Giới thiệu về lý thuyết điều khiển
Những khái niệm cơ bản
Điều khiển học là một môn khoa học nghiên cứu các quá trình điều khiển trong máy móc, sinh vật và kinh tế Môn học này tích hợp những đặc trưng của nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm toán điều khiển, điều khiển học kỹ thuật, điều khiển học sinh vật và điều khiển học kinh tế.
Lý thuyết điều khiển tự động là nền tảng lý thuyết cho ngành điều khiển, định nghĩa quá trình điều khiển một đối tượng kỹ thuật mà không cần sự can thiệp của con người Điều này trái ngược với phương pháp điều khiển bằng tay, hay còn gọi là điều khiển thủ công.
Hệ thống điều khiển tự động bao gồm ba thành phần chính: thiết bị điều khiển (TBĐK), đối tượng điều khiển (ĐTĐK) và thiết bị đo lường (TBĐL) Những thành phần này phối hợp chặt chẽ để đảm bảo hoạt động hiệu quả và chính xác của hệ thống.
Sơ đồ khối của một hệ thống điều khiển tự động có thể đợc trình bầy nh sau:
Trong hệ thống điều khiển, u(t) đại diện cho tín hiệu chủ đạo hoặc tín hiệu vào, trong khi y(t) là tín hiệu cần điều khiển, hay tín hiệu ra Bên cạnh đó, n(t) là tín hiệu nhiễu tác động vào đối tượng cần điều khiển.
Hệ thống điều khiển kín là một loại hệ thống điều khiển có phản hồi, trong đó tín hiệu ra được đo lường và đưa trở lại thiết bị điều khiển Tín hiệu hồi tiếp kết hợp với tín hiệu đầu vào để tạo ra tín hiệu điều khiển Hình 1.1 minh họa sơ đồ khối của hệ thống điều khiển kín Cơ sở lý thuyết để nghiên cứu hệ thống này là lý thuyết điều khiển tự động.
Hệ thống điều khiển hở không sử dụng khâu đo lường, vì vậy mọi sự thay đổi của tín hiệu ra không được phản hồi về thiết bị điều khiển Sơ đồ hình 1.2 minh họa cho hệ thống điều khiển hở này.
Hình 1.1: Hệ thống điều khiển kín
Hệ thống điều khiển có thể được phân loại thành tuyến tính và phi tuyến, trong đó hầu hết các hệ thống vật lý là phi tuyến do sự tồn tại của ít nhất một phần tử phi tuyến trong mối quan hệ vào ra Tuy nhiên, khi biến đổi không lớn, hệ thống có thể được tuyến tính hóa Đối với hệ tuyến tính, quan hệ vào ra đáp ứng tính xếp chồng, trong khi hệ phi tuyến không đáp ứng điều này.
Hệ liên tục và hệ gián đoạn theo thời gian có những đặc điểm riêng biệt Trong hệ liên tục, tất cả các biến đều là hàm liên tục của thời gian, với công cụ phân tích chủ yếu là phép biến đổi Laplace hoặc Fourier Ngược lại, hệ gián đoạn được chia thành hai loại: hệ thống xung và hệ thống số Hệ thống xung bao gồm các phần tử trích mẫu và giữ mẫu, trong khi hệ thống điều khiển số hoạt động với tín hiệu số, bao gồm các bộ chuyển đổi giữa tín hiệu số và tương tự Phép biến đổi Z là công cụ chính để phân tích hệ thống gián đoạn.
Hình 1.2: Hệ thống điều khiển hở
Hình 1.3: Hệ thống điều khiển số
Hệ thống điều khiển thích nghi hoạt động theo nguyên tắc tự chỉnh, tự phát hiện những thay đổi trong tham số của bộ điều khiển và đối tượng do ảnh hưởng của môi trường bên ngoài Hệ thống này thực hiện điều chỉnh các tham số để đạt được mục tiêu tối ưu đã được đề ra.
Nhiệm vụ của điều khiển
Các nhiệm vụ cơ bản đặt ra cho một hệ điều khiển tự động là:
- Đảm bảo vận hành ổn định trơn tru: đảm bảo năng suất (tốc độ sản xuất), kéo dài tuổi thọ máy móc, vận hành thuận tiện
- Đảm bảo chất lợng sản phẩm: giữ các thông số chất lợng sản phẩm biến động trong một khoảng nhỏ
- Đảm bảo vận hành an toàn: cho con ngời, máy móc, thiết bị và môi trêng
- Nâng cao hiệu quả kinh tế, tăng lợi nhuận: giảm chi phí nhân công, nguyên liệu, thích ứng nhanh với yêu cầu thay đổi của thị trờng
Giảm ô nhiễm môi trường là một mục tiêu quan trọng, bao gồm việc giảm nồng độ các chất độc hại trong không khí thải, giảm bụi, và tiết kiệm nguyên liệu cũng như nhiên liệu Để đạt được các tiêu chí chất lượng cho hệ thống điều khiển tự động, cần thực hiện khảo sát và thiết kế hệ thống theo trình tự hợp lý.
Bước 1: Mô hình hóa đối tượng Dựa trên các yêu cầu thực tiễn và các mô hình vật lý, chúng ta xây dựng mô hình toán học dựa trên các quy luật, hiện tượng và mối quan hệ của đối tượng với môi trường xung quanh Mô hình toán học của hệ thống được hình thành từ các mô hình toán học của các phần tử riêng lẻ.
Bước 2: Phân tích hệ thống là một bước quan trọng trong lý thuyết điều khiển, nơi chúng ta khảo sát các tính chất của hệ thống Một trong những yếu tố chính cần xem xét là tính ổn định của hệ thống Nếu hệ thống không ổn định, cần áp dụng các phương pháp can thiệp phù hợp để đảm bảo hệ thống trở nên ổn định.
