Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp

Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp

Mộtvàikiếnthứccơbản

Cáckháiniệmvàmộtsốkếtquảcơbảntrongkhônggian

ChoHlà một khụng gian Hilbert thựcvới tớchvụhướng⟨x,ã, ã⟩, ký hiệu∥x∥ ã

∥x∥làchuẩncảm sinh tương ứng Tíchvôhướng⟨x,x,y⟩là một hàm liên tục theo các biếnxvày,đồng thời thỏa mãn bất đẳng thứcCauchy-Schwarz

| x, y | ≤ x y , x, y ⟨x, ⟩ ∥x∥ ∥x∥∥x∥ ∥x∥ ∀y ∈H. Định nghĩa 1.1.Một dãy{x k }trongHđược gọi là ˆ hộitụmạnh(hayhộitụtheochuẩn)tớixˆ∈H,nếu∥x∥x k −xˆ∥x∥→0khik→∞ vàđượckýhiệubởix k →xˆ; ˆ hộitụyếutớixˆ∈H,nếu⟨x,y,x k ⟩→⟨x,y,xˆ⟩khik→∞vớimọiy∈Hvàđượckýhiệubởix k ⇀ xˆ.

Cầnchúýrằng,trongkhônggianHilberthữuhạnchiềuhoặctrêntậpcompact tương đối, hai loại hội tụ trên là trùng nhau.Trongkhông gian

Hilbertvôhạnchiềutổngquát,từx k →xˆsuyrax k ⇀xˆ.Đểcóđiềungượclạichúngtaphả icầnthêmđiềukiện∥x∥x k ∥x∥→∥x∥xˆ∥x∥(xem[22]).

Một số tớnh chất quan trọng của chuẩn∥x∥ ∥x∥ ã được phỏt biểu trong bổ đề sau.

Bổ đề 1.1.[31, Bổ đề 2.1]Vớia, b ∈Hbất kỳ, ta có

(iv)∥x∥a+b∥x∥ 2 ≤ a∥x∥ ∥x∥ 2 + 2⟨x,b, a+b⟩. Địnhn g h ĩ a 1 2 C h oCl àmộttậpconcủakhônggianHilbertthựcH.Khiđó, ˆtậpCđược gọi làtập lồitrongH, nếuvớimọia, b C, ∈ γ ∈[0,1]kéotheo a γ + (1− γ)bcũng thuộcC; ˆtậpCđượcgọilànóncóđỉnhtại0,nếuvớimọix∈Cvàvớimọiα∈R ∗ + kéotheoαx

∈C.KhiC−x 0 lànóncóđỉnhtại0thìtanóiClànóncóđỉnh tạix 0 ; ˆtậpCđược gọi lànón lồi, nếuCvừa là nón vừa là tập lồi.

Dễ thấyR n ,∅, các nửa không gian, hình cầu, đa diệnM={x ∈R n :Ax ≤ b}

(vớiA ∈R m×n ,b∈R m ) là các tập lồi trong không gianR n và tập

{x=(x1,x2, ,x n )∈R n :x i ≥0,i= 1, , n}, là nón lồi có đỉnh tại0trong không gianR n

Nón pháp tuyến ngoài và nón pháp tuyến trong là hai khái niệm quan trọng trong Lý thuyết tối ưu và lý thuyết bất đẳng thức biến phân Chúng có vai trò thiết yếu trong việc giải quyết các bài toán cân bằng trong không gian Định nghĩa 1.3 đề cập đến các khái niệm liên quan đến nón pháp tuyến trong không gian.

H,x ∗ là m t ph n t thu c t pCột ần tử thuộc tậpC ử thuộc tậpC ột ậ Khi đó, ˆtậpN C (x ∗ ) ={ω ∈ ∈H:⟨x,ω ∈, y−x ∗ ⟩≤0, y ∀y ∈ C}được gọi lànón pháp tuyếnngoàicủaCtạix ∗

2 ˆtậpN ϵ (x ∗ ) ={ ω ∈ ∈H:⟨x,ω ∈, y−x ∗ ⟩≤ , y C}ϵ ∀y ∈ , vớiϵ≥0, được gọi lànónpháp tuyến xấp xỉ ngoàicủaCtạix ∗

Từ định nghĩa trên ta có, nếux ∗ ∈intCthìN C (x ∗ )={0}.Vớim ọ iϵ

≥0vàx 0 ∈C,N C (x 0 )⊆ N N ϵ (x 0 ).Dướiđâylàhìnhminh họachonón pháp tuyến ngoài của tậpCtại điểmx ∗

Hình 1.1: Tập nón pháp tuyến ngoàiN C (x ∗ )

Cho \( C \) là một tập con khác rỗng trong không gian Hilbert \( H \) và hàm số \( f: C \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) Tập hợp \( \text{dom} f = \{ x \in C : f(x) < +\infty \} \) và \( \text{epif} = \{ (x, a) \in C \times \mathbb{R} : f(x) \leq a \} \) được gọi là miền hữu hiệu và tập trên đồ thị tương ứng của hàm \( f \) Một hàm \( f \) có \( \text{dom} f \neq \emptyset \) và \( f(x) > -\infty \) với mọi \( x \in C \) được gọi là hàm chính thường trên miền \( C \) Hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu và lý thuyết bất đẳng thức biến phân Một hàm chính thường \( f: C \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) được gọi là lồi mạnh trên \( C \) với hằng số \( \beta > 0 \) nếu thỏa mãn các điều kiện nhất định.

Từ định nghĩa:lồi mạnh⇒lồi chặt⇒lồi⇒tựa lồi.

1) Cho tập lồiC,khi đó hàmchỉδ (v)=0 khiv ∈C

2)Hàm toàn phươngf(x)= 1 ⟨x,x, Ax⟩+⟨x,x,a⟩+bvớiA ∈R n×n nửa xác định dương,a ∈R n vàb ∈Rcũng là một hàm lồi trên R n

3) ChoC⊂R n (n≥2)là tập lồi, khác rỗng Khi đó, hàm sốf(x)=∥x∥ ∥x∥x lồi trênC Hơn nữa, nếu0∈ CvàC \ {0}=∅thìfkhông lồi chặt trênC.

4) Hàm sốftừR n vàoRxác định bởif(x)= 1 ∥x∥ ∥x∥x 2 là lồi mạnh trênR n với hệ sốτ= 1

Tập Lα(f) được định nghĩa là {x ∈ C: f(x) ≤ α} và tập L0(f) là {x ∈ C: f(x) < α}, tương ứng với tập mức dưới và tập mức dưới chặt của hàm f Khi hàm f có tính chất nhất định, hàm f lồi khi và chỉ khi tập pi f lồi và các tập dom(f), Lα(f), L0(f) cũng lồi Định nghĩa 1.5 nêu rõ rằng, cho hàm chính thường f: H → R ∪ {±∞}, một phần tử w ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x0 nếu w, x −.

Tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại x0, ký hiệu là ∂f(x0) Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f(x0) khác rỗng Hàm f được xem là khả dưới vi phân trên H, nếu ∂f(x) khác rỗng với mọi x thuộc H.

2 2 ˆPhần tửw ∈Hđược gọi làdưới đạo hàm xấp xỉcủaftạix 0 , nếu w, x − x

⟨x, 0 ⟩+f(x 0 )≤ f(x) +ϵ ∀y ∈, x H, vớiϵ>0cố địnhchotrước.Tậphợptấtcả các dưới đạo hàm xấp xỉ của hàmftạix 0 được gọi làdưới vi phân xấp xỉcủa hàmftạix 0 vàđược kí hiệubởi∂ ϵ f(x 0 ).

Từ định nghĩa suy ra,∂f(x 0 )⊆ N ∂ ϵ f(x 0 )với mọiϵ ≥0.

Chúý 1.1 Vớihàmf:C →R, ta định nghĩa dưới vi phân và dưới vi phân xấpxỉ của hàmftrênCnhưtrongĐịnh nghĩa1.5bằng cáchmởrộnghàmflêntoànbộkhông gian nhưsau

1) Chúng ta đã biết hàm sốf(x)=|x|không có đạo hàm tại0.Tuynhiên dễdàngtínhđượcdướiviphâncủaft iại 0làđoạn[−1,1].Tổngquáttacó dưới vi phân của hàmf(x)=∥x∥ ∥x∥x từR n vàoRlà

Khi đó, dưới vi phân xấp xỉ củahtại0là∂ ϵ h(0) = [0,1]và dưới vi phân xấp xỉ củahtại2là∂ ϵ h(2) = [−2,0]với mỗiϵ >0.

3) Cho hàm sốg:R→R∪ {±∞} {+∞}được xác địnhbởi g(x)=

Khi đó,∂g(0)=∅.Tuynhiên,vớimọiϵ >0ta có dưới vi phân xấp xỉc ủ a gtại0là

∈ Định nghĩa 1.6.Cho∅= C ⊆ NH Hàm sốg:C →R∪ {±∞} {+∞}được gọi là ˆ nửa liên tục dướitạix ∗ ∈ C, nếu

∀y k } C⊂ :x k → αx ∗ ⇒lim infg(x k )≥ g(x ∗ ); ˆ nửa liên tục dưới yếutạix ∗ ∈ C, nếu

∀y k } C⊂ :x k ⇀ αx ∗ ⇒lim infg(x k )≥ g(x ∗ ); ˆ nửa liên tụctrêntạix ∗ ∈C,nếu

∀y{x k } C⊂ :x k → αx ∗ ⇒lim supg(x k )≤ g(x ∗ ); k→+∞ ˆ nửa liên tục trên yếutạix ∗ ∈ C, nếu

Trong bài viết này, chúng ta xem xét các khái niệm liên quan đến tính liên tục và bán liên tục trong không gian C Đầu tiên, nếu dãy {x_k} thuộc C hội tụ đến x* thì giới hạn trên của g(x_k) sẽ không vượt quá g(x*) Tiếp theo, x* được gọi là liên tục tại C nếu nó vừa nửa liên tục dưới vừa nửa liên tục trên Thêm vào đó, x* được coi là bán liên tục tại C nếu giới hạn khi t tiến đến 0 từ phía dương của f(tz + (1-t)x*) bằng f(x*) Cuối cùng, một hàm g được coi là liên tục yếu theo dãy trên C nếu dãy {x_k} hội tụ yếu đến x* thì giới hạn của g(x_k) sẽ bằng g(x*) Các khái niệm này bao gồm nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên, và các dạng yếu của chúng, áp dụng cho mọi điểm x* trong C.

Tính nửa liên tục dưới của một hàm số có mối quan hệ chặt chẽ với tính đóng của tập trên đồ thị và tập mức dưới của hàm số Định lý 1.1 khẳng định rằng, cho C ⊆ NH là tập không rỗng và hàm f: C → R ∪ {±∞}{+∞}, thì các khẳng định liên quan đến tính nửa liên tục dưới và các thuộc tính của tập mức dưới là tương đương.

(ii) Tậptrênđồ thịepiflà tập đóngtrongC ×R.

Phép chiếuvàánh xạ đơn điệu

∈C}đượcgọilàphépchiếucủaHlênC.PhầntửPr C (x)∈Cđượcgọilàhìnhchiếucủaxtrê nCvà x∥x∥ −Pr C (x)∥x∥chínhlàkhoảngcáchtừxt iới tậpC.Trongtrường hợp đặc biệt, tậpCcó dạng:C={t ∈H:⟨x,a, t⟩ ≤ b}(là một nửa khônggian), phépchiếuPr C (x)đượcchobởicôngthứcdạnghiểnsau:

Mệnh đề 1.1.[23, Mệnh đề 4.8]ChoClà tập con lồi đóng khác rỗng của khônggian Hilbert thựcH Khi đó,

(a)với mỗiu ∈H, tồn tại duy nhấtPr C (u);

Mệnh đề 1.2.[61, Mệnh đề 4.1]ChoClà một tậpconlồi đóng khácrỗngcủakhông gianHilbertthựcH Khiđ ó ,

(b)∥x∥t −Pr C (u − v)∥x∥ 2 ≤ u − t∥x∥ ∥x∥ 2 −2⟨x,u − t,v⟩+5∥x∥ ∥x∥v 2 , u , t ∀y ∈ C , v ∈H.Tiếp theo là các khái niệmvềtính đơn điệuvàtính liên tục kiểu Lipschitz của một ánhx ạ

{ } Định nghĩa 1.7.ChoClà một tập con của không gian Hilbert thựcHvàánh xạF:C

→H Khi đó,Fđược gọilà ˆ đơn điệu mạnh ngượctrênCvới hằng sốα, nếu tồn tại sốα>0sao cho u − v, F

⟨x, (u)− F(v)⟩ β >∥x∥ ≥ F(u)− F(v)∥x∥với mọiu, v C,∈ khiα= 1, thìFđược gọi là không giãn vững trênC; ˆ đơn điệu mạnhtrênCvới hằng sốβ >, nếu tồn tại sốβ > >0sao cho u − v, F

⟨x, (u)− F(v)⟩ β >∥x∥ ≥ u − v∥x∥với mọiu, v C∈ ; ˆ đơn điệu chặttrênC,nếuvớimọiu, v C∈ vàu̸=vtac ó u − v, F

⟨x, (u)− F(v)⟩ ≥0với mọiu, v C∈ ; ˆ giả đơn điệutrênCvớihằng sốγ,nếu tồn tại sốγ>0saocho

⟨x,u −v,F(v)⟩≥0⇒ ⟨x, u −v,F(u)⟩≥γ∥x∥u−v∥x∥vớimọiu, v ∈C; ˆ giả đơn điệu mạnhtrênC,n ế u u − v, F

⟨x, (v)⟩ ≥0⇒ ⟨x, u − v, F(u)⟩ ≥0với mọiu, v C∈ ; ˆ liên tục LipschitztrênCvới hằng sốL, nếu tồn tại sốL >0sao cho

∥x∥ (u)− F(v)∥x∥ ≤ L u − v∥x∥ ∥x∥với mọiu, v C,∈ hơn nữa nếuL ∈(0,1)thìFđược gọi là ánh xạ co trênC Đặc biệtL= 1,

Fđược gọi là ánh xạ không giãn trênC; ˆ tiệm cận không giãntrênC, nếu tồn tại dãy số không âmθ k vớilimθ k = 0 sao cho k→∞

∥x∥F k (u)− F k (v)∥x∥ ≤(1 +θ k )∥x∥u − v∥x∥với mọik ≥1và với mọiu, v C∈ ;

Y ˆ giảcochặttrênCvớihằng sốζ, nếu tồn tạiξ ∈ ∈[0,1)saocho

∥x∥ (u)− F(v)∥x∥ ∥x∥ ≤ u − v∥x∥+ζ∥x∥(I − T)u −(I − T)v∥x∥với mọiu, v C,∈ trong đóIlà ánh xạ đồngn h ấ t

Ví dụ 1.3.[43] LấyH=l 2 GọiBlà cầu đơn vị trongl 2 và ánh xạFtừBvào

Bđược xác định như sau

Do đóFlà ánh xạ tiệm cận không giãn trênB.

TừmốiliênhệgiữabàitoáncânbằngEP(C,f)vàbàitoánbấtđẳngthứcbiến phânVI(C,F)thông qua việcchọnsong hàmf(x,y)=⟨x,F(x),y−x , ⟩ ∀yx, y

Trong bài viết này, chúng ta khám phá các khái niệm đơn điệu và liên tục kiểu Lipschitz của song hàm f Định nghĩa 1.8 chỉ ra rằng song hàm f được gọi là đơn điệu mạnh trên C với hằng số α nếu có số α > 0 thỏa mãn điều kiện f(x,y) + f(y,x) ≤ -α∥x∥x - y∥x∥² cho mọi x, y ∈ C Ngoài ra, f được xem là đơn điệu chặt trên C nếu f(x,y) + f(y,x) < 0 cho mọi x ≠ y Đối với đơn điệu giả, f được gọi là giả đơn điệu mạnh nếu tồn tại β > 0 sao cho f(x,y) ≥ 0 ⇒ f(y,x) ≤ -β∥x∥x - y∥x∥² Tương tự, f là giả đơn điệu nếu f(x,y) ≥ 0 ⇒ f(y,x) ≤ 0 và giả đơn điệu chặt nếu f(x,y) ≥ 0 ⇒ f(y,x) < 0 cho mọi x ≠ y Cuối cùng, f là tựa đơn điệu nếu f(x,y) > 0 ⇒ f(y,x) ≤ 0 cho mọi x, y ∈ C và là para-đơn điệu chặt trên S ⊂ C nếu f là giả đơn điệu trên C.

