luận văn thạc sĩ một số mở rộng của bất đẳng thức euler và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG MINH AN MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC EULER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG MINH AN MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC EULER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN - 2018 download by : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Bất đẳng thức Euler số mở rộng 1.1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1.1 Một số định lý tam giác 1.1.2 Một số bất đẳng thức 1.1.3 Tứ giác nội tiếp 1.1.4 Tứ giác ngoại tiếp 1.1.5 Tứ giác hai tâm 1.2 Bất đẳng thức Euler 1.3 Một số mở rộng bất đẳng thức Euler 11 1.3.1 Mở rộng bất đẳng thức Euler cho tam giác 11 1.3.2 Mở rộng bất đẳng thức Euler cho tứ giác hai tâm 32 1.3.3 Mở rộng bất đẳng thức Euler cho đa diện 41 Một số ứng dụng bất đẳng thức Euler 51 2.1 Ứng dụng bất đẳng thức Euler chứng minh bất đẳng thức tam giác 51 2.2 Ứng dụng bất đẳng thức Euler chứng minh bất đẳng thức tứ giác 59 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 download by : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy, người tận tình hướng dẫn đạo tác giả tập dượt nghiên cứu khoa học suốt trình tìm hiểu tài liệu, viết hồn thiện Luận văn Đồng thời xin chân thành cảm ơn quý thầy Bộ mơn tốn, Khoa Khoa học Tự nhiên, Thầy Cơ Viện Tốn học tận tình giảng dạy, quan tâm tạo điều kiện thuận lợi thủ tục hành để em hồn thành khóa học bảo vệ luận văn Thạc sĩ Tơi chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè quan, đồn thể nơi tơi cơng tác Trường Trung học Phổ thông Bạch Đằng, Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, tạo điều kiện vật chất lẫn tinh thần trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Xin cảm ơn thầy giáo Hồng Minh Qn cho phép tơi tham khảo sử dụng thảo thầy Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 Tác giả Hoàng Minh An download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dung Lời nói đầu Năm 1897, thi toán Hội Toán học Vật lý Loránd Eotvos, Giáo sư L F Fejér, vào thời điểm sinh viên, sử dụng hệ thú vị sau định lý hình học sơ cấp tiếng Euler: Nếu R bán kính đường trịn ngoại tiếp r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác R ≥ 2r Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Euler Bất đẳng thức dễ dàng suy từ định lý Euler d2 = R2 − 2Rr với d khoảng cách hai tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Vì d2 ≥ nên R ≥ 2r Đẳng thức xảy hai đường tròn đồng tâm, tức tam giác tam giác Bất đẳng thức Euler chất, thể mối quan hệ bán kính đường trịn ngoại tiếp bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Bất đẳng thức Euler có nhiều ứng dụng Ngồi ra, bất đẳng thức Euler cịn mở rộng theo nhiều hướng khác nhau: tam giác (thay bất đẳng thức Euler bất đẳng thức tổng quát hơn), mở rộng cho tứ giác, tứ diện, Luận văn "Một số mở rộng bất đẳng thức Euler ứng dụng" có mục đích khai thác, tổng hợp, chứng minh bất đẳng thức Euler mở rộng bất đẳng thức này, đồng thời trình bày ứng dụng bất đẳng thức Euler chứng minh hệ thức hình học tam giác tứ giác download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dung luan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dung Chương Bất đẳng thức Euler số mở rộng 1.1 Một số kiến thức bổ trợ Cho tam giác ABC, với cạnh a = BC, b = AC, c = AB Kí hiệu a) O, I theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác tam giác b) R r theo thứ tự bán kính đường trịn ngoại tiếp, đường trịn nội tiếp tam giác c) , rb , rc theo thứ tự bán kính đường trịn bàng tiếp, tiếp xúc với cạnh BC, AC, AB tương ứng d) Ký hiệu S diện tích s = 1.1.1 a+b+c nửa chu vi tam giác Một số định lý tam giác Định lý 1.1 (Định lý hàm số cosin) Trong tam giác ABC, ta có a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, b2 = a2 + c2 − 2ac cos B, c2 = a2 + b2 − 2ab cos C Hệ 1.1 Từ Định lý 1.1, ta có cos A = b2 + c2 − a2 , 2bc cos B = c2 + a2 − b2 , 2ca download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dung luan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dung cos C = a2 + b2 − c2 2ab Định lý 1.2 Trong tam giác ABC ta có a b c = = = 2R sin A sin B sin C Định lý 1.3 Diện tích S tam giác ABC tính theo cơng thức sau: 1 S = aha = bhb = chc , 2 1 S = ab sin C = bc sin A = ca sin B, 2 S = abc , 4R S = 2R2 sin A sin B sin C, S = sr, S = S = S = q s(s − a)(s − b)(s − c), √ rra rb rc , arb rc brc cra rb = = , rb + rc rc + ra + rb Định lý 1.4 Trong tam giác ABC, ta có r = (p − a) tan 1.1.2 B C S A = (p − b) tan = (p − c) tan = 2 p Một số bất đẳng thức Định lý 1.5 (Bất đẳng thức AM-GM) Giả sử a1 , a2 , , an số thực khơng âm, ta có √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Hệ 1.2 Với số thực dương a1 , a2 , , an , ta có √ n n a1 a2 an ≥ 1 a1 + a2 + · · · + an Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dung luan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dung Hệ 1.3 Với số thực dương a1 , a2 , , an , ta có 1 n2 + + ··· + ≥ a1 a2 an a1 + a2 + · · · + an Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Định lý 1.6 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Khi (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) Đẳng thức xảy 1.1.3 a1 a2 an = = ··· = b1 b2 bn Tứ giác nội tiếp 1.1.3.1 Định nghĩa tính chất Xét tứ giác lồi ABCD Định nghĩa 1.1 Tứ giác ABCD có bốn đỉnh A, B, C, D nằm đường tròn gọi tứ giác nội tiếp Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp thỏa mãn điều kiện sau Tính chất 1.1 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn (O; R) OA = OB = OC = OD Tính chất 1.2 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp hai đỉnh kề nhìn cạnh đối góc Tính chất 1.3 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp tổng hai góc đối diện 1800 Tính chất 1.4 Giả sử tứ giác ABCD có hai đường thẳng chứa hai cạnh AB CD cắt I Khi điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp IA.IB = IC.ID Tính chất 1.5 Giả sử tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt K Khi điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp KA.KC = KB.KD download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dung luan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dung Tính chất 1.6 (Đường thẳng Simson) Tứ giác ABCD nội tiếp chân ba đường cao hạ từ đỉnh tứ giác xuống ba đường thẳng chứa ba cạnh tạo ba đỉnh lại thẳng hàng Tính chất 1.7 (Định lí Ptoleme) Tứ giác ABCD nội tiếp AC.BD = AB.CD + AD.BC 1.1.3.2 Diện tích tứ giác Định lý 1.7 (Định lí Brahmagupta) Cho tứ giác ABCD nội tiếp với cạnh AB = a, BC = b, CD = c, AD = d Khi diện tích tứ giác ABCD S= q (p − a)(p − b)(p − c)(p − d), a+b+c+d nửa chu vi tứ giác ABCD 1.1.3.3 Độ dài hai đường chéo tứ giác nội tiếp với p = Định lý 1.8 Cho tứ giác ABCD nội tiếp với cạnh AB = a, BC = b, CD = c, AD = d Khi độ dài hai đường chéo tứ giác ABCD cho công thức AC = 1.1.4 (ac + bd)(ab + cd) (ac + bd)(ad + bc) ; BD2 = ab + cd ad + bc Tứ giác ngoại tiếp 1.1.4.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.2 Tứ giác lồi ABCD gọi tứ giác ngoại tiếp đường tròn đường trịn tiếp xúc với tất cạnh tứ giác Cho tứ giác lồi ABCD Khi ABCD tứ giác ngoại tiếp thỏa mãn điều kiện sau Tính chất 1.8 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn (O; R) tổng cặp cạnh đối nhau, tức AB + CD = BC + DA Tính chất 1.9 Tứ giác ABCD có tia AD BC cắt E; tia AB DC cắt F Khi điều kiện sau tương đương: a) Tứ giác ABCD ngoại tiếp b) BE + BF = DE + DF c) F A + CE = EA + CF download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dung luan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dung 1.1.4.1 Diện tích tứ giác ngoại tiếp Định lý 1.9 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp với cạnh AB = a, BC = b, CD = c, AD = d Khi diện tích tứ giác ABCD √ B+D S = abcd sin 1.1.5 Tứ giác hai tâm Định nghĩa 1.3 Tứ giác ABCD gọi tứ giác hai tâm vừa nội tiếp đường tròn vừa ngoại tiếp đường tròn Nhận xét Tứ giác hai tâm có đầy đủ tính chất tứ giác nội tiếp tứ giác ngoại tiếp Giả sử tứ giác hai tâm nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R ngoại tiếp đường trịn tâm I bán kính r Các định lý trình bày [2] Định lý 1.10 Trong tứ giác hai tâm, ta có đẳng thức sau: a) (bc + ad)(ab + cd)(ac + bd) = 16p2 R2 r2 b) ab + bc + cd + da = p2 √ c) ab + bc + cd + da + ac + bd = p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 √ d) ac + bd = 2r(r + 4R2 + r2 ) 1.1.5.1 Diện tích tứ giác hai tâm Cho tứ giác hai tâm ABCD với cạnh AB = a, BC = b, CD = c, DA = a+b+c+d d với nửa chu vi p = diện tích S Định lý 1.11 Diện tích tứ giác hai tâm ABCD cho công thức √ S = abcd Hệ 1.4 Tứ giác hai tâm có diện tích tính công thức S = ac tan θ θ = bd cot , 2 với θ góc hai đường chéo Hệ 1.5 Trong tứ giác hai tâm ta có A tan = s bc C B = cot ; tan = ad 2 s cd D = cot ab download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dungluan.van.thac.si.mot.so.mo.rong.cua.bat.dang.thuc.euler.va.ung.dung x1 x2 2S∆P AB = |x1 y2 − x2 y1 | = x1 y2 − x2 y1 = y1 y Do x2 x3 −→ −−→ −→ S∆P BC P A + 2S∆P CA P B + 2S∆P AB P C = =