I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN THÀ TRANG PH×ÌNG PHP HIU CHNH LP GII BI TON CHP NHN TCH A TP TRONG KHỈNG GIAN HILBERT LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN 2020 download by : skknchat@gmail.com I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN THÀ TRANG PH×ÌNG PHP HIU CHNH LP GII BI TON CHP NHN TCH A TP TRONG KHỈNG GIAN HILBERT Chuyản ngnh: ToĂn ựng dửng M số: 46 01 12 LUN VN THC S TON HÅC NG×ÍI HìẻNG DN KHOA HC GS.TS NGUYN BìNG THI NGUYN 2020 download by : skknchat@gmail.com Líi c£m ìn Tỉi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án GS.TS Nguyạn Bữớng, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu tổi hon thnh luên vôn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban Gi¡m Hi»u, c¡c th¦y gi¡o, cỉ gi¡o khoa ToĂn Tin, trữớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Trữớng Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn tợi Ban GiĂm Hiằu Trữớng THCS C£nh H÷ng - nìi tỉi ang l m vi»c, cịng c¡c ỗng nghiằp  tÔo iÃu kiằn và mồi mt tổi tham gia hồc têp v nghiằn cựu NhƠn dp n y, tỉi cơng xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tợi Ban GiĂm Hiằu trữớng THCS CÊnh Hững, gia ẳnh, ỗng nghiảp, ngữới thƠn, bÔn b  ởng viằn, khẵch lằ, giúp ù tổi quĂ trẳnh hồc têp v nghi¶n cùu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert Mưc lưc Líi cÊm ỡn Mởt số kỵ hiằu v viát tưt M Ưu Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 ii iv C¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i t½ch h m 1.1.1 Khæng gian Hilbert 1.1.2 Mởt số tẵnh chĐt 1.1.3 Hm lỗi v dữợi vi phƠn 1.1.4 To¡n tû khæng gian Hilbert 1.1.5 iºm b§t ëng cõa Ănh xÔ khổng giÂn 14 1.2 Ph¡t biºu b i to¡n 15 1.3 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh l°p 17 Ch÷ìng Ph÷ìng ph¡p hi»u chnh lp cho bi toĂn chĐp nhên tĂch khổng gian a têp 19 2.1 Mởt số bờ à cƯn thi¸t 19 2.2 Thuªt to¡n v sü hëi tö 22 2.3 V½ dư sè 29 Kát luên Ti liằu tham khÊo luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com 31 32 luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert Mởt số kỵ hiằu v vi¸t tt H khỉng gian Hilbert thüc H∗ khỉng gian ối ngău cừa N têp số nguyản khổng Ơm N têp số nguyản dữỡng R têp hủp cĂc số thỹc C têp õng lỗi cừa php giao têp rộng x vợi mồi lim sup xn giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } lim inf xn giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } xn x0 dÂy {xn } hởi tử mÔnh và xn * x0 dÂy {xn } hởi tử yáu và H H x n→∞ n→∞ F ix(T ) ho°c F (T ) x0 x0 têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ f dữợi vi phƠn cừa hm lỗi PC php mảtric lản C luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com f T luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert Mð ¦u Bi toĂn chĐp nhên tĂch õng vai trỏ c biằt quan trång vi»c mỉ h¼nh hâa nhi·u b i to¡n ngữủc xuĐt hiằn thỹc tá nhữ bi toĂn nn hẳnh Ênh, chửp hẳnh cởng hững tứ, khổi phửc Ênh Mởt nhỳng phữỡng phĂp  v ang ữủc nhiÃu tĂc giÊ sỷ dửng giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch l phữỡng phĂp chiáu õ cƯn phÊi thỹc hiằn php chiáu mảtric lản cĂc têp lỗi õng cừa khổng gian Hilbert Tuy nhiản, viằc tẵnh Ênh cừa Ănh xÔ chiáu mảtric trản mởt têp lỗi õng bĐt ký cụng khổng thỹc thi Do vêy, cƯn xƠy düng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i hi»u qu£ hìn · t i cừa luên vôn l phữỡng phĂp hiằu chnh lp giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp khổng gian Hilbert â l b i to¡n t¼m mët iºm thuëc giao im cừa mởt hồ têp õng, lỗi khổng gian Hilbert m Ênh cừa nõ qua mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh giợi nởi nơm vo giao cừa mởt hồ cĂc têp õng, lỗi mởt khổng gian Hilbert khĂc Ơy l mởt à ti vứa cõ ỵ nghắa và mt lỵ thuyát, ỗng thới vứa cõ ỵ nghắa thỹc tiạn cao Nởi dung cừa luên vôn ữủc chia lm hai chữỡng chẵnh: Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Trong chữỡng ny, luên vôn à cêp án mởt số vĐn à cỡ bÊn cừa giÊi tẵch hm, phĂt biu bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp, phữỡng phĂp hiằu ch¿nh, ph÷ìng ph¡p l°p, hi»u ch¿nh l°p Ch÷ìng Ph÷ìng phĂp hiằu chnh lp giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch khổng gian a têp Trong chữỡng ny, luên vôn têp trung trẳnh by lÔi mởt cĂch chi tiát cĂc kát quÊ cừa N Buong, P.T.T Hoi, K.T Bẳnh [3] và phữỡng phĂp hiằu chnh lp giÊi bi toĂn chĐp nhªn t¡ch a tªp khỉng gian Hilbert luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert Chữỡng Kián thực chuân b Chữỡng ny bao bỗm mửc Mửc 1.1 trẳnh by c¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i t½ch h m Mưc 1.2 phĂt biu bi toĂn chĐp nhên tĂch Mửc 1.3 à cêp án phữỡng phĂp hiằu chnh lp Nởi dung cõa ch÷ìng n y ÷đc tham kh£o c¡c t i li»u [3, 4] 1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i tẵch hm 1.1.1 Khổng gian Hilbert nh nghắa 1.1 X Cho khổng gian vctỡ hữợng xĂc nh X trản trữớng số thỹc R Tẵch vổ l mởt Ănh xÔ h·, ·i : X × X → R (x, y) hx, yi thọa mÂn cĂc iÃu kiằn sau Ơy: (i) (ii) hx, xi ≥ vỵi måi hy, xi = hx, yi x ∈ X , hx, xi = ⇔ x = 0; vỵi måi x, y ∈ X ; (iii) hx + x0 , yi = hx, yi + hx0 , yi (iv) hλx, yi = λhx, yi Số hx, yi ữủc gồi l Nhên xt 1.1 (i) (ii) (iii) vỵi måi vỵi måi x, x0 , y ∈ X ; x, y ∈ X , λ R tẵch vổ hữợng cừa hai vctỡ x, y X Tứ nh nghắa suy vợi mồi x, y, z ∈ X, λ ∈ R, ta câ hx, y + zi = hx, yi + hx, zi; hx, λyi = λhx, yi; hx, 0i = ành ngh¾a 1.2 R, h·, ·i C°p (X, h·, ·i), õ X l tẵch vổ hữợng trản X ữủc gồi l l mởt khổng gian tuyán tẵnh trản khổng gian ti·n Hilbert thüc luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert M»nh · 1.1 Måi khæng gian ti·n Hilbert X l khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, vợi chuân xĂc nh bi kxk = nh nghắa 1.3 X Náu l khổng gian tiÃn Hilbert thỹc v Ưy ừ ối vợi chuân cÊm sinh tứ tẵch vổ hữợng thẳ nh nghắa 1.4 (i) H Cho vỵi x ∈ X p hx, xi X ÷đc gåi l khỉng gian Hilbert thüc l khỉng gian Hilbert DÂy {xn } ữủc gồi l Hởi tử mÔnh tợi phƯn tỷ x H , kỵ hiằu xn → x, n¸u kxn − xk → n ; (ii) Hởi tử yáu tợi phƯn tỷ x H , kỵ hiằu xn * x, náu hxn, yi → hx, yi n→∞ vỵi måi y H Chú ỵ 1.1 (i) Trong khổng gian Hilbert H , hởi tử mÔnh ko theo hởi tử yáu, iÃu ngữủc lÔi khổng úng (ii) Mồi khổng gian Hilbert Ãu cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee, tực l náu dÂy khỉng gian Hilbert th¼ xn → x ành nghắa 1.5 H thọa mÂn cĂc iÃu kiằn {xn } kxn k → kxk v xn * x n → ∞ Cho C l tªp cõa khỉng gian Hilbert H Khi õ C ữủc gồi l (i) Têp õng náu mồi dÂy {xn} C thọa mÂn xn x n → ∞, ta ·u câ x ∈ C; (ii) Têp õng yáu Ãu cõ (iii) náu mồi d¢y {xn } ⊂ C thäa m¢n xn * x n → ∞, ta x ∈ C; Tªp compact náu mồi dÂy phƯn tỷ thuởc {xn } C ·u câ mët d¢y hëi tư v· mët C; Têp compact tữỡng ối náu mồi dÂy {xn} C Ãu cõ mởt dÂy hởi tử; (v) Têp compact yáu náu mồi dÂy {xn } C Ãu cõ mởt dÂy hởi tử yáu và (iv) mởt phƯn tû thuëc C; luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert (vi) Têp compact tữỡng ối yáu náu mồi dÂy {xn} C Ãu cõ mởt dÂy hởi tử yáu Nhªn x²t 1.2 (i) Måi tªp compact ·u