm n mM M M     cũng phân bố một cách tùy ý và tổng quát cos ( ) ( )n m n m M M     chỉ khác 0 đối bới  và  rất gần với i  và i  Tổng này chứa ( 1) 2 N N  số hạng và từ đó có thể kết luận rằng:  2 2 ( )IF M N theo phương của sóng tới  2 ( )IF M N trong tất cả các phương khác 6.3 ÁP DỤNG CHO CÁC KHE YOUNG :  Hiện tượng nhiễu xạ chỉ xảy ra doc theo phương (Ox).do đó ,trong mặt phẳng quan sát ,hình nhiễu xạ sẽ định xứ trên đường thẳng : '''' iy f   Số hạng giao thoa là số hạng giao thoa của hai nguồn điểm đặt cách nhau một khỏang a: 2 1 '''' 2 ( ) 1 cos ( ) i a x F M f        Số hạng nhiễu xạ là số hạng nhiễu xạ xcủa một khe có độ rộng e: 2 '''' 2 '''' sin( ( )) ( ) ( ) i D i e x f F M e x f                   Vì vậy 2 0 '''' '''' 2 ( ) sin ( ) 1 cos( ( ))i i e x a x I M I c f f                      nếu '''' iy f  ( )I M =0 nếu '''' iy f  số hạng nhiễu xạ biến điệu biên độ của các vân giao thoa Nếu sóng tới phát xuất từ một khe hẹp song song với các khe Young và được đặt tại tiêu diện vật của một thấu kính thì hình nhiễu xạ sẽ gồm những dải song song với (Oy). 6.4 NHIỄU XẠ QUA MỘT CÁCH TỬ PHẲNG 6.4.1 Định nghĩa : Cách tử phẳng là một vật nhiễu xạ có hàm truyền qua chỉ biến đổi dọc theo một phương (Ox) một cách tuần hoàn .Một cách tử bao gồm một chuỗi N chi tiết hoặc vạch giống hệt nhau ,rất dài ,song song với (Oy). Chu kì không gian a được gọi là bước của cách tử . 6.4.2 Biểu thức cường độ :  Cường độ tại một điểm M ở vô cực của sóng nhiễu xạ qua một cách tử được chiếu sáng bằng sóng phẳng đơn sắc có dạng : 2 2 0( ) ( ) ( )D II I F M F M   2 0 ( )DI F M là cường độ của sóng nhiễu xạ bởi một chi tiết 2 1 ( )F M đi qua các cực đại rất nhọn nếu như phương nhiễu xạ  và phương của sóng tới i liên hệ với nhau bởi biểu thức sin sin .p i p a     với p nguyên  Mỗi giá trị của p tương ứng với một bạc nhiễu xạ ,các giá trị của  tương ứng với một cực đại cường độ phụ thuộc vào bước sóng ngoại trừ bậc 0. 7.SỰ NHIỄU XẠ VÀ ẢNH BIẾN ĐỔI FOURIER. 7.1 TRƯỜNG HỢP HÀM TRUYỀN QUA f(x) Xét trường hợp một lỗ nhiễu xạ bất biến đối với phép tịnh tiến dọc theo Oy với điều kiện L>>  . Giả sử rằng phương của chùm tia tới song song với mặt phẳng xOz.Khi đó sẽ không xảy ra hiện tượng nhiễu xạ song song với (Oy) và bài toán được xem xét trong mặt phẳng (xOz) Biên độ tại M ở vô cực theo những phương rất gần với Oz được xác định theo phương   0 0 2 ( , ) exp ( ( )) ( ) exp ( ) i lo s M t KLs i t M t x i x dx                Trong trường hợp ánh sáng tới vuông góc với mặt phẳng của lỗ  0 0 2 ( , ) exp ( ( )) ( ) exp lo s M t KLs i t M t x i x dx               7.2ẢNH BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA t(x)  Cường độ của sóng nhiễu xạ tại vô cực qua lỗ có độ trong suốt ( )t x ,được chiếu sáng vuông góc ,tỉ lệ với bình phương module ảnh biến đổi Fourier của hàm truyền qua lỗ : 2 0( ) ( ( ))I M I u  với 2 u      ( )u biểu diễn sự phân bố các mạch số không gian của ( )t x 7.3 HÀM TRUYỀN QUA HÌNH SIN : Xét một lỗ nhiễu xạ hình chữ nhật rất dài theo phương Oy có độ rộng l.