Nghiên cứu hiệu ứng xuyên hầm klein bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên

96Kết luận 100Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo 103 Trang 9 Danh mục các ký hiệu và chữ viếttắtKT Hiệu ứng xuyên hầm Klein thuậnKlein Tunneling effectIKT Hiệu ứng xuyên hầm Klein

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM

TRẦN CÔNG MINH

NGHIÊN CỨU HIỆU ỨNG XUYÊN HẦM KLEIN BẰNG HỆ ỐNG DẪN SÓNG NHỊ NGUYÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

TP HỒ CHÍ MINH – 2024

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM

TRẦN CÔNG MINH

NGHIÊN CỨU HIỆU ỨNG XUYÊN HẦM KLEIN

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận án Tiến sĩ “Nghiên cứu hiệu ứng xuyên hầmKlein bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên” là công trình nghiên cứu củatôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Xuân Trường và TS Đỗ CôngCương Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận án là trung thực

và được công bố trong các công trình nghiên cứu mà tôi đã tham gia đượcliệt kê trong phần danh mục các công trình đã công bố trong luận án này.Tôi xin cam đoan luận án được tiến hành nghiên cứu một cách nghiêmtúc, số liệu và hình ảnh được sử dụng trong luận án có nguồn gốc rõ ràng,tất cả những tham khảo và kế thừa đều được trích dẫn và tham chiếu đầyđủ

Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên

Tác giả luận án

NCS Trần Công Minh

Lời cảm ơn

Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Thầy của tôi là Giảng viên hướng dẫnPGS.TS Trần Xuân Trường Thầy đã tận tình hướng dẫn trong suốt quátrình tôi học tập và tham gia các công trình, các bài báo khoa học, đồngthời, thầy đã có những góp ý, chỉnh sửa luận án của tôi Bên cạnh đó,Thầy đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi tham gia nghiên cứu khoa học

và hoàn thành luận án Tiến sĩ

Tôi xin cảm ơn Thầy TS Đỗ Công Cương đã có những nhận xét, góp

ý, chỉnh sửa trong quá trình tôi học tập để tôi có thể hoàn thành luận án.Tôi xin cảm ơn Thầy GS.TSKH Lê Văn Hoàng, Cô PGS.TS Phan ThịNgọc Loan và Cô TS Lê Thị Cẩm Tú đã quan tâm và tận tình giúp đỡtôi trong quá trình thực hiện luận án

Tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Lãnh đạo, cán bộ và thầy cô Trungtâm Đào tạo hạt nhân, Viện Năng lượng nguyên tử Việt Nam đã tạo điềukiện, hỗ trợ mọi thủ tục trong thời gian tôi tham gia học tập và nghiêncứu

Tôi xin cảm ơn Viện Tiên tiến Khoa học và Công nghệ, Trường Đại họcVăn Lang đã tạo điều kiện, hỗ trợ tôi cơ sở vật chất, trang thiết bị và nơilàm việc trong quá trình tôi thực hiện luận án

Tôi xin gửi lời cảm ơn Quỹ Đổi mới Sáng tạo VinGroup (VINIF), thôngqua đề tài “Nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử tương đối tính trong hệ ống

dẫn sóng nhị nguyên”, với mã số VINIF.2021.DA00001, đã hỗ trợ tôi thựchiện nghiên cứu này.

Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong Phòng thí nghiệm Vật lý tính toán,Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã độngviên, hỗ trợ và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thànhluận án

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình tôi gồm ba mẹ và em trai Trần CôngPhúc đã luôn hỗ trợ, quan tâm giúp đỡ và động viên giúp tôi an tâm vàtập trung hoàn thành khóa học

TP Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 02 năm 2024

NCS Trần Công Minh

đồng nhất 221.3.1 Hiệu ứng dao động Bloch 221.3.2 Hiệu ứng xuyên hầm Zener 271.4 Mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein thuận bằng hệ ống

dẫn sóng nhị nguyên 321.4.1 Hạt chuyển động qua bậc thế năng theo quan niệm

Cơ học lượng tử phi tương đối tính 331.4.2 Hiệu ứng xuyên hầm Klein thuận 38

1.4.3 Mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein thuận bằng hệ

ống dẫn sóng nhị nguyên 44Chương 2: Hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch qua bậc thế

2.1 Cơ sở lý thuyết mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch

bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên 522.2 Mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch bằng hệ ống

dẫn sóng nhị nguyên 612.2.1 Điều kiện mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch 612.2.2 Ảnh hưởng của độ cao bậc thế đến hiệu ứng xuyên

hầm Klein nghịch 662.2.3 Ảnh hưởng của số sóng đến hiệu ứng xuyên hầm

Klein nghịch qua bậc thế năng 71Chương 3: Hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ

3.1 Hạt chuyển động qua rào thế hình chữ nhật theo Cơ học

lượng tử phi tương đối tính 773.2 Cơ sở lý thuyết hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình

chữ nhật 813.3 Mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ

nhật 893.3.1 Ảnh hưởng độ cao rào thế hình chữ nhật đến hiệu

ứng xuyên hầm Klein 903.3.2 Ảnh hưởng của tính phi tuyến đến hiệu ứng xuyên

hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật 96

Tài liệu tham khảo 107

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

KT Hiệu ứng xuyên hầm Klein thuận

Klein Tunneling effect

IKT Hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch

Inverse Klein Tunneling effect

ZT Hiệu ứng xuyên hầm Zener

Zener Tunneling effect

DS Dirac soliton

Dirac Soliton

Danh mục các bảng

2.1 Giá trịΨ1(n) vàΨ2(n)thu được khi thay đổi giá trị ntrong

khoảng [-3,3] 64

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

1.1 Một mảng các ống dẫn sóng được ghép nối [54] 101.2 Sơ đồ quy trình viết trên vật liệu khối trong suốt bằng cách

sử dụng các xung laser có bước sóng cỡ fs Hình nhỏ bên

trên là hình ảnh phóng đại của một mảng ống dẫn sóng khi

đã hoàn thành với khoảng cách ống dẫn sóng là 40 µm [57] 121.3 Một dãy các ống dẫn sóng quang học và sự chồng lấn các

mode lên nhau trong WA [61] 131.4 Kết quả thí nghiệm cho dãy 41 ống dẫn sóng được ghép nối

tuyến tính với nhau, khi ánh sáng được đưa vào ống dẫn

sóng trung tâm Cường độ được hiển thị trong thang đo

màu xám Thang đo được chọn sao cho cường độ cực đại

cho mọi khoảng cách lan truyền dọc theo ống dẫn sóng được

thể hiện bằng màu trắng Năng lượng được lan truyền chủ

yếu xuất hiện ngoài rìa của dãy ống dẫn sóng [53] 171.5 Sơ đồ thí nghiệm khi quan sát thực nghiệm và bản vẽ sơ