l tªp compact tữỡng ối, iÃu ngữủc lÔi khổng úng (ii) Mồi têp õng yáu Ãu l têp õng, iÃu ngữủc lÔi khổng úng Mằnh à 1.2 Cho H l khỉng gian Hilbert thüc v C l mët tªp cõa H Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: (i) Náu C l têp lỗi, õng thẳ C l têp õng yáu; (ii) Náu C l têp b chn thẳ C l têp compact tữỡng ối yáu nh ngh¾a 1.6 Hilbert thüc tû H PC (x) ∈ C Cho C l mởt têp khĂc rộng, lỗi, õng cừa khổng gian Ta biát rơng vợi mội x H, Ãu tỗn tÔi nhĐt mởt phƯn thọa mÂn kx − PC (x)k = inf kx − yk y∈C PhƯn tỷ Ănh xÔ PC (x) hẳnh chiáu cừa x lản C v thnh PC (x) ữủc gồi l php ữủc xĂc nh nhữ trản ữủc gồi l PC : H C bián mội phƯn tỷ chiáu mảtric tứ H lản C xH c trững cừa php chiáu mảtric ữủc cho bi mằnh à dữợi Ơy Mằnh à 1.3 Cho C l mởt têp lỗi, õng, khĂc réng cõa khæng gian Hilbert thüc H Khi â, Ănh xÔ PC : H C l php chiáu m¶tric tø H l¶n C v ch¿ hx − PC (x), y − PC (x)i ≤ Nhªn x²t 1.3 y ∈ C, π α≤ V· phữỡng diằn hẳnh hồc, vợi mồi tÔo bi cĂc vctỡ Vẵ dử 1.1 Rn vợi mồi y C x PC (x) v y PC (x) thẳ náu ta gồi l khổng gian Hilbert thỹc vợi tẵch vổ hữợng hx, yi = n X k k k=1 luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com α l gâc luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert â x = (λ1 , λ2 , , λn ), y = (α1 , α2 , , αn ) kxk = hx, xi = n X αk αk = k=1 V½ dư 1.2 Khổng gian l2 , vợi v chuân cÊm sinh n X k=1 x = {λk }, y = {αk }, hx, yi = ∞ X |αk |2 ta ành nghắa k k k=1 thẳ hÃ, Ãi l tẵch vổ hữợng, (l2 , hÃ, Ãi) 1.1.2 Mởt số tẵnh chĐt nh lẵ 1.1 X, l khổng gian Hilbert (BĐt ng thùc Cauchy-Schwartz) Trong khỉng gian ti·n Hilbert vỵi måi x, y ∈ X ta ln câ b§t ¯ng thùc sau |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi (1.1) Chùng minh Vợi y = bĐt ng thực hin nhiản úng Gi£ sû y 6= â vỵi måi sè λ∈R ta ·u câ hx + λy, x + λyi ≥ tùc l hx, xi + λhy, xi + λhx, yi + |λ|2 hy, yi ≥ Chån λ=− hx, yi hy, yi ta ÷đc hx, xi − |hx, yi|2 ≥ ⇔ |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi hy, yi nh lỵ ữủc chựng minh nh lẵ 1.2 GiÊ sỷ {xn}n, {yn}n l hai dÂy hởi tử yáu ¸n a, b khỉng gian ti·n Hilbert thüc X Khi â lim hxn , yn i = ha, bi n→∞ Chùng minh Gi£ sû n→∞ lim xn = a, lim yn = b khæng gian X Ta s³ chùng n→∞ minh lim hxn , yn i = ha, bi n→∞ R Thªt vªy, ta câ |hxn , yn i − ha, bi| = |hxn , yn i + hxn , bi − hxn , bi − ha, bi| luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert Ch÷ìng Phữỡng phĂp hiằu chnh lp cho bi toĂn chĐp nhên tĂch khổng gian a têp Nởi dung chẵnh cừa chữỡng ny trẳnh by phữỡng phĂp hiằu chnh lp cho bi toĂn chĐp nhên tĂch khổng gian a têp Cử th gỗm mửc: mửc 2.1 trẳnh by mởt số bờ à cƯn thiát, mửc 2.2 trẳnh by thuêt toĂn v sỹ hởi tử, mửc 2.3 trẳnh by mởt số vẵ dử 2.1 Mởt số bờ à cƯn thi¸t Bê · 2.1 Cho H1 v H2 l hai khỉng gian Hilbert thüc, cho Tj vỵi måi j ∈ J2 l mởt Ănh xÔ khổng giÂn H2 cho ∩j∈J Fix(Tj ) 6= ∅ v cho A l mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh giợi nởi tứ H1 vo H2 Khi â, ∩j∈J2 A−1 Fix(Tj ) = ∩j∈J Fix(I − γA∗(I − Tj )A) = A−1(∩j∈J Fix(Tj )), 2 â γ l mët sè d÷ìng Chùng minh Rã r ng, º chùng minh ¯ng thùc thù nh§t ch cƯn ch rơng A1 vợi mồi j J2 Thêt vêy, náu z A (I Tj )Az = z , Fix(I − γA γ > ∗ Fix(Tj ) z∈ = Fix(I − γA∗ (I − Tj )A), z ∈ A−1 Fix(I Fix(Tj ), câ ngh¾a l − γA∗ (I − Tj )A) Az = Tj Az , th¼ Tø bao h m thùc z∈ (I − Tj )A), câ ngh¾a l γA∗ (I − Tj )Az = suy A∗ (I − Tj )Az = 0, Do â, Tj Az = Az + wj , A wj = LĐy mởt phƯn tû Tj Ap = Ap p ∈ A−1 Fix(Tj ) Khi â, ta câ Ap ∈ Fix(Tj ), câ ngh¾a l Do â, kAz − Apk2 ≥ kTj Az − Tj