Một số mô hình rủi ro trong bảo hiểm tai chinh

Một trong các vấn đề trọng tâm mà lý thuyết nàyquan tâm, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại Ruin Probability trong các mô hình rủi rovới thời gian liên tục hoặc rời rạc.. Bài báo

Một số mô hình rủi ro trong bảo hiểm tài chính

TS Nguyễn Huy Hoàng Đại học Tài chính – Marketing

Email: hoangtoancb@ufmedu.vn

Tóm tắt: Các hoạt động kinh tế muốn thu được lợi nhuận cần phải tiến hành đầu tư tài chính, tuy nhiên hoạt động đó có thể gặp rủi ro, dẫn đến thua lỗ hoặc phá sản Các công ty bảo hiểm mở ra nhằm mục đích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần cho chủ thể gặp rủi ro, nhưng ngay chính hoạt động bảo hiểm cũng là một hoạt động đầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa đựng sự rủi ro Việc đánh giá mức độ rủi ro và thời điểm xảy ra rủi ro là nhu cầu cấp thiết đòi hỏi cần được nghiên cứu và giải quyết để hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) đã được nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần đây, đặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, tài chính Một trong các vấn đề trọng tâm mà lý thuyết này quan tâm, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại ( Ruin Probability) trong các mô hình rủi ro với thời gian liên tục hoặc rời rạc Bài báo giới thiệu bài toán ước lượng xác suất thiệt hại trong một số mô hình rủi ro của bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên độc lập và một số hướng nghiên cứu

mở của chủ đề này.

Từ khóa: mô hình rủi ro(Risk model), xác suất thiệt hại( Ruin Probability), dãy

biến ngẫu nhiên độc lập(Independent random variables)

1 Giới thiệu

Trong những năm gần đây, ngành bảo hiểm và tài chính đã thực sự trở thành ngành kinh tế giữ vai trò trọng yếu, có tác dụng điều chỉnh và thúc đẩy mọi hoạt động của các ngành kinh tế khác và đã trở thành nơi tập trung của các ý tưởng xuất phát từ các lĩnh vực tri thức và ứng dụng thực tế khác nhau Hiện nay, chúng ta đang được chứng kiến sự cộng tác chặt chẽ giữa các nhà toán học, các nhà kinh tế và các nhà tài chính trong việc ứng dụng các thành tựu toán học hiện đại vào việc nghiên cứu các mô hình kinh tế, phân tích và tìm hiểu các quy luật chi phối các hoạt động kinh tế, từ đó có các đề xuất và giải pháp phù hợp với quy luật Đặc biệt trong mấy thập kỷ gần đây, các vấn đề của bảo hiểm, tài chính đã thu hút sự chú ý của các nhà toán học trong lĩnh vực lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Các ngành, nghề khi tham gia hoạt động kinh tế muốn thu được lợi nhuận cần phải tiến hành đầu tư tài chính, tuy nhiên hoạt động đó có thể gặp rủi ro, dẫn đến thua lỗ hoặc phá sản Các công ty bảo hiểm mở ra nhằm mục đích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần cho chủ thể gặp rủi ro, nhưng ngay chính hoạt động bảo hiểm cũng là một hoạt động đầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa đựng sự rủi ro Việc đánh giá mức độ rủi ro và thời điểm xảy ra rủi ro là nhu cầu cấp thiết đòi hỏi cần được nghiên cứu và giải quyết để hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) đã được nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần đây, đặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, tài chính Một trong các vấn đề trọng tâm mà lý thuyết này quan tâm, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại (hay xác suất phá sản - Ruin Probability) trong các mô hình rủi ro với thời gian liên tục hoặc rời rạc

Một công trình rất sớm của Lundberg, F (1903), trong một luận án tiến sỹ nổi tiếng ở Đại học Uppsala (Thụy điển), đã đưa đến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm Sau đó, Cramer, H và trường phái Stockholm đã phát triển các ý tưởng của Lundberg và đóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học Với các kết quả đó Cramer đã đóng góp một cách đáng kể vào cả

lý thuyết bảo hiểm, tài chính lẫn cả lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mô hình cơ bản đầu tiên trong số những đóng góp đó là mô hình Cramer – Lundberg

Đối với các mô hình rủi ro cổ điển, bài toán thường được nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên độc lập Chẳng hạn, như trong kết quả của Cramer – Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro với thời gian liên tục, dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần đòi trả liên tiếp, đều giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối Chủ đề này cũng được rất nhiều tác giả khác quan tâm, thể hiện trong các công trình nghiên cứu của nhiều nhà toán học có tên tuổi như: Asmussen [5], Buhlman, H [7], Cramer,H [12], Hipp, C.[13], Schmidli, H.[13], Paulsel, J.[19], …Ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại

có dạng hàm mũ

Ngoài ra còn có một loạt công trình nghiên cứu các mô hình rủi ro mở rộng, theo hướng có xét đến tác động của yếu tố lãi suất như: Cai, J.[8], [10], Dickson, D C M [10], Kluppelberg, C.[14], Stadtmuller, U.[14], Konstantinides, D G.[15], Tang, Q H

