Nghiên ứu phương pháp loại trừ nhiều ảnh bằng bộ đánh giá wavelet bình phương tối thiểu

Morlet đặt ra vấn đề đối với biến đổi Fourier nhanh STFT Short Time Fourier Transform, đó là tăng cường độ phân giải thời gian cho các thành phần tần số cao thời gian ngắn và tăng độ phâ

-  -

Nguyễn Văn Chinh

NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP LOẠ I TR NHI U NH B NG Ừ Ễ Ả Ằ

B Ộ ĐÁNH GIÁ WAVELET BÌNH PHƯƠNG TỐ I THI U Ể

Chuyên ngành: K ỹ thu ậ t T ruyề n thông

LUẬN VĂN THẠ C SĨ KHOA H Ọ C

K ỹ thuật Truyền thông

NGƯỜ I HƯ NG DẪN KHOA HỌC: Ớ

PGS.TS Nguyễn Hữu Trung

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này được hoàn thành sau một thời gian nghiên cứu và tìm hiểu các nguồn tài liệu đã học, sách báo chuyên ngành cũng như các thông tin trên Internet mà theo tôi là hoàn toàn tin cậy Tôi xin cam đoan luận văn này là do chính tay tôi thực hiện dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Hữu Trung

Hà Nội, ngày 6 tháng 5 năm 2013

Người thực hiện

Nguyễn Văn Chinh

LỜI MỞ ĐẦU

Cuộc sống càng phát triển thì nhu cầu thông tin của con người càng phong phú, dẫn đến sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật, các loại hình thông tin vô tuyến, các hình thức xử lý tín hiệu, đặc biệt là công nghệ xử lý ảnh Vấn đề này đặt ra yêu cầu ngày càng cao trong việc xử lý tín hiệu, mà cụ thể là việc khử nhiễu tín hiệu, đó là đảm bảo loại trừ nhiễu tín hiệu tốt, có khả năng khôi phục lại được tín hiệu với chất lượng tốt hơn, và đồng thời giữ lại những đặc điểm quan trọng của tín hiệu

Có rất nhiều phương pháp xử lý tín hiệu với rất nhiều thuật toán, biến đổi toán học đã được nghiên cứu Trong số đó, biến đổi Wavelet hiện nay đang được xem là một phép biến đổi mới, có rất nhiều tiềm năng, đang phát triển khá mạnh mẽ với các

ưu điểm vượt trội so với các phép biến đổi truyền thống Wavelet cho phép phân tích tín hiệu cả trong miền thời gian và tần số Do đó, hiện nay biến đổi Wavelet đang được ứng dụng khá rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, từ xử lý tín hiệu y sinh tới công nghệ xử lý ảnh

Trong khuôn khổ của luận văn “ Nghiên cứu phương pháp loại trừ nhiễu ảnh

bằng bộ đánh giá Wavelet bình phương tối thiểu” em xin phép trình bày những vấn

đề cơ bản của phép biến đổi Wavelet và ứng dụng của biến đổi này trong lĩnh vực khử nhiễu ảnh kỹ thuật số Nghiên cứu chỉ ra tầm quan trọng cũng như ưu điểm của việc xử

lý nhiễu ảnh sử dụng phép biến đổi Wavelet Các kết quả thực nghiệm trong việc loại trừ nhiễu đối với một số ảnh khác nhau

Trong quá trình thực hiện luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót, em mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của thầy cô giáo, các bạn để đồ án được hoàn thiện

và mang tính thực tế hơn

Qua lời mở đầu, em xin được gửi lời trân trọng cảm ơn PGS.TS Nguyễn Hữu Trung và PGS.TS Nguyễn Thuý Anh đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 1

LỜI MỞ ĐẦU 2

MỤC LỤC 4

DANH MỤC HÌNH VẼ 7

DANH MỤC BẢNG BIỂU 9

DANH SÁCH CÁC TỪ VIẾT TẮT 10

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU 11

1.1 Gi i thi u chung 11ớ ệ 1.1.1 Các công cụ phân tích thời gian – tần số 13

1.1.2 Độ phân giải thời gian và tần số 13

1.2.Tổ chức luận văn 15

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT WAVELET 16

2.1.Lịch sử hình thành lý thuyết Wavelet 16

2.1.1 Trước 1930 16

2.1.2 Những năm 1930 17

2.1.3 Những năm 1960 đến 1980 18

2.1.4 Cuối những năm 1980 18

2.2.Từ biến đổi Fourier đến biến đổi Wavelet 18

2.2.1 Biến đổi Fourier 18

2.2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn 19

2.2.3 Độ phân giải tín hiệu và nguyên lý bất định 21

2.2.4 Biến đổi Wavelet 23

2.2.5 So sánh các biến đổi 26

2.3.Các biến đổi Wavelet 28

2.3.1 Biến đổi Wavelet liên tục 28

2.3.2 Biến đổi Wavelet bán rời rạc 36

2.3.3 Biến đổi Wavelet rời rạc 36

2.4.Phân tích đa phân giải và thuật toán DWT nhanh 40

2.4.1 Phân tích đa phân giải 40

2.4.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc 43

2.4.3 Biểu diễn ma trận DWT 49

2.4.4 Đặc điểm băng lọc Wavelet 53

2.5.Phân tích gói Wavelet 54

2.5.1 Nguyên tử gói Wavelet 56

2.5.2 Phân tích đa phân giải và gói Wavelet 57

2.5.3 Lựa chọn phân tích tối ưu 58

2.6.Ưu điểm của Wavelet và ứng dụng 59

2.6.1 Ưu điểm của Wavelet 59

2.6.2 Ứng dụng nổi bật của Wavelet 60

2.7.Giới thiệu một số họ Wavelet 61

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG KHỬ NHIỄU ẢNH BẰNG BỘ ĐÁNH GIÁ WAVELET

BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU 64

3.1.Các mô hình thống kê ảnh và khử nhiễu 64

3.1.1 Đặc tính ảnh không Gauss 64

3.1.2 Mô hình thay đổi thích nghi 66

3.1.3 Khử nhiễu Bayes dùng mô hình thay đổi thích nghi 67

3.2.Mô hình xác suất ảnh 69

3.2.1 Hỗn hợp tỷ lệ Gauss 69

3.2.2 Mô hình GSM của các hệ số Wavelet 71

3.2.3 Mật độ nhân tử ưu tiên 71

3.3.Khử nhiễu ảnh 74

3.3.1 Ước lượng bình phương tối thiểu Bayes 75

3.3.2 Ước lượng Wien cục bộ 75

3.3.3 Phân bố sau của nhân tử 77

CHƯƠNG 4: MÔ PHỎNG VÀ KẾT LUẬN 79

4.1.Giới thiệu về chương trình mô phỏng 79

4.1.1 Giới thiệu chung 79

4.1.2 Mô phỏng theo thuật toán đề xuất 79

4.2.Kết quả mô phỏng 82

4.3.Nhận xét kết quả mô phỏng đã thu được 85

4.4.Kết luận và hướng nghiên cứu tiếp theo 85

4.4.1 Những kết luận chính của luận văn 85

4.4.2 Hướng nghiên cứu tiếp theo 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO 88

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 2.1 Biến đổi Fourier 19

Hình 2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn 20

Hình 2.3 Biến đổi Wavelet 24

Hình 2.4 Mô tả các miền biến đổi của tín hiệu 25

Hình 2.5 Sóng sin và wavelet 25

Hình 2.6 Sự khác biệt nền tảng của các biến đổi (a) Phần thực cơ sở của biến đổi Fourier, ejwt (b) Cơ sở của tần số khác, ej wt4 (c) Cơ sở của STFT, sử dụng cửa sổ Gaussian σ=1 Đó là 2 2 t e ej t (d) Cơ sở cho tần số khác, 2 2 t e ej4 t e) Hàm wavelet mẹ và (f) s=4 27

Hình 2.7 Các thành phần sóng sin với các tần số khác nhau 28

Hình 2.8 Các thành phần wavelet tương ứng với các tỷ lệ và vị trí khác nhau 30

Hình 2.9 Biểu diễn Wavelet Morlet 35

Hình 2.10 Wavelet Haar 40

Hình 2.12 Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con 45

Hình 2.13 Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử 48

Hình 2.14 Băng lọc hai kênh 49

Hình 2.15 Phân tích gói wavelet sử dụng các ký hiệu toán tử 55

Hình 2.16 So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian - tần số của Wavelet vàgói Wavelet 56

Hình 2.17 Các nguyên tử gói Wavelet sinh ra từ Wavelet Daubechies 2 57

Hình 2.18 Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2 (e) Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat 62

Hình 3.1 So sánh thống kê hệ số giữa một băng con ảnh và mô phỏng một mô hình GSM cục bộ 68

Hình 4.1 Ảnh gốc ban đầu 80

Hình 4.2 Ảnh bị nhiễu 81 Hình 4.3 Ảnh sau khi khử nhiễu 82 Hình 4.4 Kết quả khử nhiễu bằng các phương pháp khác nhau 84

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 4.1 Hiệu quả khử nhiễu biểu diễn bằng chỉ số PSNR 83Bảng 4.2 Hiệu quả khử nhiễu của các phương pháp biểu diễn bằng chỉ số PSNR 85

CWT : Continuos Wavelet Transform

SWT : Semidiscrete Wavelet Transform

DWT : Descrete Wavelet Transform

MRA : Multiresolusion Analysis

FIR : Finite-Impulse Response

CMF : Conjugate Mirror Filters

WSD : Wavelet Shrinkage Denoising

ARCH : Autoregressive Conditional Heteroskedastic

LLS : Linear Least Squares

ML : Maximum Likelihood

GSM : Gaussian Scale Mixture

PSNR : Peak Signal Noise Ratio

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU

1.1 Giới thiệu chung

Xử lý tín hiệu một lĩnh vực được bắt nguồn từ thế kỷ 17, thế kỷ 18 từ toán học Ngày nay xử lý tín hiệu đã trở thành một công cụ quan trong trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ Phạm vi ứng dụng các kỹ thuật xử lý tín hiệu bao trùm tất cả các lĩnh vực ứng dụng từ phân tích dữ liệu đến nén tín hiệu Một trong những công cụ mới và rất mạnh trong lĩnh vực xử lý tín hiệu đó là phép biến đổi Wavelet

Mặc dù lý thuyết về biến đổi Wavelet hiện đại chính thức được phát triển khoảng hai mươi năm gần đây, tuy nhiên nguồn gốc ý tưởng về biến đổi Wavelet đã xuất hiện từ trước đó rất lâu Nguồn gốc của lý thuyết Wavelet hiện đại bắt nguồn từ cuối những năm 1970 và 1980 Ban đầu J Morlet đặt ra vấn đề đối với biến đổi Fourier nhanh STFT (Short Time Fourier Transform), đó là tăng cường độ phân giải thời gian cho các thành phần tần số cao thời gian ngắn và tăng độ phân giải tần số cho các thành phần tần số thấp hơn Tuy nhiên với biến đổi STFT, độ phân giải thời gian và độ phân giải tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg, khi độ phân giải tần số đạt được tốt thì phải hy sinh độ phân giải thời gian và ngược lại muốn có độ phân giải thời gian tốt thì độ phân giải tần số sẽ kém đi Để giải quyết vấn đề này, J.Morlet đã đưa ra

ý tưởng về các hàm biến đổi: xây dựng hàm cửa sổ sóng cosin và áp cửa sổ này lên trục thời gian để thu được hàm tần số cao hơn, hay trải hàm này ra để thu được hàm tần số thấp hơn Để theo dõi toàn bộ thay đổi của tín hiệu theo thời gian, các hàm này được dịch theo thời gian

Phân tích Wavelet dựa trên một ý tưởng tuyệt vời: tín hiệu được khai triển trên một tập hợp của các hàm được giãn hay nén (hàm Wavelet mẹ _mother Wavelet)

Hiện nay biến đổi Wavelet là vấn đề đang được nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới quan tâm nghiên cứu Biến đổi Wavelet ngày càng chứng tỏ khả năng ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thiên văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh, âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, dự báo động đất, radar, và

các ứng dụng thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân từng phần (partial differential equation)

Lý thuyết Wavelet được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật y sinh kể từ khi nghiên cứu về Wavelet đầu tiên được công bố chính thức vào cuối những năm 1980 Tạp chí đầu tiên về Wavelet trong kỹ thuật y sinh được phát hành vào tháng ba năm

1995, công bố những nghiên cứu về tín hiệu EMG, EEG, và ECG,…cho thấy ưu thế ứng dụng của Wavelet trong những lĩnh vực mà các công cụ phân tích truyền thống không thể áp dụng tốt Nhờ kỹ thuật này mà độ chính xác, độ tin cậy của các hệ chẩn đoán ứng dụng trí tuệ nhân tạo ngày càng được nâng cao

1.1.1 Các công cụ phân tích thời gian – tần số

Phân tích thời gian-tần số truyền thống được thực hiện nhờ biến đổi Fourier Các phương pháp phân tích thời gian-tần số phổ biến nhất hiện nay là biến đổi STFT

và biến đổi Wavelet

Biến đổi STFT khắc phục được những hạn chế của biến đổi Fourier Tín hiệu

(t) ban đầu được nhân với hàm cửa sổwt , sau đó thực hiện biến đổi Fourier

truyền thống Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ: cửa

sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại Một ví dụ điển hình của hàm cửa sổ Gaussian được đưa ra bởi Gabor 1946

Biến đổi Wavelet liên tục sử dụng sự dịch (shift) và tỷ lệ (scale) (giãn ra hay co vào) của hàm nguyên mẫu đầu tiên  t Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với những độ phân giải khác nhau Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp

1.1.2 Độ phân giải thời gian và tần số

Trong bất kỳ ứng dụng xử lý tín hiệu nào, độ phân giải thời gian-tần số là một vấn

đề quan trọng cần quan tâm Các phương pháp miền tín hiệu yêu cầu một mức định vị cao theo thời gian trong khi các phương pháp miền tần số yêu cầu mức định vị cao theo tần số Điều đó dẫn đến vấn đề thoả hiệp giữa độ phân giải thời gian và độ phân giải tần số

Khái niệm về sự định vị của hàm cơ bản thường dựa trên cơ sở một diện tích bao phủ nào đó trong mặt phẳng thời gian-tần số của hàm đó Diện tích cơ bản trong

mặt phẳng được gọi là ‘ô ngói’ (tile) Trong trường hợp lý tưởng, ô ngói là một cửa sổ hình chữ nhật nhỏ tập trung trong mặt phẳng thời gian-tần số

Để tập trung ô ngói trong mặt phẳng thời gian-tần số, các biến đổi sử dụng cho biểu diễn thời gian-tần số sử dụng các hàm cơ bản như là dịch theo thời gian và lấy tỷ

lệ Rõ ràng dịch theo thời gian bởi dẫn đến sự dịch ô ngói theo qua trục thời gian  

Tương tự như vậy, nhân với ejw S t dẫn đến dịch ô ngói bởi wS Ngoài ra, cần chú ỷ rằng hình dạng của ô ngói không hoàn toàn là hình chữ nhật lý tưởng hay không có kích thước hẹp vô hạn Hình dạng thực của ô ngói được xác định bởi hàm cơ sở được sử dụng cho khai triển

