luận văn thạc sĩ phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN BÍCH LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CẢI BIÊN CHO THUẬT TỐN ĐIỂM GẦN KỀ TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN BÍCH LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CẢI BIÊN CHO THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2015 download by : skknchat@gmail.com i Mục lục Lời cảm ơn ii Danh sách ký hiệu iii Lời mở đầu 1 Một số vấn đề 1.1 Không gian Hilbert số ví dụ 1.2 Bài tốn cực tiểu phiếm hàm lồi khơng gian Hilbert 1.3 Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với tốn tử đơn điệu 11 Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật tốn điểm gần kề tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu 17 2.1 Một số bổ đề bổ trợ 17 2.2 Mô tả phương pháp 19 2.3 Sự hội tụ phương pháp 22 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bường, người tận tình bảo, định hướng, chọn đề tài truyền đạt kiến thức để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy giáo trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, đặc biệt thầy Khoa Tốn - Tin, giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu học tập Qua xin gửi lời cảm ơn Trường Cao đẳng Sư phạm Hưng Yên, tập thể lớp Cao học K7Y, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, góp ý cho tơi nhận xét quý báu Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 12 năm 2015 Tác giả Nguyễn Bích Lương luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu iii Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R không gian số thực H không gian Hilbert thực X∗ không gian đối ngẫu X domA miền hữu hiệu A D(T ) miền xác định T R(T ) miền ảnh T NC (x) nón pháp tuyến điểm x tập C Fix(S) tập điểm bất động ánh xạ S hx, yi tích vơ hướng hai vectơ x y δC (.) hàm C kxk chuẩn vectơ x xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x x := y x gán y ∀x x ∃x tồn x ∅ tập rỗng I ánh xạ đơn vị luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu Lời mở đầu Toán tử đơn điệu lĩnh vực giải tích đại nhiều nhà toán học hàng đầu giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể đến Browder F E, Rockafellar R T, Minty G J Bên cạnh kết đặc biệt có ý nghĩa mặt lý thuyết, toán tử đơn điệu cơng cụ sử dụng nhiều có hiệu lĩnh vực toán ứng dụng chẳng hạn bất đẳng thức biến phân Nó giúp ích cho việc nghiên cứu ánh xạ gradient gradient, chứng minh tồn nghiệm cho nhiều lớp toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân toán tối ưu Mục đích luận văn trình bày phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề để chứng minh dãy lặp {xn } hội tụ mạnh đến x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân hF x∗ − u, x∗ − pi ≤ Luận văn trình bày hai chương: Trong Chương chúng tơi xin trình bày khái niệm khơng gian Hilbert, số ví dụ minh họa toán cực tiểu phiếm hàm lồi khơng gian Thuật tốn điểm gần kề, khái niệm tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa phương trình với tốn tử đơn điệu trình bày chương Chương dành cho việc mô tả phương pháp hiệu chỉnh cải biên thuật toán điểm gần kề chứng minh nghiệm bất đẳng thức biến phân dựa số kết bổ trợ luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu Chương Một số vấn đề Chương nhắc lại số kiến thức giải tích hàm, giải tích lồi tốn đặt khơng chỉnh Khơng gian Hilbert số ví dụ xét mục 1.1 Mục 1.2 nhắc lại toán cực tiểu phiếm hàm lồi không gian Hilbert Trong mục 1.3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với tốn tử đơn điệu Kiến thức chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3] 1.1 Khơng gian Hilbert số ví dụ Trong mục này, tơi xin trình bày khái niệm khơng gian Hilbert số ví dụ khơng gian Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian tuyến tính trường R Một tích vơ hướng H ánh xạ h., i : X × X → R thỏa mãn điều kiện sau đây: i hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H ii hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H iii hλx, yi = λ hx, yi với x, y ∈ H; λ ∈ R iv hx, xi ≥ với x ∈ H hx, xi = x = Số hx, yi gọi tích vơ hướng hai vectơ x y Cặp (H, h·, ·i) gọi khơng gian tiền Hilbert (hay cịn gọi khơng gian Unita) luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu Từ định nghĩa ta thấy tích vơ hướng h·, ·i dạng song tuyến tính xác định dương H Khi H gọi khơng gian tiền Hilbert thực Định lí 1.1 Cho H khơng gian tiền Hilbert với x, y ∈ H, ta có bất đẳng thức sau |hx, yi|2 ≤ hx, xi hy, yi Dấu xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Hiển nhiên bất đẳng thức với y = Giả sử y 6= Với số λ, ta có hx + λy, x + λyi ≥ tức hx, xi + λ hy, xi + λ hx, yi + |λ|2 hy, yi ≥ Lấy λ = − hx, yi , ta hy, yi khx, yik2 ≥ 0, hx, xi − hy, yi từ suy bất đẳng thức cần chứng minh Định lí 1.2 Cho H khơng gian tiền Hilbert Khi kxk = hx, xi1/2 , x ∈ H xác định chuẩn H Chứng minh Từ điều kiện d) Định nghĩa 1.1 suy kxk = x = Từ a) c) suy kλxk2 = hλx, λxi = |λ|2 kxk2 , từ kλxk = |λ| kxk, với x ∈ H, λ ∈ R Với x, y ∈ H kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + hy, xi + hx, yi + kyk2 ≤ kxk2 + 2| hx, yi | + kyk2 luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu (vì hx, yi + hy, xi = 2Re hx, yi ≤ |hx, yi|) Do đó, theo bất đẳng thức Schwarz kx + yk2 ≤ kxk2 + kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 tức kx + yk ≤ kxk + kyk Như vậy, không gian tiền Hilbert không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.2 Nếu H không gian tiền Hilbert đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng gọi không gian Hilbert Sau số ví dụ khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1 Rn khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng hx, yi = Pn i=1 xi yi , đó: x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ Rn Ví dụ 1.2 Xét không gian: ( l2 = x = (xn )n ⊂ K : ∞ X ) |xn |2 < +∞ n=1 Ta biết l2 không gian Banach với chuẩn v u∞ uX x=t |xn |2 (1.1) n=1 Với x = (xn )n∈R , y = (yn )n∈R ∈ l2 , nhờ bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: ∞ X 2 x y n n ≤ kxk kyk < +∞ n=1 Dễ kiểm tra rằng: hx, yi = P∞ n=1 xn yn xác định tích vơ hướng l2 cảm sinh (1.1) Vậy l2 khơng gian Hilbert luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu Ví dụ 1.3 Cho (X, A, µ) khơng gian độ đo E ∈ A Xét không gian   Z   2 L (E, µ) = f : E → R |f | dµ < ∞   E ta biết L2 (E, µ) không gian Banach với chuẩn   12 Z kf k =  |f |2 dµ E Hơn nữa, với f, g ∈ L2 (E, µ), từ bất đẳng thc Hăolder v tớch phõn, ta cú Z |f g|dµ ≤  E Z  12   12 Z |f |2 dµ  |g|2 dµ < +∞ E E Ta dễ dàng kiểm tra hf, gi = Z f gdµ, E xác định tích vơ hướng L2 (E, µ) L2 (E, µ) khơng gian Hilbert thực 1.2 Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi không gian Hilbert Trước hết ta nhắc lại số kiến thức giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, vi phân, Định nghĩa 1.3 Một tập C ⊆ H gọi tập lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Định nghĩa 1.4 i Một tập C ⊆ H gọi nón có đỉnh ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com dt   n=0 = (∞ Xπ n=1 r = ε1 ) 21 (cn − an )2 π Như vậy, toán lại ổn định, tức kiện ban đầu an cho xấp xỉ cn với sai số nhỏ, chuỗi Fourier tương ứng sai khác không nhiều L2 [0, π] Tiếp theo, nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa toán tử đơn điệu Cho phương trình tốn tử A(x) = f0 , f0 ∈ X ∗ , (1.4) A toán tử đơn điệu h - liên tục từ không gian Hilbert X vào X ∗ , X ∗ lồi chặt có tính ES, tức X phản xạ dãy {xn } phần tử xn ∈ X hội tụ yếu X đến x kxn k → kxk cho ta {xn } hội tụ mạnh đến phần tử x Nếu A khơng có tính đơn điệu đều, tốn (1.4) nói chung tốn khơng chỉnh Giả sử (1.4) có nghiệm, tức f0 ∈ R(A) Ta kí hiệu S0 tập nghiệm phương trình Khi S0 tập đóng lồi X Xét phương trình A(x) + αU s (x − x0 ) = fδ , kfδ − f0 k ≤ δ (1.5) x0 phần tử X Phần tử giúp cho ta tìm nghiệm (1.4) theo ý muốn Ta có kết sau luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu 15 Định lí 1.5 Với α > fδ ∈ X ∗ , phương trình (1.4) có nghiệm  δ xδα Nếu α, → xδα hội tụ đến phần tử x0 ∈ S0 thỏa mãn α x0 − x0 = x − x0 (1.6) x∈S0 Nhờ kết này, ta xác định tốn tử hiệu chỉnh R(f, α), dựa vào việc giải phương trình (1.5) phụ thuộc α = α(δ) để nghiệm phương trình hội tụ đến nghiệm tốn khơng chỉnh ban đầu Chính lẽ mà phương trình (1.5) gọi phương trình hiệu chỉnh cho phương trình (1.4) Bây giờ, xét trường hợp tổng quát hơn, toán tử vế phải biết xấp xỉ, tức là, thay cho A ta biết xấp xỉ Ah thỏa mãn kAh (x) − A(x)k ≤ hg(kxk) (1.7) có tính chất A (đơn điệu h - liên tục), g(t) hàm giới nội (đưa tập giới nội vào tập giới nội) Ta có kết sau Định lí 1.6 Với α > 0, h > fδ ∈ X ∗ phương trình hiệu chỉnh Ah (x) + αI(x − x0 ) = fδ (1.8) δ h có nghiệm xηα , η = (h, δ) Nếu α, , → 0, {xηα } hội tụ đến phần α α tử x0 Nếu Ah khơng có tính chất đơn điệu, phương trình (1.8) khơng có nghiệm Do đó, O A Liskovets