Luận văn thạc sĩ bài toán biên hilbert và các phương trình tích phân liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒNG QUẾ HƯỜNG BÀI TỐN BIÊN HILBERT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2016 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒNG QUẾ HƯỜNG BÀI TỐN BIÊN HILBERT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2016 z Mục lục Lời mở đầu 3 Một số khái niệm 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Điều kiện Holder ă 1.1.2 Ch số hàm số 1.1.3 Bậc hàm số 1.1.4 Định nghĩa tích phân dạng Cauchy 1.2 Bài toán biên Riemann 1.3 Toán tử Schwarz 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Bài toán xác định hàm giải tích có cực điểm với điều kiện giá trị thực nằm chu tuyến 6 9 10 11 12 13 Bài tốn biên Hilbert 2.1 Thừa số quy hóa 2.1.1 Khái niệm 2.1.2 Cách xác định loại thừa số quy hóa 2.2 Các dạng toán biên Hilbert 2.2.1 Bài toán 2.2.2 Bài tốn khơng 2.2.3 Bài toán đường tròn đơn vị 2.2.4 Bài toán cho miền ngồi đường trịn đơn vị 2.3 Mối liên hệ toán biên Hilbert toán biên Riemann 17 17 17 18 23 23 24 26 27 Một số dạng phương trình tích phân kỳ dị liên quan 35 z 30 3.1 Mối quan hệ phương trình tích phân kỳ dị đặc trưng với nhân Hilbert toán biên Hilbert Các dạng phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert 3.2.1 Phương trình 3.2.2 Phương trình khơng 3.2.3 Phương trình với hệ số 35 37 37 40 43 Ví dụ áp dụng 4.1 Bài toán biên Hilbert 4.2 Phương trình tích phân kì dị 46 46 51 3.2 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Lời mở đầu Bài tốn tìm hàm giải tích miền xác định từ hệ thức liên hệ phần thực phần ảo giá trị biên hàm, lần đưa G F B Riemann vào năm 1857, gọi toán biên Riemann Tương tự vậy, David Hilbert xây dựng tốn sau: Tìm hàm F (z) = u(z) + iv(z) hàm giải tích miền đơn liên D + giới hạn chu tuyến L liên tục D + ∪ L, với điều kiện biên a(t)u(t) + b(t)v(t) = c(t) a(t), b(t) c(t) hàm thực liên tục Hăolder trờn L Bi toỏn trờn cng thuc vo nhúm toán giá trị biên hàm giải tích, tốn lâu đời dạng thường gọi toán biên Hilbert Mục đích luận văn nghiên cứu dạng thứ hai toán biên hàm giải tích lớp phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert tương ứng Tiếp theo, khảo sát số vấn đề liên quan hỗ trợ cho việc giải toán biên Hilbert toán tử Schwarz, thừa số quy hóa, Nội dung khóa luận chia làm bốn chương  Chương 1: Một số khái niệm kiến thức bổ trợ  Chương 2: Bài toán giá trị biên Hilbert cho miền đơn liên, khảo sát nghiệm toán nhất, tốn khơng nhất, tốn cho miền miền ngồi đường trịn đơn vị thơng qua thừa số quy hóa số hàm số  Chương 3: Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert Từ nghiệm toán giá trị biên Hilbert suy nghiệm phương trình tích phân kỳ dị tương ứng tính chất phương trình với nhân Hilbert 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66  Chương 4: Áp dụng toán biên Hilbert giải số phương trình tích phân liên quan 