Luận văn khai thác mối quan hệ hình học đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  ПǤUƔỄП TҺÀПҺ ເÔПǤ K̟ҺAI TҺÁເ MỐI QUAП ҺỆ ênên n ҺὶПҺ ҺỌເ - ĐẠI SỐ ѴÀ0iệpgǤIẢI MỘT SỐ ЬÀI T0ÁП uyuy vă gn gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu DÀПҺ ເҺ0 ҺỌເ SIПҺ ǤIỎI LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  ПǤUƔỄП TҺÀПҺ ເÔПǤ K̟ҺAI TҺÁເ MỐI QUAП ҺỆ ҺὶПҺ ҺỌເ - ĐẠI SỐ ѴÀ0 ǤIẢI MỘT SỐ ЬÀI T0ÁП n yê ênăn ệp u uy v hii ngngận g i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu DÀПҺ ເҺ0 ҺỌເ SIПҺ ǤIỎI ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп sơ ເấρ Mã số: 46 01 13 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ ΡǤS.TS TгịпҺ TҺaпҺ Һải TҺÁI ПǤUƔÊП - 2019 i Möເ lưເ Lίi ເ£m ὶп Lίi пâi ¦u 1 Kai Ă kiá Ôi số iÊi mở số i 0Ă ẳ 1.1 ị ữ u 1.2 Mëƚ sè ѵ½ dư miпҺ Һåa 1.2.1 Ь i ƚ0¡п ເüເ ƚгà Һ¼пҺ Һåເ ên n n p uyuyêvă ệ 1.2.2 Ь i ƚ0¡п quÿ ƚ½ເҺghii 14 ngngận i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v lulu lu Kai Ă kiá ẳ iÊi mở số i 0Ă Ôi số 19 2.1 ị ữ u 19 2.2 Mëƚ sè ѵ½ dư miпҺ Һåa 19 2.2.1 Ь i ƚ0¡п ເҺὺпǥ miпҺ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ 19 2.2.2 i 0Ă iằ luê ữ ẳ Đ ữ ẳ õ am số 37 2.2.3 Ь i ƚ0¡п ເҺὺпǥ miпҺ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ 43 2.2.4 i 0Ă ỹ Ôi số 50 Ká luê 58 TI LIU TAM K0 59 Lίi ເ£m ὶп Tг0пǥ suèƚ qu¡ ƚг¼пҺ l m luê ô, ổi luổ ê ữủ sỹ ở, ữợ dă i ù ừa S TS T Ta Êi TƯ luổ qua Ơm, e0 dói sĂ sa0, d iÃu i ia Ê0 ê ẳ, ữợ dă ѵ ǥi£i ¡ρ ເ¡ເ ƚҺ-ເ m-ເ ເõa ƚæi Tæi хiп ọ lỏ iá Ơ sƠu s- Đ TƯ Tổi i ỷi li Êm Ă TƯ, ổ k0a T0Ă Ti ỏ TÔ0 ờn n n p uyuyờv hi ngngn ừa ữ Ôi K0a - Ôi nhgỏiỏi, luTĂi uả ụ ữ Ă TƯ ổ t h t tốh t s sĩ nn đ đhhạcạc ă v ă n t th 2017 2019  ê ẳ Ê0 uà am ia iÊ dÔ kõa a0 n v v an n lulunnn nv va Ô kiá ƚҺὺເ ƚг0пǥ suèƚ ƚҺίi ǥiaпluluƚҺe0 Һåເ, ƚҺüເ Һi»п ѵ Һ0 luê ô lu uối , ổi i ỷi li Ăm ợi ia ẳ, Ô , ỗ iằ  luổ iả, i ù, l ộ dỹa - à ê Đ i Ư ổi suố quĂ ẳ ê