Độ trong suốt của lỗ là hàm thực có dạng : 0 2 ( ) (1 cos ); ( ) 0 x t x t a t x     0 11 2 1 2 1 ( ) 2sin sin ( ) sin ( ) 2 2 2 22 t U u c c u c u a a                          Nếu 1 2 x  1 2 x  7.4LỖ NHIỄU XẠ CÓ ĐỘ TRONG SUỐT TUẦN HÒAN HAY CÁCH TỬ  Hình nhiễu xạ FRAUHOFER của sóng phẳng qua một cách tử có độ rộng l,hàm trong suốt ( )t x có chu kỳ a (a l) là một tập hợp các vết sắp xếp một cách đều đặn tương ứng với các họa ba của khai triển chuõi Fourier của ( )t x 7.3 SỰ LỌC CÁC TẦN SỐ KHÔNG GIAN  Lọc chắn thấp  Lọc chắn cao Phaàn I : VAÄT LYÙ SOÙNG I-PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG ÑIEÄN TÖØ: 1.Caùc phöông trình Maxwell: Tröôøng ñieän töø trong chaân khoâng vaøo thôøi ñieåm t naøo ñoù ñöôïc xaùc ñònh bôûi vectô cöôøng ñoä ñieän tröôøng ),( trE  vaø vectô caûm öùng töø ),( trB  vôùi r  laø vectô vò trí taïi ñieåm ñang xeùt Löïc taùc dung leân ñieän tích thöû Q chuyeån ñoäng vôùi vaän toác v  ñöôïc bieåu dieãn thoâng qua E  vaø B  nhö sau: )( BvQEQF   Nguoàn cuûa tröôøng ñieän töø laø caùc ñieän tích vaø doøng ñieän ,ñeå ñaëc tröng cho caùc ñaïi löôïng ñoù ngöôøi ta duøng maät ñoä ñieän tích vaø vectô maät ñoä doøng ñieän j  . Caùc phöông trình Maxwell bieåu dieãn moái lieân heä giöõa söï bieán thieân cuûa tröôøng ñieän töø ),( BE  vôùi caùc nguoàn cuûa noù (ñieän tích ,doøng ñieän) o Pt M-Φ : div B  = 0 baûo toaøn töø thoâng o Pt M-F : t B Erot      caûm öùng ñieän töø o Pt M-G : div E  =   0 o Pt M-A : t E jBrot         000 j  : doøng ñieän daãn t E     0 : doøng ñieâïn dòch ε0 =  36 1 .10 -9 (F.m -1 ) :haèng soá ñieän μ0 = 4  .10 -7 H.m -1 2.Caùc phöông trình lan truyeàn soùng: )()()( B rot t t B rotErotrot           Maët khaùc ) ( ) ( ) ( ) ( )() ( )() ( ) ( )() ( 0 2 2 0 0 2 2 00 0 2 2 000 0 00 0 00 0 0 0 2 2 0 0 2 2 000 bj rot t B B t B jrotBBdiv grad t B E rot t F M E rot t j rot t E rotjrotBrotrotA M a t j grad t E E t E t j B rot t A M AAdivgradArotrot                                                                                          (a) vaø (b) laø phöông trình lan truyeàn cuûa tröôøng 3.Tröôøng hôïp khoâng coù nguoàn:( )0,0  j   Caùc pt lan truyeàn cuûa ñieän tröôøng E vaø töø tröôøng B luùc ñoù coù daïng cuûa pt D’Alembert: 0 1 2 2 2     t E C E   ; 01 2 2 2     t B CB   (c) Vôùi C 2 = 1 00  :vaän toác truyeàn trong chaân khoâng.  Toaùn töû D’Alemert:  = t C    2 2 1   E  =0 ;  B  = 0  Ñoái vôùi moat thaønh phaàn cuûa tröôøng (a),coù theå bieåu dieãn döôùi daïng  a =0 4.Caùc theá cuûa tröôøng: Div(rot A  ) = 0 0:  BdivM  =>toàn taïi moat tröôøng vectô A  : )( ArotB   0) ( )()(                 t A E rot t A rotA rot t t B ErotFM       =>tröôøng xoaùy toàn taïi tröôøng voâ höôùng V : )0)((       gradV rot gradV t A E   Toùm laïi ,tröôøng ñieän töø ( E  ,ø B  ) coù moat caëp theá ( A  ,V) lieân heä vôùi chuùng qua bieåu thöùc : E  = - t A    gradV ; B  = rot A  Neáu A  laø vectô theá cuûa tröôøng ñieän töø thì: A  ’ = A  + gradf cuõng laø vectô theá V laø theá cuûa tröôøng thì V’ = V - t f   cuõng laø theá. Trong soá nhöõng caëp theá cuûa moät tröôøng ñieän töø xaùc ñònh toàn taïi moat caëp theá thoaû ñieàu kieän chuaån Lorentz : 000     t V Adiv   j t A A t A AdivgradjAAdiv grad t A t V grad j t E j t E jArotrotB rot t V V A div t V t A gradVdivEdiv            0 2 2 0 0 2 2 00 0 2 2 0000 0 0000 0 0 2 2 0 0 0 )() ( ) ( )() ( )()(                                                             II- SOÙNG ÑIEÄN TÖØ PHAÚNG CHAÏY ÑIEÀU HOAØ LIEÂN TIEÁP:(OPPH) 1.Môû ñaàu: - Maët soùng : laø taäp hôïp caùc vò trí maø ñoä lôùn cuûa tröôøng khoâng ñoåi vaøo thôøi ñieåm xaùc ñònh. - Soùng phaúng (OP) laø soùng coù maët soùng laø moät hoï caùc mp vuoâng goùc vôùi phöông truyeàn soùng xaùc ñònh )1( uu  - Soùng phaúng lieân tieáp (OPP) laø soùng phaúng truyeàn theo phöông vaø chieàu xaùc ñònh ,haøm soùng coù daïng: a(M,t) = ).