Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 41 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN VIỆT HƯNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI Q KHỨ KHƠNG ƠTƠNƠM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN VIỆT HƯNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI Q KHỨ KHƠNG ƠTƠNƠM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS TSKH NGUYỄN THIỆU HUY THÁI NGUYÊN - 2017 download by : skknchat@gmail.com iii Mục lục Bảng ký hiệu Lời mở đầu Lý thuyết nửa nhóm tốn tử 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh tính chất cận tăng 1.2 Ổn định mũ nhị phân mũ nửa nhóm iv 4 13 Sự tồn ổn định nghiệm phương trình trung tính với q khứ khơng ơtơnơm 16 2.1 Phương trình trung tính với q khứ không ôtônôm 16 2.2 Các nửa nhóm tiến hóa với tốn tử sai phân tốn tử trễ 18 Nhị phân mũ 3.1 Phổ tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm 3.2 Ví dụ minh họa 24 24 31 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom iv Bảng ký hiệu N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm L1,loc (R) := {u : R → R|u ∈ L1 (ω) với tập đo ω ⊂⊂ R}, với ω ⊂⊂ R nghĩa bao đóng ω tập compact R X C : không gian Banach := C([−r, 0], X) không gian hàm liên tục [−r, 0], r>0, nhận giá trị X với chuẩn kukC = sup ku(t)k t∈[−r,0] C0 (R− , X) := {f : R− → X : f liên tục lim f (t) = 0} không gian t→−∞ hàm với chuẩn sup luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom Lời mở đầu Vào đầu kỉ 20 phương trình trung tính xem trường hợp đặc biệt phương trình vi phân sai phân Ví dụ : u00 (t) − u0 (t − 1) + u(t) = 0, √ u0 (t) − u(t − 1) − u(t − 2) = 0, u0 (t) − 2u(t) + u0 (t − 1) − 2u(t − 1) = 0, (xem [3, 4, 5, 23, 36]), dạng tổng quát phương trình vi phân cấp n sai phân cấp m : F t, u(t), u(t − r1 ), , u(t − rm ), u0 (t), u0 (t − r1 ), , u0 (t − rm ), , u(n) (t), u(n) (t − r1 ), , u(n) (t − rm ) = với F hàm (m + 1)(n + 1) biến Để hiểu nguồn gốc thuật ngữ "trễ", "trung tính" ta xét phương trình vi phân cấp sai phân cấp a0 u0 (t) + a1 u0 (t − ω) + b0 u(t) + b1 u(t − ω) = f (t) với ω > cố định (1) Nếu a0 = a1 = 0, phương trình gọi phương trình sai phân Nó khơng chứa vi phân Nếu a0 6= 0, a1 = 0, phương trình gọi phương trình vi phân sai phân "lùi" hay đơn giản phương trình vi phân có trễ, mơ tả phụ thuộc vào hệ trang thái khứ Nếu a0 = 0, a1 6= 0, phương trình gọi phương trình vi phân sai phân "tiến" hay phương trình vi phân "tiến", mơ tả phụ thuộc vào hệ trạng thái tương lai luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom Cuối a0 6= 0, a1 6= 0, loại phương trình vi phân sai phân gọi hỗn tạp, vừa "lùi" vừa "tiến" Vì trường hợp phương trình gọi phương trình vi phân trung tính Ta tham khảo Bellman and Cooke [3, Chương 2] cho lịch sử toán Gần Wu and Xia [41] hệ tương ứng phương trình có nhị phân mũ tương đương với hệ phương trình trung tính ∂2 ∂ F ut = a F ut + Φut ∂t ∂x (2) gọi phương trình đạo hàm riêng trung tính hay phương trình trung tính Ở hàm u thuộc C([−r, 0], X) với r ≥ khơng gian Banach X hàm đường trịn đơn vị S , tức : X = H (S ) X = C(S ), hàm lịch sử ut xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] t ≥ Cuối F Φ gọi toán tử sai phân toán tử trễ tuyến tính bị chặn từ C([−r, 0], X) → X Có phương pháp để giải tốn Hale [21, 