đồ của mẫu Mẫu bao gồm lớp lõi Al0.18Ga0.82As và các lớp

phủ Al0.24Ga0.76As được gắn trên nền GaAs Một vài mẫu

đã được thử nghiệm với các khoảng cách d khác nhau giữa

các ống dẫn sóng [53] 20

1.6 Dao động Bloch khi chùm sáng đầu vào là chùm Gaussian

trong một ống dẫn sóng Hình bên phải là sự thay đổi về

cường độ phân bố pha ở các khoảng cách khác nhau (α =

0.5) [89] 251.7 (a) WA khi kẹp giữa hai nguồn nhiệt nóng và lạnh để tạo sự

thay đổi chiết suất (b) WA trước khi được lớp phủ polymer

bên ngoài mỗi ống dẫn sóng [7] 271.8 (a) Mô hình WA được sử dụng trong thực nghiệm để quan

sát ZT (b) Cấu trúc ba vùng năng lượng của WA [11] 301.9 Hiệu ứng dao động Bloch và hiệu ứng xuyên hầm Zener

trong WA khi một số ống dẫn sóng bị kích thích tại đầu

vào bởi một chùm sáng hình elip rộng 25 µm chiếu thẳng

vào WA (a) Kết quả thực nghiệm (b) Kết quả mô phỏng

(c),(d) Vị trí bùng phát bức xạ do xuyên hầm Zener gây ra

phụ thuộc vào chênh lệch nhiệt độ hiệu dụng T [11] 311.10 Hiệu ứng dao động Bloch và hiệu ứng xuyên hầm Zener

khi chùm sáng hẹp chiếu thẳng vào duy nhất ống dẫn sóng

trung tâm với n = 0 tại đầu vào của WA (a) Kết quả thực

nghiệm (b) Kết quả mô phỏng (chênh lệch nhiệt độ khi

∆T = 35 K) [11] 321.11 Bậc thế năng có bề rộng vô hạn 331.12 Một hàm sóng electron lan truyền dọc trục z và xuyên hầm

qua bậc thế với độ cao V0 [64] 371.13 Mô hình mô phỏng KT với BWA [1, 27] 44

1.14 (a) Đường cong tán sắcω±(Q, Φ)khiΦ = 0(đường nét liền)

và Φ = Φ0 (đường nét đứt) dựa trên phương trình (1.54)

trong trường hợp KT trong BWA ở chế độ tuyến tính khi

sử dụng mô hình rời rạc (b) Đường cong tán sắc ϵ±(k, Φ)

khi Φ = 0 (đường nét liền) và Φ = Φ0 (đường nét đứt) dựa

trên phương trình (1.55) trong mô hình liên tục của KT ở

chế độ tuyến tính [1, 27, 42] 482.1 Mô hình BWA mô phỏng IKT [42] 532.2 (a) Đường cong tán sắc ω±(Q, Φ) khi Φ = Φ0 (đường nét

liền) vàΦ = 0(đường nét đứt) dựa trên phương trình (1.57)

của BWA ở chế độ tuyến tính khi sử dụng mô hình rời rạc

(b) Đường cong tán sắc ϵ±(k, Φ) khi Φ = Φ0 (đường nét

liền) vàΦ = 0(đường nét đứt) dựa trên phương trình (1.58)

trong mô hình liên tục của IKT ở chế độ tuyến tính [42] 572.3 (a) Đồ thị ứng với độ lớn hàm Ψ1 khi khảo sát n trong

khoảng [−3, 3] ống (b) Tương tự như (a) nhưng với hàm Ψ2 64

2.4 (a) Hệ số truyền qua của các DS trong BWA khi thay đổi độ

cao bậc thế năng trong IKT: đường cong chấm màu xanh lá

được tính theo phương trình (2.25) theo mô hình liên tục,

đường nét đứt màu xanh dương được tính theo phương trình

(2.22) theo mô hình rời rạc, trong đó đường nét liền màu

đỏ và màu xanh lá cây (ẩn dưới đường màu đỏ) được tính

bằng cách mô phỏng chùm tia khi DS truyền trong BWA

ở chế độ tuyến tính (γ = 0) và chế độ phi tuyến (γ = 1)

(b), (c), (d) Quá trình truyền một DS ở chế độ phi tuyến

với γ = 1, và Φ0 = 2.8, 2.0, và 4.0 Một số thông số khác:

ki0 = −0.3π, σ = 1, κ = 1 và n0 = 18 [42] 682.5 (a) Hệ số truyền qua của DS trong BWA khi thay đổi số sóng

tới Q0: đường cong chấm màu xanh lá dựa trên các phương

trình (2.25) và phương trình (1.62) đối với mô hình liên tục,

đường cong đứt nét màu xanh dương dựa trên các phương

trình (2.22) và (1.61) đối với mô hình rời rạc và đường cong

liên tục màu đỏ thu được bằng mô phỏng chùm tia khi một

DS có độ rộng lớn được chiếu vào BWA với γ = 0 (b) Sự

lan truyền của chùm tia khi một DS được chiếu vào BWA

ở chế độ tuyến tính với γ = 0 và k0i = −1.4 (c) Sự phát

triển của phổ trong mặt phẳng (Q, z) Các tham số khác:

σ = 1, κ = 1, n0 = 18, Φ0 = 2, 8 và hệ BWA bao gồm 1601

ống dẫn sóng [42] 723.1 Rào thế hình chữ nhật có bề rộng hữu hạn 77

3.2 (a) Mô hình liên tục trong không gian tự do (free space)

nghiên cứu hiệu ứng xuyên hầm Klein của hạt có năng lượng

E qua rào thế hình chữ nhật có thế năng V (ξ) với độ cao

bậc thế Φ0 > E (b) Chênh lệch tham số hằng số truyền

βn trong BWA để mô phỏng thế năng của rào thế hình chữ

nhật V (ξ) (c) Mô hình chiết suất của các ống dẫn sóng

trong BWA mô phỏng quá trình xuyên hầm Klein qua rào

thế hình chữ nhật [102] 833.3 (a) Đường cong tán sắcω±(Q, Φ)khiΦ = 0(đường nét liền)

và Φ = Φ0 (đường nét đứt) dựa trên phương trình (1.57) để

giải thích định luật bảo toàn năng lượng của hiệu ứng xuyên

hầm Klein qua rào thế trong BWA ở chế độ tuyến tính trong

mô hình rời rạc (b) Đường cong tán sắcϵ±(k, Φ) khi Φ = 0

(đường nét liền) vàΦ = Φ0 (đường nét đứt) dựa vào phương

trình (1.58) để giải thích định luật bảo toàn năng lượng của

hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế trong không gian tự

do ở chế độ tuyến tính trong mô hình liên tục [102] 84

3.4 (a,b) So sánh giữa kết quả lý thuyết và kết quả mô phỏng

khi tính hệ số truyền qua của DS qua rào thế hình chữ nhật

trong BWA như một hàm số phụ thuộc vào độ cao rào thế

với số sóng tới tương ứng là Q0 = 1.12π/2 và 1.3π/2 theo

mô hình rời rạc (c) Hệ số truyền qua của sóng phẳng trong

mô hình liên tục qua rào thế hình chữ nhật: đường màu đỏ

nét đứt và đường màu xanh lá nét liền tương ứng với số sóng

tới lần lượt là Q0 = 1.12π/2 và 1.3π/2 theo mô hình liên

tục (d) Quá trình truyền một DS trong BWA ở chế độ phi

tuyến với γ = 1, Φ0 = 2.9 và Q0 = 1.3π/2 Một số thông

số khác: σ = 1, κ = 1 [102] 923.5 (a) Hệ số truyền qua T khi thay đổi số sóng tới Q0: đường

