(Luận văn) một số mở rộng của bất đẳng thức muirhead và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN LONG PHI lu an n va ie gh tn to MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC p MUIRHEAD VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2021 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN LONG PHI lu an MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC va n MUIRHEAD VÀ ỨNG DỤNG p ie gh tn to nl w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp d oa Mã số: 46 01 13 nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS LÊ QUANG THUẬN m co l gm @ an Lu Bình Định - 2021 n va ac th si Mục lục Lời cam đoan lu an n va Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị Bộ trội số tính chất ie gh tn to 1.1 p 1.2 Tổng đối xứng hoán vị Hàm lồi d oa nl w 1.3 10 an lu Bất đẳng thức Muirhead số ứng dụng Bất đẳng thức Muirhead 10 2.2 Một số ứng dụng bất đẳng thức Muirhead 14 2.2.1 Chứng minh số bất đẳng thức đại số 14 2.2.2 Chứng minh số bất đẳng thức hình học 27 nf va 2.1 z at nh oi lm ul z @ gm Một số dạng mở rộng bất đẳng thức Muirhead ứng co Bất đẳng thức Muirhead dạng tổng quát m 3.1 31 l dụng 31 an Lu n va i ac th si ii 3.2 Một mở rộng bất đẳng thức Muirhead liên quan đến 3.3 trung bình lũy thừa trộn lẫn 37 Bất đẳng thức Muirhead mở rộng theo cách phân hoạch 42 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Quyết định giao đề tài luận văn (bản sao) lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Đề tài “Một số mở rộng bất đẳng thức Muirhead ứng dụng” kết sưu tầm, tìm hiểu hướng dẫn TS Lê Quang Thuận Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn có tài liệu tham khảo lu trích dẫn rõ ràng, đảm bảo tính trung thực xác an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Bất đẳng thức vấn đề khó, hấp dẫn thu hút quan tâm đơng đảo người giảng dạy tốn bậc phổ thông đến đại học lu an nhà nghiên cứu toán Hiện nay, lý thuyết bất đẳng thức va lĩnh vực toán học đồ sộ, phát triển rộng sâu Lý thuyết n gh tn to công cụ quan trọng để phát triển nhiều lĩnh vực toán học Trong tốn phổ thơng, chủ đề bất đẳng thức gặp thường xuyên p ie oa nl w sinh chúng hay xuất kỳ thi học sinh giỏi để đánh giá tư học d Trong năm gần đây, nhiều nghiên cứu tập trung mở rộng bất lu nf va an đẳng thức Muirhead ứng dụng việc chứng minh bất đẳng thức Tìm hiểu kết bổ ích cho cơng việc giảng dạy nghiên lm ul cứu Toán học sơ cấp bậc Trung học phổ thơng Với mong muốn tìm hiểu z at nh oi bất đẳng thức Muirhead, số dạng mở rộng