THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THÀNH CÔNG KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THÀNH CÔNG KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 download by : skknchat@gmail.com i Mưc lưc Líi c£m ìn Lới nõi Ưu 1 Khai thĂc kián thực Ôi số giÊi mởt số bi toĂn Hẳnh hồc 1.1 ị tững chung 1.2 Mët sè v½ dư minh håa 1.2.1 B i toĂn cỹc tr Hẳnh hồc 1.2.2 Bi toĂn qu tẵch 14 Khai thĂc kián thực Hẳnh hồc giÊi mởt số bi toĂn Ôi số 19 2.1 ị tững chung 2.2 Mët sè v½ dư minh håa 2.2.1 B i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc 2.2.2 B i to¡n biằn luên phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh cõ tham sè 2.2.3 B i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc 2.2.4 Bi toĂn cỹc tr Ôi số Kát luên TI LIU THAM KHO download by : skknchat@gmail.com 19 19 19 37 43 50 58 59 Líi cÊm ỡn Trong suốt quĂ trẳnh lm luên vôn, tổi luổn nhên ữủc sỹ ừng hở, hữợng dăn v giúp ï cõa PGS TS Trành Thanh H£i Th¦y ln quan t¥m, theo dãi s¡t sao, d nh nhi·u thíi gian ch¿ bÊo tên tẳnh, hữợng dăn v giÊi Ăp cĂc thưc mc cõa tỉi Tỉi xin b y tä láng bi¸t ìn chƠn thnh v sƠu sưc nhĐt án ThƯy Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn án cĂc ThƯy, Cổ khoa ToĂn Tin v o TÔo cừa trữớng Ôi Hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản cụng nhữ cĂc ThƯy Cổ tham gia giÊng dÔy khõa hồc cao hồc 2017 2019  tên tẳnh ch bÊo truyÃn Ôt ki¸n thùc st thíi gian theo håc, thüc hi»n v hon thnh luên vôn Cuối cũng, tổi xin gỷi lới cĂm ỡn tợi gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp  luổn ởng viản, giúp ù, l chộ dỹa vỳng chưc và vêt chĐt v tinh thƯn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v hon thiằn luên vôn thÔc s ThĂi Nguyản, thĂng 10 nôm 2019 TĂc giÊ Nguy¹n Th nh Cỉng download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi Líi nõi Ưu Lỵ chồn à ti Hẳnh hồc v Ôi số l hai nởi dung quan trồng xuyản suốt chữỡng trẳnh toĂn THCS - THPT gõp phƯn cĐu th nh n¶n bë mỉn To¡n håc Do â, vi»c nghi¶n cùu khai th¡c mèi quan h» giúa H¼nh håc v Ôi số l mởt vĐn à rĐt Ăng quan tƠm ỗng thới thổng qua õ, cho ta cĂi nhẳn têng thº hìn, gâp ph¦n gióp chóng ta hiºu rã hỡn và ToĂn hồc cụng nhữ giúp ẵch cho viằc dÔy v hồc bở mổn ToĂn hồc Hiằn nay, nÃn giĂo dửc tiản tián cừa cĂc nữợc phĂt trin trản thá giợi rĐt quan tƠm trồng viằc dÔy v hồc liản mổn: giỳa cĂc mổn vợi v giỳa c¡c ph¥n mỉn cịng mët mỉn håc N·n gi¡o dửc cừa Viằt Nam khổng nơm ngoi xu hữợng cừa thới Ôi,  v ang dƯn chuyn mẳnh tiáp cên hồc họi, sĂng tÔo v ựng dửng xu hữợng dÔy hồc ny Chữỡng trẳnh ToĂn trữớng THCS - THPT hi»n nay, bë mæn To¡n chùa hai m£ng rã r»t: phƯn l Ôi số, phƯn l Hẳnh hồc i·u n y câ m°t t½ch cüc l gióp håc sinh nhên biát ữủc cĐu trúc chữỡng trẳnh v tiáp thu kián thực mởt cĂch cõ hằ thống Những ngữủc lÔi, nõ lm cho hồc sinh hiu rơng Ơy l hai phƠn mổn ởc lêp vợi nhau, khổng cõ mối quan hằ tữỡng trủ qua lÔi, cụng nhữ viằc gưn kát hai phƠn mổn ny sĂch giĂo khoa THCS- THPT l chữa ữủc à cêp ró rng Ưy ừ Thỹc tá quĂ trẳnh dÔy v hồc  chựng minh rơng, hồc sinh hiu biát và mối quan hằ Hẳnh hồc v Ôi số khĂ mỡ hỗ v gƯn nhữ hiu Ơy l phƠn mổn riảng biằt, gõp phƯn tÔo nản mổn ToĂn hồc CĂc em hồc phƠn mổn no thẳ hồc v lm bi têp phƠn mổn õ, cụng nhữ giĂo viản dÔy hồc theo tiát mổn Hẳnh hồc thẳ chuyản lm bi và Hẳnh hồc, Ôi số thẳ chuyản lm bi và Ôi số, ẵt hoc khổng hoc chữa trồng à cêp án sỹ liản kát giỳa Hẳnh hồc v Ôi số giÊng dÔy cụng nhữ giÊi bi têp download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi Thổng qua tẳm hiu thỹc tá, tổi thĐy rơng vi»c khai th¡c mèi quan h» giúa hai ph¥n mỉn Hẳnh hồc v Ôi số s gõp phƯn quan trồng gióp c¡c em hiºu bi¸t hìn v· bë mỉn To¡n håc, cơng nh÷ trđ gióp c¡c em ỉn thi v thi håc sinh häi c§p THCS - THPT câ c¡i nhẳn mợi, hữợng i mợi, cĂch tiáp cên lới giÊi mợi, phong phú hỡn quĂ trẳnh ổn luyằn v thi mổn ToĂn Vẳ nhỳng lỵ trản, tổi quyát ành chån · t i: "Khai th¡c mèi quan h» H¼nh hồc - Ôi số vo giÊi mởt số bi toĂn d nh cho håc sinh giäi" Thỉng qua nghi¶n cùu nhä ny, tổi mong rơng mẳnh s gõp phƯn lm ró hỡn mối quan hằ giỳa hai phƠn mổn Hẳnh hồc v Ôi số, mối quan hằ tữỡng trủ lăn quĂ trẳnh giÊng dÔy v hồc ToĂn cừa bÊn thƠn THCS Mửc ẵch, nhiằm vử cừa luên vôn Mửc ẵch cừa luên vôn ny l khai thĂc mối quan hằ giỳa Hẳnh hồc v Ôi số gõp phƯn tiáp cên hữợng giÊi toĂn mợi cừa bi toĂn bơng ữớng vên dửng tẵnh chĐt Ôi số giÊi bi toĂn Hẳnh hồc v ngữủc lÔi giÊi cĂc bi toĂn Hẳnh hồc vợi cổng cử Ôi số thổng qua vi»c gi£i mët sè b i to¡n d nh cho håc sinh giäi, l · thi chån håc sinh giäi c¡c tnh, ton quốc v khu vỹc Luên vôn têp trung vo hon thnh cĂc nhiằm vử chẵnh sau: ã ị tững khai thĂc cĂc tẵnh chĐt, cổng cử cừa Ôi số giÊi bi toĂn Hẳnh hồc v ngữủc lÔi ã Sữu tƯm mởt bi toĂn, à thi và Ôi số, Hẳnh hồc dnh cho hồc sinh giọi ã ữa lới giÊi bơng cĂch vên dửng tẵnh chĐt, cổng cử cừa Ôi số giÊi mởt số bi toĂn Hẳnh hồc v ngữủc lÔi khai thĂc cĂc tẵnh chĐt, phữỡng phĂp Hẳnh hồc giÊi cĂc bi toĂn Ôi sè d nh cho håc sinh giäi Nëi dung cõa à ti luên vôn Nởi dung luên vôn ngoi phƯn m Ưu, kát luên, ti liằu tham khÊo s gỗm chữỡng: Chữỡng 1: Trẳnh by phữỡng phĂp khai thĂc kián thực Ôi số giÊi mởt số bi toĂn Hẳnh hồc Chữỡng 2: Trẳnh by phữỡng phĂp khai thĂc kián thực Hẳnh hồc giÊi mởt số bi toĂn Ôi số download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi Chữỡng Khai thĂc kián thực Ôi số giÊi mởt số bi toĂn Hẳnh hồc 1.1 ị tững chung Nởi dung chữỡng minh hồa ỵ tững vên dửng cĂc tẵnh chĐt, nh lỵ, cổng cử Ôi số qu¡ tr¼nh t¼m líi gi£i cho mët sè b i toĂn Hẳnh hồc bơng cĂch ữa mởt số vẵ dử sỷ dửng kián thực Ôi số ữa líi gi£i cho mët sè b i to¡n chån låc d nh cho håc sinh giäi, l · thi chån håc sinh giäi c¡c àa ph÷ìng, to n qc cơng nh÷ · thi chån håc sinh giäi khu vüc Ch¥u - Th¡i Bẳnh Dữỡng v mởt số nữợc khu vỹc ổng u Mởt nhỳng khƠu quan trồng ân nhỳng vẵ dử l viằc bián ối bi toĂn ban Ưu chóng bëc lë nhúng iºm câ thº vªn dưng c¡c tẵnh chĐt cừa Ôi số giÊi quyát vĐn Ã, cõ th tÔm gồi Ơy l quĂ trẳnh " Ôi số hâa b i to¡n h¼nh håc" , sau â l qu¡ trẳnh sỷ dửng cổng cử Ôi số phĂt biu bi toĂn Hẳnh hồc ban Ưu 1.2 Mởt số vẵ dư minh håa 1.2.1 B i to¡n cüc trà H¼nh håc XuĐt phĂt