Trang 1 Bài giảng # 4CÁC DẠNG PHÂN BỐ CỦABIẾN NGẪU NHIÊN▪ Phân bố xác suất probability distribution▪ Phân bố nhị thức binomial distribution▪ Phân bố chuẩn normal distribution▪ Phân bố
9/26/2023 Bài giảng # CÁC DẠNG PHÂN BỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN CÁC DẠNG PHÂN BỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TS Nguyễn Tấn Chung - BM CNSHMT ▪ ▪ ▪ ▪ Phân bố xác suất (probability distribution) Phân bố nhị thức (binomial distribution) Phân bố chuẩn (normal distribution) Phân bố số trung bình lấy mẫu (sampling distribution of means) ▪ Phân bố t student (student’s t distribution) ▪ Phân bố F (Fisher distribution) 9/26/2023 Nội dung # 1: PHÂN BỐ XÁC SUẤT ▪ Định nghĩa xác suất ▪ Phân bố xác suất ▪ Trung bình và phương sai biến X ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT ❑ Xác xuất là gì? Xác suất biến cố A, p(A), số đo lường khả xuất biến cố A Số ln nằm Xác suất biến cố A lớn (càng gần 1), biến cố A có nhiều khả xảy Xác suất biến cố A nhỏ (càng gần 0), biến cố A có khả xảy ❑ Định nghĩa xác suất cổ điển − Giả sử biến cố A xảy f lần tổng số n lần thử nghiệm có đồng khả xuất hiện, thì xác suất A (gọi xác suất thành công) là: p ( A) = f ( A) n − Xác suất không xuất biến cố A (gọi xác suất thất bại) bằng: q = p(không A) = [n - f(A)]/n = - [f(A)/n] = - p(A) Do đó, p + q = p(A) + p(khơng A) = TS Nguyễn Tấn Chung - BM CNSHMT 9/26/2023 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT ❑ Định nghĩa theo tần suất • Giả sử phép thử lập lại nhiều lần điều kiện giống hệt Nếu n lần thực phép thử, biến cố A xuất f lần tỉ số F(A) = f(A)/n, gọi tần suất xuất biến cố A n phép thử Khi n gia tăng vô hạn (n → ), tần suất dao động quanh giá trị cố định p Hằng số p gọi xác suất A, ký hiệu p(A) • Tóm lại, A biến cố xảy ra, f(A) số lần biến cố A xảy n lần thử nghiệm, ta có: p(A) = f(A)/n, tần suất A n phép thử Khi n đủ lớn, p(A) gọi xác suất biến cố A xảy thí nghiệm ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT ❑ Xác suất có điều kiện: Biến cố đợc lập và phụ tḥc • Biến cớ A B độc lập với nhau: Nếu việc xảy không xảy biến cố không làm ảnh hưởng đến xác suất xuất biến cố • Biến cố A B phụ thuộc nhau: Việc xảy khơng xảy A có ảnh hưởng đến xác suất xảy B Xác suất B tính điều kiện biết A xảy gọi xác suất B với điều kiện A, ký hiệu p(B/A) hay gọi xác suất có p ( AB ) điều kiện B với điều kiện A xảy p( B / A) = p ( A) • Nếu biểu thị AB biến cố mà “cả A B xảy ra” hay gọi biến cố phức, lúc đó: p(AB) = p(A).p(B/A) Nếu A B độc lập thì: p(AB) = p(A).p(B) • Tổng qt: Biến cố A, B C, ta có: p(ABC) = p(A).p(B/A).p(C/AB) Nếu A, B C độc lập thì: p(ABC) = p(A).p(B).p(C) TS Nguyễn Tấn Chung - BM CNSHMT 9/26/2023 VÍ DỤ Tuổi 40 sinh viên lớp trình bày bảng bên Giả sử chọn