- Bớc 3 : Tổng hợp hệ thống Từ các tính chất thu đợc từ quá trình phân tích, ta đi tổng hợp bộ điều khiển cho đối tợng
Mô phỏng hệ thống là bước quan trọng trong quá trình xây dựng hệ thống thực Mặc dù việc tổng hợp hệ thống dựa trên các chỉ tiêu chất lượng không phải lúc nào cũng cho kết quả chính xác, nhưng mô phỏng giúp chúng ta dự đoán chất lượng của bộ điều khiển mà không cần thiết bị thực tế Vì lý do này, mô phỏng trở thành một yêu cầu bắt buộc trước khi triển khai hệ thống thực.
Nghiên cứu các vấn đề cơ bản của hệ thống điều khiển là cần thiết để đáp ứng các tiêu chí khoa học Luận văn được trình bày theo trình tự hợp lý nhằm tổng hợp và phân tích hệ thống một cách hiệu quả.
Mô tả hệ thống
Đặt vấn đề
Để điều khiển hiệu quả một hệ thống, việc hiểu biết về nó là điều cần thiết Mô hình hóa là phương pháp khoa học giúp chúng ta thể hiện những kiến thức về hệ thống, phục vụ cho mục đích mô phỏng, phân tích và tổng hợp bộ điều khiển.
Để đạt được tốc độ 1400 vòng/phút cho động cơ, cần xây dựng một mô hình đối tượng chính xác nhằm tính toán điện áp cần thiết Mô hình càng chính xác thì chất lượng điều khiển sẽ càng cao.
Mô hình hoá là quá trình xây dựng mô hình cho hệ thống, thường được chia thành hai phương pháp chính: phương pháp lý thuyết và phương pháp thực nghiệm (hay nhận dạng) Trong bài viết này, chúng ta sẽ tập trung vào phương pháp lý thuyết.
1.2.2 Mô hình hóa bằng phơng pháp lý thuyết
Phương pháp lý thuyết là cách xây dựng mô hình dựa trên các định luật vật lý hiện có, liên quan đến mối quan hệ bên trong và tương tác với môi trường bên ngoài của đối tượng Những mối quan hệ này được diễn đạt qua các quy luật vật lý và định luật bảo toàn dưới dạng phương trình toán học Trong hệ cơ học, chúng ta áp dụng các định luật Newton, trong khi ở hệ điện học, các định luật Ohm và Kirchhoff được sử dụng Kết quả cuối cùng là các phương trình hoặc hệ phương trình mô tả động học của đối tượng.
Các loại mô hình đối tượng thu được bằng phương pháp lý thuyết bao gồm mô hình dạng phương trình vi phân, mô tả quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra, mô hình dạng hàm truyền đạt, dạng hàm đặc tính tần, và mô hình trạng thái Trong đó, phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ thống.
Mô hình SISO (một tín hiệu vào và một tín hiệu ra) rất phù hợp với các đối tượng có bản chất động học, trong đó ánh xạ T được biểu diễn qua phương trình vi phân Phương trình này mô tả mối quan hệ giữa tín hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t) Đối với các đối tượng tuyến tính, quá trình mô hình hóa dẫn đến một phương trình vi phân thể hiện quan hệ vào ra dưới dạng: a0y + a1 dt dy + + an n dt y d = b0u + b1 dt du + + bm m dt u d.
Trong đó các hệ số ai , bi đợc xác định từ các phần tử (linh kiện, thiết bị) cấu thành nên đối tợng
Bằng cách giải phơng trình vi phân, ta có thể tìm đợc nghiệm y(t) là đáp ứng của đối tợng khi biết kích thích u(t) b) Mô hình hàm truyền đặt
Hàm truyền đạt của hệ tuyến tính được xác định là tỷ số giữa ảnh Laplace của tín hiệu ra và tín hiệu vào khi tất cả các điều kiện ban đầu bằng 0 Nó có thể được suy ra từ phương trình vi phân mô tả mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của đối tượng, thông qua việc chuyển đổi phương trình vi phân sang miền phức bằng toán tử Laplace.
Mô hình dạng hàm truyền đạt của đối tượng có thể được thu được bằng cách viết các phương trình mô tả các quan hệ vật lý bên trong và quan hệ giao tiếp với môi trường ngoài thông qua ảnh Laplace Thay vì sử dụng phương trình vi phân, ta sẽ có một phương trình đại số tuyến tính mô tả quan hệ vào ra Điều này giúp đơn giản hóa việc xác định tín hiệu ra y(t) của đối tượng ứng với tín hiệu vào u(t), so với việc sử dụng mô hình toán học dạng phương trình vi phân.
Khi phân tích một hệ thống, cần chú ý không chỉ đến tín hiệu ra mà còn nhiều thông số khác và các sơ kiện bên trong hệ có thể ảnh hưởng đến đáp ứng y(t) Do đó, cần có một mô hình mô tả mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra cũng như các thay đổi nội tại của hệ thống, gọi là mô hình trạng thái Đối với hệ động học, trạng thái được mô tả qua tập biến trạng thái [x1(t), x2(t), , xn(t)], giúp xác định diễn biến tương lai của hệ thống khi biết trạng thái hiện tại và các tín hiệu kích thích Mô hình trạng thái có thể được mô tả tổng quát như sau.
Trong hệ phương trình vi phân bậc nhất này, f và h là hai hàm giải tích liên quan đến véc tơ trạng thái x và vector đầu vào u Số chiều n của hệ phương trình tương ứng với số lượng phần tử tích lũy năng lượng độc lập trong hệ.
Có thể thu được phương trình trạng thái của hệ thống thông qua phương trình vi phân mô tả quan hệ vào ra sau khi đã chọn các biến trạng thái thích hợp Đối với hệ tuyến tính, phương trình trạng thái có thể được mô tả dưới dạng hàm truyền, và từ hàm truyền của hệ cũng có thể thu được phương trình trạng thái.