22], ông tồn và tính chất tốn tử nghiệm Trong luận văn chúng tơi đưa phương pháp tiếp cận nửa nhóm tuyến tính phương trình (NPDE) Sau chúng tơi phương trình (NPDE) đặt chỉnh nghiệm ổn định mũ phương pháp nửa nhóm Để thực điều xây dựng phương trình (NPDE) mà ta nghiên cứu luận văn ∂ F (u(t, ·)) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0, ∂t ∂ ∂ u(t, s) = u(t, s) + a(s)Au(t, s), t ≥ ≥ s, ∂t ∂s (3) (4) hàm u(·, ·) lấy giá trị không gian Banach X, A tốn tử tuyến tính (khơng bị chặn) X sinh nửa nhóm (T (t))t≥0 , hàm a(·) ∈ L1,loc (R+ ) thỏa mãn điều kiện γ1 ≥ a(t) ≥ γ0 > hầu khắp t ≥ Đặt A(s) := −a(s)A Dựa điều kiện thích hợp toán tử sai phân F toán tử trễ Φ ta chứng minh nửa nhóm nghiệm phương trình có nhị phân mũ với điều kiện họ tiến hóa lùi Rs U = (U (t, s))t≤s≤0 = T ( t a(τ )dτ ) sinh A(s) ổn định mũ toán tử B sinh nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 X Hơn nữa, với điều kiện tính dương (etB )t≥0 , U, F Φ ta chứng minh luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom nửa nhóm nghiệm nói dương điều kiện đủ để nửa nhóm nghiệm ổn định mũ Luận văn chia làm chương với phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị nửa nhóm tốn tử, định nghĩa tính chất nửa nhóm Chương 2: Trình bày tồn nửa nhóm trung tính, với điều kiện ổn định mũ họ tiến hóa lùi ta xây dựng nửa nhóm liên tục mạnh E = C0 (R− , X) thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida Chương 3: Nghiên cứu tính nhị phân mũ nửa nhóm trung tính với q khứ khơng ơtơnơm, nửa nhóm (etB )t≥0 có nhị phân mũ Để chứng minh tính nhị phân mũ nửa nhóm có nhiễu ta phải tính nhị phân mũ nửa nhóm khơng có nhiễu (TB,0 (t))t≥0 , dựa vào nửa nhóm lũy linh, ổn định họ tiến hóa tính chất, kết phổ toán tử Tác giả muốn gửi lời cảm ơn biết ơn chân thành tới tất người hỗ trợ, giúp đỡ tác giả chuyên môn, vật chất tinh thần trình thực luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy trường Đại học Bách khoa Hà Nội, người hướng dẫn, nhận xét giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình thực luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, người tham gia trực tiếp trình giảng dạy lớp Cao học Tốn K9Y khóa 2015 – 2017, phịng ban chức năng, khoa Tốn Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tác giả trình học tập trường Cuối tác giả xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp K9Y, gia đình bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tác giả suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Việt Hưng luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom Chương Lý thuyết nửa nhóm tốn tử Chương trình bày kiến thức nửa nhóm số kết cần thiết cho chương chương 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh tính chất cận tăng Định nghĩa 1.1.1 Họ (T (t))t≥0 ⊂ L(X), X không gian Banach gọi nửa nhóm liên tục mạnh nếu: (i) T (t + s) = T (t).T (s), ∀t, s ≥ (ii) T (0) = I toán tử đồng (iii) lim+ T (t)x = T (t0 )x, ∀x ∈ X, ∀t0 ≥ t→t0 Chú ý 1.1.2 (i) Nếu (T (t))t≥0 ⊂ L(X) thỏa mãn điều kiện với t, s ∈ R ta có nhóm liên tục mạnh (ii) Trong trường hợp nửa nhóm t0 = xét giới hạn bên phải Ví dụ 1.1.3 X không gian Banach, A ∈ L(X) Khi T (t) = etA (t ≥ 0) nửa nhóm liên tục mạnh ∞ P (tA)n Chứng minh Ta có T (t) = etA := n! , t ≥ 0, n=0 ||tA)n || tn ||A||n tn+1 ||A||n+1 tn ||A||n t||A|| ≤ lim : = lim = < n→∞ (n + 1)! n→∞ n + n! n! n! luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom Suy chuỗi Nên ∞ P n=0 ∞ P n=0 (tA)n n! ||(tA)n || n! hội tụ theo Dalambert hội tụ L(X) (do hội tụ tuyệt đối −→ hội tụ L(X)) Ta có T (0) = I (quy ước 00 = I) Xét ∞ ∞ ∞ n n X X X sn An t A )( )= C n An T (t)T (s) = ( n! n=0 n! n=0 n=0 tn s0 tn−1 s1 t0 s n + + + n! 0! (n − 1)! 