(Luận văn) khai thác mối quan hệ hình học đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi

lu an va n t to ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ng hi TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ep  - w nl oa d lu an va ul nf NGUYỄN THÀNH CÔNG oi lm nh at z z KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI om l.c gm @ an Lu n va ac th si LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 lu an va n t to ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ng hi TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ep  - w nl oa d lu an va NGUYỄN THÀNH CÔNG ul nf oi lm nh at z z KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI l.c gm @ om Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp an Lu Mã số: 46 01 13 n va PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 si NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ac th LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lu an va i n t to ng hi ep Möc löc w nl oa d lu an va Líi c£m ìn Líi nâi ¦u 1 Khai thĂc kián thực Ôi số  giÊi mởt số bi to¡n H¼nh håc ul nf oi lm nh z gm @ z at 1.1 ị tững chung 1.2 Mët sè v½ dư minh håa 1.2.1 B i to¡n cüc trà H¼nh håc 1.2.2 B i to¡n quÿ t½ch 14 l.c Khai thĂc kián thực Hẳnh hồc  giÊi mởt số bi toĂn Ôi số 19 om 2.1 ị tững chung 2.2 Mët sè v½ dư minh håa 2.2.1 B i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc 2.2.2 Bi toĂn biằn luên phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh cõ tham số 2.2.3 B i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc 2.2.4 B i to¡n cỹc tr Ôi số an Lu 19 19 19 va n si 58 59 ac th Kát luên TI LIU THAM KHƒO 37 43 50 lu an va n t to ng hi ep Líi c£m ìn w nl oa d lu an Trong suèt qu¡ trẳnh lm luên vôn, tổi luổn nhên ữủc sỹ ừng hở, hữợng va ul nf dăn v giúp ù cừa PGS TS Trnh Thanh HÊi ThƯy luổn quan tƠm, theo dãi lm s¡t sao, d nh nhi·u thíi gian ch¿ b£o tên tẳnh, hữợng dăn v giÊi Ăp cĂc thưc oi m­c cõa tỉi Tỉi xin b y tä láng bi¸t ìn chƠn thnh v sƠu sưc nhĐt án ThƯy nh at Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn án cĂc ThƯy, Cổ khoa ToĂn  Tin v o TÔo z cừa trữớng Ôi Hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản cụng nhữ cĂc ThƯy Cổ z @ tham gia giÊng dÔy khõa hồc cao hồc 2017  2019  tên tẳnh ch bÊo truyÃn l.c gm Ôt kián thực suèt thíi gian theo håc, thüc hi»n v  ho n thnh luên vôn om Cuối cũng, tổi xin gỷi lới cĂm ỡn tợi gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp  luổn an suốt quĂ trẳnh hồc têp v hon thiằn luên vôn thÔc s Lu ởng viản, giúp ù, l chộ dỹa vỳng chưc và vêt chĐt v tinh th¦n cho tỉi ac th T¡c gi£ n va Th¡i Nguyản, thĂng 10 nôm 2019 si Nguyạn Thnh Cổng lu an va n t to ng hi ep Lới nõi Ưu w nl oa d lu Lỵ chån · t i an va ul nf H¼nh håc v Ôi số l hai nởi dung quan trồng xuyản suốt chữỡng trẳnh lm toĂn THCS - THPT gõp phƯn cĐu thnh nản bở mổn ToĂn hồc Do õ, viằc oi nh nghi¶n cùu khai th¡c mèi quan h» giúa Hẳnh hồc v Ôi số l mởt vĐn à rĐt at Ăng  quan tƠm ỗng thới thổng qua õ, cho ta cĂi nhẳn tờng th hỡn, z gõp phƯn gióp chóng ta hiºu rã hìn v· To¡n håc cơng nhữ giúp ẵch cho viằc z @ dÔy v hồc bë mỉn To¡n håc gm Hi»n nay, n·n gi¡o dưc tiản tián cừa cĂc nữợc phĂt trin trản thá giợi rĐt l.c quan tƠm trồng viằc dÔy v hồc liản mổn: giỳa cĂc mổn vợi v giỳa