ứng dụng, chọn đề tài “Một số mở rộng bất đẳng thức Muirhead ứng dụng” z để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ gm @ Phương pháp nghiên cứu sử dụng sưu tầm, đọc tài liệu l m co làm rõ cơng trình công bố giới nước Tham khảo dạng toán kỳ thi học sinh giỏi có liên quan đến an Lu bất đẳng thức Muirhead Từ đó, tạo đề tài phù hợp cho công n va ac th si tác giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh giỏi toán Phổ thơng Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học trường Phổ thông, đem lại niềm đam mê, sáng tạo việc dạy toán học tốn Nội dung luận văn gồm ba chương với nội dung chương trình bày sau: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số vấn đề quan hệ trội số thực không âm; lu trình bày khái niệm số tính chất ban đầu tổng đối xứng an n va hốn vị tổng hốn vị vịng quanh này, phát biểu chứng minh bất đẳng thức Muirhead cho ie gh tn to Chương Bất đẳng thức Muirhead số ứng dụng Trong chương p hai số ba số thực không âm Một số ví dụ áp dụng bất oa nl w đẳng thức toán sơ cấp chọn lọc trình bày d Chương Một số dạng mở rộng bất đẳng thức Muirdhead ứng lu nf va an dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức Muirhead dạng tổng quát cho n số chứng minh dựa cách tiếp lm ul cận bất đẳng thức Cauchy-Schwarz [13] Hai mở rộng khác z at nh oi bất đẳng thức Muirhead dựa cách nhìn mở rộng trung bình mở rộng phép phân hoạch biến đề cập z gm @ Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình thầy TS Lê Quang Thuận Nhân dịp này, l m co xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ an Lu suốt trình học tập làm Luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại n va ac th si học, Khoa Toán Thống kê với quý thầy dạy lớp cao học Phương pháp Tốn sơ cấp K22 (06/2019 – 06/2021), nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập làm Luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập lu Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên Luận văn không tránh an khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy cô va n bạn để Luận văn hồn thiện p ie gh tn to Tơi xin chân thành cảm ơn! nl w Bịnh Định, tháng năm 2021 d oa Học viên nf va an lu Nguyễn Long Phi z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an Trong chương này, giới thiệu số khái niệm trội va n số tính chất để chuẩn bị cho chương sau tn to Bộ trội số tính chất p ie gh 1.1 Cho n số thực không âm α “ pα1 , α2 , , αn q, tức αi ě 0, i “ nl w oa 1, 2, , n Ta xếp trật tự thành phần α theo thứ tự d giám dần α1Ó ě α2Ó ě α3Ó ě ¨ ¨ ¨ ě αnÓ Ta ký hiệu αÓ véc tơ có từ α an lu nf va cách thành phần theo thứ tự giảm dần trên, tức z at nh oi lm ul αÓ “ pα1Ó , α2Ó , , αnÓ q Trong tập hợp tất n số thực khơng âm, ta thứ tự (khơng tồn phần) quan hệ trội ă ą định nghĩa sau z gm @ Định nghĩa 1.1 ([13]) Với hai n số thực không âm α “ pα1 , α2 , , αn q l β “ pβ1 , β2 , , βn q, ta nói α trội β, kí hiệu α ą β, hay m co β trội α, ký hiệu β ă α điều kiện sau thỏa an Lu mãn: n va ac th si k ř (a) i“1 αiÓ ě k ř i “1 βiÓ , @k “ 1, 2, , n ´ 1; (b) α1Ó ` α2Ó ` ă ă ă ` nể 1ể ` 2ể ` ă ă ă ` nể ã p1, 1, 1, 1q ă p2, 1, 1, 0q ă p3, 1, 0, 0q ă p4, 0, 0, 0q Ví dụ 1.1 • p1, 1, 1, 1q ă p0, 1, 1, 2q ă p3, 1, 0, 0q ă p0, 0, 4, 0q Ví dụ 1.2 Với n số thực khơng âm α “ pα1 , α2 , , αn q, ta có pα ¯, α ¯, , α ¯ q ă pα1 , α2 , , αn q ă pα1 ` ` ă ă ă ` n , 0, , 0q lu an α ¯“ n va p1 ` ` ă ă ă ` αn q n tn to Từ định nghĩa quan hệ trội ă, ta thấy quan hệ có tính chất bắc cầu gh p ie α ă β, β ă γ ùñ α ă γ nl w Định nghĩa 1.2 (Ma trận ngẫu nhiên kép) Ma trận ngẫu nhiên kép (còn d oa gọi ma trận bistochastic), ma trận vuông A “ paij q không nf va an lu âm số thực, hàng cột có tổng 1, ÿ ÿ aij “ aij “ lm ul i j z at nh oi Với n số thực không âm β “ pβ1 , β2 , , βn q, ta ký hiệu Hpβ q bao lồi tập điểm pβσp1q , βσp2q , , βσpnq q với σ chạy khắp S pnq, S pnq tập hợp tất hoán vị (song ánh) σ : t1, 2, , nu Ñ z l gm @ t1, 2, , nu Hpβ q “ convtpβσp1q , βσp2q , , βσpnq q | σ P S pnqu m co β an Lu Định lý sau cho ta điều kiện cần đủ để α làm trội n va ac th si 39 Bổ đề 3.1 ([7]) Cho α β hai véctơ xác suất Khi đó, khẳng định sau tương đương paq α ă β; pbq Tồn véc tơ xác suất c “ pc1 , c2 , , cn! q cho α“ n! ÿ ck βτk k “1 S pnq “ tτ1 , τ2 , , τn! u lu an Bổ đề 3.2 ([7]) Cho α β véctơ xác suất với α ă β Giả sử n va S pnq “ tσ1 , σ2 , , σn! u Với y “ py1 , y2 , , yn q P Rn` , ta có ie gh tn to paq Nếu r ě Fr pApα; yσ1 q, , Apα; yσn! qq ď Fr pApα; yσ1 q, , Apα; yσn! qq p pbq Nếu r ď Fr pApα; yσ1 q, , Apα; yσn! qq ě Fr pApα; yσ1 q, , Apα; yσn! qq oa nl w Chứng minh Ta có f pxq “ xr , x ą hàm số lồi với r P p´8, 0q Y r1, 8q d lõm với r P p0, 1s Ta có C Gr n! n! ÿ ÿ r xα, yσj y “ ck βτk , yσj ď ck xβτk , yσj yr , r P p´8, 0q Y r1, 8q, nf va an lu Gr lm ul xα, yσj yr “ Ck“1 n! ÿ ck βτk , yσj ě ck xβτk , yσj yr , r P p0, 1s, z at nh oi k“1 α “ k “1 n! ÿ k “1 řn! k“1 ck βτk với véc tơ xác suất pc1 , c2 , , cn! q z τ1 , , τn! hoán vị thuộc S pnq Khi đó, ta có # + 1r # + 1r n! n! n! ÿ ÿ ÿ 1 xα, yσj yr ď ck xβτk , yσj yr , r P r1, 8q, n! n! j “1 j “1 k “1 + 1r # + 1r , r P p´8, 0q Y p0, 1s an Lu ě n! n! ÿ ÿ ck xβτk , yσj yr n! j “1 k “1 m n! ÿ xα, yσj yr n! j “1 co l gm @ # n va ac th si 40 Để ý tσj τ : j “ 1, 2, , n!u “ tσj : j “ 1, 2, , n!u với τ P S pnq Từ ta có n! n! n! n! ÿ ÿ ÿ 1 ÿ r ck ck xβτk , yσj y “ xβτk , yσj yr n! k“1 n! j “1 j “1 k“1 n! ÿ ck “ xβ, yσj τk´1 yr n! j “1 k“1 n! ÿ n! ÿ n! n! ÿ ÿ 1 r “ ck xβ, yσj y “ xβ, yσj yr n! n! j “1 j “1 k“1 lu Trường hợp r “ 0, ta lấy giới hạn bất đẳng thức thứ hai r Ñ an n va Định lý 3.2 ([7]) Cho α β hai véctơ xác suất cho α ă β Giả sử tn to S pnq “ tσ1 , σ2 , , σn! u Khi đó, với x “ px1 , x2 , , xn q có thành p ie gh phần dương p ď q, ta có w paq Fq pFp pα; xσ1 q, , Fp pα; xσn! qq ď Fq pFp pβ; xσ1 q, , Fp pβ; xσn! qq d oa nl pbq Fp pFq pα; xσ1 q, , Fq pα; xσn! qq ě Fp pFq pβ; xσ1 q, , Fq pβ; xσn! qq an lu Chứng minh (a) Xét trường hợp nf va Trường hợp 1: ă p ď q Khẳng định paq tương đương với ˜ ¸p{q ˜ ¸p{q n! n! ÿ ÿ 1 ď xα, xpσk yp{q xβ, xpσk yp{q n! n! k “1 k “1 z at nh oi lm ul Đặt r “ q {p ě y “ xp Khi đó, bất đẳng thức sau trở thành z Fr pApα; yσ1 q, , Apα; yσn! qq ď Fr pApβ; yσ1 q, , Apβ; yσn! qq gm @ Tính chứng minh Bổ đề 3.2 l m co Trường hợp 2: p ă ă q Khẳng định paq tương đương với ˜ ¸p{q ˜ ¸p{q n! n! ÿ ÿ 1 xα, xpσk yp{q ě xβ, xpσk yp{q n! n! k “1 k “1 an Lu n va ac th si 41 Đặt r “ q {p ă y “ xp Khi đó, bất đẳng thức sau trở thành Fr pApα; yσ1 q, , Apα; yσn! qq ě Fr pApβ; yσ1 q, , Apβ; yσn! qq Tính chứng minh Bổ đề 3.2 Trường hợp 3: p ď q ă Trong trường hợp này, ta có ´1 ´1 Fq pFp pα; xσ1 q, , Fp pα; xσn! qq “ F´q pF´p pα; x´ σ1 q, , F´p pα; xσn! qq ´1 ´1 ď F´q pF´p pβ; x´ σ1 q, , F´p pβ; xσn! qq lu “ Fq pFp pβ; xσ1 q, , Fp pβ; xσn! qq an va Trường hợp 4: p “ q “ Ta lấy giới hạn p Ñ q Ñ n gh tn to trường hợp (b) Chứng minh tương tự p ie nl w d oa Hệ 3.1 ([7]) Cho α “ pα1 , α2 , , αn q véc tơ xác suất nf va kỳ p ď q, ta có an lu x “ px1 , x2 , , xn q P Rn` Giả sử S pnq “ tσ1 , σ2 , , σn! u Khi đó, với bất lm ul paq Fp pxq ď Fq pFp pα; xσ1 q, , Fp pα; xσn! qq ď Fq pxq z at nh oi pbq Fp pxq ď Fp pFq pα; xσ1 q, , Fq pα; xσn! qq ď Fq pxq z Chứng minh (a) Với véctơ xác suất α “ pα1 , α2 , , αn q, ta có @ m co Hơn nữa, l gm γ “ p1{n, 1{n, , 1{nq ă α ă β “ p1, 0, , 0q an Lu Fq pFp pγ; xσ1 q, , Fp pγ; xσn! qq “ Fq pFp pxq, , Fp pxqq “ Fp pxq n va ac th si 42 Fq pFp pβ; xσ1 q, , Fp pβ; xσn! qq “ Fq pp1{n!, , 1{n!q; x1 , , x1 , , xn , , xn q “ Fq pxq Theo Định lý 3.2, ta có Fp pxq “ Fq pFp pγ; xσ1 