Ngày nay, sự phát triển của máy tính đã thúc đẩy việc ứng dụng trong điều khiển, khiến cho việc phân tích và thiết kế hệ thống trong miền thời gian dựa trên mô hình trạng thái trở nên phổ biến Điều này đã trở thành nền tảng của lý thuyết điều khiển hiện đại, cho phép chúng ta mô hình hóa đối tượng điều khiển trong không gian trạng thái, từ đó vượt qua những bài toán tuyến tính đơn giản để tiếp cận các bài toán phi tuyến phức tạp.
Hệ phương trình trạng thái cho động cơ điện một chiều được xây dựng với tín hiệu vào là điện áp đặt vào phần ứng và tín hiệu ra là góc quay trên trục động cơ θ Động cơ này sử dụng kích thích độc lập với từ thông hằng φ = constant Các tham số của động cơ một chiều bao gồm điện áp, dòng điện, và các thông số cơ bản khác để mô tả hành vi và hiệu suất của động cơ.
Hệ số ma sát B Điện cảm phần ứng L
Sức phản điện động em
Hằng số động cơ ke km
Phơng trình cân bằng điện áp phần ứng:
Phơng trình cân bằng mômen (Định luật 2 của Newton): i. dt k
Ký hiệu: (a1 -= B/J; a2 = km/J; a3 -k= e/L; a4= -R/L; C = 1/L) Đặt các biến trạng thái:
Hình 1.4: Mô hình động cơ một chiều
Mô hình hoá bằng phơng pháp lý thuyết
x2 = θ • : tốc độ góc của trục động cơ x3 = i : dòng điện đi qua phần ứng động cơ
Hệ phong trình viết theo biến trạng thái:
Giả sử rằng các tham số đo được đầu ra của động cơ là dòng điện phần ứng và góc quay θ trên trục động cơ, chúng ta có thể thiết lập phương trình mô tả mối quan hệ này.
Phơng trình trạng thái có dạng:
Phân tích hệ thống
Đặt vấn đề
Sau khi đã xây dựng mô hình hệ thống, bước tiếp theo là phân tích để rút ra các kết luận cơ bản về tính chất của hệ thống Việc phân tích toàn bộ thông tin về hệ thống là rất khó khăn, do đó, công việc này được coi là tạm hoàn thành khi chúng ta thu thập được một số thông tin bổ ích cần thiết Những thông tin này sẽ đủ để bắt đầu quá trình tổng hợp và thiết kế bộ điều khiển.
Khi thiết kế hệ thống, việc làm rõ một số tính chất cơ bản của hệ thống là rất quan trọng trong quá trình phân tích.
Điểm cân bằng của hệ thống đóng vai trò quan trọng trong việc tổng hợp bộ điều khiển, vì hệ thống chỉ hoạt động hiệu quả khi ở trạng thái cân bằng Sự phân bố các điểm cân bằng này ảnh hưởng trực tiếp đến khả năng vận hành và điều chỉnh của hệ thống.
Khi phân tích một hệ thống, nếu phát hiện ra sự không ổn định, bước đầu tiên cần thực hiện là tìm kiếm một bộ điều khiển để ổn định hóa hệ thống Chỉ sau
Tính điều khiển được là yếu tố quan trọng trong việc xác định tín hiệu điều khiển, giúp hệ thống đạt được chất lượng mong muốn Nhiệm vụ chính là tìm ra tín hiệu điều khiển có khả năng đưa hệ thống từ trạng thái ban đầu x0 đến trạng thái đích xT Nếu không thể điều khiển hệ thống hoặc không tồn tại tín hiệu nào có thể chuyển hệ thống từ x0 đến xT, thì mọi nỗ lực tìm kiếm bộ điều khiển sẽ trở nên vô nghĩa.
Để xác định tín hiệu điều khiển từ điểm trạng thái ban đầu x0 đến điểm trạng thái cuối xT một cách thành công, việc xác định x0 là rất cần thiết X0 có thể được đo trực tiếp hoặc chỉ có thể tính toán, trường hợp này được gọi là quan sát Khi cần phải tính toán để xác định x0, người ta sẽ nói rằng điểm trạng thái x0 là quan sát được.
Tính ổn định của hệ thống
Khi phân tích hệ thống, việc xem xét tính ổn định là điều quan trọng đầu tiên Ví dụ, nếu động cơ không thể điều khiển và tốc độ tăng liên tục khi nguồn điện được cấp, hay cần cẩu không thể đưa hàng vào vị trí chính xác khi gặp gió, thì tính ổn định trở nên thiết yếu Một hệ thống được coi là ổn định khi, sau khi bị tác động bởi nhiễu tức thời, nó có khả năng tự quay về điểm cân bằng ban đầu.
Xét hệ có hàm truyền bất kỳ nh sau:
Trong đó đa thức đặc tính của hệ là đa thức ở dới mẫu:
Tính ổn định của hệ thống có thể được đánh giá qua một số tiêu chí quan trọng Một hệ thống được coi là ổn định khi quá trình tự do tắt dần và hàm truyền đạt G(s) là đa thức với các nghiệm nằm bên trái trục ảo Đồng thời, hàm trọng lượng g(t) có chuẩn bậc 1 là hữu hạn Để đơn giản hóa việc kiểm tra tính ổn định, một số tiêu chuẩn đại số đã được đề xuất.
Để xác định tính Hurwitz của đa thức A(s), ta cần lập bảng Routh từ các hệ số ai∈R, với i=0,1, , n Đa thức A(s) được coi là Hurwitz khi các hệ số a0, a1, λ1, λ2, trong cột đầu của bảng Routh đều là những số dương khác không Số lần đổi dấu trong cột đầu sẽ tương ứng với số nghiệm của A(s) nằm bên phải mặt phẳng phức.
