Một trong các vấn đề trọng tâm mà lý thuyết nàyquan tâm, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại Ruin Probability trong các mô hình rủi rovới thời gian liên tục hoặc rời rạc.. Bài báo
TS.Nguyễn Huy Hoàng - Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài TS Nguyễn Huy Hồng Đại học Tài – Marketing Email: hoangtoancb@ufmedu.vn Tóm tắt: Các hoạt động kinh tế muốn thu lợi nhuận cần phải tiến hành đầu tư tài chính, nhiên hoạt động gặp rủi ro, dẫn đến thua lỗ phá sản Các cơng ty bảo hiểm mở nhằm mục đích chịu trách nhiệm chia sẻ phần cho chủ thể gặp rủi ro, hoạt động bảo hiểm hoạt động đầu tư tài nên thân chứa đựng rủi ro Việc đánh giá mức độ rủi ro thời điểm xảy rủi ro nhu cầu cấp thiết đòi hỏi cần nghiên cứu giải để hạn chế tối thiểu thiệt hại xảy Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) nghiên cứu rộng rãi thời gian gần đây, đặc biệt nghiên cứu rủi ro bảo hiểm, tài Một vấn đề trọng tâm mà lý thuyết quan tâm, toán ước lượng xác suất thiệt hại ( Ruin Probability) mơ hình rủi ro với thời gian liên tục rời rạc Bài báo giới thiệu toán ước lượng xác suất thiệt hại số mơ hình rủi ro bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên độc lập số hướng nghiên cứu mở chủ đề Từ khóa: mơ hình rủi ro(Risk model), xác suất thiệt hại( Ruin Probability), dãy biến ngẫu nhiên độc lập(Independent random variables) Giới thiệu Trong năm gần đây, ngành bảo hiểm tài thực trở thành ngành kinh tế giữ vai trị trọng yếu, có tác dụng điều chỉnh thúc đẩy hoạt động ngành kinh tế khác trở thành nơi tập trung ý tưởng xuất phát từ lĩnh vực tri thức ứng dụng thực tế khác Hiện nay, chứng kiến cộng tác chặt chẽ nhà toán học, nhà kinh tế nhà tài việc ứng dụng thành tựu toán học đại vào việc nghiên cứu mơ hình kinh tế, phân tích tìm hiểu quy luật chi phối hoạt động kinh tế, từ có đề xuất giải pháp phù hợp với quy luật Đặc biệt thập kỷ gần đây, vấn đề bảo hiểm, tài thu hút ý nhà toán học lĩnh vực lý thuyết xác suất thống kê tốn học Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài TS.Nguyễn Huy Hồng Các ngành, nghề tham gia hoạt động kinh tế muốn thu lợi nhuận cần phải tiến hành đầu tư tài chính, nhiên hoạt động gặp rủi ro, dẫn đến thua lỗ phá sản Các công ty bảo hiểm mở nhằm mục đích chịu trách nhiệm chia sẻ phần cho chủ thể gặp rủi ro, hoạt động bảo hiểm hoạt động đầu tư tài nên thân chứa đựng rủi ro Việc đánh giá mức độ rủi ro thời điểm xảy rủi ro nhu cầu cấp thiết đòi hỏi cần nghiên cứu giải để hạn chế tối thiểu thiệt hại xảy Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) nghiên cứu rộng rãi thời gian gần đây, đặc biệt nghiên cứu rủi ro bảo hiểm, tài Một vấn đề trọng tâm mà lý thuyết quan tâm, toán ước lượng xác suất thiệt hại (hay xác suất phá sản - Ruin Probability) mơ hình rủi ro với thời gian liên tục rời rạc Một công trình sớm Lundberg, F (1903), luận án tiến sỹ tiếng Đại học Uppsala (Thụy điển), đưa đến việc sáng lập lý thuyết rủi ro bảo hiểm Sau đó, Cramer, H trường phái Stockholm phát triển ý tưởng Lundberg đóng góp vào việc hình thành phát triển lý thuyết q trình ngẫu nhiên tốn học Với kết Cramer