q, , Fp pγ; xσn! qq ď Fq pFp pα; xσ1 q, , Fp pα; xσn! qq ď Fq pFp pβ; xσ1 q, , Fp pβ; xσn! qq “ Fq pxq lu (b) Tương tự, ta nhận an va n Fp pxq “ Fp pFq pβ; xσ1 q, , Fp pβ; xσn! qq to gh tn ď Fp pFq pα; xσ1 q, , Fq pα; xσn! qq p ie ď Fp pFq pγ; xσ1 q, , Fq pγ; xσn! qq “ Fq pxq oa nl w d Nhận xét 3.2 Nếu lấy p “ ă q “ 1, Định lý 3.2 cho ta bất đẳng thức lu Bất đẳng thức Muirhead mở rộng theo cách phân hoạch z at nh oi lm ul 3.3 nf va an Muirhead tổng quát cho trường hợp số mũ véc tơ xác suất Ta nói gồm r tập hợp tS1 , S2 , , Sr u phép phân hoạch tập t1, 2, , k u Si X Sj “ ∅ Yrj“1 Si “ t1, 2, , k u z không tất pi với i P S an Lu iPS m co l gm @ Cho tập số S Ă t1, 2, , k u, số nguyên m ą số thực dương ` ÿ ˘˝m p1 , p2 , , pk Tổng pi hiểu tổng số hạng khai iPS `ÿ ˘m triển lũy thừa pi mà ta tính số hạng có lũy thừa khác n va ac th si 43 ˜ ¸˝m ÿ Hiển nhiên m ă |S | pi “ Nếu S “ ∅, ta quy ước iPS $ ˜ ¸˝m ’ &1 m “ ÿ pi “ ’ %0 m ą iPS Để chứng minh kết mở rộng phần này, ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.3 ([11]) Cho m, n, k P N, n ą m 0, X t1, 2, ă ă ă , k u, lu p1 , p2 , , pk P R số thực dương Đặt m án ă P pn, mq “ pi pi ‚ an n va iPQ iPX zQ tn to QĂX ie gh Khi p P pn ` 1, mq ě P pn, m ` 1q (3.9) w oa nl Chứng minh Ta thấy trường hợp k ă k ą n ` m ` đơn giản d Ta chứng minh trường hợp cịn lại an lu lm ul ` ÿ ˘˝pn`1q ` ÿ ˘˝m P pi , pin`2 pi2 pin`m`1 P pi iPQ z at nh oi pi1 pi2 pim`1 nf va Xét số hạng dạng pi1 pi2 pin`m`1 biểu diễn đầy đủ P pn`1, mq, iPX zQ z với tập Q Ă X, biểu diễn đầy đủ P pn ` 1, mq hiểu `ÿ ˘ ` ÿ ˘ tổng tích số pi việc nhân pi n lần với pi gm @ iPQ iPX zQ co l m lần giữ pi theo thứ tự q trình nhân (khơng gộp m thành lũy thừa pi giống nhau) bỏ tích mà khơng chứa an Lu pi lần Ta chia thành hai trường hợp sau: n va ac th si 44 pa1q in`1 R ti1 , i2 , , in u, pa2q in`1 P ti1 , i2 , , in u, đặt G “ tim`1 , im`2 , , in u, T “ tj : m ă j ď n, lj P Gu Khi G Ď X, T Ď tm ` 1, m ` 2, , nu Tương tự, ta xem xét số hạng pi1 pi2 pin`m`1 biểu diễn đầy đủ P pn, m ` 1q, ¸˝n ˜ lu pi1 pi2 pin P ÿ pi , an iPQ ˛˝pm`1q n va ă to pin`1 pi2 pin`m`1 pi ‚ P˝ gh tn iPX zQ p ie với tập Q Ă X, ta chia thành hai trường hợp sau w pb1q in`1 R tin`2 , in`3 , , in`m`1 u d oa nl pb2q in`1 P tin`2 , in`3 , , in`m`1 u, đặt nf va an lu G “ tim`1 , im`2 , , in uzti1 , i2 , , im u, T “ tj : m ă j ď n, ij P Gu Khi G Ă X, T Ă tm ` 1, m ` 2, , nu lm ul Bây ta kết hợp P pn ` 1, mq P pn, m ` 1q theo phép phân chia z at nh oi Các số hạng thuộc trường hợp pa1q pb1q