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 14 tháng 08 năm 2016 Học viên Hoàng Quế Hường 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Một số khái niệm Trong chương này, lí thuyết tốn biên Riemann trình bày với đa số kí hiệu dùng sách F D Gakhov [1] Dưới số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khỏi nim c bn 1.1.1 iu kin Holder ă Gi sử L chu tuyến trơn ϕ(t) tham số hóa tọa độ L Ta có định nghĩa Định nghĩa 1.1 Hàm ϕ(t) gi l tha iu kin Hăolder nu vi mi cặp điểm phân biệt tùy ý L có | ϕ (t1 ) − ϕ (t2 )| ≤ A|t1 − t2 |λ (1.1) A λ cỏc s dng A c gi l hng s Hăolder, c gi l ch s Hăolder (0 < ≤ 1) Với λ > (1.1) trở thành ϕ ( t1 ) − ϕ ( t2 ) ≤ A | t − t | λ −1 t1 − t2 lấy giới hạn hai vế t1 → t2 ta ϕ0 (t2 ) = với t2 thuộc miền xác định Khi đó, ϕ(t) số (tức chu tuyến L suy biến thành điểm) Do đó, luận văn này, ta ln xét trường hợp < λ ≤ Với λ = điều kiện gọi điều kiện Lipschitz 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 √ t (với t ≥ 0) Ta có √ √ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 19 Tính tốn số hai vế lấy số p(s) 0, ta κ = Ind [ a(s) + ib(s)] = Ind Φ+ (t) Dựa vào tính chất số phần (1.1.7) ta có kết sau Với κ = hàm Φ+ (z) khơng có 0-điểm miền D + ; Với κ > hàm Φ+ (z) có κ không điểm D + ; Với κ < hàm Φ+ (z) khơng giải tích D + ; hàm cần phải có miền khơng q −κ cực điểm Để đảm bảo tính giải tính nghiệm tốn xác định thừa số quy hóa với số tùy ý cho trước, ta coi nghiệm hàm giải tích trừ điểm cực điểm miền D + Để đơn giản, ta giả sử gốc tọa độ nằm miền D + Định nghĩa 2.1 Thừa số quy hóa hàm phức a(s) + ib(s) xác định chu tuyến L hàm số thực dương p(s) chu tuyến thỏa mãn tích số p(s)[ a(s) + ib(s)] giá trị biên hàm giải tích Φ+ (z) D + , hàm có bậc khắp nơi miền trừ gốc tọa độ có bậc số κ hàm a(s) + ib(s) (xem Định nghĩa 1.4) Ta có khẳng định Định lý 2.1 Mọi hàm xác định chu tuyến L có thừa số quy hóa Chứng minh Xét hai trường hợp sau: (1) κ = Khi hàm Φ+ (z) khơng có 0-điểm miền D + biểu diễn hàm số mũ Φ+ (z) = eiγ(z) , γ(z) = ω ( x, y) + iω1 ( x, y) Theo định nghĩa thừa số quy hóa ta có p(s)[ a(s) + ib(s)] = eiγ(t) = e−ω1 (s) eiω (s) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z (2.3) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 20 Lập phương trình mơ đun argumen hai vế hệ thức thứ hai ta thu p(s) q a2 (s) + b2 (s) = e−ω1 (s) , ω (s) = arctan b(s) · a(s) (2.4) Đây công thức cho giá trị biên hàm điều hòa ω ( x, y) Hàm ω ( x, y) xây dựng việc giải toán Dirichlet, từ dùng phương trình Cauchy-Riemann để xác định hàm điều hòa liên hợp phức ω1 ( x, y); yêu cầu biểu diễn thừa số quy hóa p(s) điều kiện giá trị biên hàm sau Kết có dạng đơn giản cách đưa vào toán tử Schwarz Kết hợp (1.9) (2.4) ta có b γ(z) = ω ( x, y) + iω1 ( x, y) = S arctan ; a để đảm bảo tính xác định ta đặt điều kiện cho γ(z) : Imγ(z0 ) = ω1 (z0 ) = (2.5) Thừa số quy hóa cho công thức p(s) = p e − ω1 ( s ) a2 ( s ) + b2 ( s ) · (2.6) Xét