1 Ch¬ng 1 MÖnh ®Ò vµ c¸c phÐp to¸n l«gÝc 1 MÖnh ®Ò MÖnh ®Ò lµ mét kh¸i niÖm nguyªn thñy, kh«ng ®Þnh nghÜa Ta cã thÓ hiÓu mÖnh ®Ò nh mét c©u trong ng«n ng÷ th«ng thêng, cã mét vµ chØ mét trong hai t[.]
Chương Mệnh đề phép toán lôgíc 1- Mệnh đề Mệnh đề khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa Ta hiểu mệnh đề câu ngôn ngữ thông thường, có hai tính chất sai Để ký hiệu mệnh đề ta dùng chữ a, b, c Trong lôgíc ta không quan tâm đến cấu trúc ngữ pháp mệnh đề mà quan tâm đến tính sai chúng Nếu a mệnh đề ta nói có giá trị chân lý 1, ký hiệu G(a) = 1, a mệnh đề sai ta nói có giá trị chân lý 0, ký hiƯu lµ G(a) = Ta thõa nhËn luật sau lôgíc mệnh đề a) Luật trung: Mỗi mệnh đề phải hoặc sai, mệnh đề không không sai b) Luật phi mâu thuẫn: Không có mệnh đề vừa lại vừa sai Ví dụ 1) Hà Nội thủ đô nước Việt Nam mệnh đề 2) Nước Pháp nằm Châu Phi mệnh đề sai 2) Tháng Giêng có 30 ngày mệnh đề sai 4) 15 số lẻ mệnh đề ®óng 5) “Sè 35 chia hÕt cho 3” lµ mƯnh đề sai 6) 12 lớn 20 mệnh đề sai 7) Tứ giác có bốn cạnh hình vuông mệnh đề sai Các câu 8) nhân mấy? 9) Anh tốt nghiệp phổ thông năm nào? 10) Bộ phim hay quá! 11) Tất hÃy học giờ! mệnh đề Nói chung, câu nghi vấn, câu mệnh lệnh câu cảm thán mệnh đề -1- 2- Các phép toán lôgic Từ mệnh đề đơn giản ta xây dựng mệnh đề phức tạp phép toán lôgíc 2.1 Phép phủ định Phủ định mệnh đề a, ký hiệu a , mệnh đề có bảng chân lý a a 0 Mệnh đề a tương ứng với cách nói không a ngôn ngữ thông thường Ví dụ 1) a = Nhôm kim loại G(a) = 1, a = Nhôm kim loại 2) b = Số 30 chia hÕt cho 4” G( a ) = G(b) = 0, b = “Sè 30 kh«ng chia hÕt cho 4” G( b ) = 2.2 PhÐp héi Héi cđa hai mƯnh ®Ị a, b, ký hiƯu a b, mệnh đề có bảng chân lý a 1 0 b 1 ab 0 Nh vËy mƯnh ®Ị a b hai mệnh đề a, b sai trường hợp lại Mệnh đề a b tương ứng với cách nói a b ngôn ngữ thông thường Ví dụ 1) a = Mỗi năm có 12 tháng G(a) = 1, b = Mỗi năm có bốn mùa G(b) = 1, a b = Mỗi năm có 12 tháng bốn mùa G(a b) = 2) a = 36 số chẵn b = 36 chia hÕt cho 5” G(a) = 1, G(b) = 0, a b = 36 số chẵn chia hết cho 5” G(a b) = -2- - Chó ý 1) Để thiết lập mệnh đề hội hai mƯnh ®Ị a, b ta cã thĨ ghÐp hai mƯnh đề liên từ hay liên từ khác loại: mà, nhưng, song, song le, đồng thời, vẫn, dùng dấu phảy không dùng liên từ Chẳng hạn: Anh Hùng nói thạo tiếng Anh mà tiếng Đức Số lớn nhỏ 2) Đôi mệnh đề có liên từ lại nghĩa mệnh đề hội Chẳng hạn: Tập số âm tập số dương hai tập rời tập số thực Nhà Thanh nuôi 15 gà vịt 2.3 Phép tuyển Tuyển hai mệnh đề a, b, ký hiệu a b, mệnh đề có bảng chân lý a b ab 1 1 1 0 Nh vËy mƯnh ®Ị a b ®óng Ýt hai mệnh đề a, b sai hai mệnh đề a, b sai Mệnh đề a b tương ứng với cách nói a b ngôn ngữ thông thường Ví dụ 1) a = Mỗi năm có bốn mùa G(a) = 1, b = Mỗi tuần có bảy ngày G(b) = 1, a b = Mỗi năm có bốn mùa tuần có bảy ngày 2) a = 20 số tròn chục G (a b) = G(a) = 1, b = “20 chia