cong chấm màu xanh lá được tính dựa vào phương trình

(3.23) cho mô hình liên tục, đường cong màu xanh dương

nét liền được tính dựa vào phương trình (3.18) cho mô hình

rời rạc trong BWA và đường nét đứt màu đỏ được tính khi

mô phỏng một DS có độ rộng lớn lan truyền trong BWA với

γ = 1 và Φ0 = 3.0 (b,c) Quá trình truyền chùm DS trong

BWA với rào thế hình chữ nhật ở chế độ phi tuyến vớiγ = 1

và tương ứng Q0 = 1.4π/2 và 1.16π/2 (d) Quá trình tiến

hóa của phổ trên mặt phẳng (Q, z) với dữ liệu trên (c) Các

thông số khác: σ = 1, κ = 1, n0 = 30, Φ0 = 3.0 [102] 94

3.6 (a) Các kết quả dựa trên mô phỏng (đường cong màu đỏ

nét đứt) đối với hệ số truyền T của DS qua hàng rào thế

hình chữ nhật trong BWA khi tham số độ rộng soliton n0

thay đổi, còn với số sóng đầu vào Q0 = 1.3π/2 và chiều

cao hàng rào thế Φ0 = 2.9 được cố định Đường liền màu

xanh lam nằm ngang là kết quả lý thuyết của T đối với sóng

phẳng tuyến tính (b) Quá trình truyền của DS trong BWA

ở chế độ phi tuyến với γ = 1 và Φ0 = 2.9, Q0 = 1.3π/2 và

n0 = 10 Các tham số khác: σ = 1 và κ = 1 [102] 98

và các ống dẫn sóng (waveguide) nói chung Trong nhiều ứng dụng về xử

lý tín hiệu quang, các ống dẫn sóng này thường được ghép với nhau mộtcách tuần hoàn tạo nên hệ ống dẫn sóng (waveguide array - WA) sao chomode của mỗi ống dẫn sóng có phần chồng lấn lên mode của hai ống dẫnsóng liền kề [1] Đặc biệt, nếu sắp xếp xen kẽ và tuần hoàn hai loại ốngkhác nhau sẽ tạo nên một loại WA đặc biệt có tên gọi là hệ ống dẫn sóngnhị nguyên (binary waveguide array - BWA) Hai loại ống dẫn sóng trongBWA có thể khác nhau về vật liệu và/hoặc cấu trúc hình học sao cho hằng

số truyền của hai loại ống dẫn sóng này khác nhau Trong WA và BWA,mỗi ống dẫn sóng được kết nối về mode với hai ống liền kề Các WA vàBWA là những hệ quang học có nhiều hiện tượng quan trọng và thú vị dotính rời rạc, tính tuần hoàn, và phi tuyến [1] Trong WA, những hiện tượngnày bao gồm hiệu ứng nhiễu xạ rời rạc, soliton không gian rời rạc và phát

xạ cộng hưởng nhiễu xạ [2–6] Tuy nhiên, việc nghiên cứu không chỉ dừnglại với các hiệu ứng cơ bản trong Quang học cổ điển, mà các nhà khoahọc còn sử dụng WA để mô phỏng các hiệu ứng trong Cơ học lượng tử phi

tương đối tính Một số hiện tượng quang học trong WA được dùng để môphỏng các hiệu ứng cơ học lượng tử phát sinh từ phương trình Schr¨odingernhư đã chứng thực dao động Bloch (Bloch oscillation - BO) [5, 7–9] - hiệntượng mà nhà vật lý người Mỹ gốc Thụy Sĩ Felix Bloch đã nghiên cứukhi còn đang là nghiên cứu sinh của giáo sư Wenger Heisenberg vào năm

1928 [9] - và hiệu ứng xuyên hầm Zener (Zener tunneling effect - ZT) [10,11] Trong BO, Bloch và Zener [12] đã đặt vấn đề liệu điện tử sẽ có tínhchất gì trong mạng tinh thể khi một điện trường đồng nhất được áp vào

từ bên ngoài, và họ dự đoán sự xuất hiện của những dao động tuần hoàndẫn đến sự định xứ trong không gian của điện tử thay vì bị điện trườngngoài kéo đi vô hạn Sự chứng minh bằng quan sát thực nghiệm trong siêumạng bán dẫn vào năm 1993 đã khép lại tranh cãi về sự tồn tại của BOtrong một thời gian dài [13] Gần đây, một hiện tượng lượng tử phi tươngđối tính khác giống như BO, nhưng xuất hiện khi điện tử trong mạng tinhthể nằm trong điện trường ngoài xoay chiều – đã được quan sát trong

WA là hiệu ứng định xứ động quang học (optical dynamical localization)[14] Vào năm 1958, Anderson đã dự đoán một hiện tượng lượng tử phitương đối tính rất hấp dẫn trong Vật lý chất rắn là sự định xứ Anderson(Anderson localization) [15] liên quan đến electron có thể bị giam hãm khiđặt trong một mạng hỗn độn, và điều đó đã được mô phỏng gần đây trong

WA trên tạp chí Nature [16]

Các nhà khoa học trước kia từng tin rằng dùng WA chỉ có thể mô phỏngcác hiện tượng lượng tử phi tương đối tính phát sinh từ phương trìnhSchr¨odinger, là phương trình cơ bản trong Cơ học lượng tử phi tương đốitính, còn để mô phỏng các hiệu ứng lượng tử tương đối tính phát sinh từphương trình Dirac đòi hỏi những môi trường có cấu trúc nhỏ hơn bước

sóng Compton, điển hình như đối với tinh thể photonic [17, 18], hoặc siêuvật liệu [19] Tuy nhiên, gần đây giới khoa học nhận thấy rằng sự truyềnánh sáng trong BWA có thể mô phỏng được vi hạt lượng tử tương đối tínhtuân theo phương trình Dirac Về mặt thực nghiệm, việc tạo ra BWA đơngiản hơn rất nhiều so với các cấu trúc có kích cỡ bé hơn bước sóng nhưtinh thể photonic hoặc siêu vật liệu Vào năm 2010, một hiệu ứng lượng

tử tương đối tính là hiệu ứng Zitterbewegung đã được mô phỏng về mặt

lý thuyết trong BWA [20] Nhóm các nhà khoa học nhận thấy rằng mộtelectron tương đối tính tự do có những chuyển động kiểu rung (tremblingmotion) rất nhanh do giao thoa giữa các trạng thái có năng lượng dương và

âm Hiện tượng Zitterbewegung khi được đề xuất lần đầu bởi Schr¨odinger

đã gây ra những tranh luận tại sao một phương trình mà nội tại mô tảđơn hạt như phương trình Dirac lại có thể mô tả một hiện tượng nhiều hạtnhư hiệu ứng Zitterbewegung khi mà đòi hỏi ít nhất hai hạt (electron vàpositron) cần phải có [1] Quá trình thực nghiệm hiệu ứng Zitterbewegungvới điện tử tương đối tính hầu như là không thể, điều này do biên độ rungcực bé (chỉ vào cỡ bước sóng Compton ≈ 10−12 m) và tần số rung cực cao(≈ 1021 Hz) [18, 20] Trong nhiều năm sau đó, đã có nhiều hệ thống được