tính thừa số quy hóa Giả sử tồn hai thừa số quy hóa phân biệt p(s) p1 (s) Ta có hệ thức p(s)[ a(s) + ib(s)] = Φ+ (z), p1 (s)[ a(s) + ib(s)] = Φ1+ (z) chia vế cho vế hệ thức đặt Φ1+ (z)/Φ+ (z) = ψ(z) ta thu p1 ( s ) = ψ ( z ) p(s) Phần ảo hàm ψ(z) bị triệt tiêu chu tuyến Do theo tính nghiệm tốn Dirichlet Im ψ(z) = khắp nơi miền D + Từ đó, ψ(z) = const 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 21 Do đó, thừa số quy hóa xác định nhân tử số với điều kiện (2.5) Từ chứng minh tính tồn thừa số quy hóa trường hợp κ = với điều kiện bổ sung (2.5) (2) κ 6= Từ định nghĩa ta có p(s)[ a(s) + ib(s)] = tκ eiγ(t) = tκ e−ω1 (s) eiω (s) (2.7) Lấy mô đun argumen hai vế ta thu | t | κ e − ω1 ( s ) , p(s) = p a2 ( s ) + b2 ( s )      b  ω (s) = arg{t−κ [ a(s) + ib(s)]} = arctan − κ arg t  a Do đó,  γ(z) = S  b arctan − κ arg t a (2.8) (2.9) Thừa số quy hóa cho cơng thức (2.8) Tính nghiệm tốn suy từ kết nói trên, từ theo hệ thức (2.7) tốn tìm thừa số quy hóa cho hàm t−κ [ a(s) + ib(s)] với số Từ đó, chứng minh hoàn tất  Chứng minh chứng tỏ xác định thừa số quy hóa dạng hàm thực tương đương với việc xác định hàm giải tích mà giá trị argumen xác định chu tuyến, điều dẫn tới việc giải tốn Dirichlet Thừa số quy hóa với mơ đun Tìm số quy hóa dạng R(t) = eiθ (s) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 22 Cho biểu diễn hàm phức tọa độ cực a + ib = reiα Theo định nghĩa ta có rei(α+θ ) (s) = Φ+ (t) (2.10) Chúng ta tìm hàm θ (s) với điều kiện tịnh tiến chu tuyến L có số gia 2πν, ν số nguyên cho trước Lấy số hai vế ta κ + ν = n, n số 0- điểm hàm Φ+ miền D + ; đó, θ (s) không phụ thuộc vào số hàm cho a + ib mà phụ thuộc vào số thừa số quy hóa Xét hàm Φ+ (z) với điều kiện có bậc n gốc tọa độ thuộc miền D + Biểu diễn hàm Φ+ (z) dạng zn eγ(z) ta có r ei(θ +α) = tn eγ(t) = tn eω (s) eiω1 (s) Lập phương trình mơ đun argumen với hệ thức thứ hai ta ω = ln (r |t|−n ), ω1 = θ + α − n arg t (2.11) Do đó, biết phần thực ω giá trị biên hàm giải tích γ(z) Giải tốn Dirichlet tìm hàm điều hịa ω ( x, y) Tiếp theo tìm hàm liên hợp phức ω1 , xác định hàm θ theo công thức (2.11) biểu diễn thừa số quy hóa công thức (2.10) Nghiệm viết với điều kiện toán tử Schwarz γ(z) = ω ( x, y) + iω1 ( x, y) = Sln (r |t|−n ), (2.12) để xác định, ta chọn Imγ(z0 ) = Thừa số quy hóa cho công thức R(t) = ei(ω1 −α+n arg t) (2.13) Công thức (2.12) - (2.13) xác định thừa số quy hóa dạng u cầu Sự xác định thừa số quy hóa với mơ đun số tương đương với việc xác định hàm giải tích có giá trị biên mô đun cho, cuối đưa việc giải toán Dirichlet 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 23 2.2 Các dạng toán biên Hilbert 2.2.1 Bài toán Định lý 2.2 Bài toán biên a(s)u(s) + b(s)v(s) = (các hệ số a(s) b(s) không đồng thời 0) với điều kiện biên   F (t) = 0, Re a + ib (2.14) (2.15) tương đương với tốn tìm hàm F (z) = u( x, y) + iv( x, y) có điều kiện biên  Re F (t) tκ eiγ(t)  = (2.16) Chỉ số κ hàm a(s) + ib(s) gọi số toán Hilbert Chứng minh Chia hệ thức (2.15) cho thừa số quy hóa hàm a + ib với điều kiện a2 (s) + b2 (s) = (2.17) ta thu điều kiện biên (2.16) Xét trường hợp sau : κ = Trong trường hợp điều kiện biên (2.16) điều kiện tốn Dirichlet Theo tính nghiệm tốn, ta có miền D +   F (t) Re iγ(t) = 0, e đó, trường hợp tổng quát nghiệm toán F (z) = iβ eiγ(z) , β số tùy ý Bài tốn có nghiệm tầm thường ( F ≡ 0) v(z0 ) = tức β = 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 24 κ > Điều kiện biên (2.16) điều kiện toán A0 Dựa kết (1.3.2), ta có F (z) = zκ eiγ(z) Q(z), Q(z) cho cơng thức (1.11), (1.12) Do đó, tốn có 2κ + nghiệm phụ thuộc tuyến tính κ < Khơng tồn hàm giải tích nghiệm tốn Bài tốn có nghiệm hàm thỏa mãn có khơng q −κ cực điểm miền D +  2.2.2 Bài toán khơng Định lý 2.3 Bài tốn biên khơng (2.1) với điều kiện biên   F (t) Re = c ( s ), a(s) + ib(s) tương đương với tốn có điều kiện biên   F (t) = | t | − κ e ω1 ( s ) c ( s ) Re iγ ( t ) κ t e (2.18) (2.19) Chứng minh Xét trường hợp: κ = Trường hợp điều kiện biên (2.19) điều kiện toán Dirichlet Áp dụng toán tử Schwarz vào hai vế ta tìm hàm F (z) sau: F (z) = eiγ(z) [S(eω1 (s) c(s)) + iβ ] (2.20) β số tùy ý κ > Điều kiện biên (2.19) điều kiện toán A, theo kết (1.3.2) ta có F (z) = zκ eiγ(z) [S(|t|−κ eω1 (s) c(s)) + Q(z)] 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z (2.21) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 25 Q(z) xác định tốn Từ cơng thức (2.20) (2.21) cho thấy nghiệm tổng quát toán tương ứng chứa nghiệm tổng qt tốn khơng κ < Tiếp tục thực ta F (z) = zκ eiγ(z) [S(|t|−κ eω1 (s) c(s)) + iC ] (2.22) Ta thấy thừa số zκ hàm F (z) có cực điểm cấp −κ Để có nghiệm giải tích ta đặt C = cơng thức (2.22) địi hỏi hàm S(|t|−κ eω1 (s) c(s)) có 0-điểm bội |κ | gốc tọa độ Bằng tính tốn trực tiếp, ta thu −2κ − điều kiện giải cần thỏa mãn để toán có nghiệm  Vì khơng có biểu thức tường minh cho toán tử Schwarz chu tuyến tùy ý nên khơng thể tìm dạng tường minh điều kiện giải trường hợp tổng quát Khi biểu thức xác định điều kiện tương ứng viết dạng hiển Từ kết thu ta có phát biểu sau: Mệnh đề 2.1 Nếu số hàm phức a(s) + ib(s) κ ≥ tốn biên Hilbert (2.14) tốn khơng (2.18) giải tuyệt đối Bài toán có 2κ + nghiệm độc lập tuyến tính (dưới dạng tổ hợp tuyến tính nghiệm tổng quát giống tổng số hạng) Nếu κ < tốn khơng giải được, tốn khơng giải số hạng tự thỏa mãn −2κ − điều kiện giải Khẳng định chứng tỏ thực chất nghiệm toán Hilbert rút gọn từ nghiệm ba toán Dirichlet Bài toán xác định thừa số quy hóa, thứ hai tìm nghiệm riêng tốn khơng cuối xác định hàm Q(z) cho miền tùy ý quy việc tìm hàm ánh xạ bảo giác đường tròn, tương đương với giải toán Dirichlet 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 26 2.2.3 Bài tốn đường trịn đơn vị Trên đường trịn đơn vị tốn tử Schwarz đồng với tích phân Schwarz Ta có ký hiệu : F (z) = u( x, y) + iv( x, y), γ(z) = 2π Z2π  iσ b(σ) e +z dσ, − κ σ iσ arctan a(σ) e −z (2.23) γ(z) = ω ( x, y) + iω1 ( x, y), κ Q(z) = iβ + ∑ ( c k z k − c k z − k ) (2.24) k =1 Chúng ta tìm nghiệm tốn biên Hilbert a ( s ) u ( s ) + b ( s ) v ( s ) = c ( s ), cho công thức sau Với κ =  F (z) = eiγ(z)  2π Z2π  eiσ +z dσ + iβ  eiσ − z e ω1 ( σ ) c ( σ ) (2.25) β số tùy ý Với κ >  F (z) = zκ eiγ(z)  2π Z2π e ω1 ( σ ) c ( σ ) eiσ eiσ  +z dσ + Q(z) −z (2.26) Q(z) xác định toán Với κ < F (z) = zκ eiγ(z) 2π Z2π e ω1 ( σ ) c ( σ ) eiσ + z dσ eiσ − z Trong trường hợp cuối, toán giải hàm 2π Z2π e ω1 ( σ ) eiσ + z −1 c(σ) iσ dσ = 2π e −z Z2π eω1 (σ) c(σ) dσ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z (2.27) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 27 + π Z2π e ω1 ( σ ) c ( σ ) dσ − z e−iσ có 0-điểm cấp −κ gốc tọa độ Khai triển chuỗi lũy thừa lân cận gốc tọa độ lập điều kiện với −κ − hệ số ta thu Z2π eω1 (σ) c(σ)e−ikσ dσ = 0, (k = 0, 1, , −κ − 1) (2.28) hay Z2π e ω1 ( σ ) c(σ) cos kσdσ = 0, Z2π eω1 (σ) c(σ) sin kσdσ = 0, (2.29) (k = 0, 1, 2, , −κ − 1) Công thức (2.29) thiết lập −2κ − điều kiện thỏa mãn để tốn Hilbert khơng giải với số âm 2.2.4 Bài tốn cho miền ngồi đường trịn đơn vị Xét tốn biên Hilbert miền vơ hạn D − bên ngồi chu tuyến đóng, đơn trơn L Tương tự trường hợp miền D + , giả sử chiều dương phép tịnh tiến chu tuyến L ngược chiều kim đồng hồ Chúng ta xác định thừa số quy hóa với giả thiết gốc tọa độ thuộc miền D + Giả sử Ind[ a(s) + ib(s)] = κ Thừa số quy hóa cho hàm phức a(s) + ib(s) ( xác định chu tuyến L) miền bên D − đại lượng thực dương - định nghĩa hàm p(s) thỏa mãn tích số p(s)[ a(s) + ib(s)] giá trị biên hàm giải tích D − có cấp khắp nơi D − , ngoại trừ điểm vơ hàm có cấp số lấy với dấu âm (−κ ) Do đó, theo định nghĩa ta có p(s)[ a(s) + ib(s)] = tκ eiγ(t) , γ(z) = ω ( x, y) + iω1 ( x, y) hàm giải tích khắp nơi D − bao gồm điểm vô 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 28 Biện luận tương tự thừa số quy hóa thực đưa tới hệ thức  b | t | κ e − ω1 ( s ) , γ(z) = S arctan − κ arg t , p(s) = p a a2 ( s ) + b2 ( s )  S tốn tử Schwarz miền D − Bây tiếp tục xét toán biên Hilbert Giả sử điều kiện a2 ( s ) + b2 ( s ) = thỏa mãn, viết điều kiện biên toán Hilbert dạng   F (t) Re = c ( s ) a(s) + ib(s) chia cho thừa số quy hóa ta   F (t) = | t | − κ e ω1 ( s ) c ( s ) Re iγ ( t ) κ t e Lý luận tương tự toán biên Hilbert không nhất, khác biệt thay gốc tọa độ, điểm đặc biệt vơ Vì vậy, có kết sau: Mệnh đề 2.2 Trong trường hợp κ ≤ tốn biên Hilbert có −2κ + nghiệm độc lập tuyến tính, tốn khơng giải tuyệt đối nghiệm phụ thuộc tuyến tính với −2κ + số thực tùy ý Trong trường hợp κ > tốn biên Hilbert khơng giải tốn khơng giải 2κ − điều kiện giải thỏa mãn; đó, tốn khơng có nghiệm Chứng minh Xét trường hợp Với κ ≤ F (z) = zκ eiγ(z) [S(|t|−κ eω1 (s) c(s)) + Q(z)], (2.30) Q(z) hàm giải tích khắp nơi D − ngoại trừ điểm vô cực có cực điểm cấp khơng vượt q −κ , phần thực hàm bị triệt tiêu chu tuyến Dễ dàng nhận thấy hàm Q(z) cho đường trịn đơn vị cơng thức (1.10) sử dụng cho trường hợp miền ngồi đường trịn đơn vị Để thuận lợi việc sử dụng biểu 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 29 thức Q(z) vài trường hợp khác, ta thay z 1/z cơng thức (1.10) Như vậy, hàm Q(z) cho miền ngồi đường trịn đơn vị viết dạng −κ Q(z) = iβ + ∑ ( c k z − k − c k z k ) k =1 Đối với miền D − tùy ý ta có cơng thức −κ Q(z) = iβ + ∑ n o ck [ω (z)]−k − ck [ω (z)]k k =1 ω (z) hàm ánh xạ bảo giác từ miền D − vào miền đường trịn đơn vị biến đổi điểm vơ cực thành điểm vô cực Đặc biệt, với κ = hàm Q(z) số ảo iβ Với κ > Nghiệm thu từ công thức (2.30) cách đặt Q(z) ≡ Trong trường hợp hàm cho cơng thức (2.30) có cực điểm cấp κ vơ cực Do đó, tốn biên Hilbert khơng giải tốn khơng giải thỏa mãn số điều kiện, từ nghiệm thu cách khai triển hàm S|t|κ eω1 (s) c(s) thành chuỗi lân cận điểm vô cực lập điều kiện κ hệ số  Trong trường hợp miền ngồi đường trịn đơn vị, tốn tử Schwarz tích phân Schwarz lấy với dấu âm Khai triển tích phân Schwarz chuỗi lũy thừa theo 1/z lập luận trường hợp miền đường tròn đơn vị Dễ dàng nhận thấy mệnh đề nêu rút từ mệnh đề tương ứng toán biên Hilbert không cho miền D + , κ thay −κ Để xác định số ta chọn chiều dương chu tuyến theo chiều ngược chiều chuyển động kim đồng hồ, tự nhiên cho miền D − theo chiều kim đồng hồ, kết cuối giống với định lý tương ứng cho miền D + 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 30 2.3 Mối liên hệ toán biên Hilbert toán biên Riemann So sánh nghiệm toán biên Hilbert với nghiệm tốn biên Riemann thấy tương đồng Điều cho thấy có liên kết chặt chẽ nghiệm chúng công thức khác Đối với chu tuyến dạng đơn giản (đường thẳng đường trịn) có kết nối tốn tử Schwarz tích phân Cauchy, việc đưa tốn biên Hilbert tốn biên Riemann thực Đối với chu tuyến khác khơng có loại kết nối trực tiếp thiết lập ánh xạ bảo giác số miền xét vào đường nửa mặt phẳng Giả sử L đường tròn đơn vị (t = eis ) Định lý 2.4 Hàm "bên trong" Φ+ (z) toán giá trị biên Riemann Φ+ (t) = G (t)Φ− (t) + g(t) với hệ số G (t) = a(s) + ib(s) , a(s) − ib(s) g(t) = 2c(s) , a(s) − ib(s) (2.31) cho nghiệm toán biên Hilbert với điều kiện biên a ( s ) u ( s ) + b ( s ) v ( s ) = c ( s ) Chứng minh Xét ba trường hợp sau : Trường hợp κ = 0, từ công thức nghiệm tổng quát toán biên Riemann Φ(z) = X (z)[Ψ (z) + P2κ (z)], hàm Φ+ (z) xác định Φ+ (z) = X + (z)[Ψ + (z) + P2κ (z)], + X (z) = e Ψ (z) = Γ+ (z) 2πi Z L , Γ(z) = 2πi g(τ ) dτ , X + (τ ) τ − z Z L ln G (τ ) dτ, τ−z P2κ (z) = C 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z (2.32) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 31 Thay giá trị G (t) từ (2.31) sử dụng cơng thức mối liên hệ tích phân Cauchy tích phân Schwarz, ta có Γ(z) = 2πi a(σ) + ib(σ) dτ ln = a(σ) − ib(σ) τ − z 2πi Z L Z 2i arctan L b(σ) dτ a(σ) τ − z b(σ) eiσ + z i arctan dσ + iC = iγ(z) + iC, a(σ) eiσ − z L