đóng góp cách đáng kể vào lý thuyết bảo hiểm, tài lẫn lý thuyết xác suất thống kê tốn học Mơ hình số đóng góp mơ hình Cramer – Lundberg Đối với mơ hình rủi ro cổ điển, toán thường nghiên cứu với giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên độc lập Chẳng hạn, kết Cramer – Lundberg ước lượng xác suất thiệt hại mơ hình rủi ro với thời gian liên tục, dãy số tiền đòi trả bảo hiểm, dãy thời gian hai lần đòi trả liên tiếp, giả thiết dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối Chủ đề nhiều tác giả khác quan tâm, thể cơng trình nghiên cứu nhiều nhà tốn học có tên tuổi như: Asmussen [5], Buhlman, H [7], Cramer,H [12], Hipp, C.[13], Schmidli, H.[13], Paulsel, J.[19], …Ước lượng cận cho xác suất thiệt hại có dạng hàm mũ Ngồi cịn có loạt cơng trình nghiên cứu mơ hình rủi ro mở rộng, theo hướng có xét đến tác động yếu tố lãi suất như: Cai, J.[8], [10], Dickson, D C M [10], Kluppelberg, C.[14], Stadtmuller, U.[14], Konstantinides, D G.[15], Tang, Q H Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài TS.Nguyễn Huy Hồng [23], Tsitsiashvili, G S.[15], Sundt, B.[22],Teugels, J.L [22], Yang, H.[26], [27], Zhang, L H.[29], Yuen, K C [29], Wang, G [29], …Phương pháp Martingale sử dụng để chứng minh Một số nội dung rủi ro bảo hiểm tài 2.1 Bài tốn thiệt hại cơng ty bảo hiểm Giả sử công ty bảo hiểm phát hành loại chứng từ bảo hiểm dịch vụ tài Khách hàng người mua chứng từ Cơng ty bảo hiểm với số vốn ban đầu u , thu khách hàng số tiền mua bảo hiểm với phí suất c Tại thời điểm t , công ty phải trả số tiền bảo hiểm tổng cộng S(t) cho khách hàng có nhu cầu địi trả bảo hiểm Quỹ vốn cơng ty bảo hiểm xác định U(t) u c.t S(t) (1) Quỹ vốn phải dương cơng ty có lãi, ngược lại U(t) , xảy cố “rủi ro” Thơng thường mơ hình tốn thiệt hại, người ta có giả thiết sau A Các số tiền đòi trả bảo hiểm Xi ,i 1 dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối F với kỳ vọng hữu hạn B Khoảng thời gian hai lần đòi trả liên tiếp t i ,i 1 dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối G với kỳ vọng hữu hạn độc lập với dãy Xi ,i 1 C Số yêu cầu đòi trả bảo hiểm khoảng thời gian (0, t] ,(quá trình đến yêu cầu) định nghĩa N(t) sup n 1,Tn t , t 0 , n Tn ti thời điểm xảy yêu cầu đòi trả bảo hiểm,với quy ước i 1 Sup Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài TS.Nguyễn Huy Hoàng Khi đó, N t S t Xi (2) i 1 biểu diễn tổng số tiền đòi trả bảo hiểm thời điểm t 2.2 Xác suất thiệt hại (ruin probability) Trong mơ hình (1), xác suất thiệt hại với thời gian hữu hạn vô hạn định nghĩa sau a Xác suất thiệt hại với thời gian hữu hạn ký hiệu (u,T) định nghĩa u,T P U(t) với t T , T u số vốn ban đầu, T thời điểm hữu hạn định trước b Xác suất thiệt hại với thời gian vô hạn ký hiệu (u) định nghĩa u u, lim u,T T (3) c Thời điểm xảy thiệt hại (t) thời điểm dừng ngẫu nhiên định nghĩa T inf t :0 t T, U(t) 0 (4) (thời điểm mà quỹ vốn công ty trở nên âm 0) với quy ước inf 2.3 Quá trình đến yêu cầu (claim arrival processes) Quá trình đến yêu cầu trình điểm N(t) (một trình ngẫu nhiên N(t), t 0 gọi là trình điểm N(t) biểu thị tổng số lần biến cố