( ctruf   Nghieäm cuûa phöông trình D’Alembert laø toä hôïp caùc soùng phaúng lieân tieáp theo moät phöông u  naøo ñoù . - Soùng phaúng ñieàu hoaø lieân tieáp :laø soùng phaúng lieân tieáp maø haøm soùng coù daïng sin hoaëc cos. )cos(),(  rktAtra   Soá soùng k=    2 C Vectô soùng k  = k .u  - Soùng ñieän töø phaúng ñieàu hoaø lieân tieáp laø nghieäm cuûa phöông trình Maxwell maø 6 thaønh phaàn cuûa tröôøng ñieän töø coù cuøng taàn soá goùc  vaø cuøng vectô soùng k  Coù theå bieåu dieãn tröôøng ñieän töø döôùi daïng phöùc : ) ( 0 rkt j eEE     ) ( 0 rkt j eBB     Caùc toaùn töû ñaïo haøm taùc duïng leân tröôøng phöùc töông ñöông vôùi pheùp nhaân :  j t    ; kj   2.Caáu truùc cuûa OPPH trong chaân khoâng: Bieåu dieãn pt Maxwell baèng aùch söû duïng toaùn töû rabla   0 0    B E    tE B TBE    00      =>Döôùi daïng phöùc : )2(0 . )1(0.    Bk j Ekj    )4 ( )3 ( 00 EjBk j BjEkj           (1) => 00)Re(). Re( 00.    EuEuoE u EuEk    Moät aùch töông töï => .0Bu   Soùng ñieän töø phaúng ñeàu hoaø lieân tieáp trong chaân khoâng laø soùng ngang. (3) => )''''3(. EukEkB   )''''4(ˆ)4( 2 E C Buk    Theá (3’) vaøo (4’) : E C E u k uk  2 )(.    Ta coù: EEuuuEuEuu   ))..()..()(. => 2 2 2 c k   (3’) => c E u E u k B      Laáy phaàn thöïc : c E u c E u B      )Re( => ),,( BEu  taïo thaønh moät tam dieän thuaän Maët khaùc tyû soá giöõa tröôøng ñieän vaø töø laø: c tM B tME  ), ( ),( Ñieän tröôøng vaø töø tröôøng cuûa OPPH ñoàng pha .Caùc tính chaát treân cuõng ñuùng vôùi OPP. 3.Söï phaân cöïc cuûa OPPH: Trong OPPH phöông cuûa ñieän tröôøng E  trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi phöông truyeàn soùng u  chöa ñöôïc xaùc ñònh .Phöông cuûa vectô E  ñöôïc goïi laø phöông phaân cöïc cuûa soùng Xeùt trong heä toaï ñoä Descartes ,giaû söû soùng truyeàn theo phöông z )cos(0 xx kztE    E  = )cos(0 yy kztE    0 Moät khi bieát ñöôïc ñieä tröôøng E  ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc töø tröôøng bôûi caáu truùc OPPH. Taïi moät vò trí z = z0 coá ñònh ,ta coù theå vieát söï bieán thieân cuûa ñieän tröôøng nhö sau : Ex = )cos(0 tE x  Ey = )cos(0   tE y Vôùi  =  x -  y : ñoä treã pha cuûa E y ñoái vôùi E x Ñaàu muùt cuûa vectô ñieän tröôøng dòch chuyeån trong mp (xOy) ,hình chöõ nhaät coù caïnh 2E0x vaø 2E0y treân ñöôøng ellipse coù pt:   2 0 0 2 0 2 0 sincos))((2)()(  y y x x y y x x E E E E E E E E Ñeå xaùc ñònh chieàu chuyeån ñoänh doïc theo ellipse ,ta xeùt vaøo thôøi ñieåm t=0 ,khi ñoù Ex = E0x vaø :   sin.)( 00 y t y E dt dE   chieàu quay ñöôïc chæ ra bôûi daáu cuûa sin  .  Neáu chieàu quay thuaän chieàu kim ñoàng hoà :soùng phaân cöïc ellipse traùi, sin  > 0  Neáu  = 0 hoaëc  =  ,ñaàu muùt cuûa E dòch chuyeån treân ñöôøng thaúng xaùc ñònh ,ta coù phaân cöïc thaúng Noùi chung moät soùng phaân cöïc ellipse coù theå xem laø toång cuûa 2 soùng phaân cöïc thaúng theo hai phöông vuoâng goùc vôùi nhau => moïi soùng ñieän töø trong chaân khoâng laø söï toång hôïp cuûa caùc soùng phaúng ñieàu hoaø lieân tieáp phaân cöïc thaúng.  Neáu  =  2 vaø E0x = E0y ta coù phaân cöïc troøn. 