Một số tính chất của toán tử dịch chuyển
Sự tạo thành các trạng thái kết hợp là do sự tác dụng của toán tử dịch chuyển lên các voctơ trạng thái chân không Các tính chất của nó đồng một vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ trạng thái kết hợp Hơn trình viễn tải nữa, nó còn thể hiện tầm quan trọng rit lén trong qui lượng tử Vì vậy trong mục này chúng tôi đề cập đến một số tính chất quan trọng của nó như sau a) Tính chất 1
Di (a) = exp(a*a — ad!) = exp[-aa! — (-a*A)] = D,(-a), (1.21) mặt khác
Suy ra Đl(a) = Ð;'(a) = ðẵa) 'b) Tính chất 2
= exp(Glal?) exp(-a°a) exp(aa), (1.25) mà Õ;\a) = Ôa(=a)
= exp( lal?) exp(0"a) exp(aal ) (126) sny tà Đz(a)ãЄ(a) = exp(a*â)exp(~=aâ!)âexp(aâl)exp(=a*8) (1.27)
Sit dung cOng thite Baker - Hausdorff, với hai toan tit A va B bat ky ta có exp(=œÂ)#exp(a4) = B~ a[ 8] + thả, |4.8]|— - (128) Với  = ấÌ, 8 và bỏ qua các số hạng bậc cao, ta có exp(—âŸ)â exp(ậl) a+alaa']=a+a (1.29)
D;"(a)aDa(a) = exp(a*a)|a + a] exp(—a*a) exp(a*4)âexp(~a"8) + œexp(a'â) exp(~a"â)
Dz(a)a! D,(a) = exp(a*a) exp(—aa'')a! exp(aâ') exp(—a*â) (1.31)
10 trong đó exp(—aâ†)âÌ exp(aá†) = ↠— alâ†, â†] = at suy ra
= 8'+a*la,ọè|+a +a" (1.32) ©) Tính chất 3 Địa)Ð() = Đ(a + 8)ep(*“‡®"2) (1.33)
D(A) = exp( 3a! — fa) = exp(B) +Ð(a)Ð(9) = œp(4)esp(8)ee(~j(Â.8|)ep(SIÂ, 8)
=_Ôía+8)ep(3IÂ,B)), (30 trong đó
= (âf = a*8)(8âÌ = 8*ã) = (đã! = 8*â)(ậÌ = a*a) œỉ*(õõè = óèõ) a*8(óõè = ó!õ)
1.1.4, Trang thai két hgp thém photon
‘Trang théi kết hợp thêm photon lần đầu tiên được định nghĩa bởi Agarwal và Tara vio nim 1991 [7] Trang thái kết hop them photon I trung gian giữa trang thai Fock và trang thái kết hợp Với trạng thái kết hop |a), trang thái kết hợp thêm photon được định nghĩa như sau: aia) với m là số nguyên không âm Trong đó,
{al trong đó (aml fale) aon a là đa thức Laguerre bậc m theo x Do dé, ta có thể viết
1 thi (1.36) trở thành ál|a) la,1)
“Trang thái |a,mn) được biểu diễn dưới dạng trạng thái Foek là exp (— a"(n +m)! map at) > nem) (1.37) la1)=
Trạng thái nén : 12 13 Một số tính chất phi cổ điển 14 1.3.1 Tính chất nén tổng, 1 1.3.2 Tính chất nén hiệu 5 1.3.3 Tính chất nén bậc cao hai mode 16 1.3.4 Tính chất phản kết chùm bậc cao 16 1.3.5 Sự vi pham bat ding thtte Cauchy-Schwarz
a các trạng thái nén đã được Stoler D Các tính chất toán học hà khảo át vào năm 1970, và ông gọi chú 'các bó sóng có độ bắt định cực tiểu" Nền photon được quan sát lần đầu tiên trong phòng thí
"2 nghiệm bởi Slusher R cùng cộng sự (3, sau đó được khẳng định bởi Kimble [23], Levenson cùng các cộng sự [20] Hiện tại, các trạng thái nón được vận dụng trong lĩnh vực truyền thông quang và thực nghiệm để sóng hấp dẫn
Trạng thái nén được định nghĩa như sau: Nếu ba toán tử Hermite