xảy thời điểm t ) Quá trình mơ tả qua thời điểm yêu cầu đòi trả bảo hiểm Tn , n 1 , mơ tả qua khoảng thời gian hai lần đòi trả liên tiếp t i ,i 1 Sau nói vài q trình điểm phổ biến Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài TS.Nguyễn Huy Hồng Quá trình Poisson (Homogeneous Poisson process) Quá trình điểm yêu cầu phổ biến q trình Poisson Khi u cầu tới theo thời điểm tuân theo quy luật Poisson Quá trình ngẫu nhiên liên tục N(t) :t 0 trình Poisson với cường độ nếu: i) N(t) :t 0 trình điểm ii) Dãy thời gian đợi t i ,i 1 độc lập phân phối tuân theo phân phối mũ với cường độ , có kỳ vọng Q trình Poisson khơng (Non - Homogeneous Poisson process) Q trình Poisson khơng coi trình Poisson với biến cường độ hàm phụ thuộc thời gian (t) Trường hợp đặc biệt (t) số trình Poisson khơng trở thành q trình Poisson Quá trình Poisson phức hợp (Compound Poisson process) Cho trình Poisson N(t) với cường độ Giả sử Y1 , Y2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối độc lập với trình Poisson N(t) Khi q trình ngẫu nhiên Z(t) định nghĩa bởi: N t Z t Y1 Y2 YN t Yk k 1 Được gọi trình Poisson phức hợp Có hai cách biểu diễn q trình Poisson phức hợp Ngồi cách biểu diễn trên, q trình Z(t) cịn biểu diễn Z t Yk1 t k 1 Một số mô hình rủi ro bảo hiểm tài k TS.Nguyễn Huy Hoàng Trong k (0 1 2 ) thời điểm có bước nhảy N(t) Quá trình đổi ( Renewal process) Nếu dãy biến ngẫu nhiên không âm 1 , 2 , độc lập, phân phối, kì vọng chung hữu hạn trình đếm N t :t 0 gọi trình đổi Chú ý rằng, trình Poisson với thời gian chờ có phân phối mũ q trình đổi 2.4 Phân loại bảo hiểm Người ta quy ước phân loại trường hợp bảo hiểm dẫn tới việc phải trả tiền bảo hiểm làm ba loại - loại bình thường - loại đặc biệt - loại tai họa Ký hiệu: F F(x) hàm phân phối số tiền đòi trả bảo hiểm hàm F(x) 1 F(x) đuôi phân phối F Để mơ tả biến cố thuộc loại bình thường, người ta dùng phân phối có nhẹ, chẳng hạn phân phối mũ F x F(x) e x , Người ta mô tả biến cố bảo hiểm phải bồi thường lớn (loại đặc biệt tai họa) phân phối với đuôi nặng, chẳng hạn F x 1 F x x , ( 0) (các phân phối pareto) 2.5 Giới thiệu trình Martingale 2.5.1 Quá trình Martingale với thời gian rời rạc Martingale bắt nguồn từ lý thuyết trò chơi ngày trở thành mơ hình tốn quan trọng nghiên cứu thị trường tài chính, bảo hiểm chứng Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài TS.Nguyễn Huy Hồng - khoán Khi bắt đầu chơi, người chơi có vốn X , thơng tin ban đầu mà người chơi biết A0 , ta có X , A0 Sau chơi ván thứ nhất, vốn người chơi biến ngẫu nhiên X1 , thông tin sau chơi ván tăng lên A0 A1 ,… Bằng cách đó, tiền vốn có sau ván thứ n biến ngẫu nhiên X n thông tin thu lập thành dãy X n , An Về phương diện tốn học, ta xem An dãy trường không giảm X n biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào An , tức An đo Trò chơi xem không thiệt hại công trung bình có điều kiện (biết thơng tin) vốn ván sau vốn ván trước Theo ngôn ngữ xác suất điều có nghĩa là: E X n 1 An Xn , X n , An gọi Martingale Trị chơi xem thiệt hại trung bình có điều kiện vốn ván sau bé hay vốn ván trước Theo ngôn ngữ xác suất điều