ngẫu nhiên sinh viên, nghĩa sinh viên có khả chọn nhau, tìm xác suất để chọn sinh viên 19 tuổi Tuổi 40 sinh viên một lớp Tuổi 17 18 19 20 21 22 Tổng: Tần số 24 40 Tần suất 0,025 0,050 0,225 0,600 0,075 0,025 1,000 Vì có số 40 sinh viên lớp 19 tuổi Vì vậy, có số 40 hội để chọn sinh viên có độ tuổi 19 Xác suất là: Số sinh viên 19 tuổi Tổng số sinh viên = = 0,225 40 Nội dung # 2: PHÂN BỐ NHỊ THỨC ▪ Định nghĩa ▪ Ví dụ ▪ Công thức tính TS Nguyễn Tấn Chung - BM CNSHMT 9/26/2023 PHÂN BỐ NHỊ THỨC: ĐỊNH NGHĨA - Trong thống kê, phân bố nhị thức mơ tả số lần xảy biến cố chuỗi quan sát Biến cố viết mã nhị phân, khơng thể xảy - Phân bố nhị thức sử dụng nhà nghiên cứu quan tâm đến xuất biến cố, khơng phải tính chất quan trọng biến cố - Chẳng hạn, thử nghiệm thuốc trừ sâu, sâu sống hay chết Nhà nghiên cứu quan sát số lượng sâu sống sót, khơng phải sâu sống sau xử lý Phân bố nhị thức ghi rõ số lượng quan sát (n) xác suất xuất ký hiệu p PHÂN BỐ NHỊ THỨC: VÍ DỤ - Nếu tung đồng xu lần: Chúng ta đạt 0, 1, 2, hay mặt ngửa, đạt 4, 3, 2, 1, mặt sấp - Khả đạt 0, 1, 2, 3, mặt ngửa 1/16, 4/16, 6/16, 4/16 1/16 Biểu đồ phân bố xác suất biến X với p = ½ : Xác suất 0.4 p( x) = n! p x (1 − p) n− x x!(n − x)! 1 0.3 0.2 1 0.1 0 Giá trị X TS Nguyễn Tấn Chung - BM CNSHMT 3 10 1 10 9/26/2023 PHÂN BỐ NHỊ THỨC: CÔNG THỨC - Nếu p xác suất biến cố xảy thử nghiệm (xác suất thành công) q = - p xác suất để biến cố khơng xảy (xác suất thất bại) - Lúc xác suất để biến cố xảy xác X lần N thử nghiệm độc lập (nghĩa xảy X lần thành công N - X lần thất bại) tính: p( x ) = C XN p X q N −X = N! p X q N−X X!( N − X)! Tính chất Phân bố nhị thức Trung bình () Phương sai (2 ) Độ lệch chuẩn () Np Npq = Np(1 - p) Npq = Np(1 − p) Nội dung # 3: PHÂN BỐ CHUẨN ▪ Định nghĩa ▪ Ví dụ ▪ Công thức tính TS Nguyễn Tấn Chung - BM CNSHMT 9/26/2023 PHÂN BỐ CHUẨN: ĐỊNH NGHĨA - Biến liên tục mơ hình hóa phân bố xác suất lý thuyết có dạng hình chng, gọi phân bố chuẩn hay phân bố Gauss - Phân bố chuẩn thường gặp lý thuyết lẫn thực hành Người ta nhận thấy nhiều số đo tự nhiên chiều cao, trọng lượng, suất, có phân bố dạng hình chng - Phân bố chuẩn thường áp dụng thống kê suy luận Ở số trường hợp, phân bố chuẩn dùng để suy luận trung bình tổng thể HÀM MẬT ĐỘ CỦA PHÂN BỐ CHUẨN Biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố chuẩn với hai tham số 2, kí hiệu: X ~ N( , 2 ), hàm mật độ có dạng: f ( X ) = Y = 2 e − ( X − ) / 2 với - < X < + ; : trung bình, : độ lệch chuẩn, = 3,14159 e = 2,71828 : Hai tham số độc lập hàm mật độ, số thực số thực không âm Mỗi cặp có phân bố chuẩn khác TS Nguyễn Tấn Chung - BM CNSHMT 9/26/2023 PHÂN BỐ CHUẨN: THEO THỰC NGHIỆM − 68,26% giá trị tổng thể nằm độ lệch chuẩn hai phía trung bình; - + − 95,44% giá trị tổng thể