xây dựng nghiệm hiệu chỉnh xηα dựa vào tốn bất đẳng thức biến phân: tìm xω ∈ X cho Ah (xω ) + αU s (xω − x0 ) − fδ , x − xω + εg(kxω )k kx − xω k ≥ 0, (1.9) ∀x ∈ X, ε > h, luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu 16 ω = ω(h, δ, α, ε) Phần tử xω thỏa mãn (1.9) gọi nghiệm hiệu chỉnh toán (1.4) cho trường hợp Ah khơng đơn điệu Kết luận: Chương trình bày sơ lược không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert đồng thời đưa số ví dụ minh họa Phát biểu toán cực tiểu phiếm hàm lồi trình bày thuật tốn điểm gần kề để giải tốn tìm cực tiểu Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa toán tử đơn điệu trình bày chương làm sở cho việc nghiên cứu chương luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu 17 Chương Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu Chương nội dung luận văn trình bày phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề Mục 2.1 số bổ đề bổ trợ Mơ tả phương pháp hiệu chỉnh trình bày mục 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật tốn điểm gần kề tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu trình bày mục 2.3 Những kiến thức chương tham khảo tài liệu [4] - [11] 2.1 Một số bổ đề bổ trợ Cho H khơng gian Hilbert thực với tích h·, ·i chuẩn k·k Cho dãy {xn } H, ta viết xn * x để dãy {xn } hội tụ yếu tới x, xn → x nghĩa {xn } hội tụ mạnh đến x Một ánh xạ F gọi k - Lipschitz tồn số k dương cho kF x − F yk ≤ k kx − yk , ∀x, y ∈ H (2.1) F gọi η đơn điệu mạnh tồn số η cho hF x − F y, x − yi ≥ η kx − yk2 , ∀x, y ∈ H luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com (2.2) luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu 18 e>0 Cho A tốn tử tuyến tính giới nội H tồn số γ cho hAx, xi ≥ γe kxk2 , ∀x ∈ H (2.3) Một toán quan trọng cực tiểu phiếm hàm toàn phương tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert thực H:  x∈Fix(W )  hAx, xi − hx, bi , (2.4) b điểm bất động H Fix(W ) tập hợp điểm bất động ánh xạ không giãn W Chú ý 2.1 Từ định nghĩa A lưu ý tốn tử tuyến tính, giới nội, e - đơn điệu mạnh dương mạnh A toán tử kAk - Lipschitz γ Cho T toán tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert thực H cho S := T −1 (0) 6= Với c > 0, ta kí hiệu JcT tốn tử giải T , với JcT = (I + cT )−1 (2.5) Dễ thấy JcT tốn tử khơng giãn mạnh S = Fix(JcT ) = x ∈ Hx = JcT x Ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.1 Cho t, c > Khi đó, với x ∈ H,     t t JcT x = JtT x+ 1− JcT x c c (2.6) Để chứng minh kết chính, cần bổ đề sau Bổ đề 2.2 Cho F toán tử k - Lipschitz η - đơn điệu mạnh không gian Hilbert H với < η ≤ k < t < η/k Khi đó, S = (I − tF ) : H → H toán tử co với hệ số co τt = p − t(2η − tk ) luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu 19 Bổ đề 2.3 T tốn tử khơng giãn mạnh 2T − I không giãn Bổ đề 2.4 Cho H không gian Hilbert, C tập lồi H T : C → C ánh xạ không giãn với F ix(T ) 6= 0, {xn } dãy C hội tụ yếu đến x (I − T )xn hội tụ mạnh đến y (I −T )x = y Bổ đề 2.5 Cho {xn } {zn } dãy giới nội không gian Banach E {γn } dãy [0,1] thỏa mãn điều kiện sau < lim inf γn ≤ lim sup γn < n→∞ n→∞ (2.7) Giả sử xn+1 = γn xn + (1 − γn )zn , n ≥ lim sup(kzn+1 − zn k − n→∞ kxn+1 − xn k) ≤ Khi đó, lim kzn − xn k = n→∞ Bổ đề 2.6 Cho {sn } dãy số thực không âm thỏa mãn sn+1 ≤ (1 − λn )sn + λn δn + γn , n ≥ 0, (2.8) {λn }, {δn } {γn } thỏa mãn điều kiện sau: P (i) λn ⊂ [0, 1] ∞ n=0 λn = ∞, P (ii) lim sup δn ≤ ∞ n=0 λn δn < ∞, n→∞ P∞ (iii) γn ≥ 0(n ≥ 0), n=0 γn < ∞ Khi lim sn = n→∞ 2.2 Mô tả phương pháp Cho H không gian Hilbert thực C tập đóng, lồi, khác rỗng H giả sử F : H → H tốn tử phi tuyến tính Bài toán bất đẳng thức biến phân phát biểu sau: tìm điểm x∗ ∈ C cho hF x∗ , v − x∗ i ≥ 0, ∀v ∈ C luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com (2.9) luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu 20 Năm 1964, Stampacchia [7] đưa vào nghiên cứu bất đẳng thức biến phân Bất đẳng thức biến phân bao gồm số ngành đa dạng phương trình vi phân phần, điều khiển tối ưu, tối ưu hóa, lập phương trình tốn học, khí tài Cho T tốn tử với miền xác định D(T ) miền ảnh R(T ) H Một toán tử đa trị T : H → 2H gọi đơn điệu (2.10) hu − v, x − yi ≥ 0, với u ∈ T x, v ∈ T y đơn điệu cực đại đơn điệu đồ thị G(T ) = {(x, y) : x ∈ D(T ), y ∈ T x} (2.11) không nằm đồ thị tốn tử đơn điệu khác Một toán quan trọng lí thuyết tốn tử đơn điệu tìm điểm tập khơng điểm phát biểu sau: tìm điểm x cho x ∈ T −1 (0) T −1 (0) tập khơng điểm toán tử T Một số toán bao gồm toán quy hoạch lồi, bất đẳng thức biến phân phát biểu tìm điểm khơng tốn tử đơn điệu cực đại Phương pháp cổ điển để giải toán thuật toán điểm gần Rockafellar [5], xây dựng dãy (2.12) xn+1 = JcT (xn + en ), c > 0, JcT toán tử giải T cho JcT = (I + cT )−1 , với I ánh xạ đơn vị không gian H Nếu T −1 (0) 6= ta biết dãy tạo (2.12) hội tụ yếu tới số điểm T −1 (0) Dựa vào phương pháp prox - Tikhonov Lehdili Moudafi [4], Xu [10] xét dạng lặp hiệu chỉnh: với điểm cố định u ∈ H, xn+1 = JcTn ((1 − tn )xn + tn u + en ), n ≥ 0, luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com (2.13) luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu 21 tn ∈ (0, 1) {en } dãy sai số Khi đó, dãy lặp hội tụ mạnh đến PT −1 (0) u, với điều kiện (C1): lim tn = 0, n→∞ P (C2): ∞ n=0 ktn+1 − tn k < ∞, (C3): ≤ c ≤ cn ≤ c, P (C4): ∞ n=0 kcn+1 − cn k < ∞, P P∞ (C5): ∞ n=0 tn = ∞, n=0 |ken k| < ∞ Mới đây, Song Yang [6] loại số điều kiện chặt chẽ kết P Xu [10] Với điều kiện (C1), (C2), (C4) (hoặc ∞ n=0 k1 − cn /cn+1 k < +∞), (C5) (C3’) (C3’): < lim infcn n→∞ Họ chứng minh dãy tạo (2.13) hội tụ mạnh tới PT −1 (0) u Rất gần đây, với điều kiện (C1), (C3) (hoặc C3’), (C5) (C4’) cn = (C4’): lim − n→∞ cn+1 Wang [8] chứng minh hội tụ mạnh dãy tạo (2.13) Dễ dàng thấy điều kiện (C3’)và (C4’) yếu so với điều kiện (C3) (C4) tương ứng Chúng nhắc lại rằng: để đảm bảo hội tụ mạnh dãy lặp {xn }, có tham