có nghĩa là: E X n 1 An Xn , X n , An gọi Martingale (Supper Martingale) Trị chơi xem có lợi trung bình có điều kiện vốn ván sau lớn hay vốn ván trước Theo ngôn ngữ xác suất điều có nghĩa là: E X n 1 An Xn , Một số mô hình rủi ro bảo hiểm tài TS.Nguyễn Huy Hoàng - X n , An gọi Martingale (Sub Martingale) Dĩ nhiên chơi, người chơi phải định chiến lược để chơi: Tiếp tục chơi, bỏ thêm vốn, không chơi Chẳng hạn V1 tiền đặt cược cho ván thứ nhất, rõ ràng V1 phải phụ thuộc vào thơng tin A0 Sau vào thông tin A1 thu sau ván thứ nhất, người chơi đặt cược V2 cho ván thứ hai,…căn vào thông tin An thu sau ván thứ n, người chơi đặt cược Vn 1 cho ván chơi thứ n Theo ngôn ngữ xác suất điều có nghĩa là: Vn An đo gọi X n , An 1 dãy dự báo trước Vì mục đích người chơi dừng chơi Thời gian lần người chơi đạt mục đích định ngừng chơi gọi thời điểm dừng - Nếu X n , An , n 0,1, , N Martingale khơng âm, với ta có: P Max X n EX , P Sup X n nN EX N 0n N 2.5.2 Quá trình Martingale với thời gian liên tục Trong phần T dùng để ký hiệu khoảng đường thẳng, chẳng hạn T 0, Việc chuyển số kết q trình ngẫu nhiên nói chung Martingale nói riêng từ trường hợp thời gian rời rạc lên trường hợp liên tục thường - Làm tương tự trường hợp rời rạc - Dùng kết có trường hợp rời rạc Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài TS.Nguyễn Huy Hoàng - Tuy nhiên gặp phải nhiều khó khăn phức tạp nhiều vấn đề cần phải có điều kiện liên tục phải họ trường, điều kiện liên tục phải q trình 2.5.3 Các ví dụ Ví dụ Giả sử ( n , n ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập với n = 0, n Khi tổng riêng Sn = 0 + … + n dãy martingale n = (0,…,n) Thật vậy, Sn-1 n-1 tính độc lập n với n-1, ta có (Snn-1) = (Sn-1 + nn-1) = Sn-1 + n = Sn-1 Ví dụ Giả sử X biến ngẫu nhiên có X < ∞ { n , n } dãy trường khơng giảm Khi đó, dãy Xn = (Xn) dãy martingale n , n Thật vậy, An-1 n ta có Xn-1 = (Xn-1) = ((Xn)n-1) = (Xnn-1) Ví dụ Nếu X = {Xn , n , n } martingale g hàm lồi với g(Xn) < ∞, n thì {g(Xn), n , n } martingale Thật vậy, theo bất đẳng thức Jensen với m ≤ n ta có g(Xm) = g((Xnm)) ≤ (g(Xn)m) Ví dụ Q trình Wiener Martingale, có giá số độc lập kỳ vọng gia số Levy cho đặc trưng sau trình Wiener: Giả sử Wt , At , t 0, trình tương thích cho: (i) Có quỹ đạo liên tục (với xác suất 1); Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài TS.Nguyễn Huy Hồng - (ii) Là Martingale với W0 0 E X t Xs As t s, st Khi Wt q trình Wiener Các tính chất Đối với trường hợp thời gian liên tục ta có kết tương tự trường hợp rời rạc (i) Nếu X X t , At , t T Martingale, hàm trung bình EX t không phụ thuộc t T (ii) Nếu X X t , At , t T Martingale dưới, hàm trung bình EX t khơng giảm t T Thật vậy, với s t ta có: EXs (iii) E EX t As EX t p Nếu X X t , At , t T Martingale, hàm E X t ,1 p khơng giảm t T Một số mơ hình rủi ro với dãy biến ngẫu nhiên độc lập 3.1.Mơ hình rủi ro thời gian liên tục( Mơ hình Đổi mơ hình Cramer – Lundberg) Xét mơ hình rủi ro (1) với giả thiết Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài 10 TS.Nguyễn Huy Hoàng A Dãy biến ngẫu nhiên khoảng thời gian hai lần đòi trả t i ,i 1 giả thiết dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối với kỳ vọng chung hữu hạn ; B Dãy số tiền đòi trả bảo hiểm Xi ,i 1 dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối với hàm phân phối xác suất F x P X1 x cho F(0) 0 kỳ vọng chung hữu hạn ; C Hai dãy biến ngẫu nhiên t i ,i 1 Xi ,i 1 độc lập với nhau; Khi mơ hình (1) gọi mơ hình đổi Đối với mơ hình thu kết EU t u c.t .EN t (5) Nếu giả thiết A, dãy biến ngẫu nhiên khoảng thời gian hai lần đòi trả t i ,i 1 giả thiết dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối mũ với kỳ vọng chung hữu hạn Et1 , mơ hình gọi mơ hình Cramer – Lundberg, có EU t u c.t ..t (6) Đối với mơ hình Cramer – Lundberg, có kết tiếng ước lượng xác suất thiệt hại Định lý Cramer – Lundberg Giả sử giả thiết mơ hình Cramer – Lundberg cho Khi tồn số r R thỏa mãn phương trình rx e F x dx c xác suất thiệt hại thời gian hữu hạn xác suất thiệt hại thời gian vô hạn ước lượng sau Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài 11 TS.Nguyễn Huy Hồng - e Ru u,T (7) u lim u,T T e Ru (8) 3.2 Mơ hình rủi ro với thời gian rời rạc Trong mơ hình rủi ro với thời gian rời rạc, thời kỳ số tiền thu bảo hiểm X n , n 1 đòi trả bảo hiểm Yn , n 1 giả thiết dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập phân phối hai dãy biến ngẫu nhiên độc lập với Khi tài sản hãng bảo hiểm thời kì thứ n biến ngẫu nhiên sau n Un u Xi Yi , (9) i 1 U u , u số vốn ban đầu hãng bảo hiểm n Ta ký hiệu: Sn Yi Xi , i 1 xác suất thiệt hại đến thời kỳ thứ n định nghĩa n u n n P U k P Sk u k 1 k 1 xác suất thiệt hại (với thời gian vô hạn) u lim n u n P U n P Sn u n 1 n 1 (10) Giả sử tồn số R thoả mãn R YX E e 1 1, xác suất thiệt hại thoả mãn bất đẳng thức Lundberg u e R u Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài 12 TS.Nguyễn Huy Hồng Có thể xem chi tiết kết [26], Định lý (1.3) 3.3 Mơ hình rủi ro với thời gian rời rạc có tác động lãi suất Bây xét mơ hình (9), với giả thiết số tiền thu bảo hiểm X n , n 1 đòi trả bảo hiểm Yn , n 1 dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập phân phối hai dãy biến ngẫu nhiên độc lập với nhau, ngồi cịn có tác động yếu tố lãi suất Gọi U n thặng dư công ty bảo hiểm thời điểm n , r 0 lãi suất, giả thiết r lãi gộp số Ta có Un n n u r Xi r n n i 1 i1 Yi r n i (11) i 1 Đối với mơ hình này, xác suất thiệt hại định nghĩa sau u P U n 0 n n i P Yi r i1 n Xi r n i 1 i 1 n i P Yi r i1 n Xi r i 1 i 1 n u 1 r u , với n (12) Định lý 3.3 (xem [26]) Với giả thiết mơ hình (1.11) , giả sử tồn số R thỏa mãn E eR[Y(1r) 1 ] E e RX 1, (13) xác suất thiệt hại ước lượng u e Ru (14) 3.4 Mơ hình rủi ro với thời gian liên tục có tác động lãi suất Giới thiệu Trong phần này, xét mơ hình (1) với giả thiết dãy số tiền đòi trả bảo hiểm X n , n 1 biến ngẫu nhiên độc lập phân phối, ngồi cịn chịu tác động lãi suất với giả thiết lãi gộp liên tục với lãi suất , kí hiệu U (t) quĩ vốn công ty bảo hiểm đến thời điểm t: Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài 13 TS.Nguyễn Huy Hồng - U t t t u.e c.et dt S t e t u.e t c e t S t e t (15) với U (0) u Gọi inf t:U (t) 0 thời điểm