nằm hai độ lệch chuẩn hai phía trung bình; - 2 + 2 − 99,74% giá trị tổng thể nằm ba độ lệch chuẩn hai phía trung bình; - 3 + 3 Nội dung # 4: PHÂN BỐ CỦA CÁC SỐ TRUNG BÌNH LẤY MẪU ▪ Trung bình, phương sai, đợ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên ▪ Định lý giới hạn trung tâm (The central limit theorem) TS Nguyễn Tấn Chung - BM CNSHMT 9/26/2023 TRUNG BÌNH, PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN CỦA X - Khi lấy mẫu từ tổng thể, trung bình mẫu ( X ) biến ngẫu nhiên giá trị phụ thuộc vào mẫu rút ngẫu nhiên - Phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X gọi phân bố số trung bình lấy mẫu - Khi cỡ mẫu gia tăng, trung bình mẫu hợp thành nhóm xung quanh giá trị trung bình tổng thể Do đó, cỡ mẫu lớn, sai số lấy mẫu nhỏ, trung bình mẫu ( X ) có khuynh hướng ước lượng trung bình tổng thể () - Một mẫu ngẫu nhiên có cỡ mẫu n rút từ tổng thể có phân bố chuẩn với BIẾN NGẪU NHIÊN trung bình độ lệch chuẩn Thì biến ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn với trung bình: X = độ lệch chuẩn: X = / n - Khi tổng thể có phân bố chuẩn, phân bố trung bình mẫu có phân bố chuẩn cỡ mẫu nhỏ (n < 30) ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM (CENTRAL LIMIT THEOREM) - Dù biến ngẫu nhiên X có phân bố nào, phân bố trung bình mẫu X xấp xỉ phân bố chuẩn n lớn - Giả sử mẫu ngẫu nhiên với cỡ mẫu n 30 rút từ tổng thể có trung bình độ lệch chuẩn Lúc đó, bất chấp phân bố tổng thể, biến ngẫu nhiên X có phân bố xấp xỉ chuẩn với trung bình: X = độ lệch chuẩn X = / n - Nếu n 30, lúc xác suất X gần với diện tích đường cong chuẩn có tham số / n - Nếu tổng thể có phân bố chuẩn n >= 30, lúc xác suất biến ngẫu nhiên: z= X − X X = X − / n (a) xác phân bố chuẩn tắc tổng thể có phân bố chuẩn, bất chấp cỡ mẫu (b) có phân bố gần chuẩn tắc n 30, bất chấp tổng thể có phân bố TS Nguyễn Tấn Chung - BM CNSHMT 9/26/2023 Nội dung # 5: PHÂN BỐ t - STUDENT ▪ Định nghĩa phân bố t ▪ Sử dụng Bảng t ▪ Tìm diện tích đường cong t HÀM MẬT ĐỘ CỦA PHÂN BỐ t - Trong thí nghiệm, độ lệch chuẩn tổng thể thường khơng biết Với n 30, ước lượng s (độ lệch chuẩn mẫu), dùng phân bố chuẩn để kết luận - Nếu n < 30, phương pháp không cho xác suất đáng tin cậy Chúng ta cần nhận dạng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên có cách thay độ lệch chuẩn độ lệch chuẩn mẫu Khi phân bố xác suất xét phân bố student (t) khơng có phân bố chuẩn tắc, biến ngẫu nhiên: t = X − s/ n William Sealy Gosset (1908) tìm phân bố xác suất biến ngẫu nhiên t đặt tên phân bố Student phân bố t Hàm mật độ phân bố t có dạng: f (t ) = C t2 1 + n −1 n f (t ) = C +1 t2 1 + C số phụ thuộc vào ; số độ tự (n – 1) TS Nguyễn Tấn Chung - BM CNSHMT 10 9/26/2023 HÀM MẬT ĐỘ CỦA PHÂN BỐ t - Đường cong t phụ thuộc vào độ tự (df) Ứng với df có đường cong t khác nhau, tất đường cong t giống với đường cong chuẩn tắc đối xứng qua Đường cong t =6 Đường cong chuẩn tắc Đường cong t =1 Đường cong chuẩn tắc và hai đường cong t - Khi df gia tăng đường cong t tiến gần đến đường cong chuẩn tắc Đường cong chuẩn tắc trường hợp đặc biệt đường cong t độ tự tiến đến vô cực CÁCH SỬ DỤNG BẢNG t Ví dụ 1: Cho đường cong t có 15 độ tự do, tìm hai giá trị t có diện tích tính từ giá trị hai phía (phải trái) 0,025 (t0,025,;15) Tìm bảng t (Phụ lục 2-Table A2) độ tự 15 = 0,05, giá trị t tìm 2,131 (Hình 2.19) TS Nguyễn Tấn Chung - BM CNSHMT 11 9/26/2023 CÁCH SỬ DỤNG BẢNG t Ví dụ 2: Cho đường cong t có df = 21, tìm giá trị t có diện tích 0,05 (t0,05) bên phải Để tìm giá trị t có diện tích bên phải 0,05; sử dụng bảng t hai Phụ lụcTable A2, nên ta phải nhân diện tích cho Lúc tổng diện tích hai phía 0,1 Giá trị t tìm bảng độ tự = 21 = 0, 05 1,721 Nội dung # 6: PHÂN BỐ F-Fisher ▪ Định nghĩa phân bố F ▪ Sử dụng Bảng F ▪ Tìm diện tích đường cong F TS Nguyễn Tấn Chung - BM CNSHMT 12 9/26/2023 HÀM MẬT ĐỘ CỦA PHÂN BỐ F Biến ngẫu nhiên F gọi có phân bố Fisher với ( 1, 2 ) độ tự do, hàm mật độ có dạng: f ( F ) = 1 −1 CF ( F + ) (1 + ) / X với C số dương phụ thuộc vào 1 2 ; 1 2 độ tự tử số (n1 – 1) mẫu số (n2 – 1) Xác suất biến ngẫu nhiên có phân phối F diện tích đường cong F Đường cong F phụ thuộc vào cặp độ tự do, (1, 2 ), 1 tương ứng với độ tự tử số 2 tương ứng với độ tự mẫu số HÀM MẬT ĐỘ CỦA PHÂN BỐ F Đường cong F không đối xứng mà lệch bên phải Nó bắt đầu trục hồnh kéo dài vơ hạn bên phải tiệm cận với trục hồnh Nếu diện tích đường cong F bên phải trị số F,1,2 , lúc đó: F,1,2 = 1/ F , , Phân bố F có quan hệ với phân bố t: F,1, = (t/ 2, ) 2 Snedecor lập bảng số cho giá trị tiêu chuẩn F hai ngưỡng xác suất thường dùng: = 0,05 = 0,01 (Phụ lục-Table A4) Nếu số thống kê F tính lớn F tiêu chuẩn, kết luận hai phương sai khác biệt có ý nghĩa TS Nguyễn Tấn Chung - BM CNSHMT 13 9/26/2023 CÁCH SỬ DỤNG BẢNG F ▪ Ở bảng F (Table A4), hàng ghi độ tự tử số cột ghi độ tự mẫu số Các giá trị bên bảng giá trị F Ứng với cặp độ tự do, tìm giá trị F có diện tích tính từ giá trị bên phải đường cong 0,05 (in lợt) 0,01 (in đậm) ▪ Ví dụ: Cho đường cong F có có độ tự tử số 30 mẫu số 8, Hãy xác định hai giá trị F có diện tích bên phải bên trái 0,05 diện tích 0,90 CÁCH SỬ DỤNG BẢNG F Tìm bảng F (Phụ lục-Table A4) diện tích 0,05, độ tự tử số 30 mẫu số ngược lại, ta có: F005308 = 3,079 F005830 = 2,266 Như vậy, giá trị F có diện tích bên phải 0,05 3,076 Để tìm giá trị F có diện tích bên trái 0,05, dùng công thức liên hệ F, , = 1/ F , , 1 Do đó: F0,05;30,8 = / F0,05;8,30 = / 2,266 = 0,441 Vì thế, hai giá trị F cần tìm 0,441 3,079 TS Nguyễn Tấn Chung - BM CNSHMT 14