Giả thiết tín hiệu f t tập trung quanh t0 với phổ tần số F(w) tập trung quanh

w0, t biểu diễn độ phân giải thời gian của f t , w là độ phân giải tần số của F(w)

0

2

2

11

 (1.3)

với E là năng lượng của tín hiệu Độ phân giải thời gian và tần số liên hệ theo nguyên

lý bất định Heisenberg Nguyên lý này thiết lập một giới hạn cho độ phân giải thời gian

và tần số được biểu diễn bởi tích tw Nếu f t phân rã nhanh hơn 1/ t khi t

thì nguyên lý bất định khẳng định:

2

1

2 2





t w (1.4)

1.2 Tổ chức luận văn

Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu về lý thuyết Wavelet, đưa ra các đặc điểm chi tiết của Wavelet và ứng dụng của Wavelet, nhấn mạnh ứng dụng của Wavelet trong khử nhiễu ảnh

Dựa trên những mục tiêu đặt ra với đề tài Nghiên cứu phương pháp loại trừ

nhiễu ảnh bằng bộ đánh giá Wavelet bình phương tối thiểu, luận văn của em có cấu

trúc như sau:

Chương 1: Giới thiệu

Giới thiệu chung một số khái niệm trong luận văn, trình bày mục đích, nội dung và những yêu cầu đặt ra trong luận văn

Chương 2: Lý thuyết Wavelet

Trình bày cơ sở của lý thuyết Wavelet, những đặc điểm quan trọng của các dạng Wavelet khác nhau Giới thiệu những ưu điểm và ứng dụng của Wavelet

Chương 3: Ứng dụng khử nhiễu ảnh bằng bộ dánh giá Wavelet bình phương tối thiểu

Trình bày cơ sở lý thuyết mô hình hóa và thống kê ảnh, các phương pháp ước lượng, các thông số kỹ thuật và thuật toán khử nhiễu ảnh bằng bộ đánh giá Wavelet bình phương tối thiểu

Chương 4: Mô phỏng và kết luận

Thực hiện mô phỏng khử nhiễu ảnh được viết bằng Matlab, đưa ra các kết quả mô phỏng, phân tích các kết quả thu được và kết luận

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT WAVELET

2.1 Lịch sử hình thành lý thuyết Wavelet

Trong lịch sử toán học, trong một thời gian dài nhiều ý tưởng về biến đổi Wavelet đã được giới thiệu, đưa ra nhiều nguồn gốc khác nhau về giải tích Wavelet Hầu hết các nghiên cứu về Wavelet được thực hiện vào những năm 1930, tuy nhiên ở thời điểm đó, các nỗ lực riêng biệt đã không đưa ra được một lý thuyết chặt chẽ, thống nhất

2.1.1 Trước 1930

Trước 1930, một nhánh chính của toán học nghiên cứu về Wavelet ban đầu với Joseph Fourier (1807) và lý thuyết của ông về giải tích tần số, hiện nay thường được nhắc đến với biến đổi Fourier (FT)







1

k

k

k kx b kx a

2

1

dx x f

2 0

)(

1

dx kx x

f

Sau 1807, cùng với sự khám phá ra ý nghĩa của các hàm, sự hội tụ dãy Fourier,

và các hệ thống trực giao, các nhà toán học dần đi từ khái niệm giải tích tần số tới khái niệm giải tích tỷ lệ Đó là, phân tích f(x) bằng cách tạo ra các cấu trúc toán học thay đổi

tỷ lệ Làm như sau, xây dựng một hàm, dịch nó đi một lượng , và thay đổi tỷ lệ của nó

Áp dụng cấu trúc đó vào xấp xỉ một tín hiệu Bây giờ lặp lại các thủ tục đó Giữ cấu trúc cơ bản đó, dịch nó và thay đổi tỷ lệ của nó một lần nữa Áp dụng nó với cùng một

tín hiệu để thu được một xấp xỉ mới Người ta nhận ra rằng, dạng phân tích tỷ lệ ít nhạy cảm với nhiễu vì phân tích tỷ lệ tính sự biến đổi trung bình của tín hiệu ở các tỷ lệ khác nhau

Khái niệm Wavelet xuất hiện đầu tiên trong phụ lục lý thuyết của A Haar (1909) Wavelet Haar triệt tiêu bên ngoài một khoảng hữu hạn Và Wavelet Haar không khả vi liên tục, điều này làm hạn chế các ứng dụng của Wavelet Haar

    =ă ượ ∫|( )| (2.3) Các tính toán đưa đến các kết quả khác nhau nếu năng lượng tập trung xung quanh một vài điểm hoặc phân tán trong một khoảng thời gian lớn hơn Kết quả này làm các nhà khoa học lúng túng vì nó chỉ ra rằng năng lượng có thể không được bảo toàn Các nhà nghiên cứu đã phát hiện ra một hàm có thể thay đổi theo tỷ lệ và có thể bảo toàn năng lượng hàm Và David Marr đã đưa ra một thuật toán hiệu quả cho xử lý ảnh số sử dụng Wavelet