xảy thiệt hại Khi xác suất thiệt hại định nghĩa sau: u P U (t) t 0 P Tuy nhiên rủi ro xảy vào thời điểm đòi trả bảo hiểm nên có: P U Tn P V Tn n 1 n 1 u ( 16) V (Tn ) U (Tn ).e Tn giá trị thời điểm U (Tn ) Bây xem xét biểu diễn chi tiết U (Tn ) V (Tn ) Với số có c t1 e X1 c U T1 et et X c t t t t u.e e X1e t X c U Tn et n et n X n n n c Tn Tn u.e e X k exp t i k 1 ik 1 U T1 u.et1 U T2 U Tn ( 17) (18) Do Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài 14 TS.Nguyễn Huy Hồng - U Tn e Tn V Tn k X exp k ti k 1 i1 n n t k c k 1 u 1 e X k e Tk k 1 c V Tn e Tn e Tn 1 X n 1e Tn 1 V Tn e Tn c e t n 1 X n 1e t n 1 u V Tn 1 n c e Tn (19) (20) với V (0) u vốn ban đầu cơng ty bảo hiểm Khi xác suất thiệt hại thời điểm thứ n xác định sau u, n n n P U Tk P V Tk k 1 k 1 n P Sk u k 1 ( 21) đây, n Sn X k e Tk k 1 n t k c e k 1 n X k e T k k 1 c e Tn ( 22) Do xác suất thiệt hại (với thời gian vô hạn) định nghĩa u lim u, n n ( 23) Kết mục định lý sau Định lý 3.4 (xem [10]) Nếu mơ hình rủi ro ( 15), dãy số tiền đòi trả bảo hiểm X n , n 1 dãy thời gian hai lần đòi trả bảo hiểm liên tiếp t n , n 1 dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập phân phối, kỳ vọng hữu hạn độc lập với Khi đó, giả sử R thỏa mãn điều kiện Ee R X1e t1 c 1 e t1 xác suất thiệt hại ( 23) ước lượng u Một số mô hình rủi ro bảo hiểm tài e R u (24) 15 TS.Nguyễn Huy Hoàng - Một số hướng nghiên cứu mở 4.1 Nghiên cứu mơ hình rủi ro với biến cố bảo hiểm phải bồi thường lớn (loại đặc biệt tai họa) Trong kết cổ điển chủ yếu nghiên cứu trường hợp đền bù nhỏ, số tiền đòi trả bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với phân phối nhẹ mũ, gamma…Nhu cầu thực tế địi hỏi phải nghiên cứu biến cố bảo hiểm phải bồi thường lớn (loại đặc biệt tai họa), số tiền đòi trả bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với phân phối đuôi nặng Có thể tham khảo báo [14] Kluppelberg, C and Stadtmuller, U (1998), Ruin Probabilities in the presence of heavy – tails and interest rates, Scandinavian Actuarial Journal, pp 49 – 58 [23] Tang Q (2004), The ruin probabilities of a discrete time risk model under constant interest rate with heavy tails, Scandinavian Actuarial Journal 2, pp 229 240 4.2 Nghiên cứu mơ hình rủi ro với dãy biến ngẫu nhiên độc lập không phân phối Thơng thường hãng bảo hiểm có nhiều sản phẩm bảo hiểm khác nhau, nên mô hinh rủi ro với dãy biến ngẫu nhiên độc lập không phân phối nhu cầu nghiên cứu cần thiết thực tế 4.3 Nghiên cứu mơ hình rủi ro với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Trong thực tế độ phức tạp ngày tăng sản phẩm bảo hiểm tái bảo hiểm, số đối tượng tham gia bảo hiểm ngày lớn nên địi hỏi mơ hình rủi ro có cấu trúc phụ thuộc Do đó, để phù hợp hướng nghiên cứu dành nhiều quan tâm nhà tốn học, mơ hình rủi ro với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Có thể kể hàng loạt kết có giá trị nhà tốn học, xét mơ hình với giả thiết dãy số tiền thu, địi trả bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc, dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa tự hồi quy cấp một, xích Markov Albrecher, H.