số hội tụ không (tn → 0) kết Xu [10], Song Yang [6] Wang [8] kết dẫn đến câu hỏi sau: Câu hỏi 1: Liệu nhận định lí hội tụ mạnh mà không cần dãy tham số {tn } hội tụ khơng? Câu hỏi 2: Chúng ta nhận dãy {xn } hội tụ mạnh đến x∗ ∈ T −1 (0) nghiệm bất đẳng thức biến phân đó? Dựa vào kết trên, xem xét phương pháp sau đây: phương pháp luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu 22 hiệu chỉnh cho thuật toán điểm gần kề Cho điểm tùy ý x0 ∈ H, zn = (I − tn F )xn + tn u + en , xn+1 = JcT zn , (2.14) n ≥ 0, F toán tử k - Lipschitz η đơn điệu mạnh H u điểm bất động H Nếu khơng có dãy tham số {tn } hội tụ không, chứng minh dãy {xn } (2.14) hội tụ mạnh đến x∗ ∈ T −1 (0), nghiệm bất đẳng thức biến phân hF x∗ − u, x∗ − pi ≤ với p ∈ T −1 (0) 2.3 Sự hội tụ phương pháp Cho F toán tử k - Lipschitz η - đơn điệu mạnh H với < η ≤ k JcT toán tử giải T Giả sử t ∈ (0, η/k ) τt = p − t(2η − tk ) ∈ (0, 1) xét ánh xạ Vt H xác định Vt x = JcT [(I − tF )x + tu], x ∈ H, (2.15) c > số cố định u ∈ H điểm bất động Dễ thấy Vt tốn tử co Từ Bổ đề 2.2, ta có kVt x − Vt yk = JcT [(I − tF )x + tu] − JcT [(I − tF )y + tu] (2.16) ≤ k(I − tF )x − (I − tF )yk ≤ τt kx − yk , với ∀x, y ∈ H Do đó, có điểm bất động nhất, kí hiệu vt nghiệm phương trình vt = JcT [(I − tF )vt + tu], vt ∈ H (2.17) Định lí 2.1 Với c > u ∈ H, cho mạch (net) {vt } tạo (2.17) Khi đó, cho t → mạch (net) {vt } hội tụ mạnh đến v S nghiệm luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu 23 bất đẳng thức biến phân hF v ∗ − u, v ∗ − pi ≤ 0, ∀p ∈ S (2.18) Chứng minh Đầu tiên chứng minh tính nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.18) Giả sử v ∗ ∈ S ve ∈ S hai nghiệm (2.18), hF v ∗ − u, v ∗ − vei ≤ 0, (2.19) hF ve − u, ve − v ∗ i ≤ (2.20) Cộng (2.19) vào (2.20) ta có hF v ∗ − F ve, v ∗ − vei ≤ (2.21) Tính đơn điệu mạnh F v ∗ = ve tính chứng minh Sau đây, chúng tơi sử dụng v ∗ ∈ S nghiệm (2.18) Tiếp theo chứng minh {vt } giới nội Lấy p ∈ S , từ (2.17) sử dụng Bổ đề 2.2, ta có: kvt − pk = JcT [(I − tF )vt + tu] − p ≤ k(I − tF )vt − (I − tF )pt (u − F p)k (2.22) ≤ τt kvt − pk + t ku − F pk , Nên kvt − pk ≤ t ku − F pk − τt (2.23) Ta thấy t = (2.24) t→0 − τt η Cho t → ∞, giả sử mà khơng tính tổng quát t < t η/k − ε, ε số dương nhỏ Khi liên tục, với − τt t ∈ [0, η/k − ε] Do đó, ta có:   η i t sup : t ∈ 0, − ε < +∞ (2.25) − τt k lim+ luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu 24 Từ (2.23) (2.25) có {vt } {F vt } giới nội Mặt khác, từ (2.17) ta có vt − J T vt = J T [(I − tF )vt + tu] − J T vt c c c ≤ k(I − tF )vt + tu − vt k (2.26) ≤ t ku − F vt k → (t → 0) Để chứng minh vt → v ∗ với p ∈ S ta sử dụng Bổ đề 2.2, ta có: kvt − pk2 = JcT [(I − tF )vt + tu] − p ≤ k(I − tF )vt − (I − tF )p + t(u − F p)k2 ≤ τt2 kvt − pk2 + t2 ku − F pk2 + 2t h(U − tF )vt − (I − tF )p, u − F pi ≤ τt kvt − pk2 + t2 ku − F pk2 + 2t hvt − p, u − F pi (2.27) + 2t2 hF p − F vt , u − F pi ≤ τ kvt − pk2 + t2 ku − F