đề xuất để mô phỏng hiệu ứng này, ví dụ như ions bị bẫy (trapped ions)[21], graphene [22], nguyên tử trung hòa siêu lạnh [23], tinh thể photonic2D [18], và siêu vật liệu [19] Việc tìm kiếm những hệ có thể triển khaithực nghiệm và được mô tả bởi phương trình dạng Dirac đã thu hút được

sự quan tâm rất lớn trong những năm gần đây, và đạt dấu mốc quan trọngtrong việc minh chứng thực nghiệm năm 2010 bởi một công trình đượccông bố tại Nature về bộ mô phỏng lượng tử cho phương trình Dirac vàquan sát được hiện tượng Zitterbewegung bằng việc dùng các ions bị bẫy

có vai trò như vi hạt lượng tử tương đối tính bởi tính chất của chúng [24],

và dùng BWA [25] Với BWA, một số hiệu ứng lượng tử tương đối tính cơbản khác phát sinh từ phương trình Dirac cũng đã được mô phỏng Tínhđến ngày nay, các hiệu ứng đã được mô phỏng trong BWA bao gồm hiệuứng xuyên hầm Klein [26–28], Dirac soliton (DS) [29–31], cấu trúc tô-pôJackiw-Rebbi [32–36], hiệu ứng sinh cặp và triệt tiêu cặp electron-positron[26, 37, 38]

Trong số những hiệu ứng đã được đề cập ở trên, một hiệu ứng quan trọngđược phát hiện từ những năm 30 của thế kỷ XX là hiệu ứng xuyên hầmKlein thuận (Klein Tunneling effect - KT) lần đầu được dự đoán bởi OskarKlein [39] khi ông cho rằng các fermion tương đối tính như các electron cóthể xuyên hầm qua các bậc thế có thế năng cao hơn tổng năng lượng củahạt mà biên độ hàm sóng của electron không bị giảm theo quy luật hàm

mũ thông thường trong hiệu ứng xuyên hầm lượng tử phi tương đối tínhđược mô tả rộng rãi bởi phương trình Schr¨odinger [1] Hiện tượng thú vịnày bắt nguồn từ sự tồn tại của các nghiệm năng lượng âm của phươngtrình Dirac [40] Tuy nhiên, do yêu cầu trường thế rất cao, KT của cácelectron tương đối tính vẫn chưa được chứng minh bằng thực nghiệm Hơnnữa, thế năng phải có độ dốc rất lớn để quan sát KT [26, 41], và điều

đó có nghĩa là vùng chuyển đổi của bậc thế từ vùng thế năng thấp sangvùng thế năng cao phải xảy ra ở một vùng rất hẹp, bằng hoặc ngắn hơnbước sóng Compton [26] Bởi vì hiệu ứng xuyên hầm Klein được mô tảbởi phương trình Dirac, vì vậy ta có thể quan sát hiệu ứng tương tự vớihiệu ứng xuyên hầm Klein trong các hệ thống có hệ thức tán sắc giống với

hệ thức tán sắc của electron tương đối tính được mô tả bởi phương trìnhDirac [26, 27, 39, 42] Có thể lấy ví dụ trong vật liệu graphene, hệ thức

tán sắc là tuyến tính, do đó, các hạt tải điện thể hiện KT [43–45] Nhờ

đó, các bằng chứng về KT đã được chứng minh bằng thực nghiệm tronggraphene [46, 47], trong ống nano carbon [48], và hệ sử dụng các ion lạnhtrong bẫy quang học [49] Ngoài ra, theo như được đề cập trong [49] rằng

KT là một hiện tượng sóng, và do đó, có thể mô phỏng theo quang học cổđiển Hiển nhiên, các hệ quang học cổ điển thường đơn giản hơn nhiều hệ

cơ học lượng tử về mặt thực nghiệm Do đó, một số mô hình quang học đãđược sử dụng để quan sát KT bằng cách truyền chùm sáng bằng hệ ốngdẫn sóng liên kết, ví dụ, trong mạng quang tử dạng tổ ong 2D [50], trongBWA phẳng sử dụng chùm Gauss ở đầu vào (cả về lý thuyết [26] lẫn thựcnghiệm [28]) và dùng các DS trong BWA [27]

Trước đây, hiệu ứng xuyên hầm Klein trong BWA mới chỉ được môphỏng khi electron xuyên hầm qua một bậc thế thuận, nghĩa là hạt truyềnvào vùng có thế năng cao từ vùng thế năng thấp [26–28] với năng lượngcủa electron tới nhỏ hơn độ cao của bậc thế năng Trong công trình [26],Longhi đã tính toán giải tích và đưa ra tường minh hệ số truyền qua củamột electron xuyên hầm qua một rào thế bậc thang thuận và so sánh vớikết quả tính toán từ phương trình Dirac Sau đó, trong công trình [28],Dreisow cùng cộng sự đã so sánh kết quả tính toán giải tích hệ số truyềnqua khi thay đổi số sóng đầu vào bằng cách mô phỏng sự lan truyền chùmtia từ môi trường có thế năng thấp sang môi trường có thế năng cao hơnvới kết quả thực nghiệm Ông nhận ra rằng có sự phù hợp giữa kết quả

mô phỏng và thực nghiệm, điều này củng cố thêm tính đúng đắn của côngthức tường minh mà Longhi đã đưa ra Vào năm 2020, công trình [27] đã

so sánh kết quả tính toán lý thuyết và kết quả mô phỏng KT bằng cáchcho một DS lan truyền trong mô hình tương tự như một bậc thế năng

thuận được thiết lập bằng BWA Sau đó, các tác giả thay đổi các thông sốđầu vào để khảo sát sự ảnh hưởng của độ cao rào thế, số sóng đầu vào và

sự phi tuyến tính đến KT Với những ý tưởng từ các công trình trên, trongluận án này, chúng tôi nghiên cứu và giải quyết các bài toán liên quan đếnhiệu ứng xuyên hầm Klein Đầu tiên, chúng tôi khảo sát hiệu ứng xuyênhầm Klein nghịch (Inverse Klein Tunneling effect - IKT) Trong hiệu ứngnày, electron xuyên hầm qua bậc thế nghịch đảo, tức là, hạt mang nănglượng sẽ chuyển động từ vùng có thế năng cao sang vùng có thế năng thấp

và sau đó được chúng tôi mô phỏng bằng DS khi lan truyền qua hai môitrường bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên Nối tiếp bài toán trên, chúngtôi tiếp tục khảo sát hiệu ứng kết hợp của các hiệu ứng xuyên hầm Kleinthuận và nghịch khi khảo sát xác suất xuyên hầm của electron trong hiệuứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật (potential barrier) và môphỏng chúng bằng sự lan truyền DS trong BWA

Bố cục của luận án được chúng tôi phân chia thành ba chương, không

kể phần mở đầu và phần kết luận như sau:

ˆ Chương 1 - Tổng quan về soliton và mô phỏng các hiệu ứnglượng tử bằng hệ ống dẫn sóng: Trong chương này, chúng tôi giớithiệu về hệ ống dẫn sóng đồng nhất và mô tả một số loại soliton rờirạc cũng như ứng dụng của chúng Sau đó, chúng tôi nêu các vấn đềtổng quan về mô phỏng một số hiệu ứng lượng tử phi tương đối tínhbằng hệ ống dẫn sóng đồng nhất như hiệu ứng dao động Bloch và hiệuứng xuyên hầm Zener Chúng tôi cũng trình bày hiệu ứng lượng tửtương đối tính KT là cơ sở để chúng tôi nghiên cứu IKT và hiệu ứngxuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật với BWA