1! 0! n! n X n! = tk sn−k n! k!(n − k)! Cn = k=0 = (t + s)n n! ∞ P ((t+s)A)n Do T (t)T (s) = = T (t + s) nên T (t) = etA nửa nhóm n! n=0 Ta có: T (t) − I = ∞ P n=1 (tA)n n! ⇒ ||T (t) − I|| ≤ ∞ P n=1 tn ||An || n! = et||A|| − −→ t → 0+ suy lim+ ||T (t) − I|| = nên (T (t))t≥0 liên tục nên liên tục t→0 mạnh Bổ đề 1.1.4 X không gian Banach, F : Kcompact ⊂ R → L(X) Các mệnh đề sau tương đương: (i) F liên tục tơ pơ tốn tử mạnh tức K t → F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ X (ii) F bị chặn K tức là: ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K ánh xạ K t → F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ X liên tục ∀x ∈ D, D trù mật X (iii) F liên tục với tô pô hội tụ tập com pact X, tức ánh xạ KxC (t, x) → F (t)x ∈ X liên tục với tập compact C ⊂ X luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom Chứng minh (iii) ⇒ (ii) tầm thường (i) ⇒ (ii) Vì ánh xạ t → F (t)x liên tục K compact nên với x cố định, x ∈ X, bị chặn ∀x ∈ X {F (t)x : t ∈ K} bị chặn theo Banach - steihau ta có: ||F (t)||, t ∈ K bị chặn R : ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K (ii) ⇒ (iii) Giả sử ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K, ε > cố định, C compact suy ∃x1 , , xn ∈ D cho: C ⊂ ∪ni=1 (xi + Mε U ), với U = B(0, 1) ⊂ X hình cầu đơn vị X chọn δ > cho ||F (t)xi − F (s)xi || < ε, (i = 1, .n) ∀t, s ∈ K : |t − s| < δ x, y ∈ C; t, s ∈ K thỏa mãn ||x − y|| < Mε , |t − s| < δ chọn i ∈ {1, , n} cho ||x − xi || < Mε ta có: ||F (t)x−F (s)y|| ≤ ||F (t)(x−xi )||+||(F (t)−F (s))xi ||+||F (s)(xi −x)||+ + ||F (s)(x − y)|| < 4ε nên ánh xạ (t, x) → F (t)x liên tục t ∈ K, x ∈ C Mệnh đề 1.1.5 Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 khơng gian Banach Khi mệnh đề sau tương đương: (a) (T (t))t≥0 liên tục mạnh (b) lim+ T (t)x = x, ∀x ∈ X t→0 (c)∃δ > 0, M ≥ D ⊂ X , D trù mật X cho (i) ||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], (ii) lim+ T (t)x = x, ∀x ∈ D t→0 Chứng minh (a) ⇒ (c.ii) tầm thường (a) ⇒ (c.i) với δ > x cố định x ∈ X ánh xạ t → T (t)x liên tục [0, δ] suy {kT (t)xk, t ∈ [0, δ]} bị chặn ∀x ∈ X theo nguyên lý bị chặn (Banach- Steihau), nên ||T (t)x|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], M ≥ (do kT (0)k = kIk = 1) (c) ⇒ (b), giả sử {tn }n ⊂ [0, ∞), tn → n → ∞ Đặt K = {tn , n ∈ luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 19 (iii) Tồn số H ≥ ω1 ∈ R cho kU (t, s)k ≤ Heω1 (s−t) , ∀t ≤ s ≤ Hằng số ω(U) := inf{α ∈ R : ∃H ≥ cho kU (t, s)k ≤ Heα(s−t) ∀t ≤ s ≤ 0} gọi cận tăng U Trong trường hợp ω(U) < 0, ta nói họ tiến hóa U ổn định mũ Khái niệm họ tiến hóa lùi nảy sinh ta xét phương trình tiến hóa đặt chỉnh nửa đường thẳng âm R− có dạng du(t) = −A(t)u(t), t ≤ s ≤ 0, dt (2.5) u(s) = us ∈ X Hơn nữa, ta nói toán Cauchy lùi (2.5) đặt chỉnh với cận mũ tồn họ tiến hóa lùi bị chặn mũ U = (U (t, s))t≤s≤0 , nghiệm (2.5) cho x(t) = U (t, s)x(s) với t ≤ s ≤ Rõ ràng, họ tiến hóa lùi R− , ta có kết tương tự trường hợp họ tiến hóa R+ Ta tham khảo [14, 13, 35, 6]) tính đặt chỉnh phương trình (2.5) Nói cách khác, họ tốn tử (−A(t))t≤0 sinh họ tiến hóa lùi U Để sử dụng sau này, ta tóm tắt việc xây dựng nửa nhóm tiến hóa dịch chuyển trái vài kết sau Trước hết, họ tiến hóa (U (t, s))t≤s≤0 mở rộng cho họ tiến hóa lùi R U (t, s) với t ≤ s ≤ 0, U˜ (t, s) := U (t, 0) với t ≤ ≤ s, U (0, 0) = Id với ≤ t ≤ s Định nghĩa 2.2.2 Trên C˜0 := C0 (R, X), ta xác định chuyển trái (T˜(t))t≥0 ứng với (U˜ (t, s))t≤s U (s, s + t)f˜(s + t) (T˜(t)f˜)(s) := U˜ (s, s+t)f˜(s+t) = U (s, 0)f˜(s + t) f˜(s + t) nửa nhóm dịch với s≤s+t≤0 với s≤0≤s+t với 0≤s≤s+t ˜ D(G)) ˜ Ta kí hiệu tốn tử sinh (G; luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 20 ˜ D(G)) ˜ tốn Có thể thấy (xem [19, Bổ đề 2.5]) toán tử (G; ˜ u˜(s) = với a < s < b, tử địa phương theo nghĩa, u˜ ∈ D(G) ˜ u](s) = với a < s < b Khi đó, tính địa phương G ˜ cho [G˜ phép xác định toán tử G C0 := C0 (R− , X) sau Định nghĩa 2.2.3 Lấy ˜ D(G) := f˜|R− : f˜ ∈ D(G) xác định ˜ f˜](t) với t ≤ f = f˜|R [Gf ](t) := [G − Ta có mô tả G sau lấy từ Bổ đề 2.5 [19] Bổ đề 2.2.4 Cho u, f ∈ C0 = C0 (R− , X) λ ∈ C Khi u ∈ D(G) (λ − G)u = f u f thỏa mãn Z s λ(t−s) u(t) = e U (t, s)u(s)+ eλ(t−ξ) U (t, ξ)f (ξ)dξ với t ≤ s ≤ (2.6) t Ta lưu ý toán tử G dùng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận họ tiến hóa nửa đường thẳng (xem [19, 20, 30]) Toán tử G trở thành toán tử sinh nửa nhóm ta hạn chế để miền xác định nhỏ hơn, chẳng hạn D := {u ∈ D(G) : [Gu](0) = 0} (xem [20]) Tuy nhiên, với ứng dụng sau ta xét trường hợp tổng quát đưa giả thiết sau Giả thiết 2.2.5 Trên không gian Banach X C0 := C0 (R− , X) ta xét toán tử sau đây: (i) (B, D(B)) tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (etB )t≥0 X thỏa mãn ketB k ≤ M eω2 t với số M ≥ ω2 ∈ R (ii) Toán tử sai phân F : C0 → X toán tử trễ Φ : C0 → X tuyến tính bị chặn Định nghĩa 2.2.6 Trên không gian C0 ta xác định nửa nhóm tiến hóa dịch chuyển trái (TB,0 (t))t≥0 cho U (s, s + t)f (s + t), s + t ≤ 0, [TB,0 (t)f ](s) = U (s, 0)e(t+s)B f (0), s + t ≥ 0, luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 21 với f ∈ C0 Dễ dàng thấy (TB,0 (t))t≥0 liên tục mạnh Ta kí hiệu tốn tử sinh GB,0 Ta có tính chất GB,0 (TB,0 (t))t≥0 lấy từ [19, Mệnh đề 2.8] Mệnh đề 2.2.7 Các khẳng định sau thỏa mãn (i) Toán tử sinh (TB,0 (t))t≥0 cho D(GB,0 ) := {f ∈ D(G) : f (0) ∈ D(B) (G(f ))(0) = Bf (0)}, GB,0 f := Gf với f ∈ D(GB,0 ) (ii) Tập {λ ∈ ρ(B) : Reλ > ω(U)} ⊂ ρ(GB,0 ) Hơn nữa, với λ thuộc tập này, giải thức R(λ, GB,0 ) cho Z λt [R(λ, GB,0 )f ](t) = e U (t, 0)R(λ, B)f (0) + eλ(t−ξ) U (t, ξ)f (ξ)dξ t với f ∈ C0 , t ≤ (2.7) (iii) Nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 thỏa mãn kTB,0 (t)k ≤ Keωt , t ≥ 0, (2.8) với số K = M H ω := max{ω1 , ω2 }, số M, H, ω1 , ω2 xuất Định nghĩa 2.2.1 Giả thiết 2.2.5 Sau đây, ta sử dụng toán tử sai phân toán tử trễ tương ứng F, Φ ∈ L(C0 , X) để xác định hạn chế toán tử G từ Định nghĩa 2.2.2 Định nghĩa 2.2.8 Toán tử GB,F,Φ xác định GB,F,Φ f := Gf miền xác định D(GB,F,Φ ) := {f ∈ D(G) : F f ∈ D(B) F (Gf ) = BF f + Φf(2.9) } Ta viết F dạng F ϕ := ϕ(0) − Ψϕ, ϕ ∈ C0 , (2.10) luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 22 với tốn tử tuyến tính bị chặn Ψ : C0 → X Miền xác định GB,F,Φ viết D(GB,F,Φ ) = {f ∈ D(G) : f (0) − Ψf ∈ D(B) [Gf ](0) = B(f (0) − Ψf ) + Φf + ΨGf } Nếu toán tử Ψ "nhỏ", ta chứng minh R(λ, GB,F,Φ ) thỏa mãn ước lượng Hille-Yosida, suy GB,F,Φ sinh nửa nhóm liên tục mạnh (xem [18, Chương 4]) Tiếp theo, ta nhắc lại kết tính đặt chỉnh hệ phương trình (2.2) (2.3) định lý sau Định lí 2.2.9 [18, Định lý 4.2 Hệ 4.3, Hệ 4.6] Cho toán tử Ψ thỏa mãn kΨk < H1 (với số H Định nghĩa 2.2.1), toán tử eλ : X → C0 xác định [eλ x](t) := eλt U (t, 0)x với t ≤ 0, x ∈ X Reλ > ω(U) Khi đó, ta có khẳng định sau: KkΦk (với số ω1 K (i) λ ∈ ρ(GB,F,Φ ), ∀λ > ω1 + 1−HkΨk Mệnh đề 2.2.7), ta có R(λ, GB,F,Φ )f = eλ [ΨR(λ, GB,F,Φ ) + R(λ, B)(ΦR(λ, GB,F,Φ ) − Ψ)]f +R(λ, GB,0 )f với f ∈ C0 (2.11) (ii) Tốn tử GB,F,Φ sinh nửa nhóm liên tục mạnh (TB,F,Φ (t))t≥0 C0 (iii) Hệ phương trình (2.2) (2.3) đặt chỉnh Một cách xác, với ϕ ∈ D(GB,F,Φ ) tồn nghiệm cổ điển u(t, ·, ϕ) (2.2) cho u(t, ·, ϕ) = TB,F,Φ (t)ϕ thỏa mãn phương trình (2.3) theo nghĩa đủ tốt, tức nghiệm thỏa mãn u(t, s, ϕ) = U (s, τ )u(t, τ, ϕ) Z τ ∂ + U (s, ξ) u(t, ξ, ϕ)dξ ∂t s ∀t ≥ ≥ τ ≥ s luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 23 công thức biến thiên số phương trình (2.3) Hơn nữa, với dãy (ϕn )n∈N ⊂ D(GB,F,Φ ) thỏa mãn limn→∞ ϕn = 0, ta có lim u(t, ·, ϕn ) = n→∞ đoạn compact luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 24 Chương Nhị phân mũ 3.1 Phổ tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm Sau thiết lập tính đặt chỉnh phương trình (2.3), ta xét tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 Trước hết ta tính tốn phổ nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 C0 tốn tử sinh Điều sử dụng để chứng minh tính nhị phân mũ nửa nhóm (TB,F,Φ (t))t≥0 với nhiễu nhỏ tốn tử trễ Φ Ta tính (TB,0 (t))t≥0 với hạn chế lên không gian C00 := {f ∈ C0 : f (0) = 0} Bổ đề 3.1.1 ([19, Bổ đề 4.1]) Cho nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 C0 xác định Định nghĩa 2.2.6 với toán tử sinh GB,0 Kí hiệu (T0 (t))t≥0 hạn chế (TB,0 (t))t≥0 lên không gian C00 G0 tốn tử sinh Khi đó, ta có: (i) σ(TB,0 (t)) ⊆ σ(T0 (t)) ∪ σ(etB ), t ≥ (3.1) σ(GB,0 ) ∪ σ(B) = σ(G0 ) ∪ σ(B) (3.2) (ii) Trong [30, Hệ 2.4] nửa nhóm (T0 (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh Xạ Phổ mà nữa, ta có σ(G0 ) = {λ ∈ C : Reλ ≤ ω(U)} σ(T0 (t))\{0} = etσ(G0 ) , ∀t > (3.3) luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 25 Theo Bổ đề 3.1.1, ta có định lý sau Định lí 3.1.2 [19, Định lý 4.2] Cho toán tử G0 xác định Bổ đề 3.1.1 Khi [σ(TB,0 )(t) ∪ σ(etB )]\{0} = [etσ(G0 ) ∪ σ(e{tB )]\{0}, t ≥ (3.4) Bổ đề 3.1.3 Nếu nửa nhóm (T (t))t≥0 có tốn tử sinh A ổn định mũ Rs tốn tử −A(t) = a(t)A sinh họ tiến hóa lùi T ( t a(τ )dτ ) ổn định mũ Chứng minh Do (T (t))t≥0 bị chặn mũ nên tồn H ≥ 1, γ > cho Rs kT (t)k ≤ He−γt Ta có kT ( t a(τ )dτ )k ≤ He−γγ1 t với t ≤ s ≤ Rs Khi cận tăng T ( t a(τ )dτ ) ω = −γγ1 < nên họ tiến hóa lùi Rs T ( t a(τ )dτ ) ổn định mũ Sử dụng đặc tính phổ cho nửa nhóm có nhị phân mũ (xem [12, Định lý V.1.15]), ta có hệ sau Hệ 3.1.4 Nếu toán tử (B, D(B)) sinh nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 nửa nhóm (T (t))t≥0 sinh A ổn định mũ, nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 