{x S, y C, f∈ ∈ (y, x) =f(x, y) = 0} y S⇒ ∈ ; ˆ liên tục kiểu LipschitztrênCvới các hằng sốc1>0vàc2>0, nếu f(x,y)+f(y,z)≥f(x,z)−c1∥x∥x−y∥x∥ 2 −c2∥x∥y−z∥x∥ 2 , x ,∀y y,z C.∈

Ví dụ 1.4.ChotậpC1={x ∈R:x ≤ −2}, C2={x ∈R:x ≤0}vàsonghàm f:C×C →Rxác định bởi f(x, y) = (2 +x 2 )(x − y).

Khi đó,fđơn điệu mạnh trênC1, đơn điệu chặt trênC2 Nhưngfkhông đơn điệu mạnh trênC2.

Thậtvậy,vớix, y C∈ 1tùyý,ta có f(x, y) +f(y, x) = (2 +x 2 )(x − y) + (2 +y 2 )(y − x)

Nhưvậy,fđơn điệu mạnh trênC1vớihằng sốα=4.

Tương tự trên, vớix, y C∈ 2vàx̸=yta cũng có f(x, y) +f(y, x) = (x+y)(x − y) 2 >0 Khi đó, f(x, y) +f(y, x)≤ −β >(x − y) 2 ∀yx, y C∈ 2.

Chọnx= 0vày=− /β > 2cùng thuộcC2, thay vào bất đẳng thức trên ta thu được

−2≤−β >, vô lý Dẫn đến,fkhông đơn điệu mạnh trênC2.

Ví dụ 1.5.Xét song hàmf:R×R→Rxác định bởi f(x, y) =x 2 (y − x). Khi đó,fgiả đơn điệu trênC:=R\ {0} Nhưngfkhông đơn điệu trênC.

Thậtvậy,giả sửf(x,y)=x 2 (y−x)≥0, x, y ∀y ∈C.Vìxy̸=0, nên suy ray≥x và do đóf(y, x) =y 2 (x−y)≤0 Vậyfgiả đơn điệu trênC.

Mặt khácvớimọix, y ∈(−∞,0)vàx̸=y,tac ó f(x, y) +f(y, x) =x 2 (y − x) +y 2 (x − y) =−(x+y)(x − y) 2 >0. suy rafkhông đơn điệu trênC.

Mở rộng các khái niệm đơn điệu, nửa liên tục và liên tục của ánh xạ đơn trị, ta cũng có những khái niệm tương ứng cho ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.9 cho rằng ánh xạ đa trị F:C⇒H được gọi là đơn điệu mạnh với hằng số τ nếu tồn tại hằng số τ>0 sao cho điều kiện u − v, x − y ≥ x − y được thỏa mãn với x, y thuộc C.

⟨x, ⟩ τ∥x∥ ∥x∥ ∀y ∈ và∀y ∈u F(x), v F∀y ∈ (y); ˆ đơn điệu chặt, nếu

Định nghĩa 1.10: Cho ánh xạ đa trị F: C ⇒ H và điểm x₀ ∈ C F được gọi là nửa liên tục trên tại x₀ nếu với mọi tập con mở U ⊂ C mà F(x₀) ⊂ U, tồn tại lân cận V(x₀) của x₀ sao cho F(w₀) ⊂ U với mọi w₀ ∈ V(x₀) Ánh xạ F là nửa liên tục trên C nếu nó nửa liên tục tại mọi x₀ ∈ C F được gọi là nửa liên tục dưới tại x₀ nếu với mọi F ∈ (x₀) và dãy {xₙ} trong C hội tụ đến x₀, tồn tại dãy {yₙ} ∈ F ⊂ (xₙ) hội tụ về y F là liên tục tại x₀ nếu nó vừa nửa liên tục trên, vừa nửa liên tục dưới tại x₀ Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc C, thì F được gọi là liên tục trên C.

Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập con khác rỗng A và B trong không gian Hilbert được định nghĩa là d_H(A,B) = max{d(A,B), d(B,A)}, trong đó d(A,B) được tính là sup inf ∥x - y∥ với x thuộc A và y thuộc B, và d(B,A) tương tự với x thuộc B và y thuộc A.

Ví dụ 1.6.Trên trục số thực, cho hai đoạn thẳngX= [0,2], Y= [0,1]

(Hình1.2) Khi đó, d H (X, Y) = max{maxd(y, X),maxd(x, Y)}

Hình 1.2:Hình minh họa cho Ví dụ 1.5 y∈ Y x∈ X

Ví dụ 1.7.Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuôngX= [0,1]×[0,1]và đoạn thẳngY= [0,3]×{0}(Hình1.3) Khi đó, d H (X, Y) = max{maxd(y, X),maxd(x, Y)}

Hình 1.3:Hình minh họa cho Ví dụ 1.6

Ví dụ 1.8.Trong mặt phẳng Oxy cho tậpXlà tam giácM ′ N ′ P ′ v iới M ′ (−6; 6), N ′ (−8; 1),

Đường tròn P′(−3; 4) có tâm I′(5; 1) và bán kính R = 4 Các điểm E′ và F′ là giao điểm của đường thẳng P′I′ với đường tròn, trong khi H′ và K′ là giao điểm của không gian N′I′ với đường tròn Khi đó, khoảng cách tối đa giữa điểm y và tập hợp X được xác định bởi công thức max{d(y, X)} = F′P′ = P′I′ + R.

Hình 1.4:Hình minh họa cho Ví dụ 1.7

Ánh xạ đa trị F:C⇒H được gọi là liên tục Lipschitz trên C với hằng số L > 0 nếu d_H(F(x), F(y)) ≤ L ||x - y|| ∀ x, y ∈ C Đặc biệt, khi L < 1, F được gọi là ánh xạ co thu hẹp trên C, và khi L = 1, F được gọi là ánh xạ không giãn trên C Ngoài ra, F được xem là ϵ-liên tục Lipschitz (ϵ > 0) với hằng số L trên C nếu d_H(F(x), F(y)) ≤ L ||x - y|| / (||x|| + ϵ) ∀ x, y ∈ C Trong trường hợp 0 < L < 1, ta nói F là ϵ-co với hằng số L.

Ví dụ 1.9.ChoM={(0;y):y ≥0} ⊂R 2 ,xét ánh xạ đa trịF:M⇒R 2 xác địnhbởi

Khi đó, ánh xạFliên tục Lipschitz với hằng sốL=√2.

Hình 1.5: Hình minh họa cho Ví dụ 1.8

Thậtvậy,lấyhai điểm(0;a),(0;b)thuộcMbấtkỳ.Không mất tổng quát, giả sử

Bài toánhaicấp

ChoX,Ylà các tập con khác rỗng củaR n vàR m tương ứng Các hàmf:X ×Y

→R, h:R n ×R m ×R m →R,Φ) :R n ×R m ×R m →R∪ {±∞} {+∞}vàánh xạ đa trịH:R n ⇒R m Trongmụcnày,ta xét bài toán hai cấp được đề xuấtbởi

M.B Lignola và J Morgan [65] Bài toán được xét có dạng: min{f(x,y): (x,y)∈ ⊆ N Z X ×Y,y ∈H(x)∩ T(x)}, (1.1) ở đây

Sự tồn tại nghiệm của bài toán hai cấp được khẳng định qua định lý 1.2, trong đó cho X là tập compact và Z là một tập con của NX × Y Hàm f: X × Y ⊆ NR n × R m được yêu cầu là nửa liên tục dưới, cùng với cách hàm h: R n × R m × R m → R và Φ: R n × R m × R m → R ∪ {±∞} phải thoả mãn các điều kiện nhất định.

(i) Với(x,y,z)bấtkỳ và với mọi dãy{(x k ,y k ,z k )}hội tụ về(x,y,z),ta luôncó Φ)(x,y,z) liminfΦ)(x k ,y k ,z k ); k→+∞

(ii) Với(x,y,z)bấtkỳ và với mọi dãy{(x k ,y k )}hội tụ về(x,y),luôn tồn tạidãy{z k }hội tụ vềzsaocho lim sup Φ)(x k , y k , z k )≤Φ)(x, y, z); k→+∞

(iii) Hàmh(x,y,ã)lừm và hàmΦ)(x,y,ã)lồi vớix, ybấtkỳ;

(vi) Với(x,y,z)bấtk ỳ, với mọidã y{(x k ,y k )}h iộ tụ v ề(x,y)v àv ới mọidãy

{z k }hội tụ vềz, ta có h(x,y,z) liminfh(x k n→+∞

(vii) Hđóng và mọi lưới{u a }hội tụ vều ∈R n ,v a ∈H(x a ),lưới{v a }cóđiểmtụ.

Khi đó, Bàitoán(1.1)cónghiệm Hơn nữa, nếuHđượcchobởi

H(x)={y ∈R m :h i (x,y)≤0,i ∈ {1, , p}} trong đó,h i (i {∈ 1, , p})thỏa mãn các điều kiện

(b) Tồntạii {∈ 1, , p}sao cho với mọiα ∈R, tồn tại tậpcompactKvà

. Σ thì bài toán cón g h i ệ m minf(x,y) s.t  (x,y)∈ Z, h i (x,y)≤0,i ∈ {1, , p}

Mộtvàikếtquảbổtrợ

Trongmụcnày,chúngtôi nhắc lại mộtvàikếtquả đã biếtvàsẽ được dùng đểchứngminhsựhộitụcủacácthuậttoántrongcácchươngsau.

Bổ đề 1.2.[84, Bổ đề 1]Cho{a k }và{δ k }là các dãy số thực không âm sao cho a k+1≤a k +δ k , k∀y ≥0, trong đó{δ k }thỏa mãn ∞ k=0 δ k < Khi đó, tồn tại giới hạnlima k k→∞

Bổ đề 1.3 cho rằng với dãy số thực không âm {a_k}, tồn tại số tự nhiên p sao cho p ≥ m và a_p ≤ a_(p+1) Đối với số nguyên k_0, dãy số a_k được xác định sao cho a_k0 ≤ a_(k0 + 1) và τ(k) được định nghĩa cho mọi số tự nhiên k ≥ k_0, với τ(k) = max{i ∈ N: k0 ≤ i ≤ k, a_i ≤ αa_(i + 1)}.

Khi đó,0≤ a k ≤ αa τ(k)+1 với mọik ≥ k0 Hơn nữa, dãy{τ(k)} k≥k 0 là không giảmvà tiến về+∞khik → ∞.

Bổ đề 1.4.[86, Mệnh đề 2.31]ChoClà tập con lồi của không gian Hilbert thực

Hvàhàmg:H→Rlồi.Khiđó,x¯lànghiệmcủabàitoán: min{g(x) :x C}∈ khivàchỉkhi0∈∂g(x¯)

Bổ đề 1.5.[21, Mệnh đề 23]ChoXvàYlà hai tập khácrỗng trongR n ,Glàmột ánh xạ đa trị từYvàoX,và hàm sốW:X ×Y→R Khi đó,

M(y)= x ∗ ∈G(y):W(x ∗ ,y)=sup{W(x,y):x∈G(y)}, nửa liên tục trên khiWvàGlà liên tục. ρ

Bổ đề 1.6.[59, Định lý 2.3]Choρ >0,G(x) =Qx+q,C={x ∈R n :Ax ≥ b},với matrậnQ ∈R n×n đối xứng, matrậnA

∈R m×n ,q∈R n ,b∈R m vàSol(C,G)làtậpnghiệmcủabàitoánbấtđẳngthứcbiếnphânVI(C ,G).Khiđó,tồntạihaisốdươngϵ>0vàβ>0saocho d(x,Sol(C,G))≤ β >x −Pr C Σx −1

(Qx+q)Σ, vớimọix Cv à x − Pr C x α− ρ(Qx+q)Σ≤ ,ϵ 1 trong đód(x, Sol(C,G))= min{ x − y∥x∥ ∥x∥:y ∈ Sol(C,G)}vàPr C là phép chiếu trựcgiao lênC.

Bổ đề 1.7.[59, Bổ đề 3.1]ChoG(x) =Qx+q,C={x ∈R n :Ax ≥ b}, với matrậnQ

Trong không gian R n×n, ma trận A thuộc R m×n, với q thuộc R n, b thuộc R m, và tập nghiệm Sol(C, G) là giải pháp cho bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, G) Giả sử S1, , Sr là các thành phần liên thông của Sol(C, G), từ đó có thể đưa ra các khẳng định quan trọng về cấu trúc và tính chất của các thành phần này.

(c) VớimỗitậpS i (i=1, ,r),luôntồntạiδ>0saochod(x,S j )≥δv iới mọi x S∈ i vài≠ j;

(d) Hàm sốf0= 1 ⟨x,Qx, x⟩+⟨x,q,x⟩nhận giá trị hằngtrênmỗi tậpS i

Bổ đề 1.8.[87, Bổ đề 2.5]Cho{a n }là dãy số thực không âm thỏa mãn điềukiện:a n+1≤(1− λf n )a n +λf n γ n , n ≥∀y 1, trong đó{λf n }và{γ n }là các dãy số thựcsao cho

Bổ đề 1.9.[93, Bổ đề 2]Giả sửT:C → Clà ánh xạ giả co chặt với hằng sốζ.Khi đó, ánh xạI −Tlà nửa đóng tại0, nghĩa là, nếu{x n }là dãy trongCsaochox n ⇀ ∈ αx α

Cvà(I −T)x n →0, thì(I −T)x= 0, trong đóIlà ánh xạ đơn vịtrongH.

Bổ đề 1.10.[89, Bổ đề 3.1]Choλf ∈(0,1], T:C →Hlà ánh xạ không giãn vàánh xạT λ :C →Hđượcxác địnhbởi

T λ x:=T x − àFFλf (T x), x C,∀y ∈ trong đóF:H→Hlàκ−−Lipschitz vàβ >−đơn điệu mạnh Khi đó, ánh xạT λ covới hằng số0< àF

Bổđề1.11.[34,Địnhlý1]ChokhônggianBanachXv iới ánhxạđốingẫuliêntục yếu,Clà tậpconlồi đóngtrongXvàT:C → Clà ánh xạ tiệmcậnkhônggiãncóFix(T)̸=∅. Khi đó, ánh xạ hiệu củaIvàT:I−Tlà nửa đóng tại điểm0.

Bổ đề 1.12.[90, Bổ đề 3.1]ChoS:C → Clà ánh xạ giảcochặt với hằng sốζ.Gọiγ¯vàδ¯làhaisốthựckhôngâm.Giảsửrằng(γ¯+δ¯)ζ≤γ¯.Khiđótacó

Bàitoáncânbằnghaicấp

Định nghĩavàcác bài toán liên quan

∥x∥ ∥x∥.G ọ iC làt ậ p c o n l ồ i đ ó n g k h á c r ỗ n g c ủ aH.B à i t o á n c â n b ằ n g h a i c ấ p BEP(C, g, f)được phát biểu như sau:

Tìmxˆ∈Sol(C,g)saochof(xˆ,y)≥0,∀yy∈Sol(C,g), trongđóg:C×C→Rvàf:H×H→Rlàcácsonghàmthỏamãnđiềukiệng(x,x)=0,∀y x∈C;f(x,x)=0, x∀y ∈HvàSol(C,g)làtậpnghiệmcủabàitoánEP(C,g).Nghĩalà,

Bài toán cân bằng hai cấp bao hàm nhiều lớp bài toán quan trọng Sauđâylà một trong những sốđó.

Dễ thấy khi ta chọn song hàmf≡0, tức làf(x,y) = 0, x, y ∀y ∈Hthì bài toán BEP(C, g, f)trở thành bài toán cân bằngEP(C, g)

*Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

Xét các song hàm g(x,y) và f(x,y) được xác định như sau: g(x,y) := ⟨x, G(x), y − x⟩ và f(x,y) := ⟨x, F(x), y − x⟩, trong đó G là ánh xạ từ C vào C và F là ánh xạ từ H vào H Khi đó, bài toán BEP(C, g, f) trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BV I(C, G, F).

Tìmxˆ∈Sol(C,G)saocho⟨x,F(xˆ),y−xˆ⟩≥0,∀yy∈Sol(C,G), trong đóSol(C, G)là tập được xác định như sau

Thậtvậy,khi xét song hàmf(x,y)=⟨x,F(x),y − x⟩thì hai bài toánEP(C,f)và

V I(C, F)là tương đương theo nghĩa chúng có tập nghiệm trùng nhau.

*Bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Tachọnsong hàmg(x,y):=⟨x,G(x), y − x⟩, trong đóGlà ánh xạ từCvàoC.Khi đó, bài toánBEP(C,g,f)trở thành bài toán

Tìmxˆ∈Sol(C,G)saochof(xˆ,y)≥0,∀yy∈Sol(C,G),

(1.3)trong đóSol(C,G)là tập nghiệm của bài toánVI(C,G), tứclà

*Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng Đặtf(x,y) :=⟨x,F(x), y − x⟩, vớiFlà ánh xạ từHvàoH, thì bài toán

Tìmxˆ∈Sol(C,g)saocho⟨x,F(xˆ),y−xˆ⟩≥0,∀yy∈Sol(C,g),

(1.4)trong đóSol(C,G)là tập được xác định nhưsau

Sol(C, g) ={x ∗ ∈ C:g(x ∗ , y)≥0, y C}.∀y ∈ Đâychính là bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cânb ằ n g

Có thể nói rằng các bài toán cân bằng, bất đẳng thức biến phân hai cấp, và bài toán cân bằng trên tập nghiệm bất đẳng thức biến phân đều là những trường hợp riêng của bài toán cân bằng hai cấp Việc tìm thuật giải cho bài toán cân bằng hai cấp có thể giúp giải quyết nhiều lớp bài toán con Tuy nhiên, điều ngược lại không chắc đã đúng; chẳng hạn, thuật toán giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân có thể không mở rộng để giải bài toán cân bằng hai cấp.

Điềukiệntồntạinghiệm

Tính lồi của tập nghiệm trong bài toán cân bằng được xác định thông qua tính đơn điệu tổng quát của hàm số C × C → R, điều này sẽ được chứng minh trong các kết quả dưới đây.

Bổ đề 1.13 khẳng định rằng Cho C là tập con lồi đóng khá rộng trong không gian Hilbert thực H Hàm C × C → R thỏa mãn điều kiện cần bằng Nếu nửa liên tục theo biến thứ nhất, lồi theo biến thứ hai và giả đơn điệu trên C, thì tập nghiệm Sol(C, g) được xác định bởi (1.2) là một tập lồi, đóng trong không gian Hilbert.

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng được chỉ ra trong bổ đề sau.

Bổ đề 1.14.[25]ChoClà tậpconlồi đóng khácrỗng trongkhông gianHilbertthựcH,g:C×C →Rlà song hàmcânbằng,giả đơn điệu sao cho với mỗix

∈C,g(., x)bánliên tục vàg(x,.)lồi, nửa liên tục dướitrênC.Giả sử điều kiện bứcsauđược thỏamãn:

Tồn tại tập compactW C⊂ sao cho:∀y ∈x C \ W,∃y ∈ W ∈y W:g(x, y)0saocho

⟨x,T(x), x ≥ x⟩ δ∥x∥ ∥x∥ 2 , x ∀y ∈H. ˆSong hàmφ:H×H→Rđược gọi là đối xứnglệch(skew-symmetric), nếu φ(u, u)− φ(u,v)− φ(v, u) +φ(v,v)≥0, u , v ∀y ∈H.Tínhchấttập nghiệm của bài toán(BMEP)đượcchỉra trong định lý sauđây.

[38,Địnhlý3.2]ChoClàtậpconlồiđóngkhácrỗngtrongkhônggianHilbertthựcH,Klà tậpcompacttrongHsao choC ∩ K̸=∅ Gọig,f:

C × C →R, , ψ, φ:H×H→RvàT:H→Hthỏa mãn các điều kiện sau

Các song hàm f là đơn điệu mạnh và đơn điệu ngược tương ứng, đồng thời là bán liên tục trên theo biến thứ nhất Với mỗi C∈, hàm g(x, a), f(x, a) lồi và nửa liên tục dưới trên C Ánh xạ T là toán tử δ-dương mạnh và tuyến tính bị chặn.

(iv) Mỗix ∈H, tồn tạiy0∈ C ∩ Ksaocho g(z,y0)+φ(y0,z)−φ(z,z)+⟨x,T(y0−z),z−x⟩ ,∥x∥ ∥x∥δT +ρα Σ-đơn điệu mạnh trênH, với mỗiϵ ≥0,∂ ϵ f(x, x)compact vàliên tục Lipschitzvớihằng sốL >0saochoβ > ≤ L.

Sau đây là một ví dụ cho lớp song hàm thỏa mãn điều kiện (A5).

ChoC ⊆ NR n Xét song hàmf:C×C →Rđược xác định bởi f(x, y) =⟨x,G(x) +Qy+q, y − x ⟩

Trong bài viết này, ma trận Q ∈ R n×n được xác định là ma trận đối xứng và nửa xác định dương Biến q ∈ R n liên tục Lipschitz với hằng số L và có tính đơn điệu mạnh với hằng số η > Q∥x∥ ∥x∥ Các tác giả trong tài liệu [75] đã chứng minh rằng hàm ˆf có tính đơn điệu mạnh với hằng số η − Q∥x∥ ∥x∥ và đồng thời ˆf cũng liên tục Lipschitz với các hằng số c1, c2.

2√c1c2≥ L+∥x∥ ∥x∥Q Ở đây chúng tôi sẽ chỉ ra∂2f(x, x)thỏa mãn điều kiện(A5) Thật vậy, tính compact là hiển nhiên Mặt khác∂2f(x, x) ={G(x) +Qx+q}, lấyu ∂∈ 2f(x, x)vàv ∂∈ 2f(y, y) Khi đó u − v, x − y

Do đó∂2f(x, x)đơn điệu mạnh với hằng sốη+λfmin(Q) Lại có d H (∂2f(x,x),∂2f(y,y))=∥x∥G(x)− G(y) +Q(x −y)∥x∥

Nói các khác∂2f(x, x)liên tục Lipschitz với hằng sốL+∥x∥ ∥x∥Q

Thuật toán 2.1 (Thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ)

Bước2 Nếu∥x∥x k+1 −x k ∥x∥−đơnđiệu mạnh của hàm songh à m g.Khiđó,vớimọix,y∈C,ω ∈ x ∈∂ ϵ g(x,x),ω ∈ y ∈∂ ϵ g(y,y),tathuđược

Lipschitz của∂ ϵ g(x, x), ta có biến đổi sau

= max,sup inf∥x∥x−τω ∈ x −(y−τω ∈ y )∥x∥,sup 2 , inf∥x∥x −τω ∈ x −(y −τω ∈ y )∥x∥ ω x ∈Aω y ∈B

2ϵ)+max sup inf [τ 2 ∥x∥ω ∈ x −ω ∈ y ∥x∥ 2 ], ω x ∈Aω y ∈B sup inf[τ 2 ∥x∥ω ∈ x −ω ∈ y ∥x∥ 2 ] ,

Do A, B compact nên tồn tạiω ∈ x ∈ αA, αω y ∈ αBsao chod H (A, B) =∥x∥ω ∈ x − αω y ∥x∥ 2 Kết hợp với (2.3) ta được

Dẫn tới(β > − L)∥x∥x − y∥x∥ 2 ≤2ϵvới mọix, y C.∈ Từ giả thiết0< ≤ Lβ > suy ra

Tiếp theo, chúng tôi phát biểu và chứng minh định lý hội tụ của thuật toán. Giả sử các dãy{α k }, {ϵ k }, {β > k }, {ξ ∈ k }, {η k }, {ρ k },{τ k }thỏa mãn

Một ví dụ về các dãy tham số thỏa mãn (2.4) làη k := k 1

Sự hội tụ của Thuật toán2.1tới nghiệm của bài toánBEP(C, g,f)được phát τ k 2 +ξ ∈ k )vàw ∗ ∈ ∂ τ k f(x ∗ , x ∗ )sao chox ∗ −η k w ∗ P r x ∗ −η∂ τk f ( x ∗ ,x ∗ ) (y k −η k u k ).Hơnnữacácdãy{x k },{y k }bịchặnvàthỏamãn k 2 lim∥x∥x k − αy k ∥x∥= lim∥x∥x k+1 − x k ∥x∥= 0. k→∞ k→∞

Thật vậy, ta đặtA k (x) ={x−η k ∂ τ k f(x,x) :x ∈H} Dofkhả dưới vi phân theo biến thứ 2 trênHnên∂ τ k f(x,x)̸=∅ , x ∀y ∈H Từ điều kiện (2.4) suy ra β >−τ>0, L 2 −τ 2 >0, η k

Dođó 1−η k (2β >−η k L 2 )−η k L 2 ) Bình phương hai vế ta được x

≤ x∥x∥ k −x ∗ ∥x∥ 2 +2α k g(x k ,x ∗ )+δ k , (2.7) trong đó, bất đẳng thức cuối có được từg k ∈∂ ϵ k g(x k ,x k )hay⟨x,g k ,x ∗ −x k ⟩≤ g(x k , x ∗ )− g(x k , x k ) +ϵ k =g(x k , x ∗ ) +ϵ k

Mặt khác, từg(x ∗ , x k )≥0và tính giả đơn điệu của song hàmg, suy rag(x k , x ∗ )≤

0 Kết hợp điều này với (2.5) và (2.7), ta thu được

Từ (2.6), chúng ta suy ra rằng ∥x∥x k − y k ∥x∥ = 0, do đó tập hợp {y k} bị chặn Bằng cách áp dụng tính nửa liên tục của ∂ 2 k fvà giới hạn lim k→∞η k = 0, ta cũng có thể kết luận rằng tập hợp {u k} bị chặn Điều này dẫn đến giới hạn lim∥x∥x k+1 − y k ∥x∥ = lim∥x∥Pr C (y k − η k u k ) − Pr C (y k )∥x∥ ≤ limη k ∥x∥u k ∥x∥ = 0 khi k tiến tới vô cực.

Vậy Khẳng định 2.1 được chứng minh.

Khẳng định 2.2.Ta có a k+1≤ a k −2η k f(x ∗ , y k ) +η 2 ∥x∥u k ∥x∥ 2 + 2η k τ k , vớia k =∥x∥x k − αx ∗ ∥x∥ 2 −2Σ k−1 α j (1−2η j β >)g(x j , x ∗ )−Σ k−1 δ j (1−2η j β >).

Thật vậy, từ định nghĩa củax k+1 và (2.7), dẫn tới x

Dou k ∈ α∂ τ k f(y k , y k )và tính đơn điệu mạnh của song hàmf, ta thu được

≥ u⟨x, k , x ∗ − y k ⟩. Kết hợp điều này với (2.7) và (2.9), ta được

Haya k+1≤ a k −2η k f(x ∗ ,y k )+η 2 ∥x∥u k ∥x∥ 2 +2η k τ k Do đó, Khẳng định2.2đượcchứng minh.

Khẳng định 2.3.Các dãy{x k }và{y k }hội tụ theo chuẩn tớix ∗

Thật vậy, chúng ta xét hai trường hợp sau:

Trườnghợp 1.Giả sử tồn tại số nguyên dươngk0saochoa k+1≤a k vớimọik≥k0. Điềunàycó nghĩal à x

Mặt khác, từ điều kiện (2.4) γ k = max.

≤L ,∀yk, trong đóρ= inf k ρ k >0, g∥x∥ k ∥x∥ ≤ L )a k +δ k −2η k f(x ∗ , y k ) +η 2 ∥x∥u k ∥x∥ 2 + 2η k τ k Suy ra k→∞ Σδ k k→∞2 η k η k ∥x∥u k ∥x∥ 2 1

Bất đẳng thức cuối có được từ điều kiện (2.4).

Do{x k }bị chặn vàlim k→∞∥x∥x k − αy k ∥x∥= 0, chúng ta có thể giả sử rằng{y k j } ⊂

{y k }hộtitụyếuvềx¯∈Sol(C,g),sửdụngtínhchấtnửaliêntụcdướiyếucủa f(x ∗ ,),tacóliminff(x ∗ ,y k j )f(x ∗ ,x¯)0.Kếthợpđiềunàyvới(2.11)suyra j→∞ lim k→∞a k = 0 Nhưvậy,trong trường hợpnàychúngta đãchỉra đượcdãy{x k } và{y k }hội tụ mạnh tớix ∗

Trườnghợp 2.Giả sử không tồn tại số nguyên dươngk0saochoa k+1≤a k vớimọik≥k0.Nói cách khác là tồn tại số nguyên dươngk0saochoa k 0 ≤a k 0 +1.Khi đó, trong Bổ đề1.3[60],P.E.Maingéxâydựngdãy chỉsố{τ k }được xác địnhbởi τ k = max{i ∈N:k0≤ i ≤ k, a i ≤ αa i+1}, và tác giả đã chỉ ra dãy{τ(k)}thỏa mãn τ(k)↗+∞,0≤a k ≤a τ ( k)+1 ,a τ ( k) ≤a τ ( k)+1 , ∀yk≥k0.

≤ η τ(k) ∥x∥u τ(k) + 2η τ(k) τ τ(k) Mặt khác,từΣ ∞ η k =+∞,Σ ∞ η 2 0, và các dãy số thực dương{ϵ k }, {β > k }, {ξ ∈ k },

Nếu ∥x∥x k+1 −x k ∥x∥ k = 0,1 + 15 1 , γ k = 0,25(1− β > k ), δ k =

4k+9 1 thỏa mãn (2.21) Thuật giải cho bài toán (2.20) được mô

Thuật toán 2.3 (Thuật toán dưới đạo hàm tăng cường quán tính)

Khởitạo.Lấy x0,x1∈H,ϵ>0vàcỏcthamsốγ∈(0,+∞),l∈(0,1),àF∈(0,1), gánk:=0.

1 vớiψ, k ∈ α∂ 2g(w k , w k )vàτ k =γl m được chọn là sốτbộ nhất thuộc{ , l, lγ γ γ 2 , ã ã ã } thỏa mãn0< τ k < α α k ) vàdo đó, tồn tại số nguyên dươngk0saocho

Bổ đề 2.7 Nếu∥x∥x k −x k+1 ∥x∥ →0, thì các dãy{x k }, {u k }, {z k }, {w k }, {y k },{ξ ∈ k }, {Sz k },

Chứng minh.Vớimỗix ∗ ∈Ω, sử dụng Bổ đề2.5,T x ∗ =x ∗ vàgiả thiết(B2), suy ra

0saocho k→∞ α k (1−β k )

Sử dụng bất đẳng thức trên và (2.32), ta có

≤.1−α k (τ−δ) Σ∥x∥x k −x ∗ ∥x∥+α.M 1 +(ξ ∈ k ) ∗ − Fρ (x ∗ )Σ, k ≥ k∀y 0. Áp dụng Bổ đề1.12cùng cùngvớiđiều kiện(γ k +δ k )ζ≤γ k ,dẫn tới,vớimọi k≥k0, ta có

Từ(ξ ∈ k ) ∗ =P x ∗ −ν∂h(x ∗ ,x ∗ ) (ξ ∈ k )vàtínhcompactcủa∂2h(x ∗ ,x ∗ ),suyra,chúngtacóthể giả sử rằng tồn tạiM >0sao cho

Như vậy, dãy{x k }bị chặn, dẫn đến các dãy{u k }, {w k }, {y k }, {ξ ∈ k }, {Sz k }, {T k u k } và{T k x k }cũngbịchặn ■

Bổ đề 2.8 Cho các dãy{w k }, {x k }, {y k }và{z k }được sinh ra từ Thuật toán2.3.Nếu∥x∥T k x k − αT k+1 x k ∥x∥ →0, x∥x∥ k − αx k+1 ∥x∥ →0, w∥x∥ k − αx k ∥x∥ →0, w∥x∥ k − αz k ∥x∥ →0và

Chứng minh.Từ Thuật toán2.3, ta có

Sử dụng các giả thiết∥x∥x k − αx k+1 ∥x∥ →0,∥x∥w k − αx k ∥x∥ →0, chúng ta thu được lim x k T k x k =0 (2.33) k→∞

Kết hợp các giả thiết∥x∥w k − αx k ∥x∥ →0và∥x∥w k − αz k ∥x∥ →0suy ra z

∥x∥ − x ≤ w − z ∥x∥ ∥x∥ ∥x∥+∥x∥w − x →∥x∥ 0 (khik → ∞). Để ý rằng, với mỗix ∗ ∈Ω, ta có w 2

Từα k →0, θ k →0, x∥x∥ k −x k−1 ∥x∥→0, Bổ đề2.7(tính bịchặncủa{x k },{z k }), x

∥x∥ k − αz k ∥x∥ →0và0< τ k < α α k )(x k − αz k )∥x∥ ≤ x∥x∥ k+1 − x k ∥x∥+∥x∥x k − αz k ∥x∥.