ˆ Chương 2 - Hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch qua bậc thế

năng: Chúng tôi trình bày tính toán lý thuyết hệ số truyền qua cùngcác kết quả mô phỏng DS mà chúng tôi thu được khi nghiên cứu IKT

mô tả quá trình truyền qua bậc thế từ vùng có thế năng cao sang vùng

có thế năng thấp của một electron mang năng lượng thấp hơn độ caocủa bậc thế năng

ˆ Chương 3 - Hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữnhật: Trong chương này, chúng tôi trình bày phần tính toán lý thuyết

hệ số truyền qua khi hạt electron chuyển động qua một rào thế hìnhchữ nhật - rào thế kết hợp giữa bậc thế thuận và bậc thế nghịch -

và so sánh với kết quả mô phỏng hiệu ứng xuyên hầm Klein qua ràothế hình chữ nhật bằng DS bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên cho cáctrường hợp khác nhau

Cuối cùng là phần kết luận, trong phần này chúng tôi tóm tắt lại cáckết quả đã đạt được khi nghiên cứu IKT qua bậc thế và hiệu ứng xuyênhầm Klein qua rào thế hình chữ nhật đã được trình bày trong các Chương

2 và Chương 3 Với những kết quả thu được từ các vấn đề trên, chúng tôiđặt các vấn đề mới và mở rộng các kết quả đã thu được để định hướngphát triển của đề tài trong tương lai

Chương 1

Tổng quan về soliton và mô phỏng các hiệu ứng lượng tử bằng hệ ống dẫn sóng

Trong Chương này, chúng tôi giới thiệu tổng quan về soliton và môphỏng các hiệu ứng lượng tử bằng hệ ống dẫn sóng [1] Đầu tiên, chúngtôi trình bày về hệ ống dẫn sóng đồng nhất tuyến tính - hệ có nhiều ứngdụng để nghiên cứu hiệu ứng lượng tử phi tương đối tính Tiếp theo, chúngtôi trình bày về soliton rời rạc (discrete soliton) và ứng dụng của chúng.Sau đó, chúng tôi trình bày quá trình mô phỏng hai hiệu ứng lượng tử phitương đối tính bằng hệ ống dẫn sóng đồng nhất điển hình bao gồm hiệuứng dao động Bloch và hiệu ứng xuyên hầm Zener Cuối cùng, chúng tôi

đề cập đến mô phỏng hiệu ứng lượng tử tương đối tính KT bằng BWA

1.1 Hệ ống dẫn sóng đồng nhất tuyến tính

Việc nghiên cứu về các hiện tượng quang học đã xuất hiện cách đâyhàng trăm năm từ thời của các nhà vật lý học lỗi lạc như Isaac Newton,

Augustin-Jean Fresnel, Thomas Young, đã đưa ra nhiều lý thuyết, phátminh, ý tưởng ảnh hưởng sâu sắc đến nền Vật lý cổ điển Vào những năm

60 của thế kỷ XX, hệ quang học rời rạc đã lần đầu được các nhà vật lý tiếnhành nghiên cứu Trong Vật lý cổ điển, ánh sáng nói riêng và trường điện

từ nói chung là một hàm liên tục cả trong không gian và thời gian Vì lý do

đó, với mong muốn ánh sáng được rời rạc trong không gian chúng ta cầnphải sử dụng đến những thiết bị quang học có thể giới hạn ánh sáng tạinhững khu vực nhất định Trong số đó, sợi quang là một loại ống dẫn sóngđặc biệt sử dụng ánh sáng để truyền tải tín hiệu và được sử dụng trongcác ứng dụng truyền thông và mạng máy tính để truyền tải dữ liệu vớitốc độ và độ tin cậy cao Sợi quang thường được làm bằng thủy tinh hoặcnhựa đặc biệt Ánh sáng được tạo ra bằng cách sử dụng một nguồn sángnhư đèn laser, sau đó được dẫn qua ống dẫn sóng quang học bằng phản xạtoàn phần Trong sợi quang, phần lớn ánh sáng được giam hãm trong lõi(core) và một phần nhỏ được phân bố sang phần lớp vỏ (cladding) Điềunày cho phép tín hiệu được truyền tải xa hơn và với tốc độ cao hơn sovới các phương pháp truyền tải dữ liệu khác Chúng được sử dụng trongcác ứng dụng truyền thông, chẳng hạn như trong các mạng cáp quang đểtruyền tải tín hiệu điện thoại, internet và truyền hình Đồng thời, chúngcũng được sử dụng trong các ứng dụng khoa học và công nghệ, chẳng hạnnhư trong viễn thông vũ trụ và các thiết bị quang học trong y học Trongcác ứng dụng xử lý tín hiệu, ống dẫn sóng quang học (optical waveguide)được sử dụng rộng rãi Khi ghép nối từng ống dẫn sóng với nhau chúng

ta sẽ được hệ ống dẫn sóng mà lõi của mỗi ống dẫn sóng được đặt liền

kề với nhau một cách tuần hoàn [35] Trong WA đó, mỗi ống dẫn sóngthường chỉ tương tác với hai ống dẫn sóng liền kề với chúng mà bỏ qua

sự tương tác tác với những ống xa hơn [1] Chẳng hạn, ống dẫn sóng tại

vị trí n chỉ tương tác với ống tại vị trí n + 1 và n − 1 như trên Hình 1.1.Như trên hình đã mô tả, khoảng cách d được tính từ tâm của ống dẫnsóng đang xét đến tâm của ống dẫn sóng liền kề với chúng Hiện tượngđầu tiên về WA được khảo sát thực nghiệm vào đầu thập niên 1970 [51]khi hiện tượng nhiễu xạ rời rạc trên WA được quan sát Sau đó, vào năm

1980, Haus và đồng nghiệp đã tính toán lý thuyết cho thấy tính liên hệgiữa các ống rời rạc được ghép nối với nhau [52] Trên thực tế, WA có thểđược làm từ chất bán dẫn như AlGaAs bằng phương pháp ăn mòn, đây làmột bước quan trọng trong lĩnh vực rộng lớn của quang học tích hợp phituyến, trong công nghệ bán dẫn [53] Ngoài ra, polymer cũng là vật liệuphổ biến để chế tạo WA một chiều [7]

n

d

x z

Hình 1.1 Một mảng các ống dẫn sóng được ghép nối [54]

Không chỉ dừng lại ở việc tạo ra WA một chiều, vấn đề nghiên cứu chếtạo WA hai chiều cũng được thúc đẩy Các dự đoán về nghiệm hai chiều[55] gây ra do các khái niệm chuyển mạch [4] và định xứ [56] cho phépkiểm soát chính xác sự truyền ánh sáng Việc nghiên cứu sự ghép nối giữacác ống dẫn sóng có tính đồng nhất và phi tuyến cùng với các hiệu ứngbiên mạnh là mấu chốt để hiểu sự lan truyền rời rạc phi tuyến trong cácmạng hai chiều cho các ứng dụng trong tương lai [55] Cấu trúc WA hai

chiều cũng đã được chế tạo bằng cách sử dụng hiệu ứng giao thoa giữa cácchùm sóng phẳng bên trong vật liệu tinh thể chiết quang [57] Gần đây,các nhà khoa học sử dụng một phương pháp mới để chế tạo mảng ống dẫnsóng bằng phương pháp quét chùm tia laser có độ rộng xung cỡ femto giâycho phép sản xuất WA bằng vật liệu trong suốt với tính linh hoạt cao [58,59] Kỹ thuật quét chùm tia laser đã trở nên ngày một phổ biến để chếtạo các WA hai chiều có cấu trúc phức tạp, bao gồm cả những WA chứanhững ống dẫn sóng bị uốn cong tại một phần nào đó [57, 60] Để thựchiện việc quét chùm tia, người ta sử dụng một chùm xung laser cực ngắn

cỡ femto giây hội tụ vào bên trong vật liệu silica vô định hình, và thay đổitính chất khối vật liệu này để hình thành nên từng ống dẫn sóng trong

hệ và được minh họa trên Hình 1.2 Để chế tạo các ống dẫn sóng, các tácgiả trong công trình [57] đã sử dụng laser Ti:Sapphire với tốc độ lặp lại