4.Söï truyeàn naêng löôïng cuûa OPPH : Maät ñoä naêng löôïng cuûa tröôøng ñieän töø: e = 0 2 2 0 .22  BE  Ñoái vôùi OPPH : B = Ec => e = 2 0 E  = 0 2  B  naêng löôïng ñöôïc phaân boá ñeàu döôùi daïng ñieän vaø töø. Ñoái vôùi moät soùng OPPH truyeàn theo phöông cuûa truïc Ox ,tröôøng ñieän töø coù daïng: ) ( 0 kxt j eEE     )(0 kxtjx e c E u B      Giaù trò trung bình cuûa e:  = < 2 0 E  > = Re( 2 1 0  E  . E  ) = 2 0  2 0E  Vectô Poynting: Coâng suaát cuûa soùng ñieän töø (W) ñi qua moät dieän tích S baèng doøng cuûa vectô poymting 0  BE    (vectô doøng naêng löôïng Wm ñi qua dieäm tích ño =  S Sd .  ) Ñoái vôùi OPP . )( 2 0 00 uE c c EuEBE              Ñoái vôùi soùng OPPH coù taàn soá  , giaù trò trung bình <  > cuûa coâng suaát truyeàn qua maët S vuoâng goùc vôùi phöông truyeàn u  <  > = <   >. S  = 12Re( SEc S BE . 2 1 ). 2 0 0 0        Ta coù: < )()( tBtE   > = )()( Re( 2 1 ))()( Re( 2 1 tBtEtBtE mm   ) ) cos( 2 1 ) Re( 2 1 2 1 )( 21       m m j mm BEeBE  Vaän toác truyeàn naêng löôïng: Ve : vaän toác truyeàn naêng löôïng. tS .. : naêng löôïng truyeàn qua dieän tích S vuoâng goùc vôùi phöông truyeàn soùng trong khoaûng thôøi gian t   etvS e .. : naêng löôïng chöùa trong theå tích tvS e ..  etvS e .. tS .. =>      e v e  Ñoái vôùi OPPH : v e = c. zzyy ukxtEukxtEE  )sin()cos( 00     =>      )sin()(cos 2 0 2 2 0 0 0 2 kxtEkxt E c u u c E zy         = u c EE zoy  . 2 0 2 0 2           2 )sin()( cos 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 0 2 0 z y z y E E kxtEkxtEEe          Vecto Poynting phöùc : 0  BE       rktjEE    exp.0 Ñoái vôùi OPPH :   rkt j c E u B       exp.0   rkt j c E u B        exp . 0=> u c E u c E E c E u E BE        . ). . () ( 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0            => Sdd     OPPH: u E c u c E  2 2 0 0 0 2       Chương II: BỨC XẠ CỦA LƯỠNG CỰC ĐIỆN 1. Bức xạ của lưỡng cực điện: a) Mở đầ u: dqp   )(tdd   )(tqq  dt dq i  Từ các phương trình Maxwell và điều kiện chuẩn Lorentz: 0 ),( 1 ), ( 1 )1 ( 1 2 0 2 2 2 0 2 2 2                t tM V C tMA div j t A C A t V c V        b) Thế vô hướng và thế vectơ: Xét sự đóng góp ),( tMV  , tại điểm M, vào nghiệm của phương trình thế vô hướng (1) gây ra từ một điện tích điểm     ),()( tOtQ  chứa trong thể tích vi phân  đặt tại gốc toạ độ. Có thể viết ),( trV  (đối xứng cầu) Đối với 0r V  phải thoả mãn phương trình D’Alembert    ), ( 1 ),(0 2 2 2 tr V t c trV      với    ), ( 1 ),( 2 2 trV r r r trV      nghiệm có dạng:               c r t g r c r t f r trV 1 1 ),(   r f sóng cầu phân kỳ Nếu xem V  gắn liền với sự tồn tại của nguồn Q  , nguồn này bắt đầu hoạt động tính từ một gốc thời gian nhất định, ta chỉ xét nghiệm:        c r t f r trV 1 ),(  Khi r → 0, nghiệm tiệm cận tới dạng: z M y x r r t Q trV    4 ) ( ),0(  r c r t Q trV     4 ),(         c r thời gian truyền sóng từ O tới M với vận tốc c  Thế trễ: Có thể áp dụng các kết quả trên cho trường hợp một phân bố của điện tích và dòng điện:         D d PM c PM t p tMV    , 4 1 ), ( 0 Tương tự đối với thế vectơ:          D d PM c PM tP j tMA    , 4 ),( 0    Độ trễ c PM t  : sự trễ của truyền thông tin với vận tốc ánh sáng.  Thế vectơ của lưỡng cực: Điện tích –q chuyển động với vận tốc v  ở lân cận q, q đứng yên. PM c PM tPv q tMA         , 4 ),( 0     đối với moment lưỡng cực: v q t p p         PM c PM tP p tMA         , 4 ),( 0       Nếu r » d: (đủ lớn để xem sự phân bố điện tích như điện tích điểm)               c r t p c PM tPp  ,  độ trễ c d rất nhỏ. (r: khoảng cách từ điểm khảo sát đến lưỡng cực điện)  Đối với một hạt q dao động với tần số góc ω và biên độ d. Thời gian đặc trưng của sự biến đổi  2 T (biến đổi trạng thái)   dtP ), ( P M O q M vqp   -q v  c d « T dv   v « c ( dv  : Biên độ của vận tốc dao động)  Chuyển động của các điện tích điểm là không tương đối tính: λ = cT  d « λ Kết luận: Thế vectơ tạiđiểm M vào thời điểm t của một lưỡng cực biến đổi )(tp  , với biên độ bậc d, ở lân cận O, thời gian đặc trưng t: r c r t p tMA             4 ),( 0 cần thoả hai điều kiện: d « r = OM (gần đúng lưỡng cực) d « λ = cT (gần đúng không tương đối) Sử dụng biểu diễn phức: p j t p eptp n n n tj    )()( 0       ) ( 0 0 0 4 4 ),( krt j e p r j c r t p r j tMA                   (với c k   )  Thế vô hướng: Từ điều kiện chuẩn Lorentz: Adiv c t V 2     với ) ( 0 0 4 ),( krt j e p r j tMA         ) ( 0 2 2 2 0 ) ( 0 2 0 44 krt j r krt j ep e rc r j c r ep j div c t V                                      Lấy tích phân: ) ( 0 2 0 1 4 1 ),( krt j r ep e rc j r tMV                 thế gần tĩnh của lưỡng cực                                      ) (sin sin 1)(1 2 2 A r r A r r A div c r r f c e u u c r tf div r r     O ze  p  M re  e  e  θ  y z 2 04 r e p V r    z krt j krt j ee p r j tM A e p rc j r tMV  ) ( 0 0 ) ( 0 2 0 4 ), ( cos 1 4 1 ),(                      c) Điện trường và từ trường (của lưỡng cực điện dao động)  Điện trường: t A VgradE      Giải trong hệ toạ độ cầu:                   e tM V r e r tM V tMVgrad r     ),(1), ( 4 1 ), ( 0 ) ( 02 3 2 2 3 0 sin 1 cos 2 2 4 1 krt j r ep e c r j r e rcc r j r                                                    e e r e p ee p r t A r krt j z krtj    sin cos 4 4 ) ( 0 2 0) ( 0 2 0        ) ( 0 2 2 232 3 0 sin 1 cos 2 2 4 1 ),( krt j r ep e rcc r j r e c r j r tME                                      Vectơ cường độ điện trường nằm trong mặt phẳng chứa trục Oz.  Từ trường: ArotB          ee p rc r j tMB krtj  ) ( 0 2 2 0 sin 4 ),(           d) Bức xạ của lưỡng cực điện:  Vùng bức xạ (vùng xa): d « λ « r           c 2 Tập hợp những điểm ở khoảng cách lớn hơn so với bước sóng. 3 1 r «  2 1 r « 2 1 r 3 1 r  « cr 2  « 2 2 rc  3 r p  « c r p 2  « 2 rc p Trường điện từ bức xạ bởi lưỡng cực điện có dạng gần đúng như sau:            e rc e p B e rc e p E krt j krtj    sin 4 sin 4 1 ) ( 0 2 0 2 ) ( 0 2 0                       Dưới dạng thực:        e rc c r t p B e rc c r t p E         sin 4 sin 4 1 0 2 0                                          Cấu trúc của trường bức xạ: Chúng ta đã khảo sát trường bức xạ của lưỡng cực dao động dọc theo Oz. Đối với một lưỡng cực trong trường hợp tổng quát: zzyyxx etpetpetptp  )()()()(  Có thể viết: rc e c r t p tM B rc e e c r t p tM E r rr                                   4 ), ( 4 1 ), ( 0 2 0 Các trường nhận được có dạng tương tự như sóng cầu phân kỳ truyền với vận tốc c. Phương truyền sóng được chỉ ra bởi re  . Điện trường và từ trường vuông góc với re  và retrBctrE   ),(), ( giống như sóng điện từ phẳng liên tiếp (OPP) truyền trong chân không, song song với vectơ re  . Kết luận: Trong vùng bức xạ (d « λ « r), trường điện từ gây ra bởi lưỡng cực điện có các tính chất sau:  Giảm tỉ lệ với r 1 .  Tỉ lệ với gia tốc dao động của hạt        c r tp  Tại điểm xác định (cục bộ) có cấu trúc của sóng phẳng liên tiếp trong chân không reBE  ,, là tam diện thuận với rr etrBctrE   ),(),( e) Năng lượng điện từ bức xạ: Khảo sát trường hợp lưỡng cực dao động dọc theo trục Oz . Vectơ Poynting: r r e c r t p c r e c E e c E e E BE                           2 2 2 2 0 0 2 0 0 16 sin )(         Công suất bức xạ truyền qua một phần tử bề mặt dS = r3 dΩ của hình cầu tâm O bán kính r, được nhìn phía dưới góc khối   ddd sin :    deredSSdd rr  ... 