Mà∥x∥x k − αx k+1 ∥x∥ →0, z∥x∥ k − αx k ∥x∥→0vàlim infδ k >0, suy ra lim z k Sz k =0 (2.34) k→∞

Theo định nghĩaC k , ta cóC C⊂ k Do đó,

^ , x −y , x⟩ ∀y ∈C (2.35) SửdụngBổđề2.4,w k −y k →0và(2.35),chỳngtacúτ k ≥min,γ, àl ,và lim 1 k k k k k

Mặt khác, từw k ∈ α∂ 2g(w k , y k )suy ra

Sửdụngđịnhnghĩacủap k j ∈∂2g(w k j ,w k j ),tacó g(w k j ,y k j )=g(w k j ,y k j )−g(w k j ,w k j )≥⟨x,p k j ,y k j −w k j ⟩, trongđó{w k j }thỏaamãnw k j ⇀z∈H.Từgiảthiết(B6),suyratồntạidãycon

{p k jh }saochop k jh ⇀p¯∈∂2g(z,z).ÁpdụngđịnhlýBanach-Steinhaus,tacó

{p k jh }bịchặn.Kếthợpđiềunàyvớilim∥x∥y k −w k ∥x∥=0,chúngtathuđược liminfg(w k jh ,y k jh )≥liminf⟨x,p k jh ,y k jh −w k jh ⟩=0, (2.38) h→∞ h→∞ k k k k k

∥x∥ k kk k+1 k kk k k k k+1 k k+1 k kk kk k liminfg(w k jh ,x)≥liminfΣ g(w k jh ,y k jh )+⟨x,w^ k jh ,x−y k jh ⟩Σ h→∞ h→∞

≥liminfg(w k jh ,y k jh )+liminf⟨x,w^ k jh ,x−y k jh ⟩ và do đó h→∞

0. h→∞ k→∞ Ápdụnggiảthiếtliờntụcyếutrong(B4)của khụng gianag(ã,x)vàw k jh ⇀z,chỳngtacúg(z,x)≥0vớimọ ix∈C.Mặtkhác,từw k j ⇀zvàw k −y k →0,suyray k j ⇀z.Từ{y k j } ⊂ CvàCđóng,chúngta cóz C∈ vàdo đóz ∈Sol(C,g).Từ tính tiệm cận không giãn củaT, suyr a

Từ (2.33) và giả thiết∥x∥T k+1 x k − αT k x k ∥x∥ →0, kéo theo lim Tx k x k =0. k→∞

Tiếp theo, áp dụng Bổ đề1.11cho dãy{x k j }chúngtathuđượcx k j ⇀ zvà(I−T)z=0.Nhưvậy,z∈Fix(T).Giảthiếtw k −z k →0vàw k j ⇀zdẫnđếnz k j ⇀z.Kết hợp (2.34),z k j −Sz k j →0vàBổ đề1.9, tathấy(I −S)z= 0vàdo đóz ∈Fix(S). Bởivậy, z ∈Fix(T)∩Fix(S)∩Sol(g, C) = Ω.

x k −x k+1 →0 x k → αx ∗ khi αvà αch αkhiỉ khi

x k − αy k →0, trong đó,x ∗ ∈Ωlà một nghiệm của bài toán(2.20). η 2

Hausdorff,tínhcocủaánhxạđatrịp(x):=x− ∂νh 2h(x,x)(Bổđề2.2)vàápdụng Bổ đề1.10choT:=I,λf:= 1, àF:=ρ,chỳngtacú d H p(x)+x− Fρ (x),p(y)+y− Fρ (y) Σ

(0, 2 α ).D ư ớ i c á c g i ả t h i ế t(B),t a c óδ+ 1ρ(2β > ρκ− 2 )−ρκ− 2 )).DễthấyrằngánhxạPΩ(p+I− Fρ )cũngco.Theođịnhl ýđiểmbấtđộngcủaNadler[18,Theorem8.21],ánhxạPΩ(p+I− Fρ )cómộtđiểmbấtđộng.Gi ảsửđiểmbấtđộngđólàx ∗ ∈H.Suyratồntạiw ∗ ∈∂2h(x ∗ ,x ∗ )sao choξ ∈ ∗ =x ∗ − wνh ∗ ∈ p(x ∗ ) Khi đó,x ∗ =PΩ Σξ ∈ ∗ +x ∗ − Fρ (x ∗ )Σ

≥ w⟨x,νh ∗ , y − x ∗ ⟩ ∀y ∈, y Ω. Cộng bất đẳng thức trên với (2.39), ta có h νh (x ∗ , y)+.

Như vậy, tồn tạix ∗ ∈Ωlà nghiệm của bài toán (2.20).

Bây giờ, ta giả sửx k → αx ∗ ∈Ω Khi đó,x ∗ =T x ∗ , x ∗ =Sx ∗ vàx ∗ ∈ Sol(C, g) Sử dụng tính chất không giãn của ánh xạT, ta có w

Từ Bổ đề2.5, ta có

∥x∥u k − αx ∗ ∥x∥ 2 ≤ w∥x∥ k − αx ∗ ∥x∥ 2 −(1−2τ k c1)∥x∥y k − αw k ∥x∥ 2 −(1−2τ k c2)∥x∥u k − αy k ∥x∥ 2 , và0 k γ k (z k −x ∗ )+δ k (Sz k −Sx ∗ ) 2 (2.41) Kết hợp (2.41) và Bổ đề1.12với giả thiết(γ k +δ k )ζ γ ≤ k , dẫn đến

Từ Bổ đề2.6, ta thấy rằng tồn tại số tự nhiênk0>0sao cho x 2

Từ tính bịchặncủa{(ξ ∈ k ) ∗ }trong Bổ đề2.6,{z k }trong Bổ đề2.7, suy ra tồn tại số dươngM2saocho sup 2∥x∥(ξ ∈ k ) ∗ − Fρ (x ∗ )∥x∥∥x∥z k − αx ∗ ∥x∥=M2 k ∈(0,1), Chúng ta suy rakếtluận( 2.40).

Khẳng định 2.5.Tồn tại số thực dươngM0sao cho x

Thật vậy, từ (2.30), ta có∥x∥w k −x ∗ ∥x∥ ≤(1 +θ k )(∥x∥x k −x ∗ ∥x∥+σ k ∥x∥x k −x k−1 ∥x∥) Suy ra, w

Do tính bị chặn của các dãy{θ k }and{x k }, nên∀yk ≥1, tồn tại số dươngM0sao cho sup(2 +θ k )(∥x∥x k − αx ∗ ∥x∥+σ k ∥x∥x k − αx k−1 ∥x∥) =M0 k )[σ k ∥x∥x k − αx k−1 ∥x∥M0+θ k M 2 ] + 2α k (1− β > k )⟨x,(ξ ∈ k ) ∗ − Fρ (x ∗ ), z k − αx ∗ ⟩. Khi đó, theo (2.29), chúng ta thấy rằng

Khẳng định2.5được chứng minh.

Khẳng định 2.6.Dãy{x k }hội tụ mạnhvềnghiệmx ∗ c a bài toánủa không gian ( 2.20).

Thật vậy, do Khẳng định2.5, nên tồn tại số thực dươngM0và số nguyênk0>0 sao cho x

Theo Bổ1.8, ta cần chỉ ra rằnglim sup⟨x,(ξ ∈ k ) ∗ − Fρ (x ∗ ), z k − αx ∗ ⟩ ≤0 Sử dụng k→∞

Khẳng định2.4,x k − αx k+1 →0, α k →0, θ k →0và0 k k )(1 +θ k )[(1−2c2τ k )∥x∥w k − αy k ∥x∥ 2 + (1−2c1τ k )∥x∥u k − αy k ∥x∥ 2 ] k→∞

Trong đó bất đẳng thức cuối cùng được suy ra từ Bổ đề2.7 Do đó, lim∥x∥w k −y k ∥x∥= 0,lim∥x∥u k −y k ∥x∥=0 (2.48) k→∞ k→∞

Dễ thấy, giả thiết∥x∥x k − αy k ∥x∥ →0cùng với (2.48), suy ra

∗ Điều này kéo theo∥x∥w k − αz k ∥x∥ ∥x∥ ≤ w k − αx k ∥x∥+∥x∥x k − αz k ∥x∥ →0 Bởi tính bị chặn của

{z k }, do vậy, tồn tại dãy con{z k j }của{z k }sao choz k j ⇀ z ∗ và limsup⟨x,(ξ ∈ k ) ∗ − Fρ (x ∗ ),z k −x ∗ ⟩=lim⟨x,(ξ ∈ k j ) ∗ − Fρ (x ∗ ),z k j −x ∗ ⟩, (2.50) k→∞ j→∞ trongđó(ξ ∈ k ) ∗ =P x ∗ −ν∂h(x ∗ ,x ∗ ) (ξ ∈ k ).Sửdụngz k −x k →0vàw k −z k →0,chúng ta cũng có w k j ⇀z ∗ , x k j ⇀z ∗ Áp dụng Bổ đề (2.8), ta cóx ∗ ∈Ω.

Lại có dãyξ ∈ k ∈ αx k − α ∂ν∂ 2h(x k , x k )chứadãyξ ∈ k j ⇀ ˆ∈ z ∗ − ∂ νh 2 h(z ∗ , z ∗ )và dãy

Chọnξ ∈ ∗ ∈ x ∗ − ∂νh 2h(x ∗ , x ∗ ), trong đóx ∗ =PΩ[ξ ∈ ∗ +x ∗ − Fρ (x ∗ )].Khi đó

≤0 Kết hợp điều này với (2.52), ta có limsup⟨x,(ξ ∈ k ) ∗ − Fρ (x ∗ ),z k −x ∗ ⟩=⟨x,ξ ∈ ∗ − Fρ (x ∗ ),z ∗ −x ∗ ⟩≤0 (2.53) k→∞

(2.54) Áp dụng Bổ đề1.8, chúng ta thu đượclim∥x∥x k − αz ∗ ∥x∥= 0, hayx k → αz ∗ ∈Ω.

Nhưvậy,từ các Khẳng định2.4,2.5vàKhẳng định2.6, suy ra Định lý2.3hoàn toàn đượcc h ứ n g minh.

Mộtsốtínhtoánminhhọa

Trongmụcnày,chúngtôiápdụngThuậttoán2.1cholớpbàitoáncânbằng haicấpBEP(C,g,f),trongđóClàmộttậplồiđadiệnđượcchobởi x R 5

Hàm f: R^5 × R^5 → R được giới thiệu trong tài liệu [75] có dạng f(x, y) = ⟨x, G(x) + Qy + q, y - x⟩, trong đó A là ma trận 5×5, B là ma trận đối xứng 5×5, D là ma trận đường chéo 5×5 và ma trận Q^T + B + D như trong [9] Ngoài ra, q là vector thuộc R^5, và chọn η > 1 + ∥x∥ ∥x∥Q với ánh xạ G được chọn ở i.

Trước hết, chúng ta sẽ chỉ raGliên tục Lipschitz trênCvới hằng sốL√

(2.55)Một cách tương tự, ta cũngc ó

Sử dụng (2.55) và (2.56), ta có

≤2(2η+ 2η+ 1)∥x∥x − y ,∥x∥ trong đó bất đẳng thức cuối có được nhờ áp dụng(a+b) 2 ≤2(a 2 +b 2 )với mọi a,b∈R.Dođó,GliêntụcLipschitzvớihằngsốL:= 2(2η 2 + 2η+1).

Tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ raGđơn điệu mạnh với hằng số(η −1)trênR 5 Thật vậy, lấyx= (x1, , x5) T ∈R 5 , y= (y1, , y5) T ∈R 5 bất kỳ Khi đó

Để chứng minh tính đơn điệu mạnh của hàm Gl trên R^5, chúng ta áp dụng định lý Lagrange, từ đó suy ra rằng [sin(x1)−sin(y1)](x1−y1) ≥ −(x1−y1)² cos(c1) với c1 nằm giữa x1 và y1 Tương tự, ta cũng có [sin(x2)−sin(y2)](x2−y2) ≥ −(x2−y2)² Điều này cho thấy Gl là (η−1)-đơn điệu mạnh Hơn nữa, theo Bổ đề 6.1(i) trong tài liệu [76], hàm fl cũng có tính đơn điệu mạnh với hằng số (η−1− Q∥x∥ ∥x∥), trong đó η > 1 + ∥x∥ ∥x∥Q.

,d( T i=1, ,5)đượcchọnbởi d= (1,3,5,7,2) T vàe= (4.5,6,3,8,2) T Song hàmnàyđược đề xuất bởi A.

Bnouhachemvàcác cộng sự trong [30], các tác giả cũng đãchỉra tính liêntụcvàgiả đơn điệu củagtrênC.

Khi đó, Thuật toán2.1được viết lại là

 w k vớiα k =max{ρ β k k ,∥x∥w k ∥x∥ } u k =G(x k )+Qx k +q x k+1 =Pr C (y k −η k u k ). Các ma trậnA, B, Dvà vec tơqđược chọn như sau

Giá trị riêng nhỏ nhất củaQlà10.2313,chuẩncủaQlà58.9677 Theo trên,Gl à

2(2η 2+ 2η+1)-liêntụcLipschitzvà(η−1)-đơnđiệumạnh,tacó ˆ∂2f(x, x) ={G(x) +Qx+q}đơn điệu mạnh với hằng sốβ >:=η+ 9.2313; ˆ∂2f(x,x)liên tục Lipschitzvớihằng sốL:= 2(2η 2 + 2η+ 1) +

58.9677 Các tính toán sau được thực hiện bởi Matlab R2013achạytrên

LaptopI n - tel(R)Core(TM)i3-3110MCPU@2.40GHz2.40GHz4GbRAM.Chúngtôisử dụng điều kiện dừngmax{ y∥x∥ k −x k ∥x∥,∥x∥x k+1 −x k ∥x∥} k = 7 1 , ξ ∈ k =τ k = ϵ k = 0vớimọik ∈N Chọn điểm xuất phátx 0 = (1,1,1,1,0) T vàϵ= 10 −3 Kết quảchạysố của Thuật toán2.1được ghi nhận trong Bảng2 1

Thuật toán dừng sau15bước lặp và nghiệm xấp xỉ thu được là x 15 = (0.2907,1.2093,0.4621,1.3010,0.4359) T

Test2.Chọn điểm xuất phátx 0 = (1,1,1,1,0) T vàϵ= 10 −3 Chạy Thuậtt o á n 2.1 vớicácthamsốkhácnhauvàkếtquảđượcghinhậntrongBảng2.2.

Bảng 2.2:Kếtquả chạy Thuật toán2.1vớiTest 2.

Test3.Trongví dụnày,chúngtôi so sánh tốc độ hội tụ của Thuật toán2.1với thuậttoán dưới đạo hàm tăng cườngSEA(trong [9]) Tham sốvàdữ liệu của cácthuậttoán đượcchọnnhưs a u :

1 2η ˆT h u ậ ttoánSEA:η=ξ ∈−1− Q ,∥x∥ ∥x∥ λf= ,β >= ,vàđiềukiện dừng:max{ y∥x∥ k − αx k ∥x∥ ∥x∥, x k+1 − y k ∥x∥} ≤ ϵ Khi đó, các điều kiện của Định lý 3.7 trong [9] được thỏa mãn. ˆThuật toán2.1:η:= 5 +∥x∥ ∥x∥Q = 63.9677, η k := 1 k+10, ρ k = 200, β > k =

Từkếtquả tính toán số ghi nhận được từ các bảng,chúngt a thấyrằng tốc độvàthời gian xử lý của Thuật toán2.1phụthuộcvàoviệcchọncácdãythams ố

{ξ ∈ k }, {β > k }vàλf k , cũng như chọn điểm xuất phátx 0

TestProb η k β > k ρ k No Iterations CPU-Times/sec

Thuậttoán2.1 Thuật toánSEA Problems Starting point Iterations CPU-Times/sec Iterations CPU-Times/sec

Bảng 2.3:Kếtquả so sánh giữa Thuật toán2.1và thuật toánSEAvới các điểm xuất phát khác nhau.

Sau đây là một số kết quả chính thu được trong Chương 2 này.

Chúng tôi đã phát triển một thuật toán chiếu dưới đạo xấp xỉ cho bài toán cân bằng BEP(C,f,g) trong không gian Hilbert H Thuật toán này sử dụng hai hàm giá cấp thứ hai đơn điệu mạnh và một hàm giá cấp thứ nhất giả đơn điệu Trong mỗi vòng lặp, thuật toán chỉ cần tính các dưới đạo hàm của hàm giá theo biến thứ hai và thực hiện một phép chiếu lên tập ràng buộc C Dưới các điều kiện thích hợp, chúng tôi đã chứng minh sự hội tụ mạnh mẽ của thuật toán đối với nghiệm duy nhất của bài toán BEP(C,g,f).