2.1.3 Những năm 1960 đến 1980

Từ năm 1960 đến 1980, các nhà toán học Guido Weiss và Ronald R.Coifman đã nghiên cứu các phần tử đơn giản nhất của không gian hàm, gọi là nguyên tử, với mục đích tìm ra các nguyên tử cho hàm chung và tìm ra quy tắc tập hợp cho phép tái xây dựng các yếu tố của không gian hàm sử dụng các nguyên tử Năm 1980, Grossman và Morlet, một nhà vật lý và một kỹ sư, đã định nghĩa chung Wavelets trong lĩnh vực vật

lý lượng tử Hai nhà nghiên cứu này đã đưa ra một cách quan niệm Wavelet dựa trên

cơ sở vật lý

2.1.4 Cuối những năm 1980

Năm 1985, Stephane Mallat đã tạo ra một bước nhảy vọt trong nghiên cứu Wavelet với các công trình nghiên cứu trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số Stephane Mallat đã khám phá ra mối liên hệ giữa các bộ lọc gương cầu phương, các thuật toán hình chóp, và các cơ sở Wavelet trực chuẩn Dựa trên những kết quả này, Y.Meyer đã xây dựng Wavelet Y.Meyer Khác với Wavelet Haar, Wavelet Meyer là khả vi liên tục Sau đó một vài năm, Ingrid Daubechies đã ứng dụng các nghiên cứu của Mallat để xây dựng một tập hợp các hàm cơ sở trực chuẩn Wavelet, là cơ sở cho các ứng dụng

Wavelet ngày nay

2.2 Từ biến đổi Fourier đến biến đổi Wavelet

2.2.1 Biến đổi Fourier

Từ trước tới nay có nhiều phương pháp phân tích tín hiệu Được biết đến nhiều nhất là phân tích Fourier, trên cơ sở phân tích một tín hiệu thành tổng của các hàm sin với các tần số khác nhau Nói cách khác, phân tích Fourier là kỹ thuật biến đổi tín hiệu

từ miền thời gian sang miền tần số Với nhiều tín hiệu, phân tích Fouirer rất có ích vì nội dung tần số của tín hiệu là rất quan trọng

Biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) và biến đổi Fourier ngược của nó được xác định bởi biểu thức sau:

f

dt e t f w F

jwt

jwt

)()

(

)()

(

Trong đó, f t( ) và F(w) được gọi là một cặp biến đổi Fourier: ( )f t FT F(w)

Hình 2.1 Biến đổi Fourier

Mặc dù có nhiều hiệu quả nhưng phép biến đổi Fourier (như là phân tích các tín hiệu tuần hoàn, thuận lợi cho các phép chập tín hiệu) vẫn có những hạn chế Khi biến đổi sang miền tần số, thông tin thời gian đã bị mất Nếu một thuộc tính tín hiệu không thay đổi nhiều theo thời gian, nó được gọi là tín hiệu tĩnh, thì các nhược điểm trên không có ảnh hưởng quan trọng Tuy nhiên, nhiều tín hiệu có chứa các thông số động: trôi, nghiêng, biến đổi đột ngột, khởi đầu và kết thúc của các sự kiện Những đặc tính này thường là phần quan trọng nhất của tín hiệu, và phân tích Fourier không thích hợp

để phát hiện ra chúng

2.2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn

Các tín hiệu thường gặp trong thực tế là tín hiệu không dừng (ví dụ tín hiệu nhạc, tín hiệu nhiễu, …) thì phân tích Fourier hoàn toàn không mang lại các thông tin hữu ích Ta xét một ví dụ đơn giản để thấy rõ điều này Xét trường hợp tín hiệu xung

( )t

 , phép biến đổi Fourier F(w) 1 , với w Ta thấy rằng thông tin về vị trí xung trong miền thời gian hoàn toàn không phát hiện trong miền tần số Như vậy, biến đổi Fourier không phân tích được biến thiên tần số trong từng vùng theo thời gian của tín hiệu Nói cách khác nó không có tính cục bộ về mặt thời gian Do đó cần cục bộ hóa biến đổi Fourier để có thể phân tích các tín hiệu không tĩnh

Đề khắc phục những hạn chế của biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) được đề xuất Biến đổi này còn được gọi là biến đổi Fourier cửa sổ hay biến đổi Gabor Ý tưởng này là sự cục bộ của biến đổi Fourier, sử dụng hàm cửa sổ xấp xỉ trung tâm nơi định vị Vì vậy, như biến đổi Wavelet, biến đổi là sự khai triển theo hai thông số tần số và dịch thời gian Tuy nhiên, nó có điểm khác biệt là kích thước cửa sổ được đinh trước khác với tỷ lệ cửa sổ được dùng trong biến đổi Wavelet Tín hiệu nguyên thủy được phân tích thành từng đoạn bằng cách nhân với một hàm cửa

sổ w(t), sau đó thực hiện biến đổi Fourier

Hình 2.2 mô tả biến đổi Fourier thời gian ngắn

Hình 2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn

Nói tóm lại vấn đề liên quan đến độ rộng của hàm cửa sổ là:

- Nếu hàm cửa sổ hẹp: phân giải thời gian tốt, phân giải tần số kém

- Nếu hàm cửa sổ rộng: phân giải tần số tốt, phân giải thời gian kém

2.2.3 Độ phân giải tín hiệu và nguyên lý bất định

Độ phân giải của tín hiệu có chiều dài hữu hạn là số mẫu tối thiểu cần có để biểu diễn tín hiệu đó Như vậy độ phân giải của tín hiệu liên quan đến nội dung thông tin của tín hiệu Với tín hiệu có chiều dài vô hạn có năng lượng hữu hạn và suy giảm ở vô cùng thì ta định nghĩa chiều dài của tín hiệu là khoảng chứa hầu hết thông tin của tín hiệu (ví dụ chứa 90% năng lượng của tín hiệu)

Ở tín hiệu liên tục, việc thay đổi tỷ lệ không làm thay đổi độ phân giải, vì nó ảnh hưởng đồng thời cả tốc độ lấy mẫu và chiều dài của tín hiệu nên số mẫu để biểu diễn

tín hiệu là hằng số Ở tín hiệu rời rạc, lấy mẫu lên và nội suy không ảnh hưởng độ phân giải vì các mẫu nội suy là dư Lấy mẫu xuống bởi N làm độ phân giải giảm đi N lần và không thể khôi phục được

Khi nhận thấy tỷ lệ làm thay đổi độ nét theo thời gian hoặc tần số, tức là chỉ đáp ứng một trong hai yêu cầu trên Độ nét được gọi là độ phân giải trong thời gian – tấn số (nhưng nó khác với độ phân giải ở trên liên quan đến nội dung thông tin)

Năng lượng của tín hiệu được định nghĩa là:

Xét một tín hiệu có năng lượng bằng 1 và có tâm năng lượng tại gốc tọa độ f t( )

với biến đổi Fourier F(w)thỏa mãn:

Nếu f t( )triệt tiêu nhanh hơn 1

 gọi là tín hiệu Gauss

Nguyên lý bất định có vai trò quan trọng vì nó đặt ra chặn trên cho độ nét tối đa cho cả thời gian và tần số Như vậy, việc nhân tỷ lệ không làm thay đổi tích độ rộng thời gian và tần số

2.2.4 Biến đổi Wavelet

Để đáp ứng được yêu cầu độ phân giải ổn định với các tín hiệu có nhiều thành phần thời gian và tần số, ta cần dùng một phương pháp biến đổi sao cho độ phân giải thời gian và tần số có thể thay đổi một cách thích nghi với đặc tính của tín hiệu trên mặt phẳng thời gian và tần số Vấn đề này được giải quyết bằng cách thay thế phép dời đơn giản trong STFT bằng phép dời và đổi thang độ Điều này dẫn đến sự ra đời của một phép biến đổi mới đó là phép biến đổi Wavelets

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa (Daubechies92):

1 , ( ) (2.14)

là hàm cửa sổ còn được gọi là Wavelet mẹ, là tỷ lệ và là khoảng dịch, a b ψ*(t) là liên hợp phức của hàm Wavelet ψ(t) Thuật ngữ Wavelet nghĩa là sóng nhỏ Hàm Wavelet gốc là nguyên mẫu đầu tiên để tạo nên các hàm cửa sổ

Phân tích Wavelet cho phép sử dụng các khoảng thời gian dài khi ta cần thông tin tần số thấp chính xác hơn, và miền ngắn hơn đối với thông tin tần số cao Ở đây cho thấy sự tương phản với cách nhìn tín hiệu dựa theo thời gian – tần số, STFT:

Hình 2.3 Biến đổi Wavelet

Vậy phân tích Wavelet không dùng một miền thời gian – tần số, mà là miền thời gian – tỷ lệ

Hình 2.4 Mô tả các miền biến đổi của tín hiệu

Wavelets là các dạng sóng nhỏ có thời gian duy trì giới hạn với giá trị trung bình bằng 0 So sánh với sóng sin thì sóng sin không có khoảng thời gian giới hạn – nó kéo dài từ âm vô cùng đến vô cùng Và trong khi sóng sin là trơn tru và có thể dự đoán,

wavelet lại bất thường và bất đối xứng

Hình mô tả sóng sin và wavelet

Hình 2.5 Sóng sin và wavelet

Phân tích Wavelet chia tách tín hiệu thành các phiên bản dịch vị và tỷ lệ (co dãn) của một hàm đơn hay gọi là hàm mẹ wavelet Vì vậy tín hiệu với thay đổi nhanh

có thể phân tích tốt với một wavelet bất ổn định hơn là với một sóng sin trơn Các đặc tính cục bộ sẽ được miêu tả tốt hơn với các wavelet

Phân tích Wavelet có thể áp dụng cho dữ liệu hai chiều (các hình ảnh) và về nguyên tắc cho dữ liệu có số chiều cao hơn

2.2.5 So sánh các biến đổi

2.2.5.1 Giống nhau

Các biến đổi có thể xem như là một phép quay không gian hàm tới một miền khác Các biến đổi còn có những điểm tương đồng khác, các hàm cơ sở được phân bố theo tần số, các công cụ toán học như phổ và biểu đồ tỷ lệ có thể được sử dụng để phân biệt các tần số và tính phân bố công suất

đây đủ toàn thời gian

- Rút ngắn hoặc cửa sổ hóa hàm số mũ phức tạp:

w(t)ejwt

- Thêm một cửa sổ để lấy thông tin miền thời gian vào xem xét Độ phân giải tần số phụ thuộc vào độ phân giải thời gian, hoặc kích thước của cửa sổ