tứ bĐt ng thực (B T) Ôi số rĐt quen thuởc sau Ơy B T Vợi cĂc số d÷ìng a, b, c câ 1 + + (a + b + c) a b c ≥ download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = c Líi gi£i 1 (a + b + c) + + a b c a a b b c c −9=1+ + + +1+ + + +1−9 b c a c a b a b b c c a = + −2 + + −2 + + −2 b a c b a c 2 (a − b) (b − c) (c − a) = + + ≥ ab bc ac ¯ng thùc x£y v ch¿ a − b = b − c = c − a = ⇔ a = b = c B T Vợi cĂc số dữỡng a, b, c câ b c a + + ≥ b+c c+a a+b ¯ng thùc x£y v ch¿ a = b = c Líi gi£i p döng B T ta câ a b c +1 + +1 + +1 −3 b+c c+a a+b 1 = (a + b + c) + + −3 b+c c+a a+b 1 1 = [(b + c) + (c + a) + (a + b)] + + −3 b+c c+a a+b ≥ −3= 2 b c a + + = b+c c+a a+b ¯ng thùc x£y b + c = c + a = a + b ⇔ a = b = c Cõ th vên dửng hai bĐt ng thực trản vo giÊi v sĂng tÔo cĂc bi toĂn chựa bĐt ng thực Hẳnh hồc hoc tẳm cỹc tr Hẳnh hồc Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa ữủc trẵch dăn tứ TÔp chẵ ToĂn Hồc v Tuêi Tr´ v c¡c t i li»u tham kh£o B i to¡n 1.2.1.1 Cho tam giĂc Ãu ABC cõ cÔnh bơng a Gồi ữớng vuổng gõc tứ im M nơm tam giĂc án cĂc cÔnh BC, CA, AB lƯn lữủt l M D, M E, M F X¡c ành tr½ cõa M º: 1 a) + + Ôt giĂ tr nhọ nhĐt Tẵnh giĂ tr õ MD ME MF 1 b) + + Ôt giĂ tr nhọ nhĐt Tẵnh giĂ MD + ME ME + MF MF + MD trà â download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi Líi gi£i H¼nh √ a Gåi h = l ë d i ÷íng cao cõa tam gi¡c ·u ABC v °t M D = x, M E = y, M F = z Ta câ SABC = SM BC + SM AC + SM AB ⇔ ah = ax + ay + az ⇔ x + y + z = h khæng êi a) p döng B T ta câ 1 + + (x + y + z) x y z √ 1 ≥9⇒ + + ≥ = x y z h a b) p döng B T ta câ 1 (x + y + y + z + z + x) + + ≥9 x+y y+z z+x √ 1 3 ⇔ + + ≥ = x+y y+z z+x 2h a Trong c£ hai tr÷íng hñp ¯ng thùc x£y v ch¿ x = y = z , lóc â M l t¥m ữớng trỏn nởi tiáp ABC Bi toĂn 1.2.1.2 Gồi H l trüc t¥m tam gi¡c ABC câ ba gâc nhồn vợi ba ữớng cao AA1 ; BB1 ; CC1 Chùng minh r¬ng a) AA1 BB1 CC1 + + ≥9 HA1 HB1 HC1 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi b) HA1 HB1 HC1 + + ≥ HA HB HC ¯ng thùc x£y n o? Líi giÊi Hẳnh Gồi diằn tẵch tam giĂc ABC, HBC, HAC, HAB lƯn lữủt l S, S1 , S2 , S3 th¼ S = S1 + S2 + S3 a) Dạ thĐy S1 HB1 S2 HC1 S3 HA1 = ; = ; = AA1 S BB1 S CC1 S Do â HA1 HB1 HC1 + + = AA1 BB1 CC1 p dưng B T ÷đc AA1 BB1 CC1 + + ≥ HA1 HB1 HC1 ¯ng thùc x£y v ch¿ HA1 HB1 HC1 = = = AA1 BB1 CC1 S , lóc â H vøa l trüc t¥m, vøa l trång tƠm cừa tam giĂc ABC nản ABC l tam giĂc ·u ⇔ S1 = S2 = S3 = download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 27 H¼nh √ − Ta câ cos 75◦ = cos(45◦ + 35◦ ) = nản theo nh lỵ cosin thẳ r q √ AC = a − − 3ac + c2 p Rã r ng AB + BC ≥ AC n¶n suy i·u ph£i chùng minh D§u ¯ng thùc x£y v ch¿ A; B; C th¯ng h ng, tùc l ⇔ SOAB + SOBC = SOAC ! p p √ √ √ ab bc ac + ac 2+ √ + = arcsin 75 = ⇔b= 4 a 2+c (1) Vêy (1) l iÃu kiằn cõ dĐu bơng bĐt ng thực  cho Bi toĂn 2.2.1.7 Cho a1; a2; an l n sè thüc b§t ký Chùng minh r¬ng √ q q q p n 2 2 a1 + (1 − a2 )2 + a2 + (1 − a3 )2 + + an−1 + (1 − an )2 + a2n + (1 − a1 )2 ≥ Líi gi£i download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 28 Hẳnh 10 Trữớng hủp Náu n chđn XƠy dỹng cĂc oÔn A1 A2 = A2 A3 = A3 A4 = = An An+1 = An+1 An+2 = (xem hẳnh v, Ơy ỡn giÊn ta v vợi n = 4) Trản oÔn Ai Ai+1 ( i = 1, 2, 3, , n + 1) l§y iºm Bi cho Bi Ai + = (riảng trản oÔn An+1 An+2 lĐy Bn+1 cho Bn+1 An+2 = a1 , tùc l an+1 = a1 ) Khi õ im Bi s nơm trĂi hoc dữợi im Ai+1 náu > (vẵ dử hẳnh minh hồa trản thẳ < a1 < 1, < a2 < 1, a3 > 1, a4 < 0) Theo cĂch xƠy dỹng trản thẳ Bi+1 Ai+1 = |1 − ai+1 | n¶n Bi Bi+1 = q Bi A2i+1 + Bi+1 A2i+1 = q a21 + (1 − a2i+1 ) Tứ õ vá trĂi cừa bĐt ng thực  cho l ở di ữớng gĐp khúc B1 B2 Bn Bn+1 Do n chđn nản n , n CBn+1 = A1 A2 + A3 A4 + + An−1 An = √ n Vªy tø tam gi¡c vuæng B1 CBn+1 , ta câ B1 Bn+1 = Tứ ở di ữớng gĐp khúc nèi B1 , Bn+1 , khỉng nhä hìn ë d i B1 Bn+1 ,ta suy i·u ph£i chùng minh B1 C = A2 A3 + A4 A5 + + An An+1 = Trữớng hủp Náu n l download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 29 °t a + n + = a1 , an+2 = a2 , , a2n = an Khi â ¡p dưng tr÷íng hđp 1, ta câ √ p p p 2n a21 + (1 − a2 )2 + a22 + (1 − a3 )2 + + a22n + (1 − a1 )2 ≥ hay √ q p 2n 2 2 2( a1 + (1 − a2 ) + + an + (1 − a1 ) ) ( iÃu phÊi chựng minh) Ta thĐy dĐu bơng câ v ch¿ B1 ; B2 ; ; Bn+1 th¯ng h ng i·u â x£y a1 = a3 = = an+1 = a ; a2 = a4 = = an = − a n¸u n chđn a1 = a2 = = an náu n l Bi toĂn 2.2.1.8 Chựng minh rơng náu a > c; b > c v c > th¼ p p √ c(a − c) + c(b − c) ab Lới giÊi CĂch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Ôi số) BĐt ng thực Bunyakovsky p dửng bĐt ng thùc Bunyakovsky ta câ q q√ √ √ √ √ √ √ √ √ V T = c a − c+ b − c c ≤ ( c) + ( b − c) ( a − c).( c)2 = b.a = V P √ √ √ √ c b−c = √ ⇔ c = a − c b − c D§u "=" x£y ⇔ √ c a−c ⇒ c2 = (a − c).(b − c) ⇒ c2 = ab − ac − bc + c2 ⇒ ab − ac − bc = ab ⇒ ab = (a + b).c ⇒ c = a+b C¡ch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Hẳnh hồc) Tẵnh chĐt cừa vectì √ √ √ √ √ X²t c¡c vectì ~u=( c; b − c) v ~v =( a − c; c),ta câ |~u| = b, |~v | = a Ta biát rơng hằ tồa ở Descartes vợi ~u=(x1 ; y1 ; z1 );~v =(x2 ; y2 ; z2 ) th¼ ~u.~v = |~u|.|~v |.cos(~u,~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u,~v ) ≤ 1) ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ≤ q x21 + y12 z12 q + x22 + y22 + z22 + x = λx2 D§u "=" x£y ⇔ ~u = λ~v ( λ = 0) ⇔ y1 = λy2 z = λz download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 30 p döng v o b i to¡n ta câ p p √ √ √ √ √ √ √ c a − c + b − c c ≤ b a ⇔ c(a − c) + c(b − c) ≤ ab √c = λ.√a − c ab ⇒c= D§u "=" x£y ⇔ √ √ b − c = λ c a+b B i to¡n 2.2.1.9 Gåi α, β ; γ l ba gõc tÔo bi ữớng cho cừa mởt hẳnh chỳ nhêt vợi ba cÔnh xuĐt phĂt tứ mởt nh Chùng minh r¬ng 1) cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 2) √ cos2 α + 1+ p cos2 β + 1+ p √ cos2 γ + 1≤ 21 Líi gi£i H¼nh 11 C¡ch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Ôi số) AA0 AC AB X²t ∆C BA câ : cos β = AC AD X²t ∆C DA câ : cos γ = AC X²t ∆A0 C A câ : cos α = AA02 + AB + AD2 = AC 02 2 A A + AC AC AC 02 = = = = C A2 C A2 AC 02 Do â, cos2 α + cos2 β + cos2 γ = download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 31 b) p dưng b§t ¯ng thùc Bunyakovsky ta câ: p p p V T = cos2 α + + cos2 β + + cos2 γ + p p ≤ 12 + 12 + 12 cos2 α + + cos2 β + + cos2 γ + p √ √ = 4(cos2 α + cos2 β + cos2 γ) + = 4.1 + = 21 D§u ” = ” x£y 1 √ =p =p cos2 α + cos2 β + cos2 γ + ⇒ cos α = cos β = cos γ ⇒ α = β = hẳnh hởp chỳ nhêt tr thnh hẳnh lêp phữỡng CĂch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Hẳnh hồc) 1) LĐy ữớng cho cừa hẳnh hởp chỳ nhêt lm vectỡ ỡn v ~e, ba cÔnh xuĐt phĂt tứ mët ¿nh cõa hëp l m ba trưc tåa ë th¼ cos α, cos β, cos γ l c¡c tåa ë cõa ~e â cos2 α + cos2 β + cos2 γ = |~e|2 = 2) X²t c¡c vecto p p √ ~u=( cos2 α + 1; cos2 β + 1; cos2 γ + 1) v ~u= (1; 1; 1) ta câ p √ √ |~u| = cos2 α + + cos2 β + + cos2 γ + = v |~v | = Ta biát rơng hằ tåa ë Descartes vỵi ~u=(x1 ; y1 ; z1 );~v =(x2 ; y2 ; z2 ) th¼ ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u,~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u,~v ) ≤ 1) ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ≤ q x21 + D§u "=" x£y ⇔ ~u = λ~v ( λ 6= 0) ⇔ y12 (*) z12 q + x22 + y22 + z22 + x = λx2 y1 = λy2 z = λz p döng v o b i to¡n ta câ ~u.~v ≤ |~u|.|~v | ⇐⇒ p p p √ √ √ cos2 α + 1+ cos2 β + 1+ cos2 γ + ≤ = 21 D§u ” = ” x£y p p p ⇔ cos2 α + = cos2 β + = cos2 γ + 1 ⇔ cos α = cos β = cos γ = √ download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 32 B i to¡n 2.2.1.10 Gi£i b§t phữỡng trẳnh p x + x ≥ 2(x − 3)2 + 2x − Líi gi£i √ Vỵi x ≥ x²t c¡c vectì ~u = ( x − 1; x − 3) v ~e = (1; 1) ta câ p √ |~u| = x − + (x − 3)2 v |~e| = Trong h» tåa ë Descartes ta câ ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u, ~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u, ~v ) ≤ 1) p dưng b§t ¯ng thùc (∗) v o b i to¡n ta câ √ x−1+x−3≤ p √ x − + (x − 3)2 √ p x − + x − ≤ 2(x − 3)2 + 2x − (1) p √ Do â, b§t phữỡng trẳnh x + x 2(x − 3)2 + 2x − x£y ⇔ DĐu = bĐt phữỡng trẳnh (1) xÊy √ ⇔ x − = x − x = Vêy bĐt phữỡng trẳnh  cho câ nghi»m x = ⇔ B i to¡n 2.2.1.11 Gi£i bĐt phữỡng trẳnh x+1+ 2x + √ 50 − 3x ≤ 12 Líi gi£i C¡ch√ (Sỷ dửng tẵnh chĐt Ôi số) a= x 0; b = x 3, bĐt phữỡng trẳnh ¢ cho p ⇔ a + b ≥ 2b2 + 2a2 ( a+b≥0 (1) ⇔ 2 (a + b) ≥ 2b + 2a (2) ⇒ 2ab ≥ a2 + b2 ⇒ a2 + b2 − 2ab ≤ ⇒ (a − b)2 ≤ √ ⇒a=b⇒ x−1=x−3 ( ( x−3≥0 x≥3 ⇒ ⇒ x − = (x − 3)2 x = 2; x = ⇒ x = thäa m¢n (1) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi (*) luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 33 Vêy bĐt phữỡng trẳnh  cho cõ nghi»m nh§t x = C¡ch (Sû dưng tẵnh chĐt Hẳnh hồc) 50 Têp xĂc nh vá tr¡i l ≤ x ≤ √ √ √ X²t c¡c vectì ~u = ( x + 1; 2x − 3; 50 − 3x) v ~v = (1; 1; 1) √ √ √ Ta câ |~u| = 48 = v |~v | = Trong h» tåa ë Descartes ta câ ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u, ~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u, ~v ) ≤ 1) p dưng b§t ¯ng thùc (*) v o b i to¡n ta câ √ √ √ √ √ x + + 2x − + 50 − 3x ≤ 3 = 12 (*) D§u ” = ” x£y √ √ √ 50 ≤x≤ 3 50 Vêy bĐt phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm ≤ x ≤ ⇔ x+1= 2x − = 50 − 3x ⇔ B i to¡n 2.2.1.12 Cho α, β , γ l ba gâc d÷ìng câ α + β + γ = π2 T¼m gi¡ trà lợn nhĐt cừa p p p g = + tan α tan β + + tan β tan γ + + tan γ tan α Líi gi£i: π π ⇔ α + β = − γ 2 π Ta câ tan(α + β) = tan( − γ) hay