[23], Tsitsiashvili, G S.[15], Sundt, B.[22],Teugels, J.L [22], Yang, H.[26], [27], Zhang, L H.[29], Yuen, K C [29], Wang, G [29], …Phương pháp Martingale đã được

sử dụng để chứng minh

2 Một số nội dung cơ bản về rủi ro trong bảo hiểm tài chính

2.1 Bài toán thiệt hại đối với công ty bảo hiểm

Giả sử một công ty bảo hiểm phát hành một loại chứng từ bảo hiểm về một dịch

vụ tài chính nào đó Khách hàng là những người mua chứng từ đó Công ty bảo hiểm với

số vốn ban đầu là u 0 , thu được của khách hàng một số tiền mua bảo hiểm với phí suất

c 0 Tại mỗi thời điểm t, công ty phải trả một số tiền bảo hiểm tổng cộng là S(t) cho các khách hàng có nhu cầu đòi trả bảo hiểm Quỹ vốn của công ty bảo hiểm được xác định bởi

U(t) u c.t S(t)   (1) Quỹ vốn phải dương thì công ty mới có lãi, ngược lại nếu U(t) 0 , thì xảy ra sự cố “rủi ro” Thông thường đối với mô hình bài toán thiệt hại, người ta có các giả thiết sau đây

A Các số tiền đòi trả bảo hiểm X ,i 1i  là dãy các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối F với kỳ vọng hữu hạn là 

B Khoảng thời gian giữa hai lần đòi trả liên tiếp t ,i 1i   cũng là dãy các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối G với kỳ vọng hữu hạn và độc lập với dãy

 X ,i 1i  

C Số các yêu cầu đòi trả bảo hiểm trong khoảng thời gian (0, t],(quá trình đến của yêu cầu) được định nghĩa bởi

N(t) sup n 1,T  t , t 0 ,

và

n

i 1



 là thời điểm xảy ra yêu cầu đòi trả bảo hiểm,với quy ước

Sup  0

Khi đó,

 

 

N t i

i 1



biểu diễn tổng số tiền đòi trả bảo hiểm cho đến thời điểm t.

2.2 Xác suất thiệt hại (ruin probability)

Trong mô hình (1), xác suất thiệt hại với thời gian hữu hạn hoặc vô hạn được định nghĩa như sau

a Xác suất thiệt hại với thời gian hữu hạn ký hiệu là (u,T)được định nghĩa bởi

u,T P U(t) 0

   với một t nào đó T , 0 T  

ở đây ulà số vốn ban đầu, Tlà một thời điểm hữu hạn định trước.

b Xác suất thiệt hại với thời gian vô hạn ký hiệu là (u)được định nghĩa là

T

 

      (3)

c Thời điểm xảy ra thiệt hại (t)là một thời điểm dừng ngẫu nhiên được định nghĩa bởi

 T inf t :0 t T, U(t) 0 

     (4) (thời điểm đầu tiên mà quỹ vốn công ty trở nên âm hoặc bằng 0) với quy ước

inf   

2.3 Quá trình đến của yêu cầu (claim arrival processes)

Quá trình đến của yêu cầu là quá trình điểm N(t)(một quá trình ngẫu nhiên

 N(t), t 0  được gọi là là một quá trình điểm nếu N(t) biểu thị tổng số lần một biến cố nào đó xảy ra cho đến thời điểm t) Quá trình này có thể được mô tả qua các thời điểm yêu cầu đòi trả bảo hiểm T , n 1n  , hoặc cũng có thể được mô tả qua khoảng thời gian giữa hai lần đòi trả liên tiếp  t ,i 1i  Sau đây chúng ta sẽ nói về một vài quá trình điểm phổ biến nhất

1 Quá trình Poisson thuần nhất (Homogeneous Poisson process)

Quá trình điểm của yêu cầu phổ biến nhất là quá trình Poisson thuần nhất Khi đó các yêu cầu tới theo những thời điểm tuân theo quy luật Poisson

Quá trình ngẫu nhiên liên tục N(t) :t 0  là quá trình Poisson thuần nhất với cường độ  0 nếu:

i)  N(t) :t 0  là quá trình điểm

ii) Dãy thời gian đợi  t ,i 1i  là độc lập cùng phân phối và tuân theo phân phối

mũ với cường độ  0, có kỳ vọng bằng 1



2 Quá trình Poisson không thuần nhất (Non - Homogeneous Poisson process)

Quá trình Poisson không thuần nhất có thể coi là quá trình Poisson với biến cường độ là hàm phụ thuộc thời gian (t) Trường hợp đặc biệt nếu (t) là hằng số thì quá trình Poisson không thuần nhất sẽ trở thành quá trình Poisson thuần nhất