iằ luê ô Ô s TĂi uả, Ă 10 ôm 2019 TĂ iÊ uạ T ổ Li õi Ưu Lỵ d0 à i ẳ ¤i sè l Һai пëi duпǥ quaп ƚгåпǥ хuɣ¶п suèƚ ữ ẳ 0Ă TS - TT õ Ư Đu пҺ п¶п ьë mỉп T0¡п Һåເ D0 â, ѵi»ເ пǥҺi¶п ເὺu k̟Һai ƚҺ¡ເ mèi quaп Һ» ǥiύa Һ¼пҺ Һåເ ѵ ¤i sè l mëƚ ѵ§п · г§ƚ ¡пǥ º quaп Ơm ỗ i ổ qua õ, a Ăi ẳ ƚêпǥ ƚҺº Һὶп, ênên n uyuy vă ệpgѵ· i g ǥâρ ρҺ¦п ǥiόρ ເҺόпǥ ƚa Һiºu гã Һὶп h n n n T0Ă ụ ữ i ẵ nhgỏiỏi, lu t h t tđốh h tc cs sĩ nnҺåເ thh iằ dÔ mổ T0Ă v ă ăn t ận v v an n luluậnậnn nv va iằ a, à iĂ0 dử iảlululuiá ừa Ă ữợ Ă i ả iợi Đ qua Ơm iằ dÔ liả mổ: ia Ă mổ ợi au ia Ă Ơ mổ mở mỉп Һåເ П·п ǥi¡0 dưເ ເõa Ѵi»ƚ Пam k̟Һỉпǥ п¬m i u ữợ ừa i Ôi,  a dƯ u mẳ iá ê ọi, sĂ Ô0 dử u ữợ dÔ ữ ẳ T0¡п ƚг0пǥ ƚг÷ίпǥ TҺເS - TҺΡT Һi»п пaɣ, ьë mỉп T0Ă a mÊ ó ằ: Ư l Ôi số, Ư l ẳ iÃu õ m ẵ ỹ l i si ê iá a ữủ Đu ữ ẳ iá u kiá mở Ă õ ằ ố ữ ữủ lÔi, õ l m si iu Ơ l Ơ mổ lê ợi au, kổ õ mối qua ằ ữ ủ qua lÔi, ụ ữ iằ - ká ρҺ¥п mỉп п ɣ ƚг0пǥ s¡ເҺ ǥi¡0 k̟Һ0a TҺເS- TҺΡT l ữa ữủ à ê ó Ư Tỹ quĂ ẳ dÔ Â mi ơ, si iu iá à mối qua ằ ẳ Ôi số kĂ m ỗ Ư ữ iu Ơ l Ơ mổ iả iằ, õ Ư Ô0 ả mổ T0Ă Ă em Ơ mổ ẳ l m i ê Ơ mổ õ, ụ ữ iĂ0 iả dÔ e0 iá mổ ẳ ẳ uả l m i à ẳ ồ, Ôi số ẳ uả l m i à Ôi số, ẵ kổ ữa à ê sỹ liả ká ia ẳ Ôi số iÊ dÔ ụ ữ iÊi ь i ƚªρ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu TҺæпǥ qua ẳm iu ỹ á, ổi Đ iằ kai Ă mối qua ằ ia Ơ mổ ẳ ¤i sè s³ ǥâρ ρҺ¦п quaп ƚгåпǥ ǥiόρ ເ¡ເ em iu iá à mổ T0Ă ồ, ụ ữ ƚгđ ǥiόρ ເ¡ເ em ỉп ƚҺi ѵ ƚҺi Һåເ siпҺ ọi Đ TS - TT õ Ăi ẳ mợi, ữợ i mợi, Ă iá ê li iÊi mợi, Һὶп ƚг0пǥ qu¡ ƚг¼пҺ ỉп luɣ»п ѵ ƚҺi mỉп T0¡п ẳ lỵ d0 ả, ổi à ƚ i: "K̟Һai ƚҺ¡ເ mèi quaп Һ» Һ¼пҺ Һåເ - ¤i sè ѵ ǥi£i mëƚ sè ь i ƚ0¡п d пҺ ເҺ0 Һåເ siпҺ ǥiäi" TҺỉпǥ qua пǥҺi¶п ເὺu ọ , ổi m0 mẳ s õ Ư l m гã Һὶп mèi quaп Һ» ǥiύa Һai ρҺ¥п mổ ẳ Ôi số, mối qua ằ ữ ủ lă au quĂ ẳ iÊ dÔ T0Ă ừa Ê Ơ TS Mử ẵ, iằm ừa luê ô n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Mưເ ½ເҺ ừa luê ô l kai Ă mối qua ằ ia ẳ Ôi số õ Ư iá ê ữợ iÊi 0Ă mợi ừa i 0Ă ữ ê dử ẵ Đ Ôi số iÊi i 0Ă ẳ ữủ lÔi iÊi Ă i 0Ă ẳ ợi ổ Ôi số ƚҺæпǥ qua ѵi»ເ ǥi£i mëƚ sè ь i ƚ0¡п d пҺ ເҺ0 Һåເ siпҺ ǥiäi, l · ƚҺi ເҺåп Һåເ siпҺ ǥiäi ເ¡ເ ƚ¿пҺ, ƚ0 п quèເ ѵ k̟Һu ѵüເ Luê ô ê u 0 Ă iằm ẵ sau: ã ị ữ kai Ă Ă ẵ Đ, ổ ừa Ôi số iÊi i 0Ă ẳ ữủ lÔi ã Sữu Ưm mở i 0Ă, à i à Ôi số, ẳ d si iọi ã ữa a li iÊi Ă ê dử ẵ Đ, ổ ừa Ôi số iÊi mở số i 0Ă ẳ ữủ lÔi kai Ă Ă ẵ Đ, ữ Ă ẳ iÊi Ă i 0Ă Ôi số d si iọi ởi du ừa à i luê ô ởi du luê ô i Ư m Ưu, ká luê, i liằu am kÊ0 s ỗm ữ: ữ 1: Tẳ ữ Ă kai Ă kiá ¤i sè º ǥi£i mëƚ sè ь i ƚ0¡п Һ¼пҺ ữ 2: Tẳ ữ Ă kai Ă kiá ẳ iÊi mở số i 0Ă Ôi số n yờ ờnn pguguny v i gỏhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺ÷ὶпǥ Kai Ă kiá Ôi số iÊi mở số i 0Ă ẳ 1.1 ị ữ u n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va lulu lu ởi du ữ mi ồa ỵ ữ ê dử Ă ẵ Đ, lỵ, ổ Ôi số quĂ ẳ ẳm a li iÊi mở số i 0Ă ẳ Ă ữa a mở số ẵ dử sỷ dử kiá ¤i sè º ÷a гa lίi ǥi£i ເҺ0 mëƚ sè ь i ƚ0¡п ເҺåп låເ d пҺ ເҺ0 Һåເ siпҺ ǥiäi, l · ƚҺi ເҺåп Һåເ siпҺ ǥiäi ເ¡ເ àa ρҺ÷ὶпǥ, ƚ0 п qເ ເơпǥ пҺ÷ · ƚҺi ເҺåп Һåເ si iọi ku ỹ Ơu ã - TĂi ẳ Dữ mở số ữợ ku ỹ ổ u Mở kƠu qua â ẵ dử l iằ iá ối i 0Ă a Ưu lở im õ ê dử Ă ẵ Đ ừa Ôi số iÊi Đ Ã, õ Ôm ồi Ơ l quĂ ẳ " Ôi số Һâa ь i ƚ0¡п Һ¼пҺ Һåເ" , sau â l quĂ ẳ sỷ dử ổ Ôi số Ă iu i 0Ă ẳ a Ưu 1.2 Mở sè ѵ½ dư miпҺ Һåa 1.2.1 Ь i ƚ0¡п ເüເ ẳ uĐ Ă ứ Đ ( T) Ôi số Đ que uở sau Ơ T ợi Ă số a, , õ (a + ь + ເ) a 1 Σ + + ≥ b c n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 60 х2 S ѵỵ х ∈ (0; S) a  dỹ ữ ẳ iá = i S uá Ôi im = (em ẳ ) S S S S S 5х − S ɣ = f ( ) + f J ( )(х − ) = + (х − ) = 3 4 х2 5х − S Tứ Đ ữ ữ ợi (S 3)2 ≥ ƚг¶п ≥ S−х k̟Һ0£пǥ (0, S) ¡ρ dử õ a lƯ, dỹa Đ Â mi ữợ S 3, a Đ a2 a2 2 5(a + ь + ເ) − 3S S + + = + + = ≥ ь+ເ ເ+a a+ь S−a S−ь 2 °ƚ f (х) Ь i ƚ0¡п 2.2.3.7 ເҺ0 a, ь ѵ ເ l ເ¡ເ sè ƚҺüເ d÷ὶпǥ ƚҺäa m¢п a+2ь+3ເ ≥ 20 ເҺὺпǥ miпҺ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ a + ь + ເ + + + ≥ 13 a 2ь ເ Lίi ǥi£i nnn ເҺό ỵ áu a = 2, = 3, =hiệ4npgu,gyuênyêь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ƚгð ƚҺ пҺ ¯пǥ ƚҺὺເ vă ậ n i g u i l n f () = ợi > ê ẳ tfốht hthlãm th sĩ,sĩ ƚг0пǥ k̟Һ0£пǥ (0, +∞) D0 â, ç ƚҺà n đ đ ạcạc х vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v lulu lu ừa m f kổ ơm dữợi iá uá ữủ Ôi im Đ ký 0> ữ ê, Ă Đ sau ( em Һ¼пҺ ѵ³) Һ¼пҺ 17 1 a ≥ − (a − 2) = − , a 4 61 1 ь − (ь − 3) = − , ь 9 1 1 ເ ≥ − (ເ − 4) = − 16 16 ữ  ເҺ0 ƚг0пǥ ρҺ¡ƚ ьiºu ь i ƚ0¡п п ɣ, ƚa ẳm Đ 3a a+++ + + ≥a+ь+ເ+3− +3− +2− a 2ь ເ 4 a + 2ь + 3ເ 20 = 13 =8+ ≥8+ 4 Ь i ƚ0¡п 2.2.3.8 ເҺ0 a, ь, l Ă số ỹ ọa m a2+2+2 = 1 ເҺὺпǥ miпҺ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ + + ≥ −a −ь 2−ເ Lίi ǥi£i ỵ ki a = = = 1, ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ƚгð ƚҺ пҺ ¯пǥ ƚҺὺເ Х²ƚ √ ênên n f (х) = ѵ ǥ(х) = k̟х2 + m, ð iệpg¥ɣ 3) ເ¡ເ sè k̟ ѵ m ÷đເ uyuy vă х ∈ (0, gn 2−х gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl J ố J s t ເҺåп º f (1) = g(1) ѵ f (1) = găn(1) đh h ạ.c cПǥҺ¾a l , = k + m ѵ = 2k D0 â, n n đththạ v ă х + ậnn v văanan ≥ х2 + v Tø ƚҺὺເ luluậ ậnn nv¯пǥ k̟ = m = ѵ ǥ(х) 2 ữ ữ ợi lulu u l = √ х(х − 1) ≥ 0, пâ l ợi (0, 3) Đ ký ( хem Һ¼пҺ ѵ³) Һ¼пҺ 18 D0 â, 62 2−a + 2−ь + 2−ເ ≥ a2 + ь + ເ + = Ь i ƚ0¡п 2.2.3.9 ເҺ0 a, ь ѵ ເ l ເ¡ເ số ỹ mi Đ (a5 − a2 + 3)(ь5 − ь2 + 3)(ເ5 − ເ2 + 3) ≥ (a + ь + ເ)3 Lίi ǥi£i ỵ ki a = = = 1, ẳ Đ Х²ƚ f (х) = х5 − х2 + ѵ ǥ(х) = k̟ х3 + m, ð ¥ɣ х > ເ¡ເ sè k̟ ѵ m ÷đເ ເҺåп º f (1) = ǥ(1) ѵ f J(1) = ǥ J(1) ПǥҺ¾a l , = k̟ + m ѵ = 3k̟ D0 â, k̟ = 1, m = ѵ ǥ(х) = х3 + Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ п ɣ (хem Һ¼пҺ ѵ³) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Һ¼пҺ 19 х5 − х2 + ≥ х3 + (3) ợi > Đ ký ki õ õ õ iu diạ dữợi dÔ ( 1)2(3 + 2х2 + 2х + 1) ≥ Ь i ƚ0¡п 2.2.3.10 ເҺ0 a, ь, ເ, d ѵ e l ເ¡ເ số ỹ ọa m 4+a + 4+ + ເҺὺпǥ miпҺ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ 4+ເ + 1 + = 4+d 4+e 63 a 4+a Lίi ǥi£i Х²ƚ f (х) = х + ь 4+ь + ເ 4+ເ + d 4+d + e 4+e ≤ k̟ , ð ¥ɣ х ≥ ເ¡ເ sỉ k̟ ѵ m ÷đເ + х2 4+х ເҺåп º f (1) = ǥ(1) ѵ f J(1) = ǥ J(1) D0 â k̟ = − ѵ m = Tø ¯пǥ ƚҺὺເ х (х + 1) ≥ 0, i·u п ɣ όпǥ ѵỵi ≤ − ữ ữ ợi ( 1) 4+ 4+ Đ ký (em ẳ ) () = m + n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n lulunnn nv va lulu lu ẳ 20 ã dưпǥ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ п ɣ, ƚa ເâ a ь ເ 4 + + + + ≤ + a + ь + ເ2 + d + e 1 1 − 3( + + + + ) = 4+a 4+ь 4+ເ 4+d 4+e 2.2.4 Ь i 0Ă ỹ Ôi số Ă i 0Ă ỹ Ôi số ổ ữ s Ă dử Ă ữ Ă Ôi số ữ im i, Đ ເauເҺɣ, Ьuпɣak̟0ѵsk̟ɣ, , ເҺόпǥ г§ƚ Һύu Һi»u ເҺ0 ເ¡ເ ь i 0Ă ỹ Ôi số ẵ iá ẵ iÃu kiằ ỏ dữợi Ơ luê ô s iợi iằu mở ữ Ă ẳ iÊi iu iÊi ь i 64 ƚ0¡п n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 65 ເüເ Ôi số a iÃu iá iÃu iÃu kiằ Muố l m ố ữ Ă Ư ỗ a, ẵ Ă Ư iá Ă lê m số ả ỗ Ă m số ƚҺ÷ίпǥ ǥ°ρ l : 1) ɣ = aх + ь õ ỗ l ữ 2) = (1 − a)2 + (х2 − ь)2, ɣ ≥ ເâ ỗ l ữ ỏ Ơm (a, ) Ă k̟½пҺ ɣ 3) ɣ = aх2 + ьх + , a = õ ỗ l aa0l 4) = , = õ ỗ l ữ e0l Ă ẵ Đ ữ d l : ç ƚҺà Һ m sè ɣ = f (х + a) l iá ỗ ừa m = f () e0 mở lữủ a ỗ m số = f () + l iá ỗ m = f (х) ƚҺe0 ƚгưເ ɣ mëƚ l÷đпǥ ь Sau Ơ l mở số ẵ dử mi ồa ẵ dă ứ TÔ ẵ T0Ă Tuời n yờ ờnn Tг´ ѵ ເ¡ເ ƚ i li»u ƚҺam k̟Һ£0 ệpguguny v i hn ậ gái i nu t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu i 0Ă 2.2.4.1 Tẳm iĂ lợ Đ ѵ ь² пҺ§ƚ ເõa Һ m sè ɣ = х1 −х ƚг¶п mi·п Ǥ: G= (х1 − 6)2 − (х2 − 3)2 ≥ 25 х21+ (х2 − 4)2 ≤ 25 −2x + x ≤ 41 х1 ≥ 0, х22 Li iÊi ỗ iu diạ mià l miÃ Ô ẳ (em ẳ ) ç ƚҺà Һ m х2 = х1− ɣ, ɣ l số õ, l iá ỗ ∆ ເõa Һ m х2 = х1, mëƚ l÷đпǥ (−ɣ) e0 iÊ sỷ iĂ lợ Đ ma (ữ ỹ mi ) Ô ữủ Ôi im (J1 , хJ2 ) ເõa mi·п Ǥ i·u â ເâ пǥҺ¾a l Һ» х1 − х2 = ɣmaх (x1 − 6)2 + (x2 − 3)2 ≥ 25 х21 + (х2 − 4)2 ≤ 25 −2х1 + х2 ≤ х1 ≥ 0, > õ ẵ Đ iằm l (J1 , J2 ), a ỗ m = ma õ im u 66 ợi ỗ ьiºu di¹п mi·п Ǥ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 67 Һ¼пҺ 21 ữ ê ẳm ma mi ả , a Ă ẵ ẵ ủ ừa ỗ iá ừa õ im u ợi ỗ ƚҺà ьiºu di¹п mi·п Ǥ m ƚø â ên n n p y yờ a ê ữủ iĂ lợ Đ họ ingugun v Đ Ư ẳm gỏi i nuậ t nththásĩ, ĩl ố t D0 (−ɣmaх) ≤ −ɣ ≤ (−ɣmiп) ѵỵi ănɣđhđ=hhạcạхc s1 − х2, (х1, х2) , ả mi ữ v nn t th n nv vvavnan ợi ẵ ỗ a0 Đ lulun ma ữ ợi ẵ ỗ Đ Đ lulunn lu Ă ỗ l iá ừa m õ im u ợi ỗ ừa mià ẵ ỗ a0 Đ l i qua im A ẵ ỗ Đ Đ l i qua im iÊi ằ ữ ẳ −2х1 + х2 = х21 + (х2 − 4)2 = 25 ợi ỵ ồa ừa iºm A ·u d÷ὶпǥ ƚa ເâ ƚåa ë ເõa A l ( 5, + 5) √ √ √ Ѵªɣ ɣmiп = − (4 + 5) = −4 − ÷ίпǥ ƚгáп (х1 − 60)2 + (х2 3)2 = 25 - Ôi Ă im ợi Ă ồa ữ l (2, 0) ѵ (10, 0) Ѵªɣ ɣmaх = + = Ь i ƚ0¡п 2.2.4.2 T¼m ǥi¡ ọ Đ lợ Đ ừa m số F = 4х1 + 6х2 ѵỵi ເ¡ເ i·u k̟i»п х1 + х2 ≤ 10 Ǥ= х1 + 4х2 ≥ ≤ x1 ≤ ≤ х2 ≤ 68 Li iÊi ỗ mià ữủ iu diạ miÃ Ô ả ẳ (em ẳ ) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n Һ¼пҺ đ ạạ 22 vvăănănn thth n v n a ậ a n v luluậ ậnn n v luluậ lu F + ợi F l số, õ ç ƚҺà l ƚàпҺ ƚi¸п ເõa ç ƚҺà ∆ ເõa Һ m х2 = − х1 ƚҺe0 ƚгưເ х2 mëƚ l÷đпǥ Ρ/6 D0 F mi ≤ F ≤ F ma ѵỵi п х F = 4х1 + 62, (1, 2) , ả Fma ữ ợi ẵ ỗ a0 Đ, m = ỏ Fmi ữ ợi ẵ ỗ Đ Đ Ă ỗ iá ừa m õ im u ợi miÃ Ô Һ» sè ǥâເ ເõa ເ¡ເ ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ х2 = − х1 , = −х1 + 10, х2 = + 2 lƯ lữủ l ƚaп α = , ƚaп β = −1; ƚaп γ = − Ѵªɣ ເ¡ເ ǥâເ α, β, γ ·u ƚὸ ѵ β < α < γ d0 Һ m ɣ = ƚaп(х) ƚøпǥ ƚг0пǥ π k̟Һ0£пǥ 2( , ) Tứ õ ẵ ỗ Đ Đ l i qua im Dạ õ ồa iºm A l (5, 5), ƚåa ë ເõa iºm Ь l (0, 2), п¶п: Fmaх = 4.5 + 6.5 = 50 ѵ Fmiп = 4.0 + 6.2 = 12 Ь i 0Ă 2.2.4.3 Tẳm iĂ lợ Đ ọ пҺ§ƚ ເõa Һ m sè ɣ = |х1− 1| − х2 ƚг¶п mi·п Ǥ: 69 х1 + х2 ≥ G= 3x + 2x ≤ 12 х1 ≥ 0, 2 Li iÊi ỗ mià l miÃ Ô (em ẳ ) n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ẳ 23 ợi mội , ỗ m sè х2 = |х1 − 1| −ɣ l ƚàпҺ ƚi¸п ç ƚҺà ∆ ເõa Һ m х2 = |х1 − 1| ƚҺe0 ƚгưເ х2 i mëƚ l÷đпǥ (−ɣ) D0 (−ɣmaх) ≤ −ɣ ≤ (−ɣmiп) ѵỵi ɣ = |х1 − 1| 2, (1, 2) ả mi ữ ợi ẵ ỗ Đ Đ s0 ợi Ă ỗ l iá ừa m õ im u ợi miÃ Ô ẵ ç ƚҺà ເa0 пҺ§ƚ l i qua iºm A, ѵà ẵ ỗ a0 Đ i qua im Tồa ë ເõa ເ¡ເ iºm A ѵ Ь d¹ d пǥ ẳm ữủ l (0, 6) (4, 0) D0 ê ɣmiп = |0 − 1| − = −5 ɣmaх = |4 − 1| − = Ь i 0Ă 2.2.4.4 Tẳm iĂ lợ Đ ọ Đ ເõa Һ m Z = х2 + ɣ2, ѵỵi Һ» i·u k̟i»п 70 (х − 1)ɣ ≤ Ǥ= х+ɣ≥4 0x5 Li iÊi ỗ mià l miÃ Ô (em ẳ ) ợi Z 0, ỗ + = Z l ữ ỏ Ơm (0, 0) Ă kẵ Z ẳm Zma , a Ă ữ ỏ Ơm 0(0; 0) Ă kẵ lợ Đ õ im u ợi miÃ Ô Dạ d Đ ÷ίпǥ ƚгáп пҺ÷ ƚҺ¸ l i qua iºm A Һ0°ເ П n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Һ¼пҺ 24 Σ ƚa ເâ ƚåa ë ເõa iºm A l , T÷ὶпǥ ƚü, ƚåa (х − 1)ɣ = Σ2 Σ2 1Σ 2 5, = 25 ë ເõa П l ເâ ZA = +5 = 26, 44 ѵ ZП = + 4 16 ê ữ ỏ Ư ƚ¼m l i qua iºm A ѵ ເâ: Zmaх = ZA = 26, 44 Ǥi£i Һ» ɣ= ẳm Zmi a Ă ữ ỏ Ơm (0; 0) õ im u ợi miÃ Ô õ Ă kẵ. Đ Ă ồa ừa Ă im M a iÊi ằ ữ ẳ Һ0 пҺ ë ເõa M ƚa ເâ Ь х + ɣ =4 (х − 1)ɣ = ѵỵi ເҺό þ Һ0 пҺ ë ເõa Ь ь² Һὶп √ √ Σ √ √ Σ 5−2 3+ 25 + 25 + 25 , ѵ M , ồi 71 01 l im ơm ia ừa 0Ô Q, ƚåa ë ເõa ເ ѵ Q l (0; 4) ѵ (4; 0) п¶п 5− 1ເâ ƚåa ë l (2, 2) D0 < 2, п¶п iºm ເ ѵ Ь ơm ẵa ối ợi im 01 LÔi d0 0Q Ơ, ả 001Q, e0 lỵ à ẳ iáu ữ iả, a õ mià AD im Ư õ ồa Đ Lỵ luê ữ ỹ, a õ0 mià QM ẳ im M Ư ố ồa Đ ữ õ Z = 11 5, ZM = 11 + 5, ả ữ ỏ Ă l i qua iºm Ь √ ѵ ເâ Zmiп = ZЬ = 11 − Ь i ƚ0¡п 2.2.4.5 T¼m iĂ Đ lợ Đ ừa m sè ɣ = −2х1− х2 + х2 1ѵỵi Һ» i·u k̟i»п: G= 2х1 + 3х2 ≤ 2x + x ≤ 41 х1 > 0, х22≤ Lίi ǥi£i n yờ ờvnn ỗ ừa l miÃ Ô (em ) ợi mội số , ỗ pgugunyẳ i gáhi ni nluậ n t th há ĩ, ƚҺà Һ m sè х21= х2− 2х1−ɣ l ƚàпҺn tđốƚi¸п h h tc cs s ỗ aa0l ừa m х2 =1 х − đ 2х1 vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ƚҺe0 ƚгưເ х2 mëƚ l÷đпǥ (−ɣ) ẳm mi a Ă ẵ ỗ a0 Đ Ă ỗ l iá ừa m õ im u ợi ỗ ừa mià ỗ = 12 21 ẳm iá ợi ữ 21+ 32 = Ôi im A º ƚ¼m ǥi¡ ƚгà Һ0 пҺ ë ເõa A ẳ ữ ẳ õ iằm k: ẳ 25 72 - х1 + = х21 − 2х1 − ɣmiп 22 Ta õ = ỗ i ເâ ɣ mi = − D0 A ƚҺuëເ ÷ίпǥ ƚҺ¯пǥ п 14 º ƚ¼m ɣmaх ƚa Ă ẵ 21 + 32 = 6, ả u ừa A l = ỗ Đ Đ Ă ỗ iá ừa õ im u ợi miÃ Ô Dạ Đ ẵ ỗ Ư ẳm l i qua im 0(0; 0) Һ0°ເ Ь(2; 0) ѵ ເâ ɣmaх = n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va lulu lu 73 KT LU ợi mử ẵ kai Ă mối qua ằ ia ẳ Ôi số õ Ư iá ê ữợ iÊi 0Ă mợi ừa i 0Ă ữ ê dử ẵ Đ ¤i sè º ǥi£i ь i ƚ0¡п Һ¼пҺ Һåເ ѵ ữủ lÔi iÊi Ă i 0Ă ẳ ợi ổ Ôi số ổ qua iằ iÊi mở số i 0Ă, luê ô ê u 0 Ă iằm ẵ sau: ã Tẳ mở số ẵ Đ, ổ ừa Ôi sè ເâ ƚҺº ѵªп dưпǥ ѵ ǥi£i n ê ờn n i 0Ă ẳ ữủ lÔi,hinpgỗ uyuy vă ƚҺίi ƚҺỉпǥ qua mëƚ ѵ i ѵ½ dư ὶп g n ận nhgáiáiĩ, lu t h t sĩ iÊ Â Đ iằ ê dử ẵ Đ, ổ ừa Ôi số th t sĂ n h cc vvnnn thth nn n vva an lÔi ê dử Ă ẵ Đ, ổ ừa iÊi i 0Ă ẳ lulữủ ulun n v lulu ẳ iÊi i 0Ă Ôi số ã Tẳ li iÊi i iá mở i 0Ă, à i à Ôi số, ẳ d si iọi ữợ quố e0 ữợ ê dử ẵ Đ Ôi số iÊi i 0Ă ẳ ữủ lÔi iÊi Ă i 0Ă ẳ ợi ổ Ôi số ã ối ợi mở i i 0Ă, luê ô  ữa ỗ i a iÃu li iÊi ữi õ ê , a ữủ ữu im ụ ữ ỵ ki ê dử ẵ Đ Ôi số iÊi i 0Ă ẳ ữủ lÔi iÊi Ă i 0Ă ẳ ợi ổ Ôi số s0 ợi iằ sỷ dử uƯ Ă kĂi iằm, ẵ Đ ổ ¤i sè º ǥi£i ь i ƚªρ ¤i sè ເơпǥ ữ sỷ dử uƯ Ă kĂi iằm, ẵ Đ ổ ẳ iÊi i ê ẳ ối ợi Ê Ơ ổ Ă iÊ dÔ ừa Ă iÊ luê ô ẳ ởi du luê ô s i Ă iÊ luê ô õ ổ i Ă iÊ luê ô sỷ dử iằ iÊ dÔ uả Ã, ỗi dữù si kĂ iọi 74 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 Ti¸пǥ Ѵi»ƚ ເ¡ເ ь i 0Ă lồ 45 ôm Ô ẵ T0Ă Tuời , uĐ Ê iĂ0 dử [1] Tu ê (2010) [2] ụ Dữ Tử, uạ ô (2002), 40 ôm 0lmi T0Ă quố (1959-2000), uĐ Ê iĂ0 dử n Du ữ, uạ S , uạ ia, Lả Mi ữ yờ ờnn pguguny v i hi n n ậ g nhá áiĩ, lu ǥiäi TҺΡT mỉп T0¡п, ПҺ хu§ƚ (2016) Tuɣºп ເҺåп · ƚҺi ҺåເtốhtsiпҺ t th s sĩ đ nn đhhạcạc ă v ă n t th Ôi Quố ia n v v an n lu ậnậnn v va [3] Һ lulu ậ ận lulu ເ¡ເ · ƚҺi Һåເ siпҺ ǥiäi k̟Һu ѵüເ Ơu ã - TĂi ẳ Dữ, uĐ Ê Ôi Quố ia [4] Tu ê (2016) Tiá A [5] Daѵid Һilьeгƚ (1999), F0uпdaƚi0пs 0f Ǥe0meƚгɣ, 0ρeп ເ0uгƚ, Illiп0is [6]K̟iп Ɣ.Li (2002), Ѵeເƚ0 ǥe0meƚгɣ, MaƚҺemaƚiເal Eхເaliьuг, Ѵ0l.6, П05 [7] K̟iп Ɣ.Li (2005), Fam0us Ǥe0meƚгɣ TҺe0гems, MaƚҺemaƚiເal Eхເaliьuг, Ѵ0l.10, П03 [8] Ѵik̟ƚ0г Ρгas0l0ѵ (2006), Ρг0ьlems iп ρlaпe aпd s0lid Ǥe0meƚгɣ Tгaпslaƚed aпd ediƚed ьɣ Dimiƚгɣ Leiƚes, M0sເ0w ƚeхƚь00k̟s