2 Công suất phát xạ tương ứng với một đơn vị góc khối: 3 0 2 2 2 16 sin c p d d       công thức trên không phụ thuộc vào góc  và r.  Giản đồ: Bức xạ của lưỡng cực điện không đẳng hướng: - Công suất được phát xạ chủ yếu theo các phương vuông góc với vectơ 2 2 dt pd  - Không có năng lượng phát xạ theo phương của vectơ này )( p   Công suất phát xạ toàn phần:                0 2 0 3 0 2 6 c p d d d  3 4 sin 0 3      d O p  θ H  2 sin     d d OH f) Sự tán xạ của bức xạ điện từ:  Mô hình điện tử liên kết đàn hồi: Giả sử:  Các điện tử khác nhau của các phần tử khí độc lập với nhau.  Mỗi electron được xem như một dao động tử điều hoà tắt dần. Lực tác dụng lên electron: rm  2 0  r  độ lệch tâm của đám mây điện tử trong nguyên tử. rmF  2 0  Lực cản: v Q mF  0   Q: yếu tố chất lượng của dao động tử. )(0 2 0 tEq r Q mrmrm       Eq   : lực tĩnh điện. t j e E Q j m q r       0 2 0 2 0 2 0 1       Tán xạ Rayleigh:  « 0  : t j e E m q r   0 2 0   t j e E m q rra     0 2 0 2 2   Công suất phát xạ 2 )(a   tức là 4  hay 4 1  .  Sự phân cực bởi tán xạ: Tia tán xạ song song với phương của tia tới thì không phân cực. Tia tán xạ vuông góc với phương của tia tới thì phân cực thẳng. Đối với các phương trung gian, tia tán xạ phân cực một phần. Chương III : TÁN SẮC VÀ HẤP THỤ ( Các hiện tượng của sự lan truyền một chiều ) I. SỰ TÁN SẮC VÀ SỰ HẤP THỤ CỦA SÓNG TRÊN MỘT SỢI DÂY : 1) Dao động của một sợi dây không lý tưởng : Ta đã biết phương trình truyền sóng ngang dọc theo sợi dây không bị xoắn là phương trình D’Alambert : 0 1 2 2 2 2 2       xtc   trong đó vận tốc truyền sóng là  0 T c  với T0 : lực căng dây  khối lượng dài của dây (kgm). Nếu sợi dây còn chịu tác dụng của lực ma sát của môi trường không khí, xét trên một đoạn dx : yy e t e dx v fd          Các phương trình cặp đối với F y và  : x F t t x t x T F y y                        1 ), ( 2 2 0 0 1 2 2 2 2 2           x c tt     () 2) Các nghiệm của phương trình truyền sóng : a. Giải tích điều hoà : Phương trình truyền mà chúng ta vừa nhận được là tuyến tính. Một sóng vật lý có thể phân tích thành tổ hợp các sóng OPPM. Một sóng như vậy là nghiệm của phương trình truyền sóng, phương trình vi phân truyến tính với các hệ số là hằng số, nếu mỗi thành phân đơn sắc là nghiệm của phương trình. Để đơn giản hoá bài toán, ta sẽ tìm các nghiệm “sóng đơn sắc” dưới dạng biểu diễn phức. b. Số sóng phức : Tìm nghiệm dạng sin với biên độ phức tỉ lệ với e j t của phương trình : 0 x c t 1 t 2 2 2 2 2              Với x,t)= (x)e j t 0) ( )( 2 2 2 2             x j x x c      y F(x+dx,t) -F(x,t)   (x,t) (x+dx,t) O x x x +dx Nghiệm của phương trình có dạng: (x) =  ejkx +  e jkx với hệ số k là số sóng phức, liên hệ với tần số  bởi biểu thức quan hệ tán sắc :    j kc  222 k( )=k 1 ( ) – jk 2( ) với 2 2 2 2 2 1 c kk   và   2212 c kk  c. Sự tán sắ c (dispersion) : k phức : )xkt(jx k 0 12 ee)t,x(       ở dạng thực : )xktcos(e)t,x( xk 10 2      (giả sử    Sự truyền pha của sóng trong số hạng cos( t – k 1x). Vận tốc truyền pha - vận tốc pha 1 k v    phụ thuộc vào  Các sóng với tần số khác nhau truyền với vận tốc khác nhau  hiện tượng tán sắc. d. Sự hấp thu : x k e 2 : biên độ sóng thay đổi ở trong môi trường. Đối với sợi dây rung, từ quan hệ tán sắc ta có : 0 c 2 )k Im( 2 1 kk 2 2 2 21     Nếu sóng truyền theo chiều x dương ( k1 >0)  k2 > 0  có sự suy giảm dọc theo chiều truyền sóng. Sóng bị mất năng lượng khi đi vào môi trường, đó là sự hấp thu . Chiều dài xuyên sâu )k Im( 1 k 1 2    II. SỰ TRUYỀN SÓNG ĐIỆN TỪ TRONG VẬT DẪN KIM LOẠI : 1) Chuyển động của chất lỏng hạt mang điện (điện tích) tự do : a. Môi trường kim loại : Sự dẫn điện của kim loại gắn liền với sự tồn tại của các điện tử chuyển động trong vật liệu. Mật độ hạt cao (10 29 m-3 đối với một chất dẫn điện tốt). Tương tác của các điện tích chuyển động với mạng tinh thể kim loại làm mất năng lượng điện từ. Sự mất mát đó có thể xem như tồn tại lực cản nhớt :  v mf  với  là thời gian hồi tĩnh của vật liệu (~ 10 -14 s). Phương trình chuyển động của điện tử trong vật dẫn :  v m)BvE(eam  b. Sự gần đúng của môi trường liên tục : v : vận tốc trung bình của một tập hợp các hạt mang điện chuyển động. Mô hình chất lỏng các hạt mang điện, trường vận tốc )t,r(vv  . Gia tốc trung bình của điện tử : )t,r(v)grad.v ( t )t,r( v dt )t,r(v)dtt,dtvr( v lim)t,r(a 0dt                 Phương trình chuyển động :  v m)BvE(ev)grad.v ( t v m              c. Gần đúng tuyến tính : Biên độ của điện trường giả sử đủ nhỏ sao cho biên độ chuyển động của các điện tích  nhỏ so với bước sóng của sóng điện từ . 1 kv v kv t v v)grad.v( 2         Đối với từ trường 1 kv E kE v E Bv       E m e v t v       d. Sóng ngang : Điện trường của sóng điện từ phẳng dạng sin truyền trong môi trường là sóng ngang. Ví dụ : Đối với sóng phẳng, 0Ediv    . Mật độ dòng điện được sinh ra do chuyển động của điện tử : vnej  với n = const : mật độ điện tử đồng nhất trong môi trường. Các phương trình Maxwell : 0Ediv  t B Erot    0Bdiv  t E jBrot 000        2) Quan hệ tán sắc của sóng ngang OPPM : Tìm các nghiệm OPP dạng sin, tần số , vectơ sóng phức xekk  )xkt( j 0 eE)t,x(E    )xkt( j 0 e E k B      . a. Độ dẫn điện của kim loại : Vectơ vận tốc được xác định bởi phương trình chuyển động : )xkt( j 0 e E 1 j m e v       Mật độ dòng điện có dạng Ej  Điện dẫn phức : tj 1 )j( 0       với m ne 2 0    là điện dẫn của kim loại ở chế độ tĩnh. b. Quan hệ tán sắc : Đối với sóng ngang, 0Ediv  EkE)Erot(rot 2  Mặt khác : 2 2 20 t E c 1 t j t B rot)Erot(rot                     0Ek j c Ej 2 0 2 2                0 222 jkc      c. Các trường hợp giới hạ n : k = k 1 – jk2 t j 1 1 tj 1 jk c 2 p 2 0 0222              với 0 2 p m ne     114 s 10 1     : k1 và k2 gần bằng nhau.  1 16 p s 10 1       : k2 >> k1 : số sóng thuần ảo.  p , k1 >> k2 : số sóng thực Sóng vô tuyến,..... Microwaves p 1    Hồng ngoại,...., Tử ngoại p 1     Tử ngoại xa, tia X     p 1 Quan hệ tán sắc k 2 =-j 0   2 2 p 2 2 c k     Số sóng (k 1 > 0) )j1 ( 2 k 00     2 2 2 p c jk     2 2 p 2 c k     d. Hiệu ứng bề mặt (Skin effect) ở tần số thấp (  1  ): Điện dẫn thực và dương. Số sóng có dạng tiệm cận 2 j 000 0 2 ejk         Đối với sóng truyền theo chiều dương của trục x :      j 1 ek 4 j 00    với   0 0 2  Điện trường của sóng liên tiếp trong kim loại có dạng : ) x t( j x 0 eeE)t,x(E       ) 4 x t( j x 0x eeE e 2)t,x(E k )t,x(B              Sóng có E và B không cùng pha. Đối với sóng met (m) hoặc centimet (cm), sóng điện từ hầu như không được truyền vào trong kim loại mà định xứ trên một lớp mỏng bề mặt. Độ xuyên sâu rất nhỏ, tại đó trường điện từ gần như bằng không, gọi là bề dày của da. e. Sự lan truyền ở tần số cao (.....):  Hiệu ứng va chạm được bỏ qua:  v t v     E m e t v     v và E lệch pha 90 o . Công suất truyền cho điện tích bằng không.  