[4], Cai, J.[9], [11], Dickson, D C M.[11], Muller, A.[17], Pfug, G.[17], Valdez, E A.[24], Mo, K.[24], Xu, L [25], Wang, R.[25], Yang, H.[27], Zhang, L H.[27],…hoặc mơ hình rủi ro bảo hiểm, thời gian liên tục rời Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài 16 TS.Nguyễn Huy Hoàng rạc với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc, theo nghĩa m – phụ thuộc Ngồi ra, mơ hình cịn xét tới tác động yếu tố lãi suất, với lãi suất số lãi suất dãy biến ngẫu nhiên (xem Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng [1] [2].) 4.4 Ước lượng cận cho xác suất thiệt hại dạng hàm mũ Thông thường ước lượng cận cho xác suất thiệt hại thường có dạng hàm mũ , hướng đặt sử dụng dạng hàm khác để ước lượng không? Nếu có khác biệt gi? Có thể tham khảo báo: [26] Yang, H (1999), Non-exponetial bounds for ruin probability with interest effect included, Scandinavian Actuarial Journal 1, pp 66 – 79 4.5 Xây dựng ví dụ số mơ cho mơ hình lý thuyết Để bước đưa mơ hình lý thuyết vào thực tế, cần xây dựng ví dụ số mơ cho mơ hình lý thuyết Có thể tham khảo báo: [30] Nguyễn Thị Thúy Hồng (2012), Ứng dụng phương pháp Monte – Carlo để tính xác suất phá sản bảo hiểm, Tạp chí ứng dụng Toán học, Tập X, số1, tr 35 – 52 Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài 17 TS.Nguyễn Huy Hồng - Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng (2008), Đánh giá xác suất thiệt hại trình rủi ro với gia số phụ thuộc, Tạp chí ứng dụng Tốn học, Tập VI, số1, tr 93 – 104 [2] Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng (2008), Ước lượng xác suất thiệt hại số mơ hình rủi ro, thời gian rời rạc với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc, Tạp chí ứng dụng Toán học, Tập VI, số 2, tr 49 – 64, [3] Trần Hùng Thao (2004), Nhập mơn Tốn học tài chính, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật, Hà Nội Tiếng Anh [4] Albrecher, H.(1998), Dependent risks and Ruin Probabilities in Insurance IIASA Interim Report, IR – 98 – 072 [5] Asmussen, S (2000), Ruin probabilities, World Scientific, Singapore [6] Bui Khoi Dam and Nguyen Huy Hoang (2010), Ruin Probabilities for sequences of dependent random variables with interest (submitted to Insurance: Mathematics and Economics) [7] Buhlman, H (1970), Mathematical Methods in Risk Theory, Berlin Heidelberg - New York Springer [8] Cai, J (2002), Discrete time risk models under rates of interest, Probability in the Engineering and Informational Sciences 16, pp 309 – 324 [9] Cai, J (2002), Ruin Probabilities with Dependent Rates of Interest, Journal of Applied Probability, 39, N0 2, pp 312 – 323 [10] Cai, J and Dickson, D C M (2003), Upper bounds for Ultimate Ruin Probabilities in the Sparre Andersen Model with Interest, Insurance: Mathematics and Economics 32, pp 61 - 71 Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài 18 TS.Nguyễn Huy Hoàng [11] Cai, J and Dickson, D C M (2004), Ruin Probabilities with a Markov chain interest model, Insurance: Mathematics and Economics 35, pp 513 - 525 [12] Cramér, H (1930), On the Mathematical Theory of Risk, Skandia Jubilee Volume, Stockholm [13] Hipp, C and Schmidli, H (2004), Asymptotics of ruin probabilities for controlled risk processes in the small claim case, Scandinavian Actuarial Journal, pp 321 – 335 [14] Kluppelberg, C and Stadtmuller, U (1998), Ruin Probabilities in the presence of heavy – tails and interest rates, Scandinavian Actuarial Journal, pp 49 – 58 [15] Konstantinides, D G., Tang, Q H and Tsitsiashvili, G S (2002), Two – sided bounds for ruin probability under constant interest force, Journal of Mathematical Sciences, Vol 123, N0 1, pp 3824 – 3833 [16] Ma, J and Sun, X (2003), Ruin probabilities for insurance models involving investments, Scandinavian Actuarial Journal, pp 217 – 237 [17] Muller, A and Pfug, G (2001), Asymptotic ruin probabilities for risk processes with dependent increments, Insurance: Mathematics and Economics, 728, pp – 12 [18] Paulsel, J (2002), On Cramer – like asymptotics for risk processes with stochastic return on investment, The Annals of Applied Probability, Vol.12, N 4, pp 1247 – 1260 [19] Promislow, S D (1991), The Probability of ruin in a process with dependent increments, Insurance: Mathematics and Economics 10, pp 99 – 107 [20] Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., and Teugels, J.L (1999), Stochastic Processes for Insurance and Finance, John Wiley, Chichester [21] Schmidli, H (2004), Asymptotics of ruin probabilities for risk processes under optimal reinsurance and investmen policies: The large claim case, Queueing Systems 46, pp 149 – 157 Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài 19 TS.Nguyễn Huy Hồng [22] Sundt, B and Teugels, J.L (1995), Ruin estimates under interest force, Insurance: Mathematics and Economics 16, pp – 22 [23] Tang Q (2004), The ruin probabilities of a discrete time risk model under constant interest rate with heavy tails, Scandinavian Actuarial Journal 2, pp 229 240 [24] Valdez, E A and Mo, K (2002), Ruin probabilities with Dependent Claims, working paper, The University of New South Wales [25] Xu, L and Wang, R (2006), Upper bounds for ruin probabilities in an autoregressive risk model with Markov chain interest rate, Journal of Industrial and Management optimization, Vol N0 2, pp 165 – 175 [26] Yang, H (1999), Non-exponetial bounds for ruin probability with interest effect included, Scandinavian Actuarial Journal 1, pp 66 – 79 [27] Yang, H and Zhang, L H (2003), Martinganle method for ruin probability in an autoregressive model with constant interest rate, Probability in the Engineering and Informational Sciences 17, pp 183 – 198 [28] Yang, H and Zhang, L H (2006), Ruin problems for a discrete time risk model with random interest rate, Mathematical Method of Operations Research 63, pp 287 – 299 [29] Yuen, K C., Wang, G.(2005), Some Ruin problems for a risk processes with stochastic interest, North American Actuarial Journal, 9, pp 129 – 142 [30] Nguyễn Thị Thúy Hồng (2012), Ứng dụng phương pháp Monte – Carlo để tính xác suất phá sản bảo hiểm, Tạp chí ứng dụng Tốn học, Tập X, số1, tr 35 – 52 Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài 20