Xác định các ma trận vuông Hi , i=1,2, ,n lấy từ H sao cho Hi có đúng i phần tử trên đờng chéo chính giống nh H: a0 a2 a4 a1 a3 a5 γ1=(a1a2-a0a3)/a1 β1=(a1a4-a0a5)/a1 λ1=(a1a6-a0a7)/a1 γ2=(γ1a3-a1β1)/γ1 β2=(γ1a5-a1λ1)/γ1
Để xác định tính chất của đa thức A(s) là đa thức Hurwitz, cần tính các định thức Di = det(Hi) với i = 1, 2, , n Đa thức A(s) sẽ có các nghiệm nằm bên trái trục ảo nếu và chỉ nếu tất cả các định thức Di đều là số dương (Di > 0).
Khác với tiêu chuẩn Routh-Hurwitz, tiêu chuẩn hình học dựa vào hàm A(jω) được lấy từ A(s) bằng cách thay s bằng jω để kiểm tra tính Hurwitz của A(s) Cụ thể, tiêu chuẩn hình học này sử dụng đồ thị của A(jω) để xác định tính ω-Hurwitz Tiêu chuẩn Nyquist, một trong những tiêu chuẩn hình học phổ biến nhất, được áp dụng để đánh giá tính ổn định của hệ thống có phản hồi (hay còn gọi là hệ kín) thông qua đồ thị đường đặc tính tần biên pha Trong đó, hệ thống kín phản hồi âm được mắc như hình 1.1.
Hệ thống kín trên sẽ có hàm truyền đạt là:
Trong hệ hồi tiếp với phản hồi âm, định lý cho biết rằng hệ hở sẽ ổn định khi và chỉ khi đường quỹ đạo biên pha G0(jω) không đi qua và không bao điểm -1 + 0j khi ω thay đổi từ 0 đến +∞.
Tính điều khiển đợc và quan sát đợc
Khi giải quyết một bài toán, đặc biệt trong lĩnh vực điều khiển, điều quan trọng là phải xác định xem có tồn tại lời giải hay không Để điều khiển một hệ thống, cần tìm ít nhất một tín hiệu điều khiển u(t) để chuyển hệ thống từ trạng thái ban đầu x0 đến trạng thái đích xT trong thời gian hữu hạn Nếu tồn tại tín hiệu điều khiển này, hệ thống được coi là điều khiển được tại điểm trạng thái x0 Tiêu chuẩn để đánh giá tính điều khiển được của hệ thống là tiêu chuẩn Kalman, giúp xác định khả năng điều khiển trong các bài toán kỹ thuật.
Xét cho một hệ thống có mô hình trạng thái u B x dt A x d = + x R∈ n u R, ∈ r
Hệ kín ổn định Hệ kín không ổn định Hệ kín ổn định
Hình 1.5: Vài dạng đặc tính tần của đối tợng Điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển đợc là:
Rank ( B, AB, , A n-1 B )=n b) Tính quan sát đợc
Để phản hồi tín hiệu trạng thái và tín hiệu ra, việc đầu tiên cần làm là đo lường và xác định giá trị cần phản hồi Phương pháp đơn giản nhất để xác định giá trị tín hiệu là sử dụng các thiết bị cảm biến để đo trực tiếp Tuy nhiên, không phải tất cả tín hiệu đều có thể đo trực tiếp; nhiều tín hiệu chỉ có thể được chẩn đoán thông qua các thông số khác như gia tốc máy bay hay hướng từ thông rotor Do đó, để kết hợp hai khái niệm đo trực tiếp và chẩn đoán, người ta sử dụng khái niệm quan sát.
Nếu trạng thái ban đầu x0 có thể quan sát được để sử dụng tín hiệu điều khiển u(t) đưa hệ thống về trạng thái cuối xT, thì x0 được coi là quan sát được Tiêu chuẩn để đánh giá tính điều khiển được của hệ thống là tiêu chuẩn Kalman, được phát biểu như sau: Xem xét một hệ thống có mô hình trạng thái.
+ x C y u B x dt A x d x R∈ n u R, ∈ r Điều kiện cần và đủ để hệ quan sát đợc là:
ý nghĩa của vị trí các điểm cực và điểm không
Xét hệ đợc mô tả bởi hàm truyền đạt:
Trong đó đa thức đặc tính của hệ là đa thức ở dới mẫu:
Nghiệm của đa thức đặc tính được gọi là điểm cực, trong khi nghiệm của đa thức trên tử B(s)=b0+b1s+ +bms m được gọi là điểm không Vị trí của các điểm cực và điểm không có mối quan hệ chặt chẽ với đặc tính động học của hệ thống Hiểu rõ về vị trí của chúng giúp xác định tính chất của hệ thống trong quá trình tổng hợp Cụ thể, nếu tất cả các điểm cực nằm bên trái trục ảo, hệ thống sẽ ổn định và quá trình tự do sẽ tắt dần Nếu tất cả các điểm cực là số thực âm, quá trình tự do sẽ đơn điệu, và khoảng cách của các điểm cực từ trục ảo ảnh hưởng đến tốc độ tiến về không của hệ Nếu có điểm cực không nằm trên trục thực, quá trình tự do sẽ dao động, với tần số dao động tăng khi điểm cực xa trục thực hơn Cuối cùng, nếu có ít nhất một điểm cực tại gốc tọa độ, hệ thống sẽ chứa thành phần tích phân và không tồn tại sai lệch tĩnh.
Phơng pháp quỹ đạo nghiệm số
Mối quan hệ giữa điểm cực và điểm không trong hệ thống ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng hoạt động của nó Để xác định bộ điều khiển R(s) cho đối tượng S(s) nhằm đạt được chất lượng mong muốn, cần tìm R(s) sao cho các điểm cực và điểm không của hàm truyền đạt kín được điều chỉnh phù hợp.