Trong vùng p 1     : c 2 k 2 =  p2 , gương kim loại: Nếu p, số sóng thuần ảo. Đối với sự truyền theo x tăng : 2 2 2 p 2 c jjkk     tjx k 0 eeE)t,x(E 2    ) 2 t( j x k 0x2 eeEe k )t,x(E k )t,x(B 2          Ta có sóng dừng với biên độ giảm theo hàm mũ exp : sóng tiêu tán. E và B lệch pha nhau 90o . Giá trị trung bình của vectơ Poynting và dòng năng lượng truyền bởi sóng bằng không  sóng phản xạ . 1014      Hàm sóng của sự chồng chất hai sóng dưới dạng thực : (x,t) = 0 cos( 1t – k 1 x) + 0 ( 2 t – k 2x) với k 1 = k 1 ( 1 ) và k 2 = k 2( 2 ) là các quan hệ tán sắc. Giả sử  và  rất gần nhau. Đặt : 2 2 1 m      và m 2 1 m 2        )( k 2 k k k m 2 1 m     và 2 k k k 21     (x,t) = 2 0 cos( t – kx)cos( m t – k m x) = m (x,t)cos( m t – k mx).  Hiện tượng phách : biên độ của sóng dao động với tần số không gian k m , bị điều biến chậm với tần số k.  Tín hiệu “nhanh” cos( m t – k mx) lan truyền với vận tốc pha k v     Đường bao của tín hiệu lan truyền với vận tốc dk d k v g     , gọi là vận tốc nhóm. Tổng của hai sóng dạng sin với các tần số gần nhau là một tín hiệu với tần số trung bình và biên độ biến đổi chậm: Chúng ta có thể nói rằng sóng tổng hợp chủ yếu định xứ ở lân cận của bụng của đường bao biên độ. Bằng cách chồng chất một số lớn các sóng OPPM, ta có thể làm giảm sự trải rộng của đường bao tính hiệu. Đối với một bó 2N+1 sóng phẳng hình sin, có tần số n lân cận m : n = m + n  (-N  n  N) Độ rộng phổ :  = (2N + 1)  thoả điều kiện :  m )xktcos(A)t,x( n N N n n0      ; k n = k( n ).  Độ trải rộng của bó sóng càng giảm yếu nếu số lượng sóng chồng chất cũng như độ rộng phổ  càng lớn. Sự điều khiển biên độ có chu kỳ (theo thời gian)   2 T   Một bó sóng định xứ trong thời gian và không gian là sự chồng chất của các sóng OPPM có phân bố tần số liên tục. Biểu diễn dưới dạng phức :     0 )kxt(j de)( A 2 1 )t,x(      với k=k( ). Biểu diễn dưới dạng thực :    0 d)kxtcos()(a)t,x(     (giả sử A = a ). Độ rộng phổ của sóng tổng hợp  liên hệ với khoảng thời gian tồn tại của sóng t : t   2) Sự lan truyền sóng có (hoặc không có) tán sắc : Nếu tất cả các sóng OPPM của bó sóng lan truyền với cùng vận tốc pha v  = c (nếu là nghiệm của phương trình D’Alambert): sự lan truyền không tán sắc. Bó sóng lan truyền cũng với vận tốc c. Trạng thái của bó sóng vào hai thời điểm khác nhau t 1 và t2 là như nhau, với sự chuyển dịch v  (t 2 – t 1 ). Nếu các OPPM của bó sóng lan truyền với các vận tốc pha khác nhau: sự lan truyền tán sắc. Bó sóng bị biến dạng trong quá trình lan truyền. 3) Vận tốc nhóm : Khảo sát bó sóng với phổ liên tục :     0 )kxt(j de)(A)t,x(     Trường hợp  rất nhỏ so với m : g m v kk   với m dk d v g m              )xkt(i v x t i mm g e)(de)(A)t,x(                               Sóng “trung bình” với tần số m , biên độ bị điều biến bởi sóng hạng F lan truyền với vận tốc v g : )xkt( i g m m e v x tF)t,x(              Một bó sóng, với độ rộng phổ nhỏ quanh giá trị m , dịch chuyển trong môi trường có sự tán sắc yếu, với vận tốc nhóm m dk d v g          Vận tốc nhóm dk d v g   là vận tốc truyền thông tin. Năng lượng của sóng được định xứ trong bó sóng: bó năng lượng lan truyền với v