Đề xuất thuật toán dưới đạo hàm tăng cường kết hợp với kỹ thuật quán tính để giải bài toán cân bằng hỗn hợp với ràng buộc là giao của tập nghiệm bài toán cân bằng và các tập điểm bất động của ánh xạ tiệm cận không gian, ánh xạ giả cố định Chúng tôi chứng minh sự hội tụ của dãy lặp về nghiệm của bài toán thông qua Định lý 2.3.

Ápdụng Thuật toán 2.1 cho bài toán cân bằng với ràng buộc là giao tập điểm bất động của ánh xạ không giãn, nhằm tìm tập nghiệm cho bài toán này Kết quả hội tụ được chứng minh trong Định lý 2.2.

(d) Lấycác ví dụ số minh họachoThuật toán2.1vàso sánhkếtquảvớimột sốThuật toán trước đó Kết quả được ghi nhận trong Bảng2.1,Bảng2.2vàBảng2.3.

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG

Phương pháp đạo hàm tăng cường được đề xuấtbởiG.M Korpelevich [56]chobài toán tìm điểmyênngựa, sau đó được áp dụngchobài toán bất đẳngt h ứ c b i ế n p h â n đ ơ n đ i ệ u vàgiả đơn điệu [39,71] Đến năm

Năm 2008, T.D Quốc và các cộng sự đã mở rộng phương pháp cho bài toán cân bằng EP(C, g) Trong các ví dụ minh họa số, các tác giả đã chỉ ra tính ưu việt của thuật toán đạo hàm tăng cường so với thuật toán điểm gần kề Sau đó, thuật toán này tiếp tục được cải tiến bởi một số tác giả khác.

Trongchươngnày,chúngtôinghiêncứumởrộngphươngphápđạohàmtăng cườngchomột lớp bài toán cân bằng hai cấpBEP(C,g,f,Φ))códạng

Tìmxˆ∈Sol(C,g,Φ))saochof(xˆ,y)≥0,∀yy∈Sol(C,g,Φ)) (3.1)

Trong đó,f,glà các song hàm từH×HvàoRthỏa mãn điều kiện cân bằngf(x,x)

=g(x, x) = 0, x ∀y ∈H,Φ) :H→Rlà một hàm lồi vàSol(C, g,Φ))là tập nghiệm của bài toán cân bằngEP(C, g,Φ)):

DễthấykhiΦ)≡0,bàitoánBEP(C,g,f,Φ))trởthànhbàitoáncânbằnghai cấpBEP(C,g,f).Khif≡0vàg≡0,nótrởthànhbàitoánOP(C,Φ)).

Thuậttoán

(C3)HàmΦ)chính thường, lồivànửa liên tụcd ư ớ i ;

(C4)Song hàmflàη- đơn điệu mạnh và liên tục yếu;

(C5)Tồintạicácánhxạf¯ i :C×C→Hvàfˆ i :C→Hvớimỗii∈{1, ,m}saochof¯ i (x, y) +f¯ i (y,x)=0,∥x∥f¯ i (x,y)∥x∥≤L¯ i ∥x∥x− y∥x∥và∥x∥fˆ i (x)

(b)ChoánhxạF:C→ Cl i ê ntụcLipschitzvớihằngsốL.Khiđósonghàm f(x,y) =⟨x,F(x), y − x⟩cũng thỏa mãn điều kiện(C5).

(c)LấyH=R n ,fđượcchobởi f(x, y) =⟨x,G(x) +Ax+b, y − x⟩+ Φ)(y)−Φ)(x), trong đóG:C →R n là ánh xạL-liên tục Lipschitz,A ∈R n×n ,b∈R n và Φ) :C →R Khi đó, f(x, y) +f(y, z)− f(x, z) =⟨x,G(x) +Ay+b, y − x⟩+⟨x,G(y) +Az+b, z − y⟩

Chọnm=2,f¯ 1 (x,y)=y−x,f¯ 2 (x,y)=G(y)−G(x),fˆ 1 (x)=Ax, fˆ 2 (x)=−x,L¯ 1 =1,L¯ 2 =L,Lˆ 1 =∥x∥A∥x∥vàLˆ 2 =1.Nhưvậy,fthỏaamãnđiềuk iện(C5).

L i L i Chọn các tham sốλf k (k ≥0), β > k sao cho

Thuật toán 3.1 (Thuật toán đạo hàm tăng cường)

Khởi tạo Lấyx 0 ∈ Cbất kỳ,ϵ >0gánk:= 0.

Bước3 Nếu∥x∥x k+1 −x k ∥x∥0phảithỏamãn điều kiệnη>max{c1,l1}.TrongThuậttoán3.1;hệ số đơn điệu mạnhη>0bấtkỳ Do vậy, lớp hàmtronghai thuậttoánlàkhácnhau;

- Cácbướcchứng minh sự hội tụ của hai thuậttoánnàyhoàn toánkhác nhaubởitiếpcậndãy số và tiếpcậnsonghàm. k

(3.3) Thuật toán của chúng tôi được mô tả chi tiết như sau. k 2 k 2 k k 2 k k 2 k k k k k

Sự hội tụ củaT h u ậ t toán

Bổ đề 3.1 Nếuy k =x k thìx k là một nghiệm của bài toánEP(C, g,Φ)), nghĩa làta cóx k ∈ αSol(C, g,Φ)).

Chứng minh.Từ giả thiếty k =x k , suy rax k là nghiệm duy nhất của bài toán lồi mạnh sau: min.λf k g(x k ,y)+λf k Φ)(x)+1 ∥x∥y−x k ∥x∥ 2 :y∈CΣ.

Theo Bổ đề1.4, suy ra

Khi đó, tồn tạiw k ∈∂2g(x k ,x k )vàv k ∈∂Φ)(x k )saocho−λf k w k −λf k v k ∈

Cộng ba bất đẳng thức trên(vếtheovế) kếthợpvớig(x k ,x k )0,chúngtathuđượcg(x k ,x) + Φ)(x)−Φ)(x k )≥0vớimọix ∈C.Suy rax k ∈Sol(C,g,Φ)).

Chứng minh.KhiΦ) = 0, trong [8, Bổ đề 3.1] đã chứng minh Vậy ta chỉ cần xét trường hợpΦ)̸=0 Từ z k =argmin.λf k g(y k ,z)+λf k Φ)(z)+ ∥x∥z−x k ∥x∥ 2 :z∈CΣ,

1 ápdụngBổđề1.4suyratồntạiu k ∈∂2g(y k ,z k )vàu¯ k ∈∂Φ)(z k )saocho λf k u k +λf k u¯ k +z k −x k ∈−N C (z k ), hay,

Mặt khác, theo định nghĩa dưới vi phân suy ra với mỗix C∈ , ta có λf k [g(y k ,x)

−Φ)(z k )]≥λf k ⟨x,u¯ k ,x−z k ⟩. cộng hai bất đẳng thức cuối và (3.4), chúng ta thu được λf k [g(y k ,x)−g(y k ,z k )+Φ)(x)−Φ)(z k )]+⟨x,z k −x k ,x−z k ⟩≥0, x ∀y ∈ C (3.5) Thayxbởix¯∈Sol(C,g,Φ))trong(3.5),tacó λf k [g(y k ,x¯)−g(y k ,z k )+Φ)(x¯)−Φ)(z k )]≥⟨x,z k −x k ,z k −x¯⟩.

(3.6)Dosonghàmgth aỏa mãnđiềukiệnkiểuLipschitzvớicáchàngsốc1,c2,suyra g(y k , z k )≥ g(x k , z k )− g(x k , y k )− c1∥x∥x k − αy k ∥x∥ 2 − c2∥x∥z k − αy k ∥x∥ 2 , hay λf k [g(x k ,y k )+g(y k ,z k )−g(x k ,z k )]≥−λf k c1∥x∥x k −y k ∥x∥ 2 −λf k c2∥x∥y k −z k ∥x∥ 2

(3.7)Thực hiện một cách tương tựvới y k =argmin.λf k g(x k ,y)+λf k Φ)(y) +1∥x∥y − x k ∥x∥ 2 :y ∈CΣ, chúngta cũngthuđ ư ợ c λf k [g(x k , y)−g(x k ,y k )+ Φ)(y)−Φ)(y k )]≥ y⟨x, k −x k ,y k −y ,⟩∀yy ∈ C

Thayy=z k ∈C,tac ó λf k [g(x k ,z k )−g(x k ,y k )+Φ)(z k )−Φ)(y k )]≥ y⟨x, k −x k ,y k −z k ⟩ (3.8) Cộng ba bất đẳng thức (3.6), (3.7) và (3.8) (vế theo vế) , ta được λf k [g(y k ,x¯)+Φ)(y k )−Φ)(x¯)]≥⟨x,z k −x k ,z k −x¯⟩+⟨x,y k −x k ,y k −z k ⟩

Tiếp theo, áp dụng đẳng thức2⟨x,x,y⟩=∥x∥ ∥x∥x 2 +∥x∥ ∥x∥y 2 − x −∥x∥ y∥x∥ 2 vớimọix, y

∈C,đồngthờisửdụngx¯∈Sol(C,g,Φ)),y k ∈Cvàtínhđơnđiệucủasonghàmg,chúngtathuđ ược

Bổ đề 3.3 Với mỗix C∈ , ta có

Chứng minh.Dox k+1 =argmin{β > k f(z k ,t) + 1 ∥x∥t −z k ∥x∥ 2 :t∈C},nên tồn tại w k ∈ α∂ 2f(z k , x k+1 )sao cho

Từ định nghĩa nón pháp tuyến ngoài và dưới vi phân, suy ra

Cộng hai bất đẳng thức cuối, chúng ta thu được

(3.9)Áp dụng đẳng thức2⟨x,a, b⟩=∥x∥a+b∥x∥ 2 − a∥x∥ ∥x∥ 2 − b∥x∥ ∥x∥ 2 vớimọia,b∈H, ta có2β > k [f(z k ,x)−f(z k ,x k+1 )]+∥x∥z k −x∥x∥ 2 − x∥x∥ k+1 −z k ∥x∥ 2 − x∥x∥ k+1 −x∥x∥ 2 ≥0, x∀y ∈C.

Bổ đề 3.4 Giả sửx ∗ là αm t αnghi m αc a αbài αtoánộ ệm của bài toán ủ BEP(C, g,f,Φ)) Khi đó,

.Bằngcách tương tự như trong chứng minh của (3.9), chúng ta cũng thu được β > k [f(x ∗ ,x)−f(x ∗ ,y k+1 )]+⟨x,y k+1 −x ∗ ,x−y k+1 ⟩≥0, ∀y ∈C.x (3.10)

Thay thếxbởiy k+1 ∈ Ctrong (3.9),xbởix k+1 ∈ Ctrong (3.10), ta có β > k [f(z k , y k+1 )− f(z k , x k+1 )] +⟨x,x k+1 − z k , y k+1 − x k+1 ⟩ ≥0,

Cộng hai bất đẳng thức cuối, và sử dụng đẳng thức2⟨x,x, y⟩=∥x∥x+y∥x∥ 2 − x∥x∥ ∥x∥ 2 − y∥x∥ ∥x∥ 2 , dẫn đến

Theo giả thiết(C5), ta thu được Σ Σ

Cũng từ giả thiết(C5), tính đơn điệu của song hàmf:f(x, y)+f(y, x)≤ −η∥x∥x−y∥x∥ 2 với mọix, y C∈ , ta có f(z k , y k+1 )− f(z k , x k+1 ) +f(x ∗ , x k+1 )− f(x ∗ , y k+1 )

Bổ đề 3.5 Các dãy{x k }, {y k }và{z k }bị chặn.

Chứng minh.Theo giả thiết song hàmfđơn điệu mạnh, nên bài toán cân bằngEP(C,f)cónghiệmduynhất.Tagọinghiệmđólàxˆ.Khiđó,vớimỗiβ > k >0,tacó

∥x∥ x ∗ ∥x∥ 2 :v ∈CΣ. Bằng cách tương tự như trong chứng minh Bổ đề3.4, chúng ta thu được

Suy ra, dãy{y k+1 }bị chặn Dofliên tục trênC, nên tồn tại hằng số (phụ thuộc x ∗ )M¯(x ∗ )>0saocho

Thay thếxbởix ∗ trong (3.10) và sử dụngf(x ∗ , x ∗ ) = 0, chúng ta thu được

∗ ∗ ∗ vàdođó,∥x∥y k+1 −x ∗ ∥x∥ 2 ≤β > k M¯(x ∗ )≤β > k+1M¯(x ∗ )vớimọik≥0.ÁpdụngBổđề3.2vàBổ đề3.4, tacó x

Nhưvậy,{x k }bịchặn.TừBổđề3.2,kéotheo∥x∥z k −x¯∥x∥≤∥x∥x k −x¯∥x∥và0≤

Bổđề3.6 Giảsửdãycon{x k i }⊂{x k }hộitụyếutớixˆ,lim∥x∥y k i −z k i ∥x=0và lim∥x∥x k i +1 −z k i ∥x=0.Khiđó,xˆ∈Sol(C,g,Φ)).

Chứngminh.Do{x k }⊂C,x k i ⇀xˆvàCđóngyếu,kéotheoxˆ∈C.Từlim∥x∥x k i −y k i ∥x=lim∥x∥y k i −z k i ∥x=0,suyray k i ⇀xˆvàz k i ⇀xˆ. i→∞ i→∞

Lại cógthỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz với các hằng sốc1, c2, tức là ta có bất đẳng thức: g(x k i ,y k i )+g(y k i ,z k i )≥g(x k i ,z k i )−c1∥x∥x k i −y k i ∥x 2 −c2∥x∥y k i −z k i ∥x 2 (3.13) Nhân (3.13) vớiλf k i >0và sử dụng (3.5), chúng ta thu được λf k i g(y k i ,z k i )≥λf k i Σ−g(x k i ,y k i )+g(x k i ,z k i )Σ

−λf k i c 1∥x∥x k i −y k i ∥x 2 −λf k i c 2∥x∥y k i −z k i ∥x 2 , k i i k i k2 k k2 i i i k i k k k k k k i i i i i k+1 k 2 và λf k [g(y k i ,x)+Φ)(x)−Φ)(z k i )]≥λf k g(y k i ,z k i )+⟨x,z k i −x k i ,z k i −x⟩, ∀yx∈C. Kết hợp hai bất đẳng thức cuối, suy ra, với mọix C∈ ta có λf k [g(y k i ,x)+Φ)(x)−Φ)(z k i )]≥λf k g(y k i ,z k i )+⟨x,x k i −z k i ,x−z k i ⟩

Lại cólimλf k =λf >0,lim∥x∥x k i − y k i ∥x∥= lim∥x∥y k i − z k i ∥x∥= 0,{z k i }bị chặn và tính k→∞ i→∞ i→∞ liên tục yếu củag, cho qua giới hạn, chúng ta thu được λf[g(xˆ,x)+Φ)(x)−Φ)(xˆ)]≥0, ∀yx∈C.

Chúng tôi sẽ trình bày và chứng minh định lý hội tụ của Thuật toán 3.1 Định lý 3.1 khẳng định rằng nếu các giả thiết (C1)−(C5) được thỏa mãn và các tham số đáp ứng điều kiện (3.3), thì các dãy {x_k}, {y_k} và {z_k} được sinh ra từ Thuật toán 3.1 sẽ hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán BEP(C, g, f, Φ).

Chứng minh.Đặta k =∥x∥x k − αx ∗ ∥x∥ 2 Áp dụng các Bổ đề3.2,3.3và3.5, chúng ta thu được x

Ta xét hai trường hợp sau.

Trường hợp 1.Tồn tại số nguyên dươngk0sao choa k+1≤a k với mọik≥k0 Khi đó,lima k =A0 Khi đó, tồn tại số nguyên dươngk0>0sao cho f(z k ,x ∗ )−f(z k ,x k+1 )≤−ηA

Thayx=x ∗ trong B đổ ề3.3và áp dụng Bổ đề3.2, với mọik ≥ k0, chúng ta thu được x

Tức là, với mọik≥k0, ta có

Mà∞ k=1 k a k − αa k 0 ≤ − Aη β > j (3.20) j=k 0 β > k =+ ,kếthợpvới(3.20),chúngtasuyrađượcliminfa k = ,điều nàymâuthuẫn vớitính bịchặncủa a k Nhưvậy,ta cóA= 0,haylim k→∞ a k =0, k→∞ tức là{x k }hội tụ về nghiệm duy nhấtx ∗ ∈Ωcủa bài toánBEP(C, g,f,Φ)).