3 Quá trình Poisson phức hợp (Compound Poisson process)

Cho một quá trình Poisson N(t) với cường độ  0 Giả sử Y , Y , 1 2 là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và độc lập với quá trình Poisson N(t) Khi

đó quá trình ngẫu nhiên Z(t)định nghĩa bởi:

 

N t

k 1



Được gọi là quá trình Poisson phức hợp

Có hai cách biểu diễn quá trình Poisson phức hợp Ngoài cách biểu diễn như trên, quá trình Z(t) còn có thể được biểu diễn bởi

k 1



 



Trong đó k(0    1 2 )là các thời điểm có bước nhảy của N(t).

4 Quá trình đổi mới ( Renewal process)

Nếu dãy các biến ngẫu nhiên không âm   1, , 2  là độc lập, cùng phân phối, kì vọng chung hữu hạn thì quá trình đếm  N t :t 0    được gọi là quá trình đổi mới

Chú ý rằng, quá trình Poisson thuần nhất với thời gian chờ có phân phối mũ là một quá trình đổi mới

2.4 Phân loại bảo hiểm

Người ta quy ước phân loại các trường hợp bảo hiểm dẫn tới việc phải trả tiền bảo hiểm ra làm ba loại

- loại bình thường

- loại đặc biệt

- loại tai họa

Ký hiệu:F F(x) là hàm phân phối của số tiền đòi trả bảo hiểm và hàm F(x) 1 F(x) 

là đuôi của phân phối F

Để mô tả các biến cố thuộc loại bình thường, người ta dùng các phân phối có đuôi nhẹ, chẳng hạn một phân phối mũ

Người ta mô tả các biến cố bảo hiểm phải bồi thường lớn (loại đặc biệt và tai họa) bởi các phân phối với đuôi nặng, chẳng hạn

F x  1 F x  x ,  ( 0)

     (các phân phối pareto)

2.5 Giới thiệu về quá trình Martingale

2.5.1 Quá trình Martingale với thời gian rời rạc

Martingale bắt nguồn từ lý thuyết trò chơi và ngày nay đã trở thành mô hình toán quan trọng trong nghiên cứu thị trường tài chính, bảo hiểm và chứng

khoán Khi bắt đầu cuộc chơi, người chơi có vốn là X , thông tin ban đầu mà0

người chơi biết được là A0, ta có  X , A Sau khi chơi ván thứ nhất, vốn của0 0

người chơi sẽ là biến ngẫu nhiên X , và thông tin sau khi chơi một ván sẽ tăng lên1

Bằng cách đó, tiền vốn sẽ có sau ván thứ n là biến ngẫu nhiên X và thôngn

tin thu được lập thành dãy  X , A Về phương diện toán học, ta có thể xemn n

 An là dãy   trường không giảm X là biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào n An, tức là An  đo được

 Trò chơi được xem là không thiệt hại hoặc công bằng nếu trung bình có điều kiện (biết thông tin) vốn của ván sau bằng vốn của ván trước Theo ngôn ngữ xác suất thì điều này có nghĩa là:

E X  A  X ,

và X , A được gọi là Martingale.n n

 Trò chơi được xem là thiệt hại nếu trung bình có điều kiện vốn của ván sau bé hơn hay bằng vốn của ván trước Theo ngôn ngữ xác suất thì điều này có nghĩa là:

E X  A  X ,

và X , A được gọi là Martingale trên (Supper Martingale).n n

 Trò chơi được xem là có lợi nếu trung bình có điều kiện vốn của ván sau lớn hơn hay bằng vốn của ván trước Theo ngôn ngữ xác suất thì điều này có nghĩa là:

E X  A  X ,

và X , A được gọi là Martingale dưới (Sub Martingale).n n

Dĩ nhiên khi chơi, người chơi phải định ra một chiến lược để chơi: Tiếp tục chơi, bỏ thêm vốn, thôi không chơi nữa Chẳng hạn V là tiền đặt cược cho ván1

thứ nhất, rõ ràng V phải phụ thuộc vào thông tin 1 A0 Sau đó căn cứ vào thông tin

1

A thu được sau ván thứ nhất, người chơi đặt cược V cho ván thứ hai,…căn cứ2

vào thông tin An thu được sau ván thứ n, người chơi đặt cược Vn 1 cho ván chơi

thứ n 1 Theo ngôn ngữ xác suất thì điều này có nghĩa là: V là n An 1  đo được

và gọi  X ,n An 1  là dãy dự báo trước

Vì mục đích nào đó người chơi dừng cuộc chơi Thời gian lần đầu tiên người chơi đạt được mục đích đã định và ngừng chơi gọi là thời điểm dừng

