Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp

Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp Các phương pháp chiếu mở rộng giải một số lớp bài toán cân bằng hai cấp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  Hồ Phi Tứ CÁCPHƯƠNGPHÁPCHIẾUMỞRỘNGGIẢI MỘTSỐLỚPBÀITOÁNCÂNBẰNGHAICẤP LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2023 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  Hồ Phi Tứ CÁCPHƯƠNGPHÁPCHIẾUMỞRỘNGGIẢI MỘTSỐLỚPBÀITỐNCÂNBẰNGHAICẤP Chun ngành:TốnỨngDụngMã số: 9460112 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬPTHỂ HƯỚNGDẪNKHOAHỌC: PGS TS Phạm NgọcAnh TS.VũTiếnDũng Hà Nội - 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn thầy Tập thể hướng dẫn khoa học Các kết quả, số liệu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Các liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ Tác giả Hồ Phi Tứ LỜI CẢM ƠN Luận ánnàyđược hoàn thiện trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tận tình PGS TS Phạm NgọcA n h (Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn t h n g ) vàTS.VũTiến Dũng (Đại học KHTN-ĐHQGHN) Từđáylịng mình, tác giả xinbàytỏ lòng biết ơnchânthànhvàsâu sắc đến cácthầy Tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Chủ nhiệm khoa, thầy/cơ Khoa Tốn - Cơ - Tin học, đặc biệt thầy/cô thuộc mơn Tốn học Tính tốn - Tốn Ứng dụng, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện tốt giúp đỡ tác giả suốt trình làm nghiên cứu sinh Tácgiả xin trân trọng cám ơn Ban Giám hiệu, thầy/cơ KhoaTốnvàKhoa học Tự nhiên, trường Đại học Hải Phịng, nơi tác giả cơng tác tạomọiđiềukiệnthuậnlợiđểtácgiảhồnthànhluậnán Xinchânthành cảm ơn anh/chị/em nhóm nghiên cứu phịngL a b "Tốnứng dụngvàTính tốn" Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơngvàcác bạnbèđồng nghiệp xa gần động viên, giúp đỡ tác giả trình học tậpvànghiênc ứ u Cuối cùng, tác giả xin dành tặng quà tinh thầnnày chonhững người thânyêutrong gia đình mình, đặc biệt làvợvàhai gái Những người ln đứng sau động viên,chiasẻvàkhíchlệ tác giả để hồn thành cơng việc học tậpvànghiên cứu củamình./ Tác giả MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu Danh mục chữ viết tắt i ii iii v vi Mở đầu Chương Bài toán cân hai cấp 1.1 Mộtvàikiếnthứccơbản 1.1.1 Cáckháiniệmvàmộtsốkếtquảcơbảntrongkhônggian Hilbert thực 1.1.2 Phép chiếuvàánh xạ đơn điệu 1.1.3 Bài toánhaicấp 1.1.4 Mộtvàikếtquảbổtrợ 1.2 Bàitoáncânbằnghaicấp 1.2.1 Định nghĩavàcác toán liên quan 1.2.2 Điềukiệntồntạinghiệm 1.2.3 Mộtsốthuậtgiảichobàitoáncânbằnghaicấp 9 Chương Phương pháp chiếu đạo hàm 2.1 Thuậttoánchiếudướiđạohàmxấpxỉ 2.1.1 Thuậttoán 