100 kHz, năng lượng xung 0.3 µJ và thời lượng xung khoảng 150 fs ở bướcsóng laser 800 nm [57] Chùm tia được tập trung vào một mẫu thạch anh

vô định hình bằng vật kính hiển vi 20x với khẩu độ 0.45 [57]

Giống với sự giới hạn ánh sáng bên trong sợi quang, phần lớn nănglượng trong mỗi ống dẫn sóng của WA được giới hạn trong từng ống vìchiết suất của môi trường bên ngoài luôn nhỏ hơn chiết suất bên trong củalõi Chỉ có một phần nhỏ sóng điện từ được phân bố ở môi trường xungquanh lõi Điều này dẫn đến sự chồng lấn mode trong không gian giữa haiống dẫn sóng liền kề, khiến cho toàn hệ ống dẫn sóng được liên kết vớinhau và được mô tả thông qua hệ phương trình liên kết mode dưới đâycho chùm sáng ở chế độ liên tục với WA một chiều [7]:

idAn(z)

dz = −βAn(z) − κ [An+1(z) + An−1(z)] , (1.1)

Hình 1.2 Sơ đồ quy trình viết trên vật liệu khối trong suốt bằng cách sử dụngcác xung laser có bước sóng cỡ fs Hình nhỏ bên trên là hình ảnh phóng đại củamột mảng ống dẫn sóng khi đã hoàn thành với khoảng cách ống dẫn sóng là 40

µm [57]

trong đó z là tọa độ theo trục dọc của WA, An là cường độ điện trườngcủa chùm sáng trong ống dẫn sóng với số thứ tự n, β là hằng số truyền(tương đương đại lượng số sóng 2π

λ trong môi trường liên tục) của mode

tương ứng trong mỗi ống dẫn sóng, κ là hệ số liên kết giữa hai ống dẫnsóng liền kề trong WA và xuất hiện do có sự chồng lấn mode của hai ốngdẫn sóng kề cận tại vị trí thứ n với n + 1 và tại vị trí thứ n với n − 1 nhưđược thể hiện trên Hình 1.3 Hệ phương trình (1.1) thu được từ hệ phươngtrình Maxwell với hai điều kiện là mỗi ống dẫn sóng đều đơn mode ở bướcsóng được sử dụng và sự tương tác giữa các mode của các ống dẫn sóngliền kề nhau tương đối yếu, có nghĩa là sự tồn tại của các ống dẫn sóng liền

kề không ảnh hưởng tới cấu trúc mode của từng ống dẫn sóng riêng biệt.Sau đó, sử dụng hàm biên độ biến đổi chậm an(z) = An(z) exp (−iβz),

từ hệ phương trình (1.1) ta có thể thu được hệ phương trình cho biên độ

biến đổi chậm với biến an(z) như sau [1]:

trong đó a0 là hằng số biểu diễn biên độ của sóng phẳng, d là chu kỳ của

WA, giá trị kx có thể được diễn giải là số sóng theo chiều ngang và có giátrị khác 0 nếu chùm sáng truyền xiên trong BWA, kz là phần bổ chính sốsóng theo chiều dọc của WA (bổ chính cho thành phần số sóng β trong

e−iβz đồng thời được loại bỏ khi đưa vào khái niệm biên độ biến đổi chậm

ở trên) Trong phương trình (1.3), đại lượng Q ≡ kxd (số sóng chuẩn hóa

theo chiều ngang) có giá trị bằng hiệu số pha giữa hai ống dẫn sóng liền

kề tại cùng một giá trị z, và an(z) là một hàm tuần hoàn của Q với chu

Thay biểu thức (1.3) vào hệ phương trình (1.2), sau đó giải và thu được

hệ thức tán sắc (dispersion relation) dưới đây [2]:

kz(Q) = 2κ cos (kxd) (1.6)

Với hệ phương trình liên kết mode (1.1), giống như với biên độ an(z)

trong phương trình (1.3), chúng ta cũng thu được sự phụ thuộc của thànhphần bổ chính số sóng dọc kz vào Q ≡ kxd theo một hàm tuần hoàn với

chu kỳ 2π Bởi vậy, chỉ cần khảo sát tính chất của biên độ an(z) và thànhphần bổ chính số sóng dọckz của sóng phẳng trong phạm vi vùng Brillouinthứ nhất với −π ≤ Q ≤ π là đủ [1] Khái niệm vùng Brillouin được pháttriển bởi nhà vật lý người Pháp Léon Brillouin Trong toán học và vật lýchất rắn, vùng Brillouin đầu tiên được định nghĩa là một ô nguyên thủyđược xác định duy nhất trong không gian nghịch đảo [62] Theo cách tương

tự, mạng Bravais được chia thành các ô Wigner–Seitz trong mạng thực,mạng nghịch đảo được chia thành các vùng Brillouin [62, 63] Ranh giớicủa ô này được cho bởi các mặt phẳng liên quan đến các điểm trên mạngđối ứng [62, 63] Vùng Brillouin đầu tiên là quỹ tích của các điểm trongkhông gian nghịch đảo gần với gốc của mạng nghịch đảo hơn so với bất kỳđiểm mạng nghịch đảo nào khác [63] Ngoài ra còn có các vùng Brillouinthứ hai, thứ ba, tương ứng với một chuỗi các vùng rời rạc (tất cả đều cócùng thể tích) ở khoảng cách tăng dần tính từ gốc, nhưng chúng ít được

sử dụng hơn Nói chung, vùng Brillouin thứ n bao gồm tập hợp các điểm

có thể đạt được từ gốc tọa độ bằng cách đi qua chính xác n − 1 mặt phẳngBragg phân biệt [62, 63] Với những giá trị |Q| lớn (tức khi góc nghiêng θ

của chùm sáng khá lớn), hệ phương trình (1.1) không còn chính xác nữa.Khi đó, chúng ta cần sử dụng các mô hình chuẩn xác và phức tạp hơn,như phương pháp Bloch-Floquet [61], để nghiên cứu quá trình truyền sóngtrong WA

1.2 Tổng quan về các loại soliton và ứng

dụng

Theo thuật ngữ trong các giáo trình về soliton thì soliton có nghĩa làcác sóng đơn (solitary wave) [3, 64] và là chủ đề của các nghiên cứu lýthuyết và thực nghiệm trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau, có thể kể đếnnhư lĩnh vực thủy động lực học, quang học phi tuyến, vật lý plasma vàsinh học [64] Trên thực tế, lịch sử của soliton bắt nguồn từ năm 1834 khiJames Scott Russell quan sát thấy một bó sóng nước trong một con kênhlan truyền không bị biến dạng trong vài km trong báo cáo của ông đượcxuất bản vào năm 1844 [64] Sóng như vậy thời điểm đó gọi là sóng đơn.Tuy nhiên, các tính chất của chúng không được hiểu hoàn toàn cho đếnkhi các mô hình toán học thích hợp được đưa ra và phương pháp tán xạngược được phát triển vào những năm 1960 [65] Thuật ngữ soliton đượcđưa ra vào năm 1965 để phản ánh bản chất giống như hạt của các sóngđơn vẫn còn nguyên vẹn ngay cả sau khi va chạm với nhau [66] Soliton baogồm rất nhiều loại khác nhau như soliton không gian, soliton thời gian,