pk2 + 2t hv + t − p, u − F pi + 2t2 k kp − vt k ku − F pk ≤ τ kvt − pk2 + 2t2 M + 2t hvt − p, u − F pi , n o M = max |u − F p| , 2k |p − vt | |u − F p| Do 2t 2t2 kvt − pk ≤ M+ hvt − p, u − F pi (2.28) − τt − τt   p t Từ τt = − t(2η − tk ), ta có lim = Ngoài ra, vt → p, t→0 − τt ta có lim((2t/(1 − τt )) hvt − p, u − F pi) = t→0 Do {vt } giới nội, thấy {tn } dãy (0, η/k − ε] cho tn → vtn → ve, kết hợp với (2.28) ta có vtn → ve Ngoài ra, từ (2.26) sử dụng Bổ đề 2.4, ta có ve ∈ S Tiếp theo chứng minh ve nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.18) luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu 25 Từ (2.17) p ∈ S , ta có kvt − pk2 ≤ k(I − tF )vt + tu − pk2 = kvt − pk2 + t2 ku − F vt k2 + 2t hvt − p, u − F vt i , (2.29) Có nghĩa hF vt − u, vt − pi ≤ t ku − F vt k2 (2.30) Bây thay t (2.30) tn cho n → ∞, ta có: hF ve − u, ve − pi ≤ (2.31) Khi ve ∈ S nghiệm (2.18) ve = v ∗ tính v ∗ Tóm lại, điểm tụ mạch {vt } (tại t → 0) v ∗ Vì vt → v ∗ t → Giả sử F = A Định lí 2.1, có kết sau Hệ 2.1 Với c > u ∈ H Cho A tốn tử tuyến tính, giới nội, e ≤ kAk Với t ∈ (0, γ e/ kAk2 ), giả sử dương, mạnh với hệ số < γ mạch {vt } tạo vt = JcT [(I − tA)vt + tu] Khi đó, cho t → mạch (net) {vt } hội tụ mạnh đến v ∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân hAv ∗ − u, v ∗ − pi ≤ 0, ∀p ∈ S (2.32) Giả sử F = I v ∗ = Ps u Định lí 2.1, ta có kết sau Hệ 2.2 Với c > u ∈ H Cho t ∈ (0, 1), mạch (net) {vt } tạo vt = JcT [(1 − t)vt + tu] Khi đó, cho t → 0, {vt } hội tụ mạnh đến hình chiếu điểm u lên S Ngoài ra, giới hạn đạt c > Kết cho định lí hội tụ mạnh Thuật toán 2.14 với điều kiện yếu dãy {tn } luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu 26 Định lí 2.2 Cho T tốn tử tuyến tính cực đại không gian Hilbert H với S 6= ∅ Giả sử F toán tử k - Lipschitz η - đơn điệu mạnh với < η ≤ k Cho {tn } dãy (0,1), (cn ) dãy (0, ∞) ε số dương nhỏ tùy ý Giả sử điều kiện (C1’), (C3’), (C4’), (C5’) cố định {tn }, (cn ), (en ) (C1’): < tn ≤ η/k − ε với n ≥ n0 , với số nguyên n0 ≥ Cho điểm tùy ý x0 ∈ H, dãy xn tạo (2.14) cho zn → x∗ ↔ tn (u − F xn ) → 0(n → ∞), (2.33) x∗ ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân hF x∗ − u, x∗ − pi ≤ 0, ∀p ∈ S (2.34) Chứng minh Một mặt giả sử tn (u − F xn ) → (n → ∞) Chúng tiến hành bước sau Bước Chúng cho {xn } bị giới nội Thật vậy, lấy p ∈ S , từ (2.14) (C1’) sử dụng Bổ đề 2.5, ta có kxn+1 − pk = JcTn zn − p ≤ k(I − tn F )xn + tn u + en − pk ≤ k(I − tn F )xn − (I − tn F )p + tn (u − F p) + en k ≤ τtn kxn − pk + tn (u − F p) + ken k ≤ [1 − (1 − τtn )] kxn − pk tn ku − F pk + ken k + (1 − τtn ) − τtn   tn ≤ max |xn − p| , |u − F p| + ken k , − τtn với n ≥ n0 , với số nguyên n0 ≥ τtn = q − tn (2η − tn k ) ∈ (0, 1) luan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieuluan.van.thac.si.phuong.phap.hieu.chinh.cai.bien.cho.thuat.toan.diem.gan.ke.tim.khong.diem.cua.toan.tu.don.dieu download by : skknchat@gmail.com (2.35)