Apk2 = kAz − Ap + wj k2 = kAz − Apk2 + kwj k2 + 2hwj , A(z − p)i luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert 20 = kAz − Apk2 + kwj k2 + 2hA∗ wj , z − pi = kAz − Apk2 + kwj k2 Vẳ vêy, wj = Cõ nghắa l Tj Az = Az , z ∈ A−1 Fix(Tj ) ¯ng thùc thù hai ÷đc suy tø ∩j∈J2 A−1 Fix(Tj ) = A−1 (∩j∈J2 Fix(Tj )) Suy i·u ph£i chùng minh Bê · 2.2 Cho H1, H2, A v γ gièng nh÷ Bê · 2.1 v cho Tj vợi mồi l mởt Ănh xÔ khổng giÂn H2 cho ∩∞j=1Fix(Tj ) 6= ∅ Khi â, j ∈ N+ C˜ := ∩j∈N+ Fix(I − γA∗ (I − Tj )A) = Fix(T∞ ), â T∞ = I − γA∗(I − V∞)A, V∞ = ∞j=1 ηj Tj v j thọa mÂn iÃu kiằn () Chựng minh Nhữ ta  biát Ănh xÔ V l khổng giÂn vợi têp im bĐt ởng P Fix(V ) Vợi mội = j=1 Fix(Tj ) Trữợc tiản, ta chựng minh bao h m thùc C ⊂ Fix(T∞ ) ˜ , ta câ (I − γA∗ (I − Tj )A)z = z vỵi måi j ∈ N+ Tø â, ta iºm z ∈ C câ ∞ X ηj (I − γA∗ (I − Tj )A)z = z, j=1 â I − γA∗ (I − V∞ )A)z = z, v¼ I v A l hai Ănh xÔ tuyán tẵnh iÃu õ cõ nghắa l BƠy giớ ta chựng minh Fix(T ) p Fix(V∞ ) Do z∈ ⊂ C˜ Fix(T∞ ) n¶n ta cõ õ V ta nhên ữủc ng thực z Fix(T ) z LĐy hai im bĐt kẳ A (I V )Az = lêp luên tữỡng tỹ nhữ chựng minh Bờ à 2.1 vợi bơng z ∈ Fix(T∞ ) V∞ Az = Az , ngh¾a l Fix(T ) v Tiáp theo, bơng J2 = {1} v T1 thay γA∗ (I − V∞ )Az = 0, Suy i·u ph£i chùng minh Bê · 2.3 Cho H l khỉng gian Hilbert thüc v cho Si, vỵi mồi i N+ l mởt Ănh xÔ khổng giÂn ch°t H Gi£ sû i·u ki»n (β ) ữủc thọa mÂn Khi õ, P cĂc Ănh xÔ S := ∞i=1 βiSi v I − S∞ cơng l khỉng giÂn cht Chựng minh Trữợc tiản, ta ch rơng S l khổng giÂn cht Vợi mửc ẵch ny, ta xt Ănh xÔ Sk := Pk i=1 (i /k )Si Vẳ Si l khổng giÂn cht vợi mồi luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert 21 i ∈ N+ v hm kxk2 lỗi, nản k X (i /k )hSi u − Si v, u − vi hSk u − Sk v, u − vi = ≥ i=1 k X (βi /β˜k )kSi u − Si vk2 i=1 k X ˜ ≥ (βi /βk )(Si u − Si v) i=1 = kSk u − Sk vk2 ∀u, v ∈ H Pk S k u := i=1 βi u → S∞ u v β˜k → tø i·u ki»n (β ) k → ∞ Sk u = (1/β˜k )S k u → S∞ u Cho k → ∞ ta cõ bĐt ng thực Ta biát rơng Khi õ, hS u − S∞ v, u − vi ≥ kS∞ u − S∞ vk2 , suy S∞ l khỉng gi¢n ch°t Ti¸p theo, ta ch¿ I − S∞ l khổng giÂn cht Thêt vêy, vẳ h(ISi )u (I − Si )v, u − vi − k(I − Si )u − (I − Si )vk2 = hSi u − Si v, u − vi2 − kSi u − Si vk2 v Si l khổng giÂn cht nản I Si cơng l khỉng gi¢n ch°t Do â, k X (βi /β˜k )h(I − Si )u − (I − Si )v, u − vi h(I − Sk )u − (I − Sk )v, u − vi = ≥ i=1 k X (βi /β˜k )k(I − Si )u − (I − Si )vk2 i=1 k X ˜k )(I − Si )u − (I − Si )v ≥ (β / β i i=1 = k(I − Sk )u − (I − Sk )vk2 Cho k ti¸n ¸n vỉ cịng bĐt ng thực trản, ta cõ ữủc kát luên thù hai Bê · 2.4 Cho H1, H2 v A giống nhữ Bờ à 2.1 Khi õ, vợi mởt số tũy ỵ cố nh (0, 2/(kAk2 + 2)), Ănh xÔ T, := I (A(I V )A + I) l mởt Ănh xÔ co vợi hằ số , õ V l Ănh xÔ khổng giÂn cht v l mởt số dữỡng (0, 1) Khi α = th¼ Tγ := I − γA∗(I − V )A l khỉng gi¢n luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert 22 Chùng minh Thªt vªy, tø cĂc ng thực dữợi Ơy kT, x T, yk2 = k(1 − γα)(x − y) − γ[A∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ayk2 = (1 − γα)2 kx − yk2 + γ kA∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ayk2 − 2γ(1 − γα)hA∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ay, x − yi v i·u ki»n cõa γ v V, ta câ kTγ,α x − Tγ,α yk2 ≤ (1 − γα)2 kx − yk2 + γ kA∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ayk2 − 2γ(1 − γα)k(I − V )Ax − A∗ (I − V )Ayk2 ≤ (1 − γα)2 kx − yk2 + γ kA∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ayk2 − 2γ(1 − γα)kA∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ayk2 /kAk2 ≤ (1 − γα)2 kx − yk2 , 2γ(1 − γα)/kAk2 ≥ γ Tγ l khỉng gi¢n Do õ, T, l mởt Ănh xÔ co Ró rng, α=0 2.2 Thuªt to¡n v sü hëi tư Trong mưc n y tỉi mð rëng (1.13) cho b i to¡n ch§p nhên tĂch a têp vợi cĂc hồ vổ hÔn J1 v J2 , câ ngh¾a l J1 = J2 = N+ Trong õ l kẵ hiằu l N+ tĐt cÊ cĂc số tỹ nhiản dữỡng Phữỡng phĂp ny ữủc x¡c ành nh÷ sau xk+1 = Uk Tγk ,αk xk , x1 ∈ H1 , (2.1) â k k X X ∗ Uk = βi PCi , Tγk ,αk = I − γk (A (I − Vk )A + αk I), Vk = η j P Qj , η˜k j=1 β˜k i=1 (2.2) β˜k = β1 + · · · + βk , η˜k = η1 + · · · + ηk v c¡c tham sè βi , ηj , αk v γk thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (β ) βi > vỵi måi (η ) ηj > (α) αk ∈ (0, 1) (γ ) vỵi måi i ∈ N+ j ∈ N+ vỵi måi v v P∞ = 1; P∞ = 1; i=1 βi k ∈ N+ γk ∈ (ε0 , 2/(kAk + 2)) j=1 ηj cho vỵi måi limk→∞ αk = k ∈ N+ â v ε0 P∞ k=1 αk =∞ v l mët sè d÷ìng nhä L÷u ỵ rơng, mội bữợc lp, phữỡng phĂp (2.1) ch sỷ dửng tờng hỳu hÔn Do õ, viằc tẵnh toĂn ð ph÷ìng ph¡p n y l ìn gi£n luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert 23 Ti¸p theo, ta ch¿ sü hởi tử mÔnh cừa thuêt toĂn (2.1) - (2.2) vợi i·u ki»n (β ), (η ), (α) v (γ ) Düa v o mưc 2.1 ta câ c¡c k¸t qu£ sau nh lẵ 2.1 Cho H1, H2 v A giống nhữ Bê · 2.1 Cho {Ci}i∈N v + l hai hồ vổ hÔn cĂc têp lỗi, õng H1 v H2, t÷ìng ùng Gi£ sû Γ 6= ∅ v giú nguy¶n c¡c i·u ki»n cõa (β ), (η), (α) v ( ) Khi õ, dÂy {xk } ữủc nh nghắa bi (2.1) v (2.1) hởi tử mÔnh và nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt cừa (1.9) k , vợi J1 = J2 = N+ Chựng minh Trữợc hát, ta ch rơng {xk } l dÂy b chn Thêt vêy, lĐy mởt {Qj }jN+ im cố nh cõ p ∈ Ci p ∈ Γ, tø Bê · 2.1 vỵi Tj = PQj (I − γk A∗ (I − PQj )A)p = p v p = Uk p, Tγk p = p vỵi méi i, k ∈ N+ , giÂn cừa Uk õ v tẵnh khổng giÂn cừa vỵi måi v i, j, k ∈ N+ ta v â PCi Tγk p = p, Tγk = I − γk A∗ (I − Vk )A P Qj (2.3) Do vêy, tứ tẵnh khổng v Bờ à 2.4, suy kxk+1 − pk = kUk Tγk ,αk xk − Uk Tγk pk ≤ kTγk ,αk xk − Tγk pk = kTγk ,αk xk − Tγk ,αk p − γk αk pk ≤ (1 − γk αk )kxk − pk + γk αk kpk ≤ max{kx1 − pk, kpk} i·u ny cõ nghắa l dÂy {xk } b chn Do õ, tỗn tÔi mởt hơng số dữỡng M cho ˜ sup kxk k, kxk − pk, kA∗ (I − Vk )Axk k ≤ M k≥1 Ti¸p theo, vẳ U k , T k l khổng giÂn, minh cõa Bê · 2.3 v kxk2 I − Vk l khổng giÂn cht, dỹa theo chựng l mởt hm lỗi, tø (2.3) ta câ kxk+1 − pk2 = kUk Tγk ,αk xk − Uk Tγk pk2 ≤ kTγk ,αk xk − Tγk pk2 = kTγk xk − Tγk p − γk αk xk k2 = kTγk xk − Tγk pk2 + (γk αk )2 kxk k2 − 2γk αk hTγk xk − Tγk p, xk i ≤ kxk − pk2 − 2γk h(I − Vk )Axk − (I − Vk )Ap, Axk − Api ˜2 + γk2 kA∗ (I − Vk )Axk k2 + (γk αk )2 M luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert 24 − 2γk αk hTγk xk − Tγk p, xk i ≤ kxk − pk2 − 2γk kAxk − Vk Axk k2 + γk2 kAk2 kAxk − Vk Axk k2 ˜ − 2γk αk hTγ xk − Tγ p, xk i + (γk αk )2 M k k ≤ kxk − pk2 − γk (2 − γk kAk2 )kAxk − Vk Axk k2 ˜ + 2γk αk M ˜ + (γk αk )2 M Uk Hỡn nỳa, (2.4) l khổng giÂn nản ta câ kxk+1 − Uk xk k = kUk Tγk ,αk xk − Uk xk k ≤ kTγk ,αk xk − xk k ˜ ≤ γk kAkkAxk − Vk Axk k + k k M Mt khĂc, sỷ dửng tẵnh chĐt cừa php chiáu mảtric P Ci vợi (2.5) x = z k := Tγk ,αk xk , ta câ thº vi¸t kz k − PCi z k k2 + kPCi z k − pk2 ≤ kz k − pk2 , â, k k X X k k ˜ (βi /β˜k )kPCi z k − pk2 ≤ kz k − pk2 (βi /βk )kz − PCi z k + i=1 Vẳ i=1 kxk2 l hm lỗi H1 , tứ bĐt ng thực cuối cũng, ta ữủc k k X X ˜k )(z k − PC z k ) + ˜k )(PC z k − p) ≤ kz k − pk2 (β / β (β / β i i i i i=1 i=1 Do â, kTγk ,αk − xk+1 k2 + kxk+1 − pk2 ≤ kTγk ,αk xk − pk2 = kTγk xk − Tγk p − γk αk xk k2 ˜2 = kTγk xk − Tγk pk2 − 2γk αk hTγk xk − Tγk p, xk i + (γk αk )2 M ˜ + (γk αk )2 M ˜ ≤ kxk − pk2 + 2γk αk M (2.6) M°t kh¡c, kTγk ,αk xk − xk+1 k2 = kxk − xk+1 k2 + kγk αk xk + γk A∗ (I − Vk )Axk k2 − 2hγk αk xk + γk A∗ (I − Vk )Axk , xk − xk+1 i luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com (2.7) luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert 25 Cuèi còng, vẳ H1 Uk l khổng giÂn, P Ci l khổng giÂn cht v kxk2 l hm lỗi nản ta câ kxk+1 − pk2 = kUk Tγk ,αk xk − Uk Tγk pk2 k X ≤ (βi /β˜k )kPCi Tγk ,αk xk − PCi Tγk pk2 i=1 ≤ hTγk ,αk xk − Tγk p, xk+1 − pi = hTγk ,αk xk − Tγk ,αk p, xk+1 − pi + γk αk hp, p − xk+1 i γk ∗ = (1 − γk αk ) I − (A (I − Vk )A) xk − γk αk γk ∗ k+1 (A (I − Vk )A) p, x − p +γk αk hp, p − xk+1 i − I− − γk αk ≤ (1 − γk αk )kxk − pkkxk+1 − pk + γk αk hp, p − xk+1 i − γk αk k ≤ kx − pk2 + kxk+1 − pk2 + γk αk hp, p − xk+1 i, 2 I − γk [A∗ (I − Vk )A]/(1 − γk αk ) ( ) v tẵnh chĐt cừa A (I Vk )A l Ănh xÔ khổng giÂn theo Bờ · 2.4, (α), Vªy, kxk+1 − pk2 ≤ (1 − γk αk )kxk − pk2 + γk αk hp, p xk+1 i (2.8) Trữớng hủp 1: Tỗn tÔi mởt sè thüc d÷ìng k0 cho kxk+1 − pk ≤ kxk pk vợi mồi k k0 Vêy, limk kxk pk Hỡn nỳa, theo sỹ tỗn tÔi cừa tỗn tÔi limk kxk pk v (2.4), ta câ lim sup γk (2 − γk kAk2 )kAxk − Vk Axk k2 = (2.9) k→∞ Rã r ng tø i·u ki»n (γ ), ta câ γk (2 − γk kAk2 ) ≥ γk (2 − (2kAk2 /(kAk2 + 2)) ≥ 4ε0 /(kAk2 + 2) Tø i·u n y v (2.9) suy lim kAxk − Vk Axk k2 = k→∞ Hìn núa, theo (2.5), (2.10) v αk → th¼ lim kxk+1 − Uk xk k = k→∞ Do limk kxk pk (2.10) tỗn tÔi, tứ (2.6) v αk → 0, (2.11) ta câ lim kTγk ,αk xk − xk+1 k = k→∞ luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com (2.12) luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert 26 kγk αk xk + γk A∗ (I − Vk )Axk k ≤ γk αk kxk k + γk kAkkAxk − Vk Axk k V¼ (2.10) v i·u ki»n tr¶n αk n¶n tø ta câ lim kγk αk xk + γk A∗ (I − Vk )Axk k = (2.13) k Do õ, tứ giợi hÔn cõa {xk } suy lim hγk αk xk + γk A∗ (I − Vk )Axk , xk − xk+1 i = (2.14) k→∞ Tø (2.7), (2.12), (2.13) v (2.14), ta câ lim kxk+1 − xk k = (2.15) k Vẳ cĂc dÂy {xk } v {k } l giợi nởi nản khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta câ thº gi£ sû mët d¢y v {kj } cõa {k} cho {xkj } hëi tư y¸u ¸n mët ph¦n tû x˜ ∈ H1 γkj → γ ∈ [ε0 , 2/(kAk2 + 2)] 2.1, 2.2 v 2.3, suy â U∞ = j → ∞ Ta s³ chùng minh x˜ ∈ ∩i∈N+ Ci ∩ F ix(T∞ ) ho°c x˜ ∈ Γ Tø Bê · x˜ ∈ F ix(U∞ ) ∩ F ix(T∞ ), P∞ i=1 βi PCi x F ix(U ) Trữợc tiản, ta chựng minh rơng Thêt vêy, tứ (2.11) v (2.15), suy lim kxk − Uk xk k = (2.16) k→∞ V¼ Uk x → U∞ x j → k Vẳ vêy, vợi mồi vợi im cố nh >0 tỗn tÔi x H1 j > nản ta cõ cho vợi mồi Ukj x U∞ x j ≥ jε sup kUkj x − U∞ xk < ε, x∈D â D l tªp giợi nởi cừa H1 LĐy D = {xkj }, ta câ kUkj xkj − U∞ xkj k < ε, câ ngh¾a l lim kUkj xkj − U∞ xkj k = (2.17) j→∞ Do â, tø (2.16), (2.17) v kxkj − U∞ xkj k ≤ kxkj − Ukj xkj k + kUkj xkj − U∞ xkj k suy kxkj − U∞ xkj k → Khi â, düa v o Bê · 1.3 th¼ x˜ ∈ F ix(U∞ ) luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert 27 x˜ ∈ F ix(T ) BƠy giớ, ta chựng minh Thêt vêy, tứ (2.12) v (2.15), ta câ lim kxk − Tγk ,αk xk k = (2.18) k Bơng cĂch lêp luên nhữ trản, ta cõ lim kVkj Axkj V Axkj k = 0, j kát hủp vợi (2.19), ta ữủc kxkj − T∞ xkj k ≤ kxkj − Tγkj ,αkj xkj k + kTγkj ,αkj xkj − T∞ xkj k ˜ ≤ kxkj − Tγkj ,αkj xkj k + kTγkj xkj − T∞ xkj k + γkj αkj M ˜ ≤ kxkj − Tγkj ,αkj xkj k + |γkj − γ|M ˜ + γkVkj Axkj − V∞ Axkj k + γkj αkj M v gi£ ành suy r¬ng kxkj T xkj k LÔi theo Bờ à 1.3, ta câ x˜ ∈ F ix(T∞ ) Rã r ng, mồi dÂy hởi tử yáu cừa {xk } hởi tư y¸u ¸n mët nghi»m cõa (1.9) Ti¸p