DS, soliton tối, Theo quang học phi tuyến, soliton được phân loại làsoliton thời gian hoặc soliton không gian, tùy thuộc vào sự giam cầm củaánh sáng xảy ra trong thời gian hay không gian truyền sóng Các solitonthời gian đại diện cho các xung quang học duy trì hình dạng của chúng,trong khi các soliton không gian đại diện cho các chùm tự dẫn hướng bịgiới hạn trong phương ngang vuông góc với phương truyền sóng Cả hailoại soliton đều phát triển từ sự thay đổi chiết suất của vật liệu quang họcgây ra bởi sự biến đổi cường độ ánh sáng (ví dụ như hiệu ứng Kerr) tronglĩnh vực quang học phi tuyến [67] Sự phụ thuộc cường độ ánh sáng của

chiết suất dẫn đến hiện tượng tự hội tụ trong không gian (hoặc tự phânkỳ) và sự tự biến điệu pha theo thời gian (temporal self-phase modulation

- SPM), hai hiệu ứng phi tuyến chính để hình thành soliton quang học.Một soliton không gian được hình thành khi khả năng tự hội tụ của chùmquang học cân bằng với sự mở rộng chùm sáng do nhiễu xạ tự nhiên củachúng Ngược lại, chính SPM chống lại sự mở rộng do tán sắc tự nhiêncủa xung quang và dẫn đến sự hình thành của một soliton thời gian [68].Trong cả hai trường hợp, xung hoặc chùm tia truyền qua một môi trường

mà không thay đổi hình dạng và được gọi là tự định xứ hoặc tự bẫy [68]

Hình 1.4 Kết quả thí nghiệm cho dãy 41 ống dẫn sóng được ghép nối tuyến tínhvới nhau, khi ánh sáng được đưa vào ống dẫn sóng trung tâm Cường độ đượchiển thị trong thang đo màu xám Thang đo được chọn sao cho cường độ cực đạicho mọi khoảng cách lan truyền dọc theo ống dẫn sóng được thể hiện bằng màutrắng Năng lượng được lan truyền chủ yếu xuất hiện ngoài rìa của dãy ống dẫnsóng [53]

Soliton không gian trong môi trường liên tục lần đầu tiên được khámphá năm 1964 do hiện tượng tự bẫy phi tuyến của các chùm sáng liên tục

trong môi trường phi tuyến [69] Ban đầu, hiện tượng tự bẫy không đượcliên kết ngay lập tức với khái niệm solitons không gian vì bản chất không

ổn định của chúng Trong những năm 1980, các soliton không gian ổn định

đã được quan sát bằng cách sử dụng môi trường phi tuyến trong đó sựlan truyền nhiễu xạ chỉ giới hạn ở một chiều ngang [70] Chùm nhiễu xạkhi công suất đầu vào thấp nhưng gần như duy trì hình dạng ban đầu khicông suất cực đại được điều chỉnh để tương ứng với một soliton không gian[64]

Để giới thiệu thêm về soliton không gian, chúng tôi trình bày nghiên cứu

về soliton rời rạc được thể hiện trong bài báo của nhóm tác giả Eisenberg[53] Trong công trình này, các tác giả trình bày việc quan sát các solitonkhông gian rời rạc trong một dãy gồm 41 ống dẫn sóng mô tả trên Hình1.4 Ánh sáng được chiếu vào WA thông qua ống dẫn sóng trung tâm Ởcông suất thấp, chùm sáng lan truyền rộng sang nhiều ống dẫn sóng hơn.Theo quan niệm cổ điển, với môi trường liên tục, khi xảy ra hiện tượngnhiễu xạ, năng lượng sẽ tập trung phần lớn ở trung tâm và yếu dần khi rađến hai biên Tuy nhiên, trong trường hợp WA, nếu duy nhất một ống dẫnsóng được kích thích ở đầu vào, dựa trên thực nghiệm có thể thấy rằngtrong quá trình truyền năng lượng tập trung ở hai biên và giảm dần khi điđến trung tâm (xem Hình 1.4) Đây cũng là một tính chất khác biệt khi

so sánh về hiện tượng nhiễu xạ trong môi trường liên tục và trong WA.Khi năng lượng đầu vào đủ lớn, ánh sáng được định xứ gần với các ốngdẫn sóng đầu vào và sự phân bố của chúng được mô tả thành công bằngphương trình Schr¨odinger phi tuyến tính rời rạc Người ta đã đề xuất rằngmột hiện tượng tương tự như hiện tượng của soliton không gian sẽ xảy ratrong một dãy vô số các ống dẫn sóng giống hệt nhau và ghép với nhau

[54] Trong một mảng như vậy, khi ánh sáng cường độ thấp được đưa vàomột hoặc một vài ống dẫn sóng lân cận, chúng sẽ kết hợp với ngày càngnhiều ống dẫn sóng hơn khi lan truyền, do đó mở rộng phân bố khônggian Sự phân bố mở rộng này tương tự như sự nhiễu xạ trong môi trườngliên tục Cường độ cao làm thay đổi chỉ số khúc xạ của các ống dẫn sóngđầu vào thông qua hiệu ứng Kerr và tách chúng ra khỏi phần còn lại củamảng Người ta đã chứng minh rằng một số sự phân bố ánh sáng nhất địnhlan truyền trong khi vẫn giữ một cấu hình không gian cố định giữa một

số lượng ống dẫn sóng hạn chế, theo cách tương tự với soliton không gian;đây là những solitons không gian rời rạc Nhóm thực nghiệm đã nghiêncứu sự hình thành các soliton không gian rời rạc trong các mảng ống dẫnsóng phi tuyến làm bằng AlGaAs được thể hiện trên Hình 1.5 Qua đó chothấy năng lượng từng ống dẫn sóng ở đầu ra phụ thuộc vào năng lượngcủa phân phối tại đầu vào Ngoài ra cũng tìm thấy bằng chứng sơ bộ vềcách thức điều khiển soliton rời rạc phụ thuộc vào năng lượng

Soliton thời gian có liên quan đến việc phát hiện ra hiện tượng phituyến tính trong suốt tự gây ra trong môi trường phi tuyến cộng hưởng[71] Trong trường hợp này, một xung quang học có hình dạng cụ thể vànăng lượng truyền qua môi trường phi tuyến mà không bị thay đổi cấutrúc mặc dù chúng có khả năng bị hấp thụ Một ví dụ khác về soliton thờigian được tìm thấy vào năm 1973, khi người ta phát hiện ra rằng các xungquang học có thể lan truyền bên trong sợi quang - một môi trường phituyến tán sắc - mà không thay đổi hình dạng của chúng nếu chúng trảiqua sự tán sắc dị thường [72] Quá trình truyền của solitons như vậy trongsợi quang đã được quan sát thấy trong một thí nghiệm năm 1980 [73] Kể

từ đó, soliton sợi quang đã tìm thấy những ứng dụng thực tế trong việc

Hình 1.5 Sơ đồ thí nghiệm khi quan sát thực nghiệm và bản vẽ sơ đồ của mẫu.Mẫu bao gồm lớp lõi Al0.18Ga0.82As và các lớp phủ Al0.24Ga0.76As được gắn trên

giữa các ống dẫn sóng [53]

thiết kế các hệ thống thông tin liên lạc sợi quang đường dài [74]