Trườngh ợ p 2 Khôngt ồ n t ạ i s ố n g u y ê n d ư ơ n gk0s a ochoa k+1≤ a k vớim ọ i

∥x∥ τ ( k) τ ( k)2 τ ( k) τ(k)2 k→∞ k→∞ k→∞ k→∞ k≥k0.Nói các khác, tồn tại số nguyên dươngk0saochoa k 0 ≤a k 0 +1.Theo Bổ đề1.3[60],Maingéđềxuấtdãycon{a τ ( k) }c aủa không gian {a k }đượcxácđịnhnhưsau τ(k)= max{i ∈N:k0≤i≤k,a i ≤a i+1}

Từ tính không giảm của{a τ(k) }và Bổ đề3.5, dẫn đến tồn tại giới hạnlim k→∞a τ(k) M k = 0, suyr a lim∥x∥x τ ( k)+1 −z τ ( k) ∥x∥=l i m∥x∥x τ ( k) −y τ ( k) ∥x∥=l i m∥x∥y τ ( k) −z τ ( k) ∥x∥=0 (3.22) k→∞ k→∞ k→∞

Lạicó{z k }bịchặn,bởivậytồntạidãyconcủanóhộitụyếuvềx¯.Khôngmấttínhtổngquát, chúngtagiảsửrằngz τ (k) ⇀x¯.Khiđó,x τ (k)+1 ⇀x¯.Thaykbởiτ(k)trong (3.14)vàkếthợp điều kiện (3.3)chúngtathuđược

Từ tính đơn điệu mạnh củafvới hằng sốηtrênC, ta có z η∥x∥ τ(k) −x ∗ ∥x∥ 2 ≤−f(z τ(k) ,x ∗ )−f(x ∗ ,z τ(k) ) (3.25)

Kếthợp(3.24),(3.25),giảthiết(C4)vàBổđề3.6:x¯∈Sol(C,g,Φ)),chúngtacó ηlimsup∥x∥z τ ( k) −x ∗ ∥x∥ 2 ≤limsupΣ−f(z τ ( k) ,x τ ( k)+1 )−f(x ∗ ,z τ ( k) )Σ k→∞ k→∞

Như vậy,lim sup k→∞ ∥x∥z τ(k) − x ∗ ∥x∥= 0 Mặt khác, từ (3.22) dẫn đến

Từ đó, suy ralima τ(k) = 0 Mà theo (3.21) ta có0≤ a k ≤ αa τ(k)+1 →0khik →

Nguyên lý bài toánphụDC 90

Nguyên lý bài toánphụDC

Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian R^n, và f: C × C → R là một song hàm thỏa mãn điều kiện cân bằng f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C Đồng thời, G là một toán tử từ C vào R^n Bài toán cân bằng với ràng buộc bất đẳng thức biến phân được định nghĩa như sau:

Tìmx ∗ ∈Sol(C, G)saochof(x ∗ ,x)≥0, x ∀y ∈Sol(C,G), (4.1) trong đó,

Với ánh xạ affine G(x) = Qx + q trên không gian C = {x ∈ R^n : Ax ≥ b}, trong đó Q là ma trận đối xứng, A là ma trận m × n, và q, b là các vectơ trong R^n và R^m, các tác giả trong [44] đã chứng minh rằng khi k = 0, ma trận Q là ma trận giả đơn điệu trên C, tương đương với việc G là giả đơn điệu trên C.

Xét bài toán quy hoạch toàn phương sau đây min.f0(x):=1

⟨x,Qx,x⟩+⟨x,q,x⟩:x∈CΣ, (4.3) Địnhnghĩa4.1.Mộtphầntửx¯∈R n đượcgọilàmộtđiểmKKT(Karush-

Kuhn-Tuckerpoint) của bài toán (4.3) nếuvàchỉnếu tồn tạivéctơλf ∈R m saocho

Nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân AffineV I(C, G) liên quan chặt chẽ đến điểm KKT trong bài toán quy hoạch toàn phương, được thể hiện qua bổ đề sau.

Bổđề4.1.[45,tr.834]Mộtphầntửxˆ∈ClànghiệmcủabàitoánVI(G,C)nếuvà chỉ nếu nó là điểm KKT củabàitoán(4.3).

Mặt khác bài toán (4.3) lại có thể phân tích như sau min.f0(x):=1

Chúng ta có thể áp dụng kỹ thuật phân tích DC để tìm nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân affine Điều này tạo nền tảng cho việc xây dựng thuật toán dựa trên nguyên lý bài toán phụ DC cho bài toán (4.1) Thuật toán mà chúng tôi đề xuất đi kèm với một số giả thiết đặc trưng như sau:

(D1) Ánh xạGgiả đơn điệu, song hàmflà đơn điệu mạnh với hằng sốβ >>0;

L i K i , trongđóκ−>β >,nghĩalà,tồntạicáchằngsốL i >0vàK i >0,cácánhxạ α¯ i :C×C→Cvàαˆ i :C→Csaocho,vớimọix,y,z∈C,i∈{1, ,r}, r f(x,y)+f(y,z)≥f(x,z)+ ⟨x,α¯ i (x,y),αˆ i (y−z)⟩, i=1 α¯ i (x,y)+α¯ i (y,x)=0,∥x∥α¯ i (x,y)∥x∥≤L i ∥x∥x−y∥x∥,

(D3) Hàmf(x,ã)lồi với mỗix C∈ Mọi dóy{y k } ⊂Cthỏa móny k → αd, ta cú lim sup ∥x∥y k |f −d∥x∥ ( d,y )| = 0,1409, η= 210, α k = mãn các điều kiện(D4).

Thuật toán của chúng tôi đề xuất được mô tả như sau:

Thuật toán 4.1 (Thuật toán nguyên lý bài toán phụ DC)

Khởi tạo Lấy điểmx 0 ∈ Cbất kỳ,ϵ >0, gánk:= 0

Bước3 Nếu∥x∥x k+1 −x k ∥x∥−2τ1(Q)≥0, từy k là nghiệm duy nhất của bài toán lồi mạnh

(4.9), theo điều kiện cầnvàđủchođiểm tối ưu của bài toán quyhoạchlồi [79, Định lý 27.4], tacó

−Qy −q− yη +η ∈x N C (y). Theo định nghĩa của nón pháp tuyến ngoài, suy ray k thỏa mãn bất đẳng thức

(4.12)Dox ∗ lànghiệmduynhấtcủabàitoán(4.1),suyra⟨x,Qx ∗ +q,y−x ∗ ⟩≥0vớiimọi y ∈C,Gđơn điệu trênC,lại cóy k ∈C,nên ta có⟨x,Qy k +q, y k −x ∗ ⟩≥0 Thay thếxbởix ∗ ∈ Ctrong (4.12),chúngtathuđ ư ợ c η⟨x,y k − αx k , y k − αx ∗ ⟩ ≤ Qy⟨x, k +q, x ∗ − y k ⟩ ≤0. Kết hợp điều này và đẳng thức a,

≤0. Theo giả thiếtη >0, suy ra y

∥x∥ k − αx ∗ ∥x∥ 2 ≤ x∥x∥ k − αx ∗ ∥x∥ 2 − y∥x∥ k − αx k ∥x∥ 2 Vậy Khẳng định4.1được chứng minh. Σ Σ

Khẳng định 4.2.Vớix ∗ là nghi m c a bài toán (ệm duy nhất của bài toán ( ủa không gian 4.1), ta có y

Từ x ∗ là nghiệm duy nhất của bài toán, dẫn đến các bất đẳng thức sau: f(x ∗ ,x) ≥ 0 cho mọi x ∈ Sol(C, G) và ⟨x,Qx ∗ +q,y −x ∗ ⟩ ≥ 0 cho mọi y ∈ C.

Doy k ∈ α αCvàx ∗ ∈Sol(C, G), suy ra⟨x,Qx ∗ +q, y k −x ∗ ⟩≥0 Thayxbởix ∗ ∈C trong (4.12),chúngtathuđ ư ợ c

+⟨x,Qx ∗ +q, x ∗ − y k ⟩+η⟨x,y k − αx k , x ∗ − y k ⟩ ≥0. Kết hợp điều này với (4.14), ta có

(4.15)Từ giả thiết(D4), ta có(Q+ηI)là ma trận xác định dương , nghĩa là,

⟨x,(Q+ ηI)x, x ≥ ⟩ λf∥x∥ ∥x∥x 2 với mọix ∈R n Dễ thấyλf=η+τ1(Q) Áp dụng đẳng thức a,

Do đó, kết hợp vớiλf=η+τ1(Q), ta có y

∥x∥ k −y k ∥x∥ 2 (4.17) η+2τ1(Q) η+2τ1(Q) Áp dụng Định lý 27.4 trong [79],chúngtathấyrằngx k+1 là nghiệm của bài toán quyhoạchlồi (4.10) khivàchỉk h i

2 r trong đúδ C là hàm chỉ của tậpC Khi đú, tồn tạiw k ∈ α∂f(y k , ã)(x k+1 )vàv k ∈

(4.18)Theo định nghĩa của nón pháp tuyếnN C , suyr a v , x

Kết hợp điều này với (4.18), ta thu được y

. Khẳng định4.2được chứng minh.

Khẳng định 4.3.VớimỗiS k ∈N,chúngta định nghĩa ánh xạS k :C → Cnhư sau k (x):=argmin.α k f(x,y)+1 ∥x∥y−x∥x∥ 2 :y∈CΣ,∀yx∈C.

Khi đó,S k là ánh xạ co, nghĩa là ta có

1− α k (2β > − α k κ− 2 )−đơn điệu mạnh củafvà cộng hai bất đẳng thức cuối với nhau, chúng ta thu được f(y, S k (y))− f(x, S k (y)) +f(x, S k (x))− f(y, S k (x)) r

Bất đẳng thức cuối được suy ra từ điều kiện (4.7) Vậy ta có Khẳng định4.3.

Khẳngđịnh4.4.Tồntạisốthực(phụthuộcvàox ∗ )M¯(x ∗ )>0vàsốtựnhiêndươngk0s aocho

Thật vậy, áp dụng Bổ đề1.5cho các dữ liệu sau:

Khi đó,Mliên tục vàlimS k (x ∗ ) =x ∗ Dofliên tục trênC, bởi vậylimf(x ∗ , S k (x ∗ )) k→∞ k→∞ f(x ∗ ,x ∗ )=0.Theogiảthiết(D3),tồntạihằngsốM¯(x ∗ )>0vàsốnguyêndương k0sao cho

Bằng cách tương tự như (4.13) vớix k+1 :=S k (x ∗ ), y k :=x ∗ vàx:=x ∗ , chúng ta cũng thu được

−α k f(x ∗ ,S k (x ∗ ))+⟨x,S k (x ∗ )−x ∗ ,x ∗ −S k (x ∗ )⟩≥0, k ≥k0, trong đóf(x ∗ , x ∗ ) = 0, và do đó

Tiếp theo, sử dụng tính co củaS k vàbất đẳng thức tam giác,vớimỗik≥k0ta có

(4.23)Kết hợp điềunày vớiKhẳng định4.1, dẫnđến

+α k M¯(x ∗ ) 2 Vậy Khẳng định4.4được chứng minh.

Khẳng định 4.5.Nếu tồn tại giới hạnA= lim∥x∥x k − αx ∗ ∥x∥ 2 < ∞, thì ta có các khẳng định sau :

(4.5b)Haidãy{x k }và{y k }cùnghộitụvềđiểmx¯∈Sol(C,G).Thậtvậy,t ừ Khẳng định4.4, suy ra

Dolimα k = 0vàA= lim∥x∥x k − αx ∗ ∥x∥ 2 < ∞, kéo theo k→∞ k→∞ lim x k y k =0. k→∞

Khẳng định (4.5a) đã được chứng minh, cho thấy y k là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá đơn điệu mạnh xác định b ở i: x−→(Q+ηI)x+q−xη k, trong đó I là ánh xạ đơn vị Điều này dẫn đến việc k cũng là điểm bất động duy nhất của ánh xạ chiếu P C x−1 [(Q+ηI)x+q−xη k] Dưới các điều kiện η > 0 và η > -τ1(Q) với mọi k ≥ 0, chúng ta có y k = P C y k − (Q+ηI)y k + q − ηx k.

− Q η ∥x∥ ∥x∥∥x∥x k+1 −x ∥x∥ (4.25) Để ý rằng, từ điều kiện (4.5)vàκ− β > > c aủa không gian (D2), suy raη > κ∥xQ∥x∥ > Q∥x∥ ∥x∥2 Sử dụng Khẳng định4.3,x k ∈ αCvàx k+1 =P C [y k − αàα k F(y k )], chỳng ta thu được x k =P C (x k )và x

Cho qua giới hạn vớik → ∞, sử dụng tính bị chặn của{y k }và Khẳng định(4.5a), dẫn đến lim x k+1 x k =0. k→∞

Theo (4.25), chúng ta cũng có lim y k+1 y k =0. k→∞

Kết hợp (4.24)vàtính không giãn củaP C , tac ó y k P y k 1

Với mỗiϵ>0, tồn tại sốk0∈N ∗ :={1,2, .}sao cho y k − αP C Σy k −1

Theo Bổ đề1.6, tồn tạil >0sao cho d(y k ,Sol(C, G))≤ ly k − αP C Σy k −1

Trongđóbấtđẳngthứccuốicóđượctừ(4.26).DoSol(C,G)làtậpđóng,khác rỗng,nêntồntạiđiểmz k ∈Sol(C,G)saochod(y k ,Sol(C,G))=∥x∥y k −z k ∥x∥.Điềunàydẫn tớilimy k z k = 0 Sử dụng (4.24), tính không giãn củaP C và k→∞ y k+1 =P C y k+1 −1

− PC.yk− (Q+ηI)yk+q−ηxk +∥x∥yk−zk∥x∥

→0khik → ∞. Ở đó bất đẳng thức cuối có được từ tính bị chặn của{y k }và{x k },lim∥x∥y k −x k ∥x∥ lim∥x∥y k − αz k ∥x∥= 0vàlim∥x∥x k+1 − x k ∥x∥= 0. k→∞ k→∞ η

DoGgiả đơn điệu nên tập nghiệmSol(C,G)chỉbao gồm một thành phầnl i ê n thôngchínhlàSol(C,G).KếthợpBổđề1.7vàlim z k+1 z k = 0, dẫn đếntồn k→∞ tại sốk0>0và hằng sốcsao cho z k ∈Sol(C,G)vàf0(z k )=c, k∀y ≥k0,

0và(4.27),suyratồntạisốthựcf∗làcựctiểucủabàitoánmin{f0(x):x∈C}thỏamãnli mf0(x k )=f∗.Từsựhộitụcủa{x k },dẫnđếntồntạix¯∈Sol(C,G)vàlim∥x∥x k −x¯∥x∥=0 Dođó,cảhaidãy{x k }và{y k }hộtitụvềcùngmộtđiểmx¯∈Sol(C,G).Nhưvậy,Khẳngđịn h(4.5b)cũngđượcchứngminh.

Khẳng định 4.6.Các dãy{x k }và{y k }cùng hội tụ về nghiệmx ∗ c a bài toánủa không gian (4.1).

Thật vậy, ta đặta k =∥x∥x k − αx ∗ ∥x∥ 2 và xét hai trường hợp sau:

Trườnghợp1.Tồntạik0∈Nsaochoa k+1≤a k vớimọik≥k0.Trongtrườnghợpnày,giớihạnc ủadãy{ x∥x∥ k −x ∗ ∥x∥ 2 }t nồi tạivàlim∥x∥x k −x ∗ ∥x∥ 2 =A∥x∥ k+1 −x ∗ ∥x∥ 2 ≤−f(x k+1 ,x ∗ ).ĐiềunàycùngvớiKhẳng định4.4suyr a limf(x ∗ ,x k+1 )=f(x ∗ ,x¯) 0 k→∞ và do đó, lim [f(x k+1 ,x ∗ )] β >A. k→∞

Mặt khác, từ chứng minhcủalim x k+1 y k = 0,chúngtathuđược k→∞ lim[−f(y k ,x ∗ )]=l i m [−f(y k ,x ∗ )+f(y k ,x k+1 )]≥ A.β > k→∞ k→∞

Bâygiờ ta sẽchỉraA= 0 Để ý rằngA≥0 Giả sử rằng tachỉcóA>0 Khi đó, tồn tạik1>k0saocho

, ∀yk ≥ k. Vớimỗik≥k1,từKhẳngđịnh4.1vàKhẳngđịnh4.2suyra β >Aα k ≤2α k Σ−f(y k ,x ∗ )+f(y k ,x k+1 )Σ Σ Σ

A β > α i ≤ α x∥x k 1 −x ∗ ∥x∥ 2 − x∥x∥ k+1 −x ∗ ∥x∥ 2 ∥x∥y k −x ∗ ∥x∥ 2 (4.30) Cộng (4.29) và (4.30), chúng ta thu được a k+1=∥x∥x k+1 − x ∗ ∥x∥ 2

Kết hợp điều này với (4.28), ta có a τ ( k)+1 ≤(1−2α τ ( k)β >)∥x∥x τ ( k) −x ∗ ∥x∥ 2 −2α τ ( k)Σf(y τ ( k) ,x τ ( k)+1 )+f(x ∗ ,y τ ( k) )Σ

Từ Khẳng định4.4, ta có

M¯(x ∗ ) 2 τ 2 suy radãy{x k }bị chặn Do{a τ(k) }không giảmkếthợpvớitính bịchặncủa{x k } dẫn đến tồn tại giớih ạ n

Cũng từ Khẳng định4.4,chúngta cólim∥x∥x τ(k) −y τ(k) ∥x∥= 0và{y τ(k) }cũng hộitụvềx¯.TheoKhẳngđịnh4.5,lim x τ (k)+1 y τ(k) =0,chúngtacũngcó k→∞ lim∥x∥x τ (k)+1 −x¯∥x∥=0 và limf(y τ (k) ,x τ (k)+1 )=f(x¯,x¯)=0. k→∞ k→∞

Choquagiớihạntrong(4.31)vàsửdụngf(x ∗ ,x¯)≥0,chúngtathuđược lima τ(k)+1 = 0 Mà0≤ a k ≤ αa τ(k)+1 (theo (4.28)), suy ralima k = 0. k→∞ k→∞ Địnhlý4 1đượcchứngminhxong ■

Sai sốthuậttoán

Trong trường hợp là sông hầm và tập Ct ngẫu quả, bài toán tối ưu bao gồm nhiều loại bài toán tối ưu cổ điển trong thực tế, chẳng hạn như bài toán tối ưu trên tập đồ thị, tối ưu mạng, quy hoạch nón, quy hoạch hình học, quy hoạch lồi đơn điệu, và điều kiện dự đoán mô hình Hiện nay, nhiều phương pháp tối ưu đã được áp dụng cho bài toán này, bao gồm phương pháp điểm trong, phương pháp hướng giả m và hướng giảm nhanh, phương pháp giả m có điều kiện, phương pháp tách, phương pháp tọa độ gốc và phương pháp kiểuhướng giảm ngẫu nhiên Tuy nhiên, việc giải bài toán phụ để tìm nghiệm chính xác là một việc không dễ Chính vì vậy, một số phương pháp xấp xỉ giải bài toán phụ trên với những Σ.

2 cải tiến hợp lý đã được đề xuất [6,29,46,54,82,92] Điều kiện dừng cho Thuật toán4.1như sau: y k −argmin.1

Vớimỗiχ− >0, ký hiệuχ−−tập nghiệm của bài toán (4.1) làSol χ Khi đó,Sol χ =

Mục đích chính của chúng tôi trong mục này là nghiên cứu sự hội tụ của các dãy lặp xấp xỉ (4.33)-(4.34) Giả sử rằng, tồn tạiσ>0vàδ>0sao cho

Ta chọn các tham số thỏa mãn điều kiện (4.5) và

+2τ 1 (Q) + 2 η−2τ τ 1 (Q)σ 1 (Q) 2 −2α(δ+κ−σ)−ϵ 2 (1+Λ) 2 >0 (4.36) ĐểýrằnglimΓ η =¯ϵ 2 2α(δ+κ−σ) ϵ 2 (1+Λ) 2 >0,bởivậy,tồntạithamsố η→∞ η>0saochođiềukiện(4.36)đượcthỏamãn.Tacó định lýsau: Định lý 4.2 Giả sử rằng các điều kiện(D1)−(D2),(4.5)-(4.8),(4.35)và(4.36) được thỏa mãn Cùng với các giả thiết sau

(ii) tồn tại số nguyên dươngKsao choK > 4σ 2 , η

(iii) cácdãy{x k }và{y k }đượcđịnh nghĩabởi(4.33)-(4.34).

Khi đó, tồn tại số nguyênj∈[0, K]sao cho

Chứng minh.Với mỗi chỉ sối ≥0, ta đặt x¯ i+1 =argmin.αf(y i ,y)+1

∥x∥y−y i ∥x∥ 2 :y∈CΣ. Theo Khẳng định4.3trong chứng minh Định lý4.1, chúng ta có

Kết hợp điều này với (4.34), chúng ta thu được

Bởi (4.35) vàfthỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz, ta có f(yˆ i ,x ∗ )−f(yˆ i ,xˆ i+1 )≤f(xˆ i+1 ,x ∗ )+κ−∥x∥yˆ i −xˆ i+1 ∥x∥ 2 +κ−∥x∥xˆ i+1 −x ∗ ∥x∥ 2

Như trong (4.17), chúng ta cũng có

Từ bất đẳng thức trên, (4.39), (4.38) vàx i ∈ ⊆ B αC α αB(x ∗ , σ), ta có

Tiếp theo, sử dụng (4.37), ta thu được

Bâygiờ,chúngtôisẽchỉrarằngtồntạij∈[0,K]saocho∥x∥x j −y j ∥x∥≤2¯ϵ.Giả sử ngược lại:

= ∥x∥x i −x ∗ ∥x∥ 2 − x∥x∥ i+1 −x ∗ ∥x∥ 2 ≥KΓ η i=0 Γ η Điềunàysuy ra rằngK≤ 4σ 2, tathấymâuthuẩn vớigiả thiết (ii) Nhưvậy,tồn tạisốnguyênj∈[0,K]saocho(a)và(b)đúng.Bằngcáchlýluậntươngtựnhư trong (4.19),chúngta cũng có bất đẳng thứcsau

,x−xˆ j+1 ⟩≤0, ∀y ∈C,x j j+ j 1 j+1 j j+1 j j+1 j+1 k Σ k=1 trongđúwˆ j ∈∂f(yˆ j ,ã)(xˆ j+1 ).Bằngcỏchthayx:=yˆ j ∈C,sửdụngf(yˆ j ,yˆ j )=0 vàđịnhnghĩacủadướiviphânwˆ j ,chúngtathuđược j j+12 j jj+1 j jj j+1

Do (4.33) và kết luận (a), ta có

≤3ϵ+2¯ϵ.Nhưvậy,x j l àmộtϵ −n g h i mệm duy nhất của bài toán ( củabàitoán(4.1).Tứclà,x j ∈Sol ϵ ■

Một số tính toán sốminhhọa

Xét song hàm \( H \times H \to R \) được xác định bởi \( f(x, y) = \langle x, U(x), y - x \rangle \), trong đó \( U \) là ánh xạ đồng nhất từ \( H \) vào \( H \) Ánh xạ \( U \) được chứng minh là đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên \( H \) Do đó, song hàm \( f \) cũng có tính chất đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz.

The following section presents illustrative examples for Algorithm (4.1) and compares the results with several previous algorithms The calculations were performed using Matlab R2021b on a laptop equipped with an Intel(R) Core(TM) i5-3110M CPU running at 2.40GHz and 4GB RAM.

Ví dụ 4.2.Chúng tôi xét bài toán (4.1) trong không gianR n vớin= 10, song hàmf:R n ×R n →Rđược cho trong [88, Ví dụ 3] như sau: f(x, y) =⟨x,F(x), y − x ,⟩ trong đó,

F(x) = (arctan(x1),arctan(x2), ,arctan(x n )) ⊤ +Ex+e, và

Theo định lý giá trị trung bình cổ điểnvà∇arctan(t)= 1 2vớimọit ∈R,dẫn đến tồn tạic i ∈(x i , y i )⊆ N(a(i), b(i))sao cho

=⟨x,α¯(x,y),αˆ(y−z)⟩, trongđóα¯(x,y):=F(x)−F(y)vàαˆ(y−z):=y−z,vớimọix , y∈R n ,dễthấy α¯(x,y)+α¯(y,x)=0,∥x∥α¯(x,y)∥x∥=∥x∥F(x)−F(y)∥x∥≤L∥x∥x−y∥x∥và∥x∥ αˆ(x)−αˆ(y)∥x∥≤

GọiC={x ∈R n :a ≤ x ≤ b}vàG:R n →R n được cho bởiG(x) =Qx+q, trong đó a=(1,2,3,3.7,4.8,12.7,6.9,8.2,7,2) ⊤ ∈R n , b=(5,7,11,7,5.5,15,8.8,9.0,10.2,17) ⊤ ∈R n , ma trậnQvà véc tơqđược chọn một cách ngẫu nhiên như sau:

Giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của ma trận Q là τ1(Q) = -9.5777 và τ2(Q) = 10.1999, trong khi đó, giá trị riêng của ma trận E là τ1(E) = 3.0810 và τ2(E) = 6.9190 Với công thức ∇arctan(t) = 1/2 cho mọi t ∈ R, ta có thể dễ dàng suy ra rằng F là đơn điệu giảm trên C với hằng số β ≥ 0.0810 + 1 = 0.1409.

,η= 210 Khi đó, các điều kiện áp lên tham số (4.5) được thỏa mãn Với độ chính xácϵ= 10 −3 , chúng tôi thu được kết quả tính toán trong Hình 4.1 và Bảng 4.1.

Nghiệm xấp xỉ thu được sau25bước lặp là: x 25 (1.0391,2.0000,3.0000,3.7000,4.8000,12.7000,6.9000,8.2000,7.0000,

Ví dụ 4.3.Xét song hàmf:R n ×R n →Rcủa mô hình cân bằng Nash-Cournot trong [75]

Hình 4.1: Sự hội tụ của dãy{x k }trong Ví dụ4.2

Lấyn= 7,C= [a, b],a= (0,0, ,0) ⊤ ,b= (1,2, , n) ⊤ , ma trậnQvà véctơq được cho như sau

Bảng 4.1: Ví dụ4.2với các tham số khác nhau.

Khiđó,songhàmfliêntụckiểuLipschitzvớihằngsốM=L1K1+L2K2vàđơn điệu mạnhvớihằng sốβ >=ξ ∈ −1− Q∥x∥ ∥x∥,Gđơn điệu trênR n vớiτ1(Q) = 0vàτ2(Q) =2.

Bâygiờ,chúngtôi so sánh sự hội tụ của Thuật toán4.1vớicác Thuật toánSPA[17]vàSEA[10],trongđóánhxạgiáGph iảiyêucầutínhchấtđơnđiệu,hayQlànửa xácđịnhdương.A,B,pđượctạorangẫunhiêntừ(−3,3)vàξ ∈=7+∥x∥ ∥x∥Q ,Dđư ợctạorang ẫunhiêntừ(0,1),ChúngtôisửdụngcáclệnhtrongMatlab

No Iter CPU-Times/sec

Bên cạnh đó, chúng tôi chọn điểm xuất phátx 0 = a+b , sai sốϵ= 10 −3 , các tham số và dữ liệu cho mỗi thuật toán như sau:

− Dữliệu:g:=fđ nơn điệumạnhvàthỏamãnđiềukiệnkiểuLipschitz,Fđ n ơn đi uệm duy nhất của bài toán ( vàliên tụcL i p s c h i t z ;

Kết quả so sánh của ba thuật toán được cho trong Bảng4.2với 10 dữ liệu ngẫu nhiên khác nhau.

Thuậttoán4.1 SPA SEA Prob No Iter CPU-Times/sec No Iter CPU-Times/sec No Iter CPU-Times/sec

Bảng 4.2:Kếtquả so sánh của Thuật toán4.1với (SPA) và (SEA).

Từ kết quả chạy số của hai ví dụ, chúng tôi kết luận rằng tốc độ hội tụ của thuật toán (4.1) nhạy cảm với các tham số η và α Thời gian xử lý của CPU và số vòng lặp của thuật toán mà chúng tôi đề xuất thấp hơn so với các thuật toán SPA và SEA Đặc biệt, trong mỗi bước lặp, chúng tôi chỉ cần giải một bài toán tối ưu lồi và một bài toán quy hoạch toàn phương, điều này giúp cho việc chạy số trở nên dễ dàng hơn.

Chương này trình bày một thuật toán mới giải bài toán cân bằng với ràng buộc bất đẳng thức biến phân affine, dựa trên sự kết hợp giữa nguyên lý bài toán phụ cho bài toán cân bằng và kỹ thuật phân tích DC Kết quả cụ thể thu được cho thấy hiệu quả của phương pháp này trong việc xử lý các ràng buộc phức tạp.

(a) Xâydựngthuậttoán nguyên lý bài toánphụDCchobài toán cân bằngvớit ậ p r à n g b u ộ c l à t ậ p n g h i ệ m c ủ a b à i t o án b ấ t đ ẳ n g t h ức a f f i n e D ư ới các điều kiệnphùhợpchúngtôi cũngchỉra được sự hội tụ củadãylặpvềnghiệm của bài toán( 4.1).

(b) Chúngtôicũngchỉrađượcrằngcácdãyxấpxỉvớiđộchínhxácϵchotrước sinh ra từthuậttoán cũng hội tụvềmột điểm thuộc tậpχ−-nghiệm nào đó thông qua Định lý4 2

Chúng tôi đã tìm thấy các ví dụ minh họa số cho thuật toán của mình và thu được kết quả nghiệm xấp xỉ sau 25 vòng lặp So sánh với các thuật toán SPA và SEA, kết quả trong bảng 4.2 cho thấy thuật toán của chúng tôi đề xuất hiệu quả hơn về số vòng lặp và thời gian tính toán.

Luận án nghiên cứu và đề xuất các thuật toán mới nhằm giải quyết các bài toán cân bằng hai cấp Các thuật toán này được phát triển dựa trên các phương pháp chiếu tổng quát, chiếu dưới đạo hàm, nguyên lý bài toán phụ, cùng với các kỹ thuật trong lý thuyết tối ưu.

1 Nhữngkếtquảchínhđã đạt được trong luậná n : ˆThuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉchobài toán cân bằng đơn điệum ạ n h vớiràng buộc cân bằng giả đơn điệu (thường được gọi là bài toán cân bằng hai cấp đơn điệu) Thuật toánnàyđượcchúngtôi phát triển từthuậttoán chiếu củaP.Santosvàcộng sự trong [82]chobài toán cân bằng giả đơn điệu Ưu điểm củathuậttoán chính là sự đơn giản trong tính toán tạimỗibướclặp.Kếtquảnàyđượcthểhiệntrongcôngtrình[CT1]. ˆThuật toán dưới đạo hàm tăng cườngkếthợpvớikỹthuậtkiểu quán tínhchobài toán cân bằngvớiràng buộc là giao của tập nghiệm bài toán cân bằng giả đơn điệuvớitập điểm bất động của các ánh xạ tiệm cận không giãnvàgiả co chặt Bằng việc sử dụng kỹthuậtkiểu quán tính cáckếtquả thử nghiệm số đãchỉra rằng tốc độ hội tụ củathuậttoán được cải thiện đángkể.Kếtquảnàyđượcthểhiệntrongcôngtrình[CT4]. ˆThuật toán đạo hàm tăng cườngchobài toán cân bằngvớiràng buộc cân bằng hỗn hợp Thuật toánnàycòn được gọi làthuậttoán chiếu hai lầnt ổ n g q u á t đ ư ợ c p h á t t r i ể n t ừ p h ư ơ n g p h á p đ ạ o h à m t ă n g c ư ờ n g c ủ a G M K o r p e l e v i c h [ 56]chobài toán tìm điểmyênngựa Tính hữu hiệu của nó đã được chứng minh trong cả lýthuyếtlẫn các ví dụ số Kết quảnàyđược thể hiện trong công trình[ C T 2 ] ˆThuậttoánnguyênlýbàitoánphụDCchobàitoáncânbằngvớiràngbuộc bất đẳng thức biến phân affine Nhưchúngta đã biết, kỹthuậtphântích hiệu hai hàm lồi được sử dụng rất hiệu quảchobài toán quyhoạchkhông lồi nóichungvàbài toán quyhoạchtoàn phương nói riêng Dựavàomối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân affinevàbài toán quyhoạchtoàn phương,chúngtôi áp dụng kỹthuậtphântíchDCkếthợpvớinguyên lý bài toánphụvàthuđược mộtthuậtgiải rất hữu hiệuchobài toán cân bằnghaicấp.Kếtquảnàyđượcthểhiệntrongcôngtrình[CT3]. ˆMột số tính toán minh họacho thuậttoán đề xuất trên, áp dụngchomô hình cân bằng kinh tế Nash-Cournot So sánhkếtquảvớicácthuậttoánđ ã đ ư ợ c đ ề x u ấ t t r ư ớ c đó.