hÕt cho 3” G(b) = 0, a b = “20 số tròn chục chia hết cho 3) a = tháng Hai có 31 ngày G(a b) = G(a) = 0, b = “3 + = 1” G(b) = 0, a b = “Th¸ng Hai có 31 ngày + = G(a b) = -3- - Chó ý 1) §Ĩ thiÕt lËp mƯnh ®Ị tun cđa hai mƯnh ®Ị a, b ta cã thĨ ghÐp hai mƯnh ®Ị ®ã liên từ hay liên từ khác loại 2) Liên từ thực tế thường dùng với hai nghĩa: loại trừ không loại trừ Phép tuyển a b phép tuyển loại trừ để a b a lẫn b Phép tuyển a b phép tuyển không loại trừ để a b a lẫn b Chẳng hạn: Hôm Chủ nhật thứ Bảy phép tuyển loại trừ Hôm Chủ nhật ngày lễ phép tuyển không loại trừ Dưới đây, không nói thêm, ta xét phép tuyển không loại trừ 2.4 Phép kéo theo Mệnh đề a kÐo theo b, ký hiƯu a b, lµ mét mệnh đề có bảng chân lý a b ab 1 1 0 1 0 Nh vËy mƯnh ®Ị a b sai a mà b sai tất trường hợp lại Mệnh đề a b tương ứng với cách nói a b ngôn ngữ thông thường Ví dụ 1) a = Mỗi năm có 12 tháng G(a) = 1, b = “2 + = 4” G(b) = 1, a b = Nếu năm có 12 tháng + = 2) a = Mỗi năm cã 12 th¸ng” G(a b) = G(a) = 1, b = “2 + = 5” G(b) = 0, a b = Nếu năm có 12 tháng + = 3) a = Mỗi năm có 10 tháng G(a) = 0, b = “2 + = 4” G(b) = 1, a b = Nếu năm có 10 tháng + = 4” G(a b) = 4) a = Mỗi năm có 10 tháng G(a) = 0, -4- G(a b) = b = “2 + = 5” G(b) = 0, a b = Nếu năm có 10 tháng + = 5” G(a b) = - Chó ý 1) Trong lôgíc, xét giá trị chân lý mệnh đề a b người ta không quan tâm đến mối quan hệ nội dung hai mệnh đề a, b, mà quan tâm đến tính ®óng, sai cđa chóng 2) MƯnh ®Ị “a kÐo theo b diễn đạt nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn: Nếu a b, a suy b”, “Cã a th× cã b”, 2.5 PhÐp tương đương Mệnh đề a tương đương b, ký hiệu a b, mệnh đề có bảng chân lý lµ a 1 0 Nh vËy mƯnh đề a b trường hợp lại b a b 1 0 0 hai mƯnh ®Ị a, b cïng sai sai Mệnh đề a b tương ứng với cách nói a b (hoặc a b ngôn ngữ thông thường - Ví dụ 1) a = Tháng 12 có 31 ngày G(a) = 1, b = Trái đất quay xung quanh mặt trời G(b) = 1, a b = Tháng 12 có 31 ngày trái đất quay xung quanh mặt trời G(a b) = 2) a = “3 < 7” G(a) = 1, b = “70 chia hÕt cho 3” G(b) = 0, a b = “3 < vµ chØ 70 chia hÕt cho 3” G(a b) = 3) a = “Th¸ng Hai cã 31 ngµy” G(a) = 0, b = “ x = 11” G(b) = 0, a b = Tháng Hai có 31 ngày x = 11” G(a b) = -5- 3- Công thức mệnh đề 3.1 Khái niệm Cho biến mệnh đề p, q, r, Khi dùng phép toán lôgic tác động vào nhận mệnh đề ngày phức tạp Mỗi mệnh đề mệnh đề xuất phát gọi công thức Chính xác hơn, a) Mỗi biến mệnh đề công thức b) Nếu P, Q công thức P , P Q, P Q, P Q, P Q công thức c) Mọi dÃy ký hiệu không xác định theo quy tắc công thức Ví dụ Từ biến mệnh đề p, q, r ta thiết lập công thức: (p q) r, (p q) r, ( p q ) r, (p q) ( q p ) 3.2- Giá trị chân lý công thức Cho P công thức Khi ta gán cho biến mệnh đề có mặt công thức P giá trị chân lý xác định công thức P trở thành mệnh đề (đúng sai) Nếu P mệnh đề (tương ứng, sai) ta nói công thức P có