A, B và Ở thỏa mãn hệ thức giao hoán [A, B] thức bất định Heisenbergr Ở thì tuân theo hệ
Một trạng thái của hệ được gọi là nén đối với phép đo đại lượng vật lý:
(trạng thái của hệ đối với phép đo đại lượng vật lý không nén) và a ((AA)?)((AB)?) khong vi phạm hệ định Heisenberg (1.38) Khi trang thái nén có tích phương sai của toán bắt ngược lại, sao cho tích ci tit A và toỏn tử ỉ bằng độ bat định tối th nu thỡ chỳng được gọi là trạng thái nén lý tưởng Trong trường hợp nén biên độ trực giao, dat A và ỉ tương ứng với hai toỏn tử biờn độ trực giao Ẩ; = (ụ + õẽ)/2 và xX — a) /(28), khi d6 (X), X3] = ¡/2 và Ở = 1/2 Hệ thức bất định
Heisenberg trong trường hợp này là
((A%)?)((AX)*) > 1/16, (1.40) suy ra nén biên độ trực giao tồn tại khi
((Ậ0?) 1
1.3.4 Tinh chất phản kết chùm bậc cao
Phép đo cấp độ tính chất phản kết chùi bậc cao đơn mode được định nghĩa trong [2ð] và được áp dụng để khảo sát một số trạng thái
"6 phi cổ điển (9), [I5], chầm bậc cao đơn mode được định nghĩa bằng hệ số phản kết chùm đơn
Pheo Lee, tiêu chuẩn để tồn tại tính chất phản kết mode A,(I,p) va théa min biit đẳng thức có dạng
A) = (alr — 1) ác số nguyên f và p thỏa mãn điều trong đú toỏn tử số hạt ủ„ =i+ 1) và
( ) là ký hiệu trung bình lượng tử kiện 1 > p > 1 Hệ số phản kết chim don mode thong thường tương ứng với l= p = 1 Dé don giản, chúng ta xét trường hợp Í > p= 1, từ đó phương trình (1.55) rút gọn thành allt)
Phép đo cấp độ tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode được bai Lee [24] Theo Lee, ti định nại ‘hun dé ton tai tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode được định nghĩa bằng hệ số phản kết chùm hai mode 4,g(1,p) và thỏa mãn bất đẳng thức có dạng,
Aaa a GAP) + (AAP) “Mp p = 1, ta có phương trình (1.57) rút gọn thành allt) (af9)
Hệ số phản kết chùm hai mode A,,(2) càng âm thì cấp độ phản kết chùm: càng lớn, nếu A,z(I) không âm thì trạng thái đang khảo sát không có tính chất phần kết chùm hai mode
1.3.5 Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
'Tính chất thống kê ia các mode được đặc trưng bởi
Gig = Ge = SE (12)(019) Đối với trường cổ điển, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng trong đó
“Ta có thể viết lại bắt đẳng thức Cauehy-Sehwarz dưới dạng
|@P2)(05/JŸ eo 10 Team) 1 oe) 1.59) Bất đẳng thức (1.59) cho phép ta xem xét mối liên hệ giữa các mode với nhau, đơn giản nhất là hai mode Nếu một trạng thái hai mode thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy-Sehwarz thì trạng thái đó mang tính chất cổ ¡, nếu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz bị vi phạm, nghĩa
(1.60) thi ta kết luận rằng trạng thái đó mang tính chất phi cổ dié
Các tiêu chuẩn đan tối
Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy
Hofmann, Takeuchi [20] và Gũhne [16] đã thiết lap các điều kien dò tìm đan rồi bằng cách sử dụng các hệ thức bất định Hillery và Zubairy [I9] đã đưa ra các điều kiện đò tìm đan rối bởi một lớp bất đẳng thức dựa vào hộ thức bất định Heisenberg va bat đẳng thức Schwarz
Hai tác giả Hillery và Zubai số Lie để khảo sát trường điện từ h sử dụng phép biểu diễn nhóm 8U(2) node theo các toán tử
Ly = abt + ath, iy = i(abt — ab), Lg = ala + ti, (161) trong đó ã(Ô) va â! (Ê!) tương ứng là toán tử hủy và toán tử sinh của mode a(b) Dat J; = Ê¿/2(¡ = 1, 3, 3), các toán tử này thỏa mãn hệ thite [J;, Jj] = ieijedy Gid sit ring trang thai dang khéo sat là tích của một trạng thỏi ở mode ứ và trạng thỏi khỏc ở mode b Cộng cỏc phương, sai của hai toỏn ẽĂ và Ủa, sau đú phõn tớch cỏc giỏ trị trung bỡnh thành các tích các giá trị trung bình của mode a va mode b, ta thu được
19 trong dé N, = ala va N, = ôÌô Sử dụng một kết quả của điều kiện dò tim dan r6i cita Hofmann vA Takeuchi [20] thì bắt đẳng thức ở phương trình (1.62) cho phép suy ra một trang thái là đan rối nếu
“Tương tự, khảo sát theo toan tit @b, ta có một trạng thái là đan rồi nếu
(1.64) Đối với các số nguy: dương k và f bắt kỳ, một trạng thái đan rối cần phải thỏa mãn điều kiện
Tiêu chuẩn đan rối Maneini
Maneini cùng cộng sự [28] đã đưa ra tiêu chuẩn chia tách của một hệ biển liên tục hai thành phần dưới dạng các tương quan bậc hai T lột trạng thái có thể tách, thì hệ thức bắt chuẩn này nêu rõ rằng nếu định đối với một cặp toỏn tử ủ và ụ giống như cặp EPR thỏa món
(166) trong đó fia +p, đụ +in, (167)
+h) /V va pr = (kB) /iv2 (b và xung lượng của hệ con k théa man hệ thức giao hoán [2x] = ine , 6) là các toán tử tọa độ
Sự vi phạm của bất đẳng thức (1.66) cung cấp một tiờu chuẩn đầy đủ để một trạng thái Gauss Id trang thai dan rối, nghĩa là một trạng thái Gauss hai mode đan rối nếu
Ching ta tính các độ bắt định ((A8)3) và (A0) Ta có
= AG +a? ++ DP) + (1+ ala + bb + ab + al! + abt + ab)
= (1+ ala + bib + ab + atbt — abl — ald)
'Từ bắt đẳng thức (1.68), phương trình (1.69) và (1.70), ta thu được tiếu chuẩn đan rối Maneini dưới dạng các toán tử sinh và hủy như sau:
(F(a? + al + + 8) + bala + Hb + ab + a) + at + ald) giá xát +Ê +?) (+ 8ã + Đỗ + ab + ald — ad! — ald)
KHAO SAT CAC TINH CHAT NEN CUA
TRANG THAI HAI MODE KET HOP THEM
Các trang thái phi cổ điển đã va đang được nghiên cứu tì các ứng đụng tiềm năng của chúng trong thông tin lượng tử, tính toán lượng tử