Ngoài hai loại soltion kể trên, vào năm 1973, soliton có cường độ giảm

ở vùng trung tâm được gọi là soliton tối [73] Để phân biệt rõ ràng, cácsoliton dạng xung tiêu chuẩn với cường độ cao ở vùng trung tâm và giảmdần ra vùng biên được gọi là các soliton sáng Solitons tối tạm thời đã thuhút sự chú ý đáng kể trong những năm 1980 [75, 76] Các soliton tối khônggian cũng có thể hình thành trong hệ các ống dẫn sóng quang học khi chỉ

số khúc xạ thấp hơn ở vùng cường độ cao (sự phi tuyến tự phân kỳ) vàchúng đã được nghiên cứu rộng rãi [77–81] Trong những năm 1990, nhiềuloại soliton quang học khác đã được phát hiện Đó chính là soliton khônggian - thời gian (còn gọi là viên đạn ánh sáng), Bragg soliton, soliton xoáy,soliton vector và soliton bậc hai [64]

Các soliton rời rạc trong WA phi tuyến lần đầu tiên được dự đoán vàonăm 1988 bởi Christodoulides và Joseph [54] Các soliton rời rạc trong hệ

đại diện cho các kích thích toàn bộ chuỗi phi tuyến tính và về bản chất,chúng không liên tục Quá trình hình thành soliton quang học trong cáccấu trúc rời rạc như vậy có thể được hiểu một cách trực quan là sự cânbằng giữa tính phi tuyến tại chỗ và các hiệu ứng nhiễu xạ rời rạc phátsinh từ liên kết tuyến tính giữa các ống dẫn sóng liền kề Trong trườnghợp này, năng lượng quang học bị giới hạn phi tuyến tính trong một vàiống dẫn sóng và chúng có thể lan truyền không bị biến dạng do hiệu ứngnhiễu xạ [61].

Vào đầu những năm 1990, việc tính toán lý thuyết các soliton rời rạcquang học trong WA phát triển mạnh mẽ Schmidt–Hattenberger [82] đãxem xét các thuộc tính của hệ sợi tròn phi tuyến tính và Finlayson cùngcác đồng nghiệp [83] đã xem xét khả năng hỗn loạn trong phương trìnhSchr¨odinger phi tuyến rời rạc Trong một nghiên cứu quan trọng, Kivsharchỉ ra rằng các soliton rời rạc so le cũng có thể tồn tại trong các hệ lệchtâm gần rìa của vùng Brillouin đầu tiên [3] Trên thực tế, lớp sóng tự bẫynày có liên quan mật thiết đến lớp soliton không gian-thời gian được Chen[84] dự đoán đầu tiên và sau đó được nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm[5, 85] Trong các nghiên cứu sau đó, Aceves cùng các cộng sự đã xem xétviệc lưu trữ và điều khiển các soliton rời rạc cũng như các soliton đa chiềutrong các WA [86] Các soliton có thể được điều chỉnh để tạo thành cáccổng quang học AND và NOT [4] Tương tự như vậy, khả năng nén xungkhông gian-thời gian trong các mạng phân tán dị thường cũng đã đượcnghiên cứu [87] Bang và Miller đã đề xuất các cách khai thác tính rời rạc

để chuyển mạch quang (optical switch) trong các WA [88] Qua các ví dụ

kể trên có thể thấy rằng việc nghiên cứu về soliton ngày càng nhiều vàcàng có nhiều loại soliton khác nhau được phát hiện Tùy vào mục đích

khác nhau mà các nhà vật lý sử dụng loại soliton khác nhau để tìm hiểucác tính chất, cấu trúc liên quan.

1.3 Mô phỏng một số hiệu ứng lượng tử

bằng hệ ống dẫn sóng đồng nhất

Trong mục này, chúng tôi trình bày hai hiệu ứng lượng tử phi tương đốitính tiêu biểu đã được mô phỏng thành công trong WA Đó là hiệu ứngdao động Bloch và hiệu ứng xuyên hầm Zener

Hiệu ứng dao động Bloch (Bloch oscillations – BO) lần đầu tiên đượcthảo luận trong bài báo của nhà vật lý người Mỹ gốc Thụy Sỹ Felix Blochvào năm 1929 khi nghiên cứu sự dịch chuyển của electron trong mạng tinhthể [9] Sau này, ông đã nhận giải Nobel Vật lý vào năm 1952 Xét bàitoán cổ điển khi một electron tự do đi vào vùng điện trường đều đượcthiết lập giữa hai bản tụ điện với hai cực âm và dương Lúc đó, do tácdụng của điện trường E hướng từ bản có điện tích dương sang bản cóđiện tích âm nên electron sẽ bị đẩy về phía bản dương Điều đó thể hiệnrằng, một điện tử tự do dưới tác động của một điện trường đều (hay mộtđiện thế tuyến tính) sẽ bị điện trường đều này đẩy đi vô hạn trong khônggian của điện trường đều đó Và Zener đã đặt vấn đề rằng liệu điện tử sẽchuyển động như thế nào trong mạng tinh thể tuần hoàn dưới tác độngcủa một điện trường ngoài đều Khi đó, hạt electron sẽ chịu tác động từ cảhai điện trường sau, bao gồm (i) trường tĩnh điện trong mạng tinh thể cóđiện thế tuần hoàn trong không gian và (ii) điện thế tuyến tính của điện

trường ngoài đồng nhất áp lên mạng tinh thể [1] Zener dự đoán sự xuấthiện những dao động tuần hoàn của điện tử, sau này được gọi là dao độngBloch, dẫn đến sự định xứ trong không gian mạng tinh thể của electronthay vì bị điện trường ngoài đồng nhất đẩy đi vô hạn [12] Quan sát bằngthực nghiệm mô phỏng hiện tượng này trong WA được thực hiện vào cuốithế kỷ 20 do nhóm Pertsch tiến hành [7].

Đầu tiên, chúng ta đề cập đến lý thuyết hình thành nên bài toán về BOvào năm 1929 Bài toán nhiều hạt trong chất rắn thường khá phức tạpkhi xét đến các tương tác giữa các electron với nhau, giữa các electron vàhạt nhân Tương tự như phép tính xấp xỉ electron độc lập được Drude vàSommerfeld áp dụng trước đây, Bloch giả định rằng những tương tác nhưvậy được gộp lại thành “thế năng hiệu dụng của một electron” giúp làmgiảm đáng kể độ phức tạp của mô hình Do đó, vấn đề được đơn giản hóathành bài toán một electron độc lập tuân theo phương trình Schr¨odingermột electron [9]:

⃗

T = n1⃗a1 + n2⃗a2 + n3⃗a3, (1.8)trong đó các vector⃗a1,⃗a2,⃗a3 vuông góc với nhau từng đôi một và các giátrị n1, n2, n3 là các số nguyên Do đó, thế năng của vi hạt trong mạng