giá trị chân lý (tương ứng, 0) ứng với hệ giá trị chân lý gán cho biến mệnh đề có mặt công thức Ví dụ 1) Bảng giá trị chân lý công thức Q = (p q) ( p q ) p 1 0 q 1 p q pq 0 0 0 Q 0 2) p p công thức có giá trị chân lý với giá trị chân lý biến mƯnh ®Ị p 3)( p q ) ( p q ) công thức có giá trị chân lý với giá trị chân lý biến mệnh đề p, q -6- 3.3 Sự tương đương lôgíc đẳng thức Cho P Q hai công thức Ta nói hai công thức P Q tương đương lôgíc với nhau, ký hiƯu lµ P Q, nÕu víi mäi hƯ giá trị chân lý gán cho biến mệnh đề có mặt hai công thức chúng nhận giá trị chân lý Khi đóta gọi P Q đẳng thức Chú ý: Hai mệnh đề tương đương lôgíc chúng hoàn toàn không liên quan với nội dung Chẳng hạn, Tháng Hai có 30 ngày x = 10 Sau số tương đương lôgíc thường gặp 1) Phủ định phủ định: p p 2) LuËt De Morgan: pq p q, pq p q 3) TÝnh chÊt kÕt hỵp: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) 4) TÝnh chÊt giao ho¸n: p q q p, p q q p, p qq p p (q r) (p q) (p r) 5) TÝnh chÊt ph©n phèi: p (q r) (p q) (p r) 6) Tính chất lũy đẳng: p p p, p p p 7) BiĨu diƠn phÐp kÐo theo qua c¸c phÐp to¸n lôgíc khác : p q p q, p q p q p q q p 8) Biểu diễn phép tương đương qua phép toán lôgíc khác p q (p q) (q p), p q p q Ký hiƯu (t¬ng øng, 0) chØ biÕn mƯnh đề (tương ứng, luôn sai) 9) p 0, p p, p1p p11 10) p p (luËt bµi trung) p p (luËt m©u thuÉn) -7- 3.4 Biến đổi công thức Ta thực phép biến đổi công thức mệnh đề dựa vào đẳng thức đà biết để chứng minh đẳng thức đưa công thức dạng đơn giản Sau số quy ước: 1) Các phép toán lôgíc công thức thực hiƯn theo thø tù: , , Víi quy ước này, chẳng hạn ta viết p q r thay cho (p q) r, ta sÏ viÕt p q r u thay cho [p (q r)] u 2) Kh«ng viết dấu ngoặc công thức Với quy ước này, chẳng hạn, ta viết p q r thay cho (p q) r 3) Nếu có dấu phủ định công thức ta bỏ dấu ngoặc hai đầu công thức Chẳng hạn, ta viết p p r thay cho ( p p ) r VÝ dô 1) Chøng minh r»ng ( p q r) ( p q r) (q r) (p q) r Biến đổi ta có ( p q r) ( p q r) (q r) [( p q) ( p q )] r (q r) 2) Rót gän c«ng thøc [ p (q q )] r (q r) ( p 1) r (q r) ( p r) (q r) ( p q) r (p q) r ( p q p q) q Ta cã ( p q p q) q [ p q (p q)] q [(p q) (p q)] q (p q) q q -8- 3.5 Lt cđa l«gic mệnh đề Cho A công thức Ta gọi: a) A công thức (hay luật lôgíc mệnh đề), nhận giá trị chân lý với hệ giá trị chân lý gán cho biến mệnh đề có mặt A công thức đó, ký hiệu b) A công thức sai (hay mâu thuẫn), nhận giá trị chân lý với hệ giá trị chân lý gán cho biến mệnh đề có mặt công thức - Ví dụ 1) Công thức p p Ta có luật p p 2) Công thức p p h»ng sai 3) Chøng minh r»ng p q p q Ta có bảng chân lý p 1 0 q pq 1 0 1 pq pq p q 1 1 1 Tõ ®ã suy ®iỊu ph¶i chøng minh 4- MƯnh ®Ị liên hợp, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ 4.1 Mệnh đề liên hợp Nếu ta gọi p q (1) mệnh đề thuận q p (2) gọi mệnh đề đảo (1), p q (3) gọi mệnh đề phản (1), q p (4) gọi mệnh đề phản đảo (1) Các mệnh đề thuận, đảo, phản phản đảo gọi mệnh đề liên hợp áp dụng đẳng thức 3.3 7) ta có pq q p vµ p q q p Như -9- - Mệnh đề thuận tương đương lôgíc với mệnh đề phản đảo - Mệnh đề phản tương đương lôgíc với mệnh đề đảo - Ví dơ “NÕu mét sè chia hÕt cho th× nã chia hÕt cho 2” (MƯnh ®Ị thn) “NÕu mét sè chia hÕt cho th× nã chia hÕt cho 4” (Mệnh đề đảo) Nếu số không chia hết cho không chia hết cho 2(Mệnh đề phản) Nếu số không chia hết cho không chia hết cho (Mệnh đề phản đảo) Ta thấy ví dụ mệnh đề thuận mệnh đề phản đảo mệnh đề đúng, mệnh đề đảo mệnh đề phản mệnh đề sai 4.2 Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ 1) Nếu p q mệnh đề ta nói - p điều kiện đủ để có q - q điều kiện cần để có p Trong trường hợp này, mệnh đề p q diễn đạt nhiều cách khác nhau, chẳng hạn: - Nếu có p có q - p điều kiện đủ để có q - q điều kiện cần để có p - Cã p ¾t cã q - Muèn cã p ph¶i cã q - Cã q cã p 2) Nếu đồng thời hai mệnh đề p q q p ta nói rằng: - p điều kiện cần đủ để có q - q điều kiện cần đủ để có p Trong trường hợp này, mệnh đề p q diễn đạt nhiều cách khác nhau, chẳng hạn: - Điều kiện cần đủ để có p q - Để có p, điều kiện cần đủ q - Điều kiện có đủ để có p q - 10 - - VÝ dơ 1) Mäi sè tù nhiªn cã tỉng chữ số chia hết cho chia hết cho Số 432135 có tổng chữ số chia hÕt cho VËy sè 432135 chia hÕt cho 2) Nếu tứ giác hình thoi hai đường chéo vuông góc với Tứ giác ABCD hình thoi Vậy AC BD 2-2 Suy luËn nghe cã lý Suy luËn cã lý lµ suy luận không theo quy tắc suy luận tổng quát Nó xuất phát từ tiền đề ®óng ®Ĩ rót mét kÕt ln KÕt ln nµy mà sai Mặc dầu suy luận có lý có hạn chế nêu nã cã ý nghÜa rÊt quan träng khoa häc đời sống Nó giúp từ quan sát cụ thể rút giả thuyết, phán đoán để sau tìm cách chứng minh chặt chẽ giả thuyết Nó đặt sở cho nhiỊu ph¸t minh khoa häc Trong to¸n häc, hai kiểu suy luận có lý thường sử dụng là: - Phép quy nạp không hoàn toàn - Phép tương tự Ví dụ 1) Từ tiền đề: + = + 4, 15 + 48 = 48 + 15, 243 + 358 = 358 + 243, ta rót kÕt ln: Tỉng cđa hai sè tù nhiên không thay đổi ta thay đổi thứ tự số hạng tổng Đây phép quy nạp không hoàn toàn Trong phép suy luận này, tiền đề kết luận rút ®óng 2) Tõ c¸c tiỊn ®Ị: 42 chia hÕt cho 3, 72 chia hÕt cho 3, 132 chia hÕt cho 3, ta rót kÕt ln: Nh÷ng sè cã chữ số hàng đơn vị chia hết cho3 Đây phép quy nạp không hoàn toàn Trong phép suy luận này, tiền đề kết luận rút lại sai 3) Từ định lý hình học phẳng: "Nếu hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với nhau" ta đưa giả thuyết:"Nếu hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ - 17 - ba chúng song song với nhau" Đây phép suy luận tương tự Giả thuyết nêu 4) Cũng từ định lý nêu ví dụ ta đưa giả thuyết: "Nếu hai mặt phẳng song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với nhau" Giả thuyết nêu sai - Chứng