+ là những giá trị cụ thể cho trớc trong mặt phẳng phức
Trước khi tìm bộ điều khiển R(s) theo phương hướng nhị, cần phân tích để hiểu rõ các điểm cực và điểm không của hệ kín phụ thuộc vào bộ điều khiển R(s) như thế nào Ví dụ, khi sử dụng bộ điều khiển PID với hàm truyền đạt R(s) = kP(1 + s/T), việc này sẽ ảnh hưởng đến ổn định và hiệu suất của hệ thống.
Phân tích mối quan hệ giữa vị trí điểm cực và điểm không của hệ kín với các tham số kP, TI, TD của bộ điều khiển R(s) là một bước quan trọng Phương pháp quỹ đạo nghiệm số sẽ được áp dụng để đánh giá chất lượng hệ kín, thông qua việc biểu diễn đồ thị nghiệm số của hệ kín theo tham số k của bộ điều khiển, tương tự như hình 1.1.
Dựa vào quỹ đạo nghiệm số ta có thể chọn tham số k sao cho chất lợng hệ kín là đảm bảo yêu cầu
Ví dụ 1.2: Xét hệ kín có cấu trúc sơ đồ khối
Quỹ đạo nghiệm của hệ kín vẽ bằng Matlab y(t) k SR~ u(t) e
Hệ thống điều khiển xung số
Mô tả toán học
a) Quá trình tích phân số
Xét khâu tích phân số (∫ D ) nếu tích phân liên tục của hàm x(t): y(t)=∫ t
(t x thì tích phân của hàm x(nT) là phép tính gần đúng của hàm liên tôc: y(nT) = ∑ −
Tích phân y(t) đại diện cho diện tích dưới đường cong x(t) và các trục tọa độ x,y, trong khi tích phân y(nT) là diện tích của các hình chữ nhật có đáy T và chiều cao là x(nT).
Hình 1.6: Quỹ đạo nghiệm b) Sai phân của hàm rời rạc và phơng trình sai phân
Hàm rời rạc có chu kỳ hằng số được ký hiệu là x(i) Mặc dù hàm rời rạc x(i) không có đạo hàm, vi phân hay tích phân, nhưng vẫn có các phép toán tương tự như sai phân và tổng.
Sai phân cấp 1 tơng tự với vi phân cấp 1 của hàm liên tục:
− Đối với hệ liên tục ta biết đợc hệ phơng trình vi phân mô tả động học nh sau:
Hình 1.7: Quá trình tích phân số
Tơng tự với hệ xung số, động học của hệ thống mô tả bởi phơng trình sai ph©n sau ®©y:
Nếu sử dụng công thức tính sai phân tổng quát ta viết phơng trình trên dớidạng khác:
Trong đó u(i) là hàm rời rạc đầu vào của hệ thống còn y(i) là hàm rời rạc ®Çu ra.
Phơng trình trạng thái
Ta đã biết đối với hệ liên tục mô tả bởi phơng trình trạng thái sau đây:
Tơng tự đối với hệ thống xung số ta có phơng trình trạng thái rời rạc sau ®©y:
Sơ đồ cấu trúc trạng thái biểu diễn cho hệ trên nh sau:
Phép biến đổi Z
Nếu có hàm liên tục f(t) ta có hàm rời rạc f(iT) với chu kỳ cắt mẫu T Theo giải thích ta viết hàm f(iT) nh sau: f(iT) = ∑ ∞
Ta có công thức biến đổi Z nh sau: F(Z) = ∑ ∞
F(Z) là biến đổi Z của hàm f(iT) hay f(t):
Hàm truyền đạt
Tơng tự hệ liên tục ta định nghĩa hàm truyền đạt hệ thống xung - số là W(Z) bằng tỷ số lợng ra và lợng vào theo biến số Z:
Hình 1.8: Sơ đồ cấu trúc trạng thái số
Nếu hệ thống đợc mô tả bởi phơng trình trạng thái dạng ma trận với điều kiện đầu x(0) = 0 thì hàm truyền đạt ma trận số có dạng:
Trong đó I là ma trận đơn vị a) Hàm truyền đạt của hệ xung số hở
Hệ số xung số khi có phần tử tạo xung (PTX) nối tiếp với phần tử liên tục (PLT) có thể được phân tích về mặt toán học Phần tử xung thực (PTX) được chia thành hai phần: phần tử xung lý tưởng và phần tử lưu giữ, với phần tử xung lý tưởng thường được gọi là phần tử xung delta (Delta Impulse Sampler) Đầu vào của phần tử xung lý tưởng là hàm liên tục u(t), trong khi đầu ra là dây xung dạng hàm δ(t) (hàm Dirac), với diện tích các xung ra tỷ lệ thuận với biên độ tín hiệu vào u(t) tại từng thời điểm rời rạc cách nhau một khoảng với chu kỳ cắt mẫu T Phần tử lưu giữ nhận đầu vào là u * dạng xung δ(t) và cung cấp đầu ra tương ứng.
Hàm truyền đạt hệ số hở xung thực được sử dụng trong phương pháp phân tích hệ thống, nơi phần tử lưu giữ (LG) được ghép với phần tử liên tục để tạo thành phần tử liên tục quy đổi (PLTQĐ) Phương pháp tách và ghép này chỉ tồn tại trong phân tích toán học, dẫn đến việc có sơ đồ tương đương Phần tử liên tục quy đổi bao gồm việc nối tiếp phần tử LG, được mô tả bởi hàm truyền đạt liên tục WLG(s), và PLT có hàm truyền đạt WLT(s).