có nhị phân mũ Chứng minh Do (T (t))t≥0 ổn định mũ nên theo Bổ đề 3.1.5 U ổn định mũ đều, ta có ω(U) < 0, nên s(G0 ) < (3.3) Do đó, σ(G0 ) ∩ iR = ∅ Do tính nhị phân mũ (etB )t≥0 , ta có (etσ(G0 ) ∪ σ(etB )) ∩ eiR = ∅ Tính nhị phân mũ (TB,0 (t))t≥0 suy từ (3.4) Định lý V.1.15 [12] Mục đích phần tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 với điều kiện (etB )t≥0 có nhị phân mũ tốn tử trễ Φ có chuẩn đủ nhỏ Vì vậy, ta sử dụng đặc trưng nhị phân mũ nửa nhóm (xem [32, Định lý 2.6.2]) Bổ đề 3.1.5 Nếu toán tử A sinh nửa nhóm ổn định mũ tốn tử (B, D(B)) sinh nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 Khi đó, kΨk < 1/K1 với K1 xác định (3.6), kΦk đủ nhỏ, tồn giải mở Σ chứa trục ảo hàm Hλ giải tích bị chặn Σ cho R(λ, GB,F,Φ ) = Hλ [R(λ, GB,0 ) − eλ R(λ, B)Ψ] với λ ∈ Σ (3.5) luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 26 Chứng minh Theo [29, Định lý 4.1] tính nhị phân mũ (etB )t≥0 ta có, tồn số dương P1 , ν cho kR(λ, B)k ≤ P1 , ∀|Reλ| < ν Do U ổn định mũ nên tồn số ω1 > K1 > cho kU (t, s)k < K1 e−ω1 (s−t) , ∀t ≤ s ≤ (3.6) Cho ω số thực thỏa mãn < ω < min{ω1 , ν} Đặt Σ := {λ ∈ C : |Reλ| < ν} P := sup kR(λ, B)k (3.7) λ∈Σ Ta kiểm tra với f ∈ E λ ∈ Σ phương trình u = eλ Ψu + R(λ, B)Φu − eλ R(λ, B)Ψf + R(λ, GB,0 )f có nghiệm u ∈ C0 Thật vậy, gọi Mλ : C0 → C0 tốn tử tuyến tính xác định Mλ := eλ (Ψ + R(λ, B)Φ) với eλ Định lý 2.2.9 Với λ ∈ Σ ta có − K1 kΨk kMλ k ≤ K1 (kΨk + P kΦk) < kΦk < P K1 Do đó, toán tử I − Mλ khả nghịch, phương trình u = eλ Ψu + R(λ, B)Φu − eλ R(λ, B)Ψf + R(λ, GB,0 )f có nghiệm u = (I −Mλ )−1 [R(λ, GB,0 )f −eλ R(λ, B)Ψf ] Đặt Hλ := (I −Mλ )−1 , ta thu R(λ, GB,F,Φ ) = Hλ [R(λ, GB,0 ) − eλ R(λ, B)Ψ] Từ −1 Hλ = (I − Mλ ) = ∞ X Mλn (3.8) n=0 suy kHλ k ≤ ∞ X kMλ kn n=0 ≤ ∞ X [K1 (kΨk + P kΦk)]n n=0 = 1 − K1 kΨk ∀λ ∈ Σ, kΦk < − K1 (kΨk + P kΦk) P K1 luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 27 Từ kMλn k ≤ [K1 (kΨk+P kΦk)]n , ∀λ ∈ Σ chuỗi ∞ P [K1 (kΨk+P kΦk)]n n=0 1−K1 kΨk kΨk hội tụ với kΦk < 1−K chuỗi Neumann P K1 , ta có kΦk < P K1 (3.8) hội tụ với λ ∈ Σ Do đó, với tính giải tích Mλ , suy tính giải tích Hλ Sử dụng hệ thức (3.5) biểu diễn giải thức thu tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 định lý sau Định lí 3.1.6 Giả sử giả thiết Định lý 2.2.9 thỏa mãn Nửa nhóm sinh A ổn định mũ (B, D(B)) toán tử sinh C0 nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 , chuẩn toán tử Ψ thỏa mãn kΨk < K11 Khi đó, chuẩn tốn tử trễ Φ đủ nhỏ nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 có nhị phân mũ Chứng minh Theo Hệ 3.1.4, nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 có nhị phân NP −1 P n [R(iω + mũ Ta chứng minh rằng, kΦk đủ nhỏ tổng N n=0 k=−n ik, GB,F,Φ )] bị chặn L(C0 ) Thật vậy, theo Bổ đề 3.1.5, ta có N −1 n X X R(iω + ik, GB,F,Φ )f (s) N n=0 = k=−n N −1 X n X N (1 + Miω+ik + Miω+ik + ) R(iω + ik, GB,0 ) n=0 k=−n − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f (s) N −1 n X X = R(iω + ik, GB,0 ) − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f (s)+ N n=0 + N k=−n N −1 X n X e(iω+ik)s U (s, 0)(Ψ + R(iω + ik, B)Φ){ R(iω + ik, GB,0 ) n=0 k=−n − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f }(s) + (3.9) với s ∈ R− Chú ý rằng, nửa nhóm(TB,0 )t≥0 có nhị