- Nếu X ,n An, n 0,1, , N   là Martingale trên không âm, thì với mọi  0 ta có:

n N

 



   

2.5.2 Quá trình Martingale với thời gian liên tục

Trong phần này T được dùng để ký hiệu một khoảng nào đó của đường thẳng, chẳng hạn T0, Việc chuyển một số kết quả của quá trình ngẫu nhiên nói chung và của Martingale nói riêng từ trường hợp thời gian rời rạc lên trường hợp liên tục thường

- Làm tương tự như trường hợp rời rạc

- Dùng các kết quả đã có trong trường hợp rời rạc

Tuy nhiên chúng ta gặp phải nhiều khó khăn phức tạp vì trong nhiều vấn đề cần phải có điều kiện liên tục phải của họ   trường, và điều kiện liên tục phải của quá trình

2.5.3 Các ví dụ.

Ví dụ 1

Giả sử ( n , n  ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với n = 0, n   Khi đó các tổng riêng

Sn = 0 + … + n

là dãy martingale đối với n = (0,…,n) Thật vậy, do Sn-1  n-1 và tính độc lập của n với n-1, ta có

(Snn-1) = (Sn-1 + nn-1) = Sn-1 + n = Sn-1

Ví dụ 2.

Giả sử X là biến ngẫu nhiên nào đó có X < ∞ và { n , n  } là dãy -trường con không giảm của  Khi đó, dãy

Xn = (Xn)

là dãy martingale đối với n , n   Thật vậy, vì An-1  n ta có

Xn-1 = (Xn-1) = ((Xn)n-1) = (Xnn-1)

Ví dụ 3

Nếu X = {Xn , n , n  } là martingale và g là hàm lồi với g(Xn) < ∞,

n  thì {g(Xn), n , n  } là martingale dưới Thật vậy, theo bất đẳng thức Jensen với m ≤ n ta có

g(Xm) = g((Xnm)) ≤ (g(Xn)m)

Ví dụ 4.

Quá trình Wiener là Martingale, vì nó có giá số độc lập và kỳ vọng của gia

số bằng 0 Levy đã cho đặc trưng sau của quá trình Wiener:

Giả sử  W ,t At, t0,  là quá trình tương thích sao cho:

(i) Có quỹ đạo liên tục (với xác suất 1);

(ii) Là Martingale với W0 0 và

E X  X A  t s, s t Khi đó W là quá trình Wiener.t

Các tính chất

Đối với trường hợp thời gian liên tục ta cũng có kết quả tương tự như trường hợp rời rạc

(i) Nếu XX ,t At, t T  là Martingale, thì hàm trung bình EXt

không phụ thuộc t T

(ii) Nếu XX ,t At, t T  là Martingale dưới, thì hàm trung bình EXt

không giảm đối với t T

Thật vậy, với s t ta có:

(iii) Nếu X X ,t At, t T  là Martingale, thì hàm E Xt p,1 p   không giảm đối với t T

3 Một số mô hình rủi ro với dãy biến ngẫu nhiên độc lập

3.1.Mô hình rủi ro thời gian liên tục( Mô hình Đổi mới và mô hình Cramer – Lundberg)

Xét mô hình rủi ro (1) với các giả thiết

A Dãy biến ngẫu nhiên khoảng thời gian giữa hai lần đòi trả  t ,i 1i   được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng chung hữu hạn ;

B Dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm X ,i 1i  là dãy các biến ngẫu nhiên không

âm, độc lập, cùng phân phối với hàm phân phối xác suất là

F x P X x sao cho F(0) 0 và kỳ vọng chung hữu hạn là ;

C Hai dãy biến ngẫu nhiên  t ,i 1i   và X ,i 1i  là độc lập với nhau;

Khi đó mô hình (1) được gọi là mô hình đổi mới Đối với mô hình này chúng ta thu được kết quả

EU t  u c.t  .EN t (5) Nếu trong giả thiết A, dãy biến ngẫu nhiên khoảng thời gian giữa hai lần đòi trả

 t ,i 1i   được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối mũ

với kỳ vọng chung hữu hạn 1 1

Et 

, thì mô hình này được gọi là mô hình Cramer – Lundberg, và khi đó chúng ta có

 

EU t  u c.t    .t (6) Đối với mô hình Cramer – Lundberg, chúng ta có kết quả nổi tiếng về ước lượng xác suất thiệt hại

Định lý Cramer – Lundberg.

Giả sử các giả thiết của mô hình Cramer – Lundberg đã cho Khi đó tồn tại số

r R 0  thỏa mãn phương trình

 

rx 0

c







và xác suất thiệt hại thời gian hữu hạn cùng xác suất thiệt hại thời gian vô hạn được ước lượng như sau