theo, ta chựng minh rơng nhọ nhĐt x {xk } hởi tử mÔnh và nghiằm cõ chuân cừa (1.9) Ta thĐy rơng lim suphx∗ , x∗ − xk i = lim hx∗ , x∗ − xkl i = hx∗ , x∗ − x˜i ≤ 0, (2.19) l→∞ k→∞ x∗ x∗ , (2.19) v Bê · 1.1 ta câ l nghi»m câ chuân nhọ nhĐt cừa (1.9) Cuối cũng, tứ (2.8) thay kxk − x∗ k → p bði k Trữớng hủp 2: Tỗn tÔi mởt dÂy {xk } cõa {xk } cho kxk −pk < kxk +1 −pk l vỵi måi {mk } ⊆ N+ cho mk → ∞ {xk } k ∈ N+ l giợi nởi nản tỗn tÔi mởt dÂy khổng t«ng v kxmk − pk ≤ kxmk +1 − pk Khi õ, tỗn tÔi v kxk pk kxmk +1 − pk limk→∞ kxmk − pk tr¶n, ta câ ng thực (2.10)-(2.12) v (2.15) vợi hÔn yáu l l ∈ N+ Khi â, theo Bê · 1.2, vỵi måi l x˜ cõa mk {x } thc Γ k (2.20) v lêp luên tữỡng tỹ nhữ thay bi mk v méi iºm giỵi Hìn núa, lim suphx∗ , x∗ − xmk +1 i = hx∗ , x∗ − x˜i ≤ (2.21) k→∞ Tø (2.8) v b§t ¯ng thực Ưu tiản (2.20) vợi p ữủc thay bi kxmk − x∗ k2 ≤ hx∗ , x∗ − xmk +1 i, luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com x∗ , suy (2.22) luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert 28 vỵi méi k ∈ N+ Tø (2.21) v (2.22), ta câ lim sup kxmk − x∗ k2 = (2.23) k→∞ Tø (2.15) vỵi k ÷đc thay bði mk v (2.23), ta câ lim kxmk +1 − x∗ k ≤ lim kxmk +1 − xmk k + lim kxmk − x∗ k = 0, k→∞ k k vợi bĐt ng thực thự hai (2.20) suy lim kxk − x∗ k = k Nhữ vêy ta cõ iÃu phÊi chựng Ta cõ cĂc nh lỵ sau nh lẵ 2.2 Cho H1, H2 v A gièng nh÷ Bê · 2.1 Cho {Ci}Ni=1 v l hai hồ cĂc têp lỗi, õng khỉng gian H1 v H2, t÷ìng ùng Gi£ sû Γ 6= ∅ v giú nguy¶n c¡c i·u ki»n cõa (η), (α), (γ ) v P (β 0) βi > ≤ i ≤ N cho Ni=1 βi = Khi õ, vợi k thẳ dÂy {xk } ữủc nh nghắa bi {Qj }jN+ x k+1 k = U Tγk ,αk x , k ≥ 1, x ∈ H1 , U = N X βi PCi , i=1 hởi tử mÔnh và nghiằm cõ chuân nhä nh§t cõa (1.9) Chùng minh L§y Ci = CN vợi i > N , chựng minh nhữ nh lỵ 2.1 ành l½ 2.3 Cho H1, H2 v A gièng nh÷ Bê · 2.1 Cho {Ci}i∈N v {Qj }M j=1 l hai hồ cĂc têp lỗi, õng H1 v H2 , t÷ìng ùng Gi£ sû Γ 6= ∅ v giú nguy¶n c¡c i·u ki»n cõa (β ), (α), (γ ) v P (η0) ηj > ≤ j ≤ M cho Mj=1 ηj = Khi õ, vợi k thẳ dÂy {xk } ữủc nh nghắa bi + xk+1 = Uk (I − γk (A∗ (I − V )A + αk I))xk , k ≥ 1, x1 ∈ H1 , V = M X η j P Qj , i=1 hëi tö mÔnh và nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt cừa (1.9) nh lẵ 2.4 Cho H1, H2 v A giống nhữ Bê · 2.1 Cho {Ci}Mi=1 v {Qj }N j=1 l hai hồ hỳu hÔn cừa cĂc têp lỗi, õng H1 v H2 , t÷ìng luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert 29 ùng Gi£ sû Γ 6= ∅ v giú nguy¶n c¡c i·u ki»n cõa (β 0), (α), (γ ) v (0) Khi õ, vợi k dÂy {xk } ữủc nh nghắa bi xk+1 = U (I − γk (A∗ (I − V )A + αk I))xk , x1 ∈ H1 , â U v V ữủc nh nghắa nhữ nh lỵ 2.2 v 2.3 tữỡng ựng, hởi tử mÔnh án nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt (1.9) Chú ỵ 2.1 P Ci vợi t T i = PCi (I − γA∗ (I − PQi )A) I − γA∗ (I − PQi )A, º gi£i bi toĂn (1.9) vợi Vk k tÔi mội bữợc lp v lữu ỵ tẵnh trung bẳnh cừa Bờ à 1.4 v 2.1 ta câ J1 = J2 = N+ , düa tr¶n k Γ = ∩i∈N+ F ix(T i ) ta cƯn xƠy dỹng cĂc Ănh xÔ Ănh xÔ Ưu ti¶n cõa Ti v k Do â, Wk , Sk v số thỹc dữỡng 2.3 Vẵ dử số Ta xt bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp vợi C = ∩∞ i=1 Ci v Q = ∩∞ j=1 Qj , â Ci = {x ∈ En : ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain ≤ bi }, ail , bi ∈ (−∞; +∞), vỵi 1≤l≤n v (2.24) i ∈ N+ , m X Qj = {y ∈ E : (yl − ajl )2 ≤ Rj }, Rj > 0, m (2.25) l=1 ajl ∈ (−∞; +), Vẵ dử 2.1 ỡn v, mồi vợi 1lm j ∈ N+ v A l mët ma trªn cï Trong vẵ dử Ưu tiản, tổi xt trữớng hủp ai1 = 1/i, ai2 = −1 j ≥ v v bi = vỵi måi M = N = 2, A l ma trªn i ≥ 1, Rj = Khi õ, khổng khõ kim