2.1.2 Sựhộitụ 2.1.3 Ứngdụngchobàitoáncânbằngvớiràngbuộclàgiaocủa tập nghiệm toán cân tập điểm điểm bất động 2.2 Thuật tốn đạo hàm tăng cườngqntính 2.2.1 Thuậttoán 2.2.2 Kếtquảhộitụ 2.3 Mộtsốtínhtốnminhhọa 15 23 25 27 27 29 31 34 34 34 36 44 49 49 51 66 Chương3 Phươngph áp đạ o hà mtă ng cư ng 73 3.1 Thuậttoán .74 3.2 Sự hội tụ củaT h u ậ t toán 76 3.3 ỨngdụngchomơhìnhcânbằngkinhtếNash-Cournot 85 Chương Nguyên lý toánphụDC 90 4.1 Nguyên lý toánphụDC 91 4.2 Định lýh ộ i tụ 94 4.3 Sai sốthuậttoán 105 4.4 Một số tính tốn sốminhhọa 109 Kếtluận 117 Danhmụccơng trìnhk h o a họ c 119 TÀILIỆUTHAMKHẢO 120 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N tập số tựn h i ê n R tập sốt h ự c R+ tập số thực khôngâ m Rn không gian Euclide thựcn -chiều H không gian Hilbertt h ự c xk→x dãy{xk}hội tụ mạnh tớix xk⇀x dãy{xk}hội tụyếutớix ∥x∥x∥x∥ chuẩncủavéctơx ⟨x,x,y⟩ tíchvơhướng haivéctơxvày I ánh xạ đồngn h ấ t B tíchĐề-Các hai tập hợpAvàB argmin{f(x):x∈C} nghiệm toán cực tiểu hàmftrênC ∂f ( x) vi phân củaftạix ∂2ϵ f ( x,x) vi phân xấp xỉ hàmf(x,·)tạix δC(·) hàmchỉcủa tậpC Pr C (x) hìnhchiếucủaxlên tậpC NC(x) nón pháp tuyến củaCtạix DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT DC hiệu hai hàml i CDMA đa truy cập phânchiat h e o m ã OP ( C,h) toán tốiư u CP ( C,F ) toánbù MN ( C,F ) tốn tìmchuẩnnhỏn h ấ t VI(C,F ) toán bất đẳng thức biếnp h â n EP ( C,f ) bàitoáncânbằngvớisonghàmcânbằngfvàtậpràngbuộcCEP ( C,f,Φ)) toán cân hỗnh ợp BVI(C,G,F ) toán bất đẳng thức biến phân haicấp BEP ( C,g,f ) toán cân haic ấ p BEP ( C,g,f,Φ)) toán cân tập nghiệm toán cân hỗnhợp BMEP bàitoáncânbằnghaicấphỗnhợp Fix(T) tập điểm bất động ánh xạT FP ( C,F ) toán điểm bất động ánh xạ đơntrị Sol(C,F ) tậpnghiệmcủabàitoánVI(C,F ) Sol(C,f ) tậpnghiệmcủabàitoánEP ( C,f ) Sol(C,g,f ) tập nghiệm toánBEP ( C,g,f ) CPU−times/s thời gian thực hiệnthuậttốn tính bằnggiây TestProb toánchạythựcnghiệm Dim.No Sốchiều No.Iter số bước lặp trongthuậtt o n MỞ ĐẦU Lịch sửvấnđềvà lýdo chọn đềtài Cân trạng thái màvạn vậttrong tự nhiên hướng tới, lẽ đạt trạng thái cân sựvậtsẽ có tồn lâu dàivàbềnvững nhất.Trong vậtlý,một hệ cácvậtcó trạng thái cân hợp lực tác dụng lênchúngbị triệt tiêu.Trongsinh học, trạng thái cân hệ sinh thái đạt lượngthúsăn mồivàlượngthúmồi cótỷlệ tương đồng nhau.Trongkinh tế, thị trườngmuabán đạt trạng thái cân lượng cung lượng cầu Ngồi rathuậtngữ cân cịn sử dụng nhiềulĩnhvựckhácnhaunhưhóahọc,sinhhọc,kỹthuật,v.v Trongtốn học, mơ hình cân xem phát triển toán bất đẳng thức biến phânvàlýthuyếttối ưuvớinhiềuchủthể tham gia.Trongđó, mỗichủthể có nhữngmụctiêu khác thậmchílà đối lập Do đó, để tìm phương án tối ưuchotất cácchủthể điều khơng thể.Trongtìnhhuống nàymột khái niệm cân bằng, đặc biệt khái niệm điểm cân Nash, dễ đượcchấpnhận Dovậy,mơ hình cân hữchtrong việc phântích kếtquả tìnhhuốngcạnh tranh, việc giải mơ hình cân giúpchúngta tìm giải pháp giải mâuthuẫnvềquyền lợi cácchủthể thamg i a Mơhình tốn cân bằng, f)códạng:Tìmx∗∈ viết Csao tắt, EP(C, chof(x∗, y)≥0,∀yy∈ C, đây,Clà tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thựcH,flà mộtsonghàmtừC×CvàoRthỏamãnđiềukiệncânbằngf(x,x)=0,vớimọix ∈C Bài toánEP(C,f)được giới thiệu H Nikaido K Isoda [70] vào năm 1955 báo: "Note on non-cooperative convex game" Tới năm 1972, nótiếptụcđượcKyFan[40]nghiêncứudướitêngọibấtđẳngthứcKyFan.Tuynhiênhơn20nă msau,khicáckếtquảnghiêncứucủaL.D.Mưu,W.Oettli[69] đượccơngbốvàonăm1992vàE.Blum,W.Oettli[28]đượccơngbốvàonăm 1994,thìbàitốnnàymớithựcsựthuhútđượcsựchúýcủanhiềunhànghiên cứu.Trongkếtquả[69],cáctácgiảcũngđãchỉrarằngbàitốnEP ( C,f )chínhlàmộtmơ hìnhtổngqtchonhiềulớpbàitốnquantrọngnhưbàitốntốiưuOP ( C,h), tốn bù, toán bất đẳng thức biến phân đa trị MVI(C,F ),bài toán tối ưuvéctơ, toán điểmyênngựa, toán cân Nash trịchơikhơng hợp tác, .Dovậy,bài tốn cân bằngEP ( C,f )khơng có ý nghĩavềmặtlýthuyếtmànócịnmangnhiềnghĩatrongứngdụng.Mộtứng dụngnổibậtvàtạođượctiếngvanglớnlàcânbằngkinhtếNash-Cournotđược nhàtốnhọcJ.F.Nashđưaradướidạngmởrộngcủamơhìnhtrịchơibấthợp tác Kết nghiên cứunàyđược trao giải Nobelvềkinh tế năm1994 Ngàynay,bài toán cân bằngEP ( C,f )đã tổng quát hóavàphát triển theo nhiều hướng tốn cân bằngvéctơ [19,27,41], cân đa trị [20], toán cân tập nghiệm tốn tối ưu, tìm điểmchungcủa toán cân bằngvàbài toán điểm bất động [8], toán cân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân [17], toán bất đẳng thức biến phân trênt ậ p n g h i ệ m b i t o n c â n b ằ n g [ 11] Đặc biệt, thời gian gầnđâybài toán cânb ằ n g h a i c ấ p BEP ( C,g,f )nhận quan tâm nhiều nhà nghiên cứu[ 10,12,13,24,35] tính lýthuyếtvàcác ứng dụng thực tiễn Thực tếchỉra rằng, sản phẩm thị trường sản xuất nhiềuc ô n g tykhác nước Mỗi điểm cân Nash phương án tối ưu để lợinhuậncác côngtyđược cao nhất.Tuynhiên, nhà nước cần hàm cân kinh tế vĩ mô để điều tiết kinh tế nước Nhưvậy,m ộ t mơ hình cân tập điểm cân (điểm cân Nash) ứng dụng quản lý kinh tế thực tiễn toán cung-cầu kinh tế thị trường Mơ hình b i t o n c â n b ằ n g h a i c ấ p BEP ( C,g,f )đ ợ c phát biểu sau: Tìmx¯∈Sol(C,g)saochof (x¯,y)≥0 ,∀yy∈Sol(C,g ), trongđó,fvàglàcácsonghàmtừC×CvàoRvàthỏamãnđiềukiệncânbằngf(x,x) =g(x, x) = 0,vớimọix ∈C, Sol(C,g)là tập nghiệm tốn cân bằngsau Tìmx∗∈ Csao chog(x∗, y)≥0, ∀yy ∈ C