om c¡c ph¥n mỉn cịng mët mỉn håc N·n giĂo dửc cừa Viằt Nam khổng an họi, sĂng tÔo v ựng dửng xu hữợng dÔy hồc ny Lu nơm ngoi xu hữợng cừa thới Ôi,  v ang dƯn chuyn mẳnh tiáp cên hồc va Chữỡng trẳnh ToĂn tr÷íng THCS - THPT hi»n nay, bë mỉn To¡n n chựa hai mÊng ró rằt: phƯn l Ôi số, phƯn l Hẳnh hồc iÃu ny cõ mt hiu rơng Ơy l hai phƠn mổn ởc lêp vợi nhau, khổng cõ mối quan hằ tữỡng trủ qua lÔi, cụng nhữ viằc gưn kát hai phƠn mổn ny sĂch giĂo khoa THCS- THPT l chữa ữủc à cêp ró rng Ưy ừ Thỹc tá quĂ trẳnh dÔy v hồc  chựng minh rơng, hồc sinh hiu biát và mối quan hằ Hẳnh hồc v Ôi số khĂ mỡ hỗ v gƯn nhữ hiu Ơy l phƠn mổn riảng biằt, gõp phƯn tÔo nản mổn ToĂn hồc CĂc em hồc phƠn mổn no thẳ hồc v lm bi têp phƠn mổn õ, cụng nhữ giĂo viản dÔy hồc theo tiát mổn Hẳnh hồc thẳ chuyản lm bi và Hẳnh hồc, Ôi số thẳ chuyản lm bi và Ôi số, ẵt hoc khổng hoc chữa trồng à cêp án sỹ liản kát giỳa Hẳnh hồc v Ôi số giÊng dÔy cụng nhữ giÊi bi têp si thu kián thực mởt cĂch cõ hằ thống Những ngữủc lÔi, nõ l m cho håc sinh ac th t½ch cüc l  gióp hồc sinh nhên biát ữủc cĐu trúc chữỡng trẳnh v tiáp lu an va n Thổng qua tẳm hiu thỹc tá, tổi thĐy rơng viằc khai thĂc mối quan hằ giỳa t to ng hai phƠn mổn Hẳnh hồc v Ôi số s gõp phƯn quan trồng giúp c¡c em hiºu hi bi¸t hìn v· bë mỉn To¡n håc, cơng nh÷ trđ gióp c¡c em ỉn thi v  thi håc ep sinh häi c§p THCS - THPT câ cĂi nhẳn mợi, hữợng i mợi, cĂch tiáp cên lới giÊi mợi, phong phú hỡn quĂ trẳnh ổn luyằn v thi mổn ToĂn w nl Vẳ nhỳng lỵ trản, tổi quyát nh chồn à ti: "Khai thĂc mối quan hằ oa d Hẳnh hồc - Ôi số v o gi£i mët sè b i to¡n d nh cho håc sinh giäi" Thỉng lu qua nghi¶n cùu nhä n y, tỉi mong rơng mẳnh s gõp phƯn lm ró hỡn mối an va quan hằ giỳa hai phƠn mổn Hẳnh hồc v Ôi số, mối quan hằ tữỡng trủ lăn ul nf quĂ trẳnh giÊng dÔy v hồc ToĂn cừa bÊn thƠn THCS oi lm Mửc ẵch, nhiằm vử cừa luên vôn nh at Mửc ẵch cừa luên vôn ny l khai thĂc mối quan hằ giỳa Hẳnh hồc v Ôi z số gõp phƯn tiáp cên hữợng giÊi toĂn mợi cừa bi toĂn bơng ữớng vên z @ dửng tẵnh chĐt Ôi số  giÊi bi toĂn Hẳnh hồc v ngữủc lÔi giÊi cĂc bi toĂn gm Hẳnh hồc vợi cổng cử Ôi số thổng qua vi»c gi£i mët sè b i to¡n d nh cho l.c håc sinh giäi, l  · thi chån håc sinh giäi cĂc tnh, ton quốc v khu vỹc om Luên vôn têp trung vo hon thnh cĂc nhiằm vử chẵnh sau: an Lu ã ị tững khai thĂc cĂc tẵnh chĐt, cổng cử cừa Ôi số  giÊi bi toĂn Hẳnh hồc v ngữủc lÔi va n ã Sữu tƯm mởt bi toĂn, à thi và Ôi số, Hẳnh hồc dnh cho hồc sinh giọi Nởi dung luên vôn ngoi phƯn m Ưu, kát luên, ti liằu tham khÊo s gỗm chữỡng: Chữỡng 1: Trẳnh by phữỡng phĂp khai thĂc kián thực Ôi số  giÊi mởt số bi toĂn Hẳnh hồc Chữỡng 2: Trẳnh by phữỡng phĂp khai thĂc kián thực Hẳnh hồc  giÊi mởt số bi toĂn Ôi số si Nởi dung cừa à ti luên vôn ac th ã ữa lới giÊi bơng cĂch vên dửng tẵnh chĐt, cổng cử cừa Ôi số  giÊi mởt số bi toĂn Hẳnh hồc v ngữủc lÔi khai thĂc cĂc tẵnh chĐt, phữỡng phĂp Hẳnh hồc  giÊi cĂc bi toĂn Ôi số dnh cho hồc sinh giäi lu an va n t to ng hi ep Ch÷ìng w nl oa d Khai thĂc kián thực Ôi số  giÊi mởt số bi to¡n H¼nh håc lu an va ul nf oi lm nh at 1.1 ị tững chung z z gm @ Nởi dung chữỡng minh hồa ỵ tững vên dửng cĂc tẵnh chĐt, nh lỵ, cổng cử Ôi số qu¡ tr¼nh t¼m líi gi£i cho mët sè bi toĂn Hẳnh hồc l.c bơng cĂch ữa mởt số vẵ dử sỷ dửng kián thực Ôi số º ÷a líi gi£i cho om mët sè b i to¡n chån låc d nh cho håc sinh giäi, l  · thi chån håc sinh giäi an  - Th¡i B¼nh Dữỡng v mởt số nữợc khu vỹc ổng u Lu c¡c àa ph÷ìng, to n qc cơng nh÷ · thi chån håc sinh giäi khu vüc Ch¥u va n Mët nhỳng khƠu quan trồng ân nhỳng vẵ dử l viằc bián ối bi toĂn hẳnh hồc" , sau õ l quĂ trẳnh sỷ dửng cổng cử Ôi số  phĂt biu bi toĂn Hẳnh hồc ban Ưu 1.2 Mởt sè v½ dư minh håa 1.2.1 B i to¡n cüc trà Hẳnh hồc XuĐt phĂt tứ bĐt ng thực (BT) Ôi số rĐt quen thuởc sau Ơy BT Vợi c¡c sè d÷ìng a, b, c câ  1 + + (a + b + c) a b c  si cừa Ôi số  giÊi quyát vĐn Ã, cõ th tÔm gồi Ơy l quĂ trẳnh "Ôi số hõa ac th bi toĂn ban Ưu º chóng bëc lë nhúng iºm câ thº vªn dưng cĂc tẵnh chĐt lu an va n ng thực x£y v  ch¿ a = b = c t to Líi gi£i ng  hi 1 (a + b + c) + + a b c  ep w nl oa d a a b b c c −9=1+ + + +1+ + + +1−9 b c a c a b       a b b c c a = + −2 + + −2 + + −2 b a c b a c 2 (a − b) (b − c) (c − a) = + + ≥ ab bc ac lu an ¯ng thùc x£y v  ch¿ a − b = b − c = c − a = ⇔ a = b = c va BT Vợi cĂc số dữỡng a, b, c câ ul nf oi lm b c a + + ≥ b+c c+a a+b nh ¯ng thùc x£y v  ch¿ a = b = c at Líi gi£i z p dưng BT ta câ z  @ om l.c gm      a b c +1 + +1 + +1 −3 b+c c+a a+b   1 = (a + b + c) + + −3 b+c c+a a+b   1 1 + + −3 = [(b + c) + (c + a) + (a + b)] b+c c+a a+b ≥ −3= 2 b c a + + = b+c c+a a+b an Lu n va chựa bĐt ng thực Hẳnh hồc hoc tẳm cỹc tr Hẳnh hồc Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa ữủc trẵch dăn tứ TÔp chẵ ToĂn Hồc v Tuêi Tr´ v  c¡c t i li»u tham kh£o B i to¡n 1.2.1.1 Cho tam giĂc Ãu ABC cõ cÔnh bơng a Gồi ữớng vuổng gõc tứ im M nơm tam giĂc án cĂc cÔnh BC, CA, AB lƯn lữủt l M D, M E, M F X¡c ành tr½ cõa M º: 1 a) + + Ôt giĂ tr nhọ nhĐt Tẵnh giĂ tr õ MD ME MF 1 b) + + Ôt giĂ tr nhọ nhĐt Tẵnh giĂ MD + ME ME + MF MF + MD trà â si Câ thº vªn dửng hai bĐt ng thực trản vo giÊi v sĂng tÔo cĂc bi toĂn ac th ng thực xÊy b + c = c + a = a + b ⇔ a = b = c lu an va n Líi gi£i t to ng hi ep w nl oa d lu an va ul nf lm oi H¼nh nh at √ a Gåi h = l  ë d i ÷íng cao cõa tam gi¡c ·u ABC v  °t M D = x, M E = y, M F = z Ta câ z z an n va √ 1 ≥9⇒ + + ≥ = x y z h a Lu  om 1 + + (x + y + z) x y z l.c  ⇔ ah = ax + ay + az ⇔ x + y + z = h khæng êi a) p döng BT ta câ gm @ SABC = SM BC + SM AC + SM AB  B i to¡n 1.2.1.2 Gåi H l  trüc t¥m tam giĂc ABC cõ ba gõc nhồn vợi ba ữớng cao AA1 ; BB1 ; CC1 Chùng minh r¬ng a) AA1 BB1 CC1 + + ≥9 HA1 HB1 HC1 si  1 (x + y + y + z + z + x) + + ≥9 x+y y+z z+x √ 1 3 ⇔ + + ≥ = x+y y+z z+x 2h a Trong c£ hai tr÷íng hđp ¯ng thùc x£y v  ch¿ x = y = z , lóc â M l tƠm ữớng trỏn nởi tiáp ABC ac th b) p döng BT ta câ lu an va n HA1 HB1 HC1 + + ≥ HA HB HC t to b) ng hi ¯ng thùc x£y n o? ep Líi gi£i w nl oa d lu an va ul nf oi lm at nh z z gm @ H¼nh n p dưng BT ÷đc AA1 BB1 CC1 + + ≥ HA1 HB1 HC1 ¯ng thùc x£y v  ch¿ HA1 HB1 HC1 = = = AA1 BB1 CC1 S , lóc â H vøa l  trüc t¥m, vøa l  trång t¥m cõa tam gi¡c ABC n¶n ABC l  tam gi¡c ·u ⇔ S1 = S2 = S3 = si HA1 HB1 HC1 + + = AA1 BB1 CC1 ac th Do â va S1 HB1 S2 HC1 S3 HA1 = ; = ; = AA1 S BB1 S CC1 S an Lu a) Dạ thĐy om S = S1 + S2 + S3 l.c Gåi di»n t½ch tam gi¡c ABC, HBC, HAC, HAB lƯn lữủt l S, S1 , S2 , S3 th¼ lu an va 27 n t to ng hi ep w nl oa d lu an va ul nf H¼nh lm ◦ ◦ at nh ◦ oi √ 2− Ta câ cos 75 = cos(45 + 35 ) = nản theo nh lỵ cosin th¼ r q √ AC = a2 − − 3ac + c2 p z z @ gm Rã r ng AB + BC ≥ AC n¶n suy i·u ph£i chùng minh om l.c D§u ¯ng thùc x£y v  ch¿ A; B; C th¯ng h ng, tùc l  an Lu ⇔ (1) n va SOAB + SOBC = SOAC p p √ ! √ √ ab bc ac + ac + √ + = arcsin 750 = ⇔b= 4 a 2+c si B i to¡n 2.2.1.7 Cho a1; a2; an l  n sè thüc b§t ký Chùng minh rơng ac th Vêy (1) l iÃu kiằn  cõ dĐu bơng bĐt ng thực  cho q q q p n a21 + (1 − a2 )2 + a22 + (1 − a3 )2 + + a2n−1 + (1 − an )2 + a2n + (1 − a1 )2 ≥ Líi gi£i lu an va 28 n t to ng hi ep w nl oa d lu an va ul nf oi lm z z @ Trữớng hủp Náu n chđn at nh Hẳnh 10 (xem hẳnh v, Ơy º ìn gi£n ta v³ vỵi n = 4) gm XƠy dỹng cĂc oÔn A1 A2 = A2 A3 = A3 A4 = = An An+1 = An+1 An+2 = om l.c Trản oÔn Ai Ai+1 ( i = 1, 2, 3, , n + 1) l§y iºm Bi cho Bi Ai + = (ri¶ng trản oÔn An+1 An+2 lĐy Bn+1 cho Bn+1 An+2 = a1 , Lu an tùc l  an+1 = a1 ) n hẳnh minh hồa trản thẳ < a1 < 1, < a2 < 1, a3 > 1, a4 < 0) va Khi â iºm Bi s³ nơm trĂi hoc dữợi im Ai+1 náu > (v½ dư Bi A2i+1 + Bi+1 A2i+1 q = a21 + (1 − a2i+1 ) Tø â v¸ tr¡i cừa bĐt ng thực  cho l ở di ữớng gĐp khúc B1 B2 Bn Bn+1 Do n chđn n¶n n , n CBn+1 = A1 A2 + A3 A4 + + An−1 An = √ n Vªy tø tam gi¡c vng B1 CBn+1 , ta câ B1 Bn+1 = Tø ë di ữớng gĐp khúc nối B1 , Bn+1 , khổng nhä hìn ë d i B1 Bn+1 ,ta suy i·u ph£i chùng minh B1 C = A2 A3 + A4 A5 + + An An+1 = Tr÷íng hđp N¸u n l´ si Bi Bi+1 = q ac th Theo cĂch xƠy dỹng trản thẳ Bi+1 Ai+1 = |1 − ai+1 | n¶n lu an va 29 n °t a + n + = a1 , an+2 = a2 , , a2n = an t to ng Khi â ¡p dưng tr÷íng hđp 1, ta câ √ p p p 2n a21 + (1 − a2 )2 + a22 + (1 − a3 )2 + + a22n + (1 − a1 )2 ≥ hay √ q p 2n 2 2( a1 + (1 − a2 )2 + + a2n + (1 − a1 )2 ) ≥ (i·u ph£i chùng minh) hi ep w nl oa d lu Ta th§y d§u b¬ng câ v  ch¿ B1 ; B2 ; ; Bn+1 th¯ng h ng i·u â an va x£y ul nf a1 = a3 = = an+1 = a ; a2 = a4 = = an = a náu n chđn a1 = a2 = = an n¸u n l´ oi lm at nh Bi toĂn 2.2.1.8 Chựng minh rơng náu a > c; b > c v  c > th¼ z p p √ c(a − c) + c(b − c) ≤ ab z gm @ Líi gi£i C¡ch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Ôi số) BĐt ng thực Bunyakovsky om l.c p dưng b§t ¯ng thùc Bunyakovsky ta câ an Lu q q√ √ √ √ √ √ √ √ √ V T = c a − c+ b − c c ≤ ( c) + ( b − c)2 ( a − c).( c)2 = b.a = V P √ √ √ √ c b−c = √ ⇔ c = a − c b − c D§u "=" x£y ⇔ √ c a−c 2 ⇒ c = (a − c).(b − c) ⇒ c = ab − ac − bc + c2 ⇒ ab − ac − bc = ab ⇒ ab = (a + b).c ⇒ c = a+b n va b, |~v | = a Ta biát rơng hằ tåa ë Descartes vỵi ~u=(x1 ; y1 ; z1 );~v =(x2 ; y2 ; z2 ) th¼ ~u.~v = |~u|.|~v |.cos(~u,~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u,~v ) ≤ 1) ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ≤ q x21 + y12 z12 q + x22 + y22 + z22 +    x = λx2   D§u "=" x£y ⇔ ~u = λ~v ( λ = 0) ⇔ y1 = λy2    z = λz si X²t c¡c vectì ~u=( c; b − c) v  ~v =( a − c; c),ta câ |~u| = ac th C¡ch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Hẳnh hồc) Tẵnh chĐt cừa vectì √ √ √ √ √ lu an va 30 n t to p döng v o b i to¡n ta câ ng hi p p √ √ √ √ √ √ √ c a − c + b − c c ≤ b a ⇔ c(a − c) + c(b − c) ≤ ab  √c = λ.√a − c ab ⇒ c = D§u "=" x£y ⇔ √  b − c = λ.√c a+b ep w nl oa d B i to¡n 2.2.1.9 Gåi α, β ; l ba gõc tÔo bi ữớng cho cừa mởt hẳnh lu an chỳ nhêt vợi ba cÔnh xuĐt phĂt tø cịng mët ¿nh Chùng minh r¬ng va √ cos2 α + 1+ p √ cos2 γ + 1≤ 21 lm 2) ul nf 1) cos2 α + cos2 β + cos2 γ = cos2 β + 1+ p oi at nh Líi gi£i z z om l.c gm @ an Lu n va AA0 AC AB X²t ∆C BA câ : cos β = AC AD X²t ∆C DA câ : cos γ = AC X²t ∆A0 C A câ : cos α = AA02 + AB + AD2 Do â, cos α + cos β + cos γ = = AC 02 A0 A2 + AC A0 C AC 02 = = = = C A2 C A2 AC 02 2 si CĂch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Ôi sè) ac th H¼nh 11 lu an va 31 n t to ng b) p dưng b§t ¯ng thùc Bunyakovsky ta câ: hi ep p p p V T = cos2 α + + cos2 β + + cos2 γ + p p ≤ 12 + 12 + 12 cos2 α + + cos2 β + + cos2 γ + p √ √ = 4(cos2 α + cos2 β + cos2 γ) + = 4.1 + = 21 w nl oa d D§u ” = ” x£y 1 √ =p =p cos2 α + cos2 β + cos2 γ + ⇒ cos α = cos β = cos γ ⇒ α = β = γ lu an va ul nf lm hẳnh hởp chỳ nhêt tr thnh hẳnh lêp phữỡng oi CĂch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Hẳnh hồc) at nh 1) LĐy ữớng cho cừa hẳnh hởp chỳ nhêt lm vectỡ ỡn v ~e, ba cÔnh xuĐt z ph¡t tø còng mët ¿nh cõa hëp l m ba trưc tåa ë th¼ cos α, cos β, cos γ l  z c¡c tåa ë cõa ~e â @ gm cos2 α + cos2 β + cos2 γ = |~e|2 = om l.c 2) X²t c¡c vecto p p √ ~u=( cos2 α + 1; cos2 β + 1; cos2 γ + 1) v  ~u= (1; 1; 1) ta câ p √ √ |~u| = cos2 α + + cos2 β + + cos2 γ + = v |~v | = Lu an Ta biát rơng h» tåa ë Descartes vỵi ~u=(x1 ; y1 ; z1 );~v =(x2 ; y2 ; z2 ) th¼ (*) n va ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u,~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u,~v ) ≤ 1) x21 + z12 q + x22 + y22 + z22 +    x = λx2   y1 = λy2    z = λz p döng v o b i to¡n ta câ p p p √ √ √ ~u.~v ≤ |~u|.|~v | ⇐⇒ cos2 α + 1+ cos2 β + 1+ cos2 γ + ≤ = 21 D§u ” = ” x£y p p p ⇔ cos2 α + = cos2 β + = cos2 γ + 1 ⇔ cos α = cos β = cos γ = √ si D§u "=" x£y ⇔ ~u = λ~v ( λ 6= 0) ⇔ y12 ac th ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ≤ q lu an va 32 n Bi toĂn 2.2.1.10 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh t to ng p √ x − + x − ≥ 2(x − 3)2 + 2x − hi ep Líi gi£i √ Vỵi x ≥ x²t c¡c vectì ~u = ( x − 1; x − 3) v  ~e = (1; 1) ta câ p √ |~u| = x − + (x − 3)2 v  |~e| = w nl oa d lu Trong h» tåa ë Descartes ta câ an (*) va ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u, ~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u, ~v ) ≤ 1) p dưng b§t ¯ng thùc (∗) v o b i to¡n ta câ ul nf p √ x − + (x − 3)2 oi x−1+x−3≤ lm √ nh at √ z p x − + x − ≤ 2(x − 3)2 + 2x − (1) p Do õ, bĐt phữỡng trẳnh x + x − ≥ 2(x − 3)2 + 2x − x£y ⇔ D§u ” = ” bĐt phữỡng trẳnh (1) xÊy x − = x − ⇔ x = Vêy bĐt phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm x = ⇔ z 2x − + √ 50 − 3x ≤ 12 ⇒ 2ab ≥ a2 + b2 ⇒ a2 + b2 − 2ab ≤ ⇒ (a − b)2 ≤ √ ⇒a=b⇒ x−1=x−3 ( ( x−3≥0 x≥3 ⇒ ⇒ x − = (x − 3)2 x = 2; x = ⇒ x = thäa m¢n (1) si x − ≥ 0; b = x 3, bĐt phữỡng trẳnh  cho p a + b ≥ 2b2 + 2a2 ( a+b≥0 (1) ⇔ (a + b)2 ≥ 2b2 + 2a2 (2) ac th a= n Líi gi£i C¡ch√ (Sû dưng t½nh chĐt Ôi số) va an x+1+ Lu om l.c gm @ Bi toĂn 2.2.1.11 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh lu an va 33 n Vêy bĐt phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm nhĐt x = t to CĂch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Hẳnh hồc) ng hi 50 Têp xĂc nh vá trĂi l x ≤ √ √ √ X²t c¡c vectì ~u = ( x + 1; 2x − 3; 50 − 3x) v  ~v = (1; 1; 1) √ √ √ Ta câ |~u| = 48 = v  |~v | = ep w nl Trong h» tåa ë Descartes ta câ oa (*) d ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u, ~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u, ~v ) ≤ 1) p dưng b§t ¯ng thùc (*) v o b i to¡n ta câ √ √ √ √ √ x + + 2x − + 50 − 3x ≤ 3 = 12 lu an va ul nf √ √ lm D§u ” = ” x£y √ x+1= 2x − = oi 50 x 3 50 Vêy bĐt phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm x ⇔ 50 − 3x ⇔ at nh z z gm @ B i to¡n 2.2.1.12 Cho α, β , γ l  ba gâc d÷ìng câ α + β + γ = Tẳm om l.c giĂ tr lợn nh§t cõa p p p g = + tan α tan β + + tan β tan γ + + tan γ tan α an Lu Líi gi£i: π π ⇔ α + β = − γ 2 π Ta câ tan(α + β) = tan( − γ) hay n va Tø α + β + γ = ac th si tan α + tan β = ⇒ tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = 1 − tan α tan β tan γ X²t c¡c vectì p p p ~u = ( + tan α tan β; + tan β tan γ; + tan γ tan α) v  ~v = (1; 1; 1), ta câ |~u| = 2; |~v | = √ Trong h» tåa ë Descartes ta câ ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u, ~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u, ~v ) ≤ 1) (*) lu an va 34 n t to p dưng b§t ¯ng thùc (*) v o b i to¡n ta câ ng p p √ + tan β tan γ + + tan γ tan α ≤ π D§u ” = ” x£y ⇔ tan α = tan β = tan γ ⇔ α = β = γ = √ π Vêy biu thực g Ôt giĂ tr lợn nhĐt bơng 3, Ôt ữủc = = = p + tan α tan β + hi g= ep w nl oa d B i toĂn 2.2.1.13 GiÊi phữỡng trẳnh lu an p p − sin2 x + sin x − sin2 x = (3) va sin x+ ul nf Líi gi£i CĂch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Ôi số) p lm °t t = sin x + oi − sin2 x p dưng b§t ¯ng thùc Bunyakovsky ta câ at nh z z l.c ⇒ −2 ≤ t ≤ gm @ q p p 2 |t| = |1 sin x + − sin x| ≤ (1 + ) (sin2 x + − sin2 x) = om LÔi cõ sin2 x − sin x + = ⇒ (sin x − 1)2 = π ⇒ sin x = ⇒ x = + k2π(k ∈ Z) C¡ch (Sỷ dửng tẵnh chĐt Hẳnh hồc) si Suy t = 2(nhên) hoc t = (loÔi) p Vợi t = ⇒ sin x + − sin2 x = p ⇒ − sin2 x = − sin x ⇒ − sin2 x = − sin x + sin2 x ac th ⇒ t2 + 2t − = ⇒ (t − 2)(t + 4) = n t2 − =3 va t+ an Phữỡng trẳnh  cho tr th nh Lu p t2 = sin2 x + sin x − sin2 x + − sin2 x p = + sin x − sin2 x p t2 − ⇒ sin x − sin2 x = lu an va 35 n X²t ~u = (sin x; 1; p t to − sin2 x) v  ~v = (1; √ Ta câ |~u| = |~v | = p − sin2 x; sin x) ng hi Ta biát rơng hằ tåa ë Descartes vỵi ~u=(x1 ; y1 ; z1 );~v =(x2 ; y2 ; z2 ) th¼ ep w |~u.~v | = ||~u|.|~v | cos(~u, ~v )| ≤ |~u|.|~v |(do cos(~u, ~v ) ≤ 1).(∗) nl oa d q q 2 ⇔ |x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 | ≤ x1 + y1 + z1 + x22 + y22 + z22    x = λx2   D§u "=" x£y ⇔ ~u = λ~v ( λ 6= 0) ⇔ y1 = λy2    z = λz lu an va ul nf oi lm p döng v o b i to¡n ta câ nh at p p √ √ + sin2 x + sin x − sin2 x| ≤ 3 =    sin x = λ   p D§u "=" x£y ⇔ = λ − sin2 x  p    − sin2 x = λ sin x z | sin x + z om l.c gm @ an B i to¡n 2.2.1.14 Lu n ac th si Líi gi£i va π + 2kπ(k ∈ Z) Chựng minh rơng hằ sau Ơy vổ nghiằm x4 + y + z = x2 + y + 2z = √7 ⇒ λ = v  sin x = ⇒ x = X²t c¡c vectì ~u = (x2 ; y ; z ) v  ~v = (1; 1; 2) √ Ta câ |~u|=1, |~v |= √ √ Theo h» tr¶n, ta câ ~u.~v = x2 + y + 2z = v  |~u|.|~v | = Do â, ~u.~v > |~u|.|~v | M  h» tåa ë Descartes ta câ ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u, ~v ) ≤ |~u|.|~v | (do cos(~u, ~v ) ≤ 1) Vªy h» phữỡng trẳnh à cho l vổ nghiằm Bi toĂn 2.2.1.15 Chựng minh rơng vợi mồi tam giĂc ABC luổn cõ sin A B C + sin + sin ≤ 2 2 (1) lu an va 36 n Líi gi£i t to ng Ta câ hi A B C + sin + sin ≤ 2  2     π A+C π A+B π B+C − + sin − + sin − ≤ ⇔ sin 2 2 2 B+C A+C A+B ⇔ cos + cos + cos ≤ 2 2 B+C A+C A+B °t = α; = β; = γ , th¼ ; ; lÔi l ba gõc cừa 2 mët tam gi¡c Khi â, ta i chùng minh cos α + cos β + cos γ ≤ vợi ; ; lÔi l ba gõc cừa mởt tam giĂc Nhữ vêy, bi toĂn lÔi quay trð v· b i to¡n 2.2.1.1 v  d¹ d ng chùng minh ep sin w nl oa d lu an va ul nf oi lm nh at nhữ trản z z B i to¡n 2.2.1.16 Chùng minh vỵi måi tam gi¡c ABC v  ba sè thüc (1) om l.c x2 + y + z ≥ 2xy cos C + 2xz cos B + 2yz cos A gm @ x; y; z b§t ký, ln câ Lu Líi gi£i n Trong â, |v~1 | = |v~2 | = |v~3 | = ⇒ v~1 = v~2 = v~3 = va câ ë d i ìn l¦n lữủt vuổng gõc vợi cĂc cÔnh BC; AC; AB an Chån iºm I b§t ký m°t ph¯ng (ABC) v dỹng ba vectỡ v~1 ; v~2 ; v~3 LÔi câ |v~1 | = |v~2 | = |v~3 | = ⇒ v~1 = v~2 = v~3 = Do â, v~1 v~2 = cos(v~1 ; v~2 ) = − cos C; v~2 v~3 = cos(v~2 ; v~3 ) = − cos A; v~1 v~3 = cos(v~1 v~3 ) = − cos B Khi â (2) t÷ìng ÷ìng ≤ (xv~1 + y v~2 + z v~3 )2 = x2 + y + z − 2(xy cos C + xz cos B + yz cos A) ⇔ x2 + y + z ≥ 2xy cos C + 2xz cos B + 2yz cos A si ≤ (xv~1 +y v~2 +z v~3 )2 = x2 v~1 +y v~2 +z v~32 +2(xy v~1 v~2 +yz v~2 v~3 +xz v~1 v~3 ) (2) ac th p dửng tẵch vổ hữợng cho c¡c vectì xv~1 ; y v~2 ; z v~3 , ta ÷đc lu an va 37 n B i to¡n 2.2.1.17 Chựng minh rơng vợi mồi tam giĂc ABC v ba số t to ng dữỡng m, n, p tũy ỵ, luæn câ hi A B C mnp m sin + n sin + p sin ≤ 2 2  ep  (1) w Líi gi£i 1 + 2+ 2 m n p nl Bián ời vá phÊi cừa bĐt ng thực cƯn chựng minh ta câ     mnp 1 1 mnp mnp mnp + + = + + 2 m2 n2 p2 m2 n p   np mp mn = + + = (n2 p2 + m2 p2 + m2 n2 ) 2 m n p 2mnp oa d lu an va ul nf oi lm Do õ, bĐt phữỡng trẳnh (1) cƯn chựng minh tữỡng ữỡng   B C A m2 n2 + m2 p2 + n2 p2 ≥ 2mnp m sin + n sin + p sin 2 at nh (10 ) z °t mn = x; mp =  y; np = z , b§t ¯ng thùc (1 ) trð th nh  B+C A+C A+B 2 x + y + z ≥ xy cos + xz cos + yz cos 2 z A+C A+B B+C ;β = ;γ = tÔo thnh ba gõc mởt tam 2 om Lu gi¡c l.c Vỵi α = gm @ = 2xy cos α + 2xz cos β + 2yz cos an Nhữ vêy bi toĂn  ữủc bián ời ữa và bi toĂn 2.2.1.16, õ ta ho n n va to n chùng minh t÷ìng tü b i to¡n 2.2.1.16 trẳnh cõ tham số,  ữủc lm quen vợi rĐt nhiÃu phữỡng phĂp nhữ phữỡng phĂp iÃu kiằn cƯn v ừ, tam thực bêc hai, giĂ tr lợn nhĐt v nhọ nhĐt Trong mửc ny luên vôn s giợi thiằu mởt phữỡng phĂp biằn luên cĂc phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh cõ tham số: "Phữỡng phĂp Hẳnh hồc v ỗ th" ị tững cừa phữỡng phĂp l dỹa vo cĂc c trững mang tẵnh Hẳnh hồc cừa bi toĂn nhữ phữỡng trẳnh ữớng thng, ữớng trỏn, cĂc biu diạn Hẳnh hồc cừa têp hủp nghiằm cĂc phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh m tẳm lới giÊi thẵch hủp cho bi toĂn Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa trẵch dăn tứ TÔp chẵ ToĂn Håc v  Tuêi si Trong thüc t¸ gi£i c¡c b i toĂn nh tẵnh và phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng ac th 2.2.2 Bi toĂn biằn luên phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh cõ tham số lu an va 38 n Tr´ v  c¡c t i li»u tham kh£o t to ng B i to¡n 2.2.2.1 Bi»n luªn theo m sè nghi»m cõa phữỡng trẳnh sau hi ep Lới giÊi − x2 = mx + − m (1) w Ta biát rơng số nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1) chẵnh l  sè giao √ iºm cõa ÷íng y = − x2 v  y = mx + − m √ √ V¼ y = − x2 ⇔ x2 + y = 4, y ≥ 0, n¶n ỗ th cừa y = x2 l nỷa nl oa d lu an ữớng trỏn (phƯn nơm trản trửc honh) tƠm tÔi gốc tồa ở, bĂn kẵnh bơng va ul nf Cán y = mx + − m l  mët hå ÷íng th¯ng ln i qua iºm cè ành oi lm A(1; 2) vỵi måi m Ta nhên thĐy cõ hai tiáp tuyán vợi ữớng trỏn k´ tø A: ÷íng th¯ng y = song song vợi trửc honh v tiáp tuyán AD (xem hẳnh v) at nh z z om l.c gm @ an n va Gåi B(−2; 0) v  C(2; 0) l  hai Ưu mút cừa ữớng kẵnh BOC Lu Hẳnh 12 p (4 + x)(6 − x) ≤ x2 − 2x + m (1) si B i to¡n 2.2.2.2 T¼m m º bĐt phữỡng trẳnh ac th GiÊ sỷ m1 ; m2 ; m3 ; m4 t÷ìng ùng l  c¡c h» sè gâc cõa c¡c ÷íng th¯ng [ = −2 ;m2 = tan DCO \= AC; AD; AB; AE thẳ d ng th§y m1 = − tan ACO \ = − tan(2OAE) [ = −4 (v¼ tan OAE [ = −2); m3 = tan ABO [ = 2; − tan EAD 3 cán m4 = Tø â suy 1) Phữỡng trẳnh (1) cõ nghiằm < m ≤ ho°c −2 ≤ m < 3 2) Phữỡng trẳnh (1) cõ nghiằm m > ho°c m < −2 ho°c m = −4 ho°c m = −4 3) Phữỡng trẳnh (1) vổ nghiằm < m < lu an va 39 n óng vỵi måi −4 ≤ x ≤ t to Líi gi£i p ng °t y = hi (4 + x)(6 − x), th¼ ta câ y ≥ v  (x − 1)2 + y = 25 p Vêy ỗ th cừa hm sè y = (4 + x)(6 − x) l  nûa ữớng trỏn (phƯn nơm trản trửc honh) tƠm tÔi im O1 (1; 0) v  b¡n k½nh Cán y = x2 − 2x + m l  parabol luæn câ cüc tiu nơm trản ữớng x = (xem hẳnh minh håa) ep w nl oa d lu an va ul nf oi lm at nh z z om l.c gm @ H¼nh 13 Lu an º (1) óng vợi mồi x 6, thẳ parabol y = x2 − 2x + m luæn luæn n theo a Líi gi£i  x2 + y = (1) √ (ay + x)(x − a 3) = (2) Dạ thĐy phữỡng trẳnh (1) biu diạn ữớng trỏn tƠm l gốc tồa ở O(0; 0), bĂn kẵnh R = 3, cỏn phữỡng trẳnh (2) biu diạn bi hai d÷íng th¯ng x = a v  y = − x ( n¸u a 6= ) Sè nghi»m cõa h» ch½nh l  sè giao iºm cõa hai a ữớng thng vợi ữớng trỏn Ta ch cƯn xt a > (v¼ a < ta cõ kát si Bi toĂn 2.2.2.3 Biằn luên theo m số nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh sau ac th x = 1, phÊi nơm trản im M (1; 5) Tø â ta câ − ≥ ⇔ m − ≥ ⇔ m ≥ 4a Vªy gi¡ tr cừa m cƯn tẳm l m va phÊi nơm trản nỷa ữớng trỏn, tực l nh parabol trản ữớng thng lu an va 40 n quÊ tữỡng tỹ, cỏn a = thẳ (2) ⇔ x = v  lóc â h» câ nghi»m) √ Ta x²t xem n o x = a 3, y = x v ữớng trỏn ỗng quy Gåi a √ (x0 ; y0 ) l  im ỗng quy thẳ ta cõ x20 + y02 = 9; x0 = a v  y0 = − x0 , v  a √ a > n¶n suy a = Tø â sè giao iºm cõa hai ữớng thng trản t to ng hi ep w vợi ữớng trỏn ữủc mổ tÊ hẳnh v minh hồa nl oa Vêy ta i án kát luên d a) H» câ nghi»m < |a| < lu √ √ v  |a| = an va ul nf oi lm at nh z z l.c gm @ an √ √ ho°c |a| = Lu b) H» câ nghi»m |a| = om H¼nh 14a n va ac th si H¼nh 14b c) H» câ nghi»m a = ho°c |a| > √ lu an va 41 n t to ng hi ep w nl oa d lu an va ul nf H¼nh 14c oi lm at nh B i to¡n 2.2.2.4 √ √ √ Cho c¡c số dữỡng a, b, c thọa mÂn a + b + c = z Chùng minh r¬ng hằ phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm nhĐt √   y−a+ z−a=1   √ √ y−b+ x−b=1    √x − c + √z − c = √ z om l.c gm @ Lu Líi gi£i an X²t tam gi¡c ·u ABC câ cÔnh bơng Trong hẳnh hồc phng: "Náu M n cÔnh tam giĂc Ãu bơng chiÃu cao cừa nõ" va l mởt im bĐt ký tam giĂc Ãu, thẳ têng kho£ng c¡ch tø M xuèng ba √ a K ữớng cao AH Sỷ dửng nh lỵ Pythagore ta tẵnh ữủc AH = Gồi h1 , h2 , h3 lƯn lữủt l khoÊng cĂch tứ M án ba cÔnh BC; AB; AC cừa tam giĂc ABC Ta câ SABC = SOBC + SOAB + SOAC 1 = h1 a + h2 a + h3 a 2 = a.(h1 + h2 + h3 ) √ 1 a M°t kh¡c, SABC = AH.BC = a √2 √ 1 a a Do â a.(h1 + h2 + h3 ) = a ⇒ h1 + h2 + h3 = = AH (i·u 2 2 phÊi chựng minh) si Gồi cÔnh tam giĂc ·u l  a(a > 0) ac th Chùng minh