phân mũ, nên e−2πiω ∈ ρ(TB,0 (2π)) với ω ∈ R Sử dụng công thức (xem [12, Bổ đề II.1.9]) Z t −λt R(λ, GB,0 )(1 − e TB,0 (t)) = e−λs TB,0 (s)ds, λ ∈ ρ(GB,0 ) luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 28 ta thu Z 2π e−(iω+ik)t TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 dt, R(iω + ik, GB,0 ) = Z0 2π R(iω + ik, B) = e−(iω+ik)t etB (1 − e2πB )−1 dt Số hạng đầu (3.9) tính sau N −1 n X X R(iω + ik, GB,0 ) − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f N n=0 k=−n N −1 n Z X X 2π −(iω+ik)t = e TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 N n=0 k=−n − e(iω+ik) etB (1 − e2πB )−1 Ψ f dt Z 2π N −1 n X X −ikt −iωt e TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 e = N n=0 k=−n tB − e(iω+ik) e (1 − e2πB )−1 Ψ f dt Z 2π σN (t)e−iωt TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 = − e(iω+ik) etB (1 − e2πB )−1 Ψ f dt, đó, σN (t) = Từ N NP −1 n P e−ikt n=0 k=−n − cos(N t) ≥ σN (t) = N (1 − cos t) Z 2π σN (t)dt = 2π (3.10) (xem [17, Định lý 1.1]), chuẩn số hạng đầu (3.9) ước lượng −1 X n N X R(iω + ik, GB,0 ) − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f ≤ C1 kf k N n=0 k=−n (3.11) với C1 := 2π sup {k(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 k + k(1 − e2πB )−1 kkΨk} 0≤ω≤1 × sup {kTB,0 (t)k + ketB k} 0≤t≤2π luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 29 Tiếp theo, ta tính tốn số hạng thứ hai (3.9) Với s ∈ R− , ta có N −1 n X X M(iω+ik) [(R(iω + ik, GB,0 ) − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ)f ](s) N n=0 k=−n N −1 n X X (iω+ik)s = e U (s, 0)(Ψ + R(iω + ik, B)Φ) R(iω + ik, GB,0 ) N n=0 k=−n − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f (s) Z 2π N −1 n X X (iω+ik)s −(iω+ik)τ τ B 2πB −1 e U (s, 0) Ψ + e e (1 − e ) dτ Φ = N n=0 k=−n Z 2π −(iω+ik)t × e TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 − e(iω+ik) etB (1 − e2πB )−1 Ψ f (s)dt 2π Z = N −1 n X X −ik(t−s) −iω(t−s) e U (s, 0)Ψ e N n=0 k=−n −2πiω −1 tB 2πB −1 × TB,0 (t)(1 − e TB,0 (2π)) − e(iω+ik)t e (1 − e ) Ψ f (s)dt N −1 n X X −ik(t+τ −s) + e f (s)e−iω(t+τ −s) U (s, 0)eτ B N n=0 0 k=−n × (1 − e2πB )−1 Φ TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 − e(iω+ik)t etB (1 − e2πB )−1 Ψ f (s)dτ dt Z 2π −iω(t−s) = σN (t − s)e U (s, 0)Ψ TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 − e(iω+ik)t etB (1 − e2πB )−1 Ψ f (s)dt Z 2π Z 2π + σN (t + τ − s)e−iω(t+τ −s) U (s, 0)eτ B (1 − e2πB )−1 Φ 0 × TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 − e(iω+ik)t etB (1 − e2πB )−1 Ψ f (s)dτ dt Z 2π Z 2π Do đó, sử dụng (3.10), chuẩn số hạng thứ hai (3.9) ước luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 30 lượng C1 kΨk + C2 K1 kΦk kf k với C2 := 2π (1 − e2πB )−1 sup {ketB k} C1 (3.11) Bằng 0≤t≤2π quy nạp chuẩn số hạng thứ n (3.9) ước lượng C1 (kΨk + C2 K1 kΦk)n kf k P 1−kΨk n Hơn nữa, chuỗi ∞ n=0 C1 (kΨk + C2 K1 kΦk) hội tụ kΦk < C2 K1 NP −1 P n R(iω + ik, GB,F,Φ ) bị chặn Do đó, kΦk tổng N1 n=0 k=−n L(C0 ) P Tiếp theo, ta chứng minh tính hội tụ (C, 1) R(iω+ik, GB,F,Φ )f k∈Z với ω ∈ R, f ∈ C0 Điều thực cách sử dụng ý tưởng [17, Định lý 1.1] Theo [37, III.4.5], ta cần tính hội tụ khơng gian trù mật Thật vây, từ iR ⊂ ρ(GB,F,Φ ) áp dụng định lý ánh xạ phổ cho phổ dư (xem [12, Định lý IV.3.7]) ta có e−2πiω