luận văn thạc sĩ một số hệ phương trình không mẫu mực

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Phạm Thị Nhẫn MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN XUÂN THẢO Hà Nội – Năm 2015 z Mục lục Mở đầu lời cảm ơn Hệ phương trình 1.1 Hệ phương trình tuyến tính 1.1.1 Hệ hai phương trình tuyến tính 1.1.2 Hệ ba phương trình tuyến tính 1.2 Hệ phương trình phi tuyến 1.2.1 Hệ phương trình đối xứng 1.2.2 Hệ hai phương trình đẳng cấp 1.2.3 Hệ phương trình hốn vị 1.2.4 Hệ hai phương trình bậc tổng quát Một số phương pháp giải hệ phương trình 2.1 Phương pháp cộng đại số 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3 Phương pháp lượng giác 2.4 Phương pháp sử dụng tính chất hàm số 2.5 Phương pháp đánh giá Giải số hệ khơng mẫu mực 3.1 Hệ phương trình đại số 3.2 Hệ phương trình vơ tỉ 3.3 Hệ phương trình chứa mũ logarít 3.4 Hệ phương trình hỗn hợp 4 6 12 14 16 18 18 21 24 27 32 37 37 45 48 50 KẾT LUẬN 53 Tài liệu tham khảo 54 z Mở đầu Hệ phương trình phân mơn quan trọng Đại số có ứng dụng ngành khoa học kỹ thuật cần xem xét nhiều đại lượng Sớm biết từ xa xưa nhu cầu tính toán người ngày phát triển theo thời gian đến xét Toán học hệ phương trình đa dạng hình thức như: hệ phương trình đại số, hệ phương trình vơ tỉ, hệ phương trình có chứa mũ logarít phức tạp cách tìm hướng giải Trong năm gần từ năm 2002 - 2014 hệ phương trình khơng mẫu mực thường xun xuất kỳ thi Olympic Toán, VMO, tuyển sinh Đại học - Cao đẳng Đây loại tốn khó địi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức giải tích, hình học lượng giác Tác giả chọn đề tài Luận văn "Một số hệ phương trình khơng mẫu mực" nhằm nghiên cứu cách hệ thống hệ phương trình khơng mẫu mực vận dụng chúng đề thi quốc tế quốc gia Trong luận văn "hệ phương trình khơng mẫu mực" hiểu hệ có chứa lớp hàm khác (chứa căn, mũ logarít, lượng giác ) cách giải chúng không thực biến đổi thông thường cần vận dụng phương pháp so sánh, ước lượng Luận văn gồm chương với nội dung sau Chương Hệ phương trình đưa loại hệ phương trình thường gặp chương trình phổ thông đề cập cách giải tổng quát Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình đề cập phương pháp giải hệ truyền thống: phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp lượng giác hóa phương pháp giải đặc biệt cho hệ không mẫu mực: phương pháp sử dụng tính chất hàm số, phương pháp đánh giá Chương Giải số hệ phương trình khơng mẫu mực chương chủ yếu giới thiệu hệ phương trình khơng mẫu mực kỳ thi quốc tế quốc gia z Lời cảm ơn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo - người thầy tận tâm với nghề, thầy không người chắp bút cho tác giả hoàn thành xuất sắc Luận văn, mà thầy cho tác giả nghị lực phấn đấu, nhìn khác định hướng tương lai nghề nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phịng Đào tạo Sau đại học Khoa Tốn - Cơ - Tin học, thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao học Tốn niên khóa 2013 - 2015, thầy cô anh chị Seminar "Phương pháp Toán sơ cấp" trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Seminar "Giải tích" Viện Tốn tin ứng dụng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu trường Nhân tác giả xin gửi lời cảm ơn bạn học viên cao học khóa 2013 - 2015, gia đình bạn bè ln ủng hộ khích lệ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Luận văn Mặc dù tác giả cố gắng nhiều kết Luận văn cịn khiêm tốn khó tránh khỏi khiếm khuyết Tác giả mong nhận đóng góp quý báu thầy cô độc giả để Luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 24 tháng năm 2015 Học viên Phạm Thị Nhẫn z luan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.muc Chương Hệ phương trình Trong Chương tác giả khái quát lại số hệ phương trình hệ thống chương trình THPT, phương pháp giải tổng quát ví dụ minh họa cho dạng cụ thể Các ví dụ trình bày trích "Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn - Văn Phú Quốc", "Tuyển chọn giải hệ phương trình thường gặp kỳ thi Đại học Cao đẳng - Hà Văn Chương" 1.1 Hệ phương trình tuyến tính 1.1.1 Hệ hai phương trình tuyến tính  Hệ hai phương trình tuyến tính có dạng ax + by = c a0 x + b y = c Cách giải Cách Sử dụng phương pháp Cramen Tính định thức a b D = luan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.muc Chương Hệ phương trình Lời giải Điều kiện x, y, z < Hệ phương trình cho tương đương với  x  log3 (6 − y) = √    x − 2x +  y log3 (6 − z) = p y − 2y +   z   log3 (6 − x) = √ z − 2z + Xét hàm số f (t) = √ t (−∞; 6) − 2t + 6−t √ > 0, ∀t < Ta có f (t) = (t − 2t + 6) t2 − 2t + ⇒ f (x) đồng biến (−∞; 6) t2 Khơng tính tổng qt, giả sử x = max{x, y, z} Xét hai trường hợp Trường hợp 1: x ≥ y ≥ z Do f (x) đồng biến (−∞; 6) nên ta có log3 (6 − y) ≥ log3 (6 − z) ≥ log3 (6 − x) ⇔ x ≥ z ≥ z Vì y ≥ z, x ≥ y nên y = z ⇒ x = y = z Trường hợp 2: x ≥ z ≥ y Chứng minh tương tự ta suy x = y = z Từ suy hệ phương trình có nghiệm (3; 3; 3) 1.2.4 Hệ hai phương trình bậc tổng quát Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng tổng quát  2 a1 x + b1 xy + c1 y + d1 x + e1 y + f1 = a2 x2 + b2 xy + c2 y + d2 x + e2 y + f2 = Trong , bi , ci , di , ei , fi (i = 1, 2) tham số x, y ẩn số Ta xét trường hợp đặc biệt hệ a) Hệ chứa phương trình bậc Ta biểu diễn x theo y ngược lại từ phương trình, thay vào phương trình cịn lại để có phương trình bậc ẩn 16 luan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.muc z luan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.muc Chương Hệ phương trình b) Hệ chứa phương trình bậc Nếu hai phương trình hệ khơng chứa hạng tử bậc số hạng tự do, chẳng hạn d1 = e1 = f1 = hệ đưa phương trình bậc hai cách đặt y = tx thay vào phương trình để tìm t, từ thay vào phương trình thứ để tìm x, y tương ứng Phương pháp áp dụng để giải hệ gồm phương trình bán đẳng cấp bậc hai  a1 x2 + b1 xy + c1 y + f1 = a2 x2 + b2 xy + c2 y + f2 = Trong trường hợp tổng quát, phép giải hệ bậc hai ẩn dẫn đến giải phương trình bậc cao ≥ Nhưng với số hệ phương trình, ta đưa hệ bán đẳng cách đặt x = u + a; y = v + b u, v ẩn (phương pháp tịnh tiến nghiệm) Ta cần tìm số a, b để hạng tử bậc hai phương trình bị triệt tiêu, hệ thu hệ đẳng cấp Ví dụ 1.13 Giải hệ phương trình  2 x + 3y + 4xy − 18x − 22y + 31 = 2x2 + 4y + 2xy + 6x − 46y + 175 = Lời giải Đặt x = u − 5; y = v + hệ phương trình trở thành   2 u + 3v + 4uv = 2u2 + 4v + 2uv = ⇔ u + v − 2uv = u2 + 3v + 4uv =   ⇔ u=v u2 + 3v + 4uv =  ⇔ u=v 8u2 =  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  ⇔ u=v= √ 2 −1 u=v=− √ 2   1 √ − 5; √ + , 2 2 Tóm lại, Chương I Luận văn trình bày cách khái quát dạng hệ phương trình bản, đưa phương pháp giải tổng quát ví dụ minh họa cho dạng Qua cho thấy để giải hệ phương trình ln đưa hệ công cụ kỹ thuật biến đổi khác 17 luan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.muc z  −1 −1 √ − 5; √ + 2 2 luan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.muc Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình Để tìm hướng giải cho tốn phương trình khó, hệ phương trình phức tạp Chương II Luận văn trình bày số phương pháp giải hệ thường áp dụng cho hệ phương trình ẩn, phương trình ẩn phương trình ẩn có độ phức tạp cao 2.1 Phương pháp cộng đại số Từ phương trình kết hợp phương trình hệ ta biểu diễn ẩn qua ẩn vào phương trình cịn lại hệ Từ đưa giải phương trình ẩn Ví dụ 2.1 (VMO 2007) Giải hệ phương trình   √ 12   x=2  1− y + 3x   12 √   y=6  1+ y + 3x Lời giải Điều kiện x > 0, y > 0, y + 3x 6= Hệ phương trình tương đương   12   =√ √ + √ = 1 − y + 3x x 12  =√ 1 + y + 3x y ⇔ y x 12  − √ + √ = y y + 3x x Nhân (2.1) (2.2) theo vế ta 12 − = ⇔ y + 6xy − 27x2 = ⇔ y x y + 3x 18 luan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.muc z  y = 3x y = −9x (2.1) (2.2) luan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.muc Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình Do x , y > nên y = 3x Thay y = 3x vào phương trình (2.1) ta √ +√ =1 x 3x √ √ Giải phương trình ta tìm x = + ⇒ y = 12 + √ √ Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (4 + 3; 12 + 3) Ví dụ 2.2 Giải hệ phương trình  y = (5x + 4)(4 − x) y − 5x2 − 4xy + 16x − 8y + 16 = Lời giải Từ phương trình thứ hai hệ ta có y − 5x2 − 4xy + 16x − 8y + 16 = ⇔ y − (4x + 8)y − 5x2 + 16x + 16 =  ⇔ y = 5x + y = −x + + Với y = 5x + 4, thay vào phương trình thứ hệ ta " (5x + 4)2 = (5x + 4)(4 − x) ⇔ 6x(5x + 4) = ⇔ x=0⇒y=4 x=− ⇒y=0 + Với y = -x + 4, thay vào phương trình thứ hệ ta  (−x + 4)2 = (5x + 4)(4 − x) ⇔ 6x(4 − x) = ⇔ Vậy nghiệm hệ cho (0; 4), (4; 0), (− ; 0) Ví dụ 2.3 Giải hệ phương trình   6x − = √3x − y + 3y y √  p 3x + 3x − y = 6x + 3y − Lời giải √ Điều kiện 3x − y ≥ 0, 3x + 3x − y ≥ 0, y 6= Ta có 19 luan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.mucluan.van.thac.si.mot.so.he.phuong.trinh.khong.mau.muc z x=0⇒y=4 x=4⇒y=0