[38] tà các lĩnh tực khác Bản chất của những ứng dụng đó là khai thác các tính chất phi cổ điển của chúng Việc đánh giá các tính chất phi cổ di của những trang thái nay déng vai trd quan trọng trong định hưởng sit dung chiing vao ede nhiém vu lượng tử căng như lựa chọn các biến đổi phù hợp trong các quá trình lượng tử Tính chất nén của các trang thái phi cổ điển được ứng dụng rộng rãi trong thông tin và truyền thông lượng tử vdi muc dich lam giém nhiễu tín hiệu Mọt kiểu trạng thái được khái quất hóa tit trang thái kết hợp thêm photon, đó là trạng thái hai mode két hgp them hai photon tích SU(1,1) với các tính chất nén sẽ được chúng tôi nghiên cứu trong chương này
2.1 Trang thai hai mode SU(1,1)
211 Đại số SỮ(1,1) Đại số U(1, 1) được xõy dựng nờn bởi cỏc toỏn tử Hermite ẹ„, và tuân theo các hệ thức giao hoán
Các toán tử của SU(1, 1) được xem như các thành phần của một vector
41) trong không gian 3 chiều Không gian đối với các toán tử S(1, 1) được gọi là không gian Minkowsky (2+1) chiều, ở đó tích vo hướng và tích veetor giữa các vector đ, b được định nghĩa như sau:
@ŒxB.= DD ena, trong đó eje = 1 nếu thực hiện số lần hoán vị chẫn, e;/; = —1 nếu thực hiện số lần hoỏn vị lẻ đối với z, w,z và ô„: = 0 nếu cú hai chỉ số trựng nhau Lưu ý rằng tích vô hướng được định nghĩa ở trên không có các tính chất như tích vô hướng trong không gian Euclidean, ví dụ đẩ có thể không dương
Cú thể xõy dựng đại số SU(1, 1) từ cỏc toỏn tử ẹo, ẹ, và _ bằng cách đặt
2.1.2 Trang thai hai mode két hgp SU (1,1)
Gia sit hai mode cia tru@ng dign tit da lugng tit ha, véi a va a! lan lượt là toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứ nhất, ô và ôÌ lần lượt là toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứ hai X4
“Thực hiện đại sé Lie SU(1,1) ta thu được
[Ko, Ks] = gla + bib +1), abi]
+ ; {Ht alot + bat, ot] + ator obs lan}
Ta dat toán tử Ở như sau: ỉ=ẹ‡~ BRR +R) a + bth + 1)(ala + 6b + 1) — 3 biab + aba‘bt)
”% thy? - 1) qar- 1) trong đú A = õèọ — ễèŠ là giỏ trị riờng chỉ sự khỏc nhau giữa số photon của mode a vA mode 6, Nếu không cần tính tổng quát, chúng ta lấy giá trị riêng (g nguyên) để khẳng định Do vậy, trạng thái cơ sở cho một biểu diễn tối giản đơn vị được biết như là khẳng định chuỗi hữu hạn cho bởi tham số suy biến q gdm có nhóm trạng thái hai mode lita, fe) = |ủa) đ |ủ;), của dạng {|n + ạ,n),m = 0,1 }
‘Trang thai hai mode SU(1, 1) duge Perelomoy [29] định nghĩa như sau:
[Was = exp(ak, — a* K_)|4,0) = |4)ằ te SS (nq)? ra S5 S Để chứng minh công thức (2.13) ta thực hiện việc khai triển exp(aK’, — a* R_) theo cong thie Baker - Hausdorff, exp(ak, — a” K_) = exp(aK,) exp(—a” K_) exp( trong đó laẹ —a*ẹ-] = -oP[K., K_] = |a|°2Ẩ
= exp(aK, ~ a*K_) = exp(a,) exp(=a*-) exp(—|a|?ẹa), (2.14)
“Thay công thức (2.14) vào công thức (2.13) ta được
[Jas = exp(aK,) exp(—a"K_) exp(—lal?Ko)|g.0) (2.15)
'Thực hiện phép biển đổi ap SS (-la)2Ko)" eg(-lalffu).0) = 32 CD) 0)
+ lefei +BÄ+ĐP, lạ, - gà