minh 3.1 Chứng minh Chứng minh mệnh đề X vạch rõ X kết luận lôgíc tiền đề Mỗi chứng minh toán học bao gồm số hữu hạn bước, bước phép suy luận diễn dịch ta đà vận dụng quy tắc suy luận tổng quát (Trong trường hợp chứng minh gồm bước phép suy luận diễn dịch với tiền đề đúng.) Một phép chứng minh gồm có ba phần: 1) Luận đề mệnh đề ta phải chứng minh 2) Luận mệnh đề mà tính đắn đà khẳng định (thường định nghĩa, tiền đề định lý đà chứng minh trước ) dùng làm tiền đề bước suy luận 3) Luận chứng quy tắc suy luận tổng quát sử dụng bước suy luận chøng minh ®ã Nh vËy chøng minh tõ tiỊn ®Ị A dẫn đến kết luận B là: - Thiết lập dÃy bước suy luận diễn dịch - Trong bước ta rõ tiền đề, kết luận quy tắc suy luận tổng quát áp dụng 3.2 Ví dụ 1) Mỗi suy luận ví dụ 2.1 chứng minh (vì tiền đề suy luận ta áp dụng quy tắc suy luận tổng quát lôgíc mệnh ®Ò) 2) XÐt phÐp suy luËn sau: Tõ hai tiÒn ®Ị: Víi mäi a, bR, nÕu a2 = b2 th× a =b 52 = (-5)2 rót kÕt luËn = -5 (!) Trong suy luËn nµy, râ rµng kết luận rút sai (vì tiền đề cđa phÐp suy ln lµ sai) Nh vËy, phÐp suy luận hợp lôgíc chứng minh 3) XÐt phÐp suy luËn sau: Tõ hai tiÒn đề: - 18 - Nếu tổng chữ số mét sè chia hÕt cho th× nã chia hÕt cho 125 có tổng chữ số chia hết cho rót kÕt luËn 125 chia hÕt cho (!) Trong suy luËn nµy, râ rµng kÕt luËn rút sai (vì tiền đề phép suy luËn lµ sai) Nh vËy, phÐp suy luËn nµy hợp lôgíc chứng minh 3.3- Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp 3.3.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp Cơ sở phương pháp chứng minh trực tiếp quy tắc suy luận bắc cầu p q, q r pr Khi chøng minh tõ tiỊn ®Ị A ®Õn kÕt ln B phương pháp chứng minh trực tiếp, ta tiến hành theo sơ đồ sau: A A1, A1 A2, , An-1 An, An B ¸p dơng quy tắc suy luận bắc cầu ta nhận điều phải chứng minh Sau ta phân tích phép chứng minh định lý "Hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm đường" Định lý tóm tắt sau (Luận đề): Giả thiết ABCD hình bình hành AC cắt BD O Kết luËn OA = OC vµ OB = OD - 19 - Suy luËn 1: A A1 H×nh b×nh hành có cặp cạnh đối song song (định nghĩa) ABCD hình bình hành AB // CD, AD // BC Suy luËn 2: A1 A2 Hai góc so le hai đường song song bị cắt cát tuyến (định lý) AB // CD BD cắt AB, CD, AD // BC BD cắt AD, BC, AC cắt AD,BC LuËn chøng p q, p q p q, p q ˆ vµ Bˆ D ˆ Bˆ1 D 2 Suy luËn 3: A2 A3 Hai đa giác có cặp cạnh góc kề cạnh đôi (định lý) p q, p q ˆ1 D ˆ vµ B ˆ2 D ˆ2 BD chung, B ABD = CDB Suy luËn 4: A3 A4 Hai tam gi¸c b»ng có cặp cạnh tương ứng (định lý) ABD = CDB AB = CD, AD = CB Suy luËn 5: A4 A5 Hai tam giác có cặp cạnh cặp góc kề cạnh (định lý) p q, p q p q, p q ˆ C ˆ vµ B ˆ1 D ˆ1 AB = CD, A 1 AOB = COD Suy luËn 6: A5 A6 Hai tam giác có cặp cạnh tương ứng b»ng AOB = COD OA = OC vµ OB = OD Suy luËn 7: A6 B A A1, A1 A2, , A6 B, AB Qua phân tích ta thấy: - 20 - p q, p q p q, q pr