tra rơng m ì n x∗ = (0; 0) v aj = (1/j, 0) vỵi l nghiằm nhĐt A = I, thuêt toĂn (2.1) - xk+1 = Uk ((1 − γk (1 + αk ))xk + γk Vk xk ) (2.26) câ chu©n nhä nhĐt cừa bi toĂn (2.24) - (2.25) Vẳ (2.2) cõ dÔng Dỷ dửng phữỡng phĂp (2.26) vợi 1/(1 + 0.05 + (1/k) βi = ηi = 1/(i(i + 1)), αk = 1/k , γk = v iºm xu§t ph¡t x1 = (3.0; 3.0), ta nhên ữủc bÊng số liằu dữợi ¥y luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert 30 k xk+1 xk+1 k xk+1 xk+1 0.0243902439 0.3658536585 100 0.0012390505 0.0083945251 10 0.0102553274 0.0694794968 500 0.0002695347 0.0018260888 20 0.0055344982 0.0374960376 1000 0.0001394192 0.0009445606 30 0.0038180428 0.0258671112 2000 0.0000720824 0.0004883558 40 0.0029249862 0.0198166827 3000 0.0000489994 0.0000331969 V½ dư 2.2 Trong vẵ dử thự hai, giỳ nguyản phĂt, tổi xt têp mợi Qj = {y E3 : ky − aj k ≤ 1} 1); 1/(j + 1); 1/(j + 1)) vỵi i = 1, 2, Ci , βi , ηj , Rj , γk , αk v A l mởt ma cù 3ì2 õ v im xuĐt aj = (1/(j + vợi cĂc phƯn tỷ v phƯn tỷ cỏn lÔi bơng khổng Dạ thĐy x = (0; 0) ai1 = 1, l nghi»m nh§t cõ chuân nhọ nhĐt Kát quÊ tẵnh toĂn sỷ dửng phữỡng phĂp (2.1) (2.2) ữủc trẳnh by bÊng số li»u sau k xk+1 xk+1 k xk+1 xk+1 0.6019388274 1.5365833659 100 0.0142047415 0.0363009852 10 0.1176994981 0.3004546610 500 0.0030934268 0.0078966734 20 0.0635189516 0.1621465290 1000 0.0016001024 0.0040846244 30 0.0438193443 0.1118588139 2000 0.0008272834 0.0021118284 40 0.0356981140 0.0856945566 3000 0.0005623615 0.0014355553 Nhữ vêy, chữỡng ny cừa luên vôn  trẳnh by mởt số bờ à cƯn thiát cừa phữỡng phĂp hiằu chnh lp cho bi toĂn chĐp nhên tĂch khổng gian a têp v ữa mởt vi vẵ dử minh hồa cho phữỡng phĂp ny luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert Kát luên Trong luên vôn ny chúng tổi nghiản cựu mởt cĂch khĂ chi tiát v hằ thống và cĂc vĐn à sau: ã Mởt số khĂi niằm cỡ bÊn cừa giÊi tẵch lỗi, khổng gian Hilbert, to¡n tû khỉng gian Hilbert, iºm b§t ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn; ã CĂc kát quÊ nghi¶n cùu cõa N Buong, P.T.T Hoai, K.T Binh t i li»u [3] v· ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh l°p gi£i bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp khổng gian Hilbert luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert T i li»u tham khÊo Tiáng Viằt [1] Nguyạn Vôn HiÃn, Lả Dụng Mữu (2003), dưng, Vi»n To¡n håc, H Nëi [2] é V«n Lữu, Nguyạn ực LÔng (2010), Nhêp mổn giÊi tẵch lỗi v ựng GiĂo trẳnh giÊi tẵch hm, NXB Ôi hồc Quèc gia, H Nëi Ti¸ng Anh Iterative regularization methods for the Multiple-Sets split feasibility problem in Hilbert spaces, Acta [3] N Buong, P.T.T Hoai, K.T Binh (2019), Applicandae Mathicalae, Springer [4] Agarwal R P., O'Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [5] Alber, Y., Ryazantseva, I.P (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer [6] Bakushinsky, A.B (1977), Methods for solving monotonic variational inequalities based on the principle of iterative regularization, and Math Physics., 17, 12-24 [7] Bakushinsky, A.B., Goncharsky, A (1989), Comput Math Ill-Posed Problems: Theory and Applications Kluwer Academic Publishers [8] Byrne C (2004), A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction, Inverse Problems, 18, 103-120 [9] Bruck, R E (1974), A strong convergent iterative method for the solution luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbertluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.lap.giai.bai.toan.chan.nhan.tach.da.tap.trong.khong.gian.hilbert