—glaP ata + È + 1)la, 0) = —2|a[fl@'ala, 0) + lạ, 0) + |a,0)]
Suy ra exp(-lalPRao) = So Ealetla * + OF,
“Thay công thức (2:20) vào công thức (2.15) ta được la
=_exp(a;) esp(~a'-)exp[~3laP + )|lp0)
= lep(-lalĐ|##'exp(aẹ;)exp(=a*Ấ-)|ứ0) (2.21)
“Thực hiện phép biến đổi
= {14 (-orai + O& Ẻ + Ca ý a0, 62) trong đó —a*áBJq,0) = 0, [—a*â|*|q.0) = L arab) exp(—a" K_}|q.0) = |9.0), (2.23)
“Thay công thức (2.23) vào công thức (2.21) ta được
[Was = lexp(—lal?)] ¥ exp(ak’,)|¢,0) (2.24) Thue hiện phép biến đổi
- = (ak,)" ^ IaạtjtI" explak.)ia.0) = S2 GÁU 0p ~ S2 eh 0) no 0
= {1+aa'é! las 5Ÿ leat? ats at: }la.0), (2.25)
“Ta có aâlôJg,0) = avq+1vTlq+ 1,1), i = 5VA+1VA+5VTVB + 3,3) 2
2ằ [qzan -# + }` V8 + 3,3), vấtÿlÌn a" nyt ơơ nl mỊ ạ a [gem %g
Suy ra o ơ +n)! eôp(a#,)|a0) = 32a we lu+mn) — (997) m !
‘Thay cong thife (2.27) vào công thức (2.24) ta được
Wav = lexp(-lal?)* So sen
Sees fmt 0 l2 = [Lolaf+lBE~ ‘ x (3.28) trong d6 a = —@exp(—iig) va dat € = — tanh(6/2) exp(—ig); (8/2) =r với ỉ rất bộ Lấy gần đỳng ta được
` ye HƯ Em nại + gen), (339) Đây chính là hàm sóng đó được Perelomov tìm ra vào năm 1972
2.2 Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
“Trên cơ sở dựa vào trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) và định hai photon ia về trạng thái kết hợp them photon [7], bằng cách th tích vào h node a và b của trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) chúng tôi thu được trang thái hai mode kết hợp them hai photon tích SU(1, 1) có dạng như sau:
[Pan = Natbt eae = Nati" (1 — |g me , “gin anes
= Na-K “Lm [SFP] _ nhi x Vủ+q4+ 10+ TỊn +4 + 1vn + Da, (230) trong đó A/ là hệ số chuẩn hóa
Ap dung điều kiện chuẩn hóa để tìm hệ số chuẩn hóa V'
(n+ q+(ntIim+qt+)im4+)) x ao(mtq+1m+i[n+q4+1,n4 lav sa [lt
'Từ phương trình trạng thái hai mode kết hợp thê
SU(1,1), chúng tôi ti photon tích n hành khảo sát một số tính chất phi cổ điển của trạng thái này bao gồm: tính chất nén tổng; tính chất nén hiệu; tính chất nén bậc cao; tính chất phản kết chùm; sự vi phạm bắt đẳng thức Cauehy-Sehwarz; tính chất đan rối theo tiếu chuẩn Hillery-Zubairy,
‘Mancini Déng thd ching toi so sánh với các tính chất tương ứng của trang thái hai mode két hop SU(1, 1)
2.3 Khao sat tính chất nén tổng của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SỮ(1,1)
Nến tổng hai mode a va b ciia mot trang thái phi cổ điển đã được đưa ra bởi [HI], [18] Tham số nén tổng hai mode S đã được định nghĩa ở phương trình (1.47) có dạng
3 trong đó 2 = (e'9áfôÌ + e~194B)/2 là toán tử biên độ trực giao hai mode Điều kiện một trạng thái phi cổ điển hai mode a và b có nén tổng khi
[SEMEL cme x Vữn+q4+1)(m+T)(n+4+ 1)(n +1) x mm + 4+ 1,m + 1|ât8I |n + ạ + 1,n + 1),
2 ơ > [en