Sau khi hoàn thành luận án này, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu các hướng sau: cải thiện tốc độ và thời gian tính toán của các thuật toán đã đề xuất bằng cách kết hợp với một số kỹ thuật như kỹ thuật lượng tử, lặp Halpern, và lặp Mann; đánh giá tốc độ hội tụ của thuật toán và cách chọn tham số để đạt được sự hội tụ tốt hơn; nghiên cứu các thuật toán nhằm giảm nhẹ các điều kiện áp lên các song hàm giá, đặc biệt là song hàm giá cấp hai, cũng như giảm số phép chiếu lên tập ràng buộc tại mỗi bước lặp của thuật toán; và mở rộng nghiên cứu phương pháp giải cho bài toán cần bằng nhiều cấp hơn như ba cấp và bốn cấp.

[CT1]P.N.Anh,H.P.Tu(2021), "Subgradient projection methods extended to monotone bilevel equilibrium problems in Hilbert spaces",NumericalAlgorithms86, pp 55-74 (SCIE,Q1).

[CT2]P.N.Anh, D.D Thanh, N.K Linh,H.P.Tu(2021), "New Explicit Ex- tragradient Methods for Solving a Class of Bilevel Equilibrium Problems",Bulletin of the Malaysian MathematicalSciences Society44, pp. 3285-3305 (SCIE, Q2).

[CT3]P.N.Anh, Q.H Ansari,H.P.Tu(2023), "DC auxiliary principle meth- ods for solving lexicographic equilibrium problems",Journal ofGlobalOp- timization85, pp 129-153 (SCI,Q1).

[CT4]P.N.Anh,H.P.Tu,H.P.Dung (Submitted: 08/11/2022), "Inertial sub- gradientprojectiontechniquesforsolvingaclassofbilevelequilibriumprob- lems",Optimization(SCIE,Q 1 )

[1] PhạmNgọc Anh (2015),Các phương pháp tối ưu và ứng dụng, NXB Thông tinvàTruyềnthông, HàNội.

[2] ĐỗVănLưu, Phan Huy Khải (2000),Giải tích lồi, NXB KhoahọcvàKỹthuật,HàN ộ i

[4] F.Alvarez,H.Attouch(2001), "An inertial proximal method for maximal monotone operators via discretization of a nonlinear oscillator with damp- ing",Set-ValuedAnalysis9, pp.3–11.

[5] L.T.H.An,P.D.Tao(1997),"Solvingaclassoflinearlyconstrainedindefinite quadratic problemsbyDC algorithms",Journal ofGlobalOptimization11, pp.253–285.

[6] L.T.H An,P.D Tao,H.V Ngai (2016), "Error bounds via exact penalization with applications toconcaveand quadratic systems",Journal of Optimiza- tionTheoryandA p p l i c a t i o n s171, pp 228-250.

[7] P.N.Anh (2013), "Ahybridextragradient method for pseudomonotone equi- libriumproblemsandfixedpointproblems",BulletinoftheMalaysianMath-ematical

[8] P.N.Anh (2013), "Ahybridextragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems",Optimization62(2), pp.2 7 1 - 2 8 3

[9] P.N.Anh, L.T.H An (2013), "An Armijo-type method for pseudomonotone equilibrium problems and its applications",Journal ofGlobalOptimization57, pp.8 0 3 -8 2 0

[10] P.N.Anh, L.T.H An (2019), "New subgradient extragradient methods for solving monotone bilevel equilibrium problems",Optimization68(11), pp. 2097-2122.

[11] P.N.Anh, T.T.H Anh, T Kuno (2017), "Convergence theorems forvaria- tional inequalities on the solution set of KyFaninequalities",ActaMathe- matica Vietnamica42(4), pp.761-773.

[12] P.K.Anh,T.N.Hai(2021),"Dynamicalsystemforsolvingbilevelvariational inequalities",Journal ofGlobalOptimization80(4), pp.945-963.

[13] P.K.Anh, T.N Hai, V.T Dung (2022), "A gradient-like regularized dynam- ics for monotone equilibrium problems",QualitativeTheoryof

DynamicalSystems21, Article number: 160(http://doi.org/10.1007/s12346-

[14] P.N.Anh, T.N Hai,P.M Tuan(2016), "On ergodic algorithms for equilib- rium problems",Journal ofGlobalOptimization64(1), pp 179-195.

[15] P.N.Anh, L.D Muu, N.V Hien, J.J Strodiot (2005), "On the contraction and nonexpansiveness properties of the marginal mapping",in:GeneralizedConvexity andGeneralizedMonotonicity and

Applications Eds: A.Eber- hard,N Hadjisavvas and D.T Luc, Springer, pp.89-111.

[16] P.N.Anh, L.D Muu, N.V Hien, J.J Strodiot (2005), "Using thebanachcontraction principle to implement the proximal point method formultival-ued monotone variational inequalities",Journal of

[17] P.N.Anh, L.Q.Thuy,T.T.H Anh (2018), "Strong convergence theorem for the lexicographic KyFaninequality",Vietnam Journal of Mathematics46(3), pp.5 1 7 -5 3 0

[18] Q.H.Ansari (2010),MetricSpaces,Including FixedPointTheory and Set- valuedMaps, Narosa Publish in g House , New Delhi, India.

[19] Q.H.Ansari,A.P.Farajzadeh, S Schaible (2012), "Existence of solutions of strong vector equilibrium problems",TaiwaneseJournal of Mathematics16, pp.165–178.

[20] Q.H.Ansari, I.V.Konnov,J.C.Yao(2001), "On generalized vector equilib- rium problems",NonlinearAnalysis47, pp.543–554.

[21] J.P.Aubin, I Ekeland (1984),Applied nonlinearanalysis, John Wiley & Sons.

[22] A.V Balakrishnan (1981),Appliedfunctional alnalysis, Springer, NewYork.

[23] H.H Bauschke,P.L.Combettes (2011),Convex analysis and monotone op- eratortheoryinHilbertspaces,Springer,NewYork.

[24] G.C.Bento, J.X Cruz Neto, J.O Lopes (2016), "Generalized proximal dis- tances for bilevel equilibrium problems",SIAM Journal of Optimization26, pp.810–830.

Journal of Optimization Theory and Applications124, pp 79-92.

[26] G.Bigi, M Castellani, M Pappalardo, M Passacantando (2019),NonlinearProgrammingTechniquesfor Equilibria, Springer Nature SwitzerlandAG2019.

[27] G.Bigi, G.Kassay,A Capata (2012), "Existence results for strong vector equilibrium problems and their applications",Optimization61, pp.567–583.

[28] E.Blum, W Oettli (1994),"Fromoptimization and variational inequalities to equilibrium problems",MathS t u d en t s63, pp 123-145.

[29] A Bnouhachem (2007), "An inexact implicit method for general mixedvari- atioanl inequalities",Journal of Computational andAppliedMathematics200, pp.3 7 7 -3 8 7

[30] A Bnouhachem (2006), "An LQP method for psedomonotone variational inequalities",Journal ofGlobalOptimization36, pp 351-363.

[31] S.Carl,V.K.Le(2021),Multi-ValuedVariationalInequalitiesandInclusions, Springer.

[32] L.C Ceng, M Shang (2021), "Hybrid inertial subgradient extragradient methods for variational inequalities and fixed point problems involving asymptotically nonexpansive mappings",Optimization70, pp.7 1 5 – 4 0

[33] O.Chadli, Z Chbani, H Riahi (2000), "Equilibrium problems with gen- eralized monotone bifunctions and applications to variational inequalities",JournalofOptimizationTheoryandApplications105,pp.299– 323.

[34] S.S Chang, Y.J Cho, H Zhou (2001), "Demi-closed principle and weak convergence problems for asymptotically nonexpansive mapping",Journalof TheKoreanMathematicalSociety38, pp.1 2 4 5 - 1 2 6 0

[35] Z.Chbani, H Riahi (2015),"Weakand strong convergence of proximal pe- nalization and proximal splitting algorithms fortwo-levelhierarchical KyFanminimax inequalities",Optimization64, pp.1285–1303.

[36] G.Cohen (1980), "Auxiliary problem principle and decomposition of opti- mization problems",Journal of OptimizationTheoryand Applications32, pp.277–305.

Journal of Optimization Theory and Applications59, pp 325–333.

[38] X.P.Ding (2010), "Auxiliary principle and algorithm for mixed equilibrium problemsandbilevelmixedequilibriumproblemsinBanachspaces",JournalofOptimiza tionTheoryandApplications146,pp.347–357.

Complementary Problems, Springer-Verlag,NewYork.

[40] K.Fan(1972),A minimaxinequalityand applications, in: O Shisha, In- equalityIII,Proceeding of the Third Symposium on Inequalities, Academic Press, NewYork.

MathematicalTheories, KluwerAcademic Publishers,Dordrecht,The

[42] A Gibali, D.V Hieu (2019), "A new inertial double-projection method for solving variational inequalities",Journal ofFixedPointTheoryand Appli- cations21, pp.2 1 - 9 7

[43] K.Goebel, W.A Kirk (1972), "A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings",Proceedingsof theAmericanMathematicalSociety35(1), pp 171 -1 7 5

[44] M.S.Gowda (1989), "Pseudomonotone and copositive star matrices",LinearAlgebraApplications113, pp.107-118.

[45] M.S.Gowda, J.S Pang (1994), "Stability analysis of variational inequali- ties and nonlinear complementarity problems",Mathematics ofOperationsResearch19(4), pp.8 3 1 - 8 7 9

[46] D Han (2007), "Inexact operator splitting methods with selfadaptive strat- egyforvariationalinequalityproblems",JournalofOptimizationTheoryandApplicati ons132(2), pp.2 2 7 - 2 4 3

[47] P.T.Harker, J.S Pang (1990), "A damped-Newton method for the linear complementarity problem",LecturesinAppliedMathematics26, pp 265- 284.

[48] D.V Hieu,P.KQuy (2023), "One-Step iterative method for bilevel equilib- rium problem in Hilbert spac",Journal ofGlobalOptimization85(2), pp 487– 510.

[49] T.T.Hue, J.J Strodiot, V.H Nguyen (2004), "Convergence of the approxi- mate auxiliary problem method for solving generalized variational inequali- ties",Journal of OptimizationTheoryand Ap plications121, pp 119–145.

[50] H.Iiduka(2012), "Fixed point optimization algorithm and its application to power in CDMA data networks",MathematicalProgramming133, pp 227– 242.

[51] A.N Iusem, W Sosa (2003) "New existence results for equilibrium prob- lems",NonlinearAnalysis52, pp.621-635.

[52] C.Jaipranop, S Saejung (2021), "On iterative methods for bilevel equilib- riumproblems",JournalofInequalitiesandApplications1,pp.1-18.

[53] G.Kassay,V.D Radulescu (2019),EquilibriumProblemsand Applications, Elsevier.

[54] I.V.Konnov(2000),Combined Relaxation MethodsforVariational Inequal- ities, NewYork,Berlin,S p r i n g e r - V e r l a g

[55] I.V.Konnov(2003),"Applicationoftheproximalpointmethodtononmono- tone equilibrium problems",Journal of OptimizationTheoryandApplica-tions119, pp.3 1 7 – 3 3 3

[56] G.M.Korpelevich (1976), "Extragradient method for finding saddle points and other problems",Matecon12, pp.747-756.

[57] G.Li(2022),"Twonewweakconvergencealgorithmsforsolvingbilevelpseu- domonotone equilibrium problem in Hilbert space",Journal of Mathematics8, pp.1 -1 6

[58] Y.Liu,H.Kong(2019),"Thenewextragradientmethodextendedtoequilib- riumproblems",RevistadelaRealAcademiadeCienciasExactas,F ´ ısicasyNaturalesSerieAMatematicas ´ 113(3),pp.2113–2126.

[59] Z.Q.Luo,P.Tseng(1992), "Error bound and convergence analysis of matrix splitting algorithms for the affine variational inequality problem",SIAMJournal of Optimization2, pp.43-54.

[60] P.E.Maingé (2008), "Ahybridextragradient-viscosity method for monotone operators and fixed point problems",SIAM Journal ofControlOptimization47, pp.1 4 9 9 -1 5 1 5

[61] P.E.Maingé (2010), "Projected subgradient techniques and viscosity meth- ods for optimization with variational inequality constraints",EuropeanJour- nal ofOperationalResearch205, pp.5 0 1 – 5 0 6

[62] B.Martinet (1970), "Re ´ gularisation d’ine ´ quations variationelles par ap- proximationssuccessives",RevueFranácaiseAutomatiqueInformatique4,pp.15 4–159.

[63] G.Mastroeni (2000), "On auxiliary principle for equilibrium problems",Publicatione del Dipartimento diMathematicadell’Universita di

[64] G.Mastroeni (2003), "Gap functions for equilibrium problems",Journal ofGlobalOptimization27, pp.4 1 1 - 4 2 6

[66] A Moudafi (2010), "Proximal methods for a class of bilevel monotoneequi- librium problems",Journal ofGlobalOptimization47, pp.287–292.

[67] A.Moudafi(1999),"Proximalpointalgorithmextendedtoequilibriumprob- lems",JournalofNaturalGeometry15,pp.91-100.

[68] J Munkong, B.V Dinh, K Ungchittrakool (2020), "An inertial extragradi- entmethod for solving bilevel equilibrium problems",CarpathianJournal ofMathematics36(1), pp 91 -107.

[69] L.D Muu, W Oettli (1992), "Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria",NonlinearAnalysis,Theory MethodsAp- plications18, pp.1 1 5 9 - 1 1 6 6

[70] H.Nikaido,K.Isoda(1955),"Noteonnoncooperativeconvexgames",PacificJournal of

[71] M.A.Noor (2003), "Extragradient methods for pseudomonotonevariationalinequalities",Journal of OptimizationTheoryand

[72] J Peypouquet (2015),Convex Optimization inNormedSpaces:Theory,Methodsand Examples, Springer,Berlin.

[73] B.Polyak(1964),"Somemethodsofspeedinguptheconvergenceofiteration methods",USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics4(5), pp.1 – 1 7

[74] X Qin, L.Wang,J.C.Yao(2020), "Inertial splitting method for maxi- mal monotone mappings",Journal ofNonlinearand Convex Analysis1, pp 2325–33.

[75] T.D.Quoc,P.N.Anh, L.D Muu (2012), "Dual extragradient algorithms to equilibrium problems",Journal ofGlobalOptimization52, pp 39-159.

[76] T.D.Quoc, L.D Muu, V.H Nguyen (2008), "Extragradient algorithms ex- tendedtoequilibriumproblems",Optimization57(6),pp.749-776.

[77] N.V Quy (2014), "An algorithm for a bilevel problem with equilibrium and fixed point constraints",Optimization64, pp.1–17.

[78] H Riahi, Z Chbani, M.T Loumi (2018),"Weakand strong convergences of the generalized penaltyForward–ForwardandForward–Backwardsplit- ting algorithms for solving bilevel hierarchical pseudomonotone equilibrium problems",Optimization67, pp.1 7 4 5 - 1 7 6 7

[79] R.T.Rockafellar (1970),Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton,NJ.

[80] R.T.Rockafellar (1976), "Monotone operators and the proximal point algo- rithm",SIAM Journal ofControlOptimization14, pp.877–898.

[81] G.Salmon, V.H.Nguyen, J.J Strodiot (2000), "Coupling the auxiliary problem principle and the epiconvergence theory to solve generalizedvaria- tional inequalities",Journal of OptimizationTheoryand Applications104, pp.629–657.

[82] P.Santos,S.Scheimberg(2011),"Aninexactsubgradientalgorithmforequi- librium problems",Computational andAppliedMathematics30, pp.91-107.

[83] B.Tan,S Li (2020), "Strong convergence of inertial mann algorithms for solving hierarchical fixed point problems",Journal ofNonlinearandVaria- tional Analysis4, pp.3 3 7 – 5 5

[84] K.K.Tan,H.K Xu (1993), "Approximating fixed points of nonexpansive mappingsbytheIshikawaiteration process",Journal of MathematicalAnal-ysis and Applications178, pp.301–308.

[85] L.Q.Thuy,T.N Hai (2017), "A projected subgradient algorithm for bilevel equilibrium problems and applications",Journal ofOptimizationTheoryandApplications175(2), pp.4 1 1 – 4 3 1