hiển nhiên bỏ qua việc xem xét số hạng xuất z P pn ` 1, mq P pn, m ` 1q với tập Q thích hợp (chú ý P pn, mq gm @ lấy tổng qua tất tập Q X nên có hai tập Q l m co Q1 X để số hạng có P pn ` 1, mq P pn, m ` 1q) an Lu n va ac th si 45 Với tập hợp G, T cố định, từ trường hợp pa2q vào P pn ` 1, mq m ă pi iPQ QX zG nm|T | ă á|T | ă pi ˝ iPG ÿ pi ‚ ÿ pi ‚˝ ˝ iPQ m ă iPQYG pi , iPX zpQYGq (3.10) từ trường hợp pb2q vào P pn, m ` 1q l m ă pi iPQ QX zG nm|T | ă á|T | ă ÿ ÿ pi ˝ iPG pi ‚ ÿ pi ‚˝ iPQ m ă iPX zpQYGq pi iPX zpQYGq (3.11) lu Lấy (3.10) trừ (3.11) ta phần chênh lệch bao gồm ˜ ¸˝m ˜ ¸˝|T | ánm|T | áă pi pi pi pi ˝ an n va iPQ iPG iPQ iPG ÿ pi ‚ iPX zpQYGq tn to QĂX zG ˛˝m (3.12) p ie gh ÿ nl w ÿ ¸˝m ˜ ˜ iPG iPQ oa QĂX zG pi á|T | ă pi m pi ‚ iPX zpQYGq d $˜ ¸n`1´m´|T | ˜ ¸n´m´|T | ¨ & ÿ ÿ ˝ ´ pi ˆ pi % iPQ iPQ an lu ÿ nf va iPX zpQYGq ˛, ‚ pi - (3.13) lm ul Dế thấy (3.12) đại lượng không âm Bây giờ, ta xét (3.13), ta thấy z at nh oi việc lấy tổng tất tập hợp Q Ă X zG (3.13) tương tự lấy tổng phần bù Q1 Q X zG, nên (3.13) tương đương z m co l gm @ an Lu n va ac th si 46 với ˛˝ m ă pi QX zG á|T | ˜ ÿ pi pi iPQ1 iPG iPX zpGYQ1 q ám , $ă n`1m|T | ă nm|T | ¸/ ’ & ÿ ÿ ÿ pi ‚ ´˝ pi ‚ pi ˆ ˝ / ’ % iPX zpGYQ1 q iPQ iPX zpGYQ q (3.14) Ta viết lại Q1 (3.14) thành Q ta thấy tổng (3.13) (3.14) lu (3.13) tương đương với ám á|T | ă pi pi an n va to iPQ tn QĂX zG iPG ˛˝m ÿ pi ‚ iPX zpQYGq p ie gh ´ ¯ n`1´m´|T | n´m´|T | n`1´m´|T | n´m´|T | ˆ A ´A B`B ´B A , ÿ ÿ A “ pi , B “ pi , đại lượng khơng âm iPX zpQYGq nl w iPQ d oa ´ ¯ n`1´m´|T | n´m´|T | n`1´m´|T | n´m´|T | A ´A B`B ´B A ´ ¯ n´m´|T | n´m´|T | “ A ´B pA ´ B q ě nf va an lu z at nh oi lm ul Điều suy bất đẳng thức (3.9) Từ Bổ đề 3.3, ta có hệ sau Hệ 3.2 ([11]) Cho pn2 , n2 , , nr q ą pm1 , m2 , , mr q hai r số z gm @ thực không âm, giảm ď i ă j ď r Giả sử nl “ ml với ď l ď r, l ‰ i, j mi “ ni ´ ě mj “ nj ` Khi với b l m co p1 , p2 , ă ¨ ¨ , pk số thực dương, ta có ˜ ¸˝nj ˜ ¸˝mj r r ÿź ÿ ÿź ÿ pi ě pi iPSj par j “1 iPSj an Lu par j “1 n va ac th si 47 ÿ lấy qua tất phép phân hoạch tS1 , S2 , ă ă ă , Sr u ca par t1, 2, ă ă ă , k u Chứng minh Ta cố định tập Sl với l ‰ i, j đặt X “ Si Y Sj , Q “ Si Sử dụng Bổ đề 3.3, ta có kết luận hệ Bây ta phát biểu chứng minh mở rộng bất đẳng thức Muirhead sau lu Định lý 3.3 ([11]) Cho α “ pα1 , α2 , , αr q, β “ pβ1 , β2 , , βr q hai an r số thực giảm, không âm cho α ă β a1 , a2 , , an số thực va n dương Khi to gh tn r ÿź p ie par j “1 ÿ r ÿź ¸˝βj ˜ ÿ ď par j “1 iPSj , (3.15) iPSj lấy tất phép phân hoạch tS1 , S2 , , Sr u tập w ÿ ¸˝αj ˜ par d oa nl t1, 2, , nu lu nf va an Chứng minh Ta chứng minh định lý phương pháp quy nạp Ta chứng minh kết luận Hệ 3.2 αi “ βi ´ n ě lm ul αj “ βj ` n Điều kéo theo z at nh oi pα1 , α2 , , αr q “ Lpβ1 , β2 , , βr q ÿ ě ¸˝αj ˜ ÿ par j “1 (3.16) gm iPSj n ÿź @ par j “1 ¸˝βj ˜ z n ÿź iPSj l L phép biến đổi tuyến tính đề cập đến Định lý 1.2 m co Bằng quy nạp ta chứng minh an Lu pα1 , α2 , , αr q “ Lm pβ1 , β2 , , βr q, n va ac th si 48 m số ngun dương (3.16) cịn Bây giờ, ta xét hai pα1 , α2 , ¨ ¨ ¨ , αr q, pβ1 , β2 , , βr q giả thiết Định lý, theo Định lý 1.2, tồn số hữu hạn m để cho pα1 , α2 , , αr q “ Lm pβ1 , β2 , , βr q Sử dụng cơng thức (3.16), ta có kết luận Định lý Nhận xét 3.3 (1) Dựa vào chứng minh Định lý 3.3, dấu đẳng thức lu an bất đẳng thức (3.15) pα1 , α2 , , αr q “ pβ1 , β2 , , βr q va a1 a2 ă ă ă an n gh tn to (2) Nếu r “ n, Định lý 3.3 cho ta Định lý 3.1 Thật vậy, trường hợp p ie ta có phép phân hoạch mà tập Sj có phần tử n n ÿź ÿź ` ÿ ˘˝βj ` ÿ ˘˝αj tổng hốn vị đối tổng w par j “1 par j “1 iPSj iPSj oa nl xứng phần tử a1 , a2 , ă ă ă , an ng vi số mũ α “ pα1 , α2 , , αn q d β “ pβ1 , β2 , , βn q tương ứng an lu nf va Từ Định lý 3.3, ta có kết sau lm ul Hệ 3.3 ([11]) Cho a1 , a2 , , ak ą n ě m ě Khi đó, ta có ˜ ÿ p´2qk´|V YT | z at nh oi bất đẳng thức ÿ ¸n ˜ ¸m ˜ ¸ ÿ ÿ ÿ ai ´ ě iPT iPV z iPV iPT gm @ V,T Ăt1,2, ,ku V XT “∅ Chứng minh Bằng cách quy nạp theo |Q|, ta với l m co tập Q Ă X “ t1, 2, , k u, ta có ˜ ¸˝n ˜ ¸n ÿ ÿ ÿ “ p´1q|Q|´|V | V ĂQ iPV an Lu iPQ (3.17) n va ac th si 49 Hiển nhiên điều Q “ ∅ điều với tập thực Q ˜ ¸˝n ˜ ¸n ˜ ¸˝n ÿ ÿ ÿ ÿ “ ´ iPQ iPQ Z ĂQ iPZ ¸n ˜ ÿ “ ¸n ˜ ÿ ÿ ´ iPQ ÿ p´1q|Z |´|V | Z ĂQ V ĂZ iPV ¸n ˜ ÿ “ ÿ V ĂQ V ĂZ ĂQ lu an “ ` va iPQ p´1q n to ÿ ÿ |Q|´|V | V ĂQ p´1q|Q|´|V | tn gh V ĂQ iPV ¸n ˜ “ ¸n ˜ ÿ iPV ¸n ÿ ÿ p´1q|Z |´|V | ´ iPQ ˜ ¸n ˜ ÿ ai ÿ (3.18) iPV p ie Vì V Ă Q nên ÿ ÿ p´1q|Z |´|V | “ p´1q|Q|´|V | ` nl w 0“ V ĂZ ĂQ oa V ĂZ ĂQ p´1q|Z |´|V | d iu ny kộo theo m án ă ÿ ÿ ÿ ˝ aj ‚ nf va an lu iPQ ˜ j PX zQ ¸n ˜ ÿ ÿ QX V Q iPV áă ám ÿ p´1q|Q|´|V | ˝ p´1qk´|Q|´|T | ‚ z at nh oi ÿ “ lm ul QĂX iPV ÿ j PT ÿ aj p´1q|Q|´|V |`k´|Q|´|T | V ĂQ V XT ĂX zQ iPV j PT ¸m aj m an Lu V,T ĂX V XT “∅ 2k´|V |´|T | p´1qk´|V |´|T | ÿ co “ ÿ l ¸n ˜ ˜ ÿ gm V,T ĂX V XT “∅ @ ÿ ¸m z ÿ “ iPT T ĂX zQ ¸n ˜ ˜ Điều kéo theo bất đẳng thức P pn ` 1, mq ě P pn, m ` 1q tương n va ac th si 50 đương với ¸n`1 ˜ ˜ ÿ ÿ 2k´|V |´|T | V,T ĂX V XT “∅ iPV ¸n ˜ ě 2k´|V |´|T | V,T