Tø α + β + γ = tan α + tan β = ⇒ tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = 1 − tan α tan β tan γ X²t c¡c vectì p p p ~u = ( + tan α tan β; + tan β tan γ; + tan γ tan α) v ~v = (1; 1; 1), ta câ |~u| = 2; |~v | = √ Trong h» tåa ë Descartes ta câ ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u, ~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u, ~v ) ≤ 1) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi (*) luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 34 p dưng b§t ¯ng thùc (*) v o b i to¡n ta câ p p √ + tan β tan γ + + tan γ tan α ≤ π D§u ” = ” x£y ⇔ tan α = tan β = tan γ ⇔ α = β = γ = Vêy biu thực g Ôt giĂ tr lợn nhĐt bơng 3, Ôt ữủc = β = γ = g= p + tan α tan β + B i to¡n 2.2.1.13 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sin x+ p p − sin2 x + sin x − sin2 x = (3) Líi giÊi CĂch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Ôi số) p °t t = sin x + − sin2 x p dưng b§t ¯ng thùc Bunyakovsky ta câ q p p 2 |t| = |1 sin x + − sin x| ≤ (1 + ) (sin2 x + − sin2 x) = ⇒ t LÔi cõ p t = sin x + sin x − sin2 x + − sin2 x p = + sin x − sin2 x p t2 − ⇒ sin x − sin2 x = 2 Phữỡng trẳnh  cho tr thnh t+ t2 − =3 ⇒ t2 + 2t − = ⇒ (t − 2)(t + 4) = Suy t = 2(nhên) hoc t = (loÔi) p Vỵi t = ⇒ sin x + − sin2 x = p ⇒ − sin2 x = − sin x ⇒ − sin2 x = − sin x + sin2 x ⇒ sin2 x − sin x + = ⇒ (sin x − 1)2 = π ⇒ sin x = ⇒ x = + k2π(k ∈ Z) CĂch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Hẳnh hồc) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 35 X²t ~u = (sin x; 1; p − sin2 x) v ~v = (1; √ Ta câ |~u| = |~v | = p − sin2 x; sin x) Ta bi¸t rơng hằ tồa ở Descartes vợi ~u=(x1 ; y1 ; z1 );~v =(x2 ; y2 ; z2 ) th¼ |~u.~v | = ||~u|.|~v | cos(~u, ~v )| ≤ |~u|.|~v |(do cos(~u, ~v ) ≤ 1).(∗) q q 2 ⇔ |x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 | ≤ x1 + y1 + z1 + x22 + y22 + z22 x1 = λx2 D§u "=" x£y ⇔ ~u = λ~v ( λ 6= 0) ⇔ y1 = λy2 z = λz p döng v o b i to¡n ta câ p p √ √ + sin2 x + sin x − sin2 x| ≤ 3 = sin x = λ p D§u "=" x£y ⇔ = λ − sin2 x p − sin2 x = λ sin x | sin x + π + 2kπ(k ∈ Z) Chùng minh r¬ng h» sau ¥y vỉ nghi»m x4 + y + z = x2 + y + 2z = √7 ⇒ λ = v sin x = ⇒ x = B i to¡n 2.2.1.14 Líi gi£i X²t c¡c vectì ~u = (x2 ; y ; z ) v ~v = (1; 1; 2) √ Ta câ |~u|=1, |~v |= √ √ Theo h» tr¶n, ta câ ~u.~v = x2 + y + 2z = v |~u|.|~v | = Do â, ~u.~v > |~u|.|~v | M h» tåa ë Descartes ta câ ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u, ~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u, ~v ) ≤ 1) Vªy hằ phữỡng trẳnh à cho l vổ nghiằm Bi toĂn 2.2.1.15 Chựng minh rơng vợi mồi tam giĂc ABC luổn câ sin A B C + sin + sin ≤ 2 2 (1) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 36 Líi gi£i Ta câ A B C + sin + sin ≤ 2 2 π A+C π A+B π B+C − + sin − + sin − ≤ ⇔ sin 2 2 2 B+C A+C A+B ⇔ cos + cos + cos ≤ 2 2 B+C A+C A+B °t = α; = β; = γ , th¼ α; ; lÔi l ba gõc cừa 2 mët tam gi¡c Khi â, ta i chùng minh cos α + cos β + cos γ ≤ vợi ; ; lÔi l ba gõc cừa mởt tam giĂc Nhữ vêy, bi toĂn lÔi quay tr v· b i to¡n 2.2.1.1 v d¹ d ng chùng minh sin nhữ trản Bi