Khi đó hàm truyền đạt PLTQĐ ký hiệu WPLTQĐ(s):
Sơ đồ trên có thể được biểu diễn qua cấu trúc hình 1.18, với khoá ngắt K đại diện cho phần tử xung lý tưởng Đối với phần tử LG, dạng của WLG(s) sẽ thay đổi tùy thuộc vào dạng xung thực tế của PTX Bên cạnh đó, hàm truyền đạt của hệ thống xung số kín cũng cần được xem xét.
Xét hệ thống rời rạc cơ bản vẽ:
Ta gọi mạch lu giữ bậc không (Zero-order Hold) là mạch mà trong khoảng thời gian rời rạc T giá trị hàm rời rạc bằng hằng số nh hình:1.11
Hàm truyền đạt mạch LG ta đã tính đợc: W LG s e − sT
Thực hiện biến đổi Z ta có:
Hàm truyền đạt hệ kín Wk(z) là:
Tính ổ n định của hệ thống
Hình 1.10: Hàm truyền đạt hệ số kín
Hình 1.11: Mạch lu giữ bậc không
Hệ thống tương tự trong hệ thống tương tự xung số bao gồm hai quá trình chính: xác lập và quá độ Nghiệm riêng của phương trình sai phân bậc n đặc trưng cho quá trình quá độ được biểu diễn qua công thức: ao.y(i+n) + a1.y(i+n-1) + + an.y(i) = bo.u(i).
Từ hàm truyền đạt hệ thống kín theo biến đổi Z:
Từ đó ta xác định đợc phơng trình đặc tính dạng: ao.Z n + a1.Z n-1 + +an-1.Z + an =0
Qua biểu thức trên ta thấy thành phần (cosωT + j simωT) luôn có modun giới hạn bằng 1, do đó modun của Z là: e T
Ta có thể thấy quan hệ giữa mặt phẳng s và mặt phẳng Z
Trong mặt phẳng s, với α > 0, nửa bên phải tương ứng với Z > 1, nằm ngoài vòng tròn đơn vị Khi α = 0, trục ảo jω cho Z = 1, tạo thành đường tròn bán kính 1 Ngược lại, với α < 0, nửa bên trái mặt phẳng s có Z < 1, nằm bên trong đường tròn đơn vị.
Tại các nghiệm Z1 của phương trình đặc tính, tương ứng với các quá trình quá độ được thể hiện trong hình bên dưới Đối với hệ thống xung – số, nếu các nghiệm Zi nằm trong vòng tròn đơn vị, hệ thống sẽ ổn định.
Bé ®iÒu khiÓn PID sè
Bộ điều khiển PID liên tục vẽ trên hình 1 22 gồm 3 kênh song song: tỷ lệ, - phân tích và vi phân
- Khâu tỷ lệ có hệ số truyền đạt Ks
Để tính toán tích phân số, có nhiều phương pháp khác nhau, trong đó phương pháp tích phân hình thang (số Tustin) là một ví dụ điển hình Hình 1.12 minh họa mối quan hệ giữa mặt phẳng s và mặt phẳng Z.
Còn khâu vi phân (đạo hàm của e(t) tại t= T có thể xấp xỉ bởi:
Biến đổi Z sẽ đợc: Kd
Hàm truyền đạt PID số đợc vẽ ở hình trên :
Tính điều khiển đợc và quan sát đợc
Giả sử biết phơng trình trạng thái của hệ xung số sau:
H×nh 1.13: Bé ®iÒu khiÓn PID sè
Trong đó x là vector n chiều; Ad là ma trận n x n chiều a) Tính điều khiển đợc
Một hệ thống được coi là có khả năng điều khiển nếu có thể tìm ra một vector điều khiển u(i) để chuyển hệ thống từ trạng thái ban đầu x(0) đến trạng thái cuối x(n) trong khoảng thời gian nhất định Do đó, cần xác định các điều kiện cần thiết để tác động điều khiển có thể thực hiện được quá trình chuyển đổi này.
Vì Ad, x(0), x(n) đã biết nên vế trái của phơng trình trên là xác định Nghiệm duy nhất u(i) chỉ tồn tại khi ma trận sau đây có hạng bằng n:
Khi đó ta nói hệ điều khiển đợc hoàn toàn b) Tính quan sát đợc
Hệ thống được coi là quan sát được khi từ số liệu đầu ra y(i) có thể xác định các trạng thái x(i) của nó, tức là các ước lượng trạng thái.
Từ phơng trình ra Y(i) = Cd.x(i) ta viết lại:
1 n d d d d d d hoặc viết cách khác với ký hiệu dấu phảy cho chuyển vị:
Vì véc tơ y(i) đã biết, nghiệm duy nhất x(0) tồn tại khi và chỉ khi ma trận sau:
Khi đó ta nói hệ quan sát đợc hoàn toàn chơng 2 Vấn đề thiết kế hệ thống
Phơng pháp thiết kế kinh điển
Thiết kế trên miền tần số
Hàm truyền đạt của hệ thống kín trên là:
Một trong những yêu cầu chất lượng quan trọng của hệ thống điều khiển kín là đảm bảo rằng đáp ứng y(t) phải tương đồng với tín hiệu đầu vào ω(t) ở mọi tần số Điều này có nghĩa là thời gian quá độ cần phải ngắn nhất có thể, giúp y(t) bám sát ω(t) Để đạt được điều này, bộ điều khiển R(s) cần đảm bảo rằng G(jω) = 1 cho mọi giá trị ω.
Tính chất của bộ điều khiển R(s) khó có thể đáp ứng ở mọi dải tần số Tuy nhiên, ở dải tần số cao, tính chất này tự nhiên được thỏa mãn Do đó, chúng ta sẽ tập trung vào việc thiết kế bộ điều khiển R(s) để đảm bảo tính chất này tại các dải tần số lân cận Bài viết này sẽ trình bày hai phương pháp thiết kế bộ điều khiển R(s) dựa trên nguyên lý đã nêu, bắt đầu với phương pháp tối ưu độ lớn.
Bộ điều khiển R(s) thoả mãn tính chất G(jω) ≈1 Trong dải tần số thấp đợc gọi là bộ điều khiển tối u độ lớn
Ví dụ 2.1: Mạch vòng điều khiển kín có hàm truyền s 100 1
G = + với L(w) lg |G(jw)| ta sẽ mô phỏng đặc tính tần Logarith mạch vòng trên qua đồ thị bode
G ω ≈ trong dải tần rộng nhất khi L(ω ≈) 0 trong dải tần rộng nhất
+ Đối tợng phù hợp cho bộ điều khiển tối u độ lớn là đối tợng quán tính bậc nhất có hàm truyền
S = + Trong đó k là hệ số khuếch đại và T là hằng số thời gian quán tính
Hoặc những đối tợng có khả năng xấp xỉ mô hình về dạng quán tính bËc nhÊt
= + Trong đó TI I= 1 ữ m đủ nhỏ để có thể xấp xỉ mô hình về dạng s T 1
Hình 2.1: Dải tần số mà ở đó L(ω)≈0 càng lớn càng tốt
= + trong đó T1 là khá lớn còn TI I= 2 ữ m đủ nhỏ để có thể xấp xỉ mô hình về dạng
= + Trong đó T1 và T2 là khá lớn còn TI I= 3 ữ m đủ nhỏ để có thể xấp xỉ mô hình về dạng
+ Thiết kế bộ điều khiển PID tối u độ lớn cho đối tợng dạng s T
= Thì chọn bộ điều khiển tích phân I s T
Bù hằng số thời gian lớn nhất của đối tợng Σ Σ
1 thì ta chọn bộ điều khiển PI s) T
Bù hai hằng số thời gian lớn nhất của đối tợng Σ Σ
Thì ta chọn bộ điều khiển PID
Ví dụ 2.2: Xét đối tợng động cơ một chiều có mô hình nh sau:
Trong đó TCH = 0.15 (s), Tt= 0.01 (s), TC = 15 (s), TU = 0.07(s), KDT=2.5 thiết kế bộ điều khiển PID theo phơng pháp tối u độ lớn cho đối tợng trên
- Dùng luật điều khiển I: Xấp xỉ mô hình đối tợng về dạng
= trong đó T Σ = T CH + T C +T u +T t ,23s Bộ điều khiển
I có hàm truyền đạt tổng quát là s T
I = ⇒ = = Σ ứng với tín hiệu chủ đạo là r(t)=1(t) và r(t)=t.1(t) ta có kết quả mô phỏng:
Nhận xét: Độ quá điều chỉnh nhỏ ( σ max < 5 %) Thời gian quá độ lớn
T5%0s Không có sai lệch tĩnh đối với tín hiệu vào r(t)=1(t) Khi tín hiệu vào là hàm t.1(t) thì sai lệch tĩnh St0
Hình 2.2: Đáp ứng khi dùng khâu điều khiển I ví dụ 2.2
- Luật điều khiển PI: Xấp xỉ mô hình đối tợng về dạng
= + trong đó T Σ =T CH +T U +T t =0,23s Bộ điều khiển dùng là PI có hàm truyền tổng quát )
DK = + trong đó chọn TI=TCs 13,043
ứng với tín hiệu chủ đạo r(t)=1(t) và r(t)=t.1(t) có kế quả mô phỏng
Nhận xét: Độ quá điều chỉnh nhỏ ( σ max < 5 %) Thời gian quá độ nhỏ
T5%=2.2s Không có sai lệch tĩnh khi tín hiệu vào là hàm 1(t) Khi tín hiệu vào là t.1(t) thì sai lệch tĩnh là St=0.3
- Luật điều khiển PID: Xấp xỉ mô hình đối tợng về dạng
= + trong đó T =T +T =0,08s Bộ điều khiển PID có dạng tổng quát T s) s T
ứng với tín hiệu chủ đạo r(t)=1(t) và r(t)=t.1(t) có kết quả mô phỏng
Hình 2.3: Đáp ứng khi dùng bộ điều khiển PI ví dụ 2.2
Nhận xét: Độ quá điều chỉnh nhỏ ( σ max < 5 %) Thời gian quá độ nhỏ
T5%=2s Không có sai lệch tĩnh khi tín hiệu vào là hàm 1(t) Khi tín hiệu vào là t.1(t) thì sai lệch tĩnh St=0.1 b) Phơng pháp tối u đối xứng
Các phương pháp xác định bộ điều khiển PID thường bị giới hạn trong lớp đối tượng ổn định với hàm quá độ đi từ không và có dạng hình chữ S Để mở rộng lớp đối tượng sử dụng bộ điều khiển PID mà vẫn duy trì chất lượng hệ kín tương tự như phương pháp tối ưu độ lớn, phương pháp tối ưu đối xứng đã được phát triển.
Nguyên lý phơng pháp tối u đối xứng
Hình 2.4: Đáp ứng khi dùng bộ điều khiển PID ví dụ 2.2 ω(t) e
Hình 2.5: Minh hoạ nguyên lý điều khiển tối u đối ứ
Trong một hệ thống kín hình 2.5, hàm truyền đạt của hệ hở được biểu diễn bởi Gh(s) = S(s)R(s), trong đó S(s) là hàm truyền đạt của hệ hở và R(s) là hàm truyền đạt của bộ điều khiển Do đó, hàm truyền đạt của hệ kín có thể được xác định dựa trên các thành phần này.
Để đạt được G(jω) ≈ 1 trong dải tần số thấp, tương tự như phương pháp tối ưu độ lớn, cần đảm bảo G h (jω) >> 1 khi ω tương đối nhỏ Hình 2.5 minh họa biểu đồ Bode với Lh(ω) của hàm truyền đạt hệ hở, trong đó dải tần số được chia thành ba vùng: Vùng I là tần số thấp, nơi G(jω) ≈ 1 yêu cầu G h (jω) >> 1 hay Lh(ω) >> 0 Vùng II là tần số trung bình và cao, giả thiết Lh(ω) chỉ có một tần số cắt ωC để đơn giản hóa hệ thống Vùng III là tần số rất cao, trong đó Lh(ω) nên tiến tới giá trị không để tránh ảnh hưởng của nhiễu cao tần.
Ta có thể thấy đợc rằng hàm truyền đạt
= + cã cÊu tróc đơn giản xong lại đáp ứng đợc yêu cầu nêu trên của cả ba vùng tần số
Khi áp dụng phương pháp xấp xỉ hàm truyền đạt trong thiết kế bộ điều khiển tối ưu, cần lưu ý rằng xấp xỉ này chỉ đảm bảo về mặt biên độ và chủ yếu được sử dụng khi tổng hợp bộ điều khiển tối ưu độ lớn Tuy nhiên, xấp xỉ này không đảm bảo về góc pha, điều này có thể dẫn đến tình trạng hệ kín mất ổn định.
= Thì bộ điều khiển tối u đối xứng sẽ là bộ điều khiển PI ) s T
= Đối tợng là khâu tích phân quán tính bậc hai
= + thì bộ điều khiển tối u đối xứng sẽ là bộ điều khiÓn PID T s) s T
+ Với bộ điều khiển PI thì tham số đợc lựa chọn theo trình tự sau
Để xác định giá trị a (4 > a > 1) từ độ quá điều chỉnh δmax của hệ dao động, cần lưu ý rằng nếu a ≥ 4 thì hệ kín không dao động, trong khi nếu a ≤ 1 thì hệ kín không ổn định Do đó, giá trị a càng nhỏ thì độ quá điều chỉnh δmax càng lớn.
Bíc 2: TÝnh TI víi T I = aT Σ
Bíc 3: TÝnh kp víi a kT k p T Σ
+ Với bộ điều khiển PID thì tham số đợc lựa chọn nh sau
Bớc 1: bộ điều khiển PID sẽ đợc biến đổi thành s T
Bớc 4: Xác định các giá trị T B = aT Σ , TI=TA+TB, TD=TATB/TI,
Ví dụ 2.3: Xét đối tợng động cơ một chiều có mô hình nh sau:
Trong đó TCH = 0.15 (s), Tt = 0.01 (s), TC = 15 (s), TU = 0.07 (s),
KDT=2.5 Thiết kế bộ điều khiển PID theo phơng pháp tối u đối xứng cho đối tợng trên
- Dùng luật điều khiển PI: Xấp xỉ mô hình đối tợng về dạng
= trong đó T Σ = T CH +T C +T u +T t ,23s Bộ điều khiển
PI có hàm truyền đạt tổng quát s T
ứng với tín hiệu chủ đạo r(t)=1(t) và r(t)=t.1(t) có kết quả mô phỏng:
Nhận xét: Độ quá điều chỉnh lớn(σ max >46%) Thời gian quá độ lớn
T5% 0s Không có sai lệch tĩnh
- Luật điều khiển PID: Xấp xỉ mô hình đối tợng về dạng
= + trong đó T Σ =T CH +T U +T t =0,23s Bộ điều
Hình 2.6: Đáp ứng khi dùng khâu điều khiển PI ví dụ 2.3 khiển dùng là PID có hàm truyền tổng quát T s)
DK = + + Chọn a=4 ⇒ T I =4T Σ =4.0,23= 0.92 Chọn TD=TCs
P = = ⇒ Σ ứng với tín hiệu chủ đạo r(t)=1(t) và r(t)=t.1(t) có kế quả mô phỏng
Hệ thống dao động mạnh khi đầu vào là hàm bước nhảy, với thời gian quá độ kéo dài khoảng 500 giây và không có sai lệch tĩnh Để nâng cao chất lượng hệ kín, cần sử dụng bộ điều khiển tiền xử lý.
Mục đích của việc xây dựng bộ tiền xử lý là nhằm giảm thiểu độ quá điều chỉnh và thời gian quá độ trong quá trình thiết kế bộ điều khiển tối ưu đối xứng Trong một mạch vòng điều khiển kín, hàm truyền đạt của hệ hở được xác định như sau:
Hình 2.7: Đáp ứng khi dùng bộ điều khiển PID ví dụ 2.3 ω(t) e
Hình 2.8: Nguyên lý thiết kế khâu tiền xử lý
= + Nh vậy hàm truyền đạt hệ kín có dạng
= + Nguyên nhân làm tăng độ quá điều chỉnh δmax chính là thành phần vi phân có trong đa thức ở tử số của
Gk(s) Từ nhận định này ta đi xây dựng khâu tiền xử lý để giảm độ quá điều chỉnh s aT 1
= để loại thành phần vi phân ra khỏi đa thức ở tử số Khi đó hàm truyền đạt hệ thống có dạng:
≈ ω rộng nhất trong miền tần số thấp thì ta chọn a=4
Ví dụ 2.3 (tiếp): Xây dựng thêm bộ tiền xử lý (Bộ lọc) cho những bộ điều khiển tối u đối xứng đã thiết kế cho đối tợng động cơ
- Luật điều khiển PI: Nh ở trên ta đã thiết kế bộ điều khiển PI s) T
DK = + trong đó kp=0.013, TI`.92 Kết quả mô phỏng cho ta đáp ứng có độ quá điều chỉnh lớn nên ta dùng thêm bộ lọc s 92 , 60 1
ứng với tín hiệu chủ đạo là r(t) 1(t) ta có kế quả mô phỏng
Nhận xét: Độ quá điều chỉnh giảm nhiều (δmax