ĂX V XT “∅ ÿ aj j PT ˜ ÿ ¸m ÿ ¸m`1 ÿ iPV aj j PT Và điều kéo theo kết luận hệ lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày số nội dung sau: lu an Trình bày số kiến thức chuẩn bị liên quan trội, so sánh hai n va n số, tổng hốn vị vịng quanh, tổng đối xứng hốn vị gh tn to Giới thiệu kết bất đẳng thức Muirhead cho hai ba số thực không âm; Tổng hợp số tập ứng dụng bất đẳng thức Muirhead p ie w để chứng minh số bất đẳng thức Đại số Hình học oa nl Phát biểu chứng minh bất đẳng thức Muirhead tổng quát cho n d số thực khơng âm an lu nf va Trình bày làm rõ số mở rộng bất đẳng thức Muirhead theo z at nh oi lm ul phân hoạch theo mở rộng trung bình z m co l gm @ an Lu n va 51 ac th si Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Định lý Muirhead ứng dụng, http://www.VNMATH.com lu an [2] Trần Phương, Những Viên Kim Cương Trong Bất Đẳng Thức va n Toán Học, NXB Tri Thức, 2011 [3] L Cezar, L Tudorel, Problem 11245, American Mathematical, p ie gh tn to Tiếng Anh: nl w Monthly, Vol 113, 2006 d oa [4] G.H Hardy, J.E Luflewood, G Polya, Inequalities, Cambridge nf va an lu University Press, 1967 [5] L.C Hin, Muirhead’s Inequality, Mathematical Excalebur, lm ul Volum 11, 2006 z at nh oi [6] Z Kadelburg, D Duklic, M Lukic and I Matic, Inequalities of Karamata, Schur and Muirhead and some applications, The z gm @ Teaching of Mathematic, Vol (1), 31-45, 2005 l [7] H Lee and S Kim, Muirhead’s and Holland’s inequalities of m co mixed power means for positive real numbers, J Appl Math & an Lu Informatics, Vol 35 (2017), No 1-2, pp 33-44, 2017 n va 52 ac th si [8] A.W Marshall, I Olkin, B.C Arnold, Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications, Springer Series in Statistics, New York, 2011 [9] A Mhanna, Around Muirhead’s inequality, Preprint HAL03298986, 2021 [10] R.F Muirhead, Some methods applicable to identities and inequalities of symmetric algebraic functions of m letters, Proc lu Edinburgh Math Soc 21, 144-157, 1903 an n va [11] J.B Parris and A Vencovská, A generalization of Muirhead’s tn to inequality, Jounal of Mathematical Inequalities, Vol (2), 181- p ie gh 187, 2009 w [12] B.M Radmila, A.G.O Jose, V.D Rogelio, Inequalities, A math- d oa nl ematical Olympial Approach, Birkhauser, 2009 an lu [13] J.M Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction nf va to the Art of Mathematical Inequalities, Mathematical Associa- z at nh oi lm ul tion of America, Cambridge University Press, UK, 2004 z m co l gm @ an Lu n va ac th si