Chúng ta không thể phóng

to thu nhỏ trong một giải tần số cụ thể bởi ô được cố định đều nhau

- Thay đổi tỷ lệ và dịch phiên bản của wavelet mẹ:

hơn được sử dụng trong khi tần số cao hơn sử dụng nhỏ hơn

Hình 2.6 Sự khác biệt nền tảng của các biến đổi (a) Phần thực cơ sở của biến đổi Fourier, ejwt

(b) Cơ sở của tần số khác, ej wt4

(c) Cơ sở của STFT, sử dụng cửa sổ Gaussian σ=1 Đó là

2 2

t

e (d) Cơ sở cho tần số khác,

2 2

t

e ej4 t

e) Hàm wavelet

mẹ và (f) s=4

2.3 Các biến đổi Wavelet

2.3.1 Biến đổi Wavelet liên tục

2.3.1.1 Định nghĩa biến đổi Wavelet liên tục

Về mặt toán học quá trình phân tích Fourier được thực hiện bởi biến đổi Fourier:

Hình 3.6 trình bày các thành phần sóng sin với các tần số khác nhau

Hình 2.7 Các thành phần sóng sin với các tần số khác nhau

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) của một hàm f(t) được bắt đầu từ một hàm Wavelet mẹ ψ(t), ψ(t) có thể là bất kỳ một hàm số thực hoặc phức liên tục nào thỏa mãn các tính chất sau đây:

Tích phân suy rộng trên toàn bộ trục của hàm t ψ(t) là bằng 0 Tức là:

Với mỗi giá trị của a thì a b,( )t là một bản sao của a b, ( )t được dịch đi đơn vị b

trên trục thời gian Do đó được gọi là tham số dịch b

Đặt tham số dịch b=0 ta thu được:

,0

1( )

a

t t

a a

    

Trong hình (2.8) cho thấy rằng là tham số tỷ lệ Hệ số tỷ lệ càng nhỏ, wavelet a

càng được nén mạnh hơn

Hình 2.8 Các thành phần wavelet tương ứng với các tỷ lệ và vị trí khác nhau

Khi a > 1: hàm wavelet sẽ được trải rộng

Khi 0 < a <1: thì hàm sẽ được co lại

Phép biến đổi ngược của biến đổi Wavelet liên tục được tính như sau:

( ) ( )t e j t dt

   



Với  ( )là biến đổi Fourier của ( )t :

Nếu W(a,b) là biến đổi CWT của f(t) bằng hàm Wavelet ( )t , thì biến đổi ngược của biến đổi CWT sẽ được tính như sau:

, 2

có thể được lựa chọn làm hàm wavelet

Có thể xem biến đổi CWT như là một ma trận hai chiều các kết quả của phép tính tích vô hướng giữa hai hàm f(t) và ψ(t) Các hàng của ma trận tương ứng với các giá trị của và các cột tương ứng với các giá trị của do cách tính biến đổi wavelet a b

theo tích vô hướng đã trình bày ở trên:

Một chuỗi Wavelet có được nhờ gián đoạn hoá CWT Sự gián đoạn hoá CWT được thực hiện nhờ lấy mẫu trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ Tốc độ lấy mẫu có thể thay đổi theo sự thay đổi tỷ lệ với điều kiện không vi phạm tiêu chuẩn Nyquist Tiêu chuẩn Nyquist: tốc độ lấy mẫu tối thiểu cho phép tái xây dựng lại tín hiệu nguyên bản là 2f, với f là tần số lớn nhất của tín hiệu Do vậy, khi tỷ lệ cao lên (tần số thấp đi) tốc độ lấy mẫu có thể giảm như vậy số lượng phép tính giảm

2.3.1.2 Đặc điểm của biến đổi Wavelet liên tục

Các đặc điểm quan trọng nhất của Wavelet là các điều kiện thừa nhận và các điều kiện điều chỉnh và các đặc điểm này dẫn đến tên gọi Wavelet (sóng nhỏ) Người ta chứng minh rằng tích phân bình phương các hàm ψ(t) thoả mãn điều kiện thừa nhận:

Người ta sử dụng các điều kiện thêm của các hàm Wavelet để làm cho biến đổi Wavelet giảm nhanh chóng cùng với sự giảm tỷ lệ Đó là điều kiện điều chỉnh và a

điều kiện này yêu cầu hàm Wavelet phải trơn và tập trung trong cả miền thời thời gian

và tần số Điều kiện điều chỉnh là một khái niệm phức tạp và chúng ta sẽ giải thích điều kiện này sử dụng khái niệm mômen triệt tiêu

Nếu khai triển biến đổi Wavelet (2.17) thành chuỗi Taylor ở t = 0 cho tới bậc n (dễ dàng rút b = 0), ta có:

p p

n O dt a

t p

t f

1)0,(

W  (2.30)

Ở đây ( p) có nghĩa là đạo hàm bậc p của và O(n + 1) nghĩa là phần dư của 

biểu thức Bây giờ nếu đặt các momen của Wavelet bằng Mp:

1

0

!2

0

!1

00

f a

M

f a M

f a M f a

Từ điều kiện thừa nhận có momen M0 = 0 do vậy số hạng đầu tiên bên vế phải

là bằng 0 Nếu chúng ta tìm được cách làm cho các momen khác và momen Mn cũng bằng 0, thì các hệ số biến đổi Wavelet W(a,b) sẽ phân rã nhanh như an + 2 cho tín hiệu trơn (t) Đó là lý thuyết về momen triệt tiêu hay bậc xấp xỉ Nếu Wavelet có momen 

triệt tiêu N, thì bậc xấp xỉ cho biến đổi Wavelet cũng là N Trên thực tế, nghiên cứu thực nghiệm đưa ra nhận định rằng số momen yêu cầu phụ thuộc lớn vào ứng dụng

 Tính bảo toàn năng lượng

Biến đổi wavelet liên tục cũng có tính chất bảo toàn năng lượng giống như công thức Parseval của biến đổi Fourier

Định lý: Nếu hàm

)()

1

a

dadb b

a C

dt t f



(2.36)

 Tính định vị

Biến đổi Wavelet liên tục có tính định vị tốt, đặc biệt là với những thay đổi đột ngột trong miền thời gian ở tần số cao (hay tỷ lệ thấp), đây là một ưu điểm so với các phép biến đổi truyền thống

 rất nhỏ nên vẫn được xem là một hàm của Wavelet

Hình 2.9 Biểu diễn Wavelet Morlet

2.3.2 Biến đổi Wavelet bán rời rạc

Trong thực tế, xem xét biến đổi Wavelet thuận tiện hơn với một số giá trị và a b rời rạc Ví dụ tỷ lệ a=2 j và bước dịch nguyên b=2 j k với ( )j,k ∈Z2, chúng ta gọi đó là kỹ thuật biến đổi Wavelet bán rời rạc (SWT)

Biến đổi sẽ đảo ngược nếu các mẫu thiết lập tương ứng định nghĩa một khung wavelet Nói cách khác, wavelet phải được thiết kế như sau(Burros97):

trong đó và là hai hằng số tích cực được gọi là các giới hạn khung Chú ý, chúng ta A B

vẫn phải kết hợp để có được các hệ số wavelet, f(t) vẫn là một hàm liên tục

2.3.3 Biến đổi Wavelet rời rạc

Vì những hàm Wavelet a, b   được định nghĩa đối với mọi điểm trong không gian (a, b) nên rõ ràng việc áp dụng những cơ sở Wavelet a, b   rất dư thừa Do vậy,

để giảm bớt sự dư thừa đó biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được giới thiệu Biến đổi DWT dựa trên cơ sở mã hoá băng con, có thể được thực hiện dễ dàng, giảm thời gian tính toán và tài nguyên yêu cầu

Cơ sở của DWT được xây dựng từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín hiệu rời rạc được phát triển Các nghiên cứu về DWT cũng được thực hiện trong lĩnh vực

mã hóa tín hiệu tiếng nói còn được gọi là mã hoá băng con Năm 1983, các kỹ thuật tương tự kỹ thuật mã hoá băng con được phát triển được gọi là mã hoá hình chóp và dẫn đến sơ đồ phân tích đa phân giải (MRA)

Trong biến đổi Wavelet liên tục, tín hiệu được phân tích sử dụng một tập hợp hàm cơ sở liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ (a) và hệ số tịnh tiến (b) Trong DWT, biểu diễn thời gian – tỷ lệ của tín hiệu số thu được nhờ sử dụng các kỹ thuật lọc số Tín hiệu được phân tích qua các bộ lọc với tần số cắt khác nhau ở các tỷ lệ khác nhau

2.3.3.1 Định nghĩa biến đổi Wavelet rời rạc

Chúng ta có hàm rời rạc f(n) và định nghĩa biến đổi Wavelet rời rạc đưa ra bởi (Burros91):

k

j n n

f k

j C b a

C , ,  , (2.39)

với j, k là Wavelet rời rạc được định nghĩa:

n n k j  j n k

j j j

1)

j C n

Để tìm hiểu tại sao phép tổng (2.41) theo j là hữu hạn với một số xấp xỉ, phần tiếp theo của chương sẽ đưa ra khái niệm đa phân giải MRA Khái niệm MRA được phát triển bởi Mallat và Meyer, đây là nền tảng lý thuyết để xây dựng các Wavelet sau này

2.3.3.2 Đặc điểm của biến đổi Wavelet rời rạc

Wavelet được xác định bởi một số xác định các hệ số khác không M Số hệ số này đại diện cho số mômen triệt tiêu được xác định như sau: Nếu ψ(x) là khả vi M lần

và phân rã đủ nhanh, thì M-1 mômen Wavelet đầu tiên triệt tiêu, nghĩa là:

k h

1

2        

k

m m m

k h k

h 2 0 (2.48)

Như vậy, có thể kết luận rằng mọi tính chất của Wavelet được quyết định bởi dãy h(k) và để biểu diễn sự phân tích và khôi phục Wavelet chúng ta chỉ cần các hệ số của bộ lọc h(k)

10

,1

t

t t

 (2.49) Hàm Wavelet mẹ:

12

/1,1

2/10

,1

t

t

t t

 (2.50)