toĂn 2.2.1.16 Chựng minh vợi mồi tam gi¡c ABC v ba sè thüc x; y; z b§t ký, luæn câ x2 + y + z ≥ 2xy cos C + 2xz cos B + 2yz cos A (1) Líi gi£i Chån iºm I b§t ký m°t ph¯ng (ABC) v düng ba vectì v~1 ; v~2 ; v~3 câ ë d i ìn l¦n lữủt vuổng gõc vợi cĂc cÔnh BC; AC; AB Trong â, |v~1 | = |v~2 | = |v~3 | = ⇒ v~1 = v~2 = v~3 = p dửng tẵch vổ hữợng cho cĂc vectỡ xv~1 ; y v~2 ; z v~3 , ta ÷đc ≤ (xv~1 +y v~2 +z v~3 )2 = x2 v~1 +y v~2 +z v~32 +2(xy v~1 v~2 +yz v~2 v~3 +xz v~1 v~3 ) (2) LÔi cõ |v~1 | = |v~2 | = |v~3 | = ⇒ v~1 = v~2 = v~3 = Do â, v~1 v~2 = cos(v~1 ; v~2 ) = − cos C; v~2 v~3 = cos(v~2 ; v~3 ) = − cos A; v~1 v~3 = cos(v~1 v~3 ) = − cos B Khi â (2) t÷ìng ÷ìng ≤ (xv~1 + y v~2 + z v~3 )2 = x2 + y + z − 2(xy cos C + xz cos B + yz cos A) ⇔ x2 + y + z ≥ 2xy cos C + 2xz cos B + 2yz cos A download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 37 B i toĂn 2.2.1.17 Chựng minh rơng vợi mồi tam giĂc ABC v ba số dữỡng m, n, p tũy ỵ, luổn câ A B C mnp m sin + n sin + p sin ≤ 2 2 Líi gi£i 1 + 2+ 2 m n p (1) Bián ời vá phÊi cừa bĐt ¯ng thùc c¦n chùng minh ta câ mnp 1 1 mnp mnp mnp + + = + + 2 m2 n2 p2 m2 n p np mp mn = + + = (n2 p2 + m2 p2 + m2 n2 ) 2 m n p 2mnp Do õ, bĐt phữỡng trẳnh (1) cƯn chựng minh tữỡng ÷ìng B C A 2 2 2 m n + m p + n p ≥ 2mnp m sin + n sin + p sin 2 (10 ) °t mn = x; mp = y; np = z , b§t ¯ng thùc (1 ) trð th nh B+C A+C A+B 2 x + y + z ≥ xy cos + xz cos + yz cos 2 = 2xy cos α + 2xz cos β + 2yz cos γ Vỵi α = gi¡c A+C A+B B+C ; = ; = tÔo thnh ba gõc mởt tam 2 Nhữ vêy bi toĂn  ữủc bián ời ữa và bi toĂn 2.2.1.16, õ ta ho n to n chùng minh t÷ìng tü b i to¡n 2.2.1.16 2.2.2 Bi toĂn biằn luên phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh câ tham sè Trong thüc t¸ gi£i c¡c b i to¡n nh tẵnh và phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh cõ tham số,  ữủc lm quen vợi rĐt nhiÃu phữỡng phĂp nhữ phữỡng phĂp iÃu kiằn cƯn v ừ, tam thực bêc hai, giĂ tr lợn nhĐt v nhọ nhĐt Trong mửc ny luên vôn s giợi thiằu mởt phữỡng phĂp biằn luên cĂc phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh cõ tham số: "Phữỡng phĂp Hẳnh hồc v ỗ th" ị tững cừa phữỡng phĂp l dỹa vo cĂc c trững mang tẵnh Hẳnh hồc cừa bi toĂn nhữ phữỡng trẳnh ữớng thng, ữớng trỏn, cĂc biu diạn Hẳnh hồc cừa têp hủp nghiằm cĂc phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh m tẳm lới giÊi thẵch hủp cho bi toĂn Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa trẵch dăn tứ TÔp chẵ ToĂn Hồc v Tuời download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 38 Tr´ v c¡c t i li»u tham kh£o B i to¡n 2.2.2.1 Bi»n luªn theo m số nghiằm cừa phữỡng trẳnh sau x2 = mx + − m (1) Líi gi£i Ta biát rơng số nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1) chẵnh l sè giao √ iºm cõa ÷íng y = − x2 v y = mx + − m √ √ V¼ y = − x2 ⇔ x2 + y = 4, y ≥ 0, n¶n ỗ th cừa y = x2 l nỷa ữớng trỏn (phƯn nơm trản trửc honh) tƠm tÔi gốc tồa ở, bĂn kẵnh bơng Cỏn y = mx + − m l mët hå ÷íng th¯ng ln i qua iºm cè ành A(1; 2) vỵi måi m Ta nhên thĐy cõ hai tiáp tuyán vợi ữớng trỏn k´ tø A: ÷íng th¯ng y = song song vợi trửc honh v tiáp tuyán AD (xem hẳnh v) H¼nh 12 Gåi B(−2; 0) v C(2; 0) l hai Ưu mút cừa ữớng kẵnh BOC GiÊ sỷ m1 ; m2 ; m3 ; m4 t÷ìng ùng l c¡c h» sè gâc cõa c¡c ÷íng th¯ng [ = −2 ;m2 = − tan DCO \= AC; AD; AB; AE thẳ dng thĐy m1 = tan ACO \ = − tan(2OAE) [ = [ = −2); m3 = tan ABO [ = 2; − tan EAD (v¼ tan OAE 3 cán m4 = Tø â suy 1) Phữỡng trẳnh (1) cõ nghi»m < m ≤ ho°c −2 ≤ m < 3 2) Phữỡng trẳnh (1) cõ nghi»m m > ho°c m < −2 ho°c m = −4 ho°c m = 3) Phữỡng trẳnh (1) vổ nghiằm < m < Bi toĂn 2.2.2.2 Tẳm m bĐt phữỡng trẳnh p (4 + x)(6 x) x2 − 2x + m (1) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 39 óng vỵi måi −4 ≤ x ≤ Líi gi£i p °t y = (4 + x)(6 − x), th¼ ta câ y ≥ v (x − 1)2 + y = 25 p Vêy ỗ th cõa h m sè y = (4 + x)(6 − x) l nỷa ữớng trỏn (phƯn nơm trản trửc honh) tƠm tÔi im O1 (1; 0) v bĂn kẵnh Cỏn y = x2 − 2x + m l parabol luæn cõ cỹc tiu nơm trản ữớng x = (xem hẳnh minh hồa) Hẳnh 13 (1) úng vợi mồi −4 ≤ x ≤ 6, th¼ parabol y = x2 2x + m luổn luổn phÊi nơm trản nỷa ữớng trỏn, tực l nh parabol trản ữớng thng x = 1, phÊi nơm trản im M (1; 5) ∆ Tø â ta câ − ≥ ⇔ m − ≥ ⇔ m ≥ 4a Vêy giĂ tr cừa m cƯn tẳm l m B i to¡n 2.2.2.3 Bi»n luªn theo m sè nghi»m cừa hằ phữỡng trẳnh sau theo a x2 + y = (1) √ (ay + x)(x − a 3) = (2) Lới giÊi Dạ thĐy phữỡng trẳnh (1) biu diạn ữớng trỏn tƠm l gốc tồa ë O(0; 0), √ b¡n k½nh R = 3, cán phữỡng trẳnh (2) biu diạn bi hai dữớng thng x = a v y = − x ( náu a 6= ) Số nghiằm cừa hằ chẵnh l số giao im cừa hai a ữớng thng vợi ữớng trỏn Ta ch cƯn xt a > (vẳ a < ta cõ kát download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 40 qu£ t÷ìng tü, cán a = th¼ (2) ⇔ x = v lóc â h» câ nghi»m) √ Ta x²t xem n o x = a 3, y = − x v ữớng trỏn ỗng quy Gồi a 2 (x0 ; y0 ) l im ỗng quy th¼ ta câ x0 + y0 = 9; x0 = a v y0 = − x0 , v a √ a > n¶n suy a = Tø â sè giao iºm cõa hai ÷íng th¯ng trản vợi ữớng trỏn ữủc mổ tÊ hẳnh v minh hồa Vêy ta i án kát luên a) Hằ câ nghi»m < |a| < √ √ v |a| = H¼nh 14a b) H» câ nghi»m |a| = √ √ ho°c |a| = H¼nh 14b c) H» câ nghi»m a = ho°c |a| > √ download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi 41 H¼nh 14c B i to¡n 2.2.2.4 √ √ √ Cho c¡c sè d÷ìng a, b, c thäa m¢n a + b + c = Chùng minh rơng hằ phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm nhĐt √ √ y−a+ z−a=1 √ √ y−b+ x−b=1 √x − c + √z − c = √ Líi giÊi Xt tam giĂc Ãu ABC cõ cÔnh bơng Trong hẳnh hồc phng: "Náu M l mởt im bĐt ký tam gi¡c ·u, th¼ têng kho£ng c¡ch tø M xuống ba cÔnh tam giĂc Ãu bơng chiÃu cao cừa nõ" Chựng minh Gồi cÔnh tam giĂc Ãu l a(a > 0) √ a K´ ÷íng cao AH Sỷ dửng nh lỵ Pythagore ta tẵnh ữủc AH = Gåi h1 , h2 , h3 l¦n lữủt l khoÊng cĂch tứ M án ba cÔnh BC; AB; AC cõa tam gi¡c ABC Ta câ SABC = SOBC + SOAB + SOAC 1 = h1 a + h2 a + h3 a 2 = a.(h1 + h2 + h3 ) √ 1 a M°t kh¡c, SABC = AH.BC = a √2 √ 1 a a Do â a.(h1 + h2 + h3 ) = a ⇒ h1 + h2 + h3 = = AH ( i·u 2 2 ph£i chùng minh) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioiluan.van.thac.si.khai.thac.moi.quan.he.hinh.hoc.dai.so.vao.giai.mot.so.bai.toan.danh.cho.hoc.sinh.gioi
Ngày đăng: 09/01/2024, 01:04
Xem thêm: