Hsg T7 - 024 - Đề_Đáp.án - Lương Phong.docx

TRƯỜNG THCS LƯƠNG TRƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) a) Tính 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 5 7 19 10 1 2 2 3 3 4 9 10 A   [.]

TRƯỜNG THCS LƯƠNG TRƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN TỐN LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,0 điểm) 19 A   2  2  2   2 10 2 3 10 a) Tính b) Tìm x; y; z biết 3x  y z  x y  3z   biết x  y  z  30 Bài 2: (4,5 điểm) M  x  30  x   x  2018 a) Tìm giá trị nhỏ b) Chứng minh abc37 bca37 cab37 Tìm n nguyên để c) A 4n  2n  có giá trị nguyên Bài 3: (4,5 điểm) x  x  x  x 1    a) Tìm x biết 2014 2015 2016 2017 b) Tìm x; y nguyên tố biết  x  1  x  1 2 y 2 c) Cho đa thức f ( x) a.x  bx  c Chứng minh f ( x ) nhận a c hai số đối Bài 4: (6,0 điểm) Cho ABC vuông cân  M  BC  Lấy D  nghiệm  A Tia AM tia phân giác BAC cạnh BC cho D nằm chiếu B , C lên đường thẳng AD Ch ? ng minh: B M Gọi h , I theo thứ tự hình 2 a) BH=AI BH  CI b) BHM c) AIM  IM phân giác HIC Bài 5: (1,0 điểm) Chứng minh số nguyên liên tiếp 2n  1; 2n ; 2n  khơng có số phương với n 1.3.5.7 2017 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN TỐN LỚP HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) 19 A   2  2  2   2 10 2 3 10 a) Tính b) Tìm x; y; z biết 3x  y z  x y  3z   biết x  y  z  30 Lời giải 19 A   2  2  2   2 10 2 3 10 a) 1 1  1  1                      10        10  1 1 1 1           10 2 3 10  1   1                 2  3   10 10  1 x  y z  x y  3z 12 x  y z  12 x y  z       0 16 16   b) 3x  y 0   2 z  x 0  4 y  3z 0 6 x  y 0(2)  2 z  x 0(3) 4 y  z 0(4) Mà x  y  z  30  x  y  15 z  90 (1) Lấy (1) trừ (2) ta được: y  15 z  90 hay y  3z  18 (5) Lấy (4) trừ với (5) ta được: y 18  y 6 Thay y 6 vào (4) (2) ta z 8; x 4 Vậy x 4; y 6; z 8 Bài 2: (4,5 điểm) M  x  30  x   x  2018 a) Tìm giá trị nhỏ b) Chứng minh abc37 bca37 cab37 c) Tìm n nguyên để A 4n  2n  có giá trị nguyên Trang Lời giải M  x  30  x   x  2018 a) x  30  x  2018  x  30   x  2018  x  30  x  2018 2048 Ta có: Mà x  0 Suy ra:  M  x  30  x   x  2018 2048 Vậy giá trị nhỏ M 2048 x 4 b) Chứng minh abc37 bca37 cab37 abc 37   100a  10b  c  37   1000a  100b  10c  37   1000a  999a  100b  10c  37 Vì 99937 Do đó:  bca 37 Mà abc  bca  cab 100a 10b  c  100b  10c  a  100c  10a  b 111(a  b  c ) 37 Vì abc37 bca37  cab37 c) Tìm n ngun để Ta có Vậy A A 4n  2n  có giá trị nguyên 4n  2.(2n  1)  7  2   Z   2n  1  U (7)  1; 7 2n  2n  2n  n  2n  7 1 2n n 6 3 0 n    3;0;1; 4 Bài 3: (4,5 điểm) x  x  x  x 1    a) Tìm x biết 2014 2015 2016 2017 b) Tìm x; y nguyên tố biết  x  1  x  1 2 y 2 c) Cho đa thức f ( x) a.x  bx  c Chứng minh f ( x ) nhận  nghiệm a c hai số đối Lời giải a) Ta có: x  x  x  x 1    2014 2015 2016 2017 Trang  x    x    x    x 1   1    1   1    1   2014   2015   2016   2017  x  2018 x  2018 x  2018 x  2018    0 2014 2015 2016 2017 1 1      0  2014 2015 2016 2017   x  2018  1 1    0 Vì 2014 2015 2016 2017  x  2018 0 x  2018 Vậy x  2018 b) Theo đề :  x  1  x  1 2 y Ta có: x   x  2 x số chẵn  x  1; x  chẵn lẻ 2 Mà y chẵn nên  x  1; x  chẵn  y chẵn  y số chẵn mà y nguyên tố  y 2 y 2 vào biểu thức  x  1  x  1 2 y ta được:  x  2.22  x 9 x  x 3 Vậy x 3; y 2 c) Cho đa thức f ( x) a.x  bx  c Chứng minh f ( x ) nhận  nghiệm a c hai số đối Vì nghiệm f ( x )  a  b  c 0(1) Vì  nghiệm f ( x )  a  b  c 0(2) Cộng vế với vế (1) (2) ta được: 2b 0  b 0 Thay b 0 vào (1) ta được: a  c 0  a  c Vậy a c hai số đối  Bài 4: (6,0 điểm) Cho ABC vuông cân A Tia AM tia phân giác BAC  M  BC  Lấy D cạnh BC cho D nằm B M Gọi h , I theo thứ tự hình chiếu B , C lên đường thẳng AD Ch ? ng minh: 2 a) BH=AI BH  CI b) BHM AIM Trang  c) IM phân giác HIC Lời giải a) ABC vuông cân A  AB  AC  Vì BH  AD H  BHA 90  Vì CI  AD I  CIA 90     Lại có: BHA  HAC 90 hay BHA  IAC 90 (1)   Mà AIC vuông I  ICA  IAC 90 (2)   Từ (2) (3)  BHA ICA Xét BHA AIC ta có:   BHA CIA 900 AB  AC   BHA ICA  BHA AIC (ch  gn)  BH  AI AH CI 2 2 Do vậy: BH  CI BH  AH  AB ( không đổi)  M  BC  b) Vì ABC vng cân A có AM tia phân giác BAC   AM đồng thời đường cao đường trung tuyến  AM  BC    AM BM    HDB 900 BHD vuông H  HBD Trang    DAM 900 ADM vuông M  MDA   MDA Mà HDB (đối đỉnh)   Suy ra:  HBD DAM Xét BHM AIM có: BM  AM   HBM IAM BH  AI  BHM AIM (c.g c)   IMA c) Vì BHM AIM  HM MI BMH 0     Mà IMA  BMI 90  BMH  BMI 90  450  HMI vuông cân M  HIM 0     Lại có: HIC 90  HIM MIC 45  IM tia phân giác HIC Bài 5: (1,0 điểm) Chứng minh số nguyên liên tiếp 2n  1; 2n ; 2n  khơng có số phương với n 1.3.5.7 2017 Lời giải Vì n 1.3.5.7 2017  2n 2.1.3.5.7 2017  2n2 mà 2n không chia hết cho  2n khơng số phương Vì 2n3  2n  chia dư  2n  khơng số phương Vì 2n2 mà 2n không chia hết cho  2n chia dư  2n  chia dư  2n  khơng số phương Vậy 2n  1; 2n ; 2n  khơng có số phương với n 1.3.5.7 2017 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang