(Luận văn) một số mở rộng của bất đẳng thức euler và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG MINH AN lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC EULER VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2018 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG MINH AN lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC EULER VÀ ỨNG DỤNG w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp d oa nl Mã số: 8460113 lu ll u nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC m oi NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh PGS.TS Tạ Duy Phượng z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2018 ac th si Mục lục lu Lời nói đầu Bất đẳng thức Euler số mở rộng an Lời cảm ơn n va 1.1.1 Một số định lý tam giác 1.1.2 Một số bất đẳng thức 1.1.3 Tứ giác nội tiếp p ie gh tn to 1.1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1.5 Tứ giác hai tâm 1.2 Bất đẳng thức Euler d oa nl w 1.1.4 Tứ giác ngoại tiếp lu 11 1.3.1 Mở rộng bất đẳng thức Euler cho tam giác 11 1.3.2 Mở rộng bất đẳng thức Euler cho tứ giác hai tâm 32 ul nf va an 1.3 Một số mở rộng bất đẳng thức Euler oi lm 1.3.3 Mở rộng bất đẳng thức Euler cho đa diện 51 z at nh Một số ứng dụng bất đẳng thức Euler 41 2.1 Ứng dụng bất đẳng thức Euler chứng minh bất z đẳng thức tam giác 51 @ 2.2 Ứng dụng bất đẳng thức Euler chứng minh bất gm đẳng thức tứ giác 59 65 an Lu Tài liệu tham khảo m co l Kết luận 66 n va ac th si Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học, Đại lu an học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Xin va gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy, người tận tình hướng dẫn n đạo tác giả tập dượt nghiên cứu khoa học suốt trình tìm Đồng thời xin chân thành cảm ơn quý thầy Bộ mơn tốn, ie gh tn to hiểu tài liệu, viết hoàn thiện Luận văn p Khoa Khoa học Tự nhiên, Thầy Cơ Viện Tốn học tận tình giảng dạy, w quan tâm tạo điều kiện thuận lợi thủ tục hành để em hồn oa nl thành khóa học bảo vệ luận văn Thạc sĩ Tôi chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè quan, đồn thể nơi d an lu công tác Trường Trung học Phổ thông Bạch Đằng, Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, tạo điều kiện vật chất lẫn tinh thần trình va nf học tập, nghiên cứu viết luận văn oi lm ul Xin cảm ơn thầy giáo Hoàng Minh Quân cho phép tham khảo sử dụng thảo thầy z at nh Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 z Tác giả gm @ Hoàng Minh An m co l an Lu n va ac th si Lời nói đầu Năm 1897, thi toán Hội Toán học Vật lý Loránd Eotvos, lu an Giáo sư L F Fejér, vào thời điểm sinh viên, sử dụng hệ va thú vị sau định lý hình học sơ cấp tiếng Euler: Nếu R bán n kính đường trịn ngoại tiếp r bán kính đường trịn nội tiếp tam Bất đẳng thức dễ dàng suy từ định lý Euler d2 = R2 − 2Rr với d ie gh tn to giác R ≥ 2r Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Euler p khoảng cách hai tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Vì w d2 ≥ nên R ≥ 2r Đẳng thức xảy hai đường tròn đồng oa nl tâm, tức tam giác tam giác Bất đẳng thức Euler chất, thể mối quan hệ bán kính d an lu đường trịn ngoại tiếp bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Bất đẳng thức Euler có nhiều ứng dụng Ngồi ra, bất đẳng thức Euler cịn va nf mở rộng theo nhiều hướng khác nhau: tam giác (thay bất giác, tứ diện, oi lm ul đẳng thức Euler bất đẳng thức tổng quát hơn), mở rộng cho tứ z at nh Luận văn "Một số mở rộng bất đẳng thức Euler ứng dụng" có mục đích khai thác, tổng hợp, chứng minh bất đẳng thức Euler mở rộng z bất đẳng thức này, đồng thời trình bày ứng dụng bất đẳng thức m co l gm @ Euler chứng minh hệ thức hình học tam giác tứ giác an Lu n va ac th si Chương Bất đẳng thức Euler số mở rộng lu an va n 1.1 Một số kiến thức bổ trợ gh tn to Cho tam giác ABC, với cạnh a = BC, b = AC, c = AB Kí hiệu p ie a) O, I theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác tam giác nl w b) R r theo thứ tự bán kính đường trịn ngoại tiếp, đường trịn nội tiếp d oa tam giác lu c) , rb , rc theo thứ tự bán kính đường trịn bàng tiếp, tiếp xúc với va an cạnh BC, AC, AB tương ứng d) Ký hiệu S diện tích s = 1.1.1 oi lm ul nf a+b+c nửa chu vi tam giác Một số định lý tam giác z at nh Định lý 1.1 (Định lý hàm số cosin) Trong tam giác ABC, ta có a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, z @ gm b2 = a2 + c2 − 2ac cos B, m co l c2 = a2 + b2 − 2ab cos C Hệ 1.1 Từ Định lý 1.1, ta có b2 + c2 − a2 , 2bc n va ac th c2 + a2 − b2 cos B = , 2ca an Lu cos A = si cos C = a2 + b2 − c2 2ab Định lý 1.2 Trong tam giác ABC ta có a b c = = = 2R sin A sin B sin C Định lý 1.3 Diện tích S tam giác ABC tính theo công thức sau: 1 S = aha = bhb = chc , 2 1 S = ab sin C = bc sin A = ca sin B, 2 lu an S = abc , 4R va n S = 2R2 sin A sin B sin C, to gh tn S = sr, s(s − a)(s − b)(s − c), p ie S = q oa nl w S = S = √ rra rb rc , d arb rc brc cra rb = = , rb + rc rc + ra + rb va an lu z at nh 1.1.2 B C S A = (p − b) tan = (p − c) tan = 2 p oi lm r = (p − a) tan ul nf Định lý 1.4 Trong tam giác ABC, ta có Một số bất đẳng thức z Định lý 1.5 (Bất đẳng thức AM-GM) Giả sử a1 , a2 , , an số thực @ không âm, ta có m co l gm √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an n va ac th Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an an Lu Hệ 1.2 Với số thực dương a1 , a2 , , an , ta có √ n n a1 a2 an ≥ 1 a1 + a2 + · · · + an si Hệ 1.3 Với số thực dương a1 , a2 , , an , ta có 1 n2 + + ··· + ≥ a1 a2 an a1 + a2 + · · · + an Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Định lý 1.6 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Khi (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) Đẳng thức xảy lu an n va 1.1.3 a1 a2 an = = ··· = b1 b2 bn Tứ giác nội tiếp Xét tứ giác lồi ABCD gh tn to 1.1.3.1 Định nghĩa tính chất p ie Định nghĩa 1.1 Tứ giác ABCD có bốn đỉnh A, B, C, D nằm đường w tròn gọi tứ giác nội tiếp oa nl Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp thỏa mãn d điều kiện sau lu va an Tính chất 1.1 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn (O; R) OA = OB = OC = OD ul nf oi lm Tính chất 1.2 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp hai đỉnh kề nhìn cạnh đối góc z at nh Tính chất 1.3 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp tổng hai góc đối diện 1800 z @ gm Tính chất 1.4 Giả sử tứ giác ABCD có hai đường thẳng chứa hai cạnh AB m co giác nội tiếp IA.IB = IC.ID l CD cắt I Khi điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD tứ an Lu Tính chất 1.5 Giả sử tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt K Khi điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp KA.KC = n va KB.KD ac th si Tính chất 1.6 (Đường thẳng Simson) Tứ giác ABCD nội tiếp chân ba đường cao hạ từ đỉnh tứ giác xuống ba đường thẳng chứa ba cạnh tạo ba đỉnh cịn lại thẳng hàng Tính chất 1.7 (Định lí Ptoleme) Tứ giác ABCD nội tiếp AC.BD = AB.CD + AD.BC 1.1.3.2 Diện tích tứ giác Định lý 1.7 (Định lí Brahmagupta) Cho tứ giác ABCD nội tiếp với cạnh AB = a, BC = b, CD = c, AD = d Khi diện tích tứ giác ABCD lu an S= q (p − a)(p − b)(p − c)(p − d), va a+b+c+d nửa chu vi tứ giác ABCD 1.1.3.3 Độ dài hai đường chéo tứ giác nội tiếp n với p = gh tn to ie Định lý 1.8 Cho tứ giác ABCD nội tiếp với cạnh AB = a, BC = p b, CD = c, AD = d Khi độ dài hai đường chéo tứ giác ABCD nl w cho công thức d oa AC = (ac + bd)(ab + cd) (ac + bd)(ad + bc) ; BD2 = ab + cd ad + bc an lu 1.1.4 Tứ giác ngoại tiếp va oi lm ul nf 1.1.4.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.2 Tứ giác lồi ABCD gọi tứ giác ngoại tiếp đường z at nh tròn đường trịn tiếp xúc với tất cạnh tứ giác Cho tứ giác lồi ABCD Khi ABCD tứ giác ngoại tiếp z thỏa mãn điều kiện sau @ gm Tính chất 1.8 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn (O; R) m co l tổng cặp cạnh đối nhau, tức AB + CD = BC + DA Tính chất 1.9 Tứ giác ABCD có tia AD BC cắt E; tia a) Tứ giác ABCD ngoại tiếp n ac th c) F A + CE = EA + CF va b) BE + BF = DE + DF an Lu AB DC cắt F Khi điều kiện sau tương đương: si 1.1.4.1 Diện tích tứ giác ngoại tiếp Định lý 1.9 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp với cạnh AB = a, BC = b, CD = c, AD = d Khi diện tích tứ giác ABCD √ B+D S = abcd sin 1.1.5 Tứ giác hai tâm Định nghĩa 1.3 Tứ giác ABCD gọi tứ giác hai tâm vừa nội tiếp đường tròn vừa ngoại tiếp đường trịn lu Nhận xét Tứ giác hai tâm có đầy đủ tính chất tứ giác nội tiếp an tứ giác ngoại tiếp va n Giả sử tứ giác hai tâm nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R ngoại tiếp gh tn to đường trịn tâm I bán kính r Các định lý trình bày [2] Định lý 1.10 Trong tứ giác hai tâm, ta có đẳng thức sau: p ie w a) (bc + ad)(ab + cd)(ac + bd) = 16p2 R2 r2 nl b) ab + bc + cd + da = p2 d oa √ c) ab + bc + cd + da + ac + bd = p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 √ d) ac + bd = 2r(r + 4R2 + r2 ) va an lu ul nf 1.1.5.1 Diện tích tứ giác hai tâm oi lm Cho tứ giác hai tâm ABCD với cạnh AB = a, BC = b, CD = c, DA = a+b+c+d d với nửa chu vi p = diện tích S z at nh Định lý 1.11 Diện tích tứ giác hai tâm ABCD cho công thức √ S = abcd z @ θ θ = bd cot , 2 với θ góc hai đường chéo s s ac th cd D = cot ab n bc C B = cot ; tan = ad 2 va A tan = an Lu Hệ 1.5 Trong tứ giác hai tâm ta có m co l S = ac tan gm Hệ 1.4 Tứ giác hai tâm có diện tích tính cơng thức si y1 y z at nh x2 x3 z m co l gm @ Do