Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 39 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HUYỀN BÀI TOÁN BIÊN-GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HUYỀN BÀI TOÁN BIÊN-GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - 2015 download by : skknchat@gmail.com i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức liên quan 1.1 1.2 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian L2 (Ω) 1.1.2 Không gian W2m (Ω) 1.1.3 Không gian W m,` (QT ) Bất đẳng thức tích phân Bài tốn biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic 2.1 Phương trình truyền nhiệt 2.1.1 Khái niệm phương trình parabolic 2.1.2 Dạng phương trình truyền nhiệt 2.1.3 ∆,1 Nghiệm suy rộng thuộc W2,0 (QT ) toán biên- giá trị ban đầu thứ 10 2.1.4 Nghiệm suy rộng thuộc L2 (QT ) toán biêngiá trị ban đầu thứ 14 2.1.5 Nghiệm suy rộng thuộc V21,0 (QT ) toán biêngiá trị ban đầu thứ 16 2.2 Phương trình parabolic dạng tổng quát 20 2.2.1 Phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn 20 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai ii 2.3 2.2.2 Sự tồn nghiệm suy rộng 23 2.2.3 Tính nghiệm suy rộng 25 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai thứ ba 26 2.3.1 Phát biểu toán 27 2.3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ hai thứ ba 27 2.3.3 2.4 Sự tồn nghiệm suy rộng 27 Bất đẳng thức thứ hai 31 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai Mở đầu Lý chọn đề tài Trong chương trình bậc đại học, bước đầu làm quen với môn phương trình đạo hàm riêng Trong đó, ta biết vấn đề liên quan đến phương trình Laplace, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt Đó phương trình đơn giản đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng phương trình elliptic, hypebolic parabolic Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn nghiệm theo nghĩ thông thường địi hỏi nhiều yếu tố khắt khe tính trơn phương trình, điều gây khó khăn xét tốn phương trình miền toán phương trình tổng quát Để khắc phục điều này, thay tìm nghiệm cổ điển, người ta tìm nghiệm suy rộng, tức nghiệm có độ khả vi khơng cao Sau nhờ cơng cụ giải thích hàm, người ta nghiên cứu tồn tại, tính độ trơn nghiệm suy rộng Chính vậy, phương trình đạo hàm riêng cịn vấn đề mẻ bí ẩn kích thích yêu thích sinh viên yêu thích Nhằm góp phần giúp bạn sinh viên độc giả u mơn phương trình đạo hàm riêng nói chung thân tác giả nói riêng hiểu sâu mơn học tiếp tục tìm hiểu khám phá, mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Bài tốn biên giá trị ban đầu phương trình parabolic cấp hai” luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai 2 Đối tượng - Phương pháp - Phạm vi nghiên cứu 2.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu toán biên-giá trị ban đầu thứ phương trình parabolic cấp hai 2.2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu sở phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ trình bày hệ thống để giải vấn đề đặt luận văn 2.3 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu luận văn phương trình parabolic tuyến tính cấp hai Mục đích - nhiệm vụ đóng góp luận văn 3.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn tìm hiểu sâu mơn phương trình đạo hàm riêng, cụ thể phương trình parabolic cấp hai Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên tất quan tâm đến mơn phương trình đạo hàm riêng 3.2 Nhiệm vụ luận văn Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn nghiên cứu tốn biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic cấp hai Luận văn gồm hai chương: luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai • Chương Một số kiến thức liên quan mô tả số không gian Sobolev thích hợp nghiệm phương trình parabolic • Chương Bài toán biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic trình bày khái niệm phương trình parabolic nói chung phương trình truyền nhiệt nói riêng, phát biểu toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất, đưa vào xét nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt Ngồi chương hai trình bày định lý tồn nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ phương trình parabolic tổng qt dạng bảo tồn, nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ hai thứ ba Tài liệu tham khảo luận văn tài liệu [1], trình bày loại nghiệm suy rộng phương trình parabolic Khi nghiệm suy rộng hàm trơn chúng nghiệm cổ điển phương trình mà nghiên cứu [2] 3.3 Những đóng góp luận văn Đóng góp bật luận văn cung cấp khái niệm kết chuyên sâu nghiệm suy rộng phương trình parabolic cấp hai dạng bảo tồn Đó khái niệm như: định nghĩa đạo hàm riêng suy rộng, không gian Sobolev Đặc biệt giúp ta có phương pháp nghiên cứu toán biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic cấp hai luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai Chương Một số kiến thức liên quan Các kiến thức sở chương lấy từ tài liệu [1] 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian L2 (Ω) Giả sử Ω miền bị chặn Rn , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Ω với tích vơ hướng Z ( f (x), g(x))L2 (Ω) = f (x)g(x)dx Ω chuẩn tương ứng k f kL2 (Ω) = 1.1.2 Z 1/2 | f (x)| dx Ω Không gian W2m (Ω) Giả sử m số tự nhiên ta kí hiệu W2m (Ω) không gian Sobolev gồm tất hàm u(x) ∈ L2 (Ω), cho tất đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m thuộc L2 (Ω) Không gian W2m (Ω) không gian Banach với chuẩn sau kukW m (Ω) Z = ∑ |Dα u|2 dx |α|≤m Ω α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Nn đa số; luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai download by : skknchat@gmail.com (1.1) luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai Dα = Dα1 Dα2 Dαn , D = (D1 , D2 , , Dn ), Dj = ∂ ∂xj Khơng khó khăn kiểm tra W2m (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng Z (u, v)W2m (Ω) = 1.1.3 ∑ Dα uDα vdx |α|≤m Ω Không gian W m,` (QT ) Giả sử Ω miền bị chặn Rn với biên ∂ Ω T = const > Kí hiệu QT = Ω × (0, T ) = {(x,t) : x ∈ Ω, t ∈ (0; T )} gọi miền trụ đáy Ω Giả sử m, ` số tự nhiên ta kí hiệu W m,` (QT ) khơng gian Sobolev gồm tất hàm u(x,t) ∈ L2 (QT ), cho tất đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m theo t đến cấp ` thuộc L2 (QT ) Không gian W m,` (QT ) không gian Banach với chuẩn kukW m,` (Q ) = T k luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai 13 số phẳng đầy đủ η(x,t) mà ST , với η(x,t) = 0, xét tích phân tương ứng R QT M0 (vm )ηdxdt Ta tính tích phân phần có Z QT Z M0 (vm )ηdxdt = QT vm µ0∗ (η)dxdt − Z vm ηdx|t=0 Ω Ta có giới hạn m → ∞ để có Z f ηdxdt = − QT Z ϕη(x, 0)dx Ω η(x,t) với đặc tính Vì vậy, với phương pháp tiếng, ta kết luận f ϕ rõ ràng 0, tốn tử A mở rộng thành A Để miêu tả miền xác định D(A) để tính A phần tử D(A) ta chứng minh M0 đẳng thức: kvx (·,t)k22,Ω + Z QT (vt2 + (∆v)2 )2 dxdt = kvx (·, 0)k22,Ω + Z QT (M0 v)2 dxdt (2.22) Ở v(x,t) phần tử D(A) t số [0, T ] Đẳng thức (2.24) suy từ hệ thức sau Z Z ∂ v2x 2 (M0 v) dxdt = vt + (∆v) + dxdt ∂t QT QT Z = QT [vt2 + (∆v)2 ]dxdt + Z Ω v2x dx|t=t t=0 Từ (2.22) suy hội tụ Avm , vm ∈ D(A) W kéo theo hội tụ (1) chuẩn W2∆,1 (QT ) chuẩn sup0≤t≤T k · k2,Ω Điều chứng minh phần tử miền xác định không xấu nhiều ∆,1 phần tử xác định cũ thuộc W2,0 (QT ) phụ thuộc liên tục vào t chuẩn ◦ W12 (Ω) Định lí 2.1 Giả sử Ω miền bị chặn Khi tốn (2.11)-(2.13) có ∆,1 nghiệm u(x,t) W2,0 (QT ) F = f + ∂∂ xfii ∈ L2 (QT ) ϕ(x) ∈ luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai 14 ◦ W12 (Ω) Hơn nữa, nghiệm u(x,t) phụ thuộc liên tục vào t theo chuẩn ◦ W12 (Ω) Chứng minh Ta chứng minh R(A) khơng có phần bù trực giao W , tức từ đồng thức: Z QT w(vt − ∆v)dxdt + Z QT (2.23) ψx vx (x, 0)dx = 0, suy w ≡ ψ ≡ 0, v bất kỳ, v ∈ D(A) {w; ψ} ∈ W Lấy Z t v(x,t) = ∆−1 (x,t)dxdt, t ∈ [0, T ] t1 Thay vào Z TZ t1 ∆−1 vt (vt − ∆v)dxdt = Ω ta có Z TZ v2xx dxdt − Z t=T = (∆v) dx (2.24) Ω t=t1 Khi ∆v|t=t1 = t1 bất kỳ, vxt = QT Vì đồng thức có dạng − t1 Ω Z ψx vx (x, 0)dx = 0, với v(x, 0) D(∆) (2.25) Ω Vì ψ ∈ W21 (Ω) D(∆)|t=0 trù mật W21 (Ω) nên suy ψ ≡ R(A) = W Định lí chứng minh Ví dụ 2.1 Giả sử Ω hình cầu đơn vị Để thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1 ta chọn hàm sau r |x| f (x) = p , f (x) = , f2 (x) = = fn (x) = 0, t |x| 2.1.4 ϕ(x) = Nghiệm suy rộng thuộc L2 (QT ) toán biên-giá trị ban đầu thứ Trong mục này, luận văn trình bày loại nghiệm suy rộng thứ hai toán (2.11)-(2.13) luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai 15 Định nghĩa 2.1 Nghiệm suy rộng thuộc L2 (QT ) toán (2.11)-(2.13) hàm số u(x,t) ∈ L2 (QT ) thỏa mãn đồng thức Z QT Z u(ηt + ∆η)dxdt + Z ϕη(x, 0)dx = QT Ω (− f η + fi ηxi )dxdt (2.26) ∆,1 với η ∈ W2,0 (QT ) thỏa mãn η(x, T ) = Từ sau biểu thức ta gặp số lặp cần lấy tổng theo số lặp từ đến n Nếu u nghiệm suy rộng L2 (QT ) toán (2.11)-(2.13) với f = fi = ϕ = 0, nghĩa (2.26) chứa u với f = fi = ϕ = sau từ đồng thức suy u ≡ Thật vậy, t thay −t, đồng thức chuyển thành đồng thức dạng (2.25) với ϕ ≡ Ở u đóng vai trị w η v, tập hợp η (2.21) chí lớn số v (2.25) Trên quan điểm kết hợp từ (2.25), mà w triệt tiêu cho phép u ≡ ϕ, f fi (2.26) Vì chứng minh Định lí 2.2 Bài tốn (2.11)-(2.13) khơng thể có nghiệm suy rộng L2 (QT ) ∆,1 Nhận xét 2.1 Mọi phần tử u W2,0 (QT ) với t thuộc W21 (Ω) Hơn nữa, u(x,t) hàm liên tục tuyệt đối theo t chuẩn W21 (QT ), đồng thời ta có kux (·,t)k22,Ω = kux (·, 0)k22,Ω − Z ∗ (ut (·,t), ∆u(·,t))dt ∆,1 Trên sở lập luận thuộc tính giữ phần tử u W2,0 (QT ) mà có đạo hàm utx ∈ L2 (QT ) toàn M tất đạo hàm trù ∆,1 mật W2,0 (QT ) Những thuộc tính giữ kết luận luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hailuan.van.thac.si.bai.toan.bien.gia.tri.ban.dau.cho.phuong.trinh.parabolic.tuyen.tinh.cap.hai 16 M không gian Banach " sup kux (·,t)k22,Ω + kukWT ≡ 0≤t≤T Z tZ #1/2 (ut2 + (∆u)2 )dxdt Ω (∆,1) Các chuẩn tương đương M với chuẩn k · k2,QT tất u ∈ M hàm số trơn ζ (t) 2 kux (·,t)ζ (t)k2,Ω − kux (·,t)ζ (t1 )k2,Ω Z t