không thuộc phổ dư Rσ(TB,F,Φ ) Suy (1 − e−2πiω TB,F,Φ (2π))C0 tập trù mật C0 Xét f = (1 − e−2πiω TB,F,Φ (2π))g Khi N −1 n X X R(iω + ik, GB,F,Φ )(1 − e−2πiω TB,F,Φ (2π))g) N n=0 k=−n N −1 n Z X X 2π −(iω+ik)s e TB,F,Φ (s)gds (3.12) = N n=0 k=−n Nên e−iω TB,F,Φ (.)g hàm liên tục với hệ số Fourier Z 2π Qk = e−(iω+ik)s TB,F,Φ (s)gds 2π Do đó, theo Định lý Fejer (xem [26, Định lý I.3.1]), tổng (3.12) hội tụ N → ∞ Áp dụng Định lý 1.2.7 ta có điều cần chứng minh Lưu ý: Đối với hệ phương trình (2.2), (2.3) trường hợp F ut = u(t) Khi đó, hệ phương trình trở thành hệ phương trình vi phân có trễ với q khứ khơng ơtơnơm Kết đạt tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm (TB,Φ (t))t≥0 N T Huy (xem [19]) luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 31 3.2 Ví dụ minh họa Ta minh họa kết ví dụ sau Ví dụ 3.2.1 Xét phương trình trung tính ∂w(x, t, −1) ∂ w(x, t, 0) ∂ w(x, t, −1) ∂w(x, t, 0) −k = −k + αw(x, t, 0) 2 ∂t ∂t ∂x ∂x Z − kw(x, t, −1)) + ψ(s)w(x, t, s)ds với ≤ x ≤ π, t ≥ 0, −∞ w(0, t, s) = w(π, t, s) = 0, t ≥ ≥ s, ∂w(x, t, s) ∂w(x, t, s) ∂ w(x, t, s) = − a(s) , ∀x ∈ [0, π], t ≥ ≥ s ∂t ∂s ∂x2 (3.13) k α số thực thoả mãn |k| < 1, α > α 6= n2 ∀n ∈ N; cho hàm ψ ϕ cho ψ ∈ L1 (R− ) ϕ liên tục, hàm a(·) ∈ L1,loc (R− ) thỏa mãn a(·) ≥ γ > với số γ Ta chọn khơng gian Hilbert X := L2 [0, π] cho B : D(B) ⊂ X → X xác định B(f ) = f 00 + αf với miền xác định D(B) = H02 [0, π] := {f ∈ W 2,2 [0, π] : f (0) = f (π) = 0} Và xác định toán tử sai phân F toán tử trễ Φ sau F : C0 (R− , X) → X, F (f ) := f (0) − kf (−1) Z Φ : C0 (R− , X) → X, Φ(f ) := ψ(s)f (s)ds −∞ Rõ ràng, F Φ tốn tử tuyến tính bị chặn Hơn nữa, kΦk ≤ kψkL1 Đặt A(s) := −a(s)∆, s ≤ 0, ∆(f ) = f 00 với miền xác định D(∆) = H02 [0, π] Toán tử −A(s) sinh họ tiến hóa lùi (U (r, s))r≤s≤0 cho Rs ( r a(τ )dτ )∆ U (r, s) = e , ∀r ≤ s ≤ Ta có kU (r, s)k ≤ e− Rs r a(τ )dτ ≤ e−γ(s−r) với r ≤ s ≤ luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 32 Do đó, ta chọn số H = ω1 = −γ < với ω1 , H Định nghĩa 2.2.1 Do đó, họ tiến hóa lùi (U (r, s))r≤s≤0 ổn định mũ Hệ (3.13) viết dạng ∂ F u(t, ·) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0, ∂t ∂ ∂ (u(t, s)) = (u(t, s)) + A(s)u(t, s), t ≥ ≥ s ∂t ∂s (3.14) (3.15) với u(t, s) = w(·, t, s) Có thể thấy rằng, B tốn tử sinh nửa nhóm giải tích (etB )t≥0 (xem [12]) Từ σ(B) = {−1+α, −4+α, , −n2 +α, } α 6= n2 với n ∈ N, suy σ(B) ∩ iR = ∅ Do đó, áp dụng Định lý Ánh Xạ Phổ cho nửa nhóm giải tích thu nửa nhóm (etB )t≥0 có nhị phân mũ − |k| Định lý 3.1.6 suy rằng, kψkL1 < 2πk(1 − e2πB )−1 k sup {ketB k} 0≤t≤2π nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 hệ phương trình (3.14)và (3.15) có nhị phân mũ luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom 33 Kết luận Trong luận văn, nghiên cứu phương trình trung tính với q khứ khơng ôtônôm Bằng phương pháp nửa nhóm ta xây dựng nửa nhóm nghiệm liên tục mạnh thỏa mãn tốn Cauchy cho phương trình Sau đó, nghiên cứu tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm phương trình Đóng góp tác giả luận văn: Chỉ ví dụ cụ thể thỏa mãn điều kiện định lý 3.1.6 luan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonomluan.van.thac.si.tinh.chat.nghiem.